2023 年湖北省新高考联考协作体高三上学期 1 月期末考试数学试卷+答案+答题卡

湖北省新高考联考协作体*数学试卷（ 4 页）第 1 页
2023 年湖北省高三学期 1 月期末考试
高三数学试卷
考试时间：2023 年 1 月 10 日午 8：0010：00 试卷满分：150 分
注意事项
1答卷前考生务必姓名考号等填写答题卡试卷指定位置
2回答选择题时选出题答案 2B 铅笔答题卡应题目答案标号涂黑需改动先
橡皮擦干净选涂答案标号回答非选择题时答案写答题卡 写试卷效
单项选择题（ 8 题题 5 分 计 40 分．题出四选项中符合
题目求请答案填涂答题卡相应位置）
1． 已知集合  2 3 NA x x x   A 子集（ ）
A．3 B．4 C．6 D．7
2． 复数 z 满足 1 2i 3 4iz    （中 i 虚数单位）复数 z 轭复数 z （ ）
A．z 实部
5
11 B． z 虚部 2
5
C．复数 z 复面应点第象限 D． 5z 
3． 2022 年 9 月 16 日接迎第九批韩志愿军烈士遗骸回国运 20 专机两架歼 20 战机护航
抵达沈阳国际机场．歼 20 战机国研发第五代先进战斗机具高隐身性高
态势感知高机动性等特点歼 20 机身头部圆锥形种圆锥轴截面边长约
2 米正三角形机身头部侧面积约（ ）方米
A． 2 B． 3
3
 C． 2 D． 2
2

4． 1 7m   方程
2 2
11 7
x y
m m
  
表示焦点 y 轴椭圆（ ）
A．充分必条件 B．必充分条件
C．充条件 D．充分必条件
5． 已知 na 项均正数等差数列 nS 前 n 项 6 7 102 20a a a   7 8a a 取
值时 10S （ ）
A．10 B．20 C．25 D．50
6． 已知 1sin cos6 2
      
 )3
22cos(  （ ）
A． 1
2
 B． 1
2 C． 3
4
 D． 3
4
7． 已知函数 xxxf  3)( 2
1loga f 
     
 2logb ef  082c f  （中 e 然
数底数 圆周率） a b c 关系（ ）
A． a b c  B．b a c  C．c b a  D．c8． 2022 卡塔尔世界杯赛场卡塔尔 8 座体育馆举办甲乙丙丁 4 名裁判机派
卢赛尔贾努布阿图玛玛三座体育馆进行执法座体育馆少派 1 名裁判 A 表示事件
裁判甲派卢赛尔体育馆 B 表示事件裁判乙派卢赛尔体育馆C 表示事件裁判
乙派贾努布体育馆（ ）
A．事件 A B 相互独立 B．事件 A C 互斥事件
C． () 3
1PCA  D． () 1
6PBA 湖北省新高考联考协作体*数学试卷（ 4 页）第 2 页
二项选择题（4题题5分计20分．题出四选项中少两
符合题目求全部选 5 分部分选 2 分错选 0 分）
9． 新冠肺炎疫情防控期间进出区､超市､学校等场需先进
行体温检测某学校体温检测员周甲､乙两名学体温进行统
计结果图示列结正确（ ）
A．乙学体温极差 C20
B．甲学体温第三四分位数．．．．365℃
C．甲学体温乙学体温稳定
D．乙学体温众数中位数均数相等
10．已知函数    sinf x A x   （ 0A  0 
2
  ）部分图象图（ ）
A．函数解析式   2sin 2 6f x x     
B．函数 2sin 2 6y x     
图象左移
2
 单位长度函
数  f x 图象
C．直线 11
12x   函数  f x 图象条称轴
D．函数  f x 区间 02
   
值 2
11．设圆 2 2 2O x y  直线 4 0l x y   P l 动点点 P 作圆O 两条切线 PA PB
切点 A B 列说法中正确（ ）
A．直线l 圆O相交
B． PA 取值范围 6 
C．存点 P四边形OAPB正方形
D．点 P 坐标（22)时直线 AB 方程 1 yx
12．图棱长 2 正方体 1 1 1 1ABCD A B C D 中动点 P 满足
1

11
( ]10[   R )
结正确（ ）
A． ]10[ 11 PBBPA 面直线 
B．直线 1AA 面 1A BD 成角正弦值
6
3
C． ]10[ 三棱锥 BDAP 1 体积定值
3
4
D．
2
1 时三棱锥 1P A BD 外接球表面积11π
三填空题（ 4 题题 5 分计 20 分．请答案填写答题卡相应位置）
13． 2 61( )x x
 展开式中 3x 系数______（数字作答）
14．量 a
 量b
 投影量 4b
 b 

2数量积 a

∙b

______
15．已知双曲线 12
2
2
2

b
y
a
x 右焦点 F（ 5 0）点 P Q 双曲线关原点O称．
PF QF PQF△ 面积 4双曲线离心率 e ________．湖北省新高考联考协作体*数学试卷（ 4 页）第 3 页
16 2022 年 12 月 3 日南昌市出土东汉六棱锥体水晶珠灵摆吊坠图（1）示现通
DIY 手工制作六棱锥吊坠模型．准备张圆形纸片已知圆心 O半径10cm该纸片
正六边形 ABCDEF 中心 1 1 1 1 1 1 O A B C D E F 圆 O 点图（2）示．△A1AB
△B1BC△C1CD△D1DE△E1EF△F1FA 分 AB BC CD DE EF FA 底边等腰三角形
虚线剪开分 AB BC CD DE EF FA 折痕折起△A1AB△B1BC△C1CD△D1DE
△E1EF△F1FA 1 1 1 1 1 1 A B C D E F 重合六棱锥六棱锥体积时底面六边形
边长___________cm．
四解答题（题 6 题计 70 分．请答题卡指定区域作答．解答时应写出文字 说明
证明程演算步骤）
17．（题 10 分）已知△ABC 角 A B C 边分 a b c
sin sin 3 sinA B C  边 c 2
（1）求△ABC 周长
（2）角C 60°求△ABC 面积．
18．（题 12 分）知数列 na 前 n项 nS 1 1n n nS S a    ________________．请
① 3 15 20a a  ② 2a 5a 11a 成等数列③ 20 230S  三条件中选补充面
题干中解答面问题．
（1）求数列 na 通项公式
（2） 1n nb a  求数列 2n
nb 前 n 项 nT ．
注：果选择条件分解答第解答计分．
19．（题 12 分）图 1直角梯形 ABCD中 2 2 4CD AB BC   AB∥CDAB BC E
CD 中点现△DAE 着 AE 折叠 2 2CD  图 2 示体中 F AD
中点G BD 点 AC BE 交点O连接 OF ．
（1）求证：CD ∥面 EFB
（2） BE AGC 面 求面GEC 面 BEC 夹角 ．湖北省新高考联考协作体*数学试卷（ 4 页）第 4 页
20．（题 12 分）皮影戏种民间艺术国民间工艺美术戏曲巧妙结合成独特艺术
品种已千余年历史皮影制作项复杂制作技艺求制作者必须具备扎实绘
画功底高超雕刻技巧持恒毅力韧劲次制作分画图剪裁雕刻着
色刷清装备三道工序工序处理幅幅形态异富神韵皮影
工巧匠手里浑然天成成供欣赏操富灵气影李学皮影制作
产生极兴趣师名师勤学苦练目前水突飞猛进三道工序中道工序制作合格
概率次 3
5
2
3
3
4
三道工序彼独立道工序制作合格次成功皮影
制作该皮影视合格作品
（1）求李进行 3 次皮影制作恰次合格作品概率
（2）李制作 15 次中合格作品数 X 求 X 数学期方差
（3）着制作技术断提高李制作皮影作品某皮影戏剧团中聘单位制作演
出作品决定试段时间天制作皮影作品中前 7 天制作合格作品数 y 时间t
表：（第t 天数字t 表示）
时间  t 1 2 3 4 5 6 7
合格作品数 y 3 4 3 4 7 6 8
中合格作品数 y 时间  t 具线性相关关系求 y 关t 线性回方程（精确 001）
估算第 15 天制作少合格作品（四舍五入取整）？
（参考公式
  
 
1 1
222
1 1
ˆ
n n
i i i i
i i
n n
i i
i i
x y nxy x x y y
b
x nx x x
 
 
  
 
 
 
 
ˆˆa y bx  参考数：
7
1
163i i
i
t y

 ）
21．（题 12 分）已知抛物线 2 9y x 动点 G点 G 作 x 轴垂线垂足 DM GD
点满足 1
3GM GD
 

（1）求动点 M 轨迹 C 方程
（2）  0 4P x 曲线 C 定点点 P 作两条直线分抛物线交 AB 两点满足
2PA PBk k  求证：直线 AB 恒定点求出定点坐标
22．（题 12 分）已知函数    ln 3( )f x x a x x a a R     
（1） 0a  求  f x 极值
（2）讨函数  f x 单调性
（3） 2a  时证明：  f x 2 零点湖北省新高考联考协作体*数学答案（ 6 页）第 1 页
2023 年湖北省高三学期 1 月期末考试
高三数学答案
单选题 14 BCAB 58 DACD
二选题 9ABD 10CD 11BD 12ACD
三填空题 13．20 14．16 15． 5 16．
3
38
答案解析
1．B
解析题设 { | 3 3 N} {01}A x x x      ∴ A 子集 422 
2．C
解析题设 3 4i (3 4i)(1 2i) 11 2 i1 2i (1 2i)(1 2i) 5 5z         2 211 2| | ( ) ( ) 55 5z     11 2
5 5
z i 
Az 实部11
5
A 错误 B z 虚部 2
5
 B 错误
C复数 z 复面应点第象限 C 正确 D| z | 5 D 错误
3．A
解析根圆锥轴截面边长约 2 米正三角形知圆锥底面半径 1 米圆锥高 3 米
母线长 2 米根圆锥侧面积公式  221 S
4．B
解析方程
2 2
11 7
x y
m m
  
表示焦点 y 轴椭圆充条件 3m1 
1 7m   方程
2 2
11 7
x y
m m
  
表示焦点 y 轴椭圆必充分条件
5．D
解析∵  6 7 10 6 10 7 8 72 2 2 2 20a a a a a a a a        ∴ 7 8 10a a  已知 7 0a 
8 0a  ∴
2 2
7 8
7 8
10 252 2
a aa a            
仅 7 8 5a a  时等号成立时 10S 50
6．A
解析∵ 3 1 1sin cos sin cos sin6 2 2 6 2
                    

∴
2
11)6(sin2)6(2cos])6(2cos[)3
22cos( 2  
7．C
解析函数奇函数：  2 2
1log loga f f 
     
： 08
2 2log log 1 2 0e     结合
函数增函数：      08
2 2log log 2ef f f  
8．D
解析记三座体育馆次①②③体育馆少派名裁判
2 1 1
34 2 1
32
2
C C C A 36A
 种方法
事件 A ：甲派①①体育馆分 2 3
3A 6 种①体育馆分 1 ： 2 1 2
3 1 2C C A 6 种
6 6 12  种∴   12 1
36 3P A   理   12 1
36 3P B   甲乙时派①体育馆①体育馆分两
2
2A 种∴   2 1
36 18P AB         1
9P AB P A P B  A 错误互斥事件概念易知B 错误湖北省新高考联考协作体*数学答案（ 6 页）第 2 页
   
 
1
118| 1 6
3
P ABP B A P A
   D 正确事件C ：裁判乙派②体育馆②体育馆分 2 3
3A 6 种
②体育馆分 1 2 1 2
3 1 2C C A 6 种 6 6 12  种∴   12 1
36 3P C   事件 A C 时发生
1 1
3 2C C 5  种∴   5
36P AC     
 
5
53| 1 12
3
P ACP C A P A
   C 错误
9．ABD
解析 A：乙学体温值365 C 值363 C 极差02 C A 正确
B：甲学体温序排列：362 C 362 C 364 C 364 C 365 C 365 C 366 C
7 75 525  甲学体温第三四分位数述排列中第 6 数 365℃B 正确 C：
乙学体温序排列：363 C 363 C 364 C 364 C 364 C 365 C 365 C
乙学体温均数：  1 363 363 364 364 364 365 3657
       364 C
乙学体温方        2 2 2 22
2
1 4363 364 363 364 365 364 365 3647 700S           
甲学体温均数：  1 362 362 364 364 365 365 3667
       364 C 甲学体温方差
         2 2 2 2 22
1
1 14362 364 362 364 365 364 365 364 366 3647 700S              2 2
1 2S S 乙
学体温甲学体温稳定C 错误 D：乙学体温众数中位数均数均364 C D
正确
10．CD
解析题图知： 2A  函数  f x 正周期满足 3 5
4 6 12T    T 
2 2   函数    2sin 2f x x   ．
点 212
 
  
代入解析式中 2 2sin 6
     
 2 Z6 2 k k       2 Z3 k k   
2
 
3
    2sin 2 3f x x     
A 错误
函数 2sin 2 6y x     
图左移
4
 单位长度函数
  2sin 2 2sin 24 6 3f x x x                  
图
B 错误   2sin 2 3f x x     
11
12x   时   2f x  C 正确 02x     
时
22 3 3 3x        
3sin 2 13 2x           
  2 3f x      f x 值 2 D 正确．
11．BD
解析 A直线圆相离A 错误 B设点 0 0( )P x y
2 2| | | | | |AP PO OA  2| | 2PO  2
0 02 8 16 2x x    2
02( 2) 6x   6 PA 取值范围
6  B 正确 C四边形OAPB 正方形时| | | | | | | |OA OB AP BP   圆 2 2 2O x y 
圆心 (00)O 半径 2r  2 2 2| | | | | 2 4 2PO OA AP r     设点 0 0( )P x y 0 04y x  湖北省新高考联考协作体*数学答案（ 6 页）第 3 页
2 2 2 2
0 0 0| | (4 )oPO x y x x     2
0 02 8 16x x   2 化简 2
0 04 6 0x x   该方程判式
16 24 0    该方程解存点 P 四边形OAPB 正方形 C 正确 D点 P
坐标（22)时| |PO 直径圆圆心（11）半径 2
| |PO 直径圆方程 2)1()1 22  yx（ 两圆相减直线 AB 方程： 1 yx D
正确
12．ACD
解析显然存
2
1 满足 A 项正确 DA 方 x 轴 DC 方 y 轴 1DD 方 z 轴建
立空间直角坐标系
       1000 200 220 202D A B A  1 002AA 

   1 202 220DA DB 
 
设面 1A BD 法量   n x y z

1 0
0
n DA
n DB
  
 

 0
0
x z
x y
 
  
令 1x  1y z    1 1 1n   


设直线 1AA 面 1A BD 成角
1
2 3sin cos 32 3
AA n   
 
B 项错误 1 1
DD BB 四边形 1 1BDD B 行四边形
1 1 B D BD
1 1B D  面 1A BD BD  面 1A BD 1 1 B D 面 1A BD P 线段 1 1B D
动点 P 面 1A BD 距离定值三棱锥 1P A BD 体积定值点 P 1D 重
合时
1 1 1 1 1
1 1 1 42 2 23 3 2 3P A BD B A DD A DDV V S AB         △ C 正确
点 P 1 1B D 中点时 11P A B DD A B PV V   易 1 1 1A P B D 1BB  面 1111 DCBA 1A P 
面 1111 DCBA 1 1A P B B 1 1 1 1BB B D B  1 1 1BB B D  面 1 1BB D D 1AP 面
1 1BB D D 1AP 面 BDP 1 2A P  2 2 6BD CP DP  

2 2 2 12 8 1cos 2 2 6 3
BP DP BDBPD BP DP
      
2 2sin 3BPD  BDP△ 外接圆半径
2 2 3
2sin 22 22 3
BDr
BDP
  
 
求问题等价求 3
2r  半径底面圆高 1 2h A P  圆柱外接
球表面积设三棱锥 1P A BD 外接球半径 R
2
2 2 9 1 11
2 4 2 4
hR r        
三棱锥 1P A BD 外接
球表面积 2 114π 4π 11π4S R    D 项正确
13．20
解析 2 61( )x x
 展开式中第 1k  项 2(6 ) 12 3
1 6 6 ( 012 6)k k k k k
kT C x x C x k  
    
令12 3 3 3k k    ： 3x 系数 3
6 20C 
14．16
解析设 a
 b
 夹角 量 a
 量b
 投影量 cos 4ba b
b
 
 
 cos 4a b 
 

2

b cos 16a b a b    
   
15． 5
解析双曲线右焦点  50F 5c  设左焦点 1F PF QF P Q 关原点O称湖北省新高考联考协作体*数学答案（ 6 页）第 4 页
2 2 5PQ OF  PQF△ 面积 4 1 42S PF QF   8PF QF 
2 2 2 20PF QF PQ   2PF QF  双曲线称性 1QF PF 双曲线定义
1 2PF PF  2a 1a  离心率 e 5
16．
3
38
解析连接 1OE 交 EF 点 H题意 1OE EF 设 2EF x cm 3OH x cm
1 (10 3 )E H x  cm 0 2 10
10 3 3
x
x x
   
5 30 3x
  
 

六棱锥高 2 2 2 2
1 (10 3 ) ( 3 ) 100 20 3h E H OH x x x       cm．
正六边形 ABCDEF 面积 2 236 (2 ) 6 34S x x    cm2
六棱锥体积 2 4 51 1 6 3 100 20 3 2 3 100 20 33 3V Sh x x x x      cm3．
令函数 4 5 5 3( ) 100 20 3 0 3f x x x x
    
 
3 4 3( ) 400 100 3 100 (4 3 )f x x x x x     4 30 3x
    
时
( ) 0f x  4 3 5 33 3x
  
 
时 ( ) 0f x  ( )f x 4 30 3
 
   
单调递增 4 3 5 33 3
 
 
 
单调递减

2
max
4 3 4 3 64 152 3 100 20 33 3 3V
        
 cm3．时底面边长 2x
3
38
四．解答题
17．(1) 2 3 2 (2) 2 3
3
解（1）解：∵ sin sin 3 sinA B C  ∴正弦定理 3a b c  ∴ 2 3a b  ∴三角
形周长 2 3 2a b c    ．…………5 分
（2）解：（1）知 2 3a b  余弦定理  2 22 2 2 2 1cos 2 2 2
a b ab ca b cC ab ab
      解 8
3ab 
∴ 1 2 3sin2 3ABCS ab C   …………10 分
18．(1) 1na n  (2) 12 ( 1)2n
nT n   
解（1） 1 1n n nS S a    1 1n n nS S a    1 1n na a  
数列 na 首项 1a 公差 1 等差数列．
选①： 3 15 20a a  1 12 14 20a d a d    12 20 16a d 
解 1 2a  ． 1 ( 1) 2 ( 1) 1 1na a n d n n         数列 na 通项公式 1na n  ．
选②： 2a 5a 11a 成等数列   2
1 1 14 ( ) 10a d a d a d   
解 1 2a  1 ( 1) 2 ( 1) 1 1na a n d n n         ．
选③： 20 1 1
20 1920 20 1902S a d a d     230解 1 2a 
1 ( 1) 2 ( 1) 1 1na a n d n n         ．…………6 分湖北省新高考联考协作体*数学答案（ 6 页）第 5 页
（2） 1n nb a n   2 2n n
nb n  
1 2 31 2 2 2 3 2 2n
nT n         2 3 4 12 1 2 2 2 3 2 2n
nT n         
两式相减：   12 3 4 12 2 2 2 2
2 1
22
2
21
n
nn n
nT n n      

    
12 ( 1)2n
nT n    ．…………12 分
19．(1)证明见解析 (2)45°
解（1）直角梯形 ABCD中 2 2 4CD AB BC   AB CD AB BC
翻折性质翻折 AE EC DE AE
2DE CE  2 2CD  2 2 2CD DE CE   DE CE DE AE CE 两两互相垂直点
E 坐标原点建立图示空间直角坐标系 E xyz 图示：  020C  002D  110O
 101F  0 22CD  

 0 11OF  

2CD OF 
  OF CDCD 面 EFB OF  面
EFB  CD 面 EFB ．…………5 分
（2） BE AGC BE GO DE GO   面 点G BD 中点…………7 分
空间直角坐标系 E xyz 中  111G  000E  020C
 111EG 

 020EC 

设面GEC 法量   n x y z


0
0
n EG
n EC
  
 

 0
2 0
x y z
y
  
 
令 1x  0y  1z  面GEC 法量
 101n  

面 BEC 法量  001m 

1 2cos 21 2
m nm n m n
  

    
面GEC 面 BEC 夹角 45°．…………12 分
20．(1) 441
1000 (2)   9
2E X    63
20D X  (3) 0 82 1 71y t   14
解（1）李制作次皮影合格概率 1
3 2 3 3
5 3 4 10P    
李进行 3 次制作恰次合格作品概率
2
1
2 3
3 7 441
10 10 1000P C       
…………4 分
（2）题知： 

 


10
315~ NX   3 915 10 2E X      3 7 6315 10 10 20D X     …………7 分
（3）  1 1 2 3 4 5 6 7 47t          1 3 4 3 4 7 6 8 57y        
7
1
163i i
i
t y

 7 7 4 5 140t y     2
1
140
n
i
i
t

 2
7 112t 
7
1
7 22
1
163 140 23ˆ 082140 112 287
i i
i
i
i
t y nt y
b
t t


    


235 4 1 7128
ˆˆa y bt      
回直线方程 0 82 1 71y t   15x  时 082 15 171 1401 14y     
第 15 天制作14合格作品…………12 分
21．(1) 2 4C y x (2)证明见解析 0 2
解（1）设     M x y G x y   0D x 1
3GM GD
 
3
2
x x
y y
 

 
代入 2 9y x 2 4y x 湖北省新高考联考协作体*数学答案（ 6 页）第 6 页
动点 M 轨迹 2 4C y x …………5 分
（2）易  44 P PA PB 斜率存设 AB x my t 
   1 1 2 2 A x y B x y
2 4 y x
x my t
 
  
联立： 2 4 4 0y my t  
2
1 2 1 2Δ 16 16 0 4 4m t y y m y y t        ①
 
   
1 21 2
1 2 1 2 1 2
4 324 4 4 42 24 4 4 4 4 4PA PB
y yy yk k x x y y y y
             
②
①代入②： 2 8 8 4 8 2t m m t m      
 2 2x my m m y    直线恒定点 0 2 …………12 分
22．(1) 4 (2)答案见解析 (3)证明见解析
解（1） 0a  时   ln 3f x x x x    f x 定义域 0 
  ln 1 1 lnf x x x    
 f x 区间     01 0f x f x  递减区间     1 0f x f x  递增
1x  时  f x 取极值 ( )1 4f …………3 分
（2）    ln 3f x x a x x a     定义域 0 
  ln 1 lnx a af x x xx x
     
令       2 2
1ln 0 a a x ah x x x h xx x x x
     
0a  时   0h x  恒成立  h x  f x  0  递增
a<0 时  h x 区间     0 0a h x h x   f x 递减
区间      0a h x h x    f x 递增…………7 分
（3） 2a  时    2 ln 1f x x x x      2lnf x x x
  
（2）知  f x  0  递增     22 ln 2 1 0 3 ln 3 03f f      
存  0 23x   0 0f x  0
0
2ln x x

 f x 区间     00 0x f x f x  递减区间     0 0x f x f x  递增
0x x 时  f x 取极值值
     0 0 0 0 0 0 0
0 0
2 42 ln 1 2 1 1f x x x x x x xx x
             
 

0 0
0 0
4 42 4x xx x
     0 0f x 
1 1 1 1 1 1 22 ln 1 2 1 1 0e e e e e e ef                             

   2 2 2 2 2 2 2e e 2 ln e e 1 2e 4 e 1 e 5 0f            
根零点存性定理知  f x 区间 00 x  0 x   f x 1零点
 f x 2 零点…………12 分（1）
17（10 分）
13
15
14
16
填空题（题 5分20 分）
解答题（ 70 分解答应写出文字说明证明程演算步骤）
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18（12 分）
19（12 分）

数学
2023年湖北省高三学期1月期末考试
答题卡
湖北省新高考联考协作体*数学答题卡（ 2 页）第 1 页
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7 8
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选择题（ 60 分1—8 单选题题 5分9—12 选题题 5分
漏选 2分错选 0分）


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17（续）20 （12 分）
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22（12 分）20（12 分） 21 （12
湖北省新高考联考协作体*数学答题卡（ 2 页）第 2 页
分）

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