第部分 教材知识梳理·系统复
第单元 数式
第1讲 实 数
知识点：实数概念分类
关键点拨应举例
1实数
（1）定义分 （2）正负性分
正理数
理数 0 限数 正实数
负理数 限循环数 实数 0
实数
正理数 负实数
理数 限循环数
负理数
（1）0属正数属负数
（2）理数种常见形式判断：①含π式子②构造型：3010010001…（两1间0）限循环数③开方开数：④三角函数型：sin60°tan25°
（3）失分点警示：开方含根号数属理数23属理数
知识点二 ：实数相关概念
2数轴
（1）三素：原点正方单位长度
（2）特征：实数数轴点应数轴右边点表示数总左边点表示数
例：
数轴25表示点原点距离25
3相反数
（1）概念：符号两数
（2）代数意义：ab互相反数ó a+b0
（3）意义：数轴表示互相反数两点原点距离相等
a相反数a特0绝值0
例：3相反数31相反数1
4绝值
（1）意义：数轴表示点原点距离
（2）运算性质：|a| a (a≥0) |ab| ab(a≥b)
a(a＜0) ba(a＜b)
（3）非负性：|a|≥0|a|+b20ab0
（1）|x|a（a≥0）x±a
（2）绝值等身数非负数
例：5绝值5|2|2绝值等3±3|1|1
5倒数
（1）概念：积1两数互倒数a倒数1a(a≠0)
（2）代数意义：ab1óab互倒数
例：
2倒数12 倒数等身数±1
知识点三 ：科学记数法似数
6科学记数法
（1）形式：a×10n中1≤|a|＜10n整数
（2）确定n方法：数位较数n等原数整数减1数写成a×10n1≤|a|＜10n等原数中左起第非零数字前零数（含数点前面）
例：
21000科学记数法表示21×104
19万科学记数法表示19×10500007科学记数法表示7×104
7似数
（1）定义：实际数值接数
（2）精确度：四舍五入位说似数精确位
例：
314159精确百分位314精确00013142
知识点四 ：实数较
8实数较
（1）数轴较法：数轴两数右边数总左边数
（2）性质较法：正数＞0＞负数两负数较绝值反
（3）作差较法：ab＞0óa＞bab0óabab＜0óa＜b
（4）方法：a＞b≥0óa2＞b2
例：
12023序排列结果___1＞0＞2＞23_
知识点五 ：实数运算
9
常见运算
方
相数积 负数偶（奇）次方正（负）
例：
（1）计算：126_7__(2)2___4__
31_13_π0__1__
(2)64方根_±8__算术方根__8_立方根__4__
失分点警示：类似 算术方根计算错误 例：相互填填：16算术方根 4___算术方根___2__
零次幂
a0_1_(a≠0)
负指数幂
ap1ap（a≠0p整数）
方根
算术方根
x2a（a≥0）x中算术方根
立方根
x3ax
10混合运算
先方开方加减级运算左
右进行括号先做括号运算括号
中括号括号次进行计算时结合运算律
问题简单化
第2讲 整式式分解
知识清单梳理
知识点：代数式相关概念
关键点拨应举例
1代数式
（1）代数式：运算符号（加减方开方）数表示数字母连接成式子单独数字母代数式．
（2）求代数式值：具体数值代代数式中字母计算出结果做求代数式值．
求代数式值常运整体代入法计算
例：a－b＝33b－3a＝－9
2整式 （单项式项式）
（1）单项式：表示数字字母积代数式单独数字母单项式中数字数做单项式系数字母指数做单项式次数
（2）项式：单项式项式中项做项式项次数高项次数做项式次数
（3）整式：单项式项式统称整式
（4）类项：含字母相相字母指数相项做类项常数项类项
例：
（1）列式子：①2a2②3a5b③x2④2x⑤7a2⑥7x2+8x3y⑦2017中属单项式①③⑤⑦项式②⑥类项①⑤
（2）项式7m5n11mn2+1六次三项式常数项 __1
知识点二：整式运算
3整式加减运算
(1)合类项法类项系数相加结果作系数字母字母指数变．
(2)括号法 括号外＋括号里项变号括号外－括号里项变号
(3)整式加减运算法：先括号合类项
失分警示：括号时果括号外面符号定变号括号项相漏项
例：－2(3a－2b－1)＝－6a＋4b＋2
4幂运算法
(1)底数幂法：am·an＝am＋n
(2)幂方：(am)n＝amn
(3)积方：(ab)n＝an·bn
(4)底数幂法：am÷an＝am－n (a≠0)
中mn整数
(1)计算时注意观察善运逆运算解决问题例：已知2m+n23×2m×2n6
（2）解决幂运算时时需先化成底数例：2m·4m23m
5整式运算
(1)单项式×单项式：①系数底数幂分相②字母抄．
(2)单项式×项式： m(a+b)ma+mb
(3)项式×项式 (m+n)(a+b)ma+mb+na+nb
(4)单项式÷单项式：系数底数幂分相
(5)项式÷单项式：①项式项单项式②商相加．
失分警示：计算项式项式时注意漏丢项出现变号错
例：(2a－1)(b＋2)＝2ab＋4a－b－2
（6）法
公式
方差公式：(a＋b)(a－b)＝a2－b2
注意法公式逆运变形公式运
完全方公式：(a±b)2＝a2±2ab＋b2 变形公式：
a2+b2(a±b)2∓2abab(a+b)2（a2+b2） 2
6混合运算
注意计算序应先算算加减化简求值般步骤：化简代入换计算．
例：（a1）2(a+3)(a3)10_2a__
知识点五：式分解
7式分解
(1)定义：项式化成整式积形式．
(2)常方法：①提公式法：ma＋mb＋mc＝m(a＋b＋c)
②公式法：a2－b2＝(a＋b)(a－b)a2±2ab＋b2＝(a±b)2
(3)般步骤：①公式必先提公式②提公式否公式法分解③检查式否继续分解
(1) 式分解分解结果分解止相式写成幂形式
(2) 式分解整式法互逆运算．
第3讲 分 式
二 知识清单梳理
知识点：分式相关概念
关键点拨应举例
1 分式概念
（1）分式：形 (AB整式B中含字母B≠0)式子
（2）简分式：分子分母没公式分式
判断某式子否分式时应注意：（1）判断化简间式子（2）π常数字母 例：列分式：①② ③④中分式②③④简分式 ③
2分式意义
(1)意义条件：B＝0时分式意义
(2)意义条件：B≠0时分式意义
(3)值零条件：A＝0B≠0时分式＝0
失分点警示：解决分式值0求值问题时定注意求值满足分母0
例： 值0时x＝1
3基性质
( 1 ) 基性质：(C≠0)．
（2）基性质推理出变号法：
分式基性质分式进行化简：
例：化简：
知识点三 ：分式运算
4分式约分通分
(1)约分(化简分式)：分式分子分母中公式约
(2)通分(化分母)：根分式基性质异分母分式化分母分式
分式通分关键步骤找出分式
简公分母然根分式性质通分
例：分式简公分母
5分式加减法
(1)分母：分母变分子相加减±＝
(2)异分母：先通分变分母分式加减±＝
例： ＝－1
6分式法
(1)法：·＝ (2)法：＝
(3)方：＝ (n正整数)
例：＝＝2y
＝
7分式混合运算
(1)仅含运算：首先观察分子分母否分解式先分解约分
(2)含括号运算：注意运算序运算律合理应般先算方算算加减括号先算括号里面．
失分点警示：分式化简求值问题先分式化简简分式整式形式代入求值代入数值时注意原分式意义时需运整体代入
第4讲 二次根式
三 知识清单梳理
知识点：二次根式
关键点拨应举例
1关概念
（1）二次根式概念：形(a≥0)式子
（2）二次根式意义条件：开方数等0
（3）简二次根式：①开方数数整数式整式（分母中含根号）②开方数中含开方数式
失分点警示：判断分式二次根式组成复合代数式意义条件时注意确保部分意义分母0开方数等0等例：代数式意义x取值范围x＞1
2二次根式性质
（1）双重非负性：
①开方数非负数a≥0
②二次根式值非负数≥0
注意：初中阶段学非负数：绝值偶幂算式方根二次根式
利二次根式双重非负性解题：
（1）值非负非负数0时非负数均0+0a1b1
（2）开方数非负互相反数两数时出现二次根式开方数时相反数数均0已知b+a1b0
(2)两重性质：
①()2＝a(a≥0)②＝|a|＝
(3)积算术方根：＝·(a≥0b≥0)
(4)商算术方根： (a≥0b＞0)．
例：计算：
＝314＝2
2
知识点二 ：二次根式运算
3二次根式加减法
先根式化简二次根式合开方数相二次根式．
例：计算：＝
4二次根式法
（1）法：·(a≥0b≥0)
（2）法： (a≥0b＞0)．
注意：运算结果化简二次根式
例：计算：＝14
5二次根式混合运算
运算序实数运算序相先算方算算加减括号先算括号里面（先括号）．
运算时注意观察时运法公式会运算简便
例：计算：(+1)( 1) 1
第二单元 方程(组)等式(组)
第5讲 次方程(组)
四 知识清单梳理
知识点：方程相关概念
关键点拨应举例
1等式基性质
(1)性质1：等式两边加减数整式结果等式a＝ba±c＝b±c
(2)性质2：等式两边（）数（数0）结果等式a＝bac＝bc(c≠0)．
(3)性质3：（称性）abba
(4)性质4：（传递性）abbcac
失分点警示：等式两边数时数必须0
例：判断正误
(1)abacbc (×)
(2)acbcab (√)
2关方程 基概念
(1)元次方程：含未知数未知数次数1等式两边整式方程．
(2)二元次方程：含两未知数含未知数项次数1整式方程．
(3)二元次方程组：含两未知数两次方程组成组方程．
(4)二元次方程组解：二元次方程组两方程公解．
运元次方程定义解题时注意次项系数等0
例：(a2)关x元次方程a值0
知识点二 ：解元次方程二元次方程组
3解元次方程步骤
(1)分母方程两边分母公倍数漏常数项
(2)括号：括号外负号括号括号项均变号
(3)移项：移项变号
(4)合类项：方程化成axb(a≠0)
(5)系数化1：方程两边系数a方程解xba
失分点警示：方程分母时应该分子括号括起然括号防止出现变号错误
4二元次 方程组解法
思路：消元二元次方程转化元次方程
已知方程组求相关代数式值时需注意观察时需解出方程组利整体思想解决解方程组 例： 已知xy值xy4
方法：
(1)代入消元法方程中求出某未知数表达式代入方程进行求解
(2) 加减消元法：两方程两边分相加相减消未知数方法
知识点三 ：次方程(组)实际应
5列方程(组)
解应题般步骤
(1)审题：审清题意分清题中已知量未知量
(2)设未知数
(3)列方程(组)：找出等量关系列方程（组）
(4)解方程(组)
(5)检验：检验解答案否正确否满足符合题意
(6)作答：规范作答注意单位名称．
（1）设未知数时般求什设什时方便间接设未知数题目中涉值设份x
（2）列方程（组）时注意抓住题目中关键词语等（）少（少）少倍分等
6常见题型关系式
（1）利润问题：售价标价×折扣销售额售价×销量利润售价进价利润率利润进价×100
（2）利息问题：利息金×利率×期数息金+利息
（3）工程问题：工作量工作效率×工作时间
（4）行程问题：路程速度×时间 ①相遇问题：全路程甲走路程+乙走路程
②追问题：a时出发：前者走路程追者走路程b时出发：前者走路程+两间距离追者走路程
第6讲 元二次方程
五 知识清单梳理
知识点：元二次方程解法
关键点拨应举例
1 元二次方程相关概念
(1)定义：含未知数未知数高次数2 整式方程．
(2)般形式：ax2＋bx＋c＝0(a≠0)中ax2bxc分做二次项次项常数项abc分称二次项系数次项系数常数项．
例：方程关x元二次方程方程根－1
2元二次方程解法
（1）直接开方法：形（x+m）2n(n≥0)方程直接开方求解
( 2 )式分解法：化（ax+m）(bx+n)0方程式分解法求解
( 3 )公式法元二次方程 ax2＋bx＋c＝0求根公式x（b24ac≥0）
(4)配方法：元二次方程二次项系数1次项系数偶数时考虑配方法．
解元二次方程时注意观察 先特殊般先考虑否直接开方法式分解法两种方法解时公式法
例：方程x2+6x+30变形(x+h)2k形式h3k6
知识点二 ：元二次方程根判式根系数关系
3根判式
(1)Δ＝>0时原方程两相等实数根．
(2)Δ＝0时原方程两相等实数根．
(3)Δ＝<0时原方程没实数根．
例：方程判式等8该方程两相等实数根方程判式等－8该方程没实数根
*4根系数关系
（1）基关系：关x元二次方程ax2+bx+c0(a≠0)两根分x1x2x1+x2bax1x2ca注意运根系数关系前提条件△≥0
（2）解题策略：已知元二次方程求关方程两根代数式值时先求代数式变形含x1+x2x1x2式子运根系数关系求解
元二次方程两根相关代数式常见变形：
(x1+1)(x2+1)x1x2+(x1+x2)+1x12+x22(x1+x2)22x1x2等
失分点警示
运根系数关系解题时注意前提条件时△b24ac≥0
知识点三 ：元二次方程应
4列元二次方程解应题
（1）解题步骤：①审题② 设未知数③ 列元二次方程④解元二次方程⑤检验根否意义⑥作答．
运元二次方程解决实际问题时方程般两实数根必须根题意检验根否意义
（2）应模型：元二次方程常增长率问题面积问题等方面应
①均增长率（降低率）问题：公式：b＝a(1±x)na表示基数x表示均增长率（降低率）n表示变化次数b表示变化n次量
②利润问题：利润售价成利润率利润成×100
③传播赛问题：
④面积问题：a直接利相应图形面积公式列方程b规图形通割补移形成规图形运面积间关系列方程
第8讲 元次等式(组)
六 知识清单梳理
知识点：等式基性质
关键点拨应举例
1等式相关概念
（1）等式：等号(＞≥＜≤≠)表示等关系式子
（2）等式解：等式成立未知数值
（3）等式解集：等式成立未知数取值范围
例：ab差1等式表示a－b≤1
2等式基性质
性质1：a＞b a±c>b±c
性质2：a＞bc>0ac>bc>
性质3：a＞bc<0ac牢记等式性质3注意变号
：等式－2x＞4中等式两边时－2x＜2
知识点二 ：元次等式
3定义
等号连接含未知数含未知数项次数1左右两边整式式子做元次等式
例：关x元次等式m值1
4解法
（1）步骤：分母括号移项合类项系数化1
失分点警示
系数化1时注意系数正负性系数负数等式改变方
（2）解集数轴表示
x≥a x＞a x≤a x＜a
知识点三 ：元次等式组定义解法
5定义
含未知数元次等式合起组成元次等式组．
（1）表示解集时≥≤表示含实心圆点表示＜＞表示包含空心圆点表示．
（2）已知等式（组）解集情况求字母系数时般先视字母系数常数逆等式（组）解集定义反推出含字母方程求出字母值
：已知等式（a1）x＜1a解集x＞1a取值范围a＜1
6解法
先分求出等式解集求出解集公部分
7等式组解集类型
假设a＜b
解集
数轴表示
口诀
x≥b
取
x≤a
取
a≤x≤b
中间找
解
取
知识点四 ：列等式解决简单实际问题
8列等式解应题
（1）般步骤：审题设未知数找出等式关系列等式解等式验检否意义
（2）应等式解决问题情况：
a关键词：含少（≥）（≤）低（≥）高（≤）（）超（＞）足（＜）等
b隐含等关系：更省钱更划算等方案决策问题般需根整数解出佳方案
注意：
列等式解决实际问题中设未知数时应带少等字眼方程中设未知数致
第9讲 面直角坐标系函数
七 知识清单梳理
知识点：面直角坐标系
关键点拨应举例
1相关概念
（1）定义：面公原点互相垂直两条数轴构成面直角坐标系．
（2）意义：坐标面意点M序实数(xy)关系应．
点坐标先读横坐标(x轴)读坐标(y轴)
2点坐标特征
( 1 )象限点坐标符号特征（图示）：
点P(xy)第象限⇔x＞0y＞0
点P(xy)第二象限⇔x＜0y＞0
点P（xy）第三象限⇔x＜0y＜0
点P（xy）第四象限⇔x＞0y＜0
（2） 坐标轴点坐标特征：
①横轴⇔y＝0②轴⇔x＝0③原点⇔x＝0y＝0
（3）象限角分线点坐标
①第三象限角分线点横坐标相等
②第二四象限角分线点横坐标互相反数
（4）点P（ab）称点坐标特征：
①关x轴称点P1坐标(a－b)②关y轴称点P2坐标(－ab)
③关原点称点P3坐标(－a－b)．
（5）点M（xy）移坐标特征：
M（xy） M1(x+ay)
M2(x+ay+b)
（1）坐标轴点属象限
（2）面直角坐标系中图形移图形点坐标变化情况相
（3）面直角坐标系中求图形面积时先观察求图形否规图形进步寻找求图形面积素找助割补法割补法秘诀点x轴y轴作垂线割补成直接计算面积图形解决
3坐标点距离问题
（1）点M(ab)x轴y轴距离：x轴距离|b|)y轴距离|a|．
（2）行x轴y轴直线两点间距离：
点M1(x10)M2(x20)间距离|x1－x2|点M1(x1y)M2(x2y)间距离|x1－x2|
点M1(0y1)M2(0y2)间距离|y1－y2|点M1(xy1)M2(xy2)间距离|y1－y2|．
行x轴直线点坐标相等行y轴直线点横坐标相等
知识点二：函 数
4函数相关概念
（1）常量变量：变化程中数值始终变量做常量数值发生变化量做变量．
（2）函数：变化程中两变量xyx值y唯确定值应称x变量yx函数．函数表示方法：列表法图法解析法
（3）函数变量取值范围：般原：整式全体实数分式分母零二次根式开方数非负数实际问题意义．
失分点警示
函数解析式时代数式函数变量取值范围应代数式中变量公部分 例：函数y中变量取值范围x≥3x≠5
5函数图象
（1）分析实际问题判断函数图象方法：
①找起点：结合题干中变量变量取值范围应图象中找应点
②找特殊点：交点转折点说明图象点处发生变化
③判断图象趋势：判断出函数增减性图象倾斜方
（2）图形（动点）背景判断函数图象方法：
①设时间t（线段长x）找变量t(x)间存函数关系含t(x)式子表示 找相应函数图象注意否需分类讨变量取值范围
读取函数图象增减性技巧：①函数图象左右呈升（降）状态时函数yx增增（减）②函数值变化越图象越陡峭③函数y值始终常数区间函数图象条行x轴线段
第10讲 次函数
八 知识清单梳理
知识点 ：次函数概念图象性质
关键点拨应举例
1次函数相关概念
（1）概念：般说形y＝kx＋b(k≠0)函数做次函数．特b ＝0时称正例函数．
（2）图象形状：次函数y＝kx＋b条点（0b）（bk0）直线特正例函数y＝kx图象条恒点（00）直线
例：k＝1时函数y＝kx＋k－1正例函数
2次函数性质
kb
符号
K＞0
b＞0
K＞0
b＜0
K＞0b0
k<0
b>0
k<0
b<0
k<0
b＝0
（1）次函数ykx+b中k确定倾斜方倾斜程度b确定y轴交点位置
（2）较两次函数函数值：性质法助函数图象运数值代入法
例：已知函数y－2x＋b函数值yx增减(填增减)．
致
图象
象限
二三
三四
三
二四
二三四
二四
图象性质
yx增增
yx增减
3次函数坐标轴交点坐标
(1)交点坐标：求次函数x轴交点需令y0解出x求y轴交点需令x0求出y次函数y＝kx＋b(k≠0)图象x轴交点y轴交点(0b)
(2)正例函数y＝kx(k≠0)图象恒点(00)．
例：
次函数y＝x＋2x轴交点坐标（20）y轴交点坐标（02）
知识点二 ：确定次函数表达式
4确定次函数表达式条件
（1）常方法：定系数法般步骤：
①设：设函数表达式y＝kx＋b(k≠0)
②代：已知点坐标代入函数表达式解方程方程组
③解：求出kb值函数表达式．
（2）常见类型：
①已知两点确定表达式②已知两函数应值确定表达式
③移转化型：已知函数y2x移点（01）设求函数解析式y2x+b点（01）坐标代入
(1)确定次函数表达式需两组条件确定正例函数表达式需组条件
(2)出次函数y轴交点坐标出b值b值坐标快速解题 已知次函数点（02）知b2
5次函数图象移
规律：①次函数图象移前k变两条直线通移知k值相
②移h单位b值增h移h单位b值减h
例：次函数y2x+4图象移2单位长度图象函数关系式y2x+2．
知识点三 ：次函数方程（组）等式关系
6次函数方程
元次方程kx+b0根次函数ykx+b（kb常数k≠0）图象x轴交点横坐标
例：
（1）已知关x方程ax+b0解x1函数yax+bx轴交点坐标（10）
（2）次函数y3x+12中x ＞4时y值负数．
7次函数方程组
yk2x+b
yk1x+b
二元次方程组 解两次函数yk1x+b yk2x+b图象交点坐标
8次函数等式
（1）函数ykx+b函数值y＞0时变量x取值范围等式kx+b＞0解集
（2）函数ykx+b函数值y＜0时变量x取值范围等式kx+b＜0解集
知识点四 ：次函数实际应
9般步骤
（1）设出实际问题中变量
（2）建立次函数关系式
（3）利定系数法求出次函数关系式
（4）确定变量取值范围
（5）利次函数性质求相应值求值进行检验否符合实际意义
（6）做答
次函数身没值实际问题中变量取值定限制图象射线线段涉值问题般思路：确定函数表达式→确定函数增减性→根变量取值范围确定值
10常见题型
（1）求次函数解析式
（2）利次函数性质解决方案问题
第11讲 反例函数图象性质
九 知识清单梳理
知识点：反例函数概念图象性质
关键点拨应举例
1反例函数概念
（1）定义：形y＝(k≠0)函数称反例函数k做例系数变量取值范围非零切实数．
（2）形式：反例函数三种基形式：
①y＝②ykx1 ③xyk(中k常数k≠0)
例：函数y3xm+1m－2时该函数反例函数．
2反例函数图象性质
k符号
图象
象限
yx变化情况
（1）判断点否反例函数图象方法：①点横坐标代入否满足解析式②点横坐标相判断积否等k
失分点警示
（2）反例函数值较时首先判断变量取值否号否象限运性质进行较画出草图直观判断
k>0
图象第三象限
（xy号）
象限函数y值x增减
k<0
图象第二四象限
（xy异号）
象限函数y值x增增
3反例函数图象特征
（1）两条曲线组成做双曲线
（2）图象两分支限接x轴y轴会x轴y轴相交
（3）图象中心称图形原点称中心轴称图形2条称轴分面直角坐标系三象限二四象限角分线．
例：(ab)反例函数图象(－a－b)该函数图象(填)
4定系数法
需知道双曲线意点坐标设函数解析式代入求出反例函数系数k
例：已知反例函数图象点（－3－1）解析式y3x
知识点二 ：反例系数意义次函数综合
5系数k意义
（1）意义：反例函数y＝(k≠0)图象意点x轴y轴作垂线垂线坐标轴围成矩形面积|k|该点垂足原点顶点三角形面积12|k|
（2）常见面积类型：
失分点警示
已知相关面积求反例函数表达式注意函数图象第二四象限k＜0
例：已知反例函数图象点作坐标轴垂线围成矩形3该反例函数解析式：
6次函数综合
（1）确定交点坐标：方法已知交点坐标（ab）根中心称性交点坐标（ab）方法二联立两函数解析式利方程思想求解
（2）确定函数解析式：利定系数法先确定交点坐标分代入两函数解析式中求解
（3）坐标系中判断函数图象：充分利函数图象字母系数关系采假设法分k＞0k＜0两种情况讨选项符合求逐选项判断排
（4）较函数值：通观察图象图象方值图象方值结合交点坐标确定出解集范围
涉面积关问题时①善点横坐标转化图形边长直接求面积分割转化较求三角形面积②注意系数k意义
例：图示三阴影部分面积序排列：S△AOCS△OPE＞S△BOD
知识点三：反例函数实际应
7 般步骤
（1题意找出变量变量间积关系
（2设出函数表达式
（3）题意求解函数表达式
（4）根反例函数表达式性质解决相关问题
第12讲 二次函数图象性质
十 知识清单梳理
知识点：二次函数概念解析式
关键点拨应举例
1次函数定义
形y＝ax2＋bx＋c (abc常数a≠0)函数做二次函数
例：果函数y(a－1)x2二次函数a取值范围a≠0
2解析式
（1）三种解析式：①般式：yax2+bx+c②顶点式：ya(xh)2+k(a≠0)中二次函数顶点坐标（hk） ③交点式：ya(xx1)(xx2)中x1x2抛物线x轴交点横坐标
（2）定系数法：巧设二次函数解析式根已知条件关定系数方程（组）解方程（组）求出定系数值求出函数解析式
已知条件图象三点三应函数值设般式已知顶点坐标称轴方程值设顶点式已知抛物线x轴两交点坐标设交点式
知识点二 ：二次函数图象性质
3二次函数图象性质
图象
（1）较二次函数函数值方法：①直接代入求值法②性质法：变量称轴侧时根函数性质判断变量称轴异侧时先利函数称性转化侧利性质较④图象法：画出草图描点较函数值
失分点警示
（2）变量限定范围求二次函数值时首先考虑称轴否取值范围盲目根公式求解
例：0≤x≤5时抛物线yx2+2x+7值7
开口
称轴
x＝
顶点坐标
增减性
x>时yx增增x＜时yx增减
x>时yx增减x＜时yx增增
值
xy＝
xy＝
3系数abc
a
决定抛物线开口方开口
a＞0时抛物线开口
a＜0时抛物线开口
某特殊形式代数式符号：
① a±b+cx±1时y
值②4a±2b+cx±2时y值
③ 2a+b符号需判断称
轴b2a1称轴直线x1左边b2a＞1根a符号出结果④2ab符号需判断称轴1
a b
决定称轴（xb2a）位置
ab号b2a＜0称轴y轴左边
b＝0时 b2a0称轴y轴
ab异号b2a＞0称轴y轴右边．
c
决定抛物线y轴交点位置
c＞0时抛物线y轴交点正半轴
c＝0时抛物线原点
c＜0时抛物线y轴交点负半轴
b2－4ac
决定抛物线x轴交点数
b2－4ac＞0时抛物线x轴2交点
b2－4ac＝0时抛物线x轴1交点
b2－4ac＜0时抛物线x轴没交点
知识点三 ：二次函数移
4移解析式关系
注意：二次函数移实质顶点坐标移找出原函数顶点移方式确定移函数解析式
失分点警示：
抛物线移规律加减左加右减左右移易弄反
例：抛物线yx2x轴右移2单位抛物线解析式y（x－2）2．
知识点四 ：二次函数元二次方程等式
5二次函数元二次方程
二次函数yax2＋bx＋c(a≠0)图象x轴交点横坐标元二次方程ax2+bx+c0根
Δ＝b2－4ac＞0两相等实数根
Δ＝b2－4ac＝0两相等实数根
Δ＝b2－4ac＜0实根
例：已二次函数yx23x+m(m常数)图象x轴交点（10）关x元二次方程x23x+m0两实数根21
6二次函数等式
抛物线y ax2＋bx＋c＝0x轴方部分点坐标正应x值等式ax2＋bx＋c＞0解集x轴方部分点坐标均负应x值等式ax2＋bx＋c＜0解集
第13讲 二次函数应
十 知识清单梳理
知识点：二次函数应
关键点拨
实物抛物线
般步骤
题目中未出坐标系需建立坐标系求解建立原：①建立坐标系求出二次函数表达式较简单②已知点位置适（x轴y轴原点抛物线等）方便求二次函数丶表达式计算求解
① 题意结合函数图象求出函数解析式
②确定变量取值范围
③根图象结合求解析式解决问题
实际问题中
求值
① 分析问题中数量关系列出函数关系式
② 研究变量取值范围
③ 确定函数
④ 检验x值否变量取值范围求相关值
⑤解决提出实际问题
解决值应题注意两点：
①设未知数某某值时什（）设问中某某设变量什设函数
②求解值时定考虑顶点（横坐标）取值否变量取值范围
结合图形
① 根图形性质探求图形中关系式
② 根图形关系式确定二次函数解析式
③ 利配方法等确定二次函数值解决问题
面积等两条边积问题面积值问题通常会通二次函数解决样需注意变量取值范围
第四单元 图形初步认识三角形
第14讲 面图形相交线行线
十二 知识清单梳理
知识点：直线线段射线
关键点拨
1
基事实
（1）直线基事实：两点条直线．
（2）线段基事实：两点间线段短．
例：墙壁固定根横放木条少需2枚钉子两点确定条直线
知识点二 ：角角分线
2概念
（1）角：公端点两条射线组成图形．
（2）角分线：角部角顶点端点角分成两相等角射线
例：
（1）15°25＇＝155°
37°24＇45＇＇＋32°48＇49＇＇＝70°13＇34＇＇
（2）32°余角58°32°补角148°
3角度量
1°＝60′1′＝60＇＇1°＝3600＇＇
4余角补角
( 1 ) 余角：∠1＋∠2＝90°⇔∠1∠2互余角
( 2 ) 补角：∠1＋∠2＝180°⇔∠1∠2互补角
（3）性质：角(等角)余角相等角(等角)补角相等．
知识点三 ：相交线行线
5三线八角
（1）位角：形F（2）错角：形Z(3)旁角：形U
角位角错角旁角止注意方位观察
6顶角邻补角
（1）概念：两条直线相交公顶点没公边两角做顶角
（2）性质：顶角相等邻补角180°
例：面中三条直线相交1点图中6组顶角
7垂线
（1）概念：两条直线互相垂直中条直线做条直线垂线．
（2）性质：①点条直线已知直线垂直．
②垂线段短．
（3）点直线距离：直线外点条直线垂线段长度
例：图示点 ABC距离AB点BAC距离BD点CAB距离BC
8行线
（1）行线性质判定
①位角相等两直线行
②错角相等两直线行
③旁角互补两直线行
（2）行公理推
①直线外点条直线已知直线行．
②行条直线两直线行．
（1）果出现两条行线中条折线截般通折点作已知直线行线
（2）行线查考时通常会结合顶角角分线三角形角三角形外角性质解题时注意性质综合运
知识点四 ：命题证明
9命题证明
（1）概念：某事件作出正确正确判断语句(式子)做命题正确命题称真命题错误命题称假命题
（2）命题结构：题设结两部分组成命题常写成果pq形式中p题设q结
（3）证明：命题题设出发通推理判断命题否成立程证明命题假命题时举出反例署名命题成立
例：列命题假命题( ③ )
①相等角定顶角
②角补角相等
③果某命题真命题逆命题真命题
④某命题定理该命题定真命题
第15讲 般三角形性质
十三 知识清单梳理
知识点：三角形分类性质
关键点拨应举例
1三角形分类
（1）角关系分类 （2）边关系分类
失分点警示：
运分类讨思想计算等腰三角形周长时必须考虑三角形三边关系
例：等腰三角形两边长分36该三角形周长15
2三边关系
三角形意两边第三边意两边差第三边．
3角关系
（1）角定理：
①三角形角等180°
②推：直角三角形两锐角互余
（2）外角性质：
①三角形外角等相邻两角
②三角形意外角相邻角
利三角形外角性质求角度时条件含例倍分关系等列方程求解会更简便时会结合行折叠等腰（边）三角形性质求解
4三角形中重线段
四线
性 质
（1）角分线高结合求角度时注意运三角形角180°隐含条件
（2）三角形中出现两条高求长度时注意运面积中间量列方够求解
角分线
（1） 角线点角两边距离相等
（2） 三角形三条角分线相交点（心）
中线
（1） 三角形面积等分
（2） 直角三角形斜边中线等斜边半
高
锐角三角形三条高相交三角形部直角三角形三条高相交直角顶点钝角三角形三条高相交三角形外部
中位线
行第三边等第三边半
5 三角形中外角角分线规律总结
图①AD分∠BACAE⊥BC∠α∠BAC∠CAE(180°∠B∠C）（90°∠C）(∠C∠B）
图②BOCO分∠ABC∠ACB分线∠O∠A+90°
图③BOCO分∠ABC∠ACD∠OCD分线∠O∠A∠O’∠O
图④BOCO分∠CBD∠BCE分线∠O90°∠A
解答选择填空题直接通结解题会起事半功倍效果
知识点二 ：三角形全等性质判定
6全等三角形性质
(1)全等三角形应边应角相等．
(2)全等三角形应角分线应中线应高相等．
(3)全等三角形周长等面积等．
失分点警示：运全等三角形性质时注意找准应边应角
7三角形全等判定
般三角形全等
SSS（三边应相等）
SAS（两边夹角应相等）
ASA（两角夹角应相等）
AAS（两角中角边应相等）
失分点警示
图SSAAAA判定两三角形全等
直角三角形全等
(1)斜边条直角边应相等（HL）
(2)证明两直角三角形全等样 SASASAAAS
8全等三角形运
（1）利全等证明角边相等求线段长求角度：特征边角放两全等三角形中通证明全等结寻求全等条件时注意公角公边顶角等银行条件
（2）全等三角形中辅助线作法：
①直接连接法：图①连接公边构造全等
②倍长中线法：证明线段等关系图②SAS△ACD≌△EBDACBE△ABE中AB+BE＞AEAB+AC＞2AD
③截长补短法：适合证明线段差关系图③④
例：
图△ABC中已知∠1∠2BECDAB5AE2CE3
第16讲 等腰等边直角三角形
十四 知识清单梳理
知识点：等腰等边三角形
关键点拨应举例
1等腰三角形
（1）性质
①等边等角：两腰相等底角相等AB＝AC∠B＝∠C
②三线合：顶角分线底边中线底边高
互相重合
③称性：等腰三角形轴称图形直线AD称轴
（2）判定
①定义：两边相等三角形等腰三角形
②等角等边：∠B＝∠C△ABC等腰三角形
（1）三角形中垂线角分线中线等腰四条件中满足中两余均成立 ：左图已知AD⊥BCDBC中点三角形形状等腰三角形
失分点警示：等腰三角形腰底明确时需分类讨 等腰三角形ABC角30°外两角度数30°120°75°75°
2等边三角形
（1）性质
①边角关系：三边相等三角相等等60°
AB＝BC＝AC∠BAC＝∠B＝∠C＝60°
②称性：等边三角形轴称图形三条高线(角分线中线)直线称轴
（2）判定
①定义：三边相等三角形等边三角形
②三角相等（均60°）三角形等边三角形
③角60°等腰三角形等边三角形AB＝AC∠B＝60°△ABC等边三角形
（1）等边三角形特殊等腰三角形等边三角形满足三线合性质
（2）等边三角形特殊角60°等边三角形出现高时会结合直角三角形30°角性质BD12AB
例：△ABC中∠B60°ABACBC3△ABC周长9
知识点二 ：角分线垂直分线
3角分线
（1）性质：角分线点角两边距离相等．
∠1 ＝∠2PA⊥OAPB⊥OBPA＝PB
（2）判定：角部角两边距离相等点角角
分线．
例：图△ABC中∠C90°∠A30°AB垂直分线交ACD交ABECD2AC6
4垂直分线图形
（1）性质：线段垂直分线点条线段两端点距离相等．OP垂直分ABPA＝PB
（2）判定：条线段两端点距离相等点条线段垂直分线．
知识点三：直角三角形判定性质
5直角三角形性质
(1)两锐角互余∠A＋∠B＝90°
(2) 30°角直角边等斜边半∠B＝30°AC＝AB
(3) 斜边中线长等斜边长半．CD中线CD＝AB
(4) 勾股定理：两直角边ab方等斜边c方． a2＋b2＝c2
（1）直角三角形面积S12ch12ab(中ab直角边c斜边h斜边高)利公式助面积中间量解决高相关求长度问题
（2）已知两边利勾股定理求长度斜边明确应分类讨
（3）折叠问题中求长度需结合勾股定理列方程解决
6直角三角形判定
(1) 角直角三角形直角三角形∠C＝90°△ABCRt△
(2) 果三角形条边中线等条边半三角形直角三角形．AD＝BD＝CD△ABCRt△
(3) 勾股定理逆定理：a2＋b2＝c2△ABCRt△
第17讲 相似三角形
十五 知识清单梳理
知识点：例线段
关键点拨应举例
1 例
线段
四条线段abcd中果ab等cd四条线段abcd做成例线段简称例线段．
列例等式时注意四条线段序防止出现例混乱
2例
基性质
(1)基性质：⇔ ad＝bc（bd≠0）
(2)合性质：⇔＝（bd≠0）
(3)等性质：＝…＝＝k(b＋d＋…＋n≠0)⇔
＝k（bd···n≠0）
已知例式值求相关字母代数式值常引入参数法量统含参数式子表示求代数式值出字母中 表示出字母代入求解题设a3kb5k代入求式子原式变形a35b代入求解
例：
3行线分线段成例定理
（1）两条直线组行线截应线 段成例图示l3∥l4∥l5
利行线截线段成例求线段长线段时注意根图形列出例等式灵活运例基性质求解
例：图已知DE分△ABC边BCAC点AE2CE3DE∥ABBC：CD应等
（2）行三角形边直线截两边(两边延长 线)应线段成例
图示AB∥CD
（3）行三角形边直线两边相交构成三角形原三角形相似．
图示DE∥BC△ADE∽△ABC
4黄金分割
点C线段AB分成两条线段ACBC果＝≈0618线段AB点C黄金分割．中点C做线段AB黄金分割点ACAB做黄金．
例：长10cm线段进行黄金分割较长线段长5(－1)cm．
知识点二 ：相似三角形性质判定
5相似三角形判定
(1) 两角应相等两三角形相似(AAA)
图∠A＝∠D∠B＝∠E△ABC∽△DEF
判定三角形相似思路：①条件中行
线行线找出相等角判定②条
件中等角找等角找
夹等角两组边应成例③条件中
两边应成例找夹角相等④条件
中直角考虑找等角证
明直角边斜边应成例⑤条件中
等腰关系找顶角相等找底角相等
找底腰应成例
(2) 两边应成例夹角相等两三角形相似． 图∠A＝∠D△ABC∽△DEF
(3) 三边应成例两三角形相似．图△ABC∽△DEF
6相似
三角形性质
(1)应角相等应边成例．
(2)周长等相似面积等相似方．
(3)相似三角形应高应角分线应中线等相似．
例：(1)已知△ABC∽△DEF△ABC周长3△DEF周长2△ABC△DEF面积9：4
(2) 图DE∥BC AF⊥BC已知S△ADES△ABC14AFAG1：2
7相似三角形基模型
（1）熟悉利利相似求解问题基图形迅速找解题思路事半功倍
（2）证明等积式者例式般方法：常等积式化例式例式四条线段分做两三角形应边然通证明两三角形相似出结果
第18讲 解直角三角形
十六 知识清单梳理
知识点：锐角三角函数定义
关键点拨应举例
1锐角三角函数
正弦 sinA＝＝
余弦 cosA＝＝
正切 tanA＝＝
根定义求三角函数值时定根题目图形理解严格三角函数定义求解时需通辅助线构造直角三角形
2特殊角三角函数值
度数
三角函数
30°
45°
60°
sinA
cosA
tanA
1
知识点二 ：解直角三角形
3解直角三角形概念
直角三角形中直角外五元素三条边两锐角直角三角形中直角外已知元素求出未知元素程做解直角三角形．
科学选择解直角三角形方法口诀：
已知斜边求直边正弦余弦方便
已知直边求直边理然正切
已知两边求边勾股定理方便
已知两边求角函数关系记牢
已知锐角求锐角互余关系少
已知直边求斜边需正余弦
例：Rt△ABC中已知a5sinA30°c10b5
4解直角三角形常关系
(1)三边间关系：a2＋b2＝c2
(2)锐角间关系：∠A＋∠B＝90°
(3)边角间关系：sinA＝cosBcosA＝sinB
tanA＝
知识点三 ：解直角三角形应
5仰角俯角坡度坡角方角
(1)仰俯角：视线水线方角做仰角视线水线方角做俯角．（图①）
(2)坡度：坡面铅直高度水宽度做坡度(者做坡)字母i表示． 坡角：坡面水面夹角做坡角α表示i＝tanα （图②）
(3)方角：面通观察点Ο作条水线(右东)条铅垂线(北)点O出发视线水线铅垂线夹角做观测方角．（图③）
解直角三角形中双直角三角形基模型：
（1） 叠合式 （2）背式
解题方法：两种模型种条公直角边解题时通条边中介两三角形中次求边通公边相等列方程求解
6解直角三角形实际应般步骤
(1)弄清题中名词术语根题意画出图形建立数学模型
(2)条件转化图形中边角间关系实际问题转化解直角三角形问题
(3)选择合适边角关系式运算简便准确
(4)出数学问题答案检验答案否符合实际意义问题解．
第五单元 四边形
第19讲 边形行四边形
十七 知识清单梳理
知识点：边形
关键点拨应举例
1边形相关概念
（1）定义：面段线首尾次相接组成封闭图形做边形．
（2）角线：n边形顶点引(n－3)条角线角线边形分成(n－2)三角形n边形角线条数．
边形中求度数时灵活选择公式求度数解决边形角问题时数列方程求解
例：
(1)边形角1440°边形边数10．
(2)边形顶点出发引角线边形分割成7三角形该边形九边形．
2边形角外角
( 1 ) 角：n边形角公式(n－2)·180°
（2）外角：意边形外角360°
3正边形
（1）定义：边相等角相等边形
（2）正n边形角外角360°n
( 3 ) 正n边形n条称轴
（4）正n边形n奇数时轴称图形n偶数时轴称图形中心称图形
知识点二 ：行四边形性质
4行四边形定义
两组边分行四边形做行四边形行四边形□表示
利行四边形性质解题时常结方法：
（1）行四边形相邻两边等周长半
（2）行四边形中相等边角行关系常需结合三角形全等解题
（3）行四边形称中心直线等分行四边形面积周长
例：
图□ABCD中EF角线交点OAB4AD3OF13四边形BCEF周长96
5行四边形性质
（1） 边：两组边分行相等
AB∥CD AB＝CDBC∥ADAD＝BC
（2）角：角相等邻角互补
∠BAD＝∠BCD∠ABC＝∠ADC
∠ABC＋∠BCD＝180°∠BAD＋∠ADC＝180°
（3）角线：互相分OA＝OCOB＝OD
（4）称性：中心称轴称
6行四边形中解题模型
（1）图①AF分∠BAD利行线性质结合等角等边△ABF等腰三角形ABBF
（2）行四边形条角线分两全等三角形图②中△ABD≌△CDB
两条角线行四边形分两组全等三角形图②中△AOD≌△COB△AOB≌△COD
根行四边形中心称性称中心O线段角线组成居中心称位置三角形全等图②△AOE≌△COF图②中阴影部分面积行四边形面积半
（3） 图③已知点EAD点根行线间距离处处相等S△BECS△ABE+S△CDE
（4） 根行四边形面积求法AE·BCAF·CD
知识点三 ：行四边形判定
7行四边形判定
（1）方法（定义法）：两组边分行四边形行四边形
AB∥CDAD∥BC四边形ABCD□
（2）方法二：两组边分相等四边形行四边形
AB＝CDAD＝BC四边形ABCD□
（3）方法三：组边行相等四边形行四边形
AB＝CDAB∥CDADBCAD∥BC四边形ABCD□
（4）方法四：角线互相分四边形行四边形
OA＝OCOB＝OD四边形ABCD□
（5）方法五：两组角分相等四边形行四边形
∠ABC＝∠ADC∠BAD＝∠BCD四边形ABCD□
例：图四边形ABCD角线相交点OAOCO请添加条件BODOAD∥BCAB∥CD（添加）四边形ABCD行四边形
第20讲 特殊行四边形
知识清单梳理
知识点：特殊行四边形性质判定
关键点拨应举例
1性质
（具行四边形切性质边行相等）
矩 形
菱 形
正方形
(1)矩形中Rt△ABD≌Rt△DCA≌Rt△CDB≌Rt△BAC _两 全等等腰三角形常结合勾股定理等腰三角形性质解题
（2）菱形中两全等等腰三角形Rt△ABO≌Rt△ADO≌Rt△CBO≌Rt△CDO∠ABC60°△ABC△ADC 等边 三角形四直角三角形中30°锐角
（3）正方形中8等腰直角三角形解题时结合等腰直角三角形锐角45°斜边直角边
（1）四角直角
（2）角线相等互相分
AOCOBODO
（3）面积长×宽
2S△ABD4S△AOB
（1）四边相等
（2）角线互相垂直分条角线分组角
（3）面积底×高
角线_积半
(1)四条边相等四角直角
(2)角线相等互相垂直分
(3)面积边长×边长
2S△ABD
4S△AOB
2判定
（1）定义法：角直角行四边形
（2）三角直角
（3）角线相等行四边形
（1）定义法：组邻边相等行四边形
（2）角线互相垂直行四边形
（3）四条边相等四边形
（1）定义法：角直角组邻边相等行四边形
（2）组邻边相等矩形
（3）角直角菱形
（4）角线相等互相垂直分
例：判断正误
邻边相等四边形菱形（ ）
三角直角四边形式矩形
（ ）
角线互相垂直分四边形菱形 （ ）
边相等矩形正方形（ ）
3联系
包含关系：
知识点二：特殊行四边形拓展纳
4中点四边形
（1）意四边形中点四边形定行四边形
（2）角线相等四边形中点四边形矩形
（3）角线互相垂直四边形中点四边形菱形
（4）角线互相垂直相等四边形中点四边形正方形
图四边形ABCD菱形中点四边形EFGD形状矩形
5特殊四边形中解题模型
（1）矩形：图①EAD意点EF矩形中心O△AOE≌△COFS1S2
（2）正方形图②EF⊥MNEFMN图③PAD边意点PE+PFAO （变式：图④四边形ABCD矩形PE+PF求法利面积法需连接PO）
图① 图② 图③ 图④
第六单元 圆
第21讲 圆基性质
十八 知识清单梳理
知识点：圆关概念
关键点拨应举例
1圆关概念性质
（1）圆：面定点距离等定长点组成
图形．图示圆记做⊙O
（2）弦直径：连接圆意两点线段做弦
圆心弦做直径直径圆长弦
（3）弧：圆意两点间部分做弧半圆
弧做劣弧半圆弧做优弧
（4）圆心角：顶点圆心角做圆心角
（5）圆周角：顶点圆两边圆
交点角做圆周角
（6）弦心距：圆心弦距离
（1）圆心直线该圆称轴圆称轴数条
（2）3点确定圆1点2点圆数
（3）意三角形三顶点确定圆该三角形外接圆
知识点二 ：垂径定理推
2垂径定理推
定理
垂直弦直径分条弦分弦两条弧．
关垂径定理计算常勾股定理相结合解题时需添加辅助线般圆心作弦垂线构造直角三角形
推
(1)分弦(直径)直径垂直弦分弦两条弧
(2)弦垂直分线圆心分弦两条弧
延伸
根圆称性图示五条结中：
① 弧AC弧BC
②弧AD弧BD
③AEBE
④AB⊥CD⑤CD直径
满足中两外三结定成立推二知三
知识点三 ：圆心角弧弦关系
3圆心角弧弦关系
定理
圆等圆中相等圆心角弧相等弦相等．
圆心角弧弦间等量关系必须圆等式中成立
推
圆等圆中果两圆心角两条弧两条弦中组量相等应余组量分相等．
知识点四 ：圆周角定理推
4圆周角定理推
（1）定理：条弧圆周角等圆心角半 图a
∠A12∠O
图a 图b 图c
( 2 )推：
① 圆等圆中弧等弧圆周角相等图b∠A∠C
② 直径圆周角直角图c∠C90°
③ 圆接四边形角互补图a∠A+∠C180°∠ABC+∠ADC180°
圆中求角度时通常需通圆性质进行转化圆心角圆周角间转化弧等弧圆周角间转化连直径直角三角形通两锐角互余进行转化等
例：图AB⊙O直径CD⊙O两点∠BAC40°∠D度数130°．
第22讲 圆关位置关系
十九 知识清单梳理
知识点：圆关位置关系
关键点拨应举例
1点圆位置关系
设点圆心距离d
(1)dr⇔点⊙O外．
判断点圆间位置关系该点圆心距半径作较
2直线圆位置关系
位置关系
相离
相切
相交
圆轴称中心称图形关圆位置计算题中常常出现分类讨解情况
例：已知：⊙O半径2圆心直线l距离1直线l垂直l方移l⊙O相切移距离13
图形
公点数
0
1
2
数量关系
d＞r
d＝r
d＜r
知识点二 ：切线性质判定
3切线
判定
（1）圆公点直线圆切线（定义法）
（2）圆心距离等半径直线圆切线
（3）半径外端点垂直条半径直线圆切线
切线判定常证明方法：①知道直线圆公点时连半径证垂直②知道直线圆没公点时作垂直证垂线段等半径
4切线
性质
（1）切线圆公点
（2）切线圆心距离等圆半径
（3）切线垂直切点半径
利切线性质解决问题时通常连切点半径利直角三角形性质解决问题
*5切线长
（1）定义：圆外点作圆切线点切点间线段长做点圆切线长
（2）切线长定理：圆外点引圆两条切线两切线长相等圆心点连线分两条切线夹角
例：图ABACDB⊙O切线PCD切点果AB5AC3BD长2
知识点四 ：三角形圆
5三角形外接圆
图形
相关概念
圆心确定
外心性质
切圆半径三角形边关系：
（1）意三角形切圆（图a）设三角形周长CS△ABC12Cr
（2）直角三角形切圆（图b）
①切线长定理推导r12(a+b+c)面积推导r两种结做选择题填空题时直接应
例：已知△ABC三边长a3b4c5外切圆半径25
三角形定点圆做三角形外接圆外接圆圆心做三角形外心三角形做圆接三角形
三角形三条垂直分线交点
三角形三顶点距离相等
6三角形切圆
三角形边相
切圆三角形
切圆切圆
圆心做三角形
心三角形
圆外切三角形
三角形三条角分线交点
三角形三条边距离相等
第七单元 图形变换
第24讲 移称旋转位似
二十 知识清单梳理
知识点：图形变换
关键点拨应举例
1图形轴称
（1）定义：①轴称：图形某条直线翻折果够图形重合称两图形关条直线称．
②轴称图形：果面图形着条直线折叠直线两旁部分够重合图形做轴称图形条直线做称轴
（2）性质：果两图形关某直线称称轴应点连线段垂直分线反成轴称两图形中应点连线称轴垂直分
常见轴称图形：等腰三角形菱形矩形正方形正六边形圆等
2图形移
（1）定义：面某图形某方移动定距离样图形运动称移．
（2）性质：①移应线段相等行应点连线段相等行②移应角相等应角两边分行方相
③移改变图形形状 改变图形位置移新旧两图形全等．
画位似图形般步骤：①确定位似中心②分连接延长位似中心代表原图关键点③根相似确定代表作位似图形关键点次连接述点放缩图形．
3图形旋转
（1）面图形绕定点某方旋转角度样图形运动称旋转定点称旋转中心转动角度称旋转角．
（2）性质：①图形旋转程中图形点绕旋转中心相方转动相角度②注意应点旋转中心连线成角度旋转角旋转角相等③应点旋转中心距离相等．
4图形中心称
（1）图形绕着某点旋转180°果够图形重合两图形关点称中心称该点做称中心．
（2）①关中心称两图形全等形②关中心称两图形称点连线称中心称中心分③关中心称两图形应线段行（者直线）相等
5图形位似
（1）果两边形仅相似应顶点连线相交点样图形做位似图形点做位似中心．
（2）性质：①应角相等应边等位似②位似图形意应点位似中心距离等位似．
知识点二 ：网格作图
2坐标图形位置运动
图形移变换
面直角坐标系果图形点横坐标加(减)正数a相应新图形原图形右(左)移a单位长度果点坐标加(减)正数a相应新图形原图形()移a单位长度．
面直角坐标系中网格中作已知图形变换年安徽必考题型注意根图形变化性质先确定图形变换应点然次连接应点
例：面直角坐标系中条线段AB中A（21）B（20）原点O位似中心相似2：1线段AB放线段A′B′A′点坐标（42）（42）
图形关坐标轴成称变换
面直角坐标系果两图形关x轴称两图形应点横坐标相等坐标互相反数
面直角坐标系果两图形关y轴称两图形应点横坐标互相反数坐标相等．
图形关原点成中心称
面直角坐标系果两图形关原点成中心称两图形应点横坐标互相反数坐标互相反数．
图形关原点成位似变换
面直角坐标系果两图形位似中心原点相似k两位似图形应点坐标等k－k．
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第单元 数式
第1讲 实 数
知识点：实数概念分类
关键点拨应举例
1实数
（1）定义分 （2）正负性分
正理数
理数 0 限数 正实数
负理数 限循环数 实数 0
实数
正理数 负实数
理数 限循环数
负理数
（1）0属正数属负数
（2）理数种常见形式判断：①含π式子②构造型：3010010001…（两1间0）限循环数③开方开数：④三角函数型：sin60°tan25°
（3）失分点警示：开方含根号数属理数23属理数
知识点二 ：实数相关概念
2数轴
（1）三素：原点正方单位长度
（2）特征：实数数轴点应数轴右边点表示数总左边点表示数
例：
数轴25表示点原点距离25
3相反数
（1）概念：符号两数
（2）代数意义：ab互相反数ó a+b0
（3）意义：数轴表示互相反数两点原点距离相等
a相反数a特0绝值0
例：3相反数31相反数1
4绝值
（1）意义：数轴表示点原点距离
（2）运算性质：|a| a (a≥0) |ab| ab(a≥b)
a(a＜0) ba(a＜b)
（3）非负性：|a|≥0|a|+b20ab0
（1）|x|a（a≥0）x±a
（2）绝值等身数非负数
例：5绝值5|2|2绝值等3±3|1|1
5倒数
（1）概念：积1两数互倒数a倒数1a(a≠0)
（2）代数意义：ab1óab互倒数
例：
2倒数12 倒数等身数±1
知识点三 ：科学记数法似数
6科学记数法
（1）形式：a×10n中1≤|a|＜10n整数
（2）确定n方法：数位较数n等原数整数减1数写成a×10n1≤|a|＜10n等原数中左起第非零数字前零数（含数点前面）
例：
21000科学记数法表示21×104
19万科学记数法表示19×10500007科学记数法表示7×104
7似数
（1）定义：实际数值接数
（2）精确度：四舍五入位说似数精确位
例：
314159精确百分位314精确00013142
知识点四 ：实数较
8实数较
（1）数轴较法：数轴两数右边数总左边数
（2）性质较法：正数＞0＞负数两负数较绝值反
（3）作差较法：ab＞0óa＞bab0óabab＜0óa＜b
（4）方法：a＞b≥0óa2＞b2
例：
12023序排列结果___1＞0＞2＞23_
知识点五 ：实数运算
9
常见运算
方
相数积 负数偶（奇）次方正（负）
例：
（1）计算：126_7__(2)2___4__
31_13_π0__1__
(2)64方根_±8__算术方根__8_立方根__4__
失分点警示：类似 算术方根计算错误 例：相互填填：16算术方根 4___算术方根___2__
零次幂
a0_1_(a≠0)
负指数幂
ap1ap（a≠0p整数）
方根
算术方根
x2a（a≥0）x中算术方根
立方根
x3ax
10混合运算
先方开方加减级运算左
右进行括号先做括号运算括号
中括号括号次进行计算时结合运算律
问题简单化
第2讲 整式式分解
知识清单梳理
知识点：代数式相关概念
关键点拨应举例
1代数式
（1）代数式：运算符号（加减方开方）数表示数字母连接成式子单独数字母代数式．
（2）求代数式值：具体数值代代数式中字母计算出结果做求代数式值．
求代数式值常运整体代入法计算
例：a－b＝33b－3a＝－9
2整式 （单项式项式）
（1）单项式：表示数字字母积代数式单独数字母单项式中数字数做单项式系数字母指数做单项式次数
（2）项式：单项式项式中项做项式项次数高项次数做项式次数
（3）整式：单项式项式统称整式
（4）类项：含字母相相字母指数相项做类项常数项类项
例：
（1）列式子：①2a2②3a5b③x2④2x⑤7a2⑥7x2+8x3y⑦2017中属单项式①③⑤⑦项式②⑥类项①⑤
（2）项式7m5n11mn2+1六次三项式常数项 __1
知识点二：整式运算
3整式加减运算
(1)合类项法类项系数相加结果作系数字母字母指数变．
(2)括号法 括号外＋括号里项变号括号外－括号里项变号
(3)整式加减运算法：先括号合类项
失分警示：括号时果括号外面符号定变号括号项相漏项
例：－2(3a－2b－1)＝－6a＋4b＋2
4幂运算法
(1)底数幂法：am·an＝am＋n
(2)幂方：(am)n＝amn
(3)积方：(ab)n＝an·bn
(4)底数幂法：am÷an＝am－n (a≠0)
中mn整数
(1)计算时注意观察善运逆运算解决问题例：已知2m+n23×2m×2n6
（2）解决幂运算时时需先化成底数例：2m·4m23m
5整式运算
(1)单项式×单项式：①系数底数幂分相②字母抄．
(2)单项式×项式： m(a+b)ma+mb
(3)项式×项式 (m+n)(a+b)ma+mb+na+nb
(4)单项式÷单项式：系数底数幂分相
(5)项式÷单项式：①项式项单项式②商相加．
失分警示：计算项式项式时注意漏丢项出现变号错
例：(2a－1)(b＋2)＝2ab＋4a－b－2
（6）法
公式
方差公式：(a＋b)(a－b)＝a2－b2
注意法公式逆运变形公式运
完全方公式：(a±b)2＝a2±2ab＋b2 变形公式：
a2+b2(a±b)2∓2abab(a+b)2（a2+b2） 2
6混合运算
注意计算序应先算算加减化简求值般步骤：化简代入换计算．
例：（a1）2(a+3)(a3)10_2a__
知识点五：式分解
7式分解
(1)定义：项式化成整式积形式．
(2)常方法：①提公式法：ma＋mb＋mc＝m(a＋b＋c)
②公式法：a2－b2＝(a＋b)(a－b)a2±2ab＋b2＝(a±b)2
(3)般步骤：①公式必先提公式②提公式否公式法分解③检查式否继续分解
(1) 式分解分解结果分解止相式写成幂形式
(2) 式分解整式法互逆运算．
第3讲 分 式
二 知识清单梳理
知识点：分式相关概念
关键点拨应举例
1 分式概念
（1）分式：形 (AB整式B中含字母B≠0)式子
（2）简分式：分子分母没公式分式
判断某式子否分式时应注意：（1）判断化简间式子（2）π常数字母 例：列分式：①② ③④中分式②③④简分式 ③
2分式意义
(1)意义条件：B＝0时分式意义
(2)意义条件：B≠0时分式意义
(3)值零条件：A＝0B≠0时分式＝0
失分点警示：解决分式值0求值问题时定注意求值满足分母0
例： 值0时x＝1
3基性质
( 1 ) 基性质：(C≠0)．
（2）基性质推理出变号法：
分式基性质分式进行化简：
例：化简：
知识点三 ：分式运算
4分式约分通分
(1)约分(化简分式)：分式分子分母中公式约
(2)通分(化分母)：根分式基性质异分母分式化分母分式
分式通分关键步骤找出分式
简公分母然根分式性质通分
例：分式简公分母
5分式加减法
(1)分母：分母变分子相加减±＝
(2)异分母：先通分变分母分式加减±＝
例： ＝－1
6分式法
(1)法：·＝ (2)法：＝
(3)方：＝ (n正整数)
例：＝＝2y
＝
7分式混合运算
(1)仅含运算：首先观察分子分母否分解式先分解约分
(2)含括号运算：注意运算序运算律合理应般先算方算算加减括号先算括号里面．
失分点警示：分式化简求值问题先分式化简简分式整式形式代入求值代入数值时注意原分式意义时需运整体代入
第4讲 二次根式
三 知识清单梳理
知识点：二次根式
关键点拨应举例
1关概念
（1）二次根式概念：形(a≥0)式子
（2）二次根式意义条件：开方数等0
（3）简二次根式：①开方数数整数式整式（分母中含根号）②开方数中含开方数式
失分点警示：判断分式二次根式组成复合代数式意义条件时注意确保部分意义分母0开方数等0等例：代数式意义x取值范围x＞1
2二次根式性质
（1）双重非负性：
①开方数非负数a≥0
②二次根式值非负数≥0
注意：初中阶段学非负数：绝值偶幂算式方根二次根式
利二次根式双重非负性解题：
（1）值非负非负数0时非负数均0+0a1b1
（2）开方数非负互相反数两数时出现二次根式开方数时相反数数均0已知b+a1b0
(2)两重性质：
①()2＝a(a≥0)②＝|a|＝
(3)积算术方根：＝·(a≥0b≥0)
(4)商算术方根： (a≥0b＞0)．
例：计算：
＝314＝2
2
知识点二 ：二次根式运算
3二次根式加减法
先根式化简二次根式合开方数相二次根式．
例：计算：＝
4二次根式法
（1）法：·(a≥0b≥0)
（2）法： (a≥0b＞0)．
注意：运算结果化简二次根式
例：计算：＝14
5二次根式混合运算
运算序实数运算序相先算方算算加减括号先算括号里面（先括号）．
运算时注意观察时运法公式会运算简便
例：计算：(+1)( 1) 1
第二单元 方程(组)等式(组)
第5讲 次方程(组)
四 知识清单梳理
知识点：方程相关概念
关键点拨应举例
1等式基性质
(1)性质1：等式两边加减数整式结果等式a＝ba±c＝b±c
(2)性质2：等式两边（）数（数0）结果等式a＝bac＝bc(c≠0)．
(3)性质3：（称性）abba
(4)性质4：（传递性）abbcac
失分点警示：等式两边数时数必须0
例：判断正误
(1)abacbc (×)
(2)acbcab (√)
2关方程 基概念
(1)元次方程：含未知数未知数次数1等式两边整式方程．
(2)二元次方程：含两未知数含未知数项次数1整式方程．
(3)二元次方程组：含两未知数两次方程组成组方程．
(4)二元次方程组解：二元次方程组两方程公解．
运元次方程定义解题时注意次项系数等0
例：(a2)关x元次方程a值0
知识点二 ：解元次方程二元次方程组
3解元次方程步骤
(1)分母方程两边分母公倍数漏常数项
(2)括号：括号外负号括号括号项均变号
(3)移项：移项变号
(4)合类项：方程化成axb(a≠0)
(5)系数化1：方程两边系数a方程解xba
失分点警示：方程分母时应该分子括号括起然括号防止出现变号错误
4二元次 方程组解法
思路：消元二元次方程转化元次方程
已知方程组求相关代数式值时需注意观察时需解出方程组利整体思想解决解方程组 例： 已知xy值xy4
方法：
(1)代入消元法方程中求出某未知数表达式代入方程进行求解
(2) 加减消元法：两方程两边分相加相减消未知数方法
知识点三 ：次方程(组)实际应
5列方程(组)
解应题般步骤
(1)审题：审清题意分清题中已知量未知量
(2)设未知数
(3)列方程(组)：找出等量关系列方程（组）
(4)解方程(组)
(5)检验：检验解答案否正确否满足符合题意
(6)作答：规范作答注意单位名称．
（1）设未知数时般求什设什时方便间接设未知数题目中涉值设份x
（2）列方程（组）时注意抓住题目中关键词语等（）少（少）少倍分等
6常见题型关系式
（1）利润问题：售价标价×折扣销售额售价×销量利润售价进价利润率利润进价×100
（2）利息问题：利息金×利率×期数息金+利息
（3）工程问题：工作量工作效率×工作时间
（4）行程问题：路程速度×时间 ①相遇问题：全路程甲走路程+乙走路程
②追问题：a时出发：前者走路程追者走路程b时出发：前者走路程+两间距离追者走路程
第6讲 元二次方程
五 知识清单梳理
知识点：元二次方程解法
关键点拨应举例
1 元二次方程相关概念
(1)定义：含未知数未知数高次数2 整式方程．
(2)般形式：ax2＋bx＋c＝0(a≠0)中ax2bxc分做二次项次项常数项abc分称二次项系数次项系数常数项．
例：方程关x元二次方程方程根－1
2元二次方程解法
（1）直接开方法：形（x+m）2n(n≥0)方程直接开方求解
( 2 )式分解法：化（ax+m）(bx+n)0方程式分解法求解
( 3 )公式法元二次方程 ax2＋bx＋c＝0求根公式x（b24ac≥0）
(4)配方法：元二次方程二次项系数1次项系数偶数时考虑配方法．
解元二次方程时注意观察 先特殊般先考虑否直接开方法式分解法两种方法解时公式法
例：方程x2+6x+30变形(x+h)2k形式h3k6
知识点二 ：元二次方程根判式根系数关系
3根判式
(1)Δ＝>0时原方程两相等实数根．
(2)Δ＝0时原方程两相等实数根．
(3)Δ＝<0时原方程没实数根．
例：方程判式等8该方程两相等实数根方程判式等－8该方程没实数根
*4根系数关系
（1）基关系：关x元二次方程ax2+bx+c0(a≠0)两根分x1x2x1+x2bax1x2ca注意运根系数关系前提条件△≥0
（2）解题策略：已知元二次方程求关方程两根代数式值时先求代数式变形含x1+x2x1x2式子运根系数关系求解
元二次方程两根相关代数式常见变形：
(x1+1)(x2+1)x1x2+(x1+x2)+1x12+x22(x1+x2)22x1x2等
失分点警示
运根系数关系解题时注意前提条件时△b24ac≥0
知识点三 ：元二次方程应
4列元二次方程解应题
（1）解题步骤：①审题② 设未知数③ 列元二次方程④解元二次方程⑤检验根否意义⑥作答．
运元二次方程解决实际问题时方程般两实数根必须根题意检验根否意义
（2）应模型：元二次方程常增长率问题面积问题等方面应
①均增长率（降低率）问题：公式：b＝a(1±x)na表示基数x表示均增长率（降低率）n表示变化次数b表示变化n次量
②利润问题：利润售价成利润率利润成×100
③传播赛问题：
④面积问题：a直接利相应图形面积公式列方程b规图形通割补移形成规图形运面积间关系列方程
第8讲 元次等式(组)
六 知识清单梳理
知识点：等式基性质
关键点拨应举例
1等式相关概念
（1）等式：等号(＞≥＜≤≠)表示等关系式子
（2）等式解：等式成立未知数值
（3）等式解集：等式成立未知数取值范围
例：ab差1等式表示a－b≤1
2等式基性质
性质1：a＞b a±c>b±c
性质2：a＞bc>0ac>bc>
性质3：a＞bc<0ac
：等式－2x＞4中等式两边时－2x＜2
知识点二 ：元次等式
3定义
等号连接含未知数含未知数项次数1左右两边整式式子做元次等式
例：关x元次等式m值1
4解法
（1）步骤：分母括号移项合类项系数化1
失分点警示
系数化1时注意系数正负性系数负数等式改变方
（2）解集数轴表示
x≥a x＞a x≤a x＜a
知识点三 ：元次等式组定义解法
5定义
含未知数元次等式合起组成元次等式组．
（1）表示解集时≥≤表示含实心圆点表示＜＞表示包含空心圆点表示．
（2）已知等式（组）解集情况求字母系数时般先视字母系数常数逆等式（组）解集定义反推出含字母方程求出字母值
：已知等式（a1）x＜1a解集x＞1a取值范围a＜1
6解法
先分求出等式解集求出解集公部分
7等式组解集类型
假设a＜b
解集
数轴表示
口诀
x≥b
取
x≤a
取
a≤x≤b
中间找
解
取
知识点四 ：列等式解决简单实际问题
8列等式解应题
（1）般步骤：审题设未知数找出等式关系列等式解等式验检否意义
（2）应等式解决问题情况：
a关键词：含少（≥）（≤）低（≥）高（≤）（）超（＞）足（＜）等
b隐含等关系：更省钱更划算等方案决策问题般需根整数解出佳方案
注意：
列等式解决实际问题中设未知数时应带少等字眼方程中设未知数致
第9讲 面直角坐标系函数
七 知识清单梳理
知识点：面直角坐标系
关键点拨应举例
1相关概念
（1）定义：面公原点互相垂直两条数轴构成面直角坐标系．
（2）意义：坐标面意点M序实数(xy)关系应．
点坐标先读横坐标(x轴)读坐标(y轴)
2点坐标特征
( 1 )象限点坐标符号特征（图示）：
点P(xy)第象限⇔x＞0y＞0
点P(xy)第二象限⇔x＜0y＞0
点P（xy）第三象限⇔x＜0y＜0
点P（xy）第四象限⇔x＞0y＜0
（2） 坐标轴点坐标特征：
①横轴⇔y＝0②轴⇔x＝0③原点⇔x＝0y＝0
（3）象限角分线点坐标
①第三象限角分线点横坐标相等
②第二四象限角分线点横坐标互相反数
（4）点P（ab）称点坐标特征：
①关x轴称点P1坐标(a－b)②关y轴称点P2坐标(－ab)
③关原点称点P3坐标(－a－b)．
（5）点M（xy）移坐标特征：
M（xy） M1(x+ay)
M2(x+ay+b)
（1）坐标轴点属象限
（2）面直角坐标系中图形移图形点坐标变化情况相
（3）面直角坐标系中求图形面积时先观察求图形否规图形进步寻找求图形面积素找助割补法割补法秘诀点x轴y轴作垂线割补成直接计算面积图形解决
3坐标点距离问题
（1）点M(ab)x轴y轴距离：x轴距离|b|)y轴距离|a|．
（2）行x轴y轴直线两点间距离：
点M1(x10)M2(x20)间距离|x1－x2|点M1(x1y)M2(x2y)间距离|x1－x2|
点M1(0y1)M2(0y2)间距离|y1－y2|点M1(xy1)M2(xy2)间距离|y1－y2|．
行x轴直线点坐标相等行y轴直线点横坐标相等
知识点二：函 数
4函数相关概念
（1）常量变量：变化程中数值始终变量做常量数值发生变化量做变量．
（2）函数：变化程中两变量xyx值y唯确定值应称x变量yx函数．函数表示方法：列表法图法解析法
（3）函数变量取值范围：般原：整式全体实数分式分母零二次根式开方数非负数实际问题意义．
失分点警示
函数解析式时代数式函数变量取值范围应代数式中变量公部分 例：函数y中变量取值范围x≥3x≠5
5函数图象
（1）分析实际问题判断函数图象方法：
①找起点：结合题干中变量变量取值范围应图象中找应点
②找特殊点：交点转折点说明图象点处发生变化
③判断图象趋势：判断出函数增减性图象倾斜方
（2）图形（动点）背景判断函数图象方法：
①设时间t（线段长x）找变量t(x)间存函数关系含t(x)式子表示 找相应函数图象注意否需分类讨变量取值范围
读取函数图象增减性技巧：①函数图象左右呈升（降）状态时函数yx增增（减）②函数值变化越图象越陡峭③函数y值始终常数区间函数图象条行x轴线段
第10讲 次函数
八 知识清单梳理
知识点 ：次函数概念图象性质
关键点拨应举例
1次函数相关概念
（1）概念：般说形y＝kx＋b(k≠0)函数做次函数．特b ＝0时称正例函数．
（2）图象形状：次函数y＝kx＋b条点（0b）（bk0）直线特正例函数y＝kx图象条恒点（00）直线
例：k＝1时函数y＝kx＋k－1正例函数
2次函数性质
kb
符号
K＞0
b＞0
K＞0
b＜0
K＞0b0
k<0
b>0
k<0
b<0
k<0
b＝0
（1）次函数ykx+b中k确定倾斜方倾斜程度b确定y轴交点位置
（2）较两次函数函数值：性质法助函数图象运数值代入法
例：已知函数y－2x＋b函数值yx增减(填增减)．
致
图象
象限
二三
三四
三
二四
二三四
二四
图象性质
yx增增
yx增减
3次函数坐标轴交点坐标
(1)交点坐标：求次函数x轴交点需令y0解出x求y轴交点需令x0求出y次函数y＝kx＋b(k≠0)图象x轴交点y轴交点(0b)
(2)正例函数y＝kx(k≠0)图象恒点(00)．
例：
次函数y＝x＋2x轴交点坐标（20）y轴交点坐标（02）
知识点二 ：确定次函数表达式
4确定次函数表达式条件
（1）常方法：定系数法般步骤：
①设：设函数表达式y＝kx＋b(k≠0)
②代：已知点坐标代入函数表达式解方程方程组
③解：求出kb值函数表达式．
（2）常见类型：
①已知两点确定表达式②已知两函数应值确定表达式
③移转化型：已知函数y2x移点（01）设求函数解析式y2x+b点（01）坐标代入
(1)确定次函数表达式需两组条件确定正例函数表达式需组条件
(2)出次函数y轴交点坐标出b值b值坐标快速解题 已知次函数点（02）知b2
5次函数图象移
规律：①次函数图象移前k变两条直线通移知k值相
②移h单位b值增h移h单位b值减h
例：次函数y2x+4图象移2单位长度图象函数关系式y2x+2．
知识点三 ：次函数方程（组）等式关系
6次函数方程
元次方程kx+b0根次函数ykx+b（kb常数k≠0）图象x轴交点横坐标
例：
（1）已知关x方程ax+b0解x1函数yax+bx轴交点坐标（10）
（2）次函数y3x+12中x ＞4时y值负数．
7次函数方程组
yk2x+b
yk1x+b
二元次方程组 解两次函数yk1x+b yk2x+b图象交点坐标
8次函数等式
（1）函数ykx+b函数值y＞0时变量x取值范围等式kx+b＞0解集
（2）函数ykx+b函数值y＜0时变量x取值范围等式kx+b＜0解集
知识点四 ：次函数实际应
9般步骤
（1）设出实际问题中变量
（2）建立次函数关系式
（3）利定系数法求出次函数关系式
（4）确定变量取值范围
（5）利次函数性质求相应值求值进行检验否符合实际意义
（6）做答
次函数身没值实际问题中变量取值定限制图象射线线段涉值问题般思路：确定函数表达式→确定函数增减性→根变量取值范围确定值
10常见题型
（1）求次函数解析式
（2）利次函数性质解决方案问题
第11讲 反例函数图象性质
九 知识清单梳理
知识点：反例函数概念图象性质
关键点拨应举例
1反例函数概念
（1）定义：形y＝(k≠0)函数称反例函数k做例系数变量取值范围非零切实数．
（2）形式：反例函数三种基形式：
①y＝②ykx1 ③xyk(中k常数k≠0)
例：函数y3xm+1m－2时该函数反例函数．
2反例函数图象性质
k符号
图象
象限
yx变化情况
（1）判断点否反例函数图象方法：①点横坐标代入否满足解析式②点横坐标相判断积否等k
失分点警示
（2）反例函数值较时首先判断变量取值否号否象限运性质进行较画出草图直观判断
k>0
图象第三象限
（xy号）
象限函数y值x增减
k<0
图象第二四象限
（xy异号）
象限函数y值x增增
3反例函数图象特征
（1）两条曲线组成做双曲线
（2）图象两分支限接x轴y轴会x轴y轴相交
（3）图象中心称图形原点称中心轴称图形2条称轴分面直角坐标系三象限二四象限角分线．
例：(ab)反例函数图象(－a－b)该函数图象(填)
4定系数法
需知道双曲线意点坐标设函数解析式代入求出反例函数系数k
例：已知反例函数图象点（－3－1）解析式y3x
知识点二 ：反例系数意义次函数综合
5系数k意义
（1）意义：反例函数y＝(k≠0)图象意点x轴y轴作垂线垂线坐标轴围成矩形面积|k|该点垂足原点顶点三角形面积12|k|
（2）常见面积类型：
失分点警示
已知相关面积求反例函数表达式注意函数图象第二四象限k＜0
例：已知反例函数图象点作坐标轴垂线围成矩形3该反例函数解析式：
6次函数综合
（1）确定交点坐标：方法已知交点坐标（ab）根中心称性交点坐标（ab）方法二联立两函数解析式利方程思想求解
（2）确定函数解析式：利定系数法先确定交点坐标分代入两函数解析式中求解
（3）坐标系中判断函数图象：充分利函数图象字母系数关系采假设法分k＞0k＜0两种情况讨选项符合求逐选项判断排
（4）较函数值：通观察图象图象方值图象方值结合交点坐标确定出解集范围
涉面积关问题时①善点横坐标转化图形边长直接求面积分割转化较求三角形面积②注意系数k意义
例：图示三阴影部分面积序排列：S△AOCS△OPE＞S△BOD
知识点三：反例函数实际应
7 般步骤
（1题意找出变量变量间积关系
（2设出函数表达式
（3）题意求解函数表达式
（4）根反例函数表达式性质解决相关问题
第12讲 二次函数图象性质
十 知识清单梳理
知识点：二次函数概念解析式
关键点拨应举例
1次函数定义
形y＝ax2＋bx＋c (abc常数a≠0)函数做二次函数
例：果函数y(a－1)x2二次函数a取值范围a≠0
2解析式
（1）三种解析式：①般式：yax2+bx+c②顶点式：ya(xh)2+k(a≠0)中二次函数顶点坐标（hk） ③交点式：ya(xx1)(xx2)中x1x2抛物线x轴交点横坐标
（2）定系数法：巧设二次函数解析式根已知条件关定系数方程（组）解方程（组）求出定系数值求出函数解析式
已知条件图象三点三应函数值设般式已知顶点坐标称轴方程值设顶点式已知抛物线x轴两交点坐标设交点式
知识点二 ：二次函数图象性质
3二次函数图象性质
图象
（1）较二次函数函数值方法：①直接代入求值法②性质法：变量称轴侧时根函数性质判断变量称轴异侧时先利函数称性转化侧利性质较④图象法：画出草图描点较函数值
失分点警示
（2）变量限定范围求二次函数值时首先考虑称轴否取值范围盲目根公式求解
例：0≤x≤5时抛物线yx2+2x+7值7
开口
称轴
x＝
顶点坐标
增减性
x>时yx增增x＜时yx增减
x>时yx增减x＜时yx增增
值
xy＝
xy＝
3系数abc
a
决定抛物线开口方开口
a＞0时抛物线开口
a＜0时抛物线开口
某特殊形式代数式符号：
① a±b+cx±1时y
值②4a±2b+cx±2时y值
③ 2a+b符号需判断称
轴b2a1称轴直线x1左边b2a＞1根a符号出结果④2ab符号需判断称轴1
a b
决定称轴（xb2a）位置
ab号b2a＜0称轴y轴左边
b＝0时 b2a0称轴y轴
ab异号b2a＞0称轴y轴右边．
c
决定抛物线y轴交点位置
c＞0时抛物线y轴交点正半轴
c＝0时抛物线原点
c＜0时抛物线y轴交点负半轴
b2－4ac
决定抛物线x轴交点数
b2－4ac＞0时抛物线x轴2交点
b2－4ac＝0时抛物线x轴1交点
b2－4ac＜0时抛物线x轴没交点
知识点三 ：二次函数移
4移解析式关系
注意：二次函数移实质顶点坐标移找出原函数顶点移方式确定移函数解析式
失分点警示：
抛物线移规律加减左加右减左右移易弄反
例：抛物线yx2x轴右移2单位抛物线解析式y（x－2）2．
知识点四 ：二次函数元二次方程等式
5二次函数元二次方程
二次函数yax2＋bx＋c(a≠0)图象x轴交点横坐标元二次方程ax2+bx+c0根
Δ＝b2－4ac＞0两相等实数根
Δ＝b2－4ac＝0两相等实数根
Δ＝b2－4ac＜0实根
例：已二次函数yx23x+m(m常数)图象x轴交点（10）关x元二次方程x23x+m0两实数根21
6二次函数等式
抛物线y ax2＋bx＋c＝0x轴方部分点坐标正应x值等式ax2＋bx＋c＞0解集x轴方部分点坐标均负应x值等式ax2＋bx＋c＜0解集
第13讲 二次函数应
十 知识清单梳理
知识点：二次函数应
关键点拨
实物抛物线
般步骤
题目中未出坐标系需建立坐标系求解建立原：①建立坐标系求出二次函数表达式较简单②已知点位置适（x轴y轴原点抛物线等）方便求二次函数丶表达式计算求解
① 题意结合函数图象求出函数解析式
②确定变量取值范围
③根图象结合求解析式解决问题
实际问题中
求值
① 分析问题中数量关系列出函数关系式
② 研究变量取值范围
③ 确定函数
④ 检验x值否变量取值范围求相关值
⑤解决提出实际问题
解决值应题注意两点：
①设未知数某某值时什（）设问中某某设变量什设函数
②求解值时定考虑顶点（横坐标）取值否变量取值范围
结合图形
① 根图形性质探求图形中关系式
② 根图形关系式确定二次函数解析式
③ 利配方法等确定二次函数值解决问题
面积等两条边积问题面积值问题通常会通二次函数解决样需注意变量取值范围
第四单元 图形初步认识三角形
第14讲 面图形相交线行线
十二 知识清单梳理
知识点：直线线段射线
关键点拨
1
基事实
（1）直线基事实：两点条直线．
（2）线段基事实：两点间线段短．
例：墙壁固定根横放木条少需2枚钉子两点确定条直线
知识点二 ：角角分线
2概念
（1）角：公端点两条射线组成图形．
（2）角分线：角部角顶点端点角分成两相等角射线
例：
（1）15°25＇＝155°
37°24＇45＇＇＋32°48＇49＇＇＝70°13＇34＇＇
（2）32°余角58°32°补角148°
3角度量
1°＝60′1′＝60＇＇1°＝3600＇＇
4余角补角
( 1 ) 余角：∠1＋∠2＝90°⇔∠1∠2互余角
( 2 ) 补角：∠1＋∠2＝180°⇔∠1∠2互补角
（3）性质：角(等角)余角相等角(等角)补角相等．
知识点三 ：相交线行线
5三线八角
（1）位角：形F（2）错角：形Z(3)旁角：形U
角位角错角旁角止注意方位观察
6顶角邻补角
（1）概念：两条直线相交公顶点没公边两角做顶角
（2）性质：顶角相等邻补角180°
例：面中三条直线相交1点图中6组顶角
7垂线
（1）概念：两条直线互相垂直中条直线做条直线垂线．
（2）性质：①点条直线已知直线垂直．
②垂线段短．
（3）点直线距离：直线外点条直线垂线段长度
例：图示点 ABC距离AB点BAC距离BD点CAB距离BC
8行线
（1）行线性质判定
①位角相等两直线行
②错角相等两直线行
③旁角互补两直线行
（2）行公理推
①直线外点条直线已知直线行．
②行条直线两直线行．
（1）果出现两条行线中条折线截般通折点作已知直线行线
（2）行线查考时通常会结合顶角角分线三角形角三角形外角性质解题时注意性质综合运
知识点四 ：命题证明
9命题证明
（1）概念：某事件作出正确正确判断语句(式子)做命题正确命题称真命题错误命题称假命题
（2）命题结构：题设结两部分组成命题常写成果pq形式中p题设q结
（3）证明：命题题设出发通推理判断命题否成立程证明命题假命题时举出反例署名命题成立
例：列命题假命题( ③ )
①相等角定顶角
②角补角相等
③果某命题真命题逆命题真命题
④某命题定理该命题定真命题
第15讲 般三角形性质
十三 知识清单梳理
知识点：三角形分类性质
关键点拨应举例
1三角形分类
（1）角关系分类 （2）边关系分类
失分点警示：
运分类讨思想计算等腰三角形周长时必须考虑三角形三边关系
例：等腰三角形两边长分36该三角形周长15
2三边关系
三角形意两边第三边意两边差第三边．
3角关系
（1）角定理：
①三角形角等180°
②推：直角三角形两锐角互余
（2）外角性质：
①三角形外角等相邻两角
②三角形意外角相邻角
利三角形外角性质求角度时条件含例倍分关系等列方程求解会更简便时会结合行折叠等腰（边）三角形性质求解
4三角形中重线段
四线
性 质
（1）角分线高结合求角度时注意运三角形角180°隐含条件
（2）三角形中出现两条高求长度时注意运面积中间量列方够求解
角分线
（1） 角线点角两边距离相等
（2） 三角形三条角分线相交点（心）
中线
（1） 三角形面积等分
（2） 直角三角形斜边中线等斜边半
高
锐角三角形三条高相交三角形部直角三角形三条高相交直角顶点钝角三角形三条高相交三角形外部
中位线
行第三边等第三边半
5 三角形中外角角分线规律总结
图①AD分∠BACAE⊥BC∠α∠BAC∠CAE(180°∠B∠C）（90°∠C）(∠C∠B）
图②BOCO分∠ABC∠ACB分线∠O∠A+90°
图③BOCO分∠ABC∠ACD∠OCD分线∠O∠A∠O’∠O
图④BOCO分∠CBD∠BCE分线∠O90°∠A
解答选择填空题直接通结解题会起事半功倍效果
知识点二 ：三角形全等性质判定
6全等三角形性质
(1)全等三角形应边应角相等．
(2)全等三角形应角分线应中线应高相等．
(3)全等三角形周长等面积等．
失分点警示：运全等三角形性质时注意找准应边应角
7三角形全等判定
般三角形全等
SSS（三边应相等）
SAS（两边夹角应相等）
ASA（两角夹角应相等）
AAS（两角中角边应相等）
失分点警示
图SSAAAA判定两三角形全等
直角三角形全等
(1)斜边条直角边应相等（HL）
(2)证明两直角三角形全等样 SASASAAAS
8全等三角形运
（1）利全等证明角边相等求线段长求角度：特征边角放两全等三角形中通证明全等结寻求全等条件时注意公角公边顶角等银行条件
（2）全等三角形中辅助线作法：
①直接连接法：图①连接公边构造全等
②倍长中线法：证明线段等关系图②SAS△ACD≌△EBDACBE△ABE中AB+BE＞AEAB+AC＞2AD
③截长补短法：适合证明线段差关系图③④
例：
图△ABC中已知∠1∠2BECDAB5AE2CE3
第16讲 等腰等边直角三角形
十四 知识清单梳理
知识点：等腰等边三角形
关键点拨应举例
1等腰三角形
（1）性质
①等边等角：两腰相等底角相等AB＝AC∠B＝∠C
②三线合：顶角分线底边中线底边高
互相重合
③称性：等腰三角形轴称图形直线AD称轴
（2）判定
①定义：两边相等三角形等腰三角形
②等角等边：∠B＝∠C△ABC等腰三角形
（1）三角形中垂线角分线中线等腰四条件中满足中两余均成立 ：左图已知AD⊥BCDBC中点三角形形状等腰三角形
失分点警示：等腰三角形腰底明确时需分类讨 等腰三角形ABC角30°外两角度数30°120°75°75°
2等边三角形
（1）性质
①边角关系：三边相等三角相等等60°
AB＝BC＝AC∠BAC＝∠B＝∠C＝60°
②称性：等边三角形轴称图形三条高线(角分线中线)直线称轴
（2）判定
①定义：三边相等三角形等边三角形
②三角相等（均60°）三角形等边三角形
③角60°等腰三角形等边三角形AB＝AC∠B＝60°△ABC等边三角形
（1）等边三角形特殊等腰三角形等边三角形满足三线合性质
（2）等边三角形特殊角60°等边三角形出现高时会结合直角三角形30°角性质BD12AB
例：△ABC中∠B60°ABACBC3△ABC周长9
知识点二 ：角分线垂直分线
3角分线
（1）性质：角分线点角两边距离相等．
∠1 ＝∠2PA⊥OAPB⊥OBPA＝PB
（2）判定：角部角两边距离相等点角角
分线．
例：图△ABC中∠C90°∠A30°AB垂直分线交ACD交ABECD2AC6
4垂直分线图形
（1）性质：线段垂直分线点条线段两端点距离相等．OP垂直分ABPA＝PB
（2）判定：条线段两端点距离相等点条线段垂直分线．
知识点三：直角三角形判定性质
5直角三角形性质
(1)两锐角互余∠A＋∠B＝90°
(2) 30°角直角边等斜边半∠B＝30°AC＝AB
(3) 斜边中线长等斜边长半．CD中线CD＝AB
(4) 勾股定理：两直角边ab方等斜边c方． a2＋b2＝c2
（1）直角三角形面积S12ch12ab(中ab直角边c斜边h斜边高)利公式助面积中间量解决高相关求长度问题
（2）已知两边利勾股定理求长度斜边明确应分类讨
（3）折叠问题中求长度需结合勾股定理列方程解决
6直角三角形判定
(1) 角直角三角形直角三角形∠C＝90°△ABCRt△
(2) 果三角形条边中线等条边半三角形直角三角形．AD＝BD＝CD△ABCRt△
(3) 勾股定理逆定理：a2＋b2＝c2△ABCRt△
第17讲 相似三角形
十五 知识清单梳理
知识点：例线段
关键点拨应举例
1 例
线段
四条线段abcd中果ab等cd四条线段abcd做成例线段简称例线段．
列例等式时注意四条线段序防止出现例混乱
2例
基性质
(1)基性质：⇔ ad＝bc（bd≠0）
(2)合性质：⇔＝（bd≠0）
(3)等性质：＝…＝＝k(b＋d＋…＋n≠0)⇔
＝k（bd···n≠0）
已知例式值求相关字母代数式值常引入参数法量统含参数式子表示求代数式值出字母中 表示出字母代入求解题设a3kb5k代入求式子原式变形a35b代入求解
例：
3行线分线段成例定理
（1）两条直线组行线截应线 段成例图示l3∥l4∥l5
利行线截线段成例求线段长线段时注意根图形列出例等式灵活运例基性质求解
例：图已知DE分△ABC边BCAC点AE2CE3DE∥ABBC：CD应等
（2）行三角形边直线截两边(两边延长 线)应线段成例
图示AB∥CD
（3）行三角形边直线两边相交构成三角形原三角形相似．
图示DE∥BC△ADE∽△ABC
4黄金分割
点C线段AB分成两条线段ACBC果＝≈0618线段AB点C黄金分割．中点C做线段AB黄金分割点ACAB做黄金．
例：长10cm线段进行黄金分割较长线段长5(－1)cm．
知识点二 ：相似三角形性质判定
5相似三角形判定
(1) 两角应相等两三角形相似(AAA)
图∠A＝∠D∠B＝∠E△ABC∽△DEF
判定三角形相似思路：①条件中行
线行线找出相等角判定②条
件中等角找等角找
夹等角两组边应成例③条件中
两边应成例找夹角相等④条件
中直角考虑找等角证
明直角边斜边应成例⑤条件中
等腰关系找顶角相等找底角相等
找底腰应成例
(2) 两边应成例夹角相等两三角形相似． 图∠A＝∠D△ABC∽△DEF
(3) 三边应成例两三角形相似．图△ABC∽△DEF
6相似
三角形性质
(1)应角相等应边成例．
(2)周长等相似面积等相似方．
(3)相似三角形应高应角分线应中线等相似．
例：(1)已知△ABC∽△DEF△ABC周长3△DEF周长2△ABC△DEF面积9：4
(2) 图DE∥BC AF⊥BC已知S△ADES△ABC14AFAG1：2
7相似三角形基模型
（1）熟悉利利相似求解问题基图形迅速找解题思路事半功倍
（2）证明等积式者例式般方法：常等积式化例式例式四条线段分做两三角形应边然通证明两三角形相似出结果
第18讲 解直角三角形
十六 知识清单梳理
知识点：锐角三角函数定义
关键点拨应举例
1锐角三角函数
正弦 sinA＝＝
余弦 cosA＝＝
正切 tanA＝＝
根定义求三角函数值时定根题目图形理解严格三角函数定义求解时需通辅助线构造直角三角形
2特殊角三角函数值
度数
三角函数
30°
45°
60°
sinA
cosA
tanA
1
知识点二 ：解直角三角形
3解直角三角形概念
直角三角形中直角外五元素三条边两锐角直角三角形中直角外已知元素求出未知元素程做解直角三角形．
科学选择解直角三角形方法口诀：
已知斜边求直边正弦余弦方便
已知直边求直边理然正切
已知两边求边勾股定理方便
已知两边求角函数关系记牢
已知锐角求锐角互余关系少
已知直边求斜边需正余弦
例：Rt△ABC中已知a5sinA30°c10b5
4解直角三角形常关系
(1)三边间关系：a2＋b2＝c2
(2)锐角间关系：∠A＋∠B＝90°
(3)边角间关系：sinA＝cosBcosA＝sinB
tanA＝
知识点三 ：解直角三角形应
5仰角俯角坡度坡角方角
(1)仰俯角：视线水线方角做仰角视线水线方角做俯角．（图①）
(2)坡度：坡面铅直高度水宽度做坡度(者做坡)字母i表示． 坡角：坡面水面夹角做坡角α表示i＝tanα （图②）
(3)方角：面通观察点Ο作条水线(右东)条铅垂线(北)点O出发视线水线铅垂线夹角做观测方角．（图③）
解直角三角形中双直角三角形基模型：
（1） 叠合式 （2）背式
解题方法：两种模型种条公直角边解题时通条边中介两三角形中次求边通公边相等列方程求解
6解直角三角形实际应般步骤
(1)弄清题中名词术语根题意画出图形建立数学模型
(2)条件转化图形中边角间关系实际问题转化解直角三角形问题
(3)选择合适边角关系式运算简便准确
(4)出数学问题答案检验答案否符合实际意义问题解．
第五单元 四边形
第19讲 边形行四边形
十七 知识清单梳理
知识点：边形
关键点拨应举例
1边形相关概念
（1）定义：面段线首尾次相接组成封闭图形做边形．
（2）角线：n边形顶点引(n－3)条角线角线边形分成(n－2)三角形n边形角线条数．
边形中求度数时灵活选择公式求度数解决边形角问题时数列方程求解
例：
(1)边形角1440°边形边数10．
(2)边形顶点出发引角线边形分割成7三角形该边形九边形．
2边形角外角
( 1 ) 角：n边形角公式(n－2)·180°
（2）外角：意边形外角360°
3正边形
（1）定义：边相等角相等边形
（2）正n边形角外角360°n
( 3 ) 正n边形n条称轴
（4）正n边形n奇数时轴称图形n偶数时轴称图形中心称图形
知识点二 ：行四边形性质
4行四边形定义
两组边分行四边形做行四边形行四边形□表示
利行四边形性质解题时常结方法：
（1）行四边形相邻两边等周长半
（2）行四边形中相等边角行关系常需结合三角形全等解题
（3）行四边形称中心直线等分行四边形面积周长
例：
图□ABCD中EF角线交点OAB4AD3OF13四边形BCEF周长96
5行四边形性质
（1） 边：两组边分行相等
AB∥CD AB＝CDBC∥ADAD＝BC
（2）角：角相等邻角互补
∠BAD＝∠BCD∠ABC＝∠ADC
∠ABC＋∠BCD＝180°∠BAD＋∠ADC＝180°
（3）角线：互相分OA＝OCOB＝OD
（4）称性：中心称轴称
6行四边形中解题模型
（1）图①AF分∠BAD利行线性质结合等角等边△ABF等腰三角形ABBF
（2）行四边形条角线分两全等三角形图②中△ABD≌△CDB
两条角线行四边形分两组全等三角形图②中△AOD≌△COB△AOB≌△COD
根行四边形中心称性称中心O线段角线组成居中心称位置三角形全等图②△AOE≌△COF图②中阴影部分面积行四边形面积半
（3） 图③已知点EAD点根行线间距离处处相等S△BECS△ABE+S△CDE
（4） 根行四边形面积求法AE·BCAF·CD
知识点三 ：行四边形判定
7行四边形判定
（1）方法（定义法）：两组边分行四边形行四边形
AB∥CDAD∥BC四边形ABCD□
（2）方法二：两组边分相等四边形行四边形
AB＝CDAD＝BC四边形ABCD□
（3）方法三：组边行相等四边形行四边形
AB＝CDAB∥CDADBCAD∥BC四边形ABCD□
（4）方法四：角线互相分四边形行四边形
OA＝OCOB＝OD四边形ABCD□
（5）方法五：两组角分相等四边形行四边形
∠ABC＝∠ADC∠BAD＝∠BCD四边形ABCD□
例：图四边形ABCD角线相交点OAOCO请添加条件BODOAD∥BCAB∥CD（添加）四边形ABCD行四边形
第20讲 特殊行四边形
知识清单梳理
知识点：特殊行四边形性质判定
关键点拨应举例
1性质
（具行四边形切性质边行相等）
矩 形
菱 形
正方形
(1)矩形中Rt△ABD≌Rt△DCA≌Rt△CDB≌Rt△BAC _两 全等等腰三角形常结合勾股定理等腰三角形性质解题
（2）菱形中两全等等腰三角形Rt△ABO≌Rt△ADO≌Rt△CBO≌Rt△CDO∠ABC60°△ABC△ADC 等边 三角形四直角三角形中30°锐角
（3）正方形中8等腰直角三角形解题时结合等腰直角三角形锐角45°斜边直角边
（1）四角直角
（2）角线相等互相分
AOCOBODO
（3）面积长×宽
2S△ABD4S△AOB
（1）四边相等
（2）角线互相垂直分条角线分组角
（3）面积底×高
角线_积半
(1)四条边相等四角直角
(2)角线相等互相垂直分
(3)面积边长×边长
2S△ABD
4S△AOB
2判定
（1）定义法：角直角行四边形
（2）三角直角
（3）角线相等行四边形
（1）定义法：组邻边相等行四边形
（2）角线互相垂直行四边形
（3）四条边相等四边形
（1）定义法：角直角组邻边相等行四边形
（2）组邻边相等矩形
（3）角直角菱形
（4）角线相等互相垂直分
例：判断正误
邻边相等四边形菱形（ ）
三角直角四边形式矩形
（ ）
角线互相垂直分四边形菱形 （ ）
边相等矩形正方形（ ）
3联系
包含关系：
知识点二：特殊行四边形拓展纳
4中点四边形
（1）意四边形中点四边形定行四边形
（2）角线相等四边形中点四边形矩形
（3）角线互相垂直四边形中点四边形菱形
（4）角线互相垂直相等四边形中点四边形正方形
图四边形ABCD菱形中点四边形EFGD形状矩形
5特殊四边形中解题模型
（1）矩形：图①EAD意点EF矩形中心O△AOE≌△COFS1S2
（2）正方形图②EF⊥MNEFMN图③PAD边意点PE+PFAO （变式：图④四边形ABCD矩形PE+PF求法利面积法需连接PO）
图① 图② 图③ 图④
第六单元 圆
第21讲 圆基性质
十八 知识清单梳理
知识点：圆关概念
关键点拨应举例
1圆关概念性质
（1）圆：面定点距离等定长点组成
图形．图示圆记做⊙O
（2）弦直径：连接圆意两点线段做弦
圆心弦做直径直径圆长弦
（3）弧：圆意两点间部分做弧半圆
弧做劣弧半圆弧做优弧
（4）圆心角：顶点圆心角做圆心角
（5）圆周角：顶点圆两边圆
交点角做圆周角
（6）弦心距：圆心弦距离
（1）圆心直线该圆称轴圆称轴数条
（2）3点确定圆1点2点圆数
（3）意三角形三顶点确定圆该三角形外接圆
知识点二 ：垂径定理推
2垂径定理推
定理
垂直弦直径分条弦分弦两条弧．
关垂径定理计算常勾股定理相结合解题时需添加辅助线般圆心作弦垂线构造直角三角形
推
(1)分弦(直径)直径垂直弦分弦两条弧
(2)弦垂直分线圆心分弦两条弧
延伸
根圆称性图示五条结中：
① 弧AC弧BC
②弧AD弧BD
③AEBE
④AB⊥CD⑤CD直径
满足中两外三结定成立推二知三
知识点三 ：圆心角弧弦关系
3圆心角弧弦关系
定理
圆等圆中相等圆心角弧相等弦相等．
圆心角弧弦间等量关系必须圆等式中成立
推
圆等圆中果两圆心角两条弧两条弦中组量相等应余组量分相等．
知识点四 ：圆周角定理推
4圆周角定理推
（1）定理：条弧圆周角等圆心角半 图a
∠A12∠O
图a 图b 图c
( 2 )推：
① 圆等圆中弧等弧圆周角相等图b∠A∠C
② 直径圆周角直角图c∠C90°
③ 圆接四边形角互补图a∠A+∠C180°∠ABC+∠ADC180°
圆中求角度时通常需通圆性质进行转化圆心角圆周角间转化弧等弧圆周角间转化连直径直角三角形通两锐角互余进行转化等
例：图AB⊙O直径CD⊙O两点∠BAC40°∠D度数130°．
第22讲 圆关位置关系
十九 知识清单梳理
知识点：圆关位置关系
关键点拨应举例
1点圆位置关系
设点圆心距离d
(1)d
判断点圆间位置关系该点圆心距半径作较
2直线圆位置关系
位置关系
相离
相切
相交
圆轴称中心称图形关圆位置计算题中常常出现分类讨解情况
例：已知：⊙O半径2圆心直线l距离1直线l垂直l方移l⊙O相切移距离13
图形
公点数
0
1
2
数量关系
d＞r
d＝r
d＜r
知识点二 ：切线性质判定
3切线
判定
（1）圆公点直线圆切线（定义法）
（2）圆心距离等半径直线圆切线
（3）半径外端点垂直条半径直线圆切线
切线判定常证明方法：①知道直线圆公点时连半径证垂直②知道直线圆没公点时作垂直证垂线段等半径
4切线
性质
（1）切线圆公点
（2）切线圆心距离等圆半径
（3）切线垂直切点半径
利切线性质解决问题时通常连切点半径利直角三角形性质解决问题
*5切线长
（1）定义：圆外点作圆切线点切点间线段长做点圆切线长
（2）切线长定理：圆外点引圆两条切线两切线长相等圆心点连线分两条切线夹角
例：图ABACDB⊙O切线PCD切点果AB5AC3BD长2
知识点四 ：三角形圆
5三角形外接圆
图形
相关概念
圆心确定
外心性质
切圆半径三角形边关系：
（1）意三角形切圆（图a）设三角形周长CS△ABC12Cr
（2）直角三角形切圆（图b）
①切线长定理推导r12(a+b+c)面积推导r两种结做选择题填空题时直接应
例：已知△ABC三边长a3b4c5外切圆半径25
三角形定点圆做三角形外接圆外接圆圆心做三角形外心三角形做圆接三角形
三角形三条垂直分线交点
三角形三顶点距离相等
6三角形切圆
三角形边相
切圆三角形
切圆切圆
圆心做三角形
心三角形
圆外切三角形
三角形三条角分线交点
三角形三条边距离相等
第七单元 图形变换
第24讲 移称旋转位似
二十 知识清单梳理
知识点：图形变换
关键点拨应举例
1图形轴称
（1）定义：①轴称：图形某条直线翻折果够图形重合称两图形关条直线称．
②轴称图形：果面图形着条直线折叠直线两旁部分够重合图形做轴称图形条直线做称轴
（2）性质：果两图形关某直线称称轴应点连线段垂直分线反成轴称两图形中应点连线称轴垂直分
常见轴称图形：等腰三角形菱形矩形正方形正六边形圆等
2图形移
（1）定义：面某图形某方移动定距离样图形运动称移．
（2）性质：①移应线段相等行应点连线段相等行②移应角相等应角两边分行方相
③移改变图形形状 改变图形位置移新旧两图形全等．
画位似图形般步骤：①确定位似中心②分连接延长位似中心代表原图关键点③根相似确定代表作位似图形关键点次连接述点放缩图形．
3图形旋转
（1）面图形绕定点某方旋转角度样图形运动称旋转定点称旋转中心转动角度称旋转角．
（2）性质：①图形旋转程中图形点绕旋转中心相方转动相角度②注意应点旋转中心连线成角度旋转角旋转角相等③应点旋转中心距离相等．
4图形中心称
（1）图形绕着某点旋转180°果够图形重合两图形关点称中心称该点做称中心．
（2）①关中心称两图形全等形②关中心称两图形称点连线称中心称中心分③关中心称两图形应线段行（者直线）相等
5图形位似
（1）果两边形仅相似应顶点连线相交点样图形做位似图形点做位似中心．
（2）性质：①应角相等应边等位似②位似图形意应点位似中心距离等位似．
知识点二 ：网格作图
2坐标图形位置运动
图形移变换
面直角坐标系果图形点横坐标加(减)正数a相应新图形原图形右(左)移a单位长度果点坐标加(减)正数a相应新图形原图形()移a单位长度．
面直角坐标系中网格中作已知图形变换年安徽必考题型注意根图形变化性质先确定图形变换应点然次连接应点
例：面直角坐标系中条线段AB中A（21）B（20）原点O位似中心相似2：1线段AB放线段A′B′A′点坐标（42）（42）
图形关坐标轴成称变换
面直角坐标系果两图形关x轴称两图形应点横坐标相等坐标互相反数
面直角坐标系果两图形关y轴称两图形应点横坐标互相反数坐标相等．
图形关原点成中心称
面直角坐标系果两图形关原点成中心称两图形应点横坐标互相反数坐标互相反数．
图形关原点成位似变换
面直角坐标系果两图形位似中心原点相似k两位似图形应点坐标等k－k．
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