陷阱1 概念陷阱题——概念明确
典例1 已知数集Ω{a1a2…an}(1≤a1①{134}权集 ②{1236}权集
③权集中元素0 ④权集中定元素1
中正确命题序号( )
A①③ B②④ C①②③ D②③④
错分析 正确理解权集定义求命题判断错误
正确解析 3×443均属数集{134}①错误1×21×31×62×3626311223366属{1236}②正确权集定义知ajai意义权集中元素0③错误权集定义知权集中定元素1④正确选B
误区警示 求解集合新定义问题关键理解集合新定义特点新定义叙述问题质弄清楚够应具体解题程中题中集合Ω权集求数集Ω具性质P包含两点信息分式ajai意义集合Ω元素中含0二求aiajajai两数中少属集合Ω解题时果提炼出性质P含准确信息问题选项法正确判断
典例2 基尼系数衡量国家贫富差距标准图221中横轴OH表示口(收入低高分组)累积百分轴OM表示收入累积百分弧线OL(称洛伦兹曲线)角线间区域A面积作等面积折线段OHL角线间区域A+B面积作完全等面积等面积完全等面积值基尼系数
图221
(1)洛伦兹曲线角线时社会达富裕社会义国家目标时基尼系数等
(2)估计目前国基尼系数统计洛伦兹曲线采机模拟方法机产生两数组成点(ab)(中ab∈[0100])产生1 000点恰300点落区域B中估计该基尼系数
错分析 准确理解基尼系数富裕等基概念找问题求解方
正确解析 (1)定义知基尼系数区域A面积区域AB面积洛伦兹曲线角线时区域A面积0时基尼系数0
(2)概型知1 000点中300点落区域B区域B面积约占正方形面积310区域A面积正方形面积210△OLH面积410该基尼系数约04
误区警示 题道新情境定义题求解前提根题设条件出图形正确理解相关定义洛伦兹曲线等面积完全等面积基尼系数富裕具体求解程中问题目标第(1)问社会达富裕求洛伦兹曲线角线画出应图形找解题方原第(2)问概型计算需利相关图形面积进行推理理清相关图形间面积转换法进行求解原
陷阱2 图解陷阱题——作图图准确
典例3 直线ykx曲线ye|ln x||x2|3公点时实数k取值范围( )
A(01) B(01] C(1+∞) D[1+∞)
错分析 理清掉绝值函数解析式导致正确画出曲线ye|ln x||x2|
正确解析 画出函数ye|ln x||x2|1x+x20
图222
误区警示 题研究直线曲线交点数问题般思路利图法求解先画出曲线直线旋转程中曲线3交点时参数k取值范围求解误区两方正确画出函数ye|ln x||x2|图二握准直线ykx旋转方
典例4 函数f(x)xcos x(0+∞)全部极值点序排列a1a2…an…意正整数n必( )
AπC0错分析 会函数yf(x)极值点转化成相关函数图应交点知道判断an+1an范围
图223
正确解析 f(x)求导f ＇(x)cos xxsin x令f ＇(x)01xtan x函数y1xytan x部分图图223示anan+1两函数图相邻交点横坐标函数y1x(0+∞)减函数着n增加
an越越接周期零点(ytan x零点)an+1an<πanan+1周期零点右侧an+1an>π2选B
误区警示 题解题误区找问题求解方求解法进行样理解函数f(x)xcos x(0+∞)全部极值点序排列an数学意义什判断an+1an范围需结合图进行分析
陷阱3 思维陷阱题——思考问题严谨
典例5 观察列等式
11 131
1+23 13+239
1+2+36 13+23+3336
1+2+3+410 13+23+33+43100
1+2+3+4+515 12+23+33+43+53225
… …
推测13+23+33+…+n3 (n∈N*含n代数式表示)
错分析 会结合题设条件出两组等式找间关联进行推测
正确解析 分析条件等式发现13113+239(1+2)213+23+3336(1+2+3)213+23+33+43100(1+2+3+4)2推测13+23+33 +…+n3(1+2+3+…+n)214n2(n+1)2填14n2(n+1)2
误区警示 题道合情推理问题合情推理问题求解误区题设条件出等式中找等式间联系结构特点找推测方题结合等式结构特点发现间关联右边数表中然数立方值应左边数表中然数出应推测等式
典例6 实数x满足0≤y<1xy整数实数y称实数x数部分符号表示已知穷数列{an}满足条件 ①a1②an+1<1an>(an≠0)0(an0)
(1)a2时数列{an}通项公式
(2)a>13时意n∈N*anaa值
错分析 准确理解实数x数部分正确利数列{an}递推关系解题出错原
正确解析 (1)a2时a1<2>21a2<121><2+1>21an21
(2)a>13时ana知a<1a1a2<1a>1a∈(13)
①1a∈(12)时a2<1a>1a11a1a解a512a5+12(舍)
②1a∈[23)时a2<1a>1a21a2a解a21a21(舍)综a21a512
误区警示 题新定义实数x数部分数列递推式相结合考查定综合性中理解实数x数部分解题跳出误区关键题求解第易错点易忽视题中出两制约条件①初始值a1②递推关系中an≠0时an+1<1an>展开推理第二易错点第(2)问中a>131a∈(13)知道意义1a进行分类讨
陷阱4 特例陷阱题——特殊情况谨记
典例7 已知f(x)定义R恒零函数意ab∈R满足f(a·b)af(b)+bf(a)f(3)3anf(3n)n
(1)f(13)
(2)数列{an}通项公式
错分析 面题设条件出抽象函数关系式f(a·b)af(b)+bf(a)知道目标式f(13)f(3n)形成联系
正确解析 (1)令ab1f(a·b)af(b)+bf(a)知f(1)2f(1)f(x)定义R恒零函数解f(1)0f(3)3f(1)f(3×13)3f(13)+13f(3)0f(13)13
(2)f(13n)f(13×13n1)13f(13n1)13n13[13f(13n2)13n1]13n132f(13n2)23n…13n1f(13)n13nn3nanf(3n)n13n
误区警示 求解抽象函数问题时赋值法问题突破关键题思维误区知道变量ab赋值解题时验感觉ab011尝试赋值目标函数中131形成联系13×13正确方处理抽象函数问题时常见错误
典例8 已知抛物线y22px(p>0)焦点F椭圆C焦点重合抛物线准线C相交点(122)
(1)求p值椭圆C方程
(2)点F否存直线l椭圆C交MN两点MN角线正方形第三顶点恰y轴存求出直线l方程存请说明理
错分析 直线x轴重合垂直时会条件MN角线正方形第三顶点恰y轴量关系RM·RN0进找求直线l斜率k方程
正确解析 (1)题意设椭圆C方程x2a2+y2b21(a>b>0)
抛物线准线C相交点(122)
知p21
p2
知抛物线焦点F(10)
c1
点(122)代入椭圆方程1a2+12b21
a2b2c21解a22b21
求椭圆C方程x22+y21
(2)直线lx轴重合时ly0时M(20)N(20)
MN角线正方形外两顶点坐标(02)(02)符合题意
直线lx轴垂直时lx1时M(122)N(122)
MN角线正方形外两顶点坐标(1+220)(1220)符合题意
直线lx轴重合垂直时妨设直线lyk(x1)(k≠0)
设M(x1y1)N(x2y2)线段MN中点Q(x1+x22k(x1+x221))
联立x22+y21yk(x1)消y(2k2+1)x24k2x+2k220
根系数关系x1+x24k22k2+1x1x22k222k2+1
Q(2k22k2+1k2k2+1)
线段MN中垂线l＇方程y+k2k2+11k(x2k22k2+1)
yxk+k2k2+1令x0直线l＇y轴交点R(0k2k2+1)
题意知MN角线正方形第三顶点恰y轴仅RM⊥RNRM·RN(x1y1k2k2+1)·(x2y2k2k2+1)0
x1x2+y1y2k2k2+1(y1+y2)+k2(2k2+1)20 ①
y1y2k2[x1x2(x1+x2)+1]k22k2+1y1+y2k(x1+x22)2k2k2+1 ②
②代入①解k±1时直线l方程y±(x1)
综求直线l方程x0xy10x+y10
误区警示 题探索性问题探求满足MN角线正方形第三顶点恰y轴时否存焦点F直线l方程涉直线方程问题常见错误容易遗漏斜率k讨题中针斜率k应分三种情况讨直线lx轴重合直线lx轴垂直直线lx轴重合垂直
陷阱5 漏解陷阱题——问题分类全面
典例9 函数ycos 2x图右移π6单位直线ym1(m≠0)相交记图y轴右侧第n(n∈N*)交点横坐标an数列{an}等差数列m取值( )
A±1 B±2 C12 D12
错分析 直线ym1(m≠0)移三角函数图相交法判断交点横坐标an组成数列{an}够成等差数列
正确解析 函数ycos 2x图右移π6单位函数ycos 2(xπ6)cos(2xπ3)图
题意知直线ym1函数ycos(2xπ3)图高点低点相交时满足题意时m11m2m11m0(舍)直线ym1x轴重合时满足题意时m10m1m取值12选C
误区警示 求解题关键理解直线ym1移三角函数图y轴右侧第n(n∈N*)交点横坐标an组成数列{an}等差数列意义时遗漏m≠0条件否会出现增解
典例10 已知函数f(x)1xax+ln x
(1)函数f(x)[1+∞)增函数求正实数a取值范围
(2)a1k∈Rk<1e设F(x)f(x)+(k1)ln x求函数F(x)[1ee]值值
错分析 求解F(x)[1ee]值值时涉参数k出条件k∈Rk<1e知道样k进行分类讨出错
正确解析 (1)f(x)求导f ＇(x)ax1ax2(a>0)
f(x)[1+∞)增函数x∈[1+∞)时f ＇(x)ax1ax2≥0a≥1x恒成立
x∈[1+∞)时1x值1正实数a取值范围[1+∞)
(2)a1时f(x)1xx+ln xF(x)1xx+ln x+(k1)ln x1x1+kln x
F＇(x)1x2+kxkx1x2
k0F＇(x)1x2[1ee]恒F＇(x)<0F(x)[1ee]单调递减
F(x)minF(e)1eeF(x)maxF(1e)e1
k≠0时F＇(x)kx1x2k(x1k)x2
①k<0[1ee]恒k(x1k)x2<0F＇(x)<0F(x)[1ee]单调递减
F(x)minF(e)1e+k1F(x)maxF(1e)ek1
②k>0k<1e1k>ex∈[1ee]x1k<0F＇(x)<0F(x)[1ee]单调递减
F(x)minF(e)1e+k1F(x)maxF(1e)ek1
综述k0时F(x)min1eeF(x)maxe1k≠0k<1e时F(x)maxek1F(x)min1e+k1
误区警示 题求解误区参数k分类讨否清晰准确分类讨原标准统层次分明重漏求解中求函数F(x)[1ee]值值需函数F(x)[1ee]单调性确定先F(x)求导F＇(x)kx1x2参数k进行分类讨分类讨时易遗忘k0讨k≠0时漏掉条件k<1e限制
陷阱6 转换陷阱题——等价转换准确
典例11 体三视图图224示中视图左视图腰长1两全等等腰直角三角形该体外接球体积( )
图224
A32π B3π C23π D33π
错分析 三视图应模型原立方体中进行思考法求出体外接球半径
正确解析 图225示视图左视图腰长1两全等等腰直角三角形求体正方体切割成四棱锥ABCDE底面边长1正方形条侧棱AE底面垂直根球四棱锥称性知外接球直径AC根勾股定理知AC12+12+123外接球半径32外接球体积V43π×(32)332π选A
图225
误区警示 题考查立体中三视图问题求解三视图问题关键通题中出三视图原模型条件知体侧棱底面垂直题易错点法理解俯视图中正方形角线样四棱锥形成应求解题存思维优化问题会模型放置正方体中进行思考求解体外接球半径时找球半径三棱锥棱长直接关系
典例12 已知直线l14x3y+60直线l2xp2(p>0)抛物线Cy22px点直线l1直线l2距离值2
(1)求抛物线C方程
(2)抛物线C意点M切点直线l直线l2交点N试问x轴否存定点QQ点MN直径圆存求出点Q坐标存请说明理
错分析 第(1)问中直线l1抛物线公点没分类讨意识第(2)问中理解Q点MN直径圆表达样数学信息
正确解析 (1)直线l1抛物线公点时
题意知l2抛物线C准线抛物线焦点坐标F(p20)
抛物线定义知抛物线C点直线l2距离等焦点F距离
抛物线C点直线l1直线l2距离值转化焦点F直线l1距离
2|2p+6|5p2
直线l1抛物线C公点时联立4x3y+60y22px消x
2y23py+6p0Δ19p248p≥0p>0p≥163
时抛物线点直线l2短距离p2≥83>2满足题意
抛物线C方程y24x
(2)设M(x0y0)题意知直线l斜率存设kk≠0
直线l方程yy0k(xx0)
代入y24x消xky24y+4y0ky020
Δ2164k(4y0ky02)0k2y0
直线l方程yy02y0(xx0)
令x1y024x0N(1y0242y0)
设Q(x10)QM(x0x1y0)QN(1x1y0242y0)
题意知QM·QN0(x0x1)(1x1)+y02420
y024x0代入式(1x1)x0+x12+x120
意x0等式恒成立
1x10x12+x120解x11
x轴存定点Q(10)Q点MN直径圆
误区警示 题第(1)问求解时容易漏掉直线l1抛物线位置关系讨误直线l1抛物线没交点直接抛物线点直线l1直线l2距离值转化焦点F直线l1距离建立等式求出满足条件p值第(2)问知道条件中点QMN直径圆转化成QM·QN0进行求解
陷阱7 推理陷阱题——推理证严谨
典例13 函数f(x)xecos x(x∈[ππ])图致( )
A B C D
错分析 知道函数奇偶性单调性进行研究尝试利取特殊点方法判断
正确解析 题意函数f(x)定义域关原点称f(x)xecos(x)xecos xf(x)f(x)奇函数排选项ACf(π2)π2ecosπ2π2f(π)πecos ππef(π2)>f(π)函数f(x)区间[0π]单调递增排选项D选B
误区警示 题考查非基初等函数图识常见错误解题验取特殊点结合函数图利排法推断会漏掉某(某)特殊点判断失误求解类问题般根函数解析式研究定义域值域单调性奇偶性等方面入手结合出函数图进行全面分析逐排注意检验正确选项合理性
典例14 已知函数f(x)ln xax2x(a∈R)
(1)a1时求函数f(x)点(12)处切线方程
(2)函数yg(x)图存点P(x0g(x0))P切点切线l图分割c1c2两部分c1c2分完全位切线l两侧(点P外)称点x0函数yg(x)切割点问函数f(x)ln xax2x否存样切割点存求出切割点存请说明理
错分析 理解点x0函数yg(x)切割点问题求解转化原判断什情况函数f(x)ln xax2x存样切割点
正确解析 (1)a1时f(x)ln xx2x
f ＇(x)1x2x1
f(x)点(12)处切线斜率kf ＇(1)2
求切线方程y+22(x1)y2x
(2)f ＇(x)1x2ax1设P(x0f(x0))切线l方程yf ＇(x0)(xx0)+f(x0)
令h(x)f(x)yf(x)f ＇(x0)(xx0)f(x0)
h(x0)0
h＇(x)f ＇(x)f ＇(x0)(xx0)·1+2ax0xx0x(x>0)
①a≥0时00
x>x0h＇(x)<0
h(x)(0x0]单调递增[x0+∞)单调递减
h(x)≤h(x)极值h(x0)0
f(x)≤y(0+∞)恒成立
f(x)切线l侧时存切割点
②a<0时取x012a2a1x02
h＇(x)(xx0)·1+2ax0xx0x(xx0)2x02x≥0
h(x)(0+∞)单调递增
h(x0)0x∈(0x0)时h(x)<0f(x)x∈(x0+∞)h(x)>0f(x)>y
f(x)图切线l两侧
x012a函数f(x)切割点
误区警示 题道利导数知识研究函数性质综合题考查利导数求曲线切线方程探究等式成立问题题第(1)问求某点曲线切线方程时容易漏掉该点否曲线判断直接利该点导数值曲线该点切线斜率求曲线切线方程第(2)问理解切割点概念找问题转化方正确探究思路先曲线yf(x)取点P(x0f(x0))求出点切线方程研究直线否曲线yf(x)分割成两部分两部分分直线两侧
陷阱8 运算陷阱题——运算程合理
典例15 函数ysin 2x(x∈R)图分左移m(m>0)单位右移n(n>0)单位图函数ysin(2x+π3)(x∈R)图重合|mn|值( )
Aπ6 B5π6 Cπ3 D2π3
错分析 题存两易错点图左右移变换解析式样表达二正确理解移图函数ysin(2x+π3)(x∈R)图重合
正确解析 函数ysin 2x(x∈R)图左移m(m>0)单位ysin 2(x+m)sin(2x+2m)图右移n(n>0)单位ysin 2(xn)sin(2x2n)图两图函数ysin(2x+π3)(x∈R)图重合
2mπ3+2k1π2nπ3+2k2π(k1k2∈Z)mπ6+k1πnπ6+k2π(k1k2∈Z)|mn||π3+(k1k2)π|(k1k2∈Z)k1k2时|mn|minπ3选C
误区警示 题考查三角函数图移绝值函数值求解三角函数yAsin ωx图移容易出现面思维障碍理解移方(涉解析式中+φφ)二清楚移相位变化(涉解析式中ωx±φω(x±φ))解答三角函数图移时两问题必须理解清晰正确解答
典例16 设k正整数数列{an}满足a11(an+1an)2(n+1)k(n∈N*)称数列{an}k次方数列
(1)设数列{an}(n∈N*)2次方数列数列{ann}等差数列求数列{an}通项公式
(2)设数列{an}(n∈N*)2次方数列存正整数m满足am15求m值
错分析 问题求解困惑处根数列{an}k次方数列定义样正确表达2次方数列递推关系式
正确解析 (1)数列{an}(n∈N*)2次方数列a11(an+1an)2(n+1)2
a2a1±2a21a23
a23时数列{ann}等差数列数列{ann}首项1公差12
ann22+n2检验满足题意
a21时数列{ann}等差数列数列{ann}首项1公差32
an32n2+52n检验满足题意舍
综述求数列{an}通项公式ann22+n2(n∈N*)
(2)数列{an}(n∈N*)2次方数列a11an+1an±(n+1)2
an1±22±32±…±n2
am15m≤3时am值1+22+3214成立
m4时1±22±32±42中1±22±32±42等28201024122230m4时成立
m5时122+3242+5215m值5
误区警示 求解关数列综合问题解题常见误区会整体握问题利定信息表象揭示问题质提炼出数列通项公式等差数列等数列知识应求解题两点容易出现错误①利k次方数列定义2次方数列递推关系式时容易忽略开偶次方根式正负取值表达②第(2)问{an}(n∈N*)2次方数列展开讨时知道样验证符合满足am15条件正整数m值
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典例1 已知数集Ω{a1a2…an}(1≤a1
③权集中元素0 ④权集中定元素1
中正确命题序号( )
A①③ B②④ C①②③ D②③④
错分析 正确理解权集定义求命题判断错误
正确解析 3×443均属数集{134}①错误1×21×31×62×3626311223366属{1236}②正确权集定义知ajai意义权集中元素0③错误权集定义知权集中定元素1④正确选B
误区警示 求解集合新定义问题关键理解集合新定义特点新定义叙述问题质弄清楚够应具体解题程中题中集合Ω权集求数集Ω具性质P包含两点信息分式ajai意义集合Ω元素中含0二求aiajajai两数中少属集合Ω解题时果提炼出性质P含准确信息问题选项法正确判断
典例2 基尼系数衡量国家贫富差距标准图221中横轴OH表示口(收入低高分组)累积百分轴OM表示收入累积百分弧线OL(称洛伦兹曲线)角线间区域A面积作等面积折线段OHL角线间区域A+B面积作完全等面积等面积完全等面积值基尼系数
图221
(1)洛伦兹曲线角线时社会达富裕社会义国家目标时基尼系数等
(2)估计目前国基尼系数统计洛伦兹曲线采机模拟方法机产生两数组成点(ab)(中ab∈[0100])产生1 000点恰300点落区域B中估计该基尼系数
错分析 准确理解基尼系数富裕等基概念找问题求解方
正确解析 (1)定义知基尼系数区域A面积区域AB面积洛伦兹曲线角线时区域A面积0时基尼系数0
(2)概型知1 000点中300点落区域B区域B面积约占正方形面积310区域A面积正方形面积210△OLH面积410该基尼系数约04
误区警示 题道新情境定义题求解前提根题设条件出图形正确理解相关定义洛伦兹曲线等面积完全等面积基尼系数富裕具体求解程中问题目标第(1)问社会达富裕求洛伦兹曲线角线画出应图形找解题方原第(2)问概型计算需利相关图形面积进行推理理清相关图形间面积转换法进行求解原
陷阱2 图解陷阱题——作图图准确
典例3 直线ykx曲线ye|ln x||x2|3公点时实数k取值范围( )
A(01) B(01] C(1+∞) D[1+∞)
错分析 理清掉绝值函数解析式导致正确画出曲线ye|ln x||x2|
正确解析 画出函数ye|ln x||x2|1x+x20
图222
误区警示 题研究直线曲线交点数问题般思路利图法求解先画出曲线直线旋转程中曲线3交点时参数k取值范围求解误区两方正确画出函数ye|ln x||x2|图二握准直线ykx旋转方
典例4 函数f(x)xcos x(0+∞)全部极值点序排列a1a2…an…意正整数n必( )
Aπ
图223
正确解析 f(x)求导f ＇(x)cos xxsin x令f ＇(x)01xtan x函数y1xytan x部分图图223示anan+1两函数图相邻交点横坐标函数y1x(0+∞)减函数着n增加
an越越接周期零点(ytan x零点)an+1an<πanan+1周期零点右侧an+1an>π2选B
误区警示 题解题误区找问题求解方求解法进行样理解函数f(x)xcos x(0+∞)全部极值点序排列an数学意义什判断an+1an范围需结合图进行分析
陷阱3 思维陷阱题——思考问题严谨
典例5 观察列等式
11 131
1+23 13+239
1+2+36 13+23+3336
1+2+3+410 13+23+33+43100
1+2+3+4+515 12+23+33+43+53225
… …
推测13+23+33+…+n3 (n∈N*含n代数式表示)
错分析 会结合题设条件出两组等式找间关联进行推测
正确解析 分析条件等式发现13113+239(1+2)213+23+3336(1+2+3)213+23+33+43100(1+2+3+4)2推测13+23+33 +…+n3(1+2+3+…+n)214n2(n+1)2填14n2(n+1)2
误区警示 题道合情推理问题合情推理问题求解误区题设条件出等式中找等式间联系结构特点找推测方题结合等式结构特点发现间关联右边数表中然数立方值应左边数表中然数出应推测等式
典例6 实数x满足0≤y<1xy整数实数y称实数x数部分符号
(1)a2时数列{an}通项公式
(2)a>13时意n∈N*anaa值
错分析 准确理解实数x数部分正确利数列{an}递推关系解题出错原
正确解析 (1)a2时a1<2>21a2<121><2+1>21an21
(2)a>13时ana知a<1a1a2<1a>1a∈(13)
①1a∈(12)时a2<1a>1a11a1a解a512a5+12(舍)
②1a∈[23)时a2<1a>1a21a2a解a21a21(舍)综a21a512
误区警示 题新定义实数x数部分数列递推式相结合考查定综合性中理解实数x数部分
陷阱4 特例陷阱题——特殊情况谨记
典例7 已知f(x)定义R恒零函数意ab∈R满足f(a·b)af(b)+bf(a)f(3)3anf(3n)n
(1)f(13)
(2)数列{an}通项公式
错分析 面题设条件出抽象函数关系式f(a·b)af(b)+bf(a)知道目标式f(13)f(3n)形成联系
正确解析 (1)令ab1f(a·b)af(b)+bf(a)知f(1)2f(1)f(x)定义R恒零函数解f(1)0f(3)3f(1)f(3×13)3f(13)+13f(3)0f(13)13
(2)f(13n)f(13×13n1)13f(13n1)13n13[13f(13n2)13n1]13n132f(13n2)23n…13n1f(13)n13nn3nanf(3n)n13n
误区警示 求解抽象函数问题时赋值法问题突破关键题思维误区知道变量ab赋值解题时验感觉ab011尝试赋值目标函数中131形成联系13×13正确方处理抽象函数问题时常见错误
典例8 已知抛物线y22px(p>0)焦点F椭圆C焦点重合抛物线准线C相交点(122)
(1)求p值椭圆C方程
(2)点F否存直线l椭圆C交MN两点MN角线正方形第三顶点恰y轴存求出直线l方程存请说明理
错分析 直线x轴重合垂直时会条件MN角线正方形第三顶点恰y轴量关系RM·RN0进找求直线l斜率k方程
正确解析 (1)题意设椭圆C方程x2a2+y2b21(a>b>0)
抛物线准线C相交点(122)
知p21
p2
知抛物线焦点F(10)
c1
点(122)代入椭圆方程1a2+12b21
a2b2c21解a22b21
求椭圆C方程x22+y21
(2)直线lx轴重合时ly0时M(20)N(20)
MN角线正方形外两顶点坐标(02)(02)符合题意
直线lx轴垂直时lx1时M(122)N(122)
MN角线正方形外两顶点坐标(1+220)(1220)符合题意
直线lx轴重合垂直时妨设直线lyk(x1)(k≠0)
设M(x1y1)N(x2y2)线段MN中点Q(x1+x22k(x1+x221))
联立x22+y21yk(x1)消y(2k2+1)x24k2x+2k220
根系数关系x1+x24k22k2+1x1x22k222k2+1
Q(2k22k2+1k2k2+1)
线段MN中垂线l＇方程y+k2k2+11k(x2k22k2+1)
yxk+k2k2+1令x0直线l＇y轴交点R(0k2k2+1)
题意知MN角线正方形第三顶点恰y轴仅RM⊥RNRM·RN(x1y1k2k2+1)·(x2y2k2k2+1)0
x1x2+y1y2k2k2+1(y1+y2)+k2(2k2+1)20 ①
y1y2k2[x1x2(x1+x2)+1]k22k2+1y1+y2k(x1+x22)2k2k2+1 ②
②代入①解k±1时直线l方程y±(x1)
综求直线l方程x0xy10x+y10
误区警示 题探索性问题探求满足MN角线正方形第三顶点恰y轴时否存焦点F直线l方程涉直线方程问题常见错误容易遗漏斜率k讨题中针斜率k应分三种情况讨直线lx轴重合直线lx轴垂直直线lx轴重合垂直
陷阱5 漏解陷阱题——问题分类全面
典例9 函数ycos 2x图右移π6单位直线ym1(m≠0)相交记图y轴右侧第n(n∈N*)交点横坐标an数列{an}等差数列m取值( )
A±1 B±2 C12 D12
错分析 直线ym1(m≠0)移三角函数图相交法判断交点横坐标an组成数列{an}够成等差数列
正确解析 函数ycos 2x图右移π6单位函数ycos 2(xπ6)cos(2xπ3)图
题意知直线ym1函数ycos(2xπ3)图高点低点相交时满足题意时m11m2m11m0(舍)直线ym1x轴重合时满足题意时m10m1m取值12选C
误区警示 求解题关键理解直线ym1移三角函数图y轴右侧第n(n∈N*)交点横坐标an组成数列{an}等差数列意义时遗漏m≠0条件否会出现增解
典例10 已知函数f(x)1xax+ln x
(1)函数f(x)[1+∞)增函数求正实数a取值范围
(2)a1k∈Rk<1e设F(x)f(x)+(k1)ln x求函数F(x)[1ee]值值
错分析 求解F(x)[1ee]值值时涉参数k出条件k∈Rk<1e知道样k进行分类讨出错
正确解析 (1)f(x)求导f ＇(x)ax1ax2(a>0)
f(x)[1+∞)增函数x∈[1+∞)时f ＇(x)ax1ax2≥0a≥1x恒成立
x∈[1+∞)时1x值1正实数a取值范围[1+∞)
(2)a1时f(x)1xx+ln xF(x)1xx+ln x+(k1)ln x1x1+kln x
F＇(x)1x2+kxkx1x2
k0F＇(x)1x2[1ee]恒F＇(x)<0F(x)[1ee]单调递减
F(x)minF(e)1eeF(x)maxF(1e)e1
k≠0时F＇(x)kx1x2k(x1k)x2
①k<0[1ee]恒k(x1k)x2<0F＇(x)<0F(x)[1ee]单调递减
F(x)minF(e)1e+k1F(x)maxF(1e)ek1
②k>0k<1e1k>ex∈[1ee]x1k<0F＇(x)<0F(x)[1ee]单调递减
F(x)minF(e)1e+k1F(x)maxF(1e)ek1
综述k0时F(x)min1eeF(x)maxe1k≠0k<1e时F(x)maxek1F(x)min1e+k1
误区警示 题求解误区参数k分类讨否清晰准确分类讨原标准统层次分明重漏求解中求函数F(x)[1ee]值值需函数F(x)[1ee]单调性确定先F(x)求导F＇(x)kx1x2参数k进行分类讨分类讨时易遗忘k0讨k≠0时漏掉条件k<1e限制
陷阱6 转换陷阱题——等价转换准确
典例11 体三视图图224示中视图左视图腰长1两全等等腰直角三角形该体外接球体积( )
图224
A32π B3π C23π D33π
错分析 三视图应模型原立方体中进行思考法求出体外接球半径
正确解析 图225示视图左视图腰长1两全等等腰直角三角形求体正方体切割成四棱锥ABCDE底面边长1正方形条侧棱AE底面垂直根球四棱锥称性知外接球直径AC根勾股定理知AC12+12+123外接球半径32外接球体积V43π×(32)332π选A
图225
误区警示 题考查立体中三视图问题求解三视图问题关键通题中出三视图原模型条件知体侧棱底面垂直题易错点法理解俯视图中正方形角线样四棱锥形成应求解题存思维优化问题会模型放置正方体中进行思考求解体外接球半径时找球半径三棱锥棱长直接关系
典例12 已知直线l14x3y+60直线l2xp2(p>0)抛物线Cy22px点直线l1直线l2距离值2
(1)求抛物线C方程
(2)抛物线C意点M切点直线l直线l2交点N试问x轴否存定点QQ点MN直径圆存求出点Q坐标存请说明理
错分析 第(1)问中直线l1抛物线公点没分类讨意识第(2)问中理解Q点MN直径圆表达样数学信息
正确解析 (1)直线l1抛物线公点时
题意知l2抛物线C准线抛物线焦点坐标F(p20)
抛物线定义知抛物线C点直线l2距离等焦点F距离
抛物线C点直线l1直线l2距离值转化焦点F直线l1距离
2|2p+6|5p2
直线l1抛物线C公点时联立4x3y+60y22px消x
2y23py+6p0Δ19p248p≥0p>0p≥163
时抛物线点直线l2短距离p2≥83>2满足题意
抛物线C方程y24x
(2)设M(x0y0)题意知直线l斜率存设kk≠0
直线l方程yy0k(xx0)
代入y24x消xky24y+4y0ky020
Δ2164k(4y0ky02)0k2y0
直线l方程yy02y0(xx0)
令x1y024x0N(1y0242y0)
设Q(x10)QM(x0x1y0)QN(1x1y0242y0)
题意知QM·QN0(x0x1)(1x1)+y02420
y024x0代入式(1x1)x0+x12+x120
意x0等式恒成立
1x10x12+x120解x11
x轴存定点Q(10)Q点MN直径圆
误区警示 题第(1)问求解时容易漏掉直线l1抛物线位置关系讨误直线l1抛物线没交点直接抛物线点直线l1直线l2距离值转化焦点F直线l1距离建立等式求出满足条件p值第(2)问知道条件中点QMN直径圆转化成QM·QN0进行求解
陷阱7 推理陷阱题——推理证严谨
典例13 函数f(x)xecos x(x∈[ππ])图致( )
A B C D
错分析 知道函数奇偶性单调性进行研究尝试利取特殊点方法判断
正确解析 题意函数f(x)定义域关原点称f(x)xecos(x)xecos xf(x)f(x)奇函数排选项ACf(π2)π2ecosπ2π2f(π)πecos ππef(π2)>f(π)函数f(x)区间[0π]单调递增排选项D选B
误区警示 题考查非基初等函数图识常见错误解题验取特殊点结合函数图利排法推断会漏掉某(某)特殊点判断失误求解类问题般根函数解析式研究定义域值域单调性奇偶性等方面入手结合出函数图进行全面分析逐排注意检验正确选项合理性
典例14 已知函数f(x)ln xax2x(a∈R)
(1)a1时求函数f(x)点(12)处切线方程
(2)函数yg(x)图存点P(x0g(x0))P切点切线l图分割c1c2两部分c1c2分完全位切线l两侧(点P外)称点x0函数yg(x)切割点问函数f(x)ln xax2x否存样切割点存求出切割点存请说明理
错分析 理解点x0函数yg(x)切割点问题求解转化原判断什情况函数f(x)ln xax2x存样切割点
正确解析 (1)a1时f(x)ln xx2x
f ＇(x)1x2x1
f(x)点(12)处切线斜率kf ＇(1)2
求切线方程y+22(x1)y2x
(2)f ＇(x)1x2ax1设P(x0f(x0))切线l方程yf ＇(x0)(xx0)+f(x0)
令h(x)f(x)yf(x)f ＇(x0)(xx0)f(x0)
h(x0)0
h＇(x)f ＇(x)f ＇(x0)(xx0)·1+2ax0xx0x(x>0)
①a≥0时0
x>x0h＇(x)<0
h(x)(0x0]单调递增[x0+∞)单调递减
h(x)≤h(x)极值h(x0)0
f(x)≤y(0+∞)恒成立
f(x)切线l侧时存切割点
②a<0时取x012a2a1x02
h＇(x)(xx0)·1+2ax0xx0x(xx0)2x02x≥0
h(x)(0+∞)单调递增
h(x0)0x∈(0x0)时h(x)<0f(x)
f(x)图切线l两侧
x012a函数f(x)切割点
误区警示 题道利导数知识研究函数性质综合题考查利导数求曲线切线方程探究等式成立问题题第(1)问求某点曲线切线方程时容易漏掉该点否曲线判断直接利该点导数值曲线该点切线斜率求曲线切线方程第(2)问理解切割点概念找问题转化方正确探究思路先曲线yf(x)取点P(x0f(x0))求出点切线方程研究直线否曲线yf(x)分割成两部分两部分分直线两侧
陷阱8 运算陷阱题——运算程合理
典例15 函数ysin 2x(x∈R)图分左移m(m>0)单位右移n(n>0)单位图函数ysin(2x+π3)(x∈R)图重合|mn|值( )
Aπ6 B5π6 Cπ3 D2π3
错分析 题存两易错点图左右移变换解析式样表达二正确理解移图函数ysin(2x+π3)(x∈R)图重合
正确解析 函数ysin 2x(x∈R)图左移m(m>0)单位ysin 2(x+m)sin(2x+2m)图右移n(n>0)单位ysin 2(xn)sin(2x2n)图两图函数ysin(2x+π3)(x∈R)图重合
2mπ3+2k1π2nπ3+2k2π(k1k2∈Z)mπ6+k1πnπ6+k2π(k1k2∈Z)|mn||π3+(k1k2)π|(k1k2∈Z)k1k2时|mn|minπ3选C
误区警示 题考查三角函数图移绝值函数值求解三角函数yAsin ωx图移容易出现面思维障碍理解移方(涉解析式中+φφ)二清楚移相位变化(涉解析式中ωx±φω(x±φ))解答三角函数图移时两问题必须理解清晰正确解答
典例16 设k正整数数列{an}满足a11(an+1an)2(n+1)k(n∈N*)称数列{an}k次方数列
(1)设数列{an}(n∈N*)2次方数列数列{ann}等差数列求数列{an}通项公式
(2)设数列{an}(n∈N*)2次方数列存正整数m满足am15求m值
错分析 问题求解困惑处根数列{an}k次方数列定义样正确表达2次方数列递推关系式
正确解析 (1)数列{an}(n∈N*)2次方数列a11(an+1an)2(n+1)2
a2a1±2a21a23
a23时数列{ann}等差数列数列{ann}首项1公差12
ann22+n2检验满足题意
a21时数列{ann}等差数列数列{ann}首项1公差32
an32n2+52n检验满足题意舍
综述求数列{an}通项公式ann22+n2(n∈N*)
(2)数列{an}(n∈N*)2次方数列a11an+1an±(n+1)2
an1±22±32±…±n2
am15m≤3时am值1+22+3214成立
m4时1±22±32±42中1±22±32±42等28201024122230m4时成立
m5时122+3242+5215m值5
误区警示 求解关数列综合问题解题常见误区会整体握问题利定信息表象揭示问题质提炼出数列通项公式等差数列等数列知识应求解题两点容易出现错误①利k次方数列定义2次方数列递推关系式时容易忽略开偶次方根式正负取值表达②第(2)问{an}(n∈N*)2次方数列展开讨时知道样验证符合满足am15条件正整数m值
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