椭圆型偏微分方程实验报告

实验报告
实验项目名称 椭圆型偏微分方程
实　验　室 数学实验室 　
属课程名称 微分方程数值方法
实 验 类 型 算法设计
实 验 日 期 2014年X月X日
班 级
学 号
姓 名
成 绩























实验概述：
实验目求
实验目通分析Possion问题交迭代法求解次边值问题进步解交迭代法算法特点——矩形区域差分格式降低计算量实验求利PeacemanRachford迭代格式编写出相应代码解决Possion问题

实验原理
简单椭圆型偏微分方程 Poission 方程




采正方形网格剖分正方形区域 Ω x y 方采中心差分记


Poission方程离散差分格式写成

改写

PeacemanRachford 迭代格式




分量形式




两步写成矩阵形式第步迭代：
















第二步迭代：















里 gij gij 分




迭代参数取：


实际迭代步相解N − 1系数矩阵三角阵N − 1阶线性代数方程组追赶法求解

实验环境（软硬件）
软件：
MATLAB 2012a
硬件：
电脑型号：联想 Lenovo 昭阳E46A笔记电脑
操作系统：Windows 8 专业版
处理器：Intel（R）Core（TM）i3 CPU M 350 @227GHz 227GHz

实验容：
实验方案设计
利PeacemanRachford迭代格式求解





求解域Ω 0 ≤ x y ≤ 1精确解u sin πx sin πy

首先利述原理进行分析利Matlab软件编写出相应程序

实验程（实验步骤记录数分析）
首先编写m文件包含交方迭代法程序

function ualter(a0b0fh)
输入a0xy方起始端点
b0xy方终点
f方程右端函数
h网格步长
输出u解矩阵
p200
Nfix((b0a0)h)
uzeros(N+1)
vzeros(N+1)
gzeros(N+1)
xa0hb0
yx
tauh*h(2*sin(pi*h))
atau*ones(1N2)
ca
d(h*h+2*tau)*ones(1N1)
for k1p
err0
for i2N
for j2N
g(ij)(h*h2*tau)*u(ij)+tau*(u(ij+1)+u(ij1)+h*h*f(x(i)y(j)))
end
v(2Ni)trisys(adcg(2Ni))＇
end
for i2N
for j2N
g(ij)(h*h2*tau)*v(ij)+tau*(v(i+1j)+v(i1j)+h*h*f(x(i)y(j)))
tabs(u(ij)v(ij))
if (errerrt
end
end
u(i2N)trisys(adcg(i2N))
end
if (err<1e4)
err
k
break
end
kk+1
end

取步长h 02迭代残差104

然Command Window里编写程序：
finline(＇2*pi*sin(pi*x)*sin(pi*y)＇＇x＇＇y＇)
a00b01h02
ualter(a0b0fh)
x1a0hb0
y1a0hb0
surf(x1y1u)

运行结果示：
err 64665e05
k 9

步长缩h 01迭代残差104
然Command Window里编写程序：
finline(＇2*pi*sin(pi*x)*sin(pi*y)＇＇x＇＇y＇)
a00b01h01
ualter(a0b0fh)
x1a0hb0
y1a0hb0
surf(x1y1u)

运行结果示：
err 73408e05
k 19












结（结果）
次实验通采步长迭代方法——PR迭代格式进行较发现通缩步长计算结果改善

结
交方迭代法出现源求解抛物型方程交方隐格式点容易实现许计算机程序耗费精力仅仅适矩形区域集该方法计算量较速度较快适合利计算机编程解决问题

指导教师评语成绩：





成绩： 指导教师签名：
批阅日期：

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