极坐标与直角坐标、普通方程与参数方程 的互相转化

1
极坐标直角坐标参数方程普通方程转化
直角坐标伸缩
设点 P(xy)面直角坐标系中意点变换
φ： 作点 P(xy)应点 P′(x′y′)称φ面直角坐标系中坐标伸缩





）（
）（
0
0


yy
xx
变换简称伸缩变换．面图形伸缩变换坐标伸缩变换表示．伸缩变换Error直线
然变成直线抛物线然变成抛物线双曲线然变成双曲线圆变成椭圆椭圆变成
圆（重点考察）．
强化理解
1．曲线 C 伸缩变换 应曲线方程：x2+y21曲线 C 方程（　　）
A． B． C． D．4x2+9y21
解答解：曲线 C 伸缩变换 ①应曲线方程：x′2+y′21②
①代入②： 选：A
2直角坐标系中求满足列图形变换伸缩变换：曲线 4x2＋9y2＝36 变成曲线 x′2＋y′2
＝1．
解答解：设变换φ： 代入 x′2＋y′2＝1λ2x2＋μ2y2＝1． {x′＝λx（λ > 0）
y′＝μy（μ > 0）)
4x2＋9y2＝36 变形 ＋ ＝1 x2
9
y2
4
较系数λ＝ μ＝ ． 1
3
1
22
椭圆 4x2＋9y2＝36 点横坐标变原 坐标变原
{
x′＝1
3x
y′＝1
2y．) 1
3
1
2
圆 x′2＋y′2＝1．
利配凑法 4x2＋9y2＝36 化 ＋ ＝1 x′2＋y′2＝1 应项较(x
3 )2
(y
2 )2


{
x′＝x
3
y′＝y
2．)二极坐标
1公式：
（1）极坐标直角坐标互化公式表：
点 M 直角坐标 x y 极坐标  
互化
公式
cos
sin
x
y
 
 

 
 
2 2 2
tan 0
x y
y xx


    

已知极坐标化成直角坐标 已知直角坐标化成极坐标
2极坐标直角坐标转化
（1）点：关点极坐标直角转化思路
A：直角坐标 x y 化极坐标   步骤
①运  
2 2 2
tan 0
x y
y xx


    

② 02  tan 0y xx   求 时直角坐标符号特征判断点象限． 3
B极坐标   化直角坐标 x y 步骤运 cos
sin
x
y
 
 

 

（2）直线：直线极坐标直角坐标转化思路
A：直角坐标转化成极坐标
思路：直接利公式 cos
sin
x
y
 
 

 
式子里面 x y 转化整理化简  sincos
例：x+3y20：公式 x y 转化 02sin3cos  
B：极坐标转化成直角坐标
类型①：直接转化直接利公式转化
例：ρ( cosθ＋sinθ)＝1 2
思路：第步：括号ρ cosθ＋ρsinθ＝1 2
第二步：公式 cos
sin
x
y
 
 

 
转化 12  yx
类型②：利三角函数两角差公式

   2 sin 2 cosk k        
思路：第步：利两角差公式 sin(θ±α) cosθ±α)化开特殊角正余弦值化成数字整理
化简
第二步：利公式
cos
sin
x
y
 
 

  转化
例：直线 极坐标方程

l 2 sin 3 33
     
解：第步：利两角差公式 sin(θ±α) cosθ±α)化开特殊角正余弦值化成数字整理化简
4

33cos3sin33)cos2
3sin2
1233)3sincos3cossin2   （（
第二步：第二步：利公式
cos
sin
x
y
 
 

  转化

033333333cos3sin  yxxy

类型③：该直线原点（极点）应直角角特殊角）倾斜角特殊（ 
坐标方程 kxxytanαy 
例： ( 0)3
  
思路：直接代入 033  yxxyx 33yx3
3xy3tany 
(注：直线直角坐标方程般求写成般式：Ax+By+C0)
三曲线极坐标直角坐标互换
（）圆直角极坐标互换
1圆极坐标转化成直角坐标
类型：  sincos 
详解：般 转化成 xy 需 搭配搭配  sincos 
两边时  0sincos 22222  yxyxyxyx 
类型二： 2
没三角函数时考虑两边时方 5
44 222  yx
2圆直角坐标转化成极坐标
3)1()4( 22  yx
解题方法：拆开公式代入
014sin2cos8014280312168 22222  yxyxyyxx
解题方法二：代入拆合
031sin2sin16cos8cos3)1sin()4cos( 222222  
014sin2cos8014sin2cos8)sin(cos 2222  


强化理解
1列点极坐标直角坐标进行互化．
①点 M 极坐标 化成直角坐标 (414
3 π)
②点 N 直角坐标(4－4 )化成极坐标(ρ≥00≤θ<2π)． 3
解答解：①∵x＝4cos π＝4cos ＝4× ＝－2y＝4sin π＝4sin ＝2 ∴点 A 14
3
2π
3 (－1
2 ) 14
3
2π
3 3
直角坐标(－22 )． 3
②∵ρ＝ ＝8tanθ＝ ＝－ θ∈[02π)点(4－4 )第四象42＋（－4 3）2 －4 3
4 3 3
限∴θ＝ ∴应极坐标 ． 5π
3 (85π
3 )
6
2列直角坐标方程极坐标方程进行互化．
①y2＝4x ②θ＝ (ρ∈R) π
3
③ρ2cos2θ＝4 ④ρ＝ ． 1
2－cosθ
解答解：① x＝ρcosθy＝ρsinθ代入y2＝4x(ρsinθ)2＝4ρcosθ．化简ρsin2θ＝4cosθ．
② x≠0 时 tanθ＝ tan ＝ ＝ 化简 y＝ x(x≠0) x＝0 时y＝0．显y
x
π
3
y
x 3 3
然(00) y＝ x θ＝ (ρ∈R)直角坐标方程 y＝ x． 3 π
3 3
③ρ2cos2θ＝4ρ2cos2θ－ρ2sin2θ＝4 x2－y2＝4．
④ρ＝ 2ρ－ρcosθ＝1 1
2－cosθ
2 －x＝1化简 3x2＋4y2－2x－1＝0． x2＋y2




三参数方程
1必记曲线参数方程
已知条件 普通方程 参数方程
点 P(x0y0)倾斜角α )( 00 xxkyy  Error(α参数)
圆心点 M0(x0y0)半径
r
22
0
2
0 )yyxx r（）（ Error(θ参数) 7
长半轴 a 短半轴 b 椭圆 ＋ ＝1(a＞b＞0) x2
a2
y2
b2
Error(θ参数)
实轴 a 虚轴 b 双曲线 － ＝1(a＞0b＞0) x2
a2
y2
b2
Error(θ参数)
已知 p 抛物线 y2＝2px(p＞0) Error

2参数方程普通方程转化
（1）参数方程转化成普通方程
类型：含 t 消参
思路：含 t 参数方程消参时想办法参数 t 消掉啦两思路：
思路：代入消元法两条式子中较简单条式子转化成 tf(x) tf(y)
思路二：加减消元：含 t 前面系数相成相反数相加减
例：曲线 C： (t参数）








ty
tx
2
21
2
22
解：思路：代入消元：∵x＝2＋ t∴ t＝x－2代入 y＝1＋ t y＝x－1 x－y－1＝2
2
2
2
2
2
0
思路二：加减消元：两式相减x－y－1＝0
类型二：含三角函数消参
思路：三角函数类型消参般步骤：移项化方相加
移项：三角函数相加减数字移动左边 8
化：三角函数前面系数化成相
方：两道式子左右时方
相加：方式子进行相加
（注：时候需全部步骤）
例：圆 消参数θ化普通方程(x－1)2＋(y＋2)2＝1 {x＝1＋cos θ
y＝－2＋sin θ )
解：移项： （三角函数前面系数已相省化直接方）







sin2
cos1
y
x
方： 






22
22
sin2
cos1
）（
）（
y
x
相加： 12)y1x 22 （）（
3参数方程涉题型
（1）直线参数方程意义
（2）距离值（点点曲线点线）
强化理解
1直线 l 参数方程 参数）．写出直线 l 直角坐标方程
解答直线 l 参数方程 参数）．
式化简成 t2（x﹣1）代入式
根ρ2x2+y2进行化简 C：x2+y21（2 分） 9

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