第单元 图形变换
图形变换基方式移称旋转
1轴称果图形着条直线折两部分完全重合样图形做轴称图形条直线做称轴
（1）学轴称面图形：长（正）方形圆形等腰三角形等边三角形等腰梯形……
等腰三角形1条称轴
等边三角形3条称轴
长方形2条称轴
正方形4条称轴
等腰梯形1条称轴
意梯形行四边形轴称图形
（2）圆数条称轴
（3）称点称轴距离相等
（4）轴称图形特征性质：
①应点称轴距离相等
②应点连线称轴垂直
③称轴两边图形形状完全相
（5）称图形包括轴称图形中心称图形行四边形（棱形）属中心称图形
2旋转：面图形绕着顶点旋转定角度图形变化较做旋转定点O做旋转中心旋转角度做旋转角原图形点旋转成点成应点
（1）生活中旋转：电风扇车轮纸风车
（2）旋转明确绕点角度方
（3）长方形绕中点旋转180度原重合正方形绕中点旋转90度原重合等边三角形绕中点旋转120度原重合
旋转性质：
（1）图形旋转图形点面绕某固定点旋转固定角度位置移动
（2）中应点旋转中心距离相等
（3）旋转前图形形状没改变
（4）两组应点非旋转中心连线成角相等等旋转角
（5）旋转中心唯动点
3称旋转画法：旋转注意：时针逆时针度数
第二单元 数倍数
1整：数数商然数没余数
整数然数关系：整数包括然数
2数倍数：数数整时数数倍数数数数
例：126倍数612数
（1）数ab整ab倍数ba数数倍数相互存单独存
（2）数数数限中数1数身
数数求法：成序找
（3）数倍数数限倍数身
数倍数求法：次然数
（4）235倍数特征
1） 位02468数2倍数
2）数位数3倍数数3倍数
3）位05数5倍数
4）时235整（235倍数）两位数90三位数120
时满足235倍数实际求2×3×530倍数
5）果数时25倍数位数字定0
3完全数：身外数等身数做完全数
：6数：123（6外）刚1+2+366完全数完全数628等
4：然数2整分：奇数偶数
奇数：2整数奇数位13579数
偶数：2整数偶数（0偶数）位02468数
奇数1偶数0
关系： 奇数+ 偶数奇数
奇数+ 奇数偶数
偶数+偶数偶数
5然数数数分：质数合数10四类
质数（素数）：1身两数
合数：1身数（少三数：1身数）
1： 1数1质数合数
质数2合数4连续两质数23
合数质数相质数相定合数
20质数：8（235711131719）
100质数25：2357111317192329313741434753596167717379838997
100找质数合数技巧：
否23571113…倍数合数质数
关系：奇数×奇数奇数
质数×质数合数
6
A数：1
A数：A
A倍数：A
然数：0
奇数：1
偶数：0
质数：2
合数：4
7分解质数：合数分解成质数相形式
短法分解质数 （合数写成质数相形式）
：30分解质数：（302×3×5）
8互质数：公数1两数做互质数
两质数互质数：57
两合数互质数：89
质合互质数：78
两数互质特殊情况：
⑴1然数互质
⑵相邻两然数互质
⑶两质数定互质
⑷2奇数互质
⑸质数合数互质
9公数公数
数公数数公数中公数
短法求两数三数公数 （互质止数连起）
数公数1说数互质
果两数倍数关系时较数公数
果两数互质时1公数
10公倍数公倍数
数公倍数数公倍数中公倍数
短法求两数公倍数（互质止数商连起）
短法求三数公倍数（两两互质止数商连起）
果两数倍数关系时较数公倍数
果两数互质时积公倍数
11求公数公倍数方法
1216举例
1求法：（列举求法）
公数求法：
12数：1122634
16数：116284
公数4
公倍数求法：
12倍数：12243648…
16倍数：163248…
公倍数48
2求法二：（分解质数法）
122×2×3
162×2×2×2
公数：
2×24（相）
公倍数：
2×2×3×2×2 48（相×）
第三单元 长方体正方体
16长方形（特殊情况两相面正方形）围成立体图形做长方体两面相交边做棱三条棱相交点做顶点相交顶点三条棱长度分做长方体长宽高
长方体特点：
（1）6面8顶点12条棱相面面积相等相棱长度相等
（2）长方体6面长方形少4面长方形2面正方形
26完全相正方形围成立体图形做正方体（做立方体）
正方体特点：
（1）正方体12条棱长度相等
（2）正方体6面面正方形面面积相等
（3）正方体说长宽高相等长方体种特殊长方体
相
点
点
面
棱
长方体
6面12条棱8顶点
6面长方形
（两相面正方形）
相棱长度相等
正方体
6面正方形
12条棱相等
3长方体正方体关棱长计算公式：
长方体棱长总（长+宽+高）×4＝长×4+宽×4+高×4
L（a＋b＋h）×4
长棱长总÷4－宽 －高
aL÷4－b－h
宽棱长总÷4－长 －高
bL÷4－a－h
高棱长总÷4－长 －宽
hL÷4－a－b
正方体棱长总棱长×12
La×12
正方体棱长棱长总÷12
aL÷12
4长方体正方体6面总面积做表面积
长方体表面积（长×宽＋长×高＋宽×高）×2
S2（ab＋ah＋bh）
底（盖）
长方体表面积 长×宽＋（长×高＋宽×高）×2
S2（ab＋ah＋bh）－ab
S2（ah＋bh）＋ab
底盖长方体表面积（长×高＋宽×高）×2
S2（ah＋bh）
贴墙纸
正方体表面积棱长×棱长×6 Sa×a×6 字母表示：S 6a2
生活实际：
油箱罐头盒等6面
游泳池鱼缸等5面
水烟囱等4面
注意1：刀分开物体时分次增加两面（表面积相应增加）
注意2：长方体正方体长宽高时扩倍表面积会扩倍数方倍
（长宽高扩2倍表面积会扩原4倍）
5物体占空间做物体体积
长方体体积长×宽×高 Vabh
长体积÷宽÷高 aV÷b÷h
宽体积÷长÷高 bV÷a÷h
高体积÷长÷宽 h V÷a÷b
正方体体积棱长×棱长×棱长
Va×a×a a3
读作a立方表示3a相（a·a·a）
长方体正方体底面面积做底面积
长方体（正方体）体积底面积×高
字母表示：VS h（横截面积相底面积长相高）
注意：长方体正方体棱长总相等体积定相等
6箱子油桶仓库等容纳物体体积通常做容积
固体般体积单位计量液体体积水油等
常容积单位升毫升写成Lml
1升1立方分米
1毫升1立方厘米
1升1000毫升
(1L 1dm3 1ml 1cm3)
长方体正方体容器容积计算方法体积计算方法相
容器里面量长宽高（物体体积容积）
注意：长方体正方体长宽高时扩倍体积会扩倍数立方倍
（长宽高扩2倍体积会扩原8倍）
*形状规物体排水法求体积形状规物体公式直接求体积
排水法公式：
V物体 V现－V原
V物体 S×(h现 h原)
V物体 S×h升高
8体积单位换算
单位×进率单位
单位÷进率单位
进率：1立方米＝1000立方分米＝1000000立方厘米（立方相邻单位进率1000）
1立方分米＝1000立方厘米＝1升＝1000毫升
1立方厘米＝1毫升
1方米100方分米10000方厘米
1方千米100公顷1000000方米
注意：长方体正方体关系
长方体正方体截成干长方体（正方体）表面积增加体积变
重量单位进率时间单位进率长度单位进率
单位×进率单位
单位÷进率单位
长度单位：
1千米 1000 米 1 分米10 厘米
1厘米10毫米 1分米100毫米
1米10分米100厘米1000毫米
（相邻单位进率10）
面积单位：
1方千米100公顷
1方米100方分米
1方分米100方厘米
1公顷10000方米（方相邻单位进率100）
质量单位：
1吨1000千克
1千克1000克
民币：
1元10角 1角10分 1元100分
第四单元 分数意义性质
1分数意义：物体物体等作整体整体均分成干份样份份分数表示
2单位1：整体然数1表示通常做单位1（什均分什单位1）
3分数单位：单位1均分成干份表示中份数做分数单位45分数单位15
4分数法
A÷BAB（B≠0数0分母够0） 例：4÷545
5真分数假分数带分数
1真分数：分子分母分数真分数真分数<1
2假分数：分子分母分子分母相等分数假分数假分数≧1
3带分数：带分数整数真分数组成分数带分数＞1
4真分数＜1≤假分数
真分数＜1＜带分数
6假分数整数带分数互化
（1）假分数化整数带分数分子÷分母商作整数余数作分子 ：
（2）整数化假分数整数分母分子 ：
（3）带分数化假分数整数分母加分子数假分数分子分母变：
（4）1等分子分母相分数：
7分数基性质：
分数分子分母时相数（0外）分数变
8简分数：分数分子分母公数1样分数做简分数
简分数果分母中25外含质数够化成限数反
9约分：分数化成相等分子分母较分数做约分
：243045
10通分：异分母分数分化成原相等分母分数做通分
：2514 化成820520
11分数数互化
（1）数化分数：数数位数位数分母10两位数分母100……
：
03310 0033100 000331000
（2）分数化数：
方法：分数化分母101001000……
：31003 3561006
1425100025
方法二：分子÷分母
：343÷4075
（3）带分数化数：
先整数分数化数加整数
12分数：
分母相分子分数
分子相分母分数
分数较般方法：分子较通分较化成数较
13分数化简包括两步：约分二假分数化成整数带分数
1205 14025 34075
1502 2504 3506
4508
180125 380375 580625 780875 120005 125004
14两数互质特殊判断方法：
① 11然数互质
② 2奇数互质数
③ 相邻两然数互质数
④ 相邻两奇数互质
⑤ 相两质数互质
⑥数合数数质数时（合数质数倍数情况）般情况两数互质数
15求公数方法：
① 倍数关系：公数较数
② 互质关系：公数1
③ 般关系：较数数否较数数
16分数知识图解：
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图形变换基方式移称旋转
1轴称果图形着条直线折两部分完全重合样图形做轴称图形条直线做称轴
（1）学轴称面图形：长（正）方形圆形等腰三角形等边三角形等腰梯形……
等腰三角形1条称轴
等边三角形3条称轴
长方形2条称轴
正方形4条称轴
等腰梯形1条称轴
意梯形行四边形轴称图形
（2）圆数条称轴
（3）称点称轴距离相等
（4）轴称图形特征性质：
①应点称轴距离相等
②应点连线称轴垂直
③称轴两边图形形状完全相
（5）称图形包括轴称图形中心称图形行四边形（棱形）属中心称图形
2旋转：面图形绕着顶点旋转定角度图形变化较做旋转定点O做旋转中心旋转角度做旋转角原图形点旋转成点成应点
（1）生活中旋转：电风扇车轮纸风车
（2）旋转明确绕点角度方
（3）长方形绕中点旋转180度原重合正方形绕中点旋转90度原重合等边三角形绕中点旋转120度原重合
旋转性质：
（1）图形旋转图形点面绕某固定点旋转固定角度位置移动
（2）中应点旋转中心距离相等
（3）旋转前图形形状没改变
（4）两组应点非旋转中心连线成角相等等旋转角
（5）旋转中心唯动点
3称旋转画法：旋转注意：时针逆时针度数
第二单元 数倍数
1整：数数商然数没余数
整数然数关系：整数包括然数
2数倍数：数数整时数数倍数数数数
例：126倍数612数
（1）数ab整ab倍数ba数数倍数相互存单独存
（2）数数数限中数1数身
数数求法：成序找
（3）数倍数数限倍数身
数倍数求法：次然数
（4）235倍数特征
1） 位02468数2倍数
2）数位数3倍数数3倍数
3）位05数5倍数
4）时235整（235倍数）两位数90三位数120
时满足235倍数实际求2×3×530倍数
5）果数时25倍数位数字定0
3完全数：身外数等身数做完全数
：6数：123（6外）刚1+2+366完全数完全数628等
4：然数2整分：奇数偶数
奇数：2整数奇数位13579数
偶数：2整数偶数（0偶数）位02468数
奇数1偶数0
关系： 奇数+ 偶数奇数
奇数+ 奇数偶数
偶数+偶数偶数
5然数数数分：质数合数10四类
质数（素数）：1身两数
合数：1身数（少三数：1身数）
1： 1数1质数合数
质数2合数4连续两质数23
合数质数相质数相定合数
20质数：8（235711131719）
100质数25：2357111317192329313741434753596167717379838997
100找质数合数技巧：
否23571113…倍数合数质数
关系：奇数×奇数奇数
质数×质数合数
6
A数：1
A数：A
A倍数：A
然数：0
奇数：1
偶数：0
质数：2
合数：4
7分解质数：合数分解成质数相形式
短法分解质数 （合数写成质数相形式）
：30分解质数：（302×3×5）
8互质数：公数1两数做互质数
两质数互质数：57
两合数互质数：89
质合互质数：78
两数互质特殊情况：
⑴1然数互质
⑵相邻两然数互质
⑶两质数定互质
⑷2奇数互质
⑸质数合数互质
9公数公数
数公数数公数中公数
短法求两数三数公数 （互质止数连起）
数公数1说数互质
果两数倍数关系时较数公数
果两数互质时1公数
10公倍数公倍数
数公倍数数公倍数中公倍数
短法求两数公倍数（互质止数商连起）
短法求三数公倍数（两两互质止数商连起）
果两数倍数关系时较数公倍数
果两数互质时积公倍数
11求公数公倍数方法
1216举例
1求法：（列举求法）
公数求法：
12数：1122634
16数：116284
公数4
公倍数求法：
12倍数：12243648…
16倍数：163248…
公倍数48
2求法二：（分解质数法）
122×2×3
162×2×2×2
公数：
2×24（相）
公倍数：
2×2×3×2×2 48（相×）
第三单元 长方体正方体
16长方形（特殊情况两相面正方形）围成立体图形做长方体两面相交边做棱三条棱相交点做顶点相交顶点三条棱长度分做长方体长宽高
长方体特点：
（1）6面8顶点12条棱相面面积相等相棱长度相等
（2）长方体6面长方形少4面长方形2面正方形
26完全相正方形围成立体图形做正方体（做立方体）
正方体特点：
（1）正方体12条棱长度相等
（2）正方体6面面正方形面面积相等
（3）正方体说长宽高相等长方体种特殊长方体
相
点
点
面
棱
长方体
6面12条棱8顶点
6面长方形
（两相面正方形）
相棱长度相等
正方体
6面正方形
12条棱相等
3长方体正方体关棱长计算公式：
长方体棱长总（长+宽+高）×4＝长×4+宽×4+高×4
L（a＋b＋h）×4
长棱长总÷4－宽 －高
aL÷4－b－h
宽棱长总÷4－长 －高
bL÷4－a－h
高棱长总÷4－长 －宽
hL÷4－a－b
正方体棱长总棱长×12
La×12
正方体棱长棱长总÷12
aL÷12
4长方体正方体6面总面积做表面积
长方体表面积（长×宽＋长×高＋宽×高）×2
S2（ab＋ah＋bh）
底（盖）
长方体表面积 长×宽＋（长×高＋宽×高）×2
S2（ab＋ah＋bh）－ab
S2（ah＋bh）＋ab
底盖长方体表面积（长×高＋宽×高）×2
S2（ah＋bh）
贴墙纸
正方体表面积棱长×棱长×6 Sa×a×6 字母表示：S 6a2
生活实际：
油箱罐头盒等6面
游泳池鱼缸等5面
水烟囱等4面
注意1：刀分开物体时分次增加两面（表面积相应增加）
注意2：长方体正方体长宽高时扩倍表面积会扩倍数方倍
（长宽高扩2倍表面积会扩原4倍）
5物体占空间做物体体积
长方体体积长×宽×高 Vabh
长体积÷宽÷高 aV÷b÷h
宽体积÷长÷高 bV÷a÷h
高体积÷长÷宽 h V÷a÷b
正方体体积棱长×棱长×棱长
Va×a×a a3
读作a立方表示3a相（a·a·a）
长方体正方体底面面积做底面积
长方体（正方体）体积底面积×高
字母表示：VS h（横截面积相底面积长相高）
注意：长方体正方体棱长总相等体积定相等
6箱子油桶仓库等容纳物体体积通常做容积
固体般体积单位计量液体体积水油等
常容积单位升毫升写成Lml
1升1立方分米
1毫升1立方厘米
1升1000毫升
(1L 1dm3 1ml 1cm3)
长方体正方体容器容积计算方法体积计算方法相
容器里面量长宽高（物体体积容积）
注意：长方体正方体长宽高时扩倍体积会扩倍数立方倍
（长宽高扩2倍体积会扩原8倍）
*形状规物体排水法求体积形状规物体公式直接求体积
排水法公式：
V物体 V现－V原
V物体 S×(h现 h原)
V物体 S×h升高
8体积单位换算
单位×进率单位
单位÷进率单位
进率：1立方米＝1000立方分米＝1000000立方厘米（立方相邻单位进率1000）
1立方分米＝1000立方厘米＝1升＝1000毫升
1立方厘米＝1毫升
1方米100方分米10000方厘米
1方千米100公顷1000000方米
注意：长方体正方体关系
长方体正方体截成干长方体（正方体）表面积增加体积变
重量单位进率时间单位进率长度单位进率
单位×进率单位
单位÷进率单位
长度单位：
1千米 1000 米 1 分米10 厘米
1厘米10毫米 1分米100毫米
1米10分米100厘米1000毫米
（相邻单位进率10）
面积单位：
1方千米100公顷
1方米100方分米
1方分米100方厘米
1公顷10000方米（方相邻单位进率100）
质量单位：
1吨1000千克
1千克1000克
民币：
1元10角 1角10分 1元100分
第四单元 分数意义性质
1分数意义：物体物体等作整体整体均分成干份样份份分数表示
2单位1：整体然数1表示通常做单位1（什均分什单位1）
3分数单位：单位1均分成干份表示中份数做分数单位45分数单位15
4分数法
A÷BAB（B≠0数0分母够0） 例：4÷545
5真分数假分数带分数
1真分数：分子分母分数真分数真分数<1
2假分数：分子分母分子分母相等分数假分数假分数≧1
3带分数：带分数整数真分数组成分数带分数＞1
4真分数＜1≤假分数
真分数＜1＜带分数
6假分数整数带分数互化
（1）假分数化整数带分数分子÷分母商作整数余数作分子 ：
（2）整数化假分数整数分母分子 ：
（3）带分数化假分数整数分母加分子数假分数分子分母变：
（4）1等分子分母相分数：
7分数基性质：
分数分子分母时相数（0外）分数变
8简分数：分数分子分母公数1样分数做简分数
简分数果分母中25外含质数够化成限数反
9约分：分数化成相等分子分母较分数做约分
：243045
10通分：异分母分数分化成原相等分母分数做通分
：2514 化成820520
11分数数互化
（1）数化分数：数数位数位数分母10两位数分母100……
：
03310 0033100 000331000
（2）分数化数：
方法：分数化分母101001000……
：31003 3561006
1425100025
方法二：分子÷分母
：343÷4075
（3）带分数化数：
先整数分数化数加整数
12分数：
分母相分子分数
分子相分母分数
分数较般方法：分子较通分较化成数较
13分数化简包括两步：约分二假分数化成整数带分数
1205 14025 34075
1502 2504 3506
4508
180125 380375 580625 780875 120005 125004
14两数互质特殊判断方法：
① 11然数互质
② 2奇数互质数
③ 相邻两然数互质数
④ 相邻两奇数互质
⑤ 相两质数互质
⑥数合数数质数时（合数质数倍数情况）般情况两数互质数
15求公数方法：
① 倍数关系：公数较数
② 互质关系：公数1
③ 般关系：较数数否较数数
16分数知识图解：
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