代数部分
第章：实数
基础知识点：
实数分类：
1理数：理数总写成形式中pq互质整数理数重特征
2理数：初中遇理数三种：开方根特定结构限环限数1101001000100001……特定意义数π°等
3判断实数数性仅表面感觉整理化简结
二实数中概念
1相反数：符号两数做互相反数
（1）实数a相反数 a （2）ab互相反数a+b0
2倒数：
（1）实数a（a≠0）倒数（2）ab 互倒数（3）注意0没倒数
3绝值：
（1）数a 绝值三种情况：
（2）实数绝值非负数数轴实数绝值数轴表示数点原点距离
（3）掉绝值符号（化简）必须绝值符号里面实数进行数性（正负）确认掉绝值符号
4n次方根
（1）方根算术方根：设a≥0称a方根a算术方根
（2）正数方根两互相反数0方根0负数没方根
（3）立方根：实数a立方根
（4）正数正立方根0立方根0负数负立方根
三实数数轴
1数轴：规定原点正方单位长度直线称数轴原点正方单位长度数轴三素
2数轴点实数应关系：数轴点表示实数实数数轴唯点表示实数数轴点应关系
四实数较
1数轴表示两数右边数总左边数
2正数0负数0正数切负数两负数绝值反
五实数运算
1加法：
（1）号两数相加取原符号绝值相加
（2）异号两数相加取绝值加数符号较绝值减较绝值加法交换律结合律
2减法：
减数等加数相反数
3法：
（1）两数相号取正异号取负绝值相
（2）n实数相数0积0n非0实数相积符号负数数决定负数偶数时积正负数奇数时积负
（3）法法交换律法结合律法分配律
4法：
（1）两数相号正异号负绝值相
（2）数等数倒数
（3）0数等00做数
5方开方：方开方互逆运算
6实数运算序：方开方三级运算二级运算加减级运算果没括号级运算中左右次运算级运算先算高级运算算低级运算括号先算括号里运算种运算注意先定符号运算
六效数字科学记数法
1科学记数法：设N＞0N a×（中1≤a＜10n整数）
2效数字：似数左边第0数精确数位止数字做数效数字精确度形式两种：（1）精确位（2）保留效数字
例题：
例1已知实数ab数轴应点位置图示
化简：
分析：数轴ab两点位置：a＜0b＞0
：解：
例2较abc
分析：c＞0容易出：
a＜b＜c解：略
例3互相反数求a+b值
分析：绝值非负特性知题意知：
：a–20b+20a2b –2 a+b0 解：略
例4已知ab互相反数cd互倒数m绝值1求值
解：原式
例5计算：（1） （2）
解：（1）原式
（2）原式
代数部分
第二章：代数式
基础知识点：
代数式
1代数式：运算符号数表示数字母连结成式子代数式单独数者字母代数式
2代数式值：数值代代数里字母计算结果做代数式值
3代数式分类：
二整式关概念运算
1概念
（1）单项式：x7种数字母积做单项式单独数字母单项式
单项式次数：单项式中字母指数做单项式次数
单项式系数：单项式中数字数单项式系数
（2）项式：单项式做项式
项式项：项式中单项式项式项项式含项项式
项式次数：项式里次数高项次数项式次数含字母项常数项
升（降）幂排列：项式某字母指数（）（）序排列起做项式字母升（降）幂排列
（3）类项：含字母相相字母指数分相项做类项
2运算
（1）整式加减：
合类项：类项系数相加结果作系数字母字母指数变
括号法：括号前面+号括号前面+号掉括号里项变括号前面–号括号前面–号掉括号里项变号
添括号法：括号前面+号括括号里项变括号前面–号括括号里项变号
整式加减实际合类项运算时果遇括号先括号合类项
（2）整式：
幂运算法：中mn正整数
底数幂相：底数幂相：幂方：积方：
单项式单项式：系数积作积系数相字母指数作字母指数单项式里含字母连指数作积式
单项式项式：单项式项式项积相加
项式项式：先项式项项式项积相加
单项单项式：系数底数幂分相作商式式里含字母连指数作商式
项式单项式：项式项单项商相加
法公式：
方差公式：
完全方公式：
三式分解
1式分解概念：项式化成整式积形式式分解
2常式分解方法：
（1）提取公式法：
（2）运公式法：
方差公式：完全方公式：
（3）十字相法：
（4）分组分解法：项式项适分组提公式运公式分解
（5）运求根公式法：两根：
3式分解般步骤：
（1）果项式项公式先提公式
（2）提出公式公式提考虑否运公式十字相法
（3）二次三项式应先尝试十字相法分解行求根公式法
（4）考虑分组分解法
四分式
1分式定义：形式子分式中AB整式B中含字母
（1）分式意义：B0时分式意义 B≠0时分式意义
（2）分式值0：A0B≠0时分式值等0
（3）分式约分：分式分子分母公式约做分式约分方法分子分母式分解约公式
（4）简分式：分式分子分母没公式时做简分式分式运算终结果分式定化简分式
（5）通分：异分母分式分化成原分式相等分母分式程做分式通分
（6）简公分母：分式分母式高次幂积
（7）理式：整式分式统称理式
2分式基性质：
（1）（2）
（3）分式变号法：分式分子分母分式身符号改变中两分式值变
3分式运算：
（1）加减：分母分式相加减分母变分子相加减异分母分式相加减先通分成分母分式相加减
（2）：先分式分子分母式分解约分分子分子分母分母
（3）：分式等倒数式
（4）方：分式方分子分母分方
五二次根式
1二次根式概念：式子做二次根式
（1）简二次根式：开方数数整数式整式开方数中含开方式二次根式简二次根式
（2）类二次根式：化简二次根式开方数相二次根式做类二次根式
（3）分母理化：分母中根号化做分母理化
（4）理化式：两含二次根式代数式相果积含二次根式说两代数式互理化式（常理化式：）
2二次根式性质：
（1） （2）（3）（a≥0b≥0）（4）
3运算：
（1）二次根式加减：二次根式化简二次根式合类二次根式
（2）二次根式法：（a≥0b≥0）
（3）二次根式法：
二次根式运算终结果果根式化成简二次根式
例题：
式分解：
1提公式法：
例1
分析：先提公式方差公式解：略
[规律总结]式分解着先提取公式等应第式分解分解止需分解式进行审查果分解应继续分解
2十字相法：
例2（1）（2）
分析：成(x+y)二次三项式先十字相法初步分解解：略
[规律总结]应十字相法时注意某项单项字母某项式整式时需连续十字相法
3分组分解法：
例3
分析：先分组第项第二项组第三第四项组提取公式解：略
[规律总结]项式适分组转化成基方法式分组分组目提公式十字相法公式法解题
4求根公式法：
例4解：略
二式运算
巧公式
例5计算：
分析：运方差公式式分解分式运算简单化解：略
[规律总结]抓住三法公式特征灵活运特掌握公式种变形公式逆掌握运公式技巧运算简便准确
2化简求值：
例6先化简求值：中x – 1 y
[规律总结]定先化简代入求值注意括号法
3分式计算：
例7化简
分析：– 成 解：略
[规律总结]分式计算程中：（1）法转化法时倒转分子分母（2）注意负号
4根式计算
例8已知简二次根式类二次根式求b值
分析：根类二次根式定义：2b+17–b解：略
[规律总结]二次根式性质运算中考必考容特二次根式化简求值性质运中考考查容
代数部分
第三章：方程方程组
基础知识点：
方程关概念
1方程：含未知数等式做方程
2方程解：方程左右两边值相等未知数值方程解含未知数方程解做方程根
3解方程：求方程解方判断方程解程做解方程
4方程增根：方程变形时产生适合原方程根做原方程增根
二元方程
1元次方程
（1）元次方程标准形式：ax+b0（中x未知数ab已知数a≠0）
（2）玩次方程简形式：axb（中x未知数ab已知数a≠0）
（3）解元次方程般步骤：分母括号移项合类项系数化1
（4）元次方程唯解
2元二次方程
（1）元二次方程般形式：（中x未知数abc已知数a≠0）
（2）元二次方程解法： 直接开方法配方法公式法式分解法
（3）元二次方程解法选择序：先特殊般没求般配方法
（4）元二次方程根判式：
Δ＞0时方程两相等实数根
Δ0时方程两相等实数根
Δ< 0时方程没实数根解
Δ≥0时方程两实数根
（5）元二次方程根系数关系：
元二次方程两根：
（6）两数根元二次方程（二次项系数1）：
三分式方程
（1）定义：分母中含未知数方程做分式方程
（2）分式方程解法：
般解法：分母法方程两边简公分母
特殊方法：换元法
（3）检验方法：般求未知数值代入简公分母简公分母0原方程根简公分母0原方程增根增根必须舍求未知数值代入原方程检验
四方程组
1方程组解：方程组中方程公解做方程组解
2解方程组：求方程组解判断方程组解程做解方程组
3次方程组：
（1）二元次方程组：
般形式：（全0）
解法：代入消远法加减消元法
解数：唯解解两方程相时数解
（2）三元次方程组：
解法：代入消元法加减消元法
4二元二次方程组：
（1）定义：二元次方程二元二次方程组成方程组两二元二次方程组成方程组做二元二次方程组
（2）解法：消元转化解元二次方程者降次转化二元次方程组
考点命题趋分析
例题：
元二次方程解法
例1解列方程：
（1）（2）（3）
分析：（1）直接开方法解（2）公式法（3）式分解法 解：略
[规律总结]果元二次方程形直接开方法解利公式法解解元二次方程运公式法解元二次方程时定方程化成般形式
例2解列方程：
（1）（2）
分析：（1）先化般形式公式法解（2）直接十字相法式分解求解
[规律总结]带字母系数方程解法般方程没什区公式法时注意判断△正负
二分式方程解法：
例3解列方程：
（2）（2）
分析：（1）分母方法（2）换元法 解：略
[规律总结]般分式方程分母法解具特殊关系：方关系倒数关系等分式方程采换元法解
三根判式根系数关系
例4已知关x方程：两相等实数根求p值
分析：题意0系数代入0中求出p先化般形式
[规律总结]根判式三种情况熟练特留意二次项系数0
例5已知ab方程两根求列式值：
（1）（2）
分析：先算出a+bab值代入（1）（2）变形式子求出解
[规律总结]类题目先算出两根两根积求式子变形成含两根两根积形式代入计算注意检验方程否解
例6求作元二次方程两根分方程两根3
分析：先出求原方程两根两根积代入求出值求方程容易写出解：略
[规律总结]类题目先解出第方程两解时样太复杂根系数关系较简单
三方程组
例7解列方程组：
（1） （2）
分析：（1）加减消元法消x较简单（2）应该先加减消元法消y变成二元次方程组较易求解解：略
[规律总结]加减消元法常消元方法消元时未知数系数简单先消未知数
例8解列方程组：
（1） （2）
分析：（1）代入消远法根系数关系求解（2）先第方程式分解化成两二元次方程第二方程分组成两方程组解解：略
[规律总结]二元次方程二元二次方程组成方程组般代入消元法两二元二次方程组成方程组定先中方程式分解化两次方程第二方程组成两方程组求解
代数部分
第四章：列方程（组）解应题
知识点：
列方程（组）解应题般步骤
1审题：
2设未知数
3找出相等关系列方程（组）
4解方程（组）
5检验作答
二列方程（组）解应题常见类型题等量关系
1工程问题
（1）基工作量关系：工作量工作效率×工作时间
（2）常见等量关系：甲工作量+乙工作量甲乙合作工作总量
（3）注意：工程问题常总工程作1水池注水问题属工程问题
2行程问题
（1）基量间关系：路程速度×时间
（2）常见等量关系：
相遇问题：甲走路程+乙走路程全路程
追问题（设甲速度快）：
时：甲时间乙时间甲走路程–乙走路程原甲乙相距路程
时：甲时间乙时间–时间差甲路程乙路程
3水中航行问题：
流速度船静水中速度+水流速度
逆流速度船静水中速度–水流速度
4增长率问题：
常见等量关系：增长量原量+增长量增长量原量×（1+增长率）
5数字问题：
基量间关系：三位数位数+十位数×10+百位数×100
三列方程解应题常方法
1译式法：题目中关键性语言数量数量间关系译成代数式然根代数间联系找出等量关系
2线示法：直线线段表示应题中数量关系然根线段长度联系找出等量关系
3列表法：已知条件求未知量纳入表格找出种量间关系
4图示法：利图表示题中数量关系量量间关系更直观种方法帮助更理解题意
例题：
例1甲乙两组工合作完成项工程合作5天甲组务乙组单独工作1天完成单独完成项工程乙组甲组2天求甲乙两组单独完成项工程需天？
分析：设工作总量1设甲组单独完成工程需x天乙组完成工程需(x+2)天等量关系甲组5天工作量+乙组6天工作量工作总量 解：略
例2某部队奉命派甲连跑步前90千米外A1时45分务需增派乙连车前支援已知乙连甲连时快28千米恰全程处追甲连求乙连行进速度追甲连时间
分析：设乙连速度v千米时追甲连时间t时甲连速度（v–28）千米时时乙连行时等量关系：甲走路程乙走路程30
例3某工厂原计划规定期限生产通讯设备60台支援抗洪改进操作技术天生产台数原计划50结果提前2天完成务求改进操作技术天生产通讯设备少台？
分析：设原计划天生产通讯设备x台改进操作技术天生产x（1+05）台等量关系：原计划时间–改进技术时间2天 解：略
例4某商厦年月份销售额60万元二月份种种原营善销售额降10加强理月销售额升四月份销售额增加96万元求三四月份均月增长百分率少？
分析：设三四月份均月增长率x二月份销售额60（1–10）万元三月份销售额二月份（1+x）倍四月份销售额三月份（1+x）倍四月份销售额二月份（1+x）2倍等量关系：四月份销售额96万元解：略
例5年期定期储蓄年利率225利息交纳20利息税例存入年期100元期储户纳税利息计算公式：
税利息
已知某储户存笔年期定期储蓄期纳税利息450元问该储户存入少金？
分析：设存入x元金年期定期储蓄期纳税利息225(120)x元方程容易出
例6某商场销售批名牌衬衫均天售出20件件盈利40元扩销售增加盈利减少库存商场决定采取适降低成措施调查发现果件衬衫降价1元商场均天售出2件商场均天盈利1200元件衬衫应降价少元？
分析：设件衬衫应该降价x元件衬衫利润（40x）元均天销售量（20+2x）件关系式：
总利润件利润×售出商品量列出方程 解：略
代数部分
第五章：等式等式组
知识点：
等式等式性质
1等式：表示等关系式子（表示等关系常符号：≠＜＞）
2等式性质：
（l）等式两边加（减）数等号方改变a＞ b c实数a＋c＞b＋c
（2）等式两边（）正数等号方变a＞b c＞0ac＞bc
（3）等式两边（）负数等号方改变a＞bc＜0ac＜bc
注：等式两边（）实数时定养成惯先确定该数数性（正数零负数）确定等号方否改变应等式性质样便防出错
3意两实数ab关系（三种）：
（1）a – b ＞0 a＞b
（2）a – b0ab
（3）a–b＜0a＜b
4（1）a＞b＞0
（2）a＞b＞0
二等式（组）解解集解等式
1等式（组）成立未知数值做等式（组）解
等式解集合做等式解集
等式组中等式解集公部分做等式组解集
2．求等式（组）解集程做解等式（组）
三等式（组）类型解法
1元次等式：
（l）概念：含未知数含未知数项次数次等式做元次等式
（2）解法：解元次方程类似特注意等式两边（）负数时等号方改变
2元次等式组：
（l）概念：含相未知数元次等式组成等式组做元次等式组
（2）解法：先求出等式解集确定解集公部分
注：求等式组解集般助数轴求解较方便
例题：
方法1：利等式基性质
1判断正误：
（1）a＞bc实数＞
（2）＞a＞b
分析：（l）中c0 （2）中＞C≠0否应 a＞b 解：略
［规律总结］等式正确变形关键牢记等式三条基性质等式两边含字母式子时字母进行讨
方法2：特殊值法
例2a＜b＜0列式成立（ ）
A Bab＜0 C D
分析：直接解法解答常常费时间答案般情况成立然特殊情况成立采特殊值法
解：根a＜b＜0条件取a –2b –l代入检验易知选D
[规律总结］种方法常解选择题学生知识限直接解答时特殊值法快找符合条件答案
方法3：类法
例3解列元次等式解集数轴表示出
（1）8–2（x＋2）＜4x–2（2）
分析：解元次等式步骤解元次方程类似步骤分母括号移项合类项系数化成1需注意等式两边时负数等号改变方解：略
[规律总结］解元次等式解元次方程步骤类似注意等式两边负数时等号方必须改变类法解题学生容易理解新知识掌握新知识
方法4：数形结合法
例4求等式组：非负整数解
分析：求等式组非负整数解应先求出等式组解集解集中找出中非负整数解解：略
方法5：逆思考法
例5已知关x等式解集x＞3求a值
分析：关x等式解集x＞3原等式等号a – 2 >0原等式解集解方程求出a值解：略
[规律总结]题先解字母等式着眼已知解集探求成立条件种类型题采逆思考法解
代数部分
第六章：函数图
知识点：
面直角坐标系
1面公原点互相垂直两条数轴构成面直角坐标系面直角坐标系点序实数间建立—应关系
2位置点坐标特征：
（1）象限点坐标特征：
点P（x y）第象限x ＞0y＞0
点P（x y）第二象限x＜0y＞0
点P（x y）第三象限x＜0y＜0
点P（x y）第四象限x＞0y＜0
（2）坐标轴点特征：
点P（x y）x轴y0x意实数
点P（xy）y轴x0y意实数
3．点P（x y）坐标意义：
（1）点P（x y）x轴距离| y |
（2）点P（x y）y袖距离| x |
（3）点P（x y）原点距离
4．关坐标轴原点称点坐标特征：
（1）点P（a b）关x轴称点
（2）点P（a b）关x轴称点
（3）点P（a b）关原点称点
二函数概念
1常量变量：某变化程中取数值量做变量保持数值变量做常量
2函数：般设某变化程中两变量xy果x值y唯值应说x变量yx函数
（1）变量取值范围确：
①解析式含变量整式函数变量取值范围全体实数
②解析式含变量分式函数变量取值范围分母0实数
③解析式含变量偶次根式函数变量取值范围开方数非负实数
注意：确定函数中变量取值范围时果遇实际问题必须实际问题意义
（2）函数值：变量取值范围值求函数应值
（3）函数表示方法：①解析法②列表法③图法
（4）函数解析式作函数图般步骤：①列表②描点③连线
三种特殊函数
1次函数
直线位置kb关系：
（1）k＞0直线方x轴正方形成夹角锐角
（2）k＜0直线方x轴正方形成夹角钝角
（3）b＞0直线y轴交点x轴方
（4）b＝0直线原点
（5）b＜0直线y轴交点x轴方
2二次函数
抛物线位置abc关系：
（1）a决定抛物线开口方
（2）c决定抛物线y轴交点位置：
c>0图y轴交点x轴方c0图原点c<0图y轴交点x轴方
（3）ab决定抛物线称轴位置：ab号称轴y轴左侧b＝0称轴y轴 ab异号称轴y轴右侧
3反例函数：
4正例函数反例函数表：
例题：
例1正例函数图象反例函数图象点P（m4）已知点Px轴距离y轴距离2倍
⑴求点P坐标
⑵求正例函数反例函数解析式
分析：点Px轴距离y轴距离2倍知：2|m|4易求出点P坐标利定系数法求出正反例函数解析式解：略
例2已知ab常数y+bx+a成正例求证：yx次函数
分析：应写出y+bx+a成正例表达式然判断结果否符合次函数定义
证明：已知y+bk(x+a)中k≠0
整理ykx+(ka－b) ①
k≠0ka－b常数ykx+(ka－b)x次函数式
例3填空：果直线方程ax+by+c0中a＜0b＜0bc＜0直线第________象限
分析：先ax+by+c0化a＜0b＜0bc＜0＜0－＞0相次函数ykx+l中k－＜0l－＞0直线y轴交点(0－)x轴方直线方x轴正方成角钝角直线第二四象限
例4反例函数y二次函数ykx2(k≠0)画坐标系里正确( )
答：选(D)两函数式中k正负号应相(图13－110)
例5画出二次函数yx26x+7图象根图象回答列问题：
（1）x113时y值少？
（2）y2时应x值少？
（3）x＞3时x值增y值样变化？
（4）x值3增加1时应y值增加少？
分析：画出二次函数图象首先配方法yx26x+7变形y（x3）22确定抛物线开口方称轴顶点坐标然列表描点画图．解：图象略．
例6拖拉机开始工作时油箱油45升果时耗油6升．
（1）求油箱中余油量Q（升）工作时间t（时）间函数关系式
（2）画出函数图象．
答：（1）Q456t．
（2）图象略．注意：实际问题图象变量t取值范围0≤t≤75决定条线段直线．
代数部分
第七章：统计初步
知识点：
总体样：
统计时考察象全体做总体中考察象做体总体中抽取部分体做总体样样中体数目做样容量
二反映数集中趋势特征数
1均数
（1）均数
（2）加权均数：果n数中出现次出现次……出现次（里）
（3）均数简化计算：
组数中数数值较常数a接时设均数：
2中位数：组数接序排列处中间位置数做组数中位数果数数偶数中位数处中间位置两数均数
3众数：组数中出现次数数做组数众数组数众数止
三反映数波动特征数：
1方差：
（l）方差
（2）简化计算公式：（较整数时公式较方便）
（3）记方差设a常数方差
注：数较常数a较接时该法计算方差较简便
2标准差：方差（）算术方根做标准差（S）
注：通常方差求标准差
四频率分布
1关概念
（1）分组：组数统标准分成干组称分组数100时通常分成5－12组
（2）频数：组数数做该组频数组频数等数总数n
（3）频率：组频数数总数n值做组频率组频率l
（4）频率分布表：组数分组组相应频数频率列成表格做频率分布表
（5）频率分布直方图：频率分布表中结果绘制成数分点横坐标频率组距坐标直方图做频率分布直方图
图中长方形高等该组频率组距
长方形面积等该组频率
长方形面积等组频率等1
样频率分布反映样中数数分占样容量n例总体分布反映总体中组数数分总体中占例般样频率分布估计总体频率分布
2研究频率分布方法数频率分布方法通常先整理数画出频率分布直方图步骤：
（1）计算值值差（2）决定组距组数（3）决定分点（4）列领率分布表（5）绘频率分布直方图
例题：
例1某养鱼户搞池塘养鱼放养鳝鱼苗20000尾成活率70％意捞出10尾鱼称尾重量（单位：千克）0．80．91．21．30．81．l1．01．20．80．9
根样均数估计塘鱼总产量少千克？
分析：先算出样均数样均数2000070解：略
［规律总结］求均数三种方法数较分散时般均数概念求著数较某数a波动时通常采简化公式教重复出现时通常采加权均数公式计算
例2次科技知识竞赛两次学生成绩统计
已算两组均分80分请根学统计知识进步判断两组成绩谁优谁次说明理
解：（l）甲组成绩众数90分乙组成绩众数70分众数较甲组成绩
（2）算172
甲组成绩较乙组波动
（3）甲乙两组成绩中位数80分甲组成绩中位数33乙组成绩中位数26角度甲组成绩总体
（4）成绩统计表甲组成绩高80分数20乙组成绩高80分数24乙组成绩集中高分段数时乙组满分数甲组满分数6角度乙组成绩较
[规律总结］明确方差标准差衡量组数波动恰选方差三计算公式应抓住三公式特征根题中数特点选计算公式
例3某学校3600中抽出50名男生取身高（单位cm）数：181 181 179 177 177 177 176 175 175 175 175 174 174 174 174 173 173 173 173 172 172 172 172 172 171 171 171 170 170 169 l69 168 167 167 167 166 l66 l66 166 166 165 165 165 163 163 162 161 160 158 157
1计算频率画出频率分布直方图
2指出身高组男学生数占
3．请估计初三男学生身高166．5cm约少？
解：1组频率次：008022022036012
2频率分布表（图）中见身高1715—1765组男学生数占
3方男学生身高1665侧约900（）
[规律总结］掌握获组数频率分布五步骤掌握整理数步骤方法会数进行合理分组
部分
第章：线段角相交线行线
知识点：
直线：直线中加定义基概念直线两特征直两方限延伸
二直线性质：两点条直线条直线直线条性质公理形式出简述：两点条直线两直线相交交点
三射线：
1射线定义：直线点旁部分做射线
2．射线特征：方限延伸端点
四线段：
1线段定义：直线两点间部分做线段两点做线段端点
2线段性质（公理）：连接两点线中线段短
五线段中点：
1定义图11中点B线段AC分成两条相等线段点B做线段图1－1AC中点
2表示法：
∵AB＝BC
∴点 B AC中点
∵ AB＝ MAC
∴点 BAC中点∵AC＝2AB∴点BAC中点
反成立
∵点 BAC中点∴AB＝BC
∵点BAC中点 ∴AB AC
∵点BAC中点 ∴AC2BC
六角
1角两种定义：种公端点两条射线组成图形做角弄清定义中两重点①角两条射线组成图形②两条射线必须公端点种条射线绕着端点位置旋转位置形成图形出起始位置射线终止位置射线形成角
2．角分线定义：条射线角分成两相等角
条射线做角分线表示法三种：图1—2
（1）∠AOC＝∠BOC
（2）∠AOB＝2∠AOC＝ 2∠COB
（3）∠AOC＝∠COB∠AOB
七角度量：度量角度作度量单位圆周分成360等份份做度角1度60分1分60秒
八角分类：
（1）锐角：直角角做锐角
（2）直角：角半做直角
（3）钝角：直角角角
（4）角：条射线绕着端点着方旋转终止位置起始位置成直线时成角做角
（5）周角：条射线绕着端点着方旋转终边始边重合时成角做周角
（6）周角角直角关系： l周角2角4直角360°
九相关角：
1顶角：角两边分角两边反延长线两角做顶角
2互补角：果两角角两角做互补角
3互余角：果两角直角两角做互余角
4邻补角：公顶点条公边两条边互反延长线两角做互邻补角
注意：互余互补指两角数量关系两角位置关互邻补角求两角特殊位置关系
十角性质
1顶角相等
2角等角余角相等
3角等角补角相等
十相交线
1斜线：两条直线相交成直角时中条直线做条直线斜线交点做斜足
2两条直线互相垂直：两条直线相交成四角中角直角时说两条直线互相垂直
3垂线：两条直线互相垂直时中条直线做条直线垂线交点做垂足
4垂线性质
（l）点条直线知直线垂直
（2）直线外点直线点连结线段中垂线段短简单说：垂线段短
十二距离
1两点距离：连结两点线段长度做两点距离
2直线外点条直线垂线段长度做点直线距离
3两条行线距离：两条直线行条直线意点条直线引垂线垂线段长度做两条行线距离
说明：点直线距离行线距离实际两特殊点间距离点直线垂线段分开
十三行线
1定义：面相交两条直线做行线
2行公理：直线外点条直线条直线行
3行公理推：果两条直线第三条直线行两条直线互相行
说明：说两条射线两条线段行实际指直线行
4行线判定：
（1）位角相等两直线行
（2）错角相等两直线行
（3）旁角互补两直线行
5行线性质
（1）两直线行位角相等
（2）两直线行错角相等
（3）两直线行旁角互补
说明：证明两条直线行判定公理（定理）已知条件中两条直线行时应性质定理
6果角两边分行角两边两角相等互补
注意：角两边行方相（相反）时两角相等角两边行边方相方相反时两角互补
例题：
方法1：利特殊点线段长
例1已知：图1－3C线段AB中点D线段CB
中点BD＝12cm求：AD长
[思路分析]DCB中点DB已知求出CBC点
AB中点求出AB长AB减减DB求AD解：略
[规律总结]利线段特殊点中点例点求线段长方法较简便解法
方法2：辨角数线段条数
例2图1－4线段AE5点ABCDE样数出线段
[思路分析]问题认真审题会误4点恰4空4条线段ABBC CD ED果端点出发找出端点确定线段会发现10条线段：
：ABACADAEBCBDBECDCEDE10条
[规律总结]类型题果做重漏方法先端点出发找出端点确定线段
例3图15指出图形中直线AB方角数（含角）
[思路分析]题学认真分析误认4角实9角：∠AOC∠AOD∠AOE∠COD∠COE∠COB∠DOE∠DOB∠EOB9角
[规律总结]顶点引出条射线时．确定角数般边序分类统计避免重复遗漏
方法3：代数法求角度
例4已知锐角余角锐角补角求角
[思路分析]题涉角锐角余角补角根互余角互补角概念考虑数量什关系？设锐角x余角90 – x 补角180 – x列方程解：略
[规律总结］关余角补角问题般代数方法先设未知数题意列出方程求出结果
方法4：添加辅助线移角
例5已知：图l—6AB∥ED
求证：∠B＋∠BCD＋∠D＝360°
[思路分析]知道周角等360°图中出现∠BCD相关C顶点周角∠B∠D移∠BCD相邻C顶点位置∠B∠BCD∠D三角组成分周角推出结证时：略
规律总结]题三种证法思想样通加辅助线移角达目种处理方法中常常
部分
第二章：三角形
知识点：
关三角形概念
条直线三条线段首尾次相接组成图形做三角形
组成三角形线段三角形边相邻两边公端点三角形顶点相邻两边组成角三角形角简称三角形角
1三角形角分线
三角形角分线条线段（顶点角分线边交线间距离）
2三角形中线
三角形中线条线段（顶点边中点间距离）
3．三角形高
三角形高线条线段（顶点边距离）
注意：三角形中线角分线三角形
图 2－l AD BE CFABC角分线△ABC
图2－2ADBECF△ABC中线△ABC
图2－3说明高线定 △ABC
图2—3—（1） 图2—3—（2） 图2－3（3）
图2－3—（1）中三条高线△ ABC
图2－3－（2）中高线CD△ABC高线ACBC三角形边
图2－3（3）中高线BE△ABC高线ADCF△ABC外
三三角形三条边关系
三角形三边相等等边三角形两条边相等等腰三角形三边相等等边三角形
等腰三角形中相等两条边腰边底边腰底边夹角底角两腰夹角项角
三角形接边相等关系分类：
三角形
集合表示见图2－4
推三角形两边差第三边
符合定理三条线段组成三角形三边
例三条线段长分5615＋6＜12三条线段作三角形三边
三三角形角
定理三角形三角等180°
定理知三角形二角已知第三角定理求
已知△ABC两角∠A＝90°∠B＝40°∠C＝180°–90°–40°＝50°
定理知道三角形三角中角直角钝角
推1：直角三角形两锐角互余
三角形角分类：
集合表示见图
三角形边边延长线组成角三角形外角
推2：三角形外角等相邻两角
推3：三角形外角相邻角
例图2—6中
∠1 ＞∠3∠1∠3＋∠4∠5＞∠3＋∠8∠5＝∠3＋∠7＋∠8
∠2＞∠8∠2＝∠7＋∠8∠4＞∠9∠4＝∠9＋∠10等等
四全等三角形
够完全重合两图形全等形
两全等三角形重合时互相重合顶点应顶点互相重合边应边互相重合角应角
全等符号≌表示
△ABC≌△A `B`C`表示 A A` BB` CC`应点
全等三角形应边相等全等三角形应角相等
图2—7△ABC≌△A `B`C`ABC应点A`B`C`ABBCCA应边A`B`B`C`C`A`
∠A∠B∠C应角∠A`∠B`∠C`
∴AB＝A`B`BC＝B`C`CA＝C`A`∠A＝∠A`∠ B＝∠B`∠C＝∠C`
五全等三角形判定
1边角边公理：两边夹角应相等两三角形全等（简写成边角边SAS）
注意：定两边夹角边边角
2角边角公理：两角夹边应相等两三角形全等（简写成角边角ASA）
3推两角中角边应相等两三角形全等（简写成角角边’域AAS）
4边边边公理三边应相等两三角形全等（简写成边边边SSS）
边边边公理知三角形重性质：三角形稳定性
面判定定理外边边角角角角保证两三角形全等
5直角三角形全等判定：斜边直角边公理斜边条直角边应相等两直角三角形全等（简写成斜边直角边HL）
六角分线
定理1角分线点角两边距离相等
定理2角两边距离相等点角分线
定理12知：角分线角两边距离相等点集合
证明三角形存点三角形三边距离相等点三角形三条角分线交点（交点）
两命题中果第命题题设第二命题结第命题结第二命题题设两命题做互逆命题果中做原命题逆命题
果定理逆命题证明真命题定理两定理互逆定理中逆定
理
例：两直线行位角相等位角相等两直线行互逆定理
定理定逆定理例定理：顶角相等没逆定理相等角顶角假命颗
七基作图
限定直尺圆规画图称尺规作网＿
基常尺规作图．通常称基作图例做条线段等知线段
1作角等已知角：作法三角形全等（SSS）应角相等
2分已知角：作法三角形全等（SSS）．应角相等
3点作已知直线垂线：（1）点已知直线作分已知角角（2）点已知直线外类似分已知角方法做：已知点
C圆心适长半径作弧交已知真线AB两点AB圆心相长半径分作弧交D点连结CD求垂线
4作线段垂直分线：
线段垂直分线中垂线
做法实质全等三角形（SSS）
方法作线段中点
八作图题举例
重解决求作三角形问题
1已知两边夹角求作三角形 2已知底边高求作等腰三角形
九等腰三角形性质定理
等腰三角形性质定理：等腰三角形两底角相等（简写成等边等角）
推1：等腰三角形顶角分线分底边垂直底边说：等腰三角形顶角分线底边中线底边高互相重合
推2：等边三角形角相等角等60°
例：等腰三角形底边中线点两腰距离相等等腰三角形底边中线顶角角分线角分线点角两边距离相等n
十等腰三角形判定
定理：果三角形两角相两角两条边相等（简写成等角等动）
推1：三角相等三角形等边三角形
推2：角等60°等腰三角形等边三角形
推3：直角三角形中果锐角等3O°直角边等斜边半
十线段垂直分线
定理：线段垂直分线点条线段两端点距离相等
逆定理：条线段两端点距离相等点条线段垂直分线
说：线段垂直分线作线段两端点距离相等点集合
十二轴称轴称图形
图形着某条直线折叠二果够图形重合说两图形关条直线轴称两图形中应点关条直线称点条直线称轴
两图形关直线称轴称
定理1：关某条直线称两图形全等形
定理2：果两图形关某条直线称称轴应点连线垂直分线
定理3：两图形关某条直线称果应线段延长相交交点称轴
逆定理：果两图形应点连线条直线垂直分两图形关条直线称
果图形着条直线折叠直线两旁部分够互相重合图形做轴称图形条直线称轴
例：等腰三角形顶角分角线具面述特点等腰三角形顶角分角线等腰三角形条称轴等腰三角形轴称图形
十三勾股定理
勾股定理：直角三角形两直角边ab方等斜边c方：
勾股定理逆定理：果三角形三边长abc面关系：
三角形直角三角形
例题：
例1已知：ABCD相交点OAC∥DBOCODEFAB两点AEBF求证：CEDF
分析：证CEDF证△ACE≌△BDF已知条件直接证出全等时已知条件先证出△AOC≌△BOD出ACBD证出△ACE≌△BDF
证明：略
例2已知：图ABCDBCDAEFAC两点AECF求证：BFDE
分析：观察图形BFDE分△CFB△AED（△ABF△CDE）中已知条件直接证明两三角形全等时已知条件先证明△ABC≌△CDA∠1∠2证出△CFB≌△AED
证明：略
例3已知：∠CAE三角形ABC外角 ∠1∠2 AD∥BC
求证：ABAC
证明：略
例4已知：图 3－ 89OE分∠AOBEC⊥OA CED⊥OB D．求证：（1）OC＝OD（2）OE垂直分CD．
分析：证明第（1）题时利等角余角相等∠OEC＝∠OED利角分线性质定理 OC＝OD．样处理避免证明两三角形全等．证明：略
部分
第三章：四边形
知识点：
边形
1边形：线段首尾次连结组成图形做边形
2边形边：组成边形条线段做边形边
3边形顶点：边形相邻两边公端点做边形顶点
4边形角线：连结边形相邻两顶点线段做边形角线
5边形周长：边形边长度做边形周长
6凸边形：边形条边两方延长果边形边延长线直线问旁样边形凸边形
说明：边形少三条边三条边做三角形四条边做四边形条边做边形说边形果特声明指凸边形
7边形角：边形相邻两边组成角做边形角简称边形角
8边形外角：边形角边边反延长线组成角做边形外角
注意：边形外角公顶点角邻补角
9n边形角线条
说明：利述公式边形边数计算出角线条数边形角线条数求出边数
10边形角定理：n边形角等（n－2）180°
11边形角定理推：n边形外角等360°
说明：边形外角常数（边数关）利解决关计算题利边形角公式角线求法公式简单公式解决关计算解方程联系起
掌握计算方法
二行四边形
1行四边形：两组边分行四边形做行四边形
2行四边形性质定理1：行四边形角相等
3行四边形性质定理2：行四边形边相等
4行四边形性质定理2推：夹行线间行线段相等
5行四边形性质定理3：行四边形角线互相分
6行四边形判定定理1：组边行相等四边形行四边形
7行四边形判定定理2：两组边分相等四边形行四边形
8行四边形判定定理3：角线互相分四边形行四边形
9行四边形判定定理4：两组角分相等四边形行四边形
说明：（1）行四边形定义性质判定研究特殊行四边形基础时证明线段相等角相等两条直线互相行重方法
（2）行四边形定义行四边形性质行四边形判定方法
三矩形
矩形特殊行四边形运动变化观点行四边形角变90°时边角位置变化矩形性质行四边形基础扩充
1矩形：角直角行四边形做短形（通常做长方形）
2矩形性质定理1：矩形四角直角
3．矩形性质定理2：矩形角线相等
4矩形判定定理1：三角直角四边形矩形
说明：四边形角等360度已知三角直角第四角必定直角
5矩形判定定理2：角线相等行四边形矩形
说明：判定四边形矩形方法：
法：先证明出行四边形证出直角（定义证明）
法二：先证明出行四边形证出角线相等（判定定理1）
法三：需证出三角直角（判定定理2）
四菱形
菱形特殊行四边形行四边形两邻边发生变化时两邻边相等时行四边形变成菱形
1菱形：组邻边相等行四边形做菱形
2菱形性质1：菱形四条边相等
3菱形性质2：菱形角线互相垂直条角线分组角
4菱形判定定理1：四边相等四边形菱形
5菱形判定定理2：角线互相垂直行四边形菱形
说明：判定四边形菱形方法：
法：先证出四边形行四边形证出组邻边相等（定义证明）
法二：先证出四边形行四边形证出角线互相垂直（判定定理2）
法三：需证出四边相等（判定定理1）
（五）正方形
正方形特殊行四边形邻边角时运动时行四边形角直角邻边相等样形成正方形
1正方形：组邻边相等角直角行四边形做正方形
2正方形性质定理1：正方形四角直角四条边相等
3正方形性质定理2：正方形两条角线相等互相垂直分条角线分组角
4正方形判定定理互：两条角线互相垂直矩形正方形
5正方形判定定理2：两条角线相等菱形正方形
注意：判定四边形正方形方法
方法：第步证出组邻边相等 第二步证出角直角第三步证出行四边形（定义证明）
方法二：第步证出角线互相垂直第二步证出矩形（判定定理1）
方法三：第步证出角线相等第二步证出菱形（判定定理2）
六梯形
1梯形：组边行组边行四边形做梯形
2梯形底：梯形中行两边做梯形底（通常较短底做底较长边做底）
3梯形腰：梯形中行两边做梯形腰
4梯形高：梯形两底距离做梯形高
5直角梯形：腰垂直底梯形做直角梯形
6等腰梯形：两腰相等梯形做等腰梯形
7等腰梯形性质定理1：等腰梯形底两角相等
8等腰梯形性质定理2：等腰梯形两条角线相等
9等腰梯形判定定理l：底钩两角相等梯形等腰梯形
10等腰梯形判定定理2：角线相等梯形等腰梯形
研究等腰梯形常方法：化等腰三角形行四边形两全等直角三角形矩形作角线行线交底延长线点延长两腰交点
七中位线
1三角形中位线连结三角形两边中点线段做三角形中位线
说明：三角形中位线三角形中线
2梯形中位线：连结梯形两腰中点线段做梯形中位线
3三角形中位线定理：三角形中位线行第三边等第三边半
4梯形中位线定理：梯形中位线行两底等两底半
八边形面积
说明：边形面积常求法：
（1）意面图形划分干部分通求部分面积求出原图形面积种方法做分割法图3－l作六边形长条角线顶点条角线引垂线六边形分成四直角三角形两直角梯形计算面积相加
（2）面图形某部分割移放适位置改变原图形形状利计算变形图形面积求原图形面积种方法做割补法——
（3）面图形通拼补某图形变图形利新图形减补充图形面积求出原图形面积种方法做拼凑法
注意：两图形全等面积相等等底等高三角面积相等图形面积等部分面积
例题：
例1图412求∠B+∠C+∠D度数
例2边形外角等45°边形角少度
分析：边形外角公式求解
例3已知：图431□ABCD中AE⊥BCEAF⊥DCF∠EAF60°BE2cmDF3cm求□ABCD角度数边长
例4图454□ABCD中角线ACBD交O点EFO分交BCAD点EFAE⊥BC求证：四边形AECF矩形
例5图483已知梯形ABCD中AB∥CDMN分CDAB中点MN⊥AB
求证：梯形ABCD等腰梯形
图483
例6已知：图492梯形ABCD中AB⊥BCDEEC求证：AEEB
部分
第四章：相似形
知识点：
例线段
1：选长度单位量两条线段ab长度分mn说两条线段a：b＝m：n（）
2前项项：两条线段a：b中a做前项b做项
说明：求两条线段时两条线段单位长度
3例：两相等式子做例
4例外项：例（a：b＝c：d）中ad做例外项
5例项：例（a：b＝c：d）中bc做例项
6第四例项：例（a：b＝c：d）中dabc第四例项
7例中项：果例中两例项相等例（abbc时b做ad例中项
8例线段：四条线段中果中两条线段等外两条线段四条线段做成例线段简称例线段
9例基性质：果a：b＝c：dad＝bc逆命题成立果ad＝bca：b＝c：d
10例基性质推：果a：bb：db2ad逆定理果b2ada：bb：c说明：两积相等式子做等积式例基性质推例式等积式互化理
11合性质：果
12．等性质：果（）
说明：应等性质解题时常采设已知条件k 种方法思路单方法简单易出错
13黄金分割条线段分成两条线段较长线段原线段较线段例中项做条线段黄金分割
说明：条线段黄金分割点做条线段黄金分割点线段AB截取条线段倍点C点CAB黄金分割点
二行线分线段成例
1行线等分线段定理：果组行线条直线截线段相等直线截线段相等
格式：果直线L1∥L2∥L3 AB＝ BC
：A1B1＝B1C1图4－l
说明：定理知推1推2
推1：梯形腰中点底行直线必分腰
格式：果梯形ABCDAD∥BCAE＝EBEF∥ADDFFC
推2：三角形边中点边行直线必分第三边
格式果△ABC中DAB中点DE∥BCAE＝EC图4—3
2行线分线段成例定理：三条行线截两条直线应线段成例
说明：行线等分线段定理行线分线段成问定理特殊情况
3．行线分线段成例定理推：行三角形边直线截两边应线段成例
说明1：行线分线段成例定理形象语言表达图4—4
说明2：图4－4三种图形中成例线段位置关系然存
4三角形边行线判定定理果条直线截三角形两边（两边延长线）应线段成例条直线行三角形第三边
5三角形边行线判定定理：行三角形边两边相交直线截三角形三边原三角形三边应成例
6线段分点：条线段点线段分成两条线段点做条线段分点
7线段外分点：条线段延长线点时做条线段外分点
说明：外分点分线段两条线段点分线段两端点确定线段
三相似三角形
1相似三角形：两应角相等应边成例三角形做相似三角形
说明：证两三角形相似时证两三角形全等样通常表示应顶点字母写应位置样便找出相似三角形应角应边
2相似：相似三角形应边k做相似（做相似系数）
3相似三角形基定理：分三角形边直线两边（两边延长线）相交构成三角形原三角形相似
说明：定理反映相似三角形存性书做相似三角形存定理证明三角形相似判定定理理基础
4三角形相似判定定理：
（1）判定定理1：果三角形两角三角形两角应相等两三角形相似简单说成：两角应相等两三角形相似
（2）判定定理2：果三角形两条边三角形两条边应成例夹角相等两三角形相似简单说成：两边应成例夹角相等两三角形相似
（3）判定定理3：果三角形三条边三角形三条边应成例两三角形相似简单说成：三边应成例两三角形相似
（4）直角三角形相似判定定理果直角三角形斜边条直角边直角三角形斜边条直角边应成例两直角三角形相似
说明：四判定定理难证明判定三角形相似命题正确解题时判定两三角形相似
第：顶角（底角）相等两等腰三角形相似
第二：腰底应成例两等腰三角形相似
第三：锐角相等两直角三角形相似
第四：直角三角形斜边高分成两直角三角形原三角形相似
第五：果三角形两边中边中线三角形两边中边中线应成例两三角形．相似
5相似三角形性质：
（1）相似三角形性质1：相似三角形应高应中线应角分线等相似
（2）相似三角形性质2：相似三角形周长等相似
说明：两性质简单记：相似三角形应线段等相似
（3）相似三角形面积等相似方
说明：两三角形相似根定义知具应角相等应边成例性质
6介绍特点两三角形
（1）边三角形指条公边两三角形做边三角形
（2）角三角形角相等互补两三角形做角三角形图4－6
（3）公边角公角条公边两三角形做公边角三角形
说明：具公边角两三角形相似公边方等叠条直线两边积：图4—7△ACD∽△ABCAC2＝AD·AB
例题：
例1已知：值
分析：已知等条件时常种求值方法：
(1)设值k
(2)例基性质
(3)方程思想中字母表示字母
解：ab23bc54abc101512设a10kb15kc12k (a+b)(b－c)253
例2 已知：图5－126(a)梯形ABCD中AD∥BC角线交O点O作EF∥BC分交ABDCEF求证：(1)OEOF(2)(3)MN梯形中位线求证AF∥MC
分析：
(1)利例证明两线段相等方法
①ac(bdab)bd(accd)
②ab(适线段实数成立)
③aa′bb′cc′dd′
(2)利行线证明例式换中间方法
(3)证明时转化类型：
①化直接求出值中间求出值相加证明值1
②直接通分移项转化证明四条线段成例
(4)分析法证明第(3)题延长两腰梯形问题转化三角形问题
延长BACD交SAF∥MC
∴ AF∥MC成立
(5)运动观点问题进行推广
直线EF行移动点O分交ABBDACCDEO1O2F图5－126(b)O1F
O2F否相等什
(6)常推广问题方法：类特殊般等
例3 已知：图5－127ΔABC中ABACDBC中点DE⊥ACEFDE中点BE交ADNAF交BEM求证：AF⊥BE
分析：
(1)分解基图形探求解题思路
(2)总结利相似三角形性质证明两角相等进步证明两直线位置关系(行垂直等)
方法利ΔADE∽ΔDCE
结合中点定义结合∠3∠CΔBEC∽ΔAFD∠1∠2进步
AF⊥BE
(3)总结证明四条线段成例常方法：①例定义②行线分线段成例定理③
三角形相似预备定理④直接利相似三角形性质⑤利中间等量代换⑥利面
积关系
例4 已知：图5－128RtΔABC中∠ACB90°CD⊥ABDDE⊥ACEDF⊥BCF
求证：(1)CD3AAE·BF·AB(2)BC2：AC2CEEA(3)BC3AC3BFAE
分析：
掌握基图形RtΔABC∠C90°CD⊥ABD中常结
①勾股定理：AC2+BC2AB2
②面积公式：AC·BCAB·CD
③三例中项：AC2AD·ABBC2BD·BACD2DA·DB
⑤
证明：第(1)题：
∵ CD2AD·BD
∴ CD4AD2·BD2(AE·AC)·(BF·BC)(AE·BF)(AC·BC) (AE·BF)·(AB·CD)
第(2)题：
∵利ΔBDF∽ΔDAE证命题证
第(3)题：
∵
∴∴
第五章：解直角三角形
知识点：
锐角三角函数：直角三角形ABC中∠C直角图5－1
1正弦：锐角A边斜边做∠A正弦记作
2余弦：锐角A邻边斜边做∠A余弦记作
3正切：锐角A边邻边做∠A正切记作
4余切：锐角A邻边边做∠A余切记作
说明：定义出tanA·cotA＝l（写成）
5锐角三角函数：锐角A正弦余弦正切余切做∠A锐角三角函数
说明：锐角三角函数取负值
0＜ sinA＜ l 0＜cosA＜l
6锐角正弦余弦间关系意锐角正弦值等余角余弦值意锐角余弦值等余角正弦值
sinA＝cos（90° A）＝cosBcosA＝sin（90°A）＝sinB
7锐角正切余切间关系意锐角正切值等余角余切值意锐角余切值等余角正切值
tanA＝cot（90° A）＝cotBcotA＝tan（90°－A）＝ tanB
说明：式中90°A B
8三角函数值变化规律
（1）角度0°— 90°间变化时正弦值（正切值着角度增（减）增（减）
（2）角度0°—90°间变化时余弦值（余切值）着角度增（减）减（增）
9角三角函数关系公式
（1）（2）（3） tanA＝
10．特殊角三角函数值
二解直角三角形
直角三角形中直角外已知元素求出未知元素程做解直角三角形
直角三角形ABC中∠C＝90°ABCabc中∠C＝90°外余5元素间关系：
（l）（2）∠A十∠B＝90°
（3）
知道中2元素（少边）求出余3未知数
例Rt△ABC中∠C＝90°∠A＝30°a＝5
：
三应举例
实际问题中解直角三角形者说解直角三角形方法解决实际问题
例杆AB直立面D点杆顶A仰角60°C点杆顶A仰角30°（图5～2）CD长10米求杆AB高
解：设AB＝x
∴
杆高约8．66米应题中注意：
（1）仰角俯角见图5－3
（2）跨度中柱：房屋顶字架跨度AB见图5—4
（3）深度燕尾角
燕尾槽深度见图5—5
（4）坡度坡角
见图56坡度i＝7坡度垂直高度h水宽度
例题：
例1根列条件解直角三角形．
例2点C测山顶A仰角30°山直线前进20米D处测山顶A仰角45°求山高AB．
分析：题方面引导学生复仰角俯角概念时引导学生加分析：
图639根题意AB⊥BC∠ABC90°△ABD△ABC直角三角形CDB直线∠ADB45°ABBDCD20米BC20+ABRt△ABC中∠C30°ABBC间关系山高AB求．学生分析题时遇困难：Rt△ABC中Rt△ABD中找出条已知边题目中已知条件CD20米会．
解：略
例题3图640水库横截面梯形坝顶宽6m坝高23m斜坡AB
坝底宽AD(精确01m)．
分析：坡度问题解直角三角形重应学生解坡度问题时常遇问题：
1．坡度概念理解导致会运题目中坡度条件
2．坡度问题计算量较学生易出错
3．常需添加辅助线图形分割成直角三角形矩形．
部分
第六章：圆
知识点：
圆
1圆关性质
面线段OA绕固定端点O旋转周端点A旋转形成图形圆固定端点O圆心线段OA半径
圆意义知：
圆点定点（圆心O）距离等定长点圆
说：圆定点距离等定长点集合圆部作圆心距离半径点集合
圆外部作圆心距离半径点集合连结圆意两点线段做弦圆心弦直径圆意两点间部分圆弧简称弧
圆意条直径两端点分圆成两条弧条弧半圆半圆弧优弧半圆弧劣弧弦弧组成圆形弓形
圆心相半径相等两圆心圆
够重合两圆等圆
圆等圆半径相等
圆等圆中够互相重合弧等弧
二三点圆
l三点圆
三点圆作法：利中垂线找圆心
定理直线三点确定圆
三角形顶点圆三角形外接圆外接圆圆心外心三角形圆接三角形
2反证法
反证法三步骤：
①假设命题结成立
②假设出发推理证出矛盾
③矛盾出假设正确肯定命题结正确
例：求证三角形中角钝角
证明：设两钝角
两钝角＞180°
三角形角等180°矛盾
∴二钝角
钝角
三垂直弦直径
圆轴称图形圆心条直线称轴
垂径定理：垂直弦直径分条弦分弦两条弧
推理1：分弦（直径）直径垂直弦分弦两条弧
弦垂直分线圆心分弦两条弧
分弦条弧直径垂直分弦分弦条弧
推理2：圆两条行弦夹弧相等
四圆心角弧弦弦心距间关系
圆圆心称中心中心称图形
实际圆绕圆心旋转意角度够原图形重合
顶点圆心角圆心角圆心弦距离弦心距
定理：圆等圆中相等圆心角弧相等弦相等弦心距相等
推理：圆等圆中果两圆心角两条弧两条弦两条弦弦心距中组量相等应余组量分相等
五圆周角
顶点圆两边圆相交角圆周角
推理1：弧等弧圆周角相等圆等圆中相等圆周角弧相等
推理2：半圆（直径）圆周角直角90°圆周角弦直径
推理3：果三角形边中线等边半三角形直角三角形
定理推理添加辅助线添加构成直径圆周角辅助线
六圆接四边形
边形顶点圆边形圆接边形圆边形外接圆
定理：圆接四边形角互补外角等角
例图6—1连EF：
∠DEF＝∠B
∠DEF＋∠A＝180°
∴∠A＋∠B＝18ry
∴BC∥DA
七直线圆位置关系
1直线圆两公点时做直线圆相交时直线圆割线
直线圆唯公点时做直线圆相切时直线圆切线唯公点切点
直线圆没公点时直线圆相离
2圆半径r圆心直线距离d：
直线圆相交d＜r直线圆相切d＝r直线圆相离d＞r直线圆相交d＜r
例：图6－2中直线圆O相割：r＞d
图6－3中直线圆O相切r＝d
图6－4中直线圆O相离r＜d
八切线判定性质
切线判定：半径外端垂直条半径直线圆切线
切线性质：圆切线垂直切点半径
推理1：圆心垂直干切线直线必切点
推理2：切点垂直切线直线必圆心
例图6－5中O圆心AC切线D切点
∠B＝90°
BC切线
OD半径
OD⊥AC
九三角形切圆
求会作图知三角形边相切
∵分角线点角两边距离相等
∴两条分角线交点圆心
样作出圆三角形切圆圆心心三角形圆外切三角形
边形边相切圆边形切圆边形圆外切边形
十切线长定理
圆外点作圆两条切线圆外点圆切线点切点间线段长点圆切线长
切线长定理圆外点引圆两条切线切线长相等圆心点连线分两条切线夹角图6－6
BC切点O圆心
AB＝AC∠1＝∠2
十弦切角
顶点圆边圆相交边圆相切角弦切角
弦切角定理弦切角等央弧圆周角
推理果两弦切角央弧相等两弦切角相等
例图6－7AB切线
：∠C＝∠BAE∠BAE＝∠D
∴∠C＝∠D
十二圆关例线段
相交弦定理：圆两条相交弦交点分成两条线段长积相等
推理：果弦直径垂直相交弦半分直径成两条线段例中项
切割线定理：圆外点引圆切线割线切线长点割线圆交点两条线段长例中项
推理：圆外点引两条割线点条割线圆交点两条线段长积相等图6－8F切点
：AF2AH·ACAG·AB＝AF2
EM·MDBM·MG
CN·NHDN·NE
十三圆圆位置关系图6－9
连心线长d两圆半径分Rr：
1两圆外离d ＞R＋r
2两圆外切d R＋r
3两圆相交R－r＜d＜R＋r（R＞r）
4两圆切d R－r（R＞r）
5两圆含d＜R－r（R＞r）
定理相交两圆连心线垂直分丙两圆公弦
图6－10O1O2圆心
：AB⊥O1O2ABO1O2分
十四两圆公切线
两圆相切直线两圆公切线两圆公切线旁时外公切线公切线两旁时公切线公切线两切点距离公切线长
图6－11 ABCD切点AB公切线长CD外公切线长
外公切线中重直角三角形图6－12OO1A直角三角形
d2（R－r）2＋e2外公切线长
图 6－13 OO1C直角三角形
d2＝（R十r）2＋ e’2公切线长
十五相切作图中应
生活生产中常常需条线（线段孤）滑渡条线通常称圆弧连接简称连接连接时线段圆弧圆弧圆弧连接外相切图 6－ 14
十六正边形圆
边相等角相等边形正边形
定理：圆分成n（n＞3）等分：
（l）次连结分点边形圆正边形
（2）分点作圆切线相邻切线交点顶点边形圆外切正n边形
定理：正边形外接圆切圆两圆心圆
正边形外接（切）圆圆心正边形中心外接圆半径正边形半径切圆半径正边形边心距
正边形边外接圆圆心角相等正边形中心角
正n边形中心角等
正边形轴称图形正n边形n条称轴条称轴通正n边形中心
n偶数正n边形中心称图形中心称中心
边数相正边形相似周长等边长面积等边长方
十七正边形关计算
正n边形角等
定理：正n边形半径边心距正n边形分成2n全等直角三角形正边形关计算结解直角三角形计算
十八画正边形
1量角器等分圆
2尺规等分圆
正三正六正八正四倍数（正边形）
正五边形似作法
二十圆周长弧长
1圆周长C＝2πR2弧长
二十圆扇形弓形面积
l圆面积：
2扇形面积：条弧条弧端点两条半径组成图形做扇形
半径R圆中圆心角n°扇形面积S扇形计算公式：
注意：扇形弧长扇形面积公式写
（3）弓形面积
弦弧组成圆形做弓形
弓形面积计算扇形面积三角形面积基础求果弓形弧劣弧弓形面积等扇形面积减三角形面积弓形弧优弧弓形面积等扇形面积加三角形面积
二十二圆柱圆锥侧面展开图
1圆柱侧面展开图
圆柱作矩形旋转矩形ABCD绕边AB旋转周图形圆柱（图616）
AB圆柱轴圆柱侧面行轴线段CD C’D’…圆柱母线
圆柱母线长相等等圆柱高
圆柱两底面行
圆柱侧面展开图长方形图6－17中AB高AC底面圆周长
∴S侧面2πRh
圆柱轴截面长方形边长h边长2R
R圆柱底半径h圆柱高见图6－8
（2）圆锥侧面展开图
圆锥作直角三角形旋转
图6－19Rt△OAS绕直线SO旋转周图形圆锥
旋转轴SO圆锥轴连通底面圆圆心垂直底面
连结圆锥顶点底面圆意点SASA’…圆锥母线母线长相等
圆锥侧面展开图图619扇形SAB
半径母线长AB2πR（底面周长）圆锥侧面积S侧面πRL
例题：
例1图721AB⊙O直径AD⊥CDBC⊥CDAD+BCAB
1求证：⊙OCD相切
2CD3求AD•BC
[特色]题源教材考查切线判定方法相似三角形知识
[解答](1)O点作OE⊥CDE
∵ AD⊥CD BC⊥CD ∴ AD∥OE∥BC
∵AOBO ∴DECE
∴ OE(AD+BC) ABAD+BC
∴ OEOA OE⊥CD ∴⊙OCD相切
(2)连结AEBE∵⊙OCD相切
∴ OE⊥CD ∠ BAE∠BEC ∠ BAE∠ OEA ∠ OEA+∠ DEA90
∴∠ DEA+∠BEC90 ∵AD⊥CD ∴∠ DEA+∠ DAE90
∴∠ DAE∠BEC ∴ △AED∽△EBC
∴AD•ECDE•BC AD•BCDE•EC
例2图712已知AB⊙O直径D弦AC中点BC6cmOD
[特色] 道中考题均直接运圆关性质解题
[解答]三角形中位线定理知ODBC
例3图731⊙O△ABC切圆∠CAO延长线交BC点DAC4CD1⊙O半径等（ ）
A B C D
[特色]题考查心性质
[解答] 点O半径OEOE∥CDAE∶ACOE∶CD设半径R（4R）∶4R∶1
解R选A
例4圆接四边形ABCD∠A∠B∠C度数1∶2∶3四边形角
[特色]运圆接四边形性质进行简单计算
[解答]设Ax∠B2x∠C3x ∵∠A+∠C180 ∴x+3x180 ∴ x45
∴∠A45 ∠ B90 ∠C135 ∠ D90
∴ 角135
例5图751OO外切点C直线AB分外切⊙OA⊙OB⊙O半径1AB2⊙O半径
[特色]题圆圆位置关系中常见基题型着眼考查学生两圆位置关系理解运
[解答] （1）选B利两圆相交连心线垂直分公弦根勾股定理求
例6两边长分4cm6cm矩形边直线轴旋转周圆柱表面积 cm
[特色]考查圆柱表面积计算着眼考查学生思维全面性
[解答]边长4cm作母线圆柱表面积80边长6cm作母线圆柱表面积120
例7图762正六边形接半径1圆中阴影部分面积
[特色]考查学生基概念理解基运算力
[解答] 答案：作半径扇形面积减三角形面积
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第章：实数
基础知识点：
实数分类：
1理数：理数总写成形式中pq互质整数理数重特征
2理数：初中遇理数三种：开方根特定结构限环限数1101001000100001……特定意义数π°等
3判断实数数性仅表面感觉整理化简结
二实数中概念
1相反数：符号两数做互相反数
（1）实数a相反数 a （2）ab互相反数a+b0
2倒数：
（1）实数a（a≠0）倒数（2）ab 互倒数（3）注意0没倒数
3绝值：
（1）数a 绝值三种情况：
（2）实数绝值非负数数轴实数绝值数轴表示数点原点距离
（3）掉绝值符号（化简）必须绝值符号里面实数进行数性（正负）确认掉绝值符号
4n次方根
（1）方根算术方根：设a≥0称a方根a算术方根
（2）正数方根两互相反数0方根0负数没方根
（3）立方根：实数a立方根
（4）正数正立方根0立方根0负数负立方根
三实数数轴
1数轴：规定原点正方单位长度直线称数轴原点正方单位长度数轴三素
2数轴点实数应关系：数轴点表示实数实数数轴唯点表示实数数轴点应关系
四实数较
1数轴表示两数右边数总左边数
2正数0负数0正数切负数两负数绝值反
五实数运算
1加法：
（1）号两数相加取原符号绝值相加
（2）异号两数相加取绝值加数符号较绝值减较绝值加法交换律结合律
2减法：
减数等加数相反数
3法：
（1）两数相号取正异号取负绝值相
（2）n实数相数0积0n非0实数相积符号负数数决定负数偶数时积正负数奇数时积负
（3）法法交换律法结合律法分配律
4法：
（1）两数相号正异号负绝值相
（2）数等数倒数
（3）0数等00做数
5方开方：方开方互逆运算
6实数运算序：方开方三级运算二级运算加减级运算果没括号级运算中左右次运算级运算先算高级运算算低级运算括号先算括号里运算种运算注意先定符号运算
六效数字科学记数法
1科学记数法：设N＞0N a×（中1≤a＜10n整数）
2效数字：似数左边第0数精确数位止数字做数效数字精确度形式两种：（1）精确位（2）保留效数字
例题：
例1已知实数ab数轴应点位置图示
化简：
分析：数轴ab两点位置：a＜0b＞0
：解：
例2较abc
分析：c＞0容易出：
a＜b＜c解：略
例3互相反数求a+b值
分析：绝值非负特性知题意知：
：a–20b+20a2b –2 a+b0 解：略
例4已知ab互相反数cd互倒数m绝值1求值
解：原式
例5计算：（1） （2）
解：（1）原式
（2）原式
代数部分
第二章：代数式
基础知识点：
代数式
1代数式：运算符号数表示数字母连结成式子代数式单独数者字母代数式
2代数式值：数值代代数里字母计算结果做代数式值
3代数式分类：
二整式关概念运算
1概念
（1）单项式：x7种数字母积做单项式单独数字母单项式
单项式次数：单项式中字母指数做单项式次数
单项式系数：单项式中数字数单项式系数
（2）项式：单项式做项式
项式项：项式中单项式项式项项式含项项式
项式次数：项式里次数高项次数项式次数含字母项常数项
升（降）幂排列：项式某字母指数（）（）序排列起做项式字母升（降）幂排列
（3）类项：含字母相相字母指数分相项做类项
2运算
（1）整式加减：
合类项：类项系数相加结果作系数字母字母指数变
括号法：括号前面+号括号前面+号掉括号里项变括号前面–号括号前面–号掉括号里项变号
添括号法：括号前面+号括括号里项变括号前面–号括括号里项变号
整式加减实际合类项运算时果遇括号先括号合类项
（2）整式：
幂运算法：中mn正整数
底数幂相：底数幂相：幂方：积方：
单项式单项式：系数积作积系数相字母指数作字母指数单项式里含字母连指数作积式
单项式项式：单项式项式项积相加
项式项式：先项式项项式项积相加
单项单项式：系数底数幂分相作商式式里含字母连指数作商式
项式单项式：项式项单项商相加
法公式：
方差公式：
完全方公式：
三式分解
1式分解概念：项式化成整式积形式式分解
2常式分解方法：
（1）提取公式法：
（2）运公式法：
方差公式：完全方公式：
（3）十字相法：
（4）分组分解法：项式项适分组提公式运公式分解
（5）运求根公式法：两根：
3式分解般步骤：
（1）果项式项公式先提公式
（2）提出公式公式提考虑否运公式十字相法
（3）二次三项式应先尝试十字相法分解行求根公式法
（4）考虑分组分解法
四分式
1分式定义：形式子分式中AB整式B中含字母
（1）分式意义：B0时分式意义 B≠0时分式意义
（2）分式值0：A0B≠0时分式值等0
（3）分式约分：分式分子分母公式约做分式约分方法分子分母式分解约公式
（4）简分式：分式分子分母没公式时做简分式分式运算终结果分式定化简分式
（5）通分：异分母分式分化成原分式相等分母分式程做分式通分
（6）简公分母：分式分母式高次幂积
（7）理式：整式分式统称理式
2分式基性质：
（1）（2）
（3）分式变号法：分式分子分母分式身符号改变中两分式值变
3分式运算：
（1）加减：分母分式相加减分母变分子相加减异分母分式相加减先通分成分母分式相加减
（2）：先分式分子分母式分解约分分子分子分母分母
（3）：分式等倒数式
（4）方：分式方分子分母分方
五二次根式
1二次根式概念：式子做二次根式
（1）简二次根式：开方数数整数式整式开方数中含开方式二次根式简二次根式
（2）类二次根式：化简二次根式开方数相二次根式做类二次根式
（3）分母理化：分母中根号化做分母理化
（4）理化式：两含二次根式代数式相果积含二次根式说两代数式互理化式（常理化式：）
2二次根式性质：
（1） （2）（3）（a≥0b≥0）（4）
3运算：
（1）二次根式加减：二次根式化简二次根式合类二次根式
（2）二次根式法：（a≥0b≥0）
（3）二次根式法：
二次根式运算终结果果根式化成简二次根式
例题：
式分解：
1提公式法：
例1
分析：先提公式方差公式解：略
[规律总结]式分解着先提取公式等应第式分解分解止需分解式进行审查果分解应继续分解
2十字相法：
例2（1）（2）
分析：成(x+y)二次三项式先十字相法初步分解解：略
[规律总结]应十字相法时注意某项单项字母某项式整式时需连续十字相法
3分组分解法：
例3
分析：先分组第项第二项组第三第四项组提取公式解：略
[规律总结]项式适分组转化成基方法式分组分组目提公式十字相法公式法解题
4求根公式法：
例4解：略
二式运算
巧公式
例5计算：
分析：运方差公式式分解分式运算简单化解：略
[规律总结]抓住三法公式特征灵活运特掌握公式种变形公式逆掌握运公式技巧运算简便准确
2化简求值：
例6先化简求值：中x – 1 y
[规律总结]定先化简代入求值注意括号法
3分式计算：
例7化简
分析：– 成 解：略
[规律总结]分式计算程中：（1）法转化法时倒转分子分母（2）注意负号
4根式计算
例8已知简二次根式类二次根式求b值
分析：根类二次根式定义：2b+17–b解：略
[规律总结]二次根式性质运算中考必考容特二次根式化简求值性质运中考考查容
代数部分
第三章：方程方程组
基础知识点：
方程关概念
1方程：含未知数等式做方程
2方程解：方程左右两边值相等未知数值方程解含未知数方程解做方程根
3解方程：求方程解方判断方程解程做解方程
4方程增根：方程变形时产生适合原方程根做原方程增根
二元方程
1元次方程
（1）元次方程标准形式：ax+b0（中x未知数ab已知数a≠0）
（2）玩次方程简形式：axb（中x未知数ab已知数a≠0）
（3）解元次方程般步骤：分母括号移项合类项系数化1
（4）元次方程唯解
2元二次方程
（1）元二次方程般形式：（中x未知数abc已知数a≠0）
（2）元二次方程解法： 直接开方法配方法公式法式分解法
（3）元二次方程解法选择序：先特殊般没求般配方法
（4）元二次方程根判式：
Δ＞0时方程两相等实数根
Δ0时方程两相等实数根
Δ< 0时方程没实数根解
Δ≥0时方程两实数根
（5）元二次方程根系数关系：
元二次方程两根：
（6）两数根元二次方程（二次项系数1）：
三分式方程
（1）定义：分母中含未知数方程做分式方程
（2）分式方程解法：
般解法：分母法方程两边简公分母
特殊方法：换元法
（3）检验方法：般求未知数值代入简公分母简公分母0原方程根简公分母0原方程增根增根必须舍求未知数值代入原方程检验
四方程组
1方程组解：方程组中方程公解做方程组解
2解方程组：求方程组解判断方程组解程做解方程组
3次方程组：
（1）二元次方程组：
般形式：（全0）
解法：代入消远法加减消元法
解数：唯解解两方程相时数解
（2）三元次方程组：
解法：代入消元法加减消元法
4二元二次方程组：
（1）定义：二元次方程二元二次方程组成方程组两二元二次方程组成方程组做二元二次方程组
（2）解法：消元转化解元二次方程者降次转化二元次方程组
考点命题趋分析
例题：
元二次方程解法
例1解列方程：
（1）（2）（3）
分析：（1）直接开方法解（2）公式法（3）式分解法 解：略
[规律总结]果元二次方程形直接开方法解利公式法解解元二次方程运公式法解元二次方程时定方程化成般形式
例2解列方程：
（1）（2）
分析：（1）先化般形式公式法解（2）直接十字相法式分解求解
[规律总结]带字母系数方程解法般方程没什区公式法时注意判断△正负
二分式方程解法：
例3解列方程：
（2）（2）
分析：（1）分母方法（2）换元法 解：略
[规律总结]般分式方程分母法解具特殊关系：方关系倒数关系等分式方程采换元法解
三根判式根系数关系
例4已知关x方程：两相等实数根求p值
分析：题意0系数代入0中求出p先化般形式
[规律总结]根判式三种情况熟练特留意二次项系数0
例5已知ab方程两根求列式值：
（1）（2）
分析：先算出a+bab值代入（1）（2）变形式子求出解
[规律总结]类题目先算出两根两根积求式子变形成含两根两根积形式代入计算注意检验方程否解
例6求作元二次方程两根分方程两根3
分析：先出求原方程两根两根积代入求出值求方程容易写出解：略
[规律总结]类题目先解出第方程两解时样太复杂根系数关系较简单
三方程组
例7解列方程组：
（1） （2）
分析：（1）加减消元法消x较简单（2）应该先加减消元法消y变成二元次方程组较易求解解：略
[规律总结]加减消元法常消元方法消元时未知数系数简单先消未知数
例8解列方程组：
（1） （2）
分析：（1）代入消远法根系数关系求解（2）先第方程式分解化成两二元次方程第二方程分组成两方程组解解：略
[规律总结]二元次方程二元二次方程组成方程组般代入消元法两二元二次方程组成方程组定先中方程式分解化两次方程第二方程组成两方程组求解
代数部分
第四章：列方程（组）解应题
知识点：
列方程（组）解应题般步骤
1审题：
2设未知数
3找出相等关系列方程（组）
4解方程（组）
5检验作答
二列方程（组）解应题常见类型题等量关系
1工程问题
（1）基工作量关系：工作量工作效率×工作时间
（2）常见等量关系：甲工作量+乙工作量甲乙合作工作总量
（3）注意：工程问题常总工程作1水池注水问题属工程问题
2行程问题
（1）基量间关系：路程速度×时间
（2）常见等量关系：
相遇问题：甲走路程+乙走路程全路程
追问题（设甲速度快）：
时：甲时间乙时间甲走路程–乙走路程原甲乙相距路程
时：甲时间乙时间–时间差甲路程乙路程
3水中航行问题：
流速度船静水中速度+水流速度
逆流速度船静水中速度–水流速度
4增长率问题：
常见等量关系：增长量原量+增长量增长量原量×（1+增长率）
5数字问题：
基量间关系：三位数位数+十位数×10+百位数×100
三列方程解应题常方法
1译式法：题目中关键性语言数量数量间关系译成代数式然根代数间联系找出等量关系
2线示法：直线线段表示应题中数量关系然根线段长度联系找出等量关系
3列表法：已知条件求未知量纳入表格找出种量间关系
4图示法：利图表示题中数量关系量量间关系更直观种方法帮助更理解题意
例题：
例1甲乙两组工合作完成项工程合作5天甲组务乙组单独工作1天完成单独完成项工程乙组甲组2天求甲乙两组单独完成项工程需天？
分析：设工作总量1设甲组单独完成工程需x天乙组完成工程需(x+2)天等量关系甲组5天工作量+乙组6天工作量工作总量 解：略
例2某部队奉命派甲连跑步前90千米外A1时45分务需增派乙连车前支援已知乙连甲连时快28千米恰全程处追甲连求乙连行进速度追甲连时间
分析：设乙连速度v千米时追甲连时间t时甲连速度（v–28）千米时时乙连行时等量关系：甲走路程乙走路程30
例3某工厂原计划规定期限生产通讯设备60台支援抗洪改进操作技术天生产台数原计划50结果提前2天完成务求改进操作技术天生产通讯设备少台？
分析：设原计划天生产通讯设备x台改进操作技术天生产x（1+05）台等量关系：原计划时间–改进技术时间2天 解：略
例4某商厦年月份销售额60万元二月份种种原营善销售额降10加强理月销售额升四月份销售额增加96万元求三四月份均月增长百分率少？
分析：设三四月份均月增长率x二月份销售额60（1–10）万元三月份销售额二月份（1+x）倍四月份销售额三月份（1+x）倍四月份销售额二月份（1+x）2倍等量关系：四月份销售额96万元解：略
例5年期定期储蓄年利率225利息交纳20利息税例存入年期100元期储户纳税利息计算公式：
税利息
已知某储户存笔年期定期储蓄期纳税利息450元问该储户存入少金？
分析：设存入x元金年期定期储蓄期纳税利息225(120)x元方程容易出
例6某商场销售批名牌衬衫均天售出20件件盈利40元扩销售增加盈利减少库存商场决定采取适降低成措施调查发现果件衬衫降价1元商场均天售出2件商场均天盈利1200元件衬衫应降价少元？
分析：设件衬衫应该降价x元件衬衫利润（40x）元均天销售量（20+2x）件关系式：
总利润件利润×售出商品量列出方程 解：略
代数部分
第五章：等式等式组
知识点：
等式等式性质
1等式：表示等关系式子（表示等关系常符号：≠＜＞）
2等式性质：
（l）等式两边加（减）数等号方改变a＞ b c实数a＋c＞b＋c
（2）等式两边（）正数等号方变a＞b c＞0ac＞bc
（3）等式两边（）负数等号方改变a＞bc＜0ac＜bc
注：等式两边（）实数时定养成惯先确定该数数性（正数零负数）确定等号方否改变应等式性质样便防出错
3意两实数ab关系（三种）：
（1）a – b ＞0 a＞b
（2）a – b0ab
（3）a–b＜0a＜b
4（1）a＞b＞0
（2）a＞b＞0
二等式（组）解解集解等式
1等式（组）成立未知数值做等式（组）解
等式解集合做等式解集
等式组中等式解集公部分做等式组解集
2．求等式（组）解集程做解等式（组）
三等式（组）类型解法
1元次等式：
（l）概念：含未知数含未知数项次数次等式做元次等式
（2）解法：解元次方程类似特注意等式两边（）负数时等号方改变
2元次等式组：
（l）概念：含相未知数元次等式组成等式组做元次等式组
（2）解法：先求出等式解集确定解集公部分
注：求等式组解集般助数轴求解较方便
例题：
方法1：利等式基性质
1判断正误：
（1）a＞bc实数＞
（2）＞a＞b
分析：（l）中c0 （2）中＞C≠0否应 a＞b 解：略
［规律总结］等式正确变形关键牢记等式三条基性质等式两边含字母式子时字母进行讨
方法2：特殊值法
例2a＜b＜0列式成立（ ）
A Bab＜0 C D
分析：直接解法解答常常费时间答案般情况成立然特殊情况成立采特殊值法
解：根a＜b＜0条件取a –2b –l代入检验易知选D
[规律总结］种方法常解选择题学生知识限直接解答时特殊值法快找符合条件答案
方法3：类法
例3解列元次等式解集数轴表示出
（1）8–2（x＋2）＜4x–2（2）
分析：解元次等式步骤解元次方程类似步骤分母括号移项合类项系数化成1需注意等式两边时负数等号改变方解：略
[规律总结］解元次等式解元次方程步骤类似注意等式两边负数时等号方必须改变类法解题学生容易理解新知识掌握新知识
方法4：数形结合法
例4求等式组：非负整数解
分析：求等式组非负整数解应先求出等式组解集解集中找出中非负整数解解：略
方法5：逆思考法
例5已知关x等式解集x＞3求a值
分析：关x等式解集x＞3原等式等号a – 2 >0原等式解集解方程求出a值解：略
[规律总结]题先解字母等式着眼已知解集探求成立条件种类型题采逆思考法解
代数部分
第六章：函数图
知识点：
面直角坐标系
1面公原点互相垂直两条数轴构成面直角坐标系面直角坐标系点序实数间建立—应关系
2位置点坐标特征：
（1）象限点坐标特征：
点P（x y）第象限x ＞0y＞0
点P（x y）第二象限x＜0y＞0
点P（x y）第三象限x＜0y＜0
点P（x y）第四象限x＞0y＜0
（2）坐标轴点特征：
点P（x y）x轴y0x意实数
点P（xy）y轴x0y意实数
3．点P（x y）坐标意义：
（1）点P（x y）x轴距离| y |
（2）点P（x y）y袖距离| x |
（3）点P（x y）原点距离
4．关坐标轴原点称点坐标特征：
（1）点P（a b）关x轴称点
（2）点P（a b）关x轴称点
（3）点P（a b）关原点称点
二函数概念
1常量变量：某变化程中取数值量做变量保持数值变量做常量
2函数：般设某变化程中两变量xy果x值y唯值应说x变量yx函数
（1）变量取值范围确：
①解析式含变量整式函数变量取值范围全体实数
②解析式含变量分式函数变量取值范围分母0实数
③解析式含变量偶次根式函数变量取值范围开方数非负实数
注意：确定函数中变量取值范围时果遇实际问题必须实际问题意义
（2）函数值：变量取值范围值求函数应值
（3）函数表示方法：①解析法②列表法③图法
（4）函数解析式作函数图般步骤：①列表②描点③连线
三种特殊函数
1次函数
直线位置kb关系：
（1）k＞0直线方x轴正方形成夹角锐角
（2）k＜0直线方x轴正方形成夹角钝角
（3）b＞0直线y轴交点x轴方
（4）b＝0直线原点
（5）b＜0直线y轴交点x轴方
2二次函数
抛物线位置abc关系：
（1）a决定抛物线开口方
（2）c决定抛物线y轴交点位置：
c>0图y轴交点x轴方c0图原点c<0图y轴交点x轴方
（3）ab决定抛物线称轴位置：ab号称轴y轴左侧b＝0称轴y轴 ab异号称轴y轴右侧
3反例函数：
4正例函数反例函数表：
例题：
例1正例函数图象反例函数图象点P（m4）已知点Px轴距离y轴距离2倍
⑴求点P坐标
⑵求正例函数反例函数解析式
分析：点Px轴距离y轴距离2倍知：2|m|4易求出点P坐标利定系数法求出正反例函数解析式解：略
例2已知ab常数y+bx+a成正例求证：yx次函数
分析：应写出y+bx+a成正例表达式然判断结果否符合次函数定义
证明：已知y+bk(x+a)中k≠0
整理ykx+(ka－b) ①
k≠0ka－b常数ykx+(ka－b)x次函数式
例3填空：果直线方程ax+by+c0中a＜0b＜0bc＜0直线第________象限
分析：先ax+by+c0化a＜0b＜0bc＜0＜0－＞0相次函数ykx+l中k－＜0l－＞0直线y轴交点(0－)x轴方直线方x轴正方成角钝角直线第二四象限
例4反例函数y二次函数ykx2(k≠0)画坐标系里正确( )
答：选(D)两函数式中k正负号应相(图13－110)
例5画出二次函数yx26x+7图象根图象回答列问题：
（1）x113时y值少？
（2）y2时应x值少？
（3）x＞3时x值增y值样变化？
（4）x值3增加1时应y值增加少？
分析：画出二次函数图象首先配方法yx26x+7变形y（x3）22确定抛物线开口方称轴顶点坐标然列表描点画图．解：图象略．
例6拖拉机开始工作时油箱油45升果时耗油6升．
（1）求油箱中余油量Q（升）工作时间t（时）间函数关系式
（2）画出函数图象．
答：（1）Q456t．
（2）图象略．注意：实际问题图象变量t取值范围0≤t≤75决定条线段直线．
代数部分
第七章：统计初步
知识点：
总体样：
统计时考察象全体做总体中考察象做体总体中抽取部分体做总体样样中体数目做样容量
二反映数集中趋势特征数
1均数
（1）均数
（2）加权均数：果n数中出现次出现次……出现次（里）
（3）均数简化计算：
组数中数数值较常数a接时设均数：
2中位数：组数接序排列处中间位置数做组数中位数果数数偶数中位数处中间位置两数均数
3众数：组数中出现次数数做组数众数组数众数止
三反映数波动特征数：
1方差：
（l）方差
（2）简化计算公式：（较整数时公式较方便）
（3）记方差设a常数方差
注：数较常数a较接时该法计算方差较简便
2标准差：方差（）算术方根做标准差（S）
注：通常方差求标准差
四频率分布
1关概念
（1）分组：组数统标准分成干组称分组数100时通常分成5－12组
（2）频数：组数数做该组频数组频数等数总数n
（3）频率：组频数数总数n值做组频率组频率l
（4）频率分布表：组数分组组相应频数频率列成表格做频率分布表
（5）频率分布直方图：频率分布表中结果绘制成数分点横坐标频率组距坐标直方图做频率分布直方图
图中长方形高等该组频率组距
长方形面积等该组频率
长方形面积等组频率等1
样频率分布反映样中数数分占样容量n例总体分布反映总体中组数数分总体中占例般样频率分布估计总体频率分布
2研究频率分布方法数频率分布方法通常先整理数画出频率分布直方图步骤：
（1）计算值值差（2）决定组距组数（3）决定分点（4）列领率分布表（5）绘频率分布直方图
例题：
例1某养鱼户搞池塘养鱼放养鳝鱼苗20000尾成活率70％意捞出10尾鱼称尾重量（单位：千克）0．80．91．21．30．81．l1．01．20．80．9
根样均数估计塘鱼总产量少千克？
分析：先算出样均数样均数2000070解：略
［规律总结］求均数三种方法数较分散时般均数概念求著数较某数a波动时通常采简化公式教重复出现时通常采加权均数公式计算
例2次科技知识竞赛两次学生成绩统计
已算两组均分80分请根学统计知识进步判断两组成绩谁优谁次说明理
解：（l）甲组成绩众数90分乙组成绩众数70分众数较甲组成绩
（2）算172
甲组成绩较乙组波动
（3）甲乙两组成绩中位数80分甲组成绩中位数33乙组成绩中位数26角度甲组成绩总体
（4）成绩统计表甲组成绩高80分数20乙组成绩高80分数24乙组成绩集中高分段数时乙组满分数甲组满分数6角度乙组成绩较
[规律总结］明确方差标准差衡量组数波动恰选方差三计算公式应抓住三公式特征根题中数特点选计算公式
例3某学校3600中抽出50名男生取身高（单位cm）数：181 181 179 177 177 177 176 175 175 175 175 174 174 174 174 173 173 173 173 172 172 172 172 172 171 171 171 170 170 169 l69 168 167 167 167 166 l66 l66 166 166 165 165 165 163 163 162 161 160 158 157
1计算频率画出频率分布直方图
2指出身高组男学生数占
3．请估计初三男学生身高166．5cm约少？
解：1组频率次：008022022036012
2频率分布表（图）中见身高1715—1765组男学生数占
3方男学生身高1665侧约900（）
[规律总结］掌握获组数频率分布五步骤掌握整理数步骤方法会数进行合理分组
部分
第章：线段角相交线行线
知识点：
直线：直线中加定义基概念直线两特征直两方限延伸
二直线性质：两点条直线条直线直线条性质公理形式出简述：两点条直线两直线相交交点
三射线：
1射线定义：直线点旁部分做射线
2．射线特征：方限延伸端点
四线段：
1线段定义：直线两点间部分做线段两点做线段端点
2线段性质（公理）：连接两点线中线段短
五线段中点：
1定义图11中点B线段AC分成两条相等线段点B做线段图1－1AC中点
2表示法：
∵AB＝BC
∴点 B AC中点
∵ AB＝ MAC
∴点 BAC中点∵AC＝2AB∴点BAC中点
反成立
∵点 BAC中点∴AB＝BC
∵点BAC中点 ∴AB AC
∵点BAC中点 ∴AC2BC
六角
1角两种定义：种公端点两条射线组成图形做角弄清定义中两重点①角两条射线组成图形②两条射线必须公端点种条射线绕着端点位置旋转位置形成图形出起始位置射线终止位置射线形成角
2．角分线定义：条射线角分成两相等角
条射线做角分线表示法三种：图1—2
（1）∠AOC＝∠BOC
（2）∠AOB＝2∠AOC＝ 2∠COB
（3）∠AOC＝∠COB∠AOB
七角度量：度量角度作度量单位圆周分成360等份份做度角1度60分1分60秒
八角分类：
（1）锐角：直角角做锐角
（2）直角：角半做直角
（3）钝角：直角角角
（4）角：条射线绕着端点着方旋转终止位置起始位置成直线时成角做角
（5）周角：条射线绕着端点着方旋转终边始边重合时成角做周角
（6）周角角直角关系： l周角2角4直角360°
九相关角：
1顶角：角两边分角两边反延长线两角做顶角
2互补角：果两角角两角做互补角
3互余角：果两角直角两角做互余角
4邻补角：公顶点条公边两条边互反延长线两角做互邻补角
注意：互余互补指两角数量关系两角位置关互邻补角求两角特殊位置关系
十角性质
1顶角相等
2角等角余角相等
3角等角补角相等
十相交线
1斜线：两条直线相交成直角时中条直线做条直线斜线交点做斜足
2两条直线互相垂直：两条直线相交成四角中角直角时说两条直线互相垂直
3垂线：两条直线互相垂直时中条直线做条直线垂线交点做垂足
4垂线性质
（l）点条直线知直线垂直
（2）直线外点直线点连结线段中垂线段短简单说：垂线段短
十二距离
1两点距离：连结两点线段长度做两点距离
2直线外点条直线垂线段长度做点直线距离
3两条行线距离：两条直线行条直线意点条直线引垂线垂线段长度做两条行线距离
说明：点直线距离行线距离实际两特殊点间距离点直线垂线段分开
十三行线
1定义：面相交两条直线做行线
2行公理：直线外点条直线条直线行
3行公理推：果两条直线第三条直线行两条直线互相行
说明：说两条射线两条线段行实际指直线行
4行线判定：
（1）位角相等两直线行
（2）错角相等两直线行
（3）旁角互补两直线行
5行线性质
（1）两直线行位角相等
（2）两直线行错角相等
（3）两直线行旁角互补
说明：证明两条直线行判定公理（定理）已知条件中两条直线行时应性质定理
6果角两边分行角两边两角相等互补
注意：角两边行方相（相反）时两角相等角两边行边方相方相反时两角互补
例题：
方法1：利特殊点线段长
例1已知：图1－3C线段AB中点D线段CB
中点BD＝12cm求：AD长
[思路分析]DCB中点DB已知求出CBC点
AB中点求出AB长AB减减DB求AD解：略
[规律总结]利线段特殊点中点例点求线段长方法较简便解法
方法2：辨角数线段条数
例2图1－4线段AE5点ABCDE样数出线段
[思路分析]问题认真审题会误4点恰4空4条线段ABBC CD ED果端点出发找出端点确定线段会发现10条线段：
：ABACADAEBCBDBECDCEDE10条
[规律总结]类型题果做重漏方法先端点出发找出端点确定线段
例3图15指出图形中直线AB方角数（含角）
[思路分析]题学认真分析误认4角实9角：∠AOC∠AOD∠AOE∠COD∠COE∠COB∠DOE∠DOB∠EOB9角
[规律总结]顶点引出条射线时．确定角数般边序分类统计避免重复遗漏
方法3：代数法求角度
例4已知锐角余角锐角补角求角
[思路分析]题涉角锐角余角补角根互余角互补角概念考虑数量什关系？设锐角x余角90 – x 补角180 – x列方程解：略
[规律总结］关余角补角问题般代数方法先设未知数题意列出方程求出结果
方法4：添加辅助线移角
例5已知：图l—6AB∥ED
求证：∠B＋∠BCD＋∠D＝360°
[思路分析]知道周角等360°图中出现∠BCD相关C顶点周角∠B∠D移∠BCD相邻C顶点位置∠B∠BCD∠D三角组成分周角推出结证时：略
规律总结]题三种证法思想样通加辅助线移角达目种处理方法中常常
部分
第二章：三角形
知识点：
关三角形概念
条直线三条线段首尾次相接组成图形做三角形
组成三角形线段三角形边相邻两边公端点三角形顶点相邻两边组成角三角形角简称三角形角
1三角形角分线
三角形角分线条线段（顶点角分线边交线间距离）
2三角形中线
三角形中线条线段（顶点边中点间距离）
3．三角形高
三角形高线条线段（顶点边距离）
注意：三角形中线角分线三角形
图 2－l AD BE CFABC角分线△ABC
图2－2ADBECF△ABC中线△ABC
图2－3说明高线定 △ABC
图2—3—（1） 图2—3—（2） 图2－3（3）
图2－3—（1）中三条高线△ ABC
图2－3－（2）中高线CD△ABC高线ACBC三角形边
图2－3（3）中高线BE△ABC高线ADCF△ABC外
三三角形三条边关系
三角形三边相等等边三角形两条边相等等腰三角形三边相等等边三角形
等腰三角形中相等两条边腰边底边腰底边夹角底角两腰夹角项角
三角形接边相等关系分类：
三角形
集合表示见图2－4
推三角形两边差第三边
符合定理三条线段组成三角形三边
例三条线段长分5615＋6＜12三条线段作三角形三边
三三角形角
定理三角形三角等180°
定理知三角形二角已知第三角定理求
已知△ABC两角∠A＝90°∠B＝40°∠C＝180°–90°–40°＝50°
定理知道三角形三角中角直角钝角
推1：直角三角形两锐角互余
三角形角分类：
集合表示见图
三角形边边延长线组成角三角形外角
推2：三角形外角等相邻两角
推3：三角形外角相邻角
例图2—6中
∠1 ＞∠3∠1∠3＋∠4∠5＞∠3＋∠8∠5＝∠3＋∠7＋∠8
∠2＞∠8∠2＝∠7＋∠8∠4＞∠9∠4＝∠9＋∠10等等
四全等三角形
够完全重合两图形全等形
两全等三角形重合时互相重合顶点应顶点互相重合边应边互相重合角应角
全等符号≌表示
△ABC≌△A `B`C`表示 A A` BB` CC`应点
全等三角形应边相等全等三角形应角相等
图2—7△ABC≌△A `B`C`ABC应点A`B`C`ABBCCA应边A`B`B`C`C`A`
∠A∠B∠C应角∠A`∠B`∠C`
∴AB＝A`B`BC＝B`C`CA＝C`A`∠A＝∠A`∠ B＝∠B`∠C＝∠C`
五全等三角形判定
1边角边公理：两边夹角应相等两三角形全等（简写成边角边SAS）
注意：定两边夹角边边角
2角边角公理：两角夹边应相等两三角形全等（简写成角边角ASA）
3推两角中角边应相等两三角形全等（简写成角角边’域AAS）
4边边边公理三边应相等两三角形全等（简写成边边边SSS）
边边边公理知三角形重性质：三角形稳定性
面判定定理外边边角角角角保证两三角形全等
5直角三角形全等判定：斜边直角边公理斜边条直角边应相等两直角三角形全等（简写成斜边直角边HL）
六角分线
定理1角分线点角两边距离相等
定理2角两边距离相等点角分线
定理12知：角分线角两边距离相等点集合
证明三角形存点三角形三边距离相等点三角形三条角分线交点（交点）
两命题中果第命题题设第二命题结第命题结第二命题题设两命题做互逆命题果中做原命题逆命题
果定理逆命题证明真命题定理两定理互逆定理中逆定
理
例：两直线行位角相等位角相等两直线行互逆定理
定理定逆定理例定理：顶角相等没逆定理相等角顶角假命颗
七基作图
限定直尺圆规画图称尺规作网＿
基常尺规作图．通常称基作图例做条线段等知线段
1作角等已知角：作法三角形全等（SSS）应角相等
2分已知角：作法三角形全等（SSS）．应角相等
3点作已知直线垂线：（1）点已知直线作分已知角角（2）点已知直线外类似分已知角方法做：已知点
C圆心适长半径作弧交已知真线AB两点AB圆心相长半径分作弧交D点连结CD求垂线
4作线段垂直分线：
线段垂直分线中垂线
做法实质全等三角形（SSS）
方法作线段中点
八作图题举例
重解决求作三角形问题
1已知两边夹角求作三角形 2已知底边高求作等腰三角形
九等腰三角形性质定理
等腰三角形性质定理：等腰三角形两底角相等（简写成等边等角）
推1：等腰三角形顶角分线分底边垂直底边说：等腰三角形顶角分线底边中线底边高互相重合
推2：等边三角形角相等角等60°
例：等腰三角形底边中线点两腰距离相等等腰三角形底边中线顶角角分线角分线点角两边距离相等n
十等腰三角形判定
定理：果三角形两角相两角两条边相等（简写成等角等动）
推1：三角相等三角形等边三角形
推2：角等60°等腰三角形等边三角形
推3：直角三角形中果锐角等3O°直角边等斜边半
十线段垂直分线
定理：线段垂直分线点条线段两端点距离相等
逆定理：条线段两端点距离相等点条线段垂直分线
说：线段垂直分线作线段两端点距离相等点集合
十二轴称轴称图形
图形着某条直线折叠二果够图形重合说两图形关条直线轴称两图形中应点关条直线称点条直线称轴
两图形关直线称轴称
定理1：关某条直线称两图形全等形
定理2：果两图形关某条直线称称轴应点连线垂直分线
定理3：两图形关某条直线称果应线段延长相交交点称轴
逆定理：果两图形应点连线条直线垂直分两图形关条直线称
果图形着条直线折叠直线两旁部分够互相重合图形做轴称图形条直线称轴
例：等腰三角形顶角分角线具面述特点等腰三角形顶角分角线等腰三角形条称轴等腰三角形轴称图形
十三勾股定理
勾股定理：直角三角形两直角边ab方等斜边c方：
勾股定理逆定理：果三角形三边长abc面关系：
三角形直角三角形
例题：
例1已知：ABCD相交点OAC∥DBOCODEFAB两点AEBF求证：CEDF
分析：证CEDF证△ACE≌△BDF已知条件直接证出全等时已知条件先证出△AOC≌△BOD出ACBD证出△ACE≌△BDF
证明：略
例2已知：图ABCDBCDAEFAC两点AECF求证：BFDE
分析：观察图形BFDE分△CFB△AED（△ABF△CDE）中已知条件直接证明两三角形全等时已知条件先证明△ABC≌△CDA∠1∠2证出△CFB≌△AED
证明：略
例3已知：∠CAE三角形ABC外角 ∠1∠2 AD∥BC
求证：ABAC
证明：略
例4已知：图 3－ 89OE分∠AOBEC⊥OA CED⊥OB D．求证：（1）OC＝OD（2）OE垂直分CD．
分析：证明第（1）题时利等角余角相等∠OEC＝∠OED利角分线性质定理 OC＝OD．样处理避免证明两三角形全等．证明：略
部分
第三章：四边形
知识点：
边形
1边形：线段首尾次连结组成图形做边形
2边形边：组成边形条线段做边形边
3边形顶点：边形相邻两边公端点做边形顶点
4边形角线：连结边形相邻两顶点线段做边形角线
5边形周长：边形边长度做边形周长
6凸边形：边形条边两方延长果边形边延长线直线问旁样边形凸边形
说明：边形少三条边三条边做三角形四条边做四边形条边做边形说边形果特声明指凸边形
7边形角：边形相邻两边组成角做边形角简称边形角
8边形外角：边形角边边反延长线组成角做边形外角
注意：边形外角公顶点角邻补角
9n边形角线条
说明：利述公式边形边数计算出角线条数边形角线条数求出边数
10边形角定理：n边形角等（n－2）180°
11边形角定理推：n边形外角等360°
说明：边形外角常数（边数关）利解决关计算题利边形角公式角线求法公式简单公式解决关计算解方程联系起
掌握计算方法
二行四边形
1行四边形：两组边分行四边形做行四边形
2行四边形性质定理1：行四边形角相等
3行四边形性质定理2：行四边形边相等
4行四边形性质定理2推：夹行线间行线段相等
5行四边形性质定理3：行四边形角线互相分
6行四边形判定定理1：组边行相等四边形行四边形
7行四边形判定定理2：两组边分相等四边形行四边形
8行四边形判定定理3：角线互相分四边形行四边形
9行四边形判定定理4：两组角分相等四边形行四边形
说明：（1）行四边形定义性质判定研究特殊行四边形基础时证明线段相等角相等两条直线互相行重方法
（2）行四边形定义行四边形性质行四边形判定方法
三矩形
矩形特殊行四边形运动变化观点行四边形角变90°时边角位置变化矩形性质行四边形基础扩充
1矩形：角直角行四边形做短形（通常做长方形）
2矩形性质定理1：矩形四角直角
3．矩形性质定理2：矩形角线相等
4矩形判定定理1：三角直角四边形矩形
说明：四边形角等360度已知三角直角第四角必定直角
5矩形判定定理2：角线相等行四边形矩形
说明：判定四边形矩形方法：
法：先证明出行四边形证出直角（定义证明）
法二：先证明出行四边形证出角线相等（判定定理1）
法三：需证出三角直角（判定定理2）
四菱形
菱形特殊行四边形行四边形两邻边发生变化时两邻边相等时行四边形变成菱形
1菱形：组邻边相等行四边形做菱形
2菱形性质1：菱形四条边相等
3菱形性质2：菱形角线互相垂直条角线分组角
4菱形判定定理1：四边相等四边形菱形
5菱形判定定理2：角线互相垂直行四边形菱形
说明：判定四边形菱形方法：
法：先证出四边形行四边形证出组邻边相等（定义证明）
法二：先证出四边形行四边形证出角线互相垂直（判定定理2）
法三：需证出四边相等（判定定理1）
（五）正方形
正方形特殊行四边形邻边角时运动时行四边形角直角邻边相等样形成正方形
1正方形：组邻边相等角直角行四边形做正方形
2正方形性质定理1：正方形四角直角四条边相等
3正方形性质定理2：正方形两条角线相等互相垂直分条角线分组角
4正方形判定定理互：两条角线互相垂直矩形正方形
5正方形判定定理2：两条角线相等菱形正方形
注意：判定四边形正方形方法
方法：第步证出组邻边相等 第二步证出角直角第三步证出行四边形（定义证明）
方法二：第步证出角线互相垂直第二步证出矩形（判定定理1）
方法三：第步证出角线相等第二步证出菱形（判定定理2）
六梯形
1梯形：组边行组边行四边形做梯形
2梯形底：梯形中行两边做梯形底（通常较短底做底较长边做底）
3梯形腰：梯形中行两边做梯形腰
4梯形高：梯形两底距离做梯形高
5直角梯形：腰垂直底梯形做直角梯形
6等腰梯形：两腰相等梯形做等腰梯形
7等腰梯形性质定理1：等腰梯形底两角相等
8等腰梯形性质定理2：等腰梯形两条角线相等
9等腰梯形判定定理l：底钩两角相等梯形等腰梯形
10等腰梯形判定定理2：角线相等梯形等腰梯形
研究等腰梯形常方法：化等腰三角形行四边形两全等直角三角形矩形作角线行线交底延长线点延长两腰交点
七中位线
1三角形中位线连结三角形两边中点线段做三角形中位线
说明：三角形中位线三角形中线
2梯形中位线：连结梯形两腰中点线段做梯形中位线
3三角形中位线定理：三角形中位线行第三边等第三边半
4梯形中位线定理：梯形中位线行两底等两底半
八边形面积
说明：边形面积常求法：
（1）意面图形划分干部分通求部分面积求出原图形面积种方法做分割法图3－l作六边形长条角线顶点条角线引垂线六边形分成四直角三角形两直角梯形计算面积相加
（2）面图形某部分割移放适位置改变原图形形状利计算变形图形面积求原图形面积种方法做割补法——
（3）面图形通拼补某图形变图形利新图形减补充图形面积求出原图形面积种方法做拼凑法
注意：两图形全等面积相等等底等高三角面积相等图形面积等部分面积
例题：
例1图412求∠B+∠C+∠D度数
例2边形外角等45°边形角少度
分析：边形外角公式求解
例3已知：图431□ABCD中AE⊥BCEAF⊥DCF∠EAF60°BE2cmDF3cm求□ABCD角度数边长
例4图454□ABCD中角线ACBD交O点EFO分交BCAD点EFAE⊥BC求证：四边形AECF矩形
例5图483已知梯形ABCD中AB∥CDMN分CDAB中点MN⊥AB
求证：梯形ABCD等腰梯形
图483
例6已知：图492梯形ABCD中AB⊥BCDEEC求证：AEEB
部分
第四章：相似形
知识点：
例线段
1：选长度单位量两条线段ab长度分mn说两条线段a：b＝m：n（）
2前项项：两条线段a：b中a做前项b做项
说明：求两条线段时两条线段单位长度
3例：两相等式子做例
4例外项：例（a：b＝c：d）中ad做例外项
5例项：例（a：b＝c：d）中bc做例项
6第四例项：例（a：b＝c：d）中dabc第四例项
7例中项：果例中两例项相等例（abbc时b做ad例中项
8例线段：四条线段中果中两条线段等外两条线段四条线段做成例线段简称例线段
9例基性质：果a：b＝c：dad＝bc逆命题成立果ad＝bca：b＝c：d
10例基性质推：果a：bb：db2ad逆定理果b2ada：bb：c说明：两积相等式子做等积式例基性质推例式等积式互化理
11合性质：果
12．等性质：果（）
说明：应等性质解题时常采设已知条件k 种方法思路单方法简单易出错
13黄金分割条线段分成两条线段较长线段原线段较线段例中项做条线段黄金分割
说明：条线段黄金分割点做条线段黄金分割点线段AB截取条线段倍点C点CAB黄金分割点
二行线分线段成例
1行线等分线段定理：果组行线条直线截线段相等直线截线段相等
格式：果直线L1∥L2∥L3 AB＝ BC
：A1B1＝B1C1图4－l
说明：定理知推1推2
推1：梯形腰中点底行直线必分腰
格式：果梯形ABCDAD∥BCAE＝EBEF∥ADDFFC
推2：三角形边中点边行直线必分第三边
格式果△ABC中DAB中点DE∥BCAE＝EC图4—3
2行线分线段成例定理：三条行线截两条直线应线段成例
说明：行线等分线段定理行线分线段成问定理特殊情况
3．行线分线段成例定理推：行三角形边直线截两边应线段成例
说明1：行线分线段成例定理形象语言表达图4—4
说明2：图4－4三种图形中成例线段位置关系然存
4三角形边行线判定定理果条直线截三角形两边（两边延长线）应线段成例条直线行三角形第三边
5三角形边行线判定定理：行三角形边两边相交直线截三角形三边原三角形三边应成例
6线段分点：条线段点线段分成两条线段点做条线段分点
7线段外分点：条线段延长线点时做条线段外分点
说明：外分点分线段两条线段点分线段两端点确定线段
三相似三角形
1相似三角形：两应角相等应边成例三角形做相似三角形
说明：证两三角形相似时证两三角形全等样通常表示应顶点字母写应位置样便找出相似三角形应角应边
2相似：相似三角形应边k做相似（做相似系数）
3相似三角形基定理：分三角形边直线两边（两边延长线）相交构成三角形原三角形相似
说明：定理反映相似三角形存性书做相似三角形存定理证明三角形相似判定定理理基础
4三角形相似判定定理：
（1）判定定理1：果三角形两角三角形两角应相等两三角形相似简单说成：两角应相等两三角形相似
（2）判定定理2：果三角形两条边三角形两条边应成例夹角相等两三角形相似简单说成：两边应成例夹角相等两三角形相似
（3）判定定理3：果三角形三条边三角形三条边应成例两三角形相似简单说成：三边应成例两三角形相似
（4）直角三角形相似判定定理果直角三角形斜边条直角边直角三角形斜边条直角边应成例两直角三角形相似
说明：四判定定理难证明判定三角形相似命题正确解题时判定两三角形相似
第：顶角（底角）相等两等腰三角形相似
第二：腰底应成例两等腰三角形相似
第三：锐角相等两直角三角形相似
第四：直角三角形斜边高分成两直角三角形原三角形相似
第五：果三角形两边中边中线三角形两边中边中线应成例两三角形．相似
5相似三角形性质：
（1）相似三角形性质1：相似三角形应高应中线应角分线等相似
（2）相似三角形性质2：相似三角形周长等相似
说明：两性质简单记：相似三角形应线段等相似
（3）相似三角形面积等相似方
说明：两三角形相似根定义知具应角相等应边成例性质
6介绍特点两三角形
（1）边三角形指条公边两三角形做边三角形
（2）角三角形角相等互补两三角形做角三角形图4－6
（3）公边角公角条公边两三角形做公边角三角形
说明：具公边角两三角形相似公边方等叠条直线两边积：图4—7△ACD∽△ABCAC2＝AD·AB
例题：
例1已知：值
分析：已知等条件时常种求值方法：
(1)设值k
(2)例基性质
(3)方程思想中字母表示字母
解：ab23bc54abc101512设a10kb15kc12k (a+b)(b－c)253
例2 已知：图5－126(a)梯形ABCD中AD∥BC角线交O点O作EF∥BC分交ABDCEF求证：(1)OEOF(2)(3)MN梯形中位线求证AF∥MC
分析：
(1)利例证明两线段相等方法
①ac(bdab)bd(accd)
②ab(适线段实数成立)
③aa′bb′cc′dd′
(2)利行线证明例式换中间方法
(3)证明时转化类型：
①化直接求出值中间求出值相加证明值1
②直接通分移项转化证明四条线段成例
(4)分析法证明第(3)题延长两腰梯形问题转化三角形问题
延长BACD交SAF∥MC
∴ AF∥MC成立
(5)运动观点问题进行推广
直线EF行移动点O分交ABBDACCDEO1O2F图5－126(b)O1F
O2F否相等什
(6)常推广问题方法：类特殊般等
例3 已知：图5－127ΔABC中ABACDBC中点DE⊥ACEFDE中点BE交ADNAF交BEM求证：AF⊥BE
分析：
(1)分解基图形探求解题思路
(2)总结利相似三角形性质证明两角相等进步证明两直线位置关系(行垂直等)
方法利ΔADE∽ΔDCE
结合中点定义结合∠3∠CΔBEC∽ΔAFD∠1∠2进步
AF⊥BE
(3)总结证明四条线段成例常方法：①例定义②行线分线段成例定理③
三角形相似预备定理④直接利相似三角形性质⑤利中间等量代换⑥利面
积关系
例4 已知：图5－128RtΔABC中∠ACB90°CD⊥ABDDE⊥ACEDF⊥BCF
求证：(1)CD3AAE·BF·AB(2)BC2：AC2CEEA(3)BC3AC3BFAE
分析：
掌握基图形RtΔABC∠C90°CD⊥ABD中常结
①勾股定理：AC2+BC2AB2
②面积公式：AC·BCAB·CD
③三例中项：AC2AD·ABBC2BD·BACD2DA·DB
⑤
证明：第(1)题：
∵ CD2AD·BD
∴ CD4AD2·BD2(AE·AC)·(BF·BC)(AE·BF)(AC·BC) (AE·BF)·(AB·CD)
第(2)题：
∵利ΔBDF∽ΔDAE证命题证
第(3)题：
∵
∴∴
第五章：解直角三角形
知识点：
锐角三角函数：直角三角形ABC中∠C直角图5－1
1正弦：锐角A边斜边做∠A正弦记作
2余弦：锐角A邻边斜边做∠A余弦记作
3正切：锐角A边邻边做∠A正切记作
4余切：锐角A邻边边做∠A余切记作
说明：定义出tanA·cotA＝l（写成）
5锐角三角函数：锐角A正弦余弦正切余切做∠A锐角三角函数
说明：锐角三角函数取负值
0＜ sinA＜ l 0＜cosA＜l
6锐角正弦余弦间关系意锐角正弦值等余角余弦值意锐角余弦值等余角正弦值
sinA＝cos（90° A）＝cosBcosA＝sin（90°A）＝sinB
7锐角正切余切间关系意锐角正切值等余角余切值意锐角余切值等余角正切值
tanA＝cot（90° A）＝cotBcotA＝tan（90°－A）＝ tanB
说明：式中90°A B
8三角函数值变化规律
（1）角度0°— 90°间变化时正弦值（正切值着角度增（减）增（减）
（2）角度0°—90°间变化时余弦值（余切值）着角度增（减）减（增）
9角三角函数关系公式
（1）（2）（3） tanA＝
10．特殊角三角函数值
二解直角三角形
直角三角形中直角外已知元素求出未知元素程做解直角三角形
直角三角形ABC中∠C＝90°ABCabc中∠C＝90°外余5元素间关系：
（l）（2）∠A十∠B＝90°
（3）
知道中2元素（少边）求出余3未知数
例Rt△ABC中∠C＝90°∠A＝30°a＝5
：
三应举例
实际问题中解直角三角形者说解直角三角形方法解决实际问题
例杆AB直立面D点杆顶A仰角60°C点杆顶A仰角30°（图5～2）CD长10米求杆AB高
解：设AB＝x
∴
杆高约8．66米应题中注意：
（1）仰角俯角见图5－3
（2）跨度中柱：房屋顶字架跨度AB见图5—4
（3）深度燕尾角
燕尾槽深度见图5—5
（4）坡度坡角
见图56坡度i＝7坡度垂直高度h水宽度
例题：
例1根列条件解直角三角形．
例2点C测山顶A仰角30°山直线前进20米D处测山顶A仰角45°求山高AB．
分析：题方面引导学生复仰角俯角概念时引导学生加分析：
图639根题意AB⊥BC∠ABC90°△ABD△ABC直角三角形CDB直线∠ADB45°ABBDCD20米BC20+ABRt△ABC中∠C30°ABBC间关系山高AB求．学生分析题时遇困难：Rt△ABC中Rt△ABD中找出条已知边题目中已知条件CD20米会．
解：略
例题3图640水库横截面梯形坝顶宽6m坝高23m斜坡AB
坝底宽AD(精确01m)．
分析：坡度问题解直角三角形重应学生解坡度问题时常遇问题：
1．坡度概念理解导致会运题目中坡度条件
2．坡度问题计算量较学生易出错
3．常需添加辅助线图形分割成直角三角形矩形．
部分
第六章：圆
知识点：
圆
1圆关性质
面线段OA绕固定端点O旋转周端点A旋转形成图形圆固定端点O圆心线段OA半径
圆意义知：
圆点定点（圆心O）距离等定长点圆
说：圆定点距离等定长点集合圆部作圆心距离半径点集合
圆外部作圆心距离半径点集合连结圆意两点线段做弦圆心弦直径圆意两点间部分圆弧简称弧
圆意条直径两端点分圆成两条弧条弧半圆半圆弧优弧半圆弧劣弧弦弧组成圆形弓形
圆心相半径相等两圆心圆
够重合两圆等圆
圆等圆半径相等
圆等圆中够互相重合弧等弧
二三点圆
l三点圆
三点圆作法：利中垂线找圆心
定理直线三点确定圆
三角形顶点圆三角形外接圆外接圆圆心外心三角形圆接三角形
2反证法
反证法三步骤：
①假设命题结成立
②假设出发推理证出矛盾
③矛盾出假设正确肯定命题结正确
例：求证三角形中角钝角
证明：设两钝角
两钝角＞180°
三角形角等180°矛盾
∴二钝角
钝角
三垂直弦直径
圆轴称图形圆心条直线称轴
垂径定理：垂直弦直径分条弦分弦两条弧
推理1：分弦（直径）直径垂直弦分弦两条弧
弦垂直分线圆心分弦两条弧
分弦条弧直径垂直分弦分弦条弧
推理2：圆两条行弦夹弧相等
四圆心角弧弦弦心距间关系
圆圆心称中心中心称图形
实际圆绕圆心旋转意角度够原图形重合
顶点圆心角圆心角圆心弦距离弦心距
定理：圆等圆中相等圆心角弧相等弦相等弦心距相等
推理：圆等圆中果两圆心角两条弧两条弦两条弦弦心距中组量相等应余组量分相等
五圆周角
顶点圆两边圆相交角圆周角
推理1：弧等弧圆周角相等圆等圆中相等圆周角弧相等
推理2：半圆（直径）圆周角直角90°圆周角弦直径
推理3：果三角形边中线等边半三角形直角三角形
定理推理添加辅助线添加构成直径圆周角辅助线
六圆接四边形
边形顶点圆边形圆接边形圆边形外接圆
定理：圆接四边形角互补外角等角
例图6—1连EF：
∠DEF＝∠B
∠DEF＋∠A＝180°
∴∠A＋∠B＝18ry
∴BC∥DA
七直线圆位置关系
1直线圆两公点时做直线圆相交时直线圆割线
直线圆唯公点时做直线圆相切时直线圆切线唯公点切点
直线圆没公点时直线圆相离
2圆半径r圆心直线距离d：
直线圆相交d＜r直线圆相切d＝r直线圆相离d＞r直线圆相交d＜r
例：图6－2中直线圆O相割：r＞d
图6－3中直线圆O相切r＝d
图6－4中直线圆O相离r＜d
八切线判定性质
切线判定：半径外端垂直条半径直线圆切线
切线性质：圆切线垂直切点半径
推理1：圆心垂直干切线直线必切点
推理2：切点垂直切线直线必圆心
例图6－5中O圆心AC切线D切点
∠B＝90°
BC切线
OD半径
OD⊥AC
九三角形切圆
求会作图知三角形边相切
∵分角线点角两边距离相等
∴两条分角线交点圆心
样作出圆三角形切圆圆心心三角形圆外切三角形
边形边相切圆边形切圆边形圆外切边形
十切线长定理
圆外点作圆两条切线圆外点圆切线点切点间线段长点圆切线长
切线长定理圆外点引圆两条切线切线长相等圆心点连线分两条切线夹角图6－6
BC切点O圆心
AB＝AC∠1＝∠2
十弦切角
顶点圆边圆相交边圆相切角弦切角
弦切角定理弦切角等央弧圆周角
推理果两弦切角央弧相等两弦切角相等
例图6－7AB切线
：∠C＝∠BAE∠BAE＝∠D
∴∠C＝∠D
十二圆关例线段
相交弦定理：圆两条相交弦交点分成两条线段长积相等
推理：果弦直径垂直相交弦半分直径成两条线段例中项
切割线定理：圆外点引圆切线割线切线长点割线圆交点两条线段长例中项
推理：圆外点引两条割线点条割线圆交点两条线段长积相等图6－8F切点
：AF2AH·ACAG·AB＝AF2
EM·MDBM·MG
CN·NHDN·NE
十三圆圆位置关系图6－9
连心线长d两圆半径分Rr：
1两圆外离d ＞R＋r
2两圆外切d R＋r
3两圆相交R－r＜d＜R＋r（R＞r）
4两圆切d R－r（R＞r）
5两圆含d＜R－r（R＞r）
定理相交两圆连心线垂直分丙两圆公弦
图6－10O1O2圆心
：AB⊥O1O2ABO1O2分
十四两圆公切线
两圆相切直线两圆公切线两圆公切线旁时外公切线公切线两旁时公切线公切线两切点距离公切线长
图6－11 ABCD切点AB公切线长CD外公切线长
外公切线中重直角三角形图6－12OO1A直角三角形
d2（R－r）2＋e2外公切线长
图 6－13 OO1C直角三角形
d2＝（R十r）2＋ e’2公切线长
十五相切作图中应
生活生产中常常需条线（线段孤）滑渡条线通常称圆弧连接简称连接连接时线段圆弧圆弧圆弧连接外相切图 6－ 14
十六正边形圆
边相等角相等边形正边形
定理：圆分成n（n＞3）等分：
（l）次连结分点边形圆正边形
（2）分点作圆切线相邻切线交点顶点边形圆外切正n边形
定理：正边形外接圆切圆两圆心圆
正边形外接（切）圆圆心正边形中心外接圆半径正边形半径切圆半径正边形边心距
正边形边外接圆圆心角相等正边形中心角
正n边形中心角等
正边形轴称图形正n边形n条称轴条称轴通正n边形中心
n偶数正n边形中心称图形中心称中心
边数相正边形相似周长等边长面积等边长方
十七正边形关计算
正n边形角等
定理：正n边形半径边心距正n边形分成2n全等直角三角形正边形关计算结解直角三角形计算
十八画正边形
1量角器等分圆
2尺规等分圆
正三正六正八正四倍数（正边形）
正五边形似作法
二十圆周长弧长
1圆周长C＝2πR2弧长
二十圆扇形弓形面积
l圆面积：
2扇形面积：条弧条弧端点两条半径组成图形做扇形
半径R圆中圆心角n°扇形面积S扇形计算公式：
注意：扇形弧长扇形面积公式写
（3）弓形面积
弦弧组成圆形做弓形
弓形面积计算扇形面积三角形面积基础求果弓形弧劣弧弓形面积等扇形面积减三角形面积弓形弧优弧弓形面积等扇形面积加三角形面积
二十二圆柱圆锥侧面展开图
1圆柱侧面展开图
圆柱作矩形旋转矩形ABCD绕边AB旋转周图形圆柱（图616）
AB圆柱轴圆柱侧面行轴线段CD C’D’…圆柱母线
圆柱母线长相等等圆柱高
圆柱两底面行
圆柱侧面展开图长方形图6－17中AB高AC底面圆周长
∴S侧面2πRh
圆柱轴截面长方形边长h边长2R
R圆柱底半径h圆柱高见图6－8
（2）圆锥侧面展开图
圆锥作直角三角形旋转
图6－19Rt△OAS绕直线SO旋转周图形圆锥
旋转轴SO圆锥轴连通底面圆圆心垂直底面
连结圆锥顶点底面圆意点SASA’…圆锥母线母线长相等
圆锥侧面展开图图619扇形SAB
半径母线长AB2πR（底面周长）圆锥侧面积S侧面πRL
例题：
例1图721AB⊙O直径AD⊥CDBC⊥CDAD+BCAB
1求证：⊙OCD相切
2CD3求AD•BC
[特色]题源教材考查切线判定方法相似三角形知识
[解答](1)O点作OE⊥CDE
∵ AD⊥CD BC⊥CD ∴ AD∥OE∥BC
∵AOBO ∴DECE
∴ OE(AD+BC) ABAD+BC
∴ OEOA OE⊥CD ∴⊙OCD相切
(2)连结AEBE∵⊙OCD相切
∴ OE⊥CD ∠ BAE∠BEC ∠ BAE∠ OEA ∠ OEA+∠ DEA90
∴∠ DEA+∠BEC90 ∵AD⊥CD ∴∠ DEA+∠ DAE90
∴∠ DAE∠BEC ∴ △AED∽△EBC
∴AD•ECDE•BC AD•BCDE•EC
例2图712已知AB⊙O直径D弦AC中点BC6cmOD
[特色] 道中考题均直接运圆关性质解题
[解答]三角形中位线定理知ODBC
例3图731⊙O△ABC切圆∠CAO延长线交BC点DAC4CD1⊙O半径等（ ）
A B C D
[特色]题考查心性质
[解答] 点O半径OEOE∥CDAE∶ACOE∶CD设半径R（4R）∶4R∶1
解R选A
例4圆接四边形ABCD∠A∠B∠C度数1∶2∶3四边形角
[特色]运圆接四边形性质进行简单计算
[解答]设Ax∠B2x∠C3x ∵∠A+∠C180 ∴x+3x180 ∴ x45
∴∠A45 ∠ B90 ∠C135 ∠ D90
∴ 角135
例5图751OO外切点C直线AB分外切⊙OA⊙OB⊙O半径1AB2⊙O半径
[特色]题圆圆位置关系中常见基题型着眼考查学生两圆位置关系理解运
[解答] （1）选B利两圆相交连心线垂直分公弦根勾股定理求
例6两边长分4cm6cm矩形边直线轴旋转周圆柱表面积 cm
[特色]考查圆柱表面积计算着眼考查学生思维全面性
[解答]边长4cm作母线圆柱表面积80边长6cm作母线圆柱表面积120
例7图762正六边形接半径1圆中阴影部分面积
[特色]考查学生基概念理解基运算力
[解答] 答案：作半径扇形面积减三角形面积
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