题组层级快练(六十七)
1．(2014·新课标全国Ⅱ理)设F抛物线C：y2＝3x焦点F倾斜角30°直线交CAB两点O坐标原点△OAB面积( )
A B
C D
答案 D
解析 先求直线AB方程抛物线方程联立组成方程组化简利根系数关系求解．
已知焦点坐标F(0)直线AB方程y＝(x－)4x－4y－3＝0
方法：联立抛物线方程化简4y2－12y－9＝0
|yA－yB|＝＝6
S△OAB＝|OF||yA－yB|＝××6＝
方法二：联立方程x2－x＋＝0
xA＋xB＝
根抛物线定义
|AB|＝xA＋xB＋p＝＋＝12
原点直线AB距离
h＝＝
S△OAB＝|AB|·h＝
解：|AB|＝＝＝12
S△ABO＝·|OF|·|AB|·sinθ＝··12·＝
2．设O坐标原点F抛物线y2＝4x焦点A抛物线点·＝－4点A坐标( )
A．(2±2) B．(1±2)
C．(12) D．(22)
答案 B
解析 设A(x0y0)F(10)＝(x0y0)
＝(1－x0－y0)·＝x0(1－x0)－y＝－4
∵y＝4x0∴x0－x－4x0＋4＝0⇒x＋3x0－4＝0x1＝1x2＝－4(舍)．∴x0＝1y0＝±2
3．已知抛物线C：y2＝8x点M(－22)C焦点斜率k直线C交AB两点．·＝0k＝( )
A B
C D．2
答案 D
解析 题意知抛物线C焦点坐标(20)直线AB方程y＝k(x－2)代入y2＝8xk2x2－4(k2＋2)x＋4k2＝0设A(x1y1)B(x2y2)
x1＋x2＝x1x2＝4①
⇒
∵·＝0
∴(x1＋2y1－2)·(x2＋2y2－2)＝0
∴(x1＋2)(x2＋2)＋(y1－2)(y2－2)＝0
x1x2＋2(x1＋x2)＋4＋y1y2－2(y1＋y2)＋4＝0④
①②③④式解k＝2选D
4(2015·河南豫东豫北十名校)图示抛物线x2＝2py(p>0)焦点F直线l交抛物线AB两点交准线点C|BC|＝|BF||AF|＝4＋2p值( )
A．1 B．2
C D．3
答案 B
解析 B作准线垂线BB′|BB′|＝|BF||BC|＝|BF|直线l倾斜角45°设A(x0y0)|AF|＝4＋2x0－＝|AF|＝2＋2∴(2＋2)＋p＝4＋2∴p＝2
5．(2015·江西重点中学盟校联考)已知抛物线C：y＝x2－2原点动直线l交抛物线CAB两点PAB中点设动点P(xy)4x－y值( )
A．2 B．－2
C．4 D．－4
答案 A
解析 设直线l方程y＝kx抛物线C方程y＝x2－2联立消yx2－kx－2＝0设A(x1y1)B(x2y2)x1＋x2＝kx＝y＝4x－y＝2k－＝－(k－2)2＋2k＝2时4x－y取值2
6(2015·湖南益阳模拟)图示已知直线l：y＝k(x＋1)(k>0)抛物线C：y2＝4x相交AB两点AB两点抛物线C准线射影分MN|AM|＝2|BN|k值( )
A B
C D．2
答案 C
解析 设A(x1y1)B(x2y2)联立方程组消xky2－4y＋4k＝0①
直线抛物线相交
Δ＝42－4×k×4k＝16(1－k2)>0(*)
y1y2方程①两根
|AM|＝2|BN|y1＝2y2④
解②③④组成方程组k＝
k＝代入(*)式检验等式成立．k＝选C
7．设F抛物线y2＝4x焦点ABC该抛物线三点＋＋＝0||＋||＋||＝( )
A．9 B．6
C．4 D．3
答案 B
解析 焦点F坐标(10)设ABC坐标分A(x1y1)B(x2y2)C(x3y3)．
∴＝(x1－1y1)＝(x2－1y2)＝(x3－1y3)．
∵＋＋＝0
∴x1－1＋x2－1＋x3－1＝0
∴x1＋x2＋x3＝3
∴||＋||＋||
＝＋＋
＝＋＋
＝x1＋1＋x2＋1＋x3＋1＝6
8．已知抛物线y2＝4x点P(40)直线抛物线交A(x1y1)B(x2y2)两点y＋y值________．
答案 32
解析 设直线方程x＝ky＋4抛物线联立
y2－4ky－16＝0∴y1＋y2＝4ky1y2＝－16
∴y＋y＝(y1＋y2)2－2y1y2＝16k2＋32
值32
9图示直线l：y＝x＋b抛物线C：x2＝4y相切点A
(1)求实数b值
(2)求点A圆心抛物C准线相切圆方程．
答案 (1)－1 (2)(x－2)2＋(y－1)2＝4
解析 (1)x2－4x－4b＝0(*)
直线l抛物线C相切
Δ＝(－4)2－4×(－4b)＝0解b＝－1
(2)(1)知b＝－1方程(*)x2－4x＋4＝0
解x＝2代入x2＝4yy＝1点A(21)．
圆A抛物线C准线相切
圆A半径r等圆心A抛物线准线y＝－1距离r＝|1－(－1)|＝2
圆A方程(x－2)2＋(y－1)2＝4
10图示斜率1直线抛物线y2＝2px(p>0)焦点F抛物线交AB两点M抛物线弧AB动点．
(1)|AB|＝8求抛物线方程
(2)求S△ABM值．
答案 (1)y2＝4x (2)p2
解析 (1)条件知lAB：y＝x－y2＝2px联立消yx2－3px＋p2＝0x1＋x2＝3p抛物线定义|AB|＝x1＋x2＋p＝4p
|AB|＝8p＝2抛物线方程y2＝4x
(2)方法：(1)知|AB|＝4plAB：y＝x－设M(y0)MAB距离d＝
点M直线AB方－y0－<0
d＝＝＝＝
y0＝p时dmax＝p
S△ABM值×4p×p＝p2
方法二：(1)知|AB|＝4plAB：y＝x－设直线AB行抛物线相切直线方程y＝x＋m代入抛物线方程x2＋2(m－p)x＋m2＝0Δ＝4(m－p)2－4m2＝0m＝直线AB行抛物线相切直线方程y＝x＋两直线间距离d＝＝p
S△ABM值×4p×p＝p2
11．(2015·广东百高中联考)已知抛物线C：y2＝2px(p>0)焦点F点K(－10)直线l抛物线C准线交点直线l抛线C相交AB两点．
(1)求抛物线C方程
(2)设·＝求直线l方程．
答案 (1)y2＝4x
(2)3x－4y＋3＝03x＋4y＋3＝0
解析 (1)题意知－＝－1解p＝2
抛物线C方程y2＝4x
(2)设A(x1y1)B(x2y2)设直线l方程x＝my－1(m≠0)．
x＝my－1代入y2＝4x整理y2－4my＋4＝0
Δ>0m2>1y1＋y2＝4my1y2＝4
x1＋x2＝(my1－1)＋(my2－1)＝4m2－2
x1x2＝(my1－1)(my2－1)＝m2y1y2－m(y1＋y2)＋1＝1
＝(x1－1y1)＝(x2－1y2)
·＝(x1－1)(x2－1)＋y1y2＝x1x2－(x1＋x2)＋1＋4＝8－4m2
8－4m2＝解m＝±满足m2>1
直线l方程x＝±y－1
3x－4y＋3＝03x＋4y＋3＝0
12．(2015·山东莱芜期末)已知抛物线C顶点坐标原点焦点F(0c)(c>0)直线y＝2x距离
(1)求抛物线C方程
(2)直线y＝kx＋1(k≠0)抛物线C交AB两点设线段AB中垂线y轴交点P(0b)求实数b取值范围．
答案 (1)x2＝2y (2)b∈(2＋∞)
解析 (1)题意＝c＝
抛物线C方程x2＝2y
(2)设A(x1y1)B(x2y2)x2－2kx－2＝0Δ＝4k2＋8>0
x1＋x2＝2k线段AB中点坐标(kk2＋1)．
线段AB中垂线方程y＝－(x－k)＋k2＋1
y＝－x＋k2＋2
令x＝0b＝k2＋2
b∈(2＋∞)．
1．面机器行进中始终保持点F(10)距离直线x＝－1距离相等机器接触点P(－10)斜率k直线k取值范围________．
答案 (－∞－1)∪(1＋∞)
解析 题意知机器轨迹抛物线轨迹方程y2＝4x点P(－10)斜率k直线方程y＝k(x＋1)题意知直线抛物线交点联立消yk2x2＋(2k2－4)x＋k2＝0Δ＝(2k2－4)2－4k4<0k2>1k>1k<－1
2．抛物线y2＝4x焦点F直线交该抛物线AB两点O坐标原点．|AF|＝3△AOB面积( )
A B
C D．2
答案 C
解析 题意抛物线y2＝4x焦点F(10)准线方程l：x＝－1A点横坐标2妨设A(22)直线AB方程y＝2(x－1)y2＝4x联立2x2－5x＋2＝0B(－)S△AOB＝S△AOF＋S△BOF＝×1×|yA－yB|＝
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1．(2014·新课标全国Ⅱ理)设F抛物线C：y2＝3x焦点F倾斜角30°直线交CAB两点O坐标原点△OAB面积( )
A B
C D
答案 D
解析 先求直线AB方程抛物线方程联立组成方程组化简利根系数关系求解．
已知焦点坐标F(0)直线AB方程y＝(x－)4x－4y－3＝0
方法：联立抛物线方程化简4y2－12y－9＝0
|yA－yB|＝＝6
S△OAB＝|OF||yA－yB|＝××6＝
方法二：联立方程x2－x＋＝0
xA＋xB＝
根抛物线定义
|AB|＝xA＋xB＋p＝＋＝12
原点直线AB距离
h＝＝
S△OAB＝|AB|·h＝
解：|AB|＝＝＝12
S△ABO＝·|OF|·|AB|·sinθ＝··12·＝
2．设O坐标原点F抛物线y2＝4x焦点A抛物线点·＝－4点A坐标( )
A．(2±2) B．(1±2)
C．(12) D．(22)
答案 B
解析 设A(x0y0)F(10)＝(x0y0)
＝(1－x0－y0)·＝x0(1－x0)－y＝－4
∵y＝4x0∴x0－x－4x0＋4＝0⇒x＋3x0－4＝0x1＝1x2＝－4(舍)．∴x0＝1y0＝±2
3．已知抛物线C：y2＝8x点M(－22)C焦点斜率k直线C交AB两点．·＝0k＝( )
A B
C D．2
答案 D
解析 题意知抛物线C焦点坐标(20)直线AB方程y＝k(x－2)代入y2＝8xk2x2－4(k2＋2)x＋4k2＝0设A(x1y1)B(x2y2)
x1＋x2＝x1x2＝4①
⇒
∵·＝0
∴(x1＋2y1－2)·(x2＋2y2－2)＝0
∴(x1＋2)(x2＋2)＋(y1－2)(y2－2)＝0
x1x2＋2(x1＋x2)＋4＋y1y2－2(y1＋y2)＋4＝0④
①②③④式解k＝2选D
4(2015·河南豫东豫北十名校)图示抛物线x2＝2py(p>0)焦点F直线l交抛物线AB两点交准线点C|BC|＝|BF||AF|＝4＋2p值( )
A．1 B．2
C D．3
答案 B
解析 B作准线垂线BB′|BB′|＝|BF||BC|＝|BF|直线l倾斜角45°设A(x0y0)|AF|＝4＋2x0－＝|AF|＝2＋2∴(2＋2)＋p＝4＋2∴p＝2
5．(2015·江西重点中学盟校联考)已知抛物线C：y＝x2－2原点动直线l交抛物线CAB两点PAB中点设动点P(xy)4x－y值( )
A．2 B．－2
C．4 D．－4
答案 A
解析 设直线l方程y＝kx抛物线C方程y＝x2－2联立消yx2－kx－2＝0设A(x1y1)B(x2y2)x1＋x2＝kx＝y＝4x－y＝2k－＝－(k－2)2＋2k＝2时4x－y取值2
6(2015·湖南益阳模拟)图示已知直线l：y＝k(x＋1)(k>0)抛物线C：y2＝4x相交AB两点AB两点抛物线C准线射影分MN|AM|＝2|BN|k值( )
A B
C D．2
答案 C
解析 设A(x1y1)B(x2y2)联立方程组消xky2－4y＋4k＝0①
直线抛物线相交
Δ＝42－4×k×4k＝16(1－k2)>0(*)
y1y2方程①两根
|AM|＝2|BN|y1＝2y2④
解②③④组成方程组k＝
k＝代入(*)式检验等式成立．k＝选C
7．设F抛物线y2＝4x焦点ABC该抛物线三点＋＋＝0||＋||＋||＝( )
A．9 B．6
C．4 D．3
答案 B
解析 焦点F坐标(10)设ABC坐标分A(x1y1)B(x2y2)C(x3y3)．
∴＝(x1－1y1)＝(x2－1y2)＝(x3－1y3)．
∵＋＋＝0
∴x1－1＋x2－1＋x3－1＝0
∴x1＋x2＋x3＝3
∴||＋||＋||
＝＋＋
＝＋＋
＝x1＋1＋x2＋1＋x3＋1＝6
8．已知抛物线y2＝4x点P(40)直线抛物线交A(x1y1)B(x2y2)两点y＋y值________．
答案 32
解析 设直线方程x＝ky＋4抛物线联立
y2－4ky－16＝0∴y1＋y2＝4ky1y2＝－16
∴y＋y＝(y1＋y2)2－2y1y2＝16k2＋32
值32
9图示直线l：y＝x＋b抛物线C：x2＝4y相切点A
(1)求实数b值
(2)求点A圆心抛物C准线相切圆方程．
答案 (1)－1 (2)(x－2)2＋(y－1)2＝4
解析 (1)x2－4x－4b＝0(*)
直线l抛物线C相切
Δ＝(－4)2－4×(－4b)＝0解b＝－1
(2)(1)知b＝－1方程(*)x2－4x＋4＝0
解x＝2代入x2＝4yy＝1点A(21)．
圆A抛物线C准线相切
圆A半径r等圆心A抛物线准线y＝－1距离r＝|1－(－1)|＝2
圆A方程(x－2)2＋(y－1)2＝4
10图示斜率1直线抛物线y2＝2px(p>0)焦点F抛物线交AB两点M抛物线弧AB动点．
(1)|AB|＝8求抛物线方程
(2)求S△ABM值．
答案 (1)y2＝4x (2)p2
解析 (1)条件知lAB：y＝x－y2＝2px联立消yx2－3px＋p2＝0x1＋x2＝3p抛物线定义|AB|＝x1＋x2＋p＝4p
|AB|＝8p＝2抛物线方程y2＝4x
(2)方法：(1)知|AB|＝4plAB：y＝x－设M(y0)MAB距离d＝
点M直线AB方－y0－<0
d＝＝＝＝
y0＝p时dmax＝p
S△ABM值×4p×p＝p2
方法二：(1)知|AB|＝4plAB：y＝x－设直线AB行抛物线相切直线方程y＝x＋m代入抛物线方程x2＋2(m－p)x＋m2＝0Δ＝4(m－p)2－4m2＝0m＝直线AB行抛物线相切直线方程y＝x＋两直线间距离d＝＝p
S△ABM值×4p×p＝p2
11．(2015·广东百高中联考)已知抛物线C：y2＝2px(p>0)焦点F点K(－10)直线l抛物线C准线交点直线l抛线C相交AB两点．
(1)求抛物线C方程
(2)设·＝求直线l方程．
答案 (1)y2＝4x
(2)3x－4y＋3＝03x＋4y＋3＝0
解析 (1)题意知－＝－1解p＝2
抛物线C方程y2＝4x
(2)设A(x1y1)B(x2y2)设直线l方程x＝my－1(m≠0)．
x＝my－1代入y2＝4x整理y2－4my＋4＝0
Δ>0m2>1y1＋y2＝4my1y2＝4
x1＋x2＝(my1－1)＋(my2－1)＝4m2－2
x1x2＝(my1－1)(my2－1)＝m2y1y2－m(y1＋y2)＋1＝1
＝(x1－1y1)＝(x2－1y2)
·＝(x1－1)(x2－1)＋y1y2＝x1x2－(x1＋x2)＋1＋4＝8－4m2
8－4m2＝解m＝±满足m2>1
直线l方程x＝±y－1
3x－4y＋3＝03x＋4y＋3＝0
12．(2015·山东莱芜期末)已知抛物线C顶点坐标原点焦点F(0c)(c>0)直线y＝2x距离
(1)求抛物线C方程
(2)直线y＝kx＋1(k≠0)抛物线C交AB两点设线段AB中垂线y轴交点P(0b)求实数b取值范围．
答案 (1)x2＝2y (2)b∈(2＋∞)
解析 (1)题意＝c＝
抛物线C方程x2＝2y
(2)设A(x1y1)B(x2y2)x2－2kx－2＝0Δ＝4k2＋8>0
x1＋x2＝2k线段AB中点坐标(kk2＋1)．
线段AB中垂线方程y＝－(x－k)＋k2＋1
y＝－x＋k2＋2
令x＝0b＝k2＋2
b∈(2＋∞)．
1．面机器行进中始终保持点F(10)距离直线x＝－1距离相等机器接触点P(－10)斜率k直线k取值范围________．
答案 (－∞－1)∪(1＋∞)
解析 题意知机器轨迹抛物线轨迹方程y2＝4x点P(－10)斜率k直线方程y＝k(x＋1)题意知直线抛物线交点联立消yk2x2＋(2k2－4)x＋k2＝0Δ＝(2k2－4)2－4k4<0k2>1k>1k<－1
2．抛物线y2＝4x焦点F直线交该抛物线AB两点O坐标原点．|AF|＝3△AOB面积( )
A B
C D．2
答案 C
解析 题意抛物线y2＝4x焦点F(10)准线方程l：x＝－1A点横坐标2妨设A(22)直线AB方程y＝2(x－1)y2＝4x联立2x2－5x＋2＝0B(－)S△AOB＝S△AOF＋S△BOF＝×1×|yA－yB|＝
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