长方体正方体
长方体认识
1认识长方体面棱顶点
(1)角度观察长方体
长方体放桌面角度观察时观察长方体三面
(2)长方体棱顶点
长方体两面相交线作长方体棱三条棱相交点作长方体顶点
2长方体特征
长方体6长方形(2相面正方形)围成立体图形6面12条棱8顶点长方体中相面完全相相棱长度相等
3长方体长宽高含义
长方体相交顶点三条棱长度分作长宽高
4长方体长宽高固定变长方体摆放方式关长方体相交顶点三条棱中通常水方两条棱分作长宽竖直方条棱作高
二正方体认识
1正方体立方体6完全相正方形围成立体图形6面完全相正方形12条棱长度相等8顶点
2正方体长宽高相等正方体棱长
3长方体正方体特征异
①相点6面12条棱8顶点相面完全相相棱长度相等
②点长方体6面长方形(2相面正方形)般情况棱3组组4条棱长度相等正方体6面完全相正方形条棱长度相等
三正方体长方体展开图
1正方体条棱剪开图示
正方体展开图6完全相正方形组成通观察折叠找3组相面
2长方体棱长方体剪开展开图中3组相面相面完全相相面完全隔开
3着正方体(长方体)棱剪开正方体(长方体)展开成面图形面图形正方体(长方体)展开图展开图中正方体6面完全相(长方体相面完全相)相面完全隔开
四长方体正方体表面积意义计算方法
1表面积意义长方体(正方体)6面总面积作表面积
2长方体正方体表面积计算方法
(1)长方体表面积长×宽×2+长×高×2+宽×高×2(长×宽+长×高+宽×高)×2
果S表示长方体表面积abh分表示长方体长宽高长方体表面积计算公式S2ab+2ah+2bhS(ab+ah+bh)×2
(2)正方体表面积棱长×棱长×6
果S表示正方体表面积a表示棱长正方体表面积计算公式S6a2
五运长方体正方体表面积计算方法解决实际问题
1求长方体正方体物体表面积时关键根实际情况确定求面面积
2实际生活中长方体形状物体6面长方体鱼缸5面通风4面计算时根实际情况解题
六体积容积意义
1物体占空间作物体体积
2盛装物体称容器盛装物体容器
3容器容纳物体体积作容器容积
4容积物体定体积体积物体定容积
七体积单位
1棱长1厘米正方体体积1立方厘米
2棱长1分米正方体体积1立方分米
3棱长1米正方体体积1立方米
4常体积单位立方厘米立方分米立方米字母表示分cm3dm3m3
八容积单位
1容积单位方法
计量容积般体积单位计量液体体积水油等通常升毫升作单位升毫升字母表示分LmL中1 L1000 mL
2容积单位换算
1 dm31 L 1 cm31 mL
高级单位低级单位转换法计算低级单位高级单位转换法计算
3容积体积区
(1)意义
体积指物体占空间容积指容器容纳物体体积物体体积定容积
(2)测量方法
求物体体积物体外面测量长宽高进行计算求物体容积必须里面测量长宽高然计算物体般说容积体积
(3)单位名称完全相
体积单位般立方米立方分米立方厘米固体气体容积单位体积单位相液体容积单位般升毫升
九长方体体积公式推导
1取121立方厘米正方体摆出形状长方体例图
正方体体积1立方厘米长方体12正方体摆成长方体体积12立方厘米
2填写表格
长cm
宽cm
高cm
正方体数
体积cm3
长方体①
12
1
1
12
12
长方体②
6
2
1
12
12
长方体③
4
3
1
12
12
长方体④
3
2
2
12
12
3(1)摆成长方体中排正方体数相长方体长排数相长方体宽层数相长方体高
(2)长方体含正方体(体积单位)数正等长方体长宽高积
4长方体体积公式字母表达式
果V表示长方体体积abh分表示长方体长宽高长方体体积公式写成Vabh
长方体体积长×宽×高字母公式Vabh
5拓展提高
长方体长宽高扩原n倍时体积扩原n3(n×n×nn3)倍长方体长宽高缩原1n时体积缩原1n31n×1n×1n1n3
十正方体体积公式推导
1长方体体积长 × 宽 × 高
↓ ↓ ↓
正方体体积棱长×棱长×棱长
2正方体体积字母公式
果V表示正方体体积a表示正方体棱长正方体体积字母公式写成Va·a·aa3
3拓展提高
正方体棱长扩原n倍时体积扩原n3倍正方体棱长缩原1n时体积缩原1n3
十运体积公式解决实际问题
果长方体正方体体积公式中已知条件具备直接利公式计算体积
十二长方体正方体体积通公式
1长方体正方体底面积意义
长方体正方体样放置总面面接触通常面作底面长方体正方体底面面积作底面积
2长方体正方体底面积计算方法
(1)长方体底面积长×宽
(2)正方体底面积棱长×棱长
3长方体正方体体积公式推导
长方体体积长×宽×高 ↓ ↓底面积高正方体体积棱长×棱长×棱长 ↓↓ 底面积作高长方体(正
方体)体积底面积×高
长方体(正方体)体积底面积×高果V表示体积S表示底面积h表示高长方体(正方体)体积公式写成VSh
十三容积计算方法
1长方体正方体物体容积计算方法体积计算方法相知道长宽高棱长根体积公式求出物体容积
2体积容积区联系
(1)点
①意义
Ⅰ物体占空间作物体体积
Ⅱ容器容纳物体体积作容器容积
②测量方法
Ⅰ求物体体积物体外部测量长宽高棱长
Ⅱ求物体容积容器部测量长宽高棱长
③单位名称完全相
Ⅰ体积单位般立方米立方分米立方厘米
Ⅱ容积般体积单位计量液体(药水汽油等)体积时常升毫升作单位
(2)相点
计算公式相长方体(正方体)体积(容积)底面积×高
易错点误认长方体中4条相等棱错误定注意长方体6面定长方形2相面正方形长方体2相面正方形时8条棱长度相等
直观图中实线表示某角度够棱虚线表示棱
长方体12条棱长度作长方体棱长总长方体棱长总(长+宽+高)×4
易错点误认6面12条棱8顶点立体图形长方体正方体正确定注意6面12条棱8顶点代表长方体正方体否具备长方体正方体特征图立体图形长方体正方体
正方体棱长总棱长×12
正方体具长方体切特征正方体特殊长方体
立体图形棱剪开展开图
技巧
正方体6相面通观察折叠找3组相面
长方体3组相面通否完全隔开完全隔开组面相两面
求长方体表面积6面面积时先分求出组相面中面面积相加2较简便
举例厅里8根高5米方柱需涂油漆方柱横截面边长05米正方形1千克油漆涂5方米涂8根方柱需少千克油漆
错解(05×05×2+05×5×4)×8÷5×1168(千克)
答涂8根方柱需168千克油漆
正解05×5×4×8÷5×116(千克)
答涂8根方柱需16千克油漆
容器容积盛装物体少关容器定厚度容器体积般容积
棱长1 cm1 dm1 m正方体体积1 cm31 dm31 m3
易错点误认容积体积定注意容积体积书体积没容积
较容器盛装液体时升作单位较容器盛装液体时毫升作单位
巧记
体积单位常相邻进率1000
高级单位化低级数1000
低级单位化高级1000数算
转换程细心掌握进率关键
明确摆成形状长方体长宽高分少
1立方厘米正方体边长1厘米长方体长宽高正方体摆成长宽高分厘米体积正等摆成长方体需正方体数
举例果长方体长宽高扩原2倍体积扩原23倍8倍反果长方体长宽高缩原12体积缩原12318
a·a·a写成a3a·a·aa3读作a立方表示3a相正方体体积公式般写成Va3写a3时3写a右角略
举例果正方体棱长扩原2倍体积扩原8倍反果正方体棱长缩原12体积缩原18
实际问题中横截面面积×长计算体积
运通公式进行计算时定注意单位统长方体底面积8方厘米高3分米求体积
错解8×324(立方厘米)
正解3分米30厘米8×30240(立方厘米)
计算体积外面测量长宽高计算容积里面测量长宽高物体体积容积箱子油桶瓶子等物体体积没容积石头木头类实心物体体积容积物体体积定容积容器厚度忽略计情况容积作体积相等
巧记
容积体积孪兄弟度量统
容积心中装物体体积想占空间
容积尺寸里测体积尺寸外量
记住二者处计算少失误
二 分 数 法
分数整数相意义计算方法
1整数法意义
求相加数简便运算
2 (1)分数整数意义整数法意义相求相加数简便运算
(2)分数整数相计算方法分数分子整数相积作分子分母变约分先约分计算
二求数分少
1求数分少法计算
2求数倍求数分实质相表示两数倍关系整数数表示种倍关系时说成数数倍分数表示时说成数数分数15倍表示数32求数倍少求数分少法计算
三分数分数意义计算方法
1分数分数意义求数分少
2分数分数相分子相积作分子分母相积作分母约分先约分计算
3整数成分母1分数分数整数相成分数分数相分数分数相计算方法适分数整数相
四连续求数分少解题方法分数连计算方法
1连续求数分少解题方法先求出中间间接量求出求量
2分数连计算方法分子分子相积作分子分母分母相积作分母约分先约分计算
五积数关系
积数关系
a×bc(a0)b>1时c>ab<1时c六倒数意义
1意义
积1两数互倒数
2理解互倒数
互倒数两数说相互存单独说某数倒数
七求倒数方法
1观察互倒数两数分子分母特点发现互倒数两数分子分母位置互换
2求数倒数方法
(1)求真分数假分数倒数直接调换分数分子分母位置
3773
3223
(2)求整数(0外)倒数先整数作分母1假分数调换分数分子分母位置
(3)求数倒数先数化成简分数调换分子分母位置根倒数意义找
例08455408倒数5408×125108倒数125
(4)求带分数倒数先带分数化成假分数调换分子分母位置
例513163316513倒数316
3特殊数倒数
(1)1倒数1
1×111倒数1
(2)0没倒数
0数相0没数0相积10没倒数
巧记
分数整数计算简单
分子整数分母变
计算想简便约分先
结果想准分数化简
解决求数分少实际问题时关键弄清量单位1
相两分数分子分母够约分时先约分计算
找准步计算单位1解答连续求数分少实际问题关键
易错点较积第数考虑第二数进行判断定注意前提条件第数0
单独数称倒数互倒数两数相互存
注意互倒数两数等号连接数倒数表示成相等关系例求37倒数写成37→7337倒数73写成3773
巧记
学倒数需牢记
相互关系弃
两数相积1
子母颠倒完毕
三 分 数 法
分数整数数分数计算方法
1分数整数计算方法
(1)整数法意义已知两数积中数求数运算
(2)分数法意义整数法意义相已知两数积中数求数运算
(3)分数整数(0外)等分数整数倒数
2整数分数计算方法
整数分数等整数分数倒数
3分数分数计算方法
分数分数数数倒数计算
4推导分数法计算方法
(1)利商变规律进行推导
数数时数倒数数变1
(2)利等式基性质进行推导
5分数法计算方法
甲数乙数(0外)等甲数乙数倒数
6商数关系
数(0外)1数→商数1→商等数1数→商数
二已知数分少求数解题方法
1已知数分少求数数作单位1单位1量未知设单位1量x根法意义列方程解答
2算术法解答已知数分少求数应题算术解法方程解法根数量间相等关系列式
3较分数法应题分数法应题异
应题类型
结构特征
计算方法
单位
1
较
量
较量应
分
求数分少
已知
未知
已知
法单位1量×分较量
求数数分
已知
已知
未知
法较量÷单位1量分
已知数分少求数
未知
已知
已知
法较量÷分单位1量
方程单位1量×分较量
三分数连混合运算
1混合运算计算方法
计算分数混合运算时先中法转化法分数连方法进行计算
2连运算计算方法
计算分数连时先中法转化法分数连方法进行计算
四意义
1意义部分名称
(1)意义两数相作两数
(2)读写方法
号∶代写成分数形式两种形式读3 2写作3∶232读作32
(3)部分名称
(4)序
求量量前量前项量项
2值意义求法
(1)值意义前项项商
(2)求值方法前项项
3值联系区
(1)值联系分数形式表示
(2)值区①表示两数倍关系值数值②写成a∶bab形式值分数数整数
4分数法关系
联系前项相分子数号相分数线号项相分母数值相分数值商
区种关系分数类数法种运算
5法分数间区
(1)意义表示两量(数)种关系法种运算分数类数
(2)表示方法作种运算法算式分数表示分数表示分数定表示两量
(3)结果表达法般求出商求计算时求出值分数身数值需计算
6反前项作项项作前项原互成反3∶55∶3反5∶33∶5反互成反两值互倒数
7复两(两)前项相积作前项项相积作项成作复甲乙两速度3∶4时间5∶6行路程(3×5)∶(4×6)5∶8路程速度时间复复值等组成单值积
8连三(三)量组成作连果甲乙a∶b乙丙b∶c甲乙丙三量写作a∶b∶ca∶b∶c作甲乙丙三量连组成连连分成作前项项连作组成连数连连连含义
五基性质
1基性质
前项项时相数(0外)值变基性质
2化简
分数前项项时两分数分母公倍数数前项项数点右移动相位数整数前项项时公数简单
整数
化简结果数
3化简求值区
计算(化简)
方法
结果
化简
基性质
前项项时相数(0外)
简单整数
求值
意义
前项项
数分数数整数
六分配问题意义解题方法
1工农业生产日常生活中常常需数量定进行分配种分配方法通常作分配
2分配问题解题方法
(1)整数法解决问题①求出总份数②求出份少③求出部分数量
(2)分数法解决问题①先根求出总份数②求出部分量占总量分③求出部分数量
3解决分配问题时总数分成部分解题方法相
法转化法种形式变换成种形式身变
易错点进行计算时号变号忘记变数倒数45÷2545×25825应45÷2545×522
举例79÷141579×1514÷1415×151456÷156
数(0外)商关系取决数1关系
技巧
(1)找出单位1量
(2)谁单位1量相找出较量较量应分
注意时道题中单位1止两数量某条件中单位1条件中单位1解题时认真较找准分应单位1正确解答
巧记
解决问题难读懂题意关键
重点找准单位1画出线段破难关
根等量列方程解答完毕检验
注意计算分数连时定连续数倒数第数变成倒数数变符号变数
(1)两数表示两数间倍数关系果汁2杯牛奶3杯果汁牛奶杯数23理解果汁2份牛奶3份理解果汁杯数相牛奶23牛奶杯数相果汁32
(2)两数表示两数相
举例鱼缸里3条红金鱼5条黑金鱼黑金鱼红金鱼数量( )
错解3∶5
正解5∶3
值数分数数整数
注意求两单位类量先单位统明漫画书1时东漫画书43分钟明东时间( )
错解1∶43
正解60∶43
数分母0项0
知识巧记
意义重记忆方法诀窍
两数相号变点挺奇妙
前项项值位置序调
分数法相联相互关系记牢
化简方法求值方法化简
判断简单整数方法前项项公数1
举例化简12∶16
错解12∶1612×6∶16×63
正解12∶1612×6∶16×63∶1
易错点误认化简类量时化简整数正确定注意先统单位化简化简单位化简08 L∶14 mL
错解4 L∶7 mL
正解4000∶7
解答分配问题时定找准分配总量分配份数长方形周长84厘米长宽4∶3长方形长宽少厘米
周长两长两宽应该先周长842分配
四 解决问题策略
假设策略解决实际问题
解决两两未知数量问题时般解题思路易找正确解答方法时采假设策略解决问题先假设全部种量假设数量关系变化情况出发结合示意图先推算出中种量求种量
保证满足总量前提假设两种量分少进行推理
五 分数四混合运算
分数四混合运算
1分数四混合运算运算序
(1)分数四混合运算运算序整数四混合运算运算序相
(2)算式里果含级运算左右序进行计算
(3)算式里果含两级运算先算二级运算(法法)算级运算(加法减法)
(4)算式里果括号先算括号里面算中括号里面算中括号外面
2分数四混合运算简便运算
(1)整数运算律运算性质分数样适
①加法交换律a+bb+a
②加法结合律(a+b)+ca+(b+c)
③法交换律a×bb×a
④法结合律(a×b)×ca×(b×c)
⑤法分配律(a+b)×ca×c+b×c
(2)恰运运算律运算性质计算简便
加减混合运算中加括号括号时注意括号前面符号果加号括号里面变号果减号括号里面加变减减变加
二法加减法解决稍复杂实际问题
1已知总量部分量占总量分求部分量时列形aa×cba×1cb算式解题(b≠0)
2已知量量(少)分求量时列形a±a×cba×1±cb算式解题(b≠0)
算式中含二级运算时二级运算时运算
78×4+411×1116
72+14
154
举例计算5635+15
错解 5635+15
5635+15
130
正解 5635+15
563515
1330
找准单位1关键
分析问题时先抓住关键词语少增加减少提高降低扩缩等根题意进行正确解答
六 百 分 数
百分数意义读写方法
1意义数数百分数作百分数百分数作百分百分率
2百分数通常写成分数形式原分子面加表示
3百分数读法先读百分号(分母)读成百分读百分号前面数(分子)读
4分数百分数区
分数
百分数
意义
分数单位1均分成干份表示样份份数表示两数量间倍关系表示具体数值
表示数数百分数作百分数百分数作百分百分率表示两数量间倍关系
表现
形式
分数表现形式真分数假分数带分数计算结果般化成简分数
百分数分母固定100百分号表示分子整数数分子分母等分母百分数约分写成带分数形式
单位
名称
果表示具体数量带单位名称果表示两数量间倍关系带单位名称
百分数表示两数量间倍关系面带单位名称
应
范围
分数测量计算整数结果时
百分数日常生活中特定百分率调查统计分析较
二百分数数互化
1数改写成百分数数点右移动两位果位数够0补位时面添百分号
2百分数改写成数百分号掉时数点左移动两位果位数够0补位
3百分数数互化数值具体运时两者意义完全样互相代数7575写成数07575求6825数求68025数意义完全百分数表示两数倍关系数表示数值6825数表示68×(1+25)68025数表示68+025
三百分数分数互化
1分数改写成百分数般先分数改写成数(时般保留三位数)数改写成百分数
2百分数改写成分数时先百分数改写成分母100分数进行化简分子数时先利分数基性质分子分母时扩原干倍分子化成整数进行约分
3化成限数分数分母中含质数25否化成限数判断分数改写成限数先分数简分数简分数化成简分数运规律判断
四求数数百分实际问题
1求数数百分解题方法
(1)百分数表示数数百分数数分特殊表示方法求数数百分解题方法求数数分解题方法相法计算
(2)解求数数百分实际问题法计算数÷数
(3)求数数百分必须找准单位1
2求简单百分率
(1)求出勤率等百分率问题实际求数数百分
(2)常见百分率
出勤率实际出勤数应出勤数×100
成活率成活棵数种植总棵数×100
发芽率发芽种子数试验种子总数×100
合格率合格产品数产品总数×100
五求数数(少)百分实际问题
1求甲数乙数百分实际问题解题方法(甲数乙数)÷乙数甲数÷乙数1
2求甲数乙数少百分实际问题解题方法(乙数甲数)÷乙数1甲数÷乙数
3解题关键确定单位1
六纳税利息问题
1应纳税额计算方法
(1)求应纳税额实际求数百分少法计算应纳税额收入额×税率
(2)纳税方法税率时先判断应纳税额税率缴纳税款果收入中纳税部分应纳税额÷税率应纳税额收入额应纳税额+纳税金额
2金利息利率含义
(1)金存入银行钱作金
(2)利息取款时银行金外外付钱作利息应利息
(3)利率利息占金百分率作利率年计算作年利率月计算作月利率
3利息计算方法
利息金×利率×时间
4息计算方法
息金+利息
七折扣问题
1折扣问题解题方法
商店时商品原价百分出售通常称折出售折原价百分十折原价百分十
2 已知数百分少求数实际问题解题方法列方程解答先找出单位1量设x根等量关系列方程
3表示数数十分数作成数通常工农业生产中表示生产增长状况成十分改写成百分数10二成五十分二点五改写成百分数25
八列方程解决稍复杂百分数实际问题
1稍复杂百分数实际问题解题方法
实际问题中单位1未知时通常设单位1x先找出题中等量关系列方程解决问题
2解决关百分数实际问题找准单位1时清求问题单位1关系
写时两圈写免数字0混淆
百分数读作百分读作百分
注意百分数表示两数量间倍关系表示具体数量面带单位名称20100千克写成20千克错误具体数量百分数表示
数点右移动两位时数扩原100倍添百分号缩数1100添百分号时百分号前数扩原100倍
分数改写成分母100分数改写成限数分数改写成分母100分数
百分数掉百分号数扩原100倍百分数化成分数约分成简分数百分数数分数间相互转化数表示方式发生变化数变
举例
判断10克糖溶解100克水中糖占糖水10( )
错解√
题错单位1(标准量)找错题中单位1应该糖水总质量水质量
正解✕
出勤率百分率种公式身应该百分数形式表示果100公式分数形式100保持数值变百分数形式计算时100参计算保留
出勤率成活率发芽率等生活中特定百分率超100
巧记
种率挺简单计算形式记心间
法结果数化成百分数
百分数实际问题解题思路分数实际问题解题思路相求数数(少)百分求两数差量占数(单位1)百分
应缴纳营业税税额营业额×营业税税率
注意种存款计算利息时存入时间王叔叔2000元存入银行存期三年年利率375期利息少元应2000×375×3225(元)2000×37575(元)
易错点误认折减少(降低)百分件衣原价180元现七折出售原价降低少元列式180×70126(元)样求出现价没求出现价原价降低少元应180180×7054(元)
商品折原价降低金额原价现价
找准等量关系列方程解决实际问题关键
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长方体认识
1认识长方体面棱顶点
(1)角度观察长方体
长方体放桌面角度观察时观察长方体三面
(2)长方体棱顶点
长方体两面相交线作长方体棱三条棱相交点作长方体顶点
2长方体特征
长方体6长方形(2相面正方形)围成立体图形6面12条棱8顶点长方体中相面完全相相棱长度相等
3长方体长宽高含义
长方体相交顶点三条棱长度分作长宽高
4长方体长宽高固定变长方体摆放方式关长方体相交顶点三条棱中通常水方两条棱分作长宽竖直方条棱作高
二正方体认识
1正方体立方体6完全相正方形围成立体图形6面完全相正方形12条棱长度相等8顶点
2正方体长宽高相等正方体棱长
3长方体正方体特征异
①相点6面12条棱8顶点相面完全相相棱长度相等
②点长方体6面长方形(2相面正方形)般情况棱3组组4条棱长度相等正方体6面完全相正方形条棱长度相等
三正方体长方体展开图
1正方体条棱剪开图示
正方体展开图6完全相正方形组成通观察折叠找3组相面
2长方体棱长方体剪开展开图中3组相面相面完全相相面完全隔开
3着正方体(长方体)棱剪开正方体(长方体)展开成面图形面图形正方体(长方体)展开图展开图中正方体6面完全相(长方体相面完全相)相面完全隔开
四长方体正方体表面积意义计算方法
1表面积意义长方体(正方体)6面总面积作表面积
2长方体正方体表面积计算方法
(1)长方体表面积长×宽×2+长×高×2+宽×高×2(长×宽+长×高+宽×高)×2
果S表示长方体表面积abh分表示长方体长宽高长方体表面积计算公式S2ab+2ah+2bhS(ab+ah+bh)×2
(2)正方体表面积棱长×棱长×6
果S表示正方体表面积a表示棱长正方体表面积计算公式S6a2
五运长方体正方体表面积计算方法解决实际问题
1求长方体正方体物体表面积时关键根实际情况确定求面面积
2实际生活中长方体形状物体6面长方体鱼缸5面通风4面计算时根实际情况解题
六体积容积意义
1物体占空间作物体体积
2盛装物体称容器盛装物体容器
3容器容纳物体体积作容器容积
4容积物体定体积体积物体定容积
七体积单位
1棱长1厘米正方体体积1立方厘米
2棱长1分米正方体体积1立方分米
3棱长1米正方体体积1立方米
4常体积单位立方厘米立方分米立方米字母表示分cm3dm3m3
八容积单位
1容积单位方法
计量容积般体积单位计量液体体积水油等通常升毫升作单位升毫升字母表示分LmL中1 L1000 mL
2容积单位换算
1 dm31 L 1 cm31 mL
高级单位低级单位转换法计算低级单位高级单位转换法计算
3容积体积区
(1)意义
体积指物体占空间容积指容器容纳物体体积物体体积定容积
(2)测量方法
求物体体积物体外面测量长宽高进行计算求物体容积必须里面测量长宽高然计算物体般说容积体积
(3)单位名称完全相
体积单位般立方米立方分米立方厘米固体气体容积单位体积单位相液体容积单位般升毫升
九长方体体积公式推导
1取121立方厘米正方体摆出形状长方体例图
正方体体积1立方厘米长方体12正方体摆成长方体体积12立方厘米
2填写表格
长cm
宽cm
高cm
正方体数
体积cm3
长方体①
12
1
1
12
12
长方体②
6
2
1
12
12
长方体③
4
3
1
12
12
长方体④
3
2
2
12
12
3(1)摆成长方体中排正方体数相长方体长排数相长方体宽层数相长方体高
(2)长方体含正方体(体积单位)数正等长方体长宽高积
4长方体体积公式字母表达式
果V表示长方体体积abh分表示长方体长宽高长方体体积公式写成Vabh
长方体体积长×宽×高字母公式Vabh
5拓展提高
长方体长宽高扩原n倍时体积扩原n3(n×n×nn3)倍长方体长宽高缩原1n时体积缩原1n31n×1n×1n1n3
十正方体体积公式推导
1长方体体积长 × 宽 × 高
↓ ↓ ↓
正方体体积棱长×棱长×棱长
2正方体体积字母公式
果V表示正方体体积a表示正方体棱长正方体体积字母公式写成Va·a·aa3
3拓展提高
正方体棱长扩原n倍时体积扩原n3倍正方体棱长缩原1n时体积缩原1n3
十运体积公式解决实际问题
果长方体正方体体积公式中已知条件具备直接利公式计算体积
十二长方体正方体体积通公式
1长方体正方体底面积意义
长方体正方体样放置总面面接触通常面作底面长方体正方体底面面积作底面积
2长方体正方体底面积计算方法
(1)长方体底面积长×宽
(2)正方体底面积棱长×棱长
3长方体正方体体积公式推导
长方体体积长×宽×高 ↓ ↓底面积高正方体体积棱长×棱长×棱长 ↓↓ 底面积作高长方体(正
方体)体积底面积×高
长方体(正方体)体积底面积×高果V表示体积S表示底面积h表示高长方体(正方体)体积公式写成VSh
十三容积计算方法
1长方体正方体物体容积计算方法体积计算方法相知道长宽高棱长根体积公式求出物体容积
2体积容积区联系
(1)点
①意义
Ⅰ物体占空间作物体体积
Ⅱ容器容纳物体体积作容器容积
②测量方法
Ⅰ求物体体积物体外部测量长宽高棱长
Ⅱ求物体容积容器部测量长宽高棱长
③单位名称完全相
Ⅰ体积单位般立方米立方分米立方厘米
Ⅱ容积般体积单位计量液体(药水汽油等)体积时常升毫升作单位
(2)相点
计算公式相长方体(正方体)体积(容积)底面积×高
易错点误认长方体中4条相等棱错误定注意长方体6面定长方形2相面正方形长方体2相面正方形时8条棱长度相等
直观图中实线表示某角度够棱虚线表示棱
长方体12条棱长度作长方体棱长总长方体棱长总(长+宽+高)×4
易错点误认6面12条棱8顶点立体图形长方体正方体正确定注意6面12条棱8顶点代表长方体正方体否具备长方体正方体特征图立体图形长方体正方体
正方体棱长总棱长×12
正方体具长方体切特征正方体特殊长方体
立体图形棱剪开展开图
技巧
正方体6相面通观察折叠找3组相面
长方体3组相面通否完全隔开完全隔开组面相两面
求长方体表面积6面面积时先分求出组相面中面面积相加2较简便
举例厅里8根高5米方柱需涂油漆方柱横截面边长05米正方形1千克油漆涂5方米涂8根方柱需少千克油漆
错解(05×05×2+05×5×4)×8÷5×1168(千克)
答涂8根方柱需168千克油漆
正解05×5×4×8÷5×116(千克)
答涂8根方柱需16千克油漆
容器容积盛装物体少关容器定厚度容器体积般容积
棱长1 cm1 dm1 m正方体体积1 cm31 dm31 m3
易错点误认容积体积定注意容积体积书体积没容积
较容器盛装液体时升作单位较容器盛装液体时毫升作单位
巧记
体积单位常相邻进率1000
高级单位化低级数1000
低级单位化高级1000数算
转换程细心掌握进率关键
明确摆成形状长方体长宽高分少
1立方厘米正方体边长1厘米长方体长宽高正方体摆成长宽高分厘米体积正等摆成长方体需正方体数
举例果长方体长宽高扩原2倍体积扩原23倍8倍反果长方体长宽高缩原12体积缩原12318
a·a·a写成a3a·a·aa3读作a立方表示3a相正方体体积公式般写成Va3写a3时3写a右角略
举例果正方体棱长扩原2倍体积扩原8倍反果正方体棱长缩原12体积缩原18
实际问题中横截面面积×长计算体积
运通公式进行计算时定注意单位统长方体底面积8方厘米高3分米求体积
错解8×324(立方厘米)
正解3分米30厘米8×30240(立方厘米)
计算体积外面测量长宽高计算容积里面测量长宽高物体体积容积箱子油桶瓶子等物体体积没容积石头木头类实心物体体积容积物体体积定容积容器厚度忽略计情况容积作体积相等
巧记
容积体积孪兄弟度量统
容积心中装物体体积想占空间
容积尺寸里测体积尺寸外量
记住二者处计算少失误
二 分 数 法
分数整数相意义计算方法
1整数法意义
求相加数简便运算
2 (1)分数整数意义整数法意义相求相加数简便运算
(2)分数整数相计算方法分数分子整数相积作分子分母变约分先约分计算
二求数分少
1求数分少法计算
2求数倍求数分实质相表示两数倍关系整数数表示种倍关系时说成数数倍分数表示时说成数数分数15倍表示数32求数倍少求数分少法计算
三分数分数意义计算方法
1分数分数意义求数分少
2分数分数相分子相积作分子分母相积作分母约分先约分计算
3整数成分母1分数分数整数相成分数分数相分数分数相计算方法适分数整数相
四连续求数分少解题方法分数连计算方法
1连续求数分少解题方法先求出中间间接量求出求量
2分数连计算方法分子分子相积作分子分母分母相积作分母约分先约分计算
五积数关系
积数关系
a×bc(a0)b>1时c>ab<1时c
1意义
积1两数互倒数
2理解互倒数
互倒数两数说相互存单独说某数倒数
七求倒数方法
1观察互倒数两数分子分母特点发现互倒数两数分子分母位置互换
2求数倒数方法
(1)求真分数假分数倒数直接调换分数分子分母位置
3773
3223
(2)求整数(0外)倒数先整数作分母1假分数调换分数分子分母位置
(3)求数倒数先数化成简分数调换分子分母位置根倒数意义找
例08455408倒数5408×125108倒数125
(4)求带分数倒数先带分数化成假分数调换分子分母位置
例513163316513倒数316
3特殊数倒数
(1)1倒数1
1×111倒数1
(2)0没倒数
0数相0没数0相积10没倒数
巧记
分数整数计算简单
分子整数分母变
计算想简便约分先
结果想准分数化简
解决求数分少实际问题时关键弄清量单位1
相两分数分子分母够约分时先约分计算
找准步计算单位1解答连续求数分少实际问题关键
易错点较积第数考虑第二数进行判断定注意前提条件第数0
单独数称倒数互倒数两数相互存
注意互倒数两数等号连接数倒数表示成相等关系例求37倒数写成37→7337倒数73写成3773
巧记
学倒数需牢记
相互关系弃
两数相积1
子母颠倒完毕
三 分 数 法
分数整数数分数计算方法
1分数整数计算方法
(1)整数法意义已知两数积中数求数运算
(2)分数法意义整数法意义相已知两数积中数求数运算
(3)分数整数(0外)等分数整数倒数
2整数分数计算方法
整数分数等整数分数倒数
3分数分数计算方法
分数分数数数倒数计算
4推导分数法计算方法
(1)利商变规律进行推导
数数时数倒数数变1
(2)利等式基性质进行推导
5分数法计算方法
甲数乙数(0外)等甲数乙数倒数
6商数关系
数(0外)1数→商数1→商等数1数→商数
二已知数分少求数解题方法
1已知数分少求数数作单位1单位1量未知设单位1量x根法意义列方程解答
2算术法解答已知数分少求数应题算术解法方程解法根数量间相等关系列式
3较分数法应题分数法应题异
应题类型
结构特征
计算方法
单位
1
较
量
较量应
分
求数分少
已知
未知
已知
法单位1量×分较量
求数数分
已知
已知
未知
法较量÷单位1量分
已知数分少求数
未知
已知
已知
法较量÷分单位1量
方程单位1量×分较量
三分数连混合运算
1混合运算计算方法
计算分数混合运算时先中法转化法分数连方法进行计算
2连运算计算方法
计算分数连时先中法转化法分数连方法进行计算
四意义
1意义部分名称
(1)意义两数相作两数
(2)读写方法
号∶代写成分数形式两种形式读3 2写作3∶232读作32
(3)部分名称
(4)序
求量量前量前项量项
2值意义求法
(1)值意义前项项商
(2)求值方法前项项
3值联系区
(1)值联系分数形式表示
(2)值区①表示两数倍关系值数值②写成a∶bab形式值分数数整数
4分数法关系
联系前项相分子数号相分数线号项相分母数值相分数值商
区种关系分数类数法种运算
5法分数间区
(1)意义表示两量(数)种关系法种运算分数类数
(2)表示方法作种运算法算式分数表示分数表示分数定表示两量
(3)结果表达法般求出商求计算时求出值分数身数值需计算
6反前项作项项作前项原互成反3∶55∶3反5∶33∶5反互成反两值互倒数
7复两(两)前项相积作前项项相积作项成作复甲乙两速度3∶4时间5∶6行路程(3×5)∶(4×6)5∶8路程速度时间复复值等组成单值积
8连三(三)量组成作连果甲乙a∶b乙丙b∶c甲乙丙三量写作a∶b∶ca∶b∶c作甲乙丙三量连组成连连分成作前项项连作组成连数连连连含义
五基性质
1基性质
前项项时相数(0外)值变基性质
2化简
分数前项项时两分数分母公倍数数前项项数点右移动相位数整数前项项时公数简单
整数
化简结果数
3化简求值区
计算(化简)
方法
结果
化简
基性质
前项项时相数(0外)
简单整数
求值
意义
前项项
数分数数整数
六分配问题意义解题方法
1工农业生产日常生活中常常需数量定进行分配种分配方法通常作分配
2分配问题解题方法
(1)整数法解决问题①求出总份数②求出份少③求出部分数量
(2)分数法解决问题①先根求出总份数②求出部分量占总量分③求出部分数量
3解决分配问题时总数分成部分解题方法相
法转化法种形式变换成种形式身变
易错点进行计算时号变号忘记变数倒数45÷2545×25825应45÷2545×522
举例79÷141579×1514÷1415×151456÷156
数(0外)商关系取决数1关系
技巧
(1)找出单位1量
(2)谁单位1量相找出较量较量应分
注意时道题中单位1止两数量某条件中单位1条件中单位1解题时认真较找准分应单位1正确解答
巧记
解决问题难读懂题意关键
重点找准单位1画出线段破难关
根等量列方程解答完毕检验
注意计算分数连时定连续数倒数第数变成倒数数变符号变数
(1)两数表示两数间倍数关系果汁2杯牛奶3杯果汁牛奶杯数23理解果汁2份牛奶3份理解果汁杯数相牛奶23牛奶杯数相果汁32
(2)两数表示两数相
举例鱼缸里3条红金鱼5条黑金鱼黑金鱼红金鱼数量( )
错解3∶5
正解5∶3
值数分数数整数
注意求两单位类量先单位统明漫画书1时东漫画书43分钟明东时间( )
错解1∶43
正解60∶43
数分母0项0
知识巧记
意义重记忆方法诀窍
两数相号变点挺奇妙
前项项值位置序调
分数法相联相互关系记牢
化简方法求值方法化简
判断简单整数方法前项项公数1
举例化简12∶16
错解12∶1612×6∶16×63
正解12∶1612×6∶16×63∶1
易错点误认化简类量时化简整数正确定注意先统单位化简化简单位化简08 L∶14 mL
错解4 L∶7 mL
正解4000∶7
解答分配问题时定找准分配总量分配份数长方形周长84厘米长宽4∶3长方形长宽少厘米
周长两长两宽应该先周长842分配
四 解决问题策略
假设策略解决实际问题
解决两两未知数量问题时般解题思路易找正确解答方法时采假设策略解决问题先假设全部种量假设数量关系变化情况出发结合示意图先推算出中种量求种量
保证满足总量前提假设两种量分少进行推理
五 分数四混合运算
分数四混合运算
1分数四混合运算运算序
(1)分数四混合运算运算序整数四混合运算运算序相
(2)算式里果含级运算左右序进行计算
(3)算式里果含两级运算先算二级运算(法法)算级运算(加法减法)
(4)算式里果括号先算括号里面算中括号里面算中括号外面
2分数四混合运算简便运算
(1)整数运算律运算性质分数样适
①加法交换律a+bb+a
②加法结合律(a+b)+ca+(b+c)
③法交换律a×bb×a
④法结合律(a×b)×ca×(b×c)
⑤法分配律(a+b)×ca×c+b×c
(2)恰运运算律运算性质计算简便
加减混合运算中加括号括号时注意括号前面符号果加号括号里面变号果减号括号里面加变减减变加
二法加减法解决稍复杂实际问题
1已知总量部分量占总量分求部分量时列形aa×cba×1cb算式解题(b≠0)
2已知量量(少)分求量时列形a±a×cba×1±cb算式解题(b≠0)
算式中含二级运算时二级运算时运算
78×4+411×1116
72+14
154
举例计算5635+15
错解 5635+15
5635+15
130
正解 5635+15
563515
1330
找准单位1关键
分析问题时先抓住关键词语少增加减少提高降低扩缩等根题意进行正确解答
六 百 分 数
百分数意义读写方法
1意义数数百分数作百分数百分数作百分百分率
2百分数通常写成分数形式原分子面加表示
3百分数读法先读百分号(分母)读成百分读百分号前面数(分子)读
4分数百分数区
分数
百分数
意义
分数单位1均分成干份表示样份份数表示两数量间倍关系表示具体数值
表示数数百分数作百分数百分数作百分百分率表示两数量间倍关系
表现
形式
分数表现形式真分数假分数带分数计算结果般化成简分数
百分数分母固定100百分号表示分子整数数分子分母等分母百分数约分写成带分数形式
单位
名称
果表示具体数量带单位名称果表示两数量间倍关系带单位名称
百分数表示两数量间倍关系面带单位名称
应
范围
分数测量计算整数结果时
百分数日常生活中特定百分率调查统计分析较
二百分数数互化
1数改写成百分数数点右移动两位果位数够0补位时面添百分号
2百分数改写成数百分号掉时数点左移动两位果位数够0补位
3百分数数互化数值具体运时两者意义完全样互相代数7575写成数07575求6825数求68025数意义完全百分数表示两数倍关系数表示数值6825数表示68×(1+25)68025数表示68+025
三百分数分数互化
1分数改写成百分数般先分数改写成数(时般保留三位数)数改写成百分数
2百分数改写成分数时先百分数改写成分母100分数进行化简分子数时先利分数基性质分子分母时扩原干倍分子化成整数进行约分
3化成限数分数分母中含质数25否化成限数判断分数改写成限数先分数简分数简分数化成简分数运规律判断
四求数数百分实际问题
1求数数百分解题方法
(1)百分数表示数数百分数数分特殊表示方法求数数百分解题方法求数数分解题方法相法计算
(2)解求数数百分实际问题法计算数÷数
(3)求数数百分必须找准单位1
2求简单百分率
(1)求出勤率等百分率问题实际求数数百分
(2)常见百分率
出勤率实际出勤数应出勤数×100
成活率成活棵数种植总棵数×100
发芽率发芽种子数试验种子总数×100
合格率合格产品数产品总数×100
五求数数(少)百分实际问题
1求甲数乙数百分实际问题解题方法(甲数乙数)÷乙数甲数÷乙数1
2求甲数乙数少百分实际问题解题方法(乙数甲数)÷乙数1甲数÷乙数
3解题关键确定单位1
六纳税利息问题
1应纳税额计算方法
(1)求应纳税额实际求数百分少法计算应纳税额收入额×税率
(2)纳税方法税率时先判断应纳税额税率缴纳税款果收入中纳税部分应纳税额÷税率应纳税额收入额应纳税额+纳税金额
2金利息利率含义
(1)金存入银行钱作金
(2)利息取款时银行金外外付钱作利息应利息
(3)利率利息占金百分率作利率年计算作年利率月计算作月利率
3利息计算方法
利息金×利率×时间
4息计算方法
息金+利息
七折扣问题
1折扣问题解题方法
商店时商品原价百分出售通常称折出售折原价百分十折原价百分十
2 已知数百分少求数实际问题解题方法列方程解答先找出单位1量设x根等量关系列方程
3表示数数十分数作成数通常工农业生产中表示生产增长状况成十分改写成百分数10二成五十分二点五改写成百分数25
八列方程解决稍复杂百分数实际问题
1稍复杂百分数实际问题解题方法
实际问题中单位1未知时通常设单位1x先找出题中等量关系列方程解决问题
2解决关百分数实际问题找准单位1时清求问题单位1关系
写时两圈写免数字0混淆
百分数读作百分读作百分
注意百分数表示两数量间倍关系表示具体数量面带单位名称20100千克写成20千克错误具体数量百分数表示
数点右移动两位时数扩原100倍添百分号缩数1100添百分号时百分号前数扩原100倍
分数改写成分母100分数改写成限数分数改写成分母100分数
百分数掉百分号数扩原100倍百分数化成分数约分成简分数百分数数分数间相互转化数表示方式发生变化数变
举例
判断10克糖溶解100克水中糖占糖水10( )
错解√
题错单位1(标准量)找错题中单位1应该糖水总质量水质量
正解✕
出勤率百分率种公式身应该百分数形式表示果100公式分数形式100保持数值变百分数形式计算时100参计算保留
出勤率成活率发芽率等生活中特定百分率超100
巧记
种率挺简单计算形式记心间
法结果数化成百分数
百分数实际问题解题思路分数实际问题解题思路相求数数(少)百分求两数差量占数(单位1)百分
应缴纳营业税税额营业额×营业税税率
注意种存款计算利息时存入时间王叔叔2000元存入银行存期三年年利率375期利息少元应2000×375×3225(元)2000×37575(元)
易错点误认折减少(降低)百分件衣原价180元现七折出售原价降低少元列式180×70126(元)样求出现价没求出现价原价降低少元应180180×7054(元)
商品折原价降低金额原价现价
找准等量关系列方程解决实际问题关键
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