理科数学
试卷 22 题 150 分 4 页考试时间 120 分钟
注意事项：
1．答题前考生务必先姓名准考证号填写答题卡认真核条
形码姓名准考证号条形码粘贴答题卡指定位置
2．选择题答案 2B 铅笔填涂需改动橡皮擦干净选涂答案
标号非选择题答案必须 05 毫米黑色字迹签字笔书写字体工整
笔迹清楚
3．请题号题答题区域作答超出答题区域书写答案效
4 保持卡面清洁折叠弄破弄皱准涂改液修正带刮
纸刀
选择题：题 12 题题 5 分 60 分题出四选项中
符合题目求
1 集合 { | 2 1 2}P x N x 子集数
A 2 B 3 C 4 D 8
2 已知 i 虚数单位复数 z 满足 (1 )z i i 复数 z 复面应点
A 第象限 B 第二象限 C 第三象限 D 第四象限
3 果组数中位数均数列叙述定错误
A 数中异常值 B 组数似称
C 数中极端值 D 数中众数中位数相
4 1cos 2 2 3k k Z
A 充分必条件 B 必充分条件
C 充条件 D 充分必条件
5 两变量进行回分析出组样数 ：(0675 0989)
(1102 0010) (28991024) (91012978) 列函数模型中拟合较
A 3yx B 3xy C 2( 1)yx D 3logyx
6 已知实数 xy满足线性约束条件
1
0
20
x
xy
xy
2z x y值
A 5 B 1 C 5 D 1
7 已知圆 226 7 0x y x 抛物线 2 2 ( 0)y px p准线相切 p 值
A 1 B 2 C 1
2 D 4
8 图正方体 1 1 1 1ABCD A B C D 中 EFGH 分
棱中点列直线中面 1ACD 行
A 直线 EF B 直线GH
C 直线 EH D 直线 1AB
9 国宋代数学家秦九韶（12021261）数书九章（1247）书中提出三斜求积
术：少广求斜幂斜幂减中斜幂余半斜幂
斜幂减余四约实隅开方积 实质根三角形三
边长 a b c 求三角形面积 S
2 2 2
2 2 21[()]42
c a bS a c ABC 面积
11 3 22S a b c 等
A 5 B 9 C 5 3 D 5 9
10 已知双曲线
22
22 1( 0 0)xyC a bab 焦距 2c 点 A 双曲线C 右顶点
点 A 双曲线C 渐线距离 1
2 c 双曲线C 离心率
A 2 B 3 C 2 D 3
11 已知
1
2
5ln log 2a b c e
A a b c B a c b
C b a c D c a b
12 图 ABC 中点 MN分 CA CB 中点 5 1AB CB满足
22
3AG MB CA CB AG AC 等
A 2 B 5
GMN
AB
C
C 2
3 D 8
3
二填空题：题 4 题题 5 分 20 分请答案填答题卡中相应位置
13 空间直角坐标系O xyz 中 ( 200) (030) (005) ( 235)ABCD四面
体 ABCD 外接球体积__________
14 直线 2 0( 0 0)mx ny m n 圆 22 2 2 1 0C x y x y 圆心
24
mn 值__________
15 函数 1( ) sin(2 )62f x x 区间[0 ] 恰 4 零点正数 取
值范围__________
16 关函数 ( ) ln(2 ) ln(4 )f x x x 列四命题：
①函数 ()y f x ( 24) 增函数
②函数 图象关(10) 中心称
③存斜率 2
3
数 图象相切直线
④函数 导函数 ()y f x 存极值
中正确命题__________ （写出正确命题序号）
三解答题：题 6 题 70 分解答应写出文字说明证明程演算步骤．
17 （10 分）已知数列{}na 公正数等数列前 n 项 nS满足 1 2a
2 2 32 a S a 成等差数列
（1）求 通项公式
（2）数列{}nb 满足 2logn nba 求 2 2 2 2 2 2 2 2
1 2 3 4 5 6 99100b b b b b b b b
值
18 （12 分）图三棱柱 ABC A B C 侧棱 AA 垂直底面 ABC
90 30 1 6ACB BAC BC AA M 棱CC 中点
（1）证明： AB A M
（2）求二面角 A MB A余弦值
19 （12 分）已知 ABC 中角 ABC 边分 a b c
2A 满足 sin2 20cos( ) 0bc A B C
（1）求 面积 S （2） 2 4aS 求 cb
bc 值
M
A
B
C
A
BC
20 （12 分）满足阅读需求图书馆设立值守助阅读区提倡
阅读图书分类放回相应区域 现机抽取某阅读区 500 图书分类情况数
统计（单位：）
文学类专栏 科普类专栏 类专栏
文学类图书 100 40 10
科普类图书 30 200 30
图书 20 10 60
（1）根统计数估计文学类图书分类正确概率 1p
（2）根统计数估计图书分类错误概率 2p
（3）假设文学类图书文学类专栏科普类专栏类专栏数目分
a b c 中 0 100 50a a b c 方差 2s 时求 ab值求出
时方差 值
21 （12 分）设函数 ( ) ln ( 1)f x x a x
（1）函数 ()y f x (1 ) 单调递减函数求实数a 取值范围
（2） 0nm证明： 2 ln 2 lnnnmm
22 （12 分）已知 ( 20) (20)AB 动点 P 满足直线 PA 直线 PB 斜率积 3
4
设点 P 轨迹曲线C
（1）求曲线C 方程
（2）点 (10)F 直线 l 曲线C 交 MN两点点 F 直线 垂直直线
4x 相交点T求 ||
||
TF
MN
值时直线 方程
理科数学参考答案 第1页 3页
理科数学参考答案评分标准
选择题
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
D B B B D B B C C A B D
二填空题
13 14 15 16 ①②③
三解答题
17 解：
（1） 等数列 成等差数列
解： …………………………………………………………………………2 分
……………………………………………………………………………………………5 分
（2） …………………………………………………………………………………………………………7 分
……………………………………………8 分
………………………………………………………………………………………………………………………………10 分
18
（1）证明： 面
四边形 矩形
中点
△ △ 相似
…………………………………………………………………………………………………………2 分
面
面
…………………………………………………………4 分
……………………………………………………………6 分
（2）解：图分 轴建立空间直角坐标系
36p 3+2 2 4[ 2)3
{}na 2232 aSa
2234Saa＼+ 2
11 1 14( )aaqaqaq++
244qqq＼+ + 1q 4q
0q > 4q＼
1 2a
121 *24 2 ( )nn
nanN＼× Î
2log 2 1nnban
2222 2 21357 197199＼ + + +
(1 3)(1 3) (5 7)(5 7) (197 199)(197 199) ++ + + + +
(2)(13 5 7 199)
119921002
+ + + + +
+ × ×
20000
＇AA ^ ABC
＼ ＇＇ACC A
M ＇CC ＇＇6AA CC
6＇ 2CM＼
1 30 90BC BAC ACBÐ °Ð °
＇＇ 3AC A C＼ ＇＇＇
＇＇ ＇
CM AC
AC AA＼
＇＇ ＇＇MC A C A AÐÐ ＼ ＇＇MC A ＇＇CAA
＇＇ ＇＇CAM AAC＼Ð Ð ＇＇ ＇ 90AAC AAM＼Ð +Ð °
＇＇A M AC＼^
90ACBа BC＼^ ＇＇ACC A
＇＇BC＼^ ＇＇ACC A
＇＇＇＇＇＇AM ACCA BC AMÌ＼^ 面
＇＇＇AM ABC＼^面 ＇＇A M AB＼^
＇CA CB CC xyz
6＇( 30 6) (00 ) ＇(01 6) ( 300)2AMBA理科数学参考答案 第2页 3页
…………………………………8 分
设面 法量
解：
理面 法量 ……………………………………………………10 分
设二面角
二面角 余弦值 ………………………………………………………………………12 分
19 解：
（1）△ 中
……………………………………………………………………………3 分
…………………………………………………………………………………………………6 分
（2）
……………………………………………………………………………8 分
时 取值 ……………………………………………………………………12 分
20 解：
（1）题意知文学类图书 中正确分类
文学类图书分类正确概率 ………………………………………………………3 分
（2）图书分类错误 图书
图书分类错误概率 …………………………6 分
（3） 均数 …………………………………………………………………………………8 分
方差
…………10 分
时 取值 …………………………………………12 分
21 解：
66 6＇(30)＇(01) (30 )22 2
MA MB MA＼
＇＇MA B 1111( )nxyz
120 0 MA n MB n¢¢× ×
1
26(1)22n
＇MAB 2
26(1)22n
＇＇AMBA q
12
12
12
13|1| 222cos | cos | | 3|||| 13 131122 22
nnnn
nn
q
×< >
× ++× ++
＇＇AMBA 2
3
ABC ABCp++ BC Ap＼+
sin 2 20cos( ) 0bc A B C++
2 sin cos 20cos 0bc A A A＼×
2A p¹ cos 0A＼¹
1 sin 52SbcA＼
2 4aS
222cos2sinbc bcA bcA＼+
222sin2cosbc bcAbcA＼+ +
22
2sin 2cos 2 2sin( )4
cbb c AA Abc bc
p+＼+ + +
＼
4A p cb
bc+ 22
100 40 10 150++ 100
1
100 2
150 3p
30 20 40 10 10 30 140+++++ 500
2
30 20 40 10 10 30 7
500 25p +++++
abc 1 ()503xabc++
22222211[( 50) ( 50) (50 50) ] [ + 5000 100( )]33sa b ab ab++ + +
22 2 2 211 1(5000)[(100)5000][22005000]33 3ab a a a a+ + +
0 0ab>³＼ 100 0ab 2s 5000
3理科数学参考答案 第3页 3页
（1） 单调递减
恒成立……………………………………………………3 分
单调递减 ……………………………6 分
（2）
（1）知 时 单调递减
……………………………………………………………………………………………………………………9 分
……………………………………………………………………………………………………12 分
22 解：
（1）设
整理 ……………………………………………………………………………………………………4 分
（2）设 曲线 方程联立
设
……………………………………………………6 分
直线 联立
………………………………………………………………8 分
设 显然
构造 |
恒成立
单调递增
仅 时取…………………………………10 分
值 时直线 ………………………………………………………………………12 分
（注：1 果函数 性质求值扣分2直线方程斜率否存讨
根步骤相应分）
()yfx (1)+¥
1＇( ) 0
2
afx x x
£ 2a
x
³ (1)+¥
2y
x
(1)+¥ 2 (02)
x
Î 2a ³
0nm>> 1n
m >
2a ()yfx (1)+¥
() (1)nffm <
ln 2( 1) 0nn
mm<
2ln 2 lnnnmm+< +
( )Pxy 3
4PA PBkk× 3
(2) 2 4
yy
xx×
22
1( 2)43
xy x+¹±
1lx my+ C 223( 1) 4 12my y++
22(3 4) 6 9 0mymy++
12 22( )( )Mx y Nx y 12 1222
6934 34
myy yymm+ ++
2
22
222
69 1||1 ( )4 1234 34 34
mmMN m mmm
++ +++
(1)FT y m x 4x (4 3 )Tm
22||9931TF m m＼+ +
2
2
22
||1341 1(3 1 )||4 411
TF m mMN mm
+＼ ++
++
2 1tm+ 1t ³
||1 1() (3 ) ( 1)||4
TFft t tMN t+³
2
11＇( ) (3 ) 04ft t> [1)t Î+¥
()yft [1)+¥
||1 1(3 ) 1||4
FT tMN t+³ 1t 0m
||
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