2020届市七中高三学期入学数学（理）试题
单选题
1．已知集合（ ）
A． B． C． D．
答案B
解析分析：根元二次等式解法求集合B根子集定义判断出根交集中元素特征求根集中元素特征求求结果
详解：求
求选B
点睛：该题集合载体考查元二次等式解法考查集合间关系集合交运算属简单题目
2．已知i虚数单位实数a值
A．1 B．2 C．3 D．4
答案A
解析利复数代数形式运算化简虚部0求解答案
详解
解：实数
．
选A．
点睛
题考查复数代数形式运算考查复数基概念基础题．
3．孙子算国古代数学名著书中问题五等诸侯分橘子六十颗加三颗问 五意思 5分60橘子分橘子数成公差3等差数列问5少橘子问题中橘子橘子数（ ）
A．15 B．16 C．18 D．21
答案C
解析分析：首先根题意先确定等差数列问题已知公差项数求某项问题求解程中分析先确定首项根建立等量关系式利通项公式求第五项求结果
详解：设第分橘子数
题意解
选C
点睛：该题考查关等差数列关问题求解程中注意分析题条件已知量公差项数等差数列中五量知三求二应相应公式求应量
4．函数致图象
A． B．
C． D．
答案A
解析利函数奇偶性排利函数单调性排结果．
详解
奇函数图象关原点称排
增函数
增函数
增函数排选A．
点睛
函数图象辨识方面入手：
(1)函数定义域判断图象左右位置函数值域判断图象位置．
(2)函数单调性判断图象变化趋势
(3)函数奇偶性判断图象称性
(4)函数特征点排合求图象
5．展开式中系数
A．40 B．60 C．80 D．100
答案C
解析先写出二项展开式通项然令指数4解出相应参数值代入通项出结果．
详解
二项展开式通项．
令．
二项展开式中系数选C．
点睛
题考查二项展开式定理通项系数属简单题 二项展开式定理问题高考命题热点关二项式定理命题方较明确方面命题：（1）考查二项展开式通项公式（考查某项考查某项系数）（2）考查项系数项二项式系数（3）二项展开式定理应
6．图程序框图执行输出结果15M处条件
A． B． C． D．
答案A
解析分析：首先根题中框图分析知务等数列求问题发现数列1首项2公等数列容易发现前4项等15k值数列项结合题中条件分析选项求正确结果
详解：根题中程序框图确定该题求
应正1首项2公等数列
该数列前4项正15结合题中条件试知选A
点睛：该题考查关程序框图问题该题属补充条件问题求解程中注意数列项项间关系求正确结果
7．已知锐角△ABC角ABC边分abc23cos2A+cos 2A0a7c6b等( )
A．10 B．9 C．8 D．5
答案D
解析题意知23cos2A+2cos2A10
cos2A
△ABC锐角三角形
cosA
△ABC中余弦定理知72b2+622b×6×
b2b130
b5b(舍)选D
8．曲线直线围成面图形面积（ ）
A． B． C． D．
答案D
解析先作出直线曲线围成面图形简图联立直线曲线方程求出交点横坐标根定积分求出结果
详解
作出曲线直线围成面图形：
解：
曲线直线围成面图形面积
选D
点睛
题考查定积分应求围成图形面积需转化应定积分问题求解属常考题型
9．已知函数直线点曲线相切直线斜率
A． B．2 C． D．
答案B
解析求导数设出切点切线斜率结合两点斜率公式解方程m结果．
详解
函数导数
设切点
切线斜率
解选B．
点睛
题考查利导数求切线斜率属中档题 应导数意义求切点处切线斜率体现方面：(1) 已知切点求斜率求该点处导数(2) 知斜率求切点解方程(3) 巳知切线某点(切点) 求切点 设出切点利求解
10．巳知函数图象左移単位长度函数图象偶函数( )
A． B． C． D．
答案A
解析先题意写出根偶函数求出出结果
详解
题意：
偶函数
解
选A
点睛
题考查三角函数图变换三角函数性质熟记性质属常考题型
11．图国数学家赵爽约3世纪初周髀算作注时验证勾股定理示意图现提供5种颜色中5区域涂色规定区域涂种颜色相邻区域颜色区域涂色相概率
A． B． C． D．
答案D
解析利分步计数原理求出涂色方案420种中区域涂色相情况120种根古典概型概率公式求出区域涂色相概率．
详解
提供5种颜色中5区域涂色规定区域涂种颜色相邻区域颜色
根题意图设5区域次分4步进行分析：
区域5种颜色选
区域区域相邻4种颜色选
区域区域相邻3种颜色选
区域颜色相区域3种颜色选
颜色相区域2种颜色选区域2种颜色选
区域种选择
涂色方案种
中区域涂色相情况：
区域5种颜色选
区域区域相邻4种颜色选
区域区域相邻2种颜色选
区域颜色相区域2种颜色选
颜色相区域2种颜色选区域1种颜色选
区域种选择
涂色方案种
区域涂色相概率 选D．
点睛
题考查古典概型概率公式应考查分步计数原理等基础知识考查运算求解力中档题．求解关古典概型概率问题时首先求出样空间中基事件总数次求出概率事件中含少基事件然根公式求概率
12．图边长1正方形ABCDx轴正滚动先A中心时针旋转B落x轴时B中心时针旋转设顶点C滚动时曲线方程列说法正确
A．恒成立 B．
C． D．
答案C
解析根正方形运动关系分求出1234时应函数值具备周期性周期4结合图象时C轨迹圆心1半径圆判断求结．
详解
解：正方形边长1正方形角线
正方形滚动轨迹时C位点
时C位点
时C位点
时C位点
时C位点
具备周期性周期4
图恒成立
时C轨迹圆心1半径圆方程
综ABD正确C错误．
选C．
点睛
题考查函数值计算函数解析式性质结合正方形运动轨迹计算出应函数值周期性解决题关键．
二填空题
13．已知等差数列数列前7项______
答案56
解析等差数列性质：利求公式出数列前7项．
详解
解：等差数列性质：．
数列前7项．
答案56．
点睛
题考查等差数列通项公式性质求公式考查推理力计算力属中档题．
14．xy满足约束条件值______．
答案
解析作出等式组应面区域根点直线距离公式进行求解．
详解
解：作出等式组应面区域图：
意义面区域点原点距离
图象O直线距离
时值
值
答案：．
点睛
题考查线性规划应利点直线距离公式结合数形结合解决题关键．
15．已知量夹角实数值__________．
答案
解析∵⊥∴·＝(λ＋)·(－)＝－λ 2＋ 2＋(λ－1)·＝0－λ×9＋4＋(λ－1)×3×2×＝0解λ＝
点睛：面量数量积类型求法
(1)求面量数量积三种方法：夹角公式a·b＝|a||b|cos θ二坐标公式a·b＝x1x2＋y1y2三利数量积意义
(2)求较复杂面量数量积运算时先利面量数量积运算律相关公式进行化简
16．抛物线点作两条直线PAPB分抛物线交两点斜率0直线AB斜率______．
答案
解析根斜率公式利化简根斜率公式
详解
解：题意
点睛
题考查直线抛物线位置关系综合应斜率公式应考查计算力．属基础题
三解答题
17．已知等差数列前n项．
求数列通项公式
数列满足求证：数列前n项．
答案（1）（2）证明见解析
解析直接利等差数列前n项公式求出数列公差进步求出数列通项公式．
利等数列求公式放缩法应求出数列．
详解
解：设公差d．
解．
．
证明：
．
点睛
题考查知识点：数列通项公式求法应等数列前n项应放缩法应考查学生运算力转换力思维力属基础题型．
18．图1正方形中中点点线段 分折起两点重合点图2
图1 图2
(1)求证面
(2)求直线面成角正弦值
答案(1)证明见解析(2)
解析（1）设正方形边长结合利线面垂直判定定理面
（2）建立空间直角坐标系点作垂足求出量面法量利量夹角公式求解
详解
（1）证明：设正方形边长4图1知
题意知图2中面面
面面
面面面
（2）（1）知面建立图示空间直角坐标系点作垂足
中
设面法量
令设直线面成角
直线面成角正弦值
点睛
该题考查关立体关问题线面垂直判定定握线面垂直判定定理条件注意勾股定理证明线线垂直方法二求线面角利空间量求解直线方量面法量成角余弦值绝值等线面角正弦值求结果
19．2016年某市政府出台2020年创建全国文明城市简称创文具体规划日作创文项目市区公交站点重新布局建设基完成市关部门准备项目进行调查根调查结果决定否验收调查员分市区公交站点机抽取干市民该项目进行评分结果绘制成图示频率分布直方图相关规：调查象市市民调查者独立评分采百分制评分认定满意80分认定非常满意市民公交站点布局满意率低进行验收样频率代概率．
求调查者满意非常满意该项目频率
该市全体市民中机抽取3试估计恰2非常满意该项目概率
已知评分低60分调查者中老年占现评分低60分调查者中年龄分层抽取9便解满意原中选取2担群众督察员记群众督查员中老年数求机变量分布列数学期．
答案（1）（2）（3）
解析试题分析：（1）根直方图意义求出四矩形面积求调查者满意非常满意该项目频率（2）根频率分布直方图调查者非常满意频率
根独立重复试验次发生次概率公式结果（3）机变量取值012利组合知识根古典概型概率公式分求出机变量概率分布列根期公式结果
试题解析：（1）根题意：60分认定满意非常满意频率分布直方图中
评分频率：
（2）根频率分布直方图调查者非常满意频率
样频率代概率该市全体市民中机抽取1
该非常满意该项目概率
现中抽取3恰2非常满意该项目概率：
（3）∵评分低60分调查者中老年占
调查者中年龄分层抽取9
∴9中老年3非老年6
机变量取值012
分布列：
0
1
2
数学期
20．已知椭圆 焦点坐标分別椭圆点满足
(1) 求椭圆标准方程
(2) 设直线椭圆交两点点求取值范围
答案（1）（2）
解析分析：第问首先根题中条件涉量设出结合椭圆定义应线段倍数关系求应边长利余弦定理余弦值建立边间等量关系式求值椭圆中关系求b值求椭圆方程第二问直线方程椭圆方程联立求两根两根积求线段中点利条件垂直关系建立等量关系式判式零找满足等关系求k取值范围
详解：（1）题意设
中余弦定理
解求椭圆方程
（2）联立方程消
…①
设中心
解…②
②代入①整理
解
点睛：该题考查关直线椭圆综合题涉知识点椭圆定义余弦定理椭圆标准方程直线椭圆相交关问题会题中条件加转化者会找应等关系
21．已知函数．
求证：恒成立
求证：
答案（1）证明见解析（2）证明见解析
解析（1）先等式左边进行化简整理然整理表达式设函数函数进行阶导数二阶导数分析单调递增时命题证．
（2）先整理进行阶导数分析画出函数致图象知然采先取数然作差方法较关键构造数均数利数均等式证明．
详解
证明：题意知
．
令
时
单调递增．
时
单调递增．
时．
命题证．
题意．
．
令解
令解
令解．
单调递减单调递增
处取极值．
致图象：
根图知．
根数均等式
．
．
证．
点睛
题考查函数阶导数二阶导数函数单调性分析力数形结合法应构造函数构造数均数利数均等式技巧题属偏难题．
22．直角坐标系中圆参数方程(参数)极点轴正半轴极轴建立极坐标系直线极坐标方程
（1）求极坐标方程
（2）射线圆交点直线交点求取值范围
答案（1）（2）
解析试题分析：（1）圆C参数方程消参数φ求出圆C普通方程xρcosθyρsinθ求出圆C极坐标方程．
（2）设P（ρ1θ1）ρ1cosθ1Q（ρ2θ1）ρ1ρ2结合tanθ1＞0求出范围．
试题解析：
（1）圆普通方程
圆极坐标方程
（2）设
设直线方程
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单选题
1．已知集合（ ）
A． B． C． D．
答案B
解析分析：根元二次等式解法求集合B根子集定义判断出根交集中元素特征求根集中元素特征求求结果
详解：求
求选B
点睛：该题集合载体考查元二次等式解法考查集合间关系集合交运算属简单题目
2．已知i虚数单位实数a值
A．1 B．2 C．3 D．4
答案A
解析利复数代数形式运算化简虚部0求解答案
详解
解：实数
．
选A．
点睛
题考查复数代数形式运算考查复数基概念基础题．
3．孙子算国古代数学名著书中问题五等诸侯分橘子六十颗加三颗问 五意思 5分60橘子分橘子数成公差3等差数列问5少橘子问题中橘子橘子数（ ）
A．15 B．16 C．18 D．21
答案C
解析分析：首先根题意先确定等差数列问题已知公差项数求某项问题求解程中分析先确定首项根建立等量关系式利通项公式求第五项求结果
详解：设第分橘子数
题意解
选C
点睛：该题考查关等差数列关问题求解程中注意分析题条件已知量公差项数等差数列中五量知三求二应相应公式求应量
4．函数致图象
A． B．
C． D．
答案A
解析利函数奇偶性排利函数单调性排结果．
详解
奇函数图象关原点称排
增函数
增函数
增函数排选A．
点睛
函数图象辨识方面入手：
(1)函数定义域判断图象左右位置函数值域判断图象位置．
(2)函数单调性判断图象变化趋势
(3)函数奇偶性判断图象称性
(4)函数特征点排合求图象
5．展开式中系数
A．40 B．60 C．80 D．100
答案C
解析先写出二项展开式通项然令指数4解出相应参数值代入通项出结果．
详解
二项展开式通项．
令．
二项展开式中系数选C．
点睛
题考查二项展开式定理通项系数属简单题 二项展开式定理问题高考命题热点关二项式定理命题方较明确方面命题：（1）考查二项展开式通项公式（考查某项考查某项系数）（2）考查项系数项二项式系数（3）二项展开式定理应
6．图程序框图执行输出结果15M处条件
A． B． C． D．
答案A
解析分析：首先根题中框图分析知务等数列求问题发现数列1首项2公等数列容易发现前4项等15k值数列项结合题中条件分析选项求正确结果
详解：根题中程序框图确定该题求
应正1首项2公等数列
该数列前4项正15结合题中条件试知选A
点睛：该题考查关程序框图问题该题属补充条件问题求解程中注意数列项项间关系求正确结果
7．已知锐角△ABC角ABC边分abc23cos2A+cos 2A0a7c6b等( )
A．10 B．9 C．8 D．5
答案D
解析题意知23cos2A+2cos2A10
cos2A
△ABC锐角三角形
cosA
△ABC中余弦定理知72b2+622b×6×
b2b130
b5b(舍)选D
8．曲线直线围成面图形面积（ ）
A． B． C． D．
答案D
解析先作出直线曲线围成面图形简图联立直线曲线方程求出交点横坐标根定积分求出结果
详解
作出曲线直线围成面图形：
解：
曲线直线围成面图形面积
选D
点睛
题考查定积分应求围成图形面积需转化应定积分问题求解属常考题型
9．已知函数直线点曲线相切直线斜率
A． B．2 C． D．
答案B
解析求导数设出切点切线斜率结合两点斜率公式解方程m结果．
详解
函数导数
设切点
切线斜率
解选B．
点睛
题考查利导数求切线斜率属中档题 应导数意义求切点处切线斜率体现方面：(1) 已知切点求斜率求该点处导数(2) 知斜率求切点解方程(3) 巳知切线某点(切点) 求切点 设出切点利求解
10．巳知函数图象左移単位长度函数图象偶函数( )
A． B． C． D．
答案A
解析先题意写出根偶函数求出出结果
详解
题意：
偶函数
解
选A
点睛
题考查三角函数图变换三角函数性质熟记性质属常考题型
11．图国数学家赵爽约3世纪初周髀算作注时验证勾股定理示意图现提供5种颜色中5区域涂色规定区域涂种颜色相邻区域颜色区域涂色相概率
A． B． C． D．
答案D
解析利分步计数原理求出涂色方案420种中区域涂色相情况120种根古典概型概率公式求出区域涂色相概率．
详解
提供5种颜色中5区域涂色规定区域涂种颜色相邻区域颜色
根题意图设5区域次分4步进行分析：
区域5种颜色选
区域区域相邻4种颜色选
区域区域相邻3种颜色选
区域颜色相区域3种颜色选
颜色相区域2种颜色选区域2种颜色选
区域种选择
涂色方案种
中区域涂色相情况：
区域5种颜色选
区域区域相邻4种颜色选
区域区域相邻2种颜色选
区域颜色相区域2种颜色选
颜色相区域2种颜色选区域1种颜色选
区域种选择
涂色方案种
区域涂色相概率 选D．
点睛
题考查古典概型概率公式应考查分步计数原理等基础知识考查运算求解力中档题．求解关古典概型概率问题时首先求出样空间中基事件总数次求出概率事件中含少基事件然根公式求概率
12．图边长1正方形ABCDx轴正滚动先A中心时针旋转B落x轴时B中心时针旋转设顶点C滚动时曲线方程列说法正确
A．恒成立 B．
C． D．
答案C
解析根正方形运动关系分求出1234时应函数值具备周期性周期4结合图象时C轨迹圆心1半径圆判断求结．
详解
解：正方形边长1正方形角线
正方形滚动轨迹时C位点
时C位点
时C位点
时C位点
时C位点
具备周期性周期4
图恒成立
时C轨迹圆心1半径圆方程
综ABD正确C错误．
选C．
点睛
题考查函数值计算函数解析式性质结合正方形运动轨迹计算出应函数值周期性解决题关键．
二填空题
13．已知等差数列数列前7项______
答案56
解析等差数列性质：利求公式出数列前7项．
详解
解：等差数列性质：．
数列前7项．
答案56．
点睛
题考查等差数列通项公式性质求公式考查推理力计算力属中档题．
14．xy满足约束条件值______．
答案
解析作出等式组应面区域根点直线距离公式进行求解．
详解
解：作出等式组应面区域图：
意义面区域点原点距离
图象O直线距离
时值
值
答案：．
点睛
题考查线性规划应利点直线距离公式结合数形结合解决题关键．
15．已知量夹角实数值__________．
答案
解析∵⊥∴·＝(λ＋)·(－)＝－λ 2＋ 2＋(λ－1)·＝0－λ×9＋4＋(λ－1)×3×2×＝0解λ＝
点睛：面量数量积类型求法
(1)求面量数量积三种方法：夹角公式a·b＝|a||b|cos θ二坐标公式a·b＝x1x2＋y1y2三利数量积意义
(2)求较复杂面量数量积运算时先利面量数量积运算律相关公式进行化简
16．抛物线点作两条直线PAPB分抛物线交两点斜率0直线AB斜率______．
答案
解析根斜率公式利化简根斜率公式
详解
解：题意
点睛
题考查直线抛物线位置关系综合应斜率公式应考查计算力．属基础题
三解答题
17．已知等差数列前n项．
求数列通项公式
数列满足求证：数列前n项．
答案（1）（2）证明见解析
解析直接利等差数列前n项公式求出数列公差进步求出数列通项公式．
利等数列求公式放缩法应求出数列．
详解
解：设公差d．
解．
．
证明：
．
点睛
题考查知识点：数列通项公式求法应等数列前n项应放缩法应考查学生运算力转换力思维力属基础题型．
18．图1正方形中中点点线段 分折起两点重合点图2
图1 图2
(1)求证面
(2)求直线面成角正弦值
答案(1)证明见解析(2)
解析（1）设正方形边长结合利线面垂直判定定理面
（2）建立空间直角坐标系点作垂足求出量面法量利量夹角公式求解
详解
（1）证明：设正方形边长4图1知
题意知图2中面面
面面
面面面
（2）（1）知面建立图示空间直角坐标系点作垂足
中
设面法量
令设直线面成角
直线面成角正弦值
点睛
该题考查关立体关问题线面垂直判定定握线面垂直判定定理条件注意勾股定理证明线线垂直方法二求线面角利空间量求解直线方量面法量成角余弦值绝值等线面角正弦值求结果
19．2016年某市政府出台2020年创建全国文明城市简称创文具体规划日作创文项目市区公交站点重新布局建设基完成市关部门准备项目进行调查根调查结果决定否验收调查员分市区公交站点机抽取干市民该项目进行评分结果绘制成图示频率分布直方图相关规：调查象市市民调查者独立评分采百分制评分认定满意80分认定非常满意市民公交站点布局满意率低进行验收样频率代概率．
求调查者满意非常满意该项目频率
该市全体市民中机抽取3试估计恰2非常满意该项目概率
已知评分低60分调查者中老年占现评分低60分调查者中年龄分层抽取9便解满意原中选取2担群众督察员记群众督查员中老年数求机变量分布列数学期．
答案（1）（2）（3）
解析试题分析：（1）根直方图意义求出四矩形面积求调查者满意非常满意该项目频率（2）根频率分布直方图调查者非常满意频率
根独立重复试验次发生次概率公式结果（3）机变量取值012利组合知识根古典概型概率公式分求出机变量概率分布列根期公式结果
试题解析：（1）根题意：60分认定满意非常满意频率分布直方图中
评分频率：
（2）根频率分布直方图调查者非常满意频率
样频率代概率该市全体市民中机抽取1
该非常满意该项目概率
现中抽取3恰2非常满意该项目概率：
（3）∵评分低60分调查者中老年占
调查者中年龄分层抽取9
∴9中老年3非老年6
机变量取值012
分布列：
0
1
2
数学期
20．已知椭圆 焦点坐标分別椭圆点满足
(1) 求椭圆标准方程
(2) 设直线椭圆交两点点求取值范围
答案（1）（2）
解析分析：第问首先根题中条件涉量设出结合椭圆定义应线段倍数关系求应边长利余弦定理余弦值建立边间等量关系式求值椭圆中关系求b值求椭圆方程第二问直线方程椭圆方程联立求两根两根积求线段中点利条件垂直关系建立等量关系式判式零找满足等关系求k取值范围
详解：（1）题意设
中余弦定理
解求椭圆方程
（2）联立方程消
…①
设中心
解…②
②代入①整理
解
点睛：该题考查关直线椭圆综合题涉知识点椭圆定义余弦定理椭圆标准方程直线椭圆相交关问题会题中条件加转化者会找应等关系
21．已知函数．
求证：恒成立
求证：
答案（1）证明见解析（2）证明见解析
解析（1）先等式左边进行化简整理然整理表达式设函数函数进行阶导数二阶导数分析单调递增时命题证．
（2）先整理进行阶导数分析画出函数致图象知然采先取数然作差方法较关键构造数均数利数均等式证明．
详解
证明：题意知
．
令
时
单调递增．
时
单调递增．
时．
命题证．
题意．
．
令解
令解
令解．
单调递减单调递增
处取极值．
致图象：
根图知．
根数均等式
．
．
证．
点睛
题考查函数阶导数二阶导数函数单调性分析力数形结合法应构造函数构造数均数利数均等式技巧题属偏难题．
22．直角坐标系中圆参数方程(参数)极点轴正半轴极轴建立极坐标系直线极坐标方程
（1）求极坐标方程
（2）射线圆交点直线交点求取值范围
答案（1）（2）
解析试题分析：（1）圆C参数方程消参数φ求出圆C普通方程xρcosθyρsinθ求出圆C极坐标方程．
（2）设P（ρ1θ1）ρ1cosθ1Q（ρ2θ1）ρ1ρ2结合tanθ1＞0求出范围．
试题解析：
（1）圆普通方程
圆极坐标方程
（2）设
设直线方程
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