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初等数学笔记专栏&数圈&数圈 plus 教科研协作体
2020 届高三统联合考试
数学(理科)创新卷
试卷分第Ⅰ卷（选择题 60 分）第Ⅱ卷（非选择题 90 分）两部分
满分 150 分考试时间 150 分钟
组卷：槿灵 命题：题号注明
排版：支天命槿灵 期：王锐腾Dylaaanskysgn空前移橘子老君戴彬滨末栀
AweiDolphinLeoSingular赤县神州初见Clark寒泉汐落陈俊宇槿灵
前言：套创新卷凝聚着心血线线初三竞赛生高三应届生
学长线教师套卷子谓历简单说套创新卷命制找
遍周围佬圈子结果值套创新卷特点：背景广角度新综合
命题时然确保量高考考点（容）设置题前历轮修改发现
题跳出惯常思维定式说未接触初等数学笔记
专栏熟悉读者应该会文章里出现东东希达效果——模拟高考创新
题第次展现眼前感觉万变离宗抓住知识板块应综合相信套
卷子应该说会特难题目写出希套卷子答案
遍中绝部分手写希位帮助提升
愿位知友关注专栏学数圈&数圈 plus朋友Dylaaan 催更群（x）
朋友锐腾君闲话群朋友philos&math&BanGDream朋友H2O 群——老攻教授
学算术朋友珍惜张创新卷 2020 年高考家份心意
祝君运
════════════★祝考试利★═══════════
第Ⅰ卷（选择题 满分 60 分）
选择题：（题 12 题题 5 分 60 分题出四选项中
项符合题目求请正确答案填涂答题卡）
1（槿灵）记集合差集：CAB{x|x∈Ax
} U 全集 C
t
知定没：
AB
BC
CC
D
2（槿灵）设复数 z 满足
t
t
记
复数 z 轭复数 z
A．2 B2 C1 D1第 2 页 6 页
3（槿灵）已知命题 P：ln x
命题 q：
t t t
面四命题
t
中真命题：
A
p q B
： q p C
：
¬
q D
t
：
¬
p
4（槿灵）已知 a
log
：
A．a5（槿灵）记数列{
差分
Δ t t
数列 n 阶差分记
Δ
Δ
t
t t Δ
t
已知
Δ
Δ
等差数列数列{
通项公式：
A
t
t t 6（槿灵）三角学中方便表示非特殊角数学家常符号arc 加某
三角函数符号表示应反三角函数例： )110(cos mm
arccos
43
1arccos2243
6arcsin cos
t
A．
3
6 B 3
6 C 9
34 D 9
6
7（槿灵）数学家黎曼黎曼球面扩充复面图复
面半径 2 黎曼球面球复面切点 O球
高点 P复面取点 M连接 PMPM 交该球面点
Q样建立起球面点复面点间应
M 动点线段|PM|8连接 OQ M 运动时线段
OQ 围成曲面
Q 点轨迹方曲面
构成体
切球体积：
A．
t
t
8（槿灵）毕达哥拉斯学派基信条万物皆数该学派
发展基面理研究边形数时众
发现研究五边形数时毕达哥拉斯石板计数框图
表示终输出 i5填入 s 值
A16 B17 C30 D31第 3 页 6 页
9（槿灵） 6
6
5
5
4
4
3
3
2
210
32 )2( xaxaxaxaxaxaaxax 已知
665432 654321 aaaaaa −
t
A—2 B2 C3 D4
10（KevinZhao&槿灵）已知 xxexf x ln)(
t
（0+∞）恒成
立 k 值：
A2e1 B1 Ce1 D
t
11（槿灵）群中矩阵变换常置换群置换映射
集合中某字母映射该集合某字母例：考虑三元数集置换
1 映射
{
h
记
a∈A{1234567} A 次置换 f 写成 a→a置换 f满足：
（1）
满足条件置换 f 少：
A504 B720 C830 D1008
12（王锐腾return）椭圆
t
t
点 E（11）点 E 两条弦 ABCD记直
线 ACBD 交点 F坐标原点 O|OF|值：
A．
t
第Ⅱ卷（非选择题 满分 90 分）
二填空题（题 4 题题 5 分 20 分．请答题卷相应区域答题．．．．．．．．．．．．）
13（高中数学微专题 666）已知 x>0y>0xy(xy)4 x+y 值_______
14（夜秋风起&槿灵）李华 100 级台阶长腿——次迈
1 步2 步甚 100 步（种行方案：走步 100 级台阶直接登顶）李华
想知道果决定走 5 步登 100 级台阶该情况方案数占全体方案数概率
________（数足够保留数学符号）
15（中学数学）已知
t t
求
t
取值
范围__________
16（2008 湖南高联）记函数
函数 t
t函数 t
值
⺁
值__________第 4 页 6 页
三解答题（题 6 题 70 分．解答应写出文字说明证明程演算步骤．请．
答题卷相应区域答题．．．．．．．．．．．第 17～21 题必考题试题考生必须作答中
第 20 题熟悉射影考生选择第 20（1）题然想挑战第 20（2）
题删第二问第 2223 题选考题考生根求作答）
17（槿灵）数学家阿波罗尼斯著圆锥曲线纯方法探究出圆锥曲线
众性质发现：两定点距离值定值动点轨迹圆
（1）面作线段 CD4取 CD 中点 E令 B DE 中点 D 圆心DE 长半
径作圆 D取直线 BC 外圆 D 意点 A连接 ABAEAC已知∠ADC
弧
t
存点 P 满足：
数
∠
t
数
∠
t
t
数
∠
t
求∠PAC 余弦值
（2）阿波罗尼斯发现三角形构造直角三角形助解类特殊三角形：锐角
Δ
中D AB 中点 2
值？
18（槿灵）数学家探究两互相垂直异面直线性质时优美面——
马鞍面李华想木棍搭出马鞍面先准备画幅图李华先画出长方体
ABCD
底面边长
正方形高
1开始寻找线段 BD 线段
距离相等 P 点轨迹（长方形 B
）
（1）：试说明 P 点轨迹形状设该曲线焦点 R
证明： DCARB 11面
（2）：确定马鞍面具体形状李华画出长
方形
线段 BD 线段
距离相等 Q 点轨
迹时动点 P 恰 Q 点轨迹 Q 点满足∠
t
安装时连接牢固李华找结点 M（
中点）
李华开始计算二面角 APQM 余弦值
19（橘子老君）现序点列
t
⺁
t
⺁
t
⺁
次连结该
点列中相邻两点折线段
该折线段轮廓构
造出条光滑曲线进行操作：第 5 页 6 页
（i）：作出该折线段相邻两点中点操作称分割
（ii）：继续作该折线段相邻两点中点连结中点新折线段
操作称均
（i）（ii）操作合称次细分原折线段进行次细分操作会条新折
线段
断新折线段重复述操作条光滑曲线条曲线称 Chaikin
曲线程称曲线细分
（1）：设折线段
n 次细分曲线
点组成求
（2）：（1）基础写出
通项公式
（3）：折线段
n 次细分折线段
应序点列记作 ）( )(
2
)(
1
nn PP
请写出序点列 ） ( )1(
2
)1(
1
nn PP 序点列 ）( )(
2
)(
1
nn PP 间递推关系
提示： P（
）
a P+Q 表示点
t t
）
b cP 表示点（c
）中 c∈R
20(1)（单墫&槿灵） P 椭圆
t
⺁
动点
椭
圆焦点∠
t
角分线交 x 轴点 M
t
t t t
值 2
（1）
焦点时
：
（p>0）焦点求
方程
（2）设 0
交曲线
四点
四点圆求
交点 Q 轨迹
20(2)（王锐腾return）已知面双曲线Γ )00(12
2
2
2
bab
y
a
x 中心 O
两条渐线 l1l2双曲线取点 M M 做Γ切线
交 21ll 点 PQ然点 O 作直线 ONPQ直线 ON
点 N 引双曲线Γ两切线作两切点 BC 作条
直线 m交交 21ll 点 SR
(1)证明：MPMQ
(2)证明：mOM
(3)证明：BRSC第 6 页 6 页
21（Dylaaan&槿灵）已知函数
t
t
t t ⺁ ⺁（1）求函数
极值点
（2）意
关
等式：
t
t 区间
t t
∞ 存实数解求实数
取值范围
（3）求证： 211)1(0 2
x
exexex x 参考数： 7182e
22 （王锐腾return）极坐标参数方程
知道参数方程通参数曲线点实现应时候未必会直接写出 xy
关 t 显式表达参数方程 确定曲线Γ
中αx+y+1βxy+1γx1
已知函数 f(x)
dcx
bax
满足意 x∈Rf(x)≠x f(f(x))x
(1)证明点 P 应参数 p点 Q 应参数 q直线 PQ 方程 pqα(p+q)γ+β0
(2)证明Γ选取点 P(应参数 p)已知 f(p)应点 Q PQ 恒
定点
23（空前移&槿灵）等式选讲
基等式算术均数 A
tt
…
均数 G
…
间特殊
情况： 2i 时
数学中种美妙方均 Q
t
t
…
(1)试探究三元方均算术均关系证明
(2) 数 学 家 闵 夫 斯 基 发 现 美 妙 等 式 ：
t
t
n3 时试证明该等式指出取等条件
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2020 届高三统联合考试
数学(理科)创新卷
试卷分第Ⅰ卷（选择题 60 分）第Ⅱ卷（非选择题 90 分）两部分
满分 150 分考试时间 150 分钟
组卷：槿灵 命题：题号注明
排版：支天命槿灵 期：王锐腾Dylaaanskysgn空前移橘子老君戴彬滨末栀
AweiDolphinLeoSingular赤县神州初见Clark寒泉汐落陈俊宇槿灵
前言：套创新卷凝聚着心血线线初三竞赛生高三应届生
学长线教师套卷子谓历简单说套创新卷命制找
遍周围佬圈子结果值套创新卷特点：背景广角度新综合
命题时然确保量高考考点（容）设置题前历轮修改发现
题跳出惯常思维定式说未接触初等数学笔记
专栏熟悉读者应该会文章里出现东东希达效果——模拟高考创新
题第次展现眼前感觉万变离宗抓住知识板块应综合相信套
卷子应该说会特难题目写出希套卷子答案
遍中绝部分手写希位帮助提升
愿位知友关注专栏学数圈&数圈 plus朋友Dylaaan 催更群（x）
朋友锐腾君闲话群朋友philos&math&BanGDream朋友H2O 群——老攻教授
学算术朋友珍惜张创新卷 2020 年高考家份心意
祝君运
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第Ⅰ卷（选择题 满分 60 分）
选择题：（题 12 题题 5 分 60 分题出四选项中
项符合题目求请正确答案填涂答题卡）
1（槿灵）记集合差集：CAB{x|x∈Ax
} U 全集 C
t
知定没：
AB
BC
CC
D
2（槿灵）设复数 z 满足
t
t
记
复数 z 轭复数 z
A．2 B2 C1 D1第 2 页 6 页
3（槿灵）已知命题 P：ln x
命题 q：
t t t
面四命题
t
中真命题：
A
p q B
： q p C
：
¬
q D
t
：
¬
p
4（槿灵）已知 a
log
：
A．a
差分
Δ t t
数列 n 阶差分记
Δ
Δ
t
t t Δ
t
已知
Δ
Δ
等差数列数列{
通项公式：
A
t
t t 6（槿灵）三角学中方便表示非特殊角数学家常符号arc 加某
三角函数符号表示应反三角函数例： )110(cos mm
arccos
43
1arccos2243
6arcsin cos
t
A．
3
6 B 3
6 C 9
34 D 9
6
7（槿灵）数学家黎曼黎曼球面扩充复面图复
面半径 2 黎曼球面球复面切点 O球
高点 P复面取点 M连接 PMPM 交该球面点
Q样建立起球面点复面点间应
M 动点线段|PM|8连接 OQ M 运动时线段
OQ 围成曲面
Q 点轨迹方曲面
构成体
切球体积：
A．
t
t
8（槿灵）毕达哥拉斯学派基信条万物皆数该学派
发展基面理研究边形数时众
发现研究五边形数时毕达哥拉斯石板计数框图
表示终输出 i5填入 s 值
A16 B17 C30 D31第 3 页 6 页
9（槿灵） 6
6
5
5
4
4
3
3
2
210
32 )2( xaxaxaxaxaxaaxax 已知
665432 654321 aaaaaa −
t
A—2 B2 C3 D4
10（KevinZhao&槿灵）已知 xxexf x ln)(
t
（0+∞）恒成
立 k 值：
A2e1 B1 Ce1 D
t
11（槿灵）群中矩阵变换常置换群置换映射
集合中某字母映射该集合某字母例：考虑三元数集置换
1 映射
{
h
记
a∈A{1234567} A 次置换 f 写成 a→a置换 f满足：
（1）
满足条件置换 f 少：
A504 B720 C830 D1008
12（王锐腾return）椭圆
t
t
点 E（11）点 E 两条弦 ABCD记直
线 ACBD 交点 F坐标原点 O|OF|值：
A．
t
第Ⅱ卷（非选择题 满分 90 分）
二填空题（题 4 题题 5 分 20 分．请答题卷相应区域答题．．．．．．．．．．．．）
13（高中数学微专题 666）已知 x>0y>0xy(xy)4 x+y 值_______
14（夜秋风起&槿灵）李华 100 级台阶长腿——次迈
1 步2 步甚 100 步（种行方案：走步 100 级台阶直接登顶）李华
想知道果决定走 5 步登 100 级台阶该情况方案数占全体方案数概率
________（数足够保留数学符号）
15（中学数学）已知
t t
求
t
取值
范围__________
16（2008 湖南高联）记函数
函数 t
t函数 t
值
⺁
值__________第 4 页 6 页
三解答题（题 6 题 70 分．解答应写出文字说明证明程演算步骤．请．
答题卷相应区域答题．．．．．．．．．．．第 17～21 题必考题试题考生必须作答中
第 20 题熟悉射影考生选择第 20（1）题然想挑战第 20（2）
题删第二问第 2223 题选考题考生根求作答）
17（槿灵）数学家阿波罗尼斯著圆锥曲线纯方法探究出圆锥曲线
众性质发现：两定点距离值定值动点轨迹圆
（1）面作线段 CD4取 CD 中点 E令 B DE 中点 D 圆心DE 长半
径作圆 D取直线 BC 外圆 D 意点 A连接 ABAEAC已知∠ADC
弧
t
存点 P 满足：
数
∠
t
数
∠
t
t
数
∠
t
求∠PAC 余弦值
（2）阿波罗尼斯发现三角形构造直角三角形助解类特殊三角形：锐角
Δ
中D AB 中点 2
值？
18（槿灵）数学家探究两互相垂直异面直线性质时优美面——
马鞍面李华想木棍搭出马鞍面先准备画幅图李华先画出长方体
ABCD
底面边长
正方形高
1开始寻找线段 BD 线段
距离相等 P 点轨迹（长方形 B
）
（1）：试说明 P 点轨迹形状设该曲线焦点 R
证明： DCARB 11面
（2）：确定马鞍面具体形状李华画出长
方形
线段 BD 线段
距离相等 Q 点轨
迹时动点 P 恰 Q 点轨迹 Q 点满足∠
t
安装时连接牢固李华找结点 M（
中点）
李华开始计算二面角 APQM 余弦值
19（橘子老君）现序点列
t
⺁
t
⺁
t
⺁
次连结该
点列中相邻两点折线段
该折线段轮廓构
造出条光滑曲线进行操作：第 5 页 6 页
（i）：作出该折线段相邻两点中点操作称分割
（ii）：继续作该折线段相邻两点中点连结中点新折线段
操作称均
（i）（ii）操作合称次细分原折线段进行次细分操作会条新折
线段
断新折线段重复述操作条光滑曲线条曲线称 Chaikin
曲线程称曲线细分
（1）：设折线段
n 次细分曲线
点组成求
（2）：（1）基础写出
通项公式
（3）：折线段
n 次细分折线段
应序点列记作 ）( )(
2
)(
1
nn PP
请写出序点列 ） ( )1(
2
)1(
1
nn PP 序点列 ）( )(
2
)(
1
nn PP 间递推关系
提示： P（
）
a P+Q 表示点
t t
）
b cP 表示点（c
）中 c∈R
20(1)（单墫&槿灵） P 椭圆
t
⺁
动点
椭
圆焦点∠
t
角分线交 x 轴点 M
t
t t t
值 2
（1）
焦点时
：
（p>0）焦点求
方程
（2）设 0
交曲线
四点
四点圆求
交点 Q 轨迹
20(2)（王锐腾return）已知面双曲线Γ )00(12
2
2
2
bab
y
a
x 中心 O
两条渐线 l1l2双曲线取点 M M 做Γ切线
交 21ll 点 PQ然点 O 作直线 ONPQ直线 ON
点 N 引双曲线Γ两切线作两切点 BC 作条
直线 m交交 21ll 点 SR
(1)证明：MPMQ
(2)证明：mOM
(3)证明：BRSC第 6 页 6 页
21（Dylaaan&槿灵）已知函数
t
t
t t ⺁ ⺁（1）求函数
极值点
（2）意
关
等式：
t
t 区间
t t
∞ 存实数解求实数
取值范围
（3）求证： 211)1(0 2
x
exexex x 参考数： 7182e
22 （王锐腾return）极坐标参数方程
知道参数方程通参数曲线点实现应时候未必会直接写出 xy
关 t 显式表达参数方程 确定曲线Γ
中αx+y+1βxy+1γx1
已知函数 f(x)
dcx
bax
满足意 x∈Rf(x)≠x f(f(x))x
(1)证明点 P 应参数 p点 Q 应参数 q直线 PQ 方程 pqα(p+q)γ+β0
(2)证明Γ选取点 P(应参数 p)已知 f(p)应点 Q PQ 恒
定点
23（空前移&槿灵）等式选讲
基等式算术均数 A
tt
…
均数 G
…
间特殊
情况： 2i 时
数学中种美妙方均 Q
t
t
…
(1)试探究三元方均算术均关系证明
(2) 数 学 家 闵 夫 斯 基 发 现 美 妙 等 式 ：
t
t
n3 时试证明该等式指出取等条件
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