§7 MATLAB应
71 MATLAB数值分析中应
插值拟合源实际广泛应实际两种重方法着计算机断发展计算水断提高已国民生产科学研究等方面扮演着越越重角色面插值中分段线性插值拟合中重二法拟合加介绍
711 分段线性插值
谓分段线性插值通插值点折线段连接起逼原曲线计算机绘制图形基原理实现分段线性插值需编制函数程序MATLAB身提供部函数interp1法：
interp1(xyxi) 维插值
◆ yiinterp1(xyxi)
组点(xy) 进行插值计算插值点xi函数值x节点量值y应节点函数值果y 矩阵插值y 列进行y 维数超出x xi 维数返回NaN
◆ yiinterp1(yxi)
格式默认x1n n量y元素数值等矩阵ysize(y1)
◆ yiinterp1(xyxi’method’)
method指定插值算法默认线性算法值常字符串
● nearest 线性项插值
● linear 线性插值
● spline 三次样条插值
● cubic 三次插值
插值方法求x单调x 非连续等距
正弦曲线插值示例：
>> x00110
>> ysin(x)
>> xi002510
>> yiinterp1(xyxi)
>> plot(xy’0’xiyi)
相应插值曲线（读者机实验）
Matlab够完成二维插值运算相应函数interp2方法interpl基相输入输出参数矩阵应二维面数点详细法见Matlab联机帮助
712 二法拟合
科学实验统计方法研究中组实验数中寻找出变量x 变量y间函数关系yf(x) 观测数够准确求yf(x)点 求定点误差某种标准达通常采欧氏范数作误差量度标准谓二法MATLAB中实现二法拟合通常采
polyfit函数进行
函数polyfit指项式函数已知数进行拟合列数例介绍函数法：
>> x0011
>> y[ 0447 1978 328 616 708 734 766 956 948 930 112 ]
polyfit首先必须指定希少阶项式数进行拟合果指定阶项式结果线性似通常称线性回选择二阶项式进行拟合
>> P polyfit (x y 2)
P
98108 201293 00317
函数返回项式系数行量写成项式形式：
较拟合结果绘制两者图形：
>> xilinspace (0 1 100) 绘图X轴数
>> Zpolyval (p xi) 项式数点处值
然选择更高幂次项式进行拟合10阶：
>> ppolyfit (x y 10)
>> xilinspace (0 1100)
>> zployval (p xi)
读者机绘图进行较曲线数点附更加接数点测量值整体说曲线波动较定适合实际需进行高阶曲线拟合时越高越观点定
72 符号工具箱应
数学应中常常需做极限微分求导数等运算MATLAB称运算符号运算MATLAB符号运算功通调符号运算工具箱(Symbolic Math Toolbox)工具实现核Maple数学软件MATLAB符号运算工具箱包含微积分运算化简代换解方程等方面工具详细容通MATLAB系统联机帮助查阅节仅常功做简单介绍
721 符号变量符号表达式
MATLAB符号运算工具箱处理象符号变量符号表达式实现符号运算首先需处理象定义符号变量符号表达式定义格式：
格式1： sym (变量名’) sym (表达式’)
功： 定义符号变量符号表达式
例：
>> sym (x’) 定义变量x符号变量
>> sym(x+1’) 定义表达式x+1符号表达式
格式2： syms 变量名1 变量名2 …… 变量名n
功： 定义变量名1变量2 ……变量名 n符号变量
例：
>> syms a b x t 定义ab xt 均符号变量
722 微积分运算
1极限
格式：limit (f t a left’ or right’)
功：求符号变量t 趋a 时函数f （左右）极限left’ 表示求左极限right’ 表示求右极限省略时表示求般极限a省略时变量t 趋0 t省略时默认变量x x寻找（字母表）接字母x 变量
例：求极限命令结果：
>> syms x t
>> limit ((1+2*tx)^(3*x) x inf )
ans
exp(6*t)
求函数x |x| 时左极限右极限命令结果：
>> syms x
>> limit(xabs(x) x 0 ’left’) ans 1
>> limit(xabs(x)x 0 ’right’) ans 1
2导数
格式： diff (ftn)
功： 求函数f 变量 tn 阶导数n省略时默认 n1t省略时默认变量x x时查找字母表接字母x 字母
例：求函数fa*x^2+b*x+c变量 x阶导数 命令结果
>> syms a b c x
>> fa*x^2+b*x+c
>> diff(f)
ans
2*a*x+b
求函数f 变量b阶导数(作求偏导) 命令结果
>> diff(fb) ansx
求函数f 变量x二阶导数 命令结果
>> diff(f2) ans2*a
3积分
格式： int(ftab)
功： 求函数f 变量 ta b定积分 ab省略时求定积分t省略时 默认变量(字母表)接字母x变量
例：求函数fa*x^2+b*x+c变量x定积分 命令结果
>> syms a b c x
>> fa*x^2+b*x+c
>> int(f)
ans
13*a*x^3+12*b*x^2+c*x
求函数f 变量b定积分 命令结果
>> int(fb)
ans
a*x^2*b+12*b^2*x+c*b
求函数f 变量x 15定积分 命令结果
>> int(f15)
ans
1243*a+12*b+4*c
4级数求
格式： symsum (stab)
功：求表达式s中符号变量t第a项第b项级数
例： 求级数前三项 命令结果
>> symsum(1x13) ans116
723 化简代换
MATLAB符号运算工具箱中包括较代数式化简代换功面仅举出部分常见运算
simplify 利种恒等式化简代数式
expand 积展开式
factor 项式转换积形式
collect 合类项
horner 项式转换嵌套表示形式
例：进行合类项执行
>> syms x
>> collect(3*x^305*x^3+3*x^2)
ans
52*x^3+3*x^2)
进行式分解执行
>> factor(3*x^305*x^3+3*x^2)
ans
12*x^2*(5*x+6)
724 解方程
1代数方程
格式：solve (ft)
功：变量t 解方程f0t 缺省时默认x 接字母x 符号变量
例：求解元二次方程fa*x^2+b*x+c实根
>> syms a b c x
>> fa*x^2+b*x+c
>> solve (fx)
ans
[12a*(b+(b^24*a*c)^ (12))]
[12a*(b(b^24*a*c)^ (12))]
2微分方程
格式：dsolve(s’ ’s1’ ’s2’… ’x’)
中s方程s1s2……初始条件缺省时出含意常数c1c2……通解x变量缺省时默认t
例：求微分方程通解
>> dsolve(Dy1+y^2’)
ans
tan(t+c1)
73 优化工具箱应
工程设计济理科学研究等诸领域中常常会遇样问题：切方案中选择优方案数学类问题称优化问题类问题例设计机械零件时保证强度前提重量轻量省（然偷工减料外）确定参数承载力高安排生产时现力设备条件合理安排生产产品总产值高确定库存时保证销售量前提库存成物资调配时组织运输运输费少属优化问题研究象
MATLAB优化工具箱放toolbox目录optim子目录中中包括干常求解函数优化问题程序MATLAB优化工具箱断完善版MATLAB工具箱完全相MATLAB53版中优化工具箱作全面改进原常程序重新编制新程序fzerofsolve外重新起名字新程序套新控制算法选项原程序相新程序功增强MATLAB5360版中原优化程序（fzerofsolve外）然保留迟早会撤消鉴述情况书介绍新常优化程序
731 线性规划问题
线性规划优化理发展成熟应广泛分支MATLAB优化工具箱中求解述线性规划问题
（线性等式约束）
（线性等式约束）
（界约束）
函数linprog 格式：
[x fval exitflag output lambda] linprog(c A b A1 b1 LB UB x0 options)
中linprog函数名中括号括号中含参数输入输出变量参数法说明：
（1）c Ab缺省输入宗量x缺省输出宗量问题解
（2）x界时LB处放置[ ]界时UB处放置[ ] 果x某分量界置LB(i)inf 果界置UB(i)inf 果线性等式约束Ab处放置[ ]
（3）x0解初始似值
（4）options控制算法选项参数量
（5）输出宗量fval目标函数解x处值
（6）输出宗量exitflag值描述程序运行情况果exitflag值0程序收敛解x果exitflag值等0函数计算达次数果exitflag值0问题行解程序运行失败
（7）输出宗量output输出程序运行某信息
（8）输出宗量Lambda解x处值 Lagrange子
例：求解线性规划问题
min
解：命令窗口中键入
>> c[211] a[141 221] b[4 12] a1[112] b16
>> lb[0 0 inf] ub[inf inf 5]
>> [x z]linprog(caba1b11bub)
运行：
x
46667
00000
06667
z
86667
732 非线性约束优化
MATLAB优化工具箱中求解述非线性规划问题
（线性等式约束）
（线性等式约束）
（非线性等式约束）
（非线性等式约束）
（界约束）
函数fmincon 格式：
[x fval exitflag output lambda grad hessian]fmincon(fun’ x0 A b A1 b1 LB
UB nonlcon’ options p1 p2……)
中fmincon函数名参数法线性规划中相面介绍非线性规划特：
（1）fun’x0缺省输入宗量fun出目标函数M文件名字x0极值点初始似值x缺省输出宗量问题解
（2）nonlcon 出非线性约束函数M文件文件名
（3）宗量p1p2…目标函数传送参数值
（4）输出宗量grad目标函数解x处梯度
（5）输出宗量hessian目标函数解x处Hessian矩阵
例：求解非线性规划问题
min
解：建立目标函数M文件
function ynline (x)
yexp (x(1))*(4*x(1)^2+2*x(2)^2+4*x(1)*x(2)+2*x(2)+1)
建立非线性约束条件M文件
function [c1 c2]nyueshu (x)
c1[15+x(1)*x(2)x(1)x(2) x(1)*x(2)10]
c20
命令窗口中键入
>> x0[11] a[1 1] b1 a1[11] b10
>> [x f]fmincon (nline’ x0 a b a1 b1 [ ] [ ] nyueshu’)
运行：
x
12247 12247
f
18951
733 二次规划问题
二次规划数学模型般形式：
中H称矩阵约束条件线型规划相MATLAB优化工具箱中求解述规划问题程序：
[x fval exitflag output lambda] quadprog(H c A b A1 b1 LB UB x0 options)
中quadprog函数名参数法说明线性规划里赘述
例求解二次优化问题
解：目标函数化标准形式
命令窗口中键入
>> H[2 0 0 2] c[8 10] a[3 2] b6 lb[0 0] x0[11]
>> xquadprog (H c a b [ ] [ ] lb [ ] x0)
运行：
x
03077
25385
734 foptions 函数
优化控制MATLAB提供18参数参数优化进行起者关键作面参数选择函数foptions作详细介绍
● foptions优化函数调中参数选择参数具体意义：
options(1) 参数显示控制（默认值0）等1时显示结果
options(2) 优化点x精度控制（默认值1e –4）
options(3) 优化函数F精度控制（默认值1e –4）
options(4) 违反约束结束标准（默认值1e –6）
options(5) 策略选择常
options(6) 优化程序方法选择值0时BFGS算法值1时采DFP算法
options(7) 线性插值算法选择值0时混合插值算法值1时采立方插值算法
options(8) 函数值显示（目标达问题中Lambda）
options(9) 需检测户提供导数设1
options(10) 函数约束求值数目
options(11) 函数导数求值数
options(12) 约束求值数目
options(13) 等式约束数目
options(14) 函数求值次数（默认值100变量数）
options(15) 目标达问题中特殊目标
options(16) 优化程中变量梯度值
options(17) 优化程中变量梯度值
options(18) 步长设置（默认值1更）
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71 MATLAB数值分析中应
插值拟合源实际广泛应实际两种重方法着计算机断发展计算水断提高已国民生产科学研究等方面扮演着越越重角色面插值中分段线性插值拟合中重二法拟合加介绍
711 分段线性插值
谓分段线性插值通插值点折线段连接起逼原曲线计算机绘制图形基原理实现分段线性插值需编制函数程序MATLAB身提供部函数interp1法：
interp1(xyxi) 维插值
◆ yiinterp1(xyxi)
组点(xy) 进行插值计算插值点xi函数值x节点量值y应节点函数值果y 矩阵插值y 列进行y 维数超出x xi 维数返回NaN
◆ yiinterp1(yxi)
格式默认x1n n量y元素数值等矩阵ysize(y1)
◆ yiinterp1(xyxi’method’)
method指定插值算法默认线性算法值常字符串
● nearest 线性项插值
● linear 线性插值
● spline 三次样条插值
● cubic 三次插值
插值方法求x单调x 非连续等距
正弦曲线插值示例：
>> x00110
>> ysin(x)
>> xi002510
>> yiinterp1(xyxi)
>> plot(xy’0’xiyi)
相应插值曲线（读者机实验）
Matlab够完成二维插值运算相应函数interp2方法interpl基相输入输出参数矩阵应二维面数点详细法见Matlab联机帮助
712 二法拟合
科学实验统计方法研究中组实验数中寻找出变量x 变量y间函数关系yf(x) 观测数够准确求yf(x)点 求定点误差某种标准达通常采欧氏范数作误差量度标准谓二法MATLAB中实现二法拟合通常采
polyfit函数进行
函数polyfit指项式函数已知数进行拟合列数例介绍函数法：
>> x0011
>> y[ 0447 1978 328 616 708 734 766 956 948 930 112 ]
polyfit首先必须指定希少阶项式数进行拟合果指定阶项式结果线性似通常称线性回选择二阶项式进行拟合
>> P polyfit (x y 2)
P
98108 201293 00317
函数返回项式系数行量写成项式形式：
较拟合结果绘制两者图形：
>> xilinspace (0 1 100) 绘图X轴数
>> Zpolyval (p xi) 项式数点处值
然选择更高幂次项式进行拟合10阶：
>> ppolyfit (x y 10)
>> xilinspace (0 1100)
>> zployval (p xi)
读者机绘图进行较曲线数点附更加接数点测量值整体说曲线波动较定适合实际需进行高阶曲线拟合时越高越观点定
72 符号工具箱应
数学应中常常需做极限微分求导数等运算MATLAB称运算符号运算MATLAB符号运算功通调符号运算工具箱(Symbolic Math Toolbox)工具实现核Maple数学软件MATLAB符号运算工具箱包含微积分运算化简代换解方程等方面工具详细容通MATLAB系统联机帮助查阅节仅常功做简单介绍
721 符号变量符号表达式
MATLAB符号运算工具箱处理象符号变量符号表达式实现符号运算首先需处理象定义符号变量符号表达式定义格式：
格式1： sym (变量名’) sym (表达式’)
功： 定义符号变量符号表达式
例：
>> sym (x’) 定义变量x符号变量
>> sym(x+1’) 定义表达式x+1符号表达式
格式2： syms 变量名1 变量名2 …… 变量名n
功： 定义变量名1变量2 ……变量名 n符号变量
例：
>> syms a b x t 定义ab xt 均符号变量
722 微积分运算
1极限
格式：limit (f t a left’ or right’)
功：求符号变量t 趋a 时函数f （左右）极限left’ 表示求左极限right’ 表示求右极限省略时表示求般极限a省略时变量t 趋0 t省略时默认变量x x寻找（字母表）接字母x 变量
例：求极限命令结果：
>> syms x t
>> limit ((1+2*tx)^(3*x) x inf )
ans
exp(6*t)
求函数x |x| 时左极限右极限命令结果：
>> syms x
>> limit(xabs(x) x 0 ’left’) ans 1
>> limit(xabs(x)x 0 ’right’) ans 1
2导数
格式： diff (ftn)
功： 求函数f 变量 tn 阶导数n省略时默认 n1t省略时默认变量x x时查找字母表接字母x 字母
例：求函数fa*x^2+b*x+c变量 x阶导数 命令结果
>> syms a b c x
>> fa*x^2+b*x+c
>> diff(f)
ans
2*a*x+b
求函数f 变量b阶导数(作求偏导) 命令结果
>> diff(fb) ansx
求函数f 变量x二阶导数 命令结果
>> diff(f2) ans2*a
3积分
格式： int(ftab)
功： 求函数f 变量 ta b定积分 ab省略时求定积分t省略时 默认变量(字母表)接字母x变量
例：求函数fa*x^2+b*x+c变量x定积分 命令结果
>> syms a b c x
>> fa*x^2+b*x+c
>> int(f)
ans
13*a*x^3+12*b*x^2+c*x
求函数f 变量b定积分 命令结果
>> int(fb)
ans
a*x^2*b+12*b^2*x+c*b
求函数f 变量x 15定积分 命令结果
>> int(f15)
ans
1243*a+12*b+4*c
4级数求
格式： symsum (stab)
功：求表达式s中符号变量t第a项第b项级数
例： 求级数前三项 命令结果
>> symsum(1x13) ans116
723 化简代换
MATLAB符号运算工具箱中包括较代数式化简代换功面仅举出部分常见运算
simplify 利种恒等式化简代数式
expand 积展开式
factor 项式转换积形式
collect 合类项
horner 项式转换嵌套表示形式
例：进行合类项执行
>> syms x
>> collect(3*x^305*x^3+3*x^2)
ans
52*x^3+3*x^2)
进行式分解执行
>> factor(3*x^305*x^3+3*x^2)
ans
12*x^2*(5*x+6)
724 解方程
1代数方程
格式：solve (ft)
功：变量t 解方程f0t 缺省时默认x 接字母x 符号变量
例：求解元二次方程fa*x^2+b*x+c实根
>> syms a b c x
>> fa*x^2+b*x+c
>> solve (fx)
ans
[12a*(b+(b^24*a*c)^ (12))]
[12a*(b(b^24*a*c)^ (12))]
2微分方程
格式：dsolve(s’ ’s1’ ’s2’… ’x’)
中s方程s1s2……初始条件缺省时出含意常数c1c2……通解x变量缺省时默认t
例：求微分方程通解
>> dsolve(Dy1+y^2’)
ans
tan(t+c1)
73 优化工具箱应
工程设计济理科学研究等诸领域中常常会遇样问题：切方案中选择优方案数学类问题称优化问题类问题例设计机械零件时保证强度前提重量轻量省（然偷工减料外）确定参数承载力高安排生产时现力设备条件合理安排生产产品总产值高确定库存时保证销售量前提库存成物资调配时组织运输运输费少属优化问题研究象
MATLAB优化工具箱放toolbox目录optim子目录中中包括干常求解函数优化问题程序MATLAB优化工具箱断完善版MATLAB工具箱完全相MATLAB53版中优化工具箱作全面改进原常程序重新编制新程序fzerofsolve外重新起名字新程序套新控制算法选项原程序相新程序功增强MATLAB5360版中原优化程序（fzerofsolve外）然保留迟早会撤消鉴述情况书介绍新常优化程序
731 线性规划问题
线性规划优化理发展成熟应广泛分支MATLAB优化工具箱中求解述线性规划问题
（线性等式约束）
（线性等式约束）
（界约束）
函数linprog 格式：
[x fval exitflag output lambda] linprog(c A b A1 b1 LB UB x0 options)
中linprog函数名中括号括号中含参数输入输出变量参数法说明：
（1）c Ab缺省输入宗量x缺省输出宗量问题解
（2）x界时LB处放置[ ]界时UB处放置[ ] 果x某分量界置LB(i)inf 果界置UB(i)inf 果线性等式约束Ab处放置[ ]
（3）x0解初始似值
（4）options控制算法选项参数量
（5）输出宗量fval目标函数解x处值
（6）输出宗量exitflag值描述程序运行情况果exitflag值0程序收敛解x果exitflag值等0函数计算达次数果exitflag值0问题行解程序运行失败
（7）输出宗量output输出程序运行某信息
（8）输出宗量Lambda解x处值 Lagrange子
例：求解线性规划问题
min
解：命令窗口中键入
>> c[211] a[141 221] b[4 12] a1[112] b16
>> lb[0 0 inf] ub[inf inf 5]
>> [x z]linprog(caba1b11bub)
运行：
x
46667
00000
06667
z
86667
732 非线性约束优化
MATLAB优化工具箱中求解述非线性规划问题
（线性等式约束）
（线性等式约束）
（非线性等式约束）
（非线性等式约束）
（界约束）
函数fmincon 格式：
[x fval exitflag output lambda grad hessian]fmincon(fun’ x0 A b A1 b1 LB
UB nonlcon’ options p1 p2……)
中fmincon函数名参数法线性规划中相面介绍非线性规划特：
（1）fun’x0缺省输入宗量fun出目标函数M文件名字x0极值点初始似值x缺省输出宗量问题解
（2）nonlcon 出非线性约束函数M文件文件名
（3）宗量p1p2…目标函数传送参数值
（4）输出宗量grad目标函数解x处梯度
（5）输出宗量hessian目标函数解x处Hessian矩阵
例：求解非线性规划问题
min
解：建立目标函数M文件
function ynline (x)
yexp (x(1))*(4*x(1)^2+2*x(2)^2+4*x(1)*x(2)+2*x(2)+1)
建立非线性约束条件M文件
function [c1 c2]nyueshu (x)
c1[15+x(1)*x(2)x(1)x(2) x(1)*x(2)10]
c20
命令窗口中键入
>> x0[11] a[1 1] b1 a1[11] b10
>> [x f]fmincon (nline’ x0 a b a1 b1 [ ] [ ] nyueshu’)
运行：
x
12247 12247
f
18951
733 二次规划问题
二次规划数学模型般形式：
中H称矩阵约束条件线型规划相MATLAB优化工具箱中求解述规划问题程序：
[x fval exitflag output lambda] quadprog(H c A b A1 b1 LB UB x0 options)
中quadprog函数名参数法说明线性规划里赘述
例求解二次优化问题
解：目标函数化标准形式
命令窗口中键入
>> H[2 0 0 2] c[8 10] a[3 2] b6 lb[0 0] x0[11]
>> xquadprog (H c a b [ ] [ ] lb [ ] x0)
运行：
x
03077
25385
734 foptions 函数
优化控制MATLAB提供18参数参数优化进行起者关键作面参数选择函数foptions作详细介绍
● foptions优化函数调中参数选择参数具体意义：
options(1) 参数显示控制（默认值0）等1时显示结果
options(2) 优化点x精度控制（默认值1e –4）
options(3) 优化函数F精度控制（默认值1e –4）
options(4) 违反约束结束标准（默认值1e –6）
options(5) 策略选择常
options(6) 优化程序方法选择值0时BFGS算法值1时采DFP算法
options(7) 线性插值算法选择值0时混合插值算法值1时采立方插值算法
options(8) 函数值显示（目标达问题中Lambda）
options(9) 需检测户提供导数设1
options(10) 函数约束求值数目
options(11) 函数导数求值数
options(12) 约束求值数目
options(13) 等式约束数目
options(14) 函数求值次数（默认值100变量数）
options(15) 目标达问题中特殊目标
options(16) 优化程中变量梯度值
options(17) 优化程中变量梯度值
options(18) 步长设置（默认值1更）
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