科毕业设计
题
目
基点法电力系统优潮流算法研究
XX 学
毕 业 设 计（文）
题目： 基点法电力系统优潮流算法研究
XX学电气工程学院
20XX年X月X日
摘
着电力系统规模断扩找系统功率优运行状态越发显重电力系统优潮流计算研究重性便日益凸显优潮流实际通改变系统中控制变量达相约束条件情况系统中某项指标运行工作状态种优潮流计算方法中点法收敛快速迭代次数系统规模没什关系易出错点法成求解规模电力系统优潮流实方法
文原偶点法进行详细介绍出具体数学推导公式建立电力系统优潮流计算模型合理处理等式等式约束条件利IEEE14标准测试系统作算例MATLAB数学软件进行编程计算验证文提供计算方法正确性
关键词：电力系统优潮流原偶点法约束条件
ABSTRACT
With the enlargement of power system scale finding the most advantages of power system operation is also becoming increasingly important so the importance of studying on optimal power flow calculation of power system is becoming increasingly prominent Optimal power flow is actually under the condition of reaching some relative constraints to make an index in the system operate in the best working state through changing the control variables of the system In various methods of optimal power flow calculation the interior point method fast convergence and the number of iterations has nothing to do with the scale of the system and is not easy to make a mistake which let the interior point method become one of the most practical method for solving the optimal power flow in large scale power system This paper introduces the PrimalDual Interior Method in detail then given the specific mathematical derivation formula and established optimal power flow calculation model Handling the various equality constraints and inequality constraints
Then use IEEE14 standard test system as an example using MATLAB programming mathematical computing software verify the reasonableness of the calculation method the paper provide
Key words Power Systems OPF PrimalDual Interior Method Constraint conditions
目 录
摘 I
ABSTRACT II
目 录 III
1绪 1
11引言 1
12电力系统优潮流计算发展历史现状 1
13文做工作 2
2电力系统优潮流算法介绍 4
21优潮流计算基数学模型 4
211目标函数 4
212等式约束条件 5
213等式约束条件 5
22电力系统优潮流算法简介 6
221 线性规划法 6
222 二次规划法 6
223 牛顿法 7
224 点法 7
225电力系统优潮流计算新兴算法 8
3原偶点法 9
31原偶点法数学原理 9
32目标函数收敛条件 12
33 初值选取 12
34 利原偶点法进行潮流计算方法 13
4基原偶点法电力系统优潮流计算 15
41电力系统优潮流计算中项数学模型 15
411优潮流计算目标函数 15
412优潮流计算等式约束条件 15
413优潮流计算等式约束条件 16
42项数学模型具体表达 16
421目标函数偏导数相应矩阵 16
422等式约束偏导数相应矩阵 17
423等式约束偏导数相应矩阵 21
424模型中节点等式约束条件处理 24
43算例分析 25
431 MATLAB简介 25
432具体计算流程 25
433 IEEE14标准测试系统运算结果 26
5总结展 29
51文总结 29
52展 29
参考文献 30
附录IEEE14标准测试系统数 32
致 谢 34
1绪
11引言
世界生活已法离开电电毫争议成世界重源作负担电产生输送分配消费电力系统更世界重复杂系统合理控制电力系统电力系统运行佳状态（电力系统优潮流计算）然受国外学者广泛关注
谓优潮流指系统结构参数种负荷情况定时通调整定种控制变量满足电力系统中约束条件前提系统某项性指标运行佳状态时电力系统功率流分布[1]电力系统优潮流研究研究电力系统运行重组成部分研究类问题电力系统中保证安全电质量前提达电力系统优运行状态具十分重意义
12电力系统优潮流计算发展历史现状
电力系统优潮流计算历史早追回第二十世纪时典济调度法具计算简单收敛速度快适合实时性应等优点时广泛应优潮流计算中着电力系统规模断扩典济调度法已难完成时电力系统优潮流计算项求促研究员断寻求更加高效优潮流计算理代济调度法
着计算机高速发展电力系优统潮流计算进入新殿堂计算速度十分迅速计算机规模优潮流计算成初始阶段普遍采计算机存求较导纳法（高斯塞德尔迭代法）计算优潮流20世纪60年代计算机存容量计算速度提升存求较高具导纳法更收敛性阻抗法广泛应着电力系统规模断扩阻抗法计算量存求高缺点次显现出
克服困难70年代提出新潮流计算方法——牛顿拉夫逊法（简称牛顿法）优潮流计算理中牛顿法节点导纳矩阵基础利稀疏矩阵稀疏性直接拉格朗日KKT条件（KarushKuhnTucker Conditions非线性规划中否优解充分必条件）进行牛顿法迭代求解[2]尤采佳序消法牛顿法收敛性计算存求甚整计算速度方面远远
超阻抗法直天牛顿法然广泛广学者牛顿法基础提出许优秀优潮流计算方法
80年代提出具项式计算复杂性点法成潮流计算历史次重突破年基点理非线性规划法优潮流计算研究中已成功应[35]基L1范数模型点理潮流算法[6]基Taylor级数法优潮流计算[7]基点理半定规划法（SDP）等方法[8]
理考虑电力系统处稳定运行状态静态安全约束电力系统实际动态系统常规方法难动态运行电网动态安全性做出保证年研究者已开始优潮流中暂态稳定约束考虑研究范围中[9]建立应新优潮流模型
着现代科学技术发展智化科学理运电力系统优潮流计算中算法般称现代智算法[10]具全局收敛性遗传算法基群体智演化计算技术粒子群算法模拟固体退火物理程模拟退火法等等[11]
然目前已拥众计算理先进计算工具目前优潮流实时性应方面然面着巨挑战两方面原：首先着社会飞速发展电力系统规模相应断扩直接导致电力系统优潮流模型里面包含种约束条件数量断增加计算量然会相应断增加优潮流计算速度相变缓慢法短时间完成优化法满足实时性求次目前绝数优潮流理数学模型考虑系统处正常状态约束条件[12]果考虑障状态约束条件话优潮流计算计算量毫疑问变更加巨收敛时间会变更加漫长电力系统优潮流计算研究漫长道路
13文做工作
文电力系统优潮流计算方法进行简分析做工作：
（1）简介绍电力系统优潮流计算意义发展历程
（2）介绍目前电力系统优潮流计算种常见计算方法
（3）详细介绍原偶点法出点法具体数学推导公式确认障碍参数迭代步长计算初始值判断收敛条件简化修正方程减少计算步骤提高整体计算速度
（4）基原偶点法建立电力系统优潮流计算模型确定系统目标函数
等式等式约束条件然进行电力系统优潮流计算利数学计算软件计算优潮流验证该算法正确性
2电力系统优潮流算法介绍
电力系统优潮流计算早世纪60年代提出国学者十年断研究完善目前已出现许优秀优潮流计算方法：线性规划法二次规划法牛顿法点法新型算法等文简介绍方法
21优潮流计算基数学模型
目前电力系统优潮流数学模型基条件建立：
（1）投入运行火电（核电）机组已知（解决机组停开问题）
（2）水电机组出力已确定（水库济调度决定）
（3）电力系统网络结构已确定（考虑接线方式网络变化问题）[13]
数学表达优潮流问题带着约束条件优化问题构成：目标函数等式约束条件等式约束条件三部分
211目标函数
电力系统优潮流计算中着目标函数常见系统运行成系统功传输功率损耗两种电力系统优潮流模型中目标函数般数学表达式：
(21)
面表达式中控制变量机组功功出力变压器抽头位置联电抗器电容器容量等等状态变量节点电压条支路功率等
电力系统中功优化目标函数般求发电机发电成达目标函数表达式：
（22）
式中分发电机成函数二次项系数次项系数常数g发电机数
电力系统功优化目标函数般系统中网损达相应目标函数
：
（23）
式中P线路损耗
212等式约束条件
优潮流等式约束条件潮流计算中基潮流方程式表示：
（24）
式中计算模型中相应约束条件：
（25）
式中发电机节点i发出功率节点i负荷吸收功率节点i净注入功率
213等式约束条件
电力系统优潮流计算中等式约束：
（1）发电机功补偿装置出力限
（2）变压器变限
（3）节点电压幅值限
（4）节点间电压相角限
（5）条支路功率限
述等式约束数学表达式概括：
（26）
式中分限
电力系统优潮流基数学模型面表达式表示：
（27）
22电力系统优潮流算法简介
电力系统优潮流计算复杂非线性计算问题目前国外学者年研究提出许计算方法文介绍种常见优潮流计算方法
221 线性规划法
数学电力系统优潮流问题典非线性问题线性规划法非线性问题转化成线性问题进求解出优潮流计算方法该方法通常非线性问题分成干段该段利线性化方法求似解段分越段非线性问题越接线性问题利线性规划方法求似解越接该非线性问题真实解段分足够利线性化方法求结果够满足计算精度求线性规划法1968年威尔斯首次提出方法求解安全约束济调度问题[14]1970年shenlaughton提出利偶线性规划技术采修正单纯形法求解优潮流[15]方法原理简单够快速处理种计算精度差计算规模变收敛性变差法适规模电力系统计算中
222 二次规划法
质说二次规划法非线性规划法中种特殊情况目标函数表达形式接二次函数时候种计算方法适优潮流计算1973年 ReidHasdorf二早提出二次规划法求解优潮流济调度问题方法引工变量目标函数似成二次函数然泰勒展开式约束条件线性化线性规划方法中弗兰克沃尔夫算法解优解该算法收敛性受步长惩罚子影响计算时间会着系统规模增明显延长适合求解规模电网优潮流[16]直1982年利二次规划法进行优潮流计算研究突破性进展Burchett等原非线性模型分解成系列二次规划子问题然运增广拉格朗日法
行点寻找原问题优解2000节点系统测试证明算法运算速度鲁棒性提高[17]
223 牛顿法
David sun等1984年提出利牛顿法求解优潮流优化电力系统功功率方法提出优潮流算法应实际成优潮流实化次巨飞跃[18]种方法拉格朗日法处理潮流计算模型中等式约束利惩罚函数处理等式约束牛顿法电力系统节点导纳矩阵稀疏性结合起减优潮流计算计算量牛顿法优点收敛速度快利稀疏技术节约存适规模电力系统优潮流计算牛顿法存着缺点首先难确定起作等式约束集谓起作等式约束集指优解正处某约束集定义行域边界约束集称起作等式约束集[19]次次迭代程中牛顿法需计算相关海森矩阵逆矩阵计算量颇牛顿法着述缺陷具稀疏矩阵特点牛顿法优潮流计算然着巨优势少学者关注着类方法
224 点法
点法早1954年Frish提出[20]时科学计算技术限制点法时流计算方法相时没发展直1984年karmarkar提出种具项式计算复杂性点法[21]点法研究算真正突破该方法计算速度超时常优潮流计算方法单纯形法50倍目前点法已广泛应电力系统优潮流计算中成目前优潮流计算流算法
质讲点法牛顿法数障碍函数法拉格朗日函数法三种方法结合基思想行域点出发接着着行域方找目标函数降快新点然新点继续着行域方找目标函数降快新点周复始直目标函数达优值[22]点法具计算速度快迭代次数系统规模初值求高数值鲁棒性强等优点受广学者密切关注国外学者年断研究目前形成三类点算法：
（1）投影尺度法
（2）仿射尺度法
（3）路径踪法（原偶点法）[23]
然点法存着许足处原偶点法偶变量初值修正变量参数选取尚统选取方法参数需者根验出没规律循外迭代时步长选取离散变量处理等方面点法然法出具体明确方法点法然需广学者进步探索研究
225电力系统优潮流计算新兴算法
优潮流新兴算法起源20世纪80年代类计算方法基定然现象者原理建立类算法般称作智优化算法[24]
传统潮流计算方法相新型智优化算法数学方面导数关求解效率高复杂优化问题求解传统计算方法相更具拟优势目前类算法已引起国外学者广泛关注研究目前智算法已成功应电力系统优潮流求解取错效果[25]智优化算法中较具代表性算法：遗传算法拟退火算法粒子群算法工免疫算法等[26]
3原偶点法
点法理中原偶点法已理证明具收敛快精度高稳定性等优点目前已广泛运优潮流计算中逐步取代传统算法成优潮流算法中流算法
31原偶点法数学原理
优潮流问题典型非线性规划问题数学模型前文描述表达式（27）表示：
原偶点法求解面方程时先面数学模型进行处理
（1）引入松弛变量约束条件中等式约束变成等式约束
（2）引入数障碍函数松弛变量非负求消
（24）式化形式：
（31）
式中 松弛变量表示障碍参数
（31）样表达式拉格朗日法求解（31）构造拉格朗日函数：
（32）
式中拉格朗日子称偶变量称原变量
求（32）式优值（32）式应满足KKT条件：
（33）
式中（r1）
显然（33）KKT条件非线性方程组牛顿法处理面方程组首先（33）线性化：
（34）
面方程组表达成矩阵形式稍加整理：
（35）
式中：
通消元法（35）系数矩阵化成行阶梯形修正方程：
（36）
式中：
求解述矩阵方程先求解中子矩阵：
求然带入（36）求解求结果：
（37）
便求出修正变量值初始值加修正量便构成新次迭代初始值方程够正确快速收敛应确定次迭代修正量步长修正量前系数知第k+1次迭代初值列表达式确定：
（38）
式中原变量迭代步长偶变量迭代步长两值方式选取步长[27]：
（39）
根（38）（39）算式断更新次迭代初值带入（36）中求新修正量反复迭代直求优解
32目标函数收敛条件
（25）式知道求解优潮流求目标函数优值通原偶点法求面函数优值
（310）
根FiaccoMcCormick理[28]迭代程中果递减0（310）优解优解求解（310）时候希够迭代程中障碍参数消迭代程中取值收敛0确定取值表达式（33）中第五第六项联立起：
（311）
解：中称互补间隙迭代程中值方程数确定迭代中确定Gap收敛0确定优解文中采计算方法确定障碍参数目标函数快速收敛：
（312）
式中中心参数文中
33 初值选取
原偶点法潮流计算理中[29]初值选取满足两非负条件求
：
方面没什严格求
34 利原偶点法进行潮流计算方法
利原偶点法进行潮流计算步骤：
（1）设置原变量偶变量初值迭代次数k0迭代次数精度等数
（2）确定优潮流计算目标函数等式约束条件等式约束条件
（3）引入松弛变量数障碍函数等式约束条件化等式约束条件
（4）利拉格朗日函数消优潮流计算模型中等式约束条件
（5）写出（32）式优解KKT条件线性化（36）式
（6）计算互补间隙障碍参数果障碍参数定精度停止循环输出潮流计算优解否进行面步
（7）求解修正方程（36）修正变量
（8）利（38）式解新次迭代原变量偶变量
（9）kk+1然回第六步进行新次迭代计算
样反复迭代直计算结果满足精度求解潮流计算优解
计算流程图：
图31 原偶点法计算流程图
4基原偶点法电力系统优潮流计算
电力系统优潮流计算中原偶点法收敛速度快初值求高鲁棒性强迭代次数系统规模关优点广泛应电力系统优潮流计算中[30]文电力系统优潮流计算中应作简单介绍
41电力系统优潮流计算中项数学模型
411优潮流计算目标函数
实际应中般会发电成者功功率损耗二者作目标函数文中求电力系统中发电成优潮流计算目标函数文求解目标函数数学模型：
（41）
式中分发电机成函数二次项系数次项系数常数g发电机数
两种目标函数外目标函数叙述
412优潮流计算等式约束条件
优潮流模型中等式约束条件电力系统中功率衡极坐标表示：
（42）
式中分应发电机功功输出分应节点功功负载分相应节点电压幅值分节点i节点j间电导电纳节点i节点j间相位差
413优潮流计算等式约束条件
优潮流计算等式约束发电机出力限制变压器分接头限制负载限制节点电压限制条线路电流功率限制等等拥等式约束果全部考虑进潮流优计算中优潮流问题变复杂甚法完成优计算文中简化计算考虑较常见约束作等式约束条件文算等式约束考虑计算中：
（1）发电机功功出力值
（2）节点电压幅值值
（3）线路传输电流值（线路功率限制）
等式约束条件计算方便暂时考虑进文潮流计算中述等式约束条件数学表达式表示：
（43）
42项数学模型具体表达
利原偶点法进行潮流计算中修正变量通（36）求面介绍原偶点法中项数学表达式具体表达假设整系统中n节点g台发电机l条支路p台功补偿设备状态变量数a（2n1+g+p）等式约束条件数b2n等式约束条件数c(n1+g+l+p)
421目标函数偏导数相应矩阵
目标函数阶偏导数雅矩阵[21]：
（44）
相应二阶偏导数海森矩阵[31]：
（45）
中
422等式约束偏导数相应矩阵
等式约束条件阶偏导数雅矩阵：
（46）
中
n1n时等式约束二阶偏导数海森矩阵：
(47)
中：
FCTD具体数学表达式：
nn2n时等式约束二阶偏导数海森矩阵：
(48)
中：
FCTD具体数学表达式：
423等式约束偏导数相应矩阵
等式约束阶偏导数雅矩阵：
（49）
矩阵中表示：
相应二阶偏导数海森矩阵：
i1g时：
（410）
ig+1g+r时：
（411）
ig+r+1g+r+n1时：
（412）
ig+r+ng+r+n+l时：
（413）
中：
424模型中节点等式约束条件处理
电力系统优潮流计算模型中类型节点等式约束条件般节点分PQ节点PV节点衡节点三种[32]
PQ节点知道功功率功功率知道电压幅值相角文中等式约束条件：
PV节点已知功功率电压幅值未知功功率电压相角文中等式约束条件：
衡节点知道电压幅值相角功功率功功率知道文中等式约束条件：
43算例分析
文采IEEE14标准测试系统数进行分析测试采MATLAB R2014a软件作优潮流计算实现工具
431 MATLAB简介
MATLAB美国The MathWorks公司出品款商业数学软件算法开发数视化数分析数值计算[33]MATLAB作数学科学计算应软件强计算力受国外户致评目前MATLAB计算软件已广泛应工程计算控制设计信号处理图处理等专业领域[34]
MATLAB计算方式矩阵基单位进行表达方式日常中数学工程计算中常形式非常类似MATLAB编写程序c语言相更加通俗易懂完成样务指令简洁目前MATLAB已加入C语言等语言支持直接调语言户直接编写语言直接导入函数库中便调种种实功户十分方便MATLAB软件进行计算
432具体计算流程
利MATLAB数学计算软件原偶点法进行优潮流计算流程图：
图41利MATLAB计算优潮流流程图
433 IEEE14标准测试系统运算结果
文采IEEE14标准测试系统系统利原偶点法该系统优潮流计算进行测试IEEE14标准测试系统具体数参见附录
系统功率数标幺值表示功率基准值100MVA电压相角单位度幅值标幺值相应基准值该节点额定电压幅值电压限110095系统数
中发电机相连PV节点*衡节点余均PQ节点变正表示非标准变首段反表示非标准变末端正号表示联电容电纳负号表示电抗电纳
文中计算方便初值选取取值1取值05取参数额定标幺值精度文设置精度障碍参数106
具体计算结果
表41 IEEE14标准测试系统计算结果
节点号
发电机功
发电机功
电压幅值
电压相角
负荷功
负荷功
1
07520
02454
10500
00000
00000
00000
2
02000
01761
10500
00305
02170
01270
3
07581
02706
10500
00651
09420
01900
4
00000
00000
10344
00588
04780
00390
5
00000
00000
10332
00473
00760
00160
6
04500
00773
10500
00527
01120
00750
7
00000
00000
10475
00429
00000
00000
8
04500
00310
10500
00292
00000
00000
9
00000
00000
10431
00798
02950
01660
10
00000
00000
10366
00803
00900
00580
11
00000
00000
10396
00690
00350
00180
12
00000
00000
10356
00691
00610
00160
13
00000
00000
10309
00717
01350
00580
14
00000
00000
10195
00943
01490
00500
计算时0758637 秒47次迭代终达求精度互补间隙Gap收敛趋势图：
图42 互补间隙变化趋势图
Gap收敛趋势图出互补间隙总体呈现递减趋势变化趋势刚开始降时候变化十分迅速着迭代次数增加变化趋势逐渐变缓慢次修正效率变高出方法精度求太高时够快速收敛计算精度求高时候收敛速度变慢计算整体方面收敛速度较令满意
5总结展
51文总结
电开始规模应找电力系统运行优状态便直广电力研究工作者关心问题广国外学者直进行研究断提出改进种样优潮流计算理希够找优潮流计算方法优潮流计算理方法中点法算种相较优异计算方法点法计算优潮流计算时间重复迭代次数会着电力系统规模增加增初值求高种种特点体现出点法优异特性优潮流计算中优势
文研究利原偶点法进行优潮流计算完成工作：（1）介绍优潮流发展概略说明目前优潮流种流行计算方法详细介绍原偶点法出详细数学推导（2）建立电力系统优潮流计算数学模型利原偶点法类约束进行适处理利IEEE14标准测试系统进行测试计算
文章点法进行初步探讨研究然存着足处首先文计算方便等式约束选取发电机功率节点电压线路电流约束条件变压器变线路功率限制等等式约束未考虑进存着缺陷次算法中次迭代修正方未出良方案迭代时偶尔出现矫正方出现错误现象计算中迭代开始阶段算法收敛速度快着迭代次数增加算法收敛速度降快没够始终保持快速收敛目
52展
电力系统庞复杂系统优潮流计算中约束条件相错综复杂国外广学者优潮流进行研究取数重成果优潮流计算研究然法全面适实际情况然需广电力研究员停研究创新
参考文献
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[29] Capitanescu F Glavic M Ernst D et al Interiorpoint based algorithms for the solution of optimal power flow problems[J] Electric Power systems research 2007 77(5) 508517
[30] 程军 带优子电力系统点功优化算法[D] 华中科技学 2007
[31] 史荣昌 矩阵分析[M] 北京理工学出版社 1996
[32] 仰赞 温增银 电力系统分析[M] 华中科技学出版社 2002
[33] MATLAB 70 入门精通[M] 民邮电出版社 2010
[34] 张雪峰 李文林 Matlab 高等数学中点应[J] 安阳师范学院学报 2009 (5) 121123
附录IEEE14标准测试系统数
表A11 节点数潮流结果
节点号
电压幅值
电压相角
发电机功
发电机功
负荷功
负荷功
*1
10600
00000
23284
01490
00000
00000
2
10450
49932
04000
04904
02170
01270
3
10100
127562
00000
02744
09420
01900
4
10119
102191
00000
00000
04780
00390
5
10158
87718
00000
00000
00760
00160
6
10700
146373
00000
02960
00020
00750
7
10400
131591
00000
00000
00000
00000
8
10900
131591
00000
03092
00000
00000
9
10128
147385
00000
00000
02950
01660
10
10512
150016
00000
00000
00900
00580
11
10386
149273
00000
00000
00350
00180
12
10543
152025
00000
00000
00610
00160
13
10443
153941
00000
00000
01350
00580
14
10080
160750
00000
00000
01490
00500
系统总功率
27284
12210
25900
07350
表A12 发电机济参数出力限值
节点号
a
b
c
功限
功限
功限
功限
1
6300
2000
0
10
01
20
03
2
3500
1750
0
05
02
10
02
3
12500
1000
0
08
015
08
015
6
1668
3250
0
045
01
06
015
8
5000
3000
0
045
01
05
01
表A13 联电容数
节点号
电纳（标幺值）
调限
分段步长
9
019
050
010
表A14 变压器支路数
支路号
首末端节点号
电阻
电抗
变
变限
变限
额定电流
1
4~7
00
020912
0978
110
090
065
2
1~2
00
055168
0969
110
090
040
3
5~6
00
025202
0932
110
090
065
表A15 线路数
支路号
首末端节点号
支路电阻
支路电抗
电纳2
额定电流
1
1~2
001938
005917
002640
342
2
2~3
004699
019797
002190
171
3
2~4
005811
017632
001870
171
4
1~5
005403
022304
002460
171
5
2~5
005695
017388
001700
171
6
3~4
006701
017103
001730
171
7
4~5
001335
004211
000640
171
8
7~8
000000
017615
000000
050
9
7~9
000000
011001
000000
065
10
9~10
003181
008450
000000
050
11
6~11
009498
019890
000000
050
12
6~12
012291
015581
000000
050
13
6~13
006615
013027
000000
050
14
9~14
012711
027038
000000
050
15
10~11
008205
019207
000000
050
16
12~13
022092
019988
000000
050
17
13~14
017093
034802
000000
050
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科毕业设计
题
目
基点法电力系统优潮流算法研究
XX 学
毕 业 设 计（文）
题目： 基点法电力系统优潮流算法研究
XX学电气工程学院
20XX年X月X日
摘
着电力系统规模断扩找系统功率优运行状态越发显重电力系统优潮流计算研究重性便日益凸显优潮流实际通改变系统中控制变量达相约束条件情况系统中某项指标运行工作状态种优潮流计算方法中点法收敛快速迭代次数系统规模没什关系易出错点法成求解规模电力系统优潮流实方法
文原偶点法进行详细介绍出具体数学推导公式建立电力系统优潮流计算模型合理处理等式等式约束条件利IEEE14标准测试系统作算例MATLAB数学软件进行编程计算验证文提供计算方法正确性
关键词：电力系统优潮流原偶点法约束条件
ABSTRACT
With the enlargement of power system scale finding the most advantages of power system operation is also becoming increasingly important so the importance of studying on optimal power flow calculation of power system is becoming increasingly prominent Optimal power flow is actually under the condition of reaching some relative constraints to make an index in the system operate in the best working state through changing the control variables of the system In various methods of optimal power flow calculation the interior point method fast convergence and the number of iterations has nothing to do with the scale of the system and is not easy to make a mistake which let the interior point method become one of the most practical method for solving the optimal power flow in large scale power system This paper introduces the PrimalDual Interior Method in detail then given the specific mathematical derivation formula and established optimal power flow calculation model Handling the various equality constraints and inequality constraints
Then use IEEE14 standard test system as an example using MATLAB programming mathematical computing software verify the reasonableness of the calculation method the paper provide
Key words Power Systems OPF PrimalDual Interior Method Constraint conditions
目 录
摘 I
ABSTRACT II
目 录 III
1绪 1
11引言 1
12电力系统优潮流计算发展历史现状 1
13文做工作 2
2电力系统优潮流算法介绍 4
21优潮流计算基数学模型 4
211目标函数 4
212等式约束条件 5
213等式约束条件 5
22电力系统优潮流算法简介 6
221 线性规划法 6
222 二次规划法 6
223 牛顿法 7
224 点法 7
225电力系统优潮流计算新兴算法 8
3原偶点法 9
31原偶点法数学原理 9
32目标函数收敛条件 12
33 初值选取 12
34 利原偶点法进行潮流计算方法 13
4基原偶点法电力系统优潮流计算 15
41电力系统优潮流计算中项数学模型 15
411优潮流计算目标函数 15
412优潮流计算等式约束条件 15
413优潮流计算等式约束条件 16
42项数学模型具体表达 16
421目标函数偏导数相应矩阵 16
422等式约束偏导数相应矩阵 17
423等式约束偏导数相应矩阵 21
424模型中节点等式约束条件处理 24
43算例分析 25
431 MATLAB简介 25
432具体计算流程 25
433 IEEE14标准测试系统运算结果 26
5总结展 29
51文总结 29
52展 29
参考文献 30
附录IEEE14标准测试系统数 32
致 谢 34
1绪
11引言
世界生活已法离开电电毫争议成世界重源作负担电产生输送分配消费电力系统更世界重复杂系统合理控制电力系统电力系统运行佳状态（电力系统优潮流计算）然受国外学者广泛关注
谓优潮流指系统结构参数种负荷情况定时通调整定种控制变量满足电力系统中约束条件前提系统某项性指标运行佳状态时电力系统功率流分布[1]电力系统优潮流研究研究电力系统运行重组成部分研究类问题电力系统中保证安全电质量前提达电力系统优运行状态具十分重意义
12电力系统优潮流计算发展历史现状
电力系统优潮流计算历史早追回第二十世纪时典济调度法具计算简单收敛速度快适合实时性应等优点时广泛应优潮流计算中着电力系统规模断扩典济调度法已难完成时电力系统优潮流计算项求促研究员断寻求更加高效优潮流计算理代济调度法
着计算机高速发展电力系优统潮流计算进入新殿堂计算速度十分迅速计算机规模优潮流计算成初始阶段普遍采计算机存求较导纳法（高斯塞德尔迭代法）计算优潮流20世纪60年代计算机存容量计算速度提升存求较高具导纳法更收敛性阻抗法广泛应着电力系统规模断扩阻抗法计算量存求高缺点次显现出
克服困难70年代提出新潮流计算方法——牛顿拉夫逊法（简称牛顿法）优潮流计算理中牛顿法节点导纳矩阵基础利稀疏矩阵稀疏性直接拉格朗日KKT条件（KarushKuhnTucker Conditions非线性规划中否优解充分必条件）进行牛顿法迭代求解[2]尤采佳序消法牛顿法收敛性计算存求甚整计算速度方面远远
超阻抗法直天牛顿法然广泛广学者牛顿法基础提出许优秀优潮流计算方法
80年代提出具项式计算复杂性点法成潮流计算历史次重突破年基点理非线性规划法优潮流计算研究中已成功应[35]基L1范数模型点理潮流算法[6]基Taylor级数法优潮流计算[7]基点理半定规划法（SDP）等方法[8]
理考虑电力系统处稳定运行状态静态安全约束电力系统实际动态系统常规方法难动态运行电网动态安全性做出保证年研究者已开始优潮流中暂态稳定约束考虑研究范围中[9]建立应新优潮流模型
着现代科学技术发展智化科学理运电力系统优潮流计算中算法般称现代智算法[10]具全局收敛性遗传算法基群体智演化计算技术粒子群算法模拟固体退火物理程模拟退火法等等[11]
然目前已拥众计算理先进计算工具目前优潮流实时性应方面然面着巨挑战两方面原：首先着社会飞速发展电力系统规模相应断扩直接导致电力系统优潮流模型里面包含种约束条件数量断增加计算量然会相应断增加优潮流计算速度相变缓慢法短时间完成优化法满足实时性求次目前绝数优潮流理数学模型考虑系统处正常状态约束条件[12]果考虑障状态约束条件话优潮流计算计算量毫疑问变更加巨收敛时间会变更加漫长电力系统优潮流计算研究漫长道路
13文做工作
文电力系统优潮流计算方法进行简分析做工作：
（1）简介绍电力系统优潮流计算意义发展历程
（2）介绍目前电力系统优潮流计算种常见计算方法
（3）详细介绍原偶点法出点法具体数学推导公式确认障碍参数迭代步长计算初始值判断收敛条件简化修正方程减少计算步骤提高整体计算速度
（4）基原偶点法建立电力系统优潮流计算模型确定系统目标函数
等式等式约束条件然进行电力系统优潮流计算利数学计算软件计算优潮流验证该算法正确性
2电力系统优潮流算法介绍
电力系统优潮流计算早世纪60年代提出国学者十年断研究完善目前已出现许优秀优潮流计算方法：线性规划法二次规划法牛顿法点法新型算法等文简介绍方法
21优潮流计算基数学模型
目前电力系统优潮流数学模型基条件建立：
（1）投入运行火电（核电）机组已知（解决机组停开问题）
（2）水电机组出力已确定（水库济调度决定）
（3）电力系统网络结构已确定（考虑接线方式网络变化问题）[13]
数学表达优潮流问题带着约束条件优化问题构成：目标函数等式约束条件等式约束条件三部分
211目标函数
电力系统优潮流计算中着目标函数常见系统运行成系统功传输功率损耗两种电力系统优潮流模型中目标函数般数学表达式：
(21)
面表达式中控制变量机组功功出力变压器抽头位置联电抗器电容器容量等等状态变量节点电压条支路功率等
电力系统中功优化目标函数般求发电机发电成达目标函数表达式：
（22）
式中分发电机成函数二次项系数次项系数常数g发电机数
电力系统功优化目标函数般系统中网损达相应目标函数
：
（23）
式中P线路损耗
212等式约束条件
优潮流等式约束条件潮流计算中基潮流方程式表示：
（24）
式中计算模型中相应约束条件：
（25）
式中发电机节点i发出功率节点i负荷吸收功率节点i净注入功率
213等式约束条件
电力系统优潮流计算中等式约束：
（1）发电机功补偿装置出力限
（2）变压器变限
（3）节点电压幅值限
（4）节点间电压相角限
（5）条支路功率限
述等式约束数学表达式概括：
（26）
式中分限
电力系统优潮流基数学模型面表达式表示：
（27）
22电力系统优潮流算法简介
电力系统优潮流计算复杂非线性计算问题目前国外学者年研究提出许计算方法文介绍种常见优潮流计算方法
221 线性规划法
数学电力系统优潮流问题典非线性问题线性规划法非线性问题转化成线性问题进求解出优潮流计算方法该方法通常非线性问题分成干段该段利线性化方法求似解段分越段非线性问题越接线性问题利线性规划方法求似解越接该非线性问题真实解段分足够利线性化方法求结果够满足计算精度求线性规划法1968年威尔斯首次提出方法求解安全约束济调度问题[14]1970年shenlaughton提出利偶线性规划技术采修正单纯形法求解优潮流[15]方法原理简单够快速处理种计算精度差计算规模变收敛性变差法适规模电力系统计算中
222 二次规划法
质说二次规划法非线性规划法中种特殊情况目标函数表达形式接二次函数时候种计算方法适优潮流计算1973年 ReidHasdorf二早提出二次规划法求解优潮流济调度问题方法引工变量目标函数似成二次函数然泰勒展开式约束条件线性化线性规划方法中弗兰克沃尔夫算法解优解该算法收敛性受步长惩罚子影响计算时间会着系统规模增明显延长适合求解规模电网优潮流[16]直1982年利二次规划法进行优潮流计算研究突破性进展Burchett等原非线性模型分解成系列二次规划子问题然运增广拉格朗日法
行点寻找原问题优解2000节点系统测试证明算法运算速度鲁棒性提高[17]
223 牛顿法
David sun等1984年提出利牛顿法求解优潮流优化电力系统功功率方法提出优潮流算法应实际成优潮流实化次巨飞跃[18]种方法拉格朗日法处理潮流计算模型中等式约束利惩罚函数处理等式约束牛顿法电力系统节点导纳矩阵稀疏性结合起减优潮流计算计算量牛顿法优点收敛速度快利稀疏技术节约存适规模电力系统优潮流计算牛顿法存着缺点首先难确定起作等式约束集谓起作等式约束集指优解正处某约束集定义行域边界约束集称起作等式约束集[19]次次迭代程中牛顿法需计算相关海森矩阵逆矩阵计算量颇牛顿法着述缺陷具稀疏矩阵特点牛顿法优潮流计算然着巨优势少学者关注着类方法
224 点法
点法早1954年Frish提出[20]时科学计算技术限制点法时流计算方法相时没发展直1984年karmarkar提出种具项式计算复杂性点法[21]点法研究算真正突破该方法计算速度超时常优潮流计算方法单纯形法50倍目前点法已广泛应电力系统优潮流计算中成目前优潮流计算流算法
质讲点法牛顿法数障碍函数法拉格朗日函数法三种方法结合基思想行域点出发接着着行域方找目标函数降快新点然新点继续着行域方找目标函数降快新点周复始直目标函数达优值[22]点法具计算速度快迭代次数系统规模初值求高数值鲁棒性强等优点受广学者密切关注国外学者年断研究目前形成三类点算法：
（1）投影尺度法
（2）仿射尺度法
（3）路径踪法（原偶点法）[23]
然点法存着许足处原偶点法偶变量初值修正变量参数选取尚统选取方法参数需者根验出没规律循外迭代时步长选取离散变量处理等方面点法然法出具体明确方法点法然需广学者进步探索研究
225电力系统优潮流计算新兴算法
优潮流新兴算法起源20世纪80年代类计算方法基定然现象者原理建立类算法般称作智优化算法[24]
传统潮流计算方法相新型智优化算法数学方面导数关求解效率高复杂优化问题求解传统计算方法相更具拟优势目前类算法已引起国外学者广泛关注研究目前智算法已成功应电力系统优潮流求解取错效果[25]智优化算法中较具代表性算法：遗传算法拟退火算法粒子群算法工免疫算法等[26]
3原偶点法
点法理中原偶点法已理证明具收敛快精度高稳定性等优点目前已广泛运优潮流计算中逐步取代传统算法成优潮流算法中流算法
31原偶点法数学原理
优潮流问题典型非线性规划问题数学模型前文描述表达式（27）表示：
原偶点法求解面方程时先面数学模型进行处理
（1）引入松弛变量约束条件中等式约束变成等式约束
（2）引入数障碍函数松弛变量非负求消
（24）式化形式：
（31）
式中 松弛变量表示障碍参数
（31）样表达式拉格朗日法求解（31）构造拉格朗日函数：
（32）
式中拉格朗日子称偶变量称原变量
求（32）式优值（32）式应满足KKT条件：
（33）
式中（r1）
显然（33）KKT条件非线性方程组牛顿法处理面方程组首先（33）线性化：
（34）
面方程组表达成矩阵形式稍加整理：
（35）
式中：
通消元法（35）系数矩阵化成行阶梯形修正方程：
（36）
式中：
求解述矩阵方程先求解中子矩阵：
求然带入（36）求解求结果：
（37）
便求出修正变量值初始值加修正量便构成新次迭代初始值方程够正确快速收敛应确定次迭代修正量步长修正量前系数知第k+1次迭代初值列表达式确定：
（38）
式中原变量迭代步长偶变量迭代步长两值方式选取步长[27]：
（39）
根（38）（39）算式断更新次迭代初值带入（36）中求新修正量反复迭代直求优解
32目标函数收敛条件
（25）式知道求解优潮流求目标函数优值通原偶点法求面函数优值
（310）
根FiaccoMcCormick理[28]迭代程中果递减0（310）优解优解求解（310）时候希够迭代程中障碍参数消迭代程中取值收敛0确定取值表达式（33）中第五第六项联立起：
（311）
解：中称互补间隙迭代程中值方程数确定迭代中确定Gap收敛0确定优解文中采计算方法确定障碍参数目标函数快速收敛：
（312）
式中中心参数文中
33 初值选取
原偶点法潮流计算理中[29]初值选取满足两非负条件求
：
方面没什严格求
34 利原偶点法进行潮流计算方法
利原偶点法进行潮流计算步骤：
（1）设置原变量偶变量初值迭代次数k0迭代次数精度等数
（2）确定优潮流计算目标函数等式约束条件等式约束条件
（3）引入松弛变量数障碍函数等式约束条件化等式约束条件
（4）利拉格朗日函数消优潮流计算模型中等式约束条件
（5）写出（32）式优解KKT条件线性化（36）式
（6）计算互补间隙障碍参数果障碍参数定精度停止循环输出潮流计算优解否进行面步
（7）求解修正方程（36）修正变量
（8）利（38）式解新次迭代原变量偶变量
（9）kk+1然回第六步进行新次迭代计算
样反复迭代直计算结果满足精度求解潮流计算优解
计算流程图：
图31 原偶点法计算流程图
4基原偶点法电力系统优潮流计算
电力系统优潮流计算中原偶点法收敛速度快初值求高鲁棒性强迭代次数系统规模关优点广泛应电力系统优潮流计算中[30]文电力系统优潮流计算中应作简单介绍
41电力系统优潮流计算中项数学模型
411优潮流计算目标函数
实际应中般会发电成者功功率损耗二者作目标函数文中求电力系统中发电成优潮流计算目标函数文求解目标函数数学模型：
（41）
式中分发电机成函数二次项系数次项系数常数g发电机数
两种目标函数外目标函数叙述
412优潮流计算等式约束条件
优潮流模型中等式约束条件电力系统中功率衡极坐标表示：
（42）
式中分应发电机功功输出分应节点功功负载分相应节点电压幅值分节点i节点j间电导电纳节点i节点j间相位差
413优潮流计算等式约束条件
优潮流计算等式约束发电机出力限制变压器分接头限制负载限制节点电压限制条线路电流功率限制等等拥等式约束果全部考虑进潮流优计算中优潮流问题变复杂甚法完成优计算文中简化计算考虑较常见约束作等式约束条件文算等式约束考虑计算中：
（1）发电机功功出力值
（2）节点电压幅值值
（3）线路传输电流值（线路功率限制）
等式约束条件计算方便暂时考虑进文潮流计算中述等式约束条件数学表达式表示：
（43）
42项数学模型具体表达
利原偶点法进行潮流计算中修正变量通（36）求面介绍原偶点法中项数学表达式具体表达假设整系统中n节点g台发电机l条支路p台功补偿设备状态变量数a（2n1+g+p）等式约束条件数b2n等式约束条件数c(n1+g+l+p)
421目标函数偏导数相应矩阵
目标函数阶偏导数雅矩阵[21]：
（44）
相应二阶偏导数海森矩阵[31]：
（45）
中
422等式约束偏导数相应矩阵
等式约束条件阶偏导数雅矩阵：
（46）
中
n1n时等式约束二阶偏导数海森矩阵：
(47)
中：
FCTD具体数学表达式：
nn2n时等式约束二阶偏导数海森矩阵：
(48)
中：
FCTD具体数学表达式：
423等式约束偏导数相应矩阵
等式约束阶偏导数雅矩阵：
（49）
矩阵中表示：
相应二阶偏导数海森矩阵：
i1g时：
（410）
ig+1g+r时：
（411）
ig+r+1g+r+n1时：
（412）
ig+r+ng+r+n+l时：
（413）
中：
424模型中节点等式约束条件处理
电力系统优潮流计算模型中类型节点等式约束条件般节点分PQ节点PV节点衡节点三种[32]
PQ节点知道功功率功功率知道电压幅值相角文中等式约束条件：
PV节点已知功功率电压幅值未知功功率电压相角文中等式约束条件：
衡节点知道电压幅值相角功功率功功率知道文中等式约束条件：
43算例分析
文采IEEE14标准测试系统数进行分析测试采MATLAB R2014a软件作优潮流计算实现工具
431 MATLAB简介
MATLAB美国The MathWorks公司出品款商业数学软件算法开发数视化数分析数值计算[33]MATLAB作数学科学计算应软件强计算力受国外户致评目前MATLAB计算软件已广泛应工程计算控制设计信号处理图处理等专业领域[34]
MATLAB计算方式矩阵基单位进行表达方式日常中数学工程计算中常形式非常类似MATLAB编写程序c语言相更加通俗易懂完成样务指令简洁目前MATLAB已加入C语言等语言支持直接调语言户直接编写语言直接导入函数库中便调种种实功户十分方便MATLAB软件进行计算
432具体计算流程
利MATLAB数学计算软件原偶点法进行优潮流计算流程图：
图41利MATLAB计算优潮流流程图
433 IEEE14标准测试系统运算结果
文采IEEE14标准测试系统系统利原偶点法该系统优潮流计算进行测试IEEE14标准测试系统具体数参见附录
系统功率数标幺值表示功率基准值100MVA电压相角单位度幅值标幺值相应基准值该节点额定电压幅值电压限110095系统数
中发电机相连PV节点*衡节点余均PQ节点变正表示非标准变首段反表示非标准变末端正号表示联电容电纳负号表示电抗电纳
文中计算方便初值选取取值1取值05取参数额定标幺值精度文设置精度障碍参数106
具体计算结果
表41 IEEE14标准测试系统计算结果
节点号
发电机功
发电机功
电压幅值
电压相角
负荷功
负荷功
1
07520
02454
10500
00000
00000
00000
2
02000
01761
10500
00305
02170
01270
3
07581
02706
10500
00651
09420
01900
4
00000
00000
10344
00588
04780
00390
5
00000
00000
10332
00473
00760
00160
6
04500
00773
10500
00527
01120
00750
7
00000
00000
10475
00429
00000
00000
8
04500
00310
10500
00292
00000
00000
9
00000
00000
10431
00798
02950
01660
10
00000
00000
10366
00803
00900
00580
11
00000
00000
10396
00690
00350
00180
12
00000
00000
10356
00691
00610
00160
13
00000
00000
10309
00717
01350
00580
14
00000
00000
10195
00943
01490
00500
计算时0758637 秒47次迭代终达求精度互补间隙Gap收敛趋势图：
图42 互补间隙变化趋势图
Gap收敛趋势图出互补间隙总体呈现递减趋势变化趋势刚开始降时候变化十分迅速着迭代次数增加变化趋势逐渐变缓慢次修正效率变高出方法精度求太高时够快速收敛计算精度求高时候收敛速度变慢计算整体方面收敛速度较令满意
5总结展
51文总结
电开始规模应找电力系统运行优状态便直广电力研究工作者关心问题广国外学者直进行研究断提出改进种样优潮流计算理希够找优潮流计算方法优潮流计算理方法中点法算种相较优异计算方法点法计算优潮流计算时间重复迭代次数会着电力系统规模增加增初值求高种种特点体现出点法优异特性优潮流计算中优势
文研究利原偶点法进行优潮流计算完成工作：（1）介绍优潮流发展概略说明目前优潮流种流行计算方法详细介绍原偶点法出详细数学推导（2）建立电力系统优潮流计算数学模型利原偶点法类约束进行适处理利IEEE14标准测试系统进行测试计算
文章点法进行初步探讨研究然存着足处首先文计算方便等式约束选取发电机功率节点电压线路电流约束条件变压器变线路功率限制等等式约束未考虑进存着缺陷次算法中次迭代修正方未出良方案迭代时偶尔出现矫正方出现错误现象计算中迭代开始阶段算法收敛速度快着迭代次数增加算法收敛速度降快没够始终保持快速收敛目
52展
电力系统庞复杂系统优潮流计算中约束条件相错综复杂国外广学者优潮流进行研究取数重成果优潮流计算研究然法全面适实际情况然需广电力研究员停研究创新
参考文献
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附录IEEE14标准测试系统数
表A11 节点数潮流结果
节点号
电压幅值
电压相角
发电机功
发电机功
负荷功
负荷功
*1
10600
00000
23284
01490
00000
00000
2
10450
49932
04000
04904
02170
01270
3
10100
127562
00000
02744
09420
01900
4
10119
102191
00000
00000
04780
00390
5
10158
87718
00000
00000
00760
00160
6
10700
146373
00000
02960
00020
00750
7
10400
131591
00000
00000
00000
00000
8
10900
131591
00000
03092
00000
00000
9
10128
147385
00000
00000
02950
01660
10
10512
150016
00000
00000
00900
00580
11
10386
149273
00000
00000
00350
00180
12
10543
152025
00000
00000
00610
00160
13
10443
153941
00000
00000
01350
00580
14
10080
160750
00000
00000
01490
00500
系统总功率
27284
12210
25900
07350
表A12 发电机济参数出力限值
节点号
a
b
c
功限
功限
功限
功限
1
6300
2000
0
10
01
20
03
2
3500
1750
0
05
02
10
02
3
12500
1000
0
08
015
08
015
6
1668
3250
0
045
01
06
015
8
5000
3000
0
045
01
05
01
表A13 联电容数
节点号
电纳（标幺值）
调限
分段步长
9
019
050
010
表A14 变压器支路数
支路号
首末端节点号
电阻
电抗
变
变限
变限
额定电流
1
4~7
00
020912
0978
110
090
065
2
1~2
00
055168
0969
110
090
040
3
5~6
00
025202
0932
110
090
065
表A15 线路数
支路号
首末端节点号
支路电阻
支路电抗
电纳2
额定电流
1
1~2
001938
005917
002640
342
2
2~3
004699
019797
002190
171
3
2~4
005811
017632
001870
171
4
1~5
005403
022304
002460
171
5
2~5
005695
017388
001700
171
6
3~4
006701
017103
001730
171
7
4~5
001335
004211
000640
171
8
7~8
000000
017615
000000
050
9
7~9
000000
011001
000000
065
10
9~10
003181
008450
000000
050
11
6~11
009498
019890
000000
050
12
6~12
012291
015581
000000
050
13
6~13
006615
013027
000000
050
14
9~14
012711
027038
000000
050
15
10~11
008205
019207
000000
050
16
12~13
022092
019988
000000
050
17
13~14
017093
034802
000000
050
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