高中高考数学易错易混易忘题分类汇总解析
会全直成制约学生数学成绩提高重素成学生挥痛解决问题决定学生高考成败起着关重作文结合笔者年高三教学验精心挑选学生考试中常见66易错易混易忘典型题目问题高考中热点重点做力避偏怪难进行精彩剖析配年高考试题作相应练方面明确样问题高考中确实存方面通作针性练帮识破命题者精心设计陷阱达授渔目助高考中风破浪实现已理想报负
易错点1忽视空集非空集合子集导致思维全面
例1 设求实数a组成集合子集少？
易错点分析题条件易知空集非空集合子集解题中极易忽略种特殊情况造成求解满足条件a值产生漏解现象
解析：集合A化简知（Ⅰ）时方程解时a0符合已知条件（Ⅱ）时方程解35代入综满足条件a组成集合子集
知识点类点拔（1）应条件A∪B＝ＢA∩B＝ＡＡＢ时树立起分类讨数学思想集合Ａ空集Φ情况优先进行讨．
（2）解答集合问题时注意集合性质确定性序性互异性特互异性集合元素限制时需进行检验求解结果满足集合中元素性质外解题程中注意集合语言（数学语言）然语言间转化：中求r取值范围集合表达数学语言然语言进行转化：集合A表示原点圆心2半径圆集合B表示（34）圆心r半径圆两圆公点两圆相离含时求半径r取值范围思维马利两圆位置关系解答外等式解集等注意集合语言应
练1已知集合实数a取值范围 答案：
易错点2求解函数值域单调区间易忽视定义域优先原
例2已知求取值范围
易错点分析题学生容易利消元思路问题转化关x函数值求解极易忽略xy满足条件中两变量约束关系造成定义域范围扩
解析：(x+2)21≤1∴3≤x≤1x2+y23x216x12
+x1时x2+y2值1 x时x2+y2值x2+y2取值范围[1 ]
知识点类点拔事实解析角度理解条件xy限制显然方程表示（20）中心椭圆易知3≤x≤1外题通三角换元转化三角值求解
练2（05高考重庆卷）动点（xy）曲线变化值（）
（A）（B）（C）（D）
答案：A
易错点3求解函数反函数易漏掉确定原函数值域反函数定义域
例3 R奇函数（1）求a值（2）求反函数
易错点分析求解已知函数反函数时易忽略求解反函数定义域原函数值域出错
解析：（1）利（）求a1
（2）设
知识点类点拔（1）求解函数反函数时定通确定原函数值域反函数定义域反函数解析式表明（反函数定义域R省略）
（2）应省略求反函数步骤直接利原函数求解应注意变量函数值互换
练3（2004全国理）函数反函数（）
A B
C D
答案：B
易错点4求反函数反函数值错位
例4已知函数函数图图象关直线称解析式（）
A B C D
易错点分析解答题时易互反函数认反函数错选A
解析：求反函数正确答案：B
知识点分类点拔函数函数互反函数表示中xx1代反函数值求反函数程：设
xy互换反函数反函数求解题问题时定谨慎
练4（2004高考福建卷）已知函数ylog2x反函数yf1(x)函数y f1(1x)图象（）
答案：B
易错点5判断函数奇偶性忽视函数具奇偶性必条件：定义域关原点称
例5 判断函数奇偶性
易错点分析题常犯错误考虑定义域步骤求解：出函数非奇非偶函数错误结
解析：函数解析式知x满足函数定义域定义域关原点称定义域易证函数奇函数
知识点类点拔（1）函数定义域关原点称函数具奇偶性必充分条件判断函数奇偶性时定先研究函数定义域
（2）函数具奇偶性定义域x恒等式常常利点求解函数中字母参数值
练5判断列函数奇偶性：
①②③
答案：①奇函数偶函数②非奇非偶函数③非奇非偶函数
易错点6易忘原函数反函数单调性奇偶性关系导致解题程繁锁
例6 函数反函数证明奇函数定义域增函数
思维分析求表达式证明注意具相单调性奇偶性需研究原函数单调性奇偶性
解析：奇函数奇函数令均增函数增函数分增函数分分增函数
知识点类点拔反函数知识重结：（1）定义域单调函数必反函数（2）奇函数反函数奇函数原函数反函数具相单调性（3）定义域非单元素偶函数存反函数（4）周期函数存反函数（5）原函数定义域值域反函数定义域值域换
练6（1）（99全国高考题）已知 结正确（）
A 奇函数增函数 B 奇函数减函数
C 偶函数增函数 D 偶函数减函数
答案：A
（2）（2005天津卷）设函数反函数成立取值范围（）A B C D
答案：A （时单调增函数）
易错点7证明判断函数单调性定义出发注意步骤规范性树立定义域优先原
例7试判断函数单调性出证明
易错点分析解答题中证明判断函数单调性必须函数性质解答特注意定义中意性函数单调区间必函数定义域子集树立定义域优先意识
解析：函数奇函数需判断函数单调性设 时时函数增函数理证函数减函数函数奇函数函数减函数增函数综述：函数分增函数分减函数
知识类点拔（1）函数单调性广泛应较解等式求参数范围值等问题中应引起足够重视
（2）单调性定义等价形式：增函数
减函数表明增减性意义：增（减）函数图象意两点连线斜率（）零
（3）种重函数模型引起重视注意应注意题中说增函数减函数叙述函数单调区间时单调区间间添加符号∪
练7（1） （潍坊市统考题）（1）单调性定义判断函数单调性（2）设值求解析式
答案：（1）函数增函数减函数（2）
（2） （2001天津）设R偶函数（1）求a值（2）试判断函数单调性出证明
答案：（1）（2）函数增函数（证明略）
易错点8解题中误必条件作充分条件充分必条件误作充条件导致错误结
例8（2004全国高考卷）已知函数减函数求a取值范围
易错点分析单调递减充分必条件解题程中易误作充条件R递减
解析：求函数导数（1）时减函数解（2）时易知时函数R减函数（3）时R存区间时函数减函数综求a取值范围
知识类点拔函数导导数函数单调性关系现增函数例说明：①增函数关系推出增函数反定函数单调递增∴增函数充分必条件②时增函数关系根作分界点规定抠分界点时增函数定∴时增函数充分必条件③增函数关系增函数定推出反定函数某区间恒常数函数具单调性∴增函数必充分条件函数单调性函数条重性质高中阶段研究重点定握三关系导数判断函数单调性新教材解决单调区间端点问题律开区间作单调区间避免讨问题简化问题实际应中会遇端点讨问题谨慎处理
题第步进行讨确保充性解题中误必条件作充分条件充分必条件误作充条件导致错误需学学程中注意思维严密性
练8（1）（2003新课程）函数单调函数充条件（）
A B C D
答案：A
（2）否存样K值函数递减递增？
答案：（提示题意结合函数连续性知函数递减递增必条件定充分条件求出K值检验）
易错点9应重等式确定值时忽视应前提条件特易忘判断等式取等号时变量值否定义域限制范围
例9 已知：a>0 b>0 a+b1求(a+)2+(b+)2值
错解 (a+)2+(b+)2a2+b2+++4≥2ab++4≥4+48∴(a+)2+(b+)2值8
易错点分析 面解答中两次基等式a2+b2≥2ab第次等号成立条件ab第二次等号成立条件ab显然两条件时成立8值
解析：原式 a2+b2+++4( a2+b2)+(+)+4[(a+b)22ab]+ [(+)2]+4 (12ab)(1+)+4ab≤()2 ：12ab≥1≥161+≥17∴原式≥×17+4 (仅ab时等号成立)∴(a+)2+(b+)2值
知识类点拔应重等式求解值时注意三前提条件缺正二定三相等解题中容易忽略验证取提值时等号成立变量值否定义域限制范围
练9（97全国卷文22理22）甲乙两相距s km 汽车甲匀速行驶乙速度超c kmh 已知汽车时运输成（元单位）变部分固定部分组成：变部分速度v（kmh）方成正例系数b固定部分a元
（1） 全程运输成y（元）表示速度v（kmh）函数指出函数定义域
（2） 全程运输成汽车应速度行驶？
答案（1）（2）全程运输成≤c时行驶速度v＞c时行驶速度vc
易错点10涉指型函数单调性关问题时没根性质进行分类讨意识易忽略数函数真数限制条件
例10否存实数a函数增函数？存求出a值存说明理
易错点分析题考查数函数单调性复合函数单调性判断方法解题程中易忽略数函数真数零限制条件导致a范围扩
解析：函数复合成根复合函数单调性判断方法（1）a>1时增函数增函数零解a>1（2）a<1时增函数减函数零等式组解综述存实数a>1函数增函数
知识类点拔熟练掌握常初等函数单调性：次函数单调性取决次项系数符号二次函数单调性决定二次项系数符号称轴位置指数函数数函数单调性决定底数范围（11）特解决涉指复合函数单调性问题时树立分类讨数学思想（数型函数注意定义域限制）
练10（1）（黄岗三月分统考变式题）设试求函数单调区间
答案：函数单调递减单调递增函数单调递增单调递减
（2）（2005 高考天津）函数区间单调递增取值范围（）A B C D
答案：B（记时增函数需恒成立矛盾排CD时函数需恒成立排A）
易错点11 换元法解题时易忽略换元前等价性．
例11已知求值
易错点分析题学生通条件问题转化关函数进利换元思想令问题变关t二次函数值求解极易忽略换元前变量等价性造成错解
解析：已知条件（结合）令原式根二次函数配方：时原式取值
知识点类点拔知识基础方法手段思想深化提高数学素质核心提高学生数学思想方法认识运数学素质综合体现力解数学题时某式子成整体变量代问题简化换元法换元实质转化关键构造元设元理等量代换目变换研究象问题移新象知识背景中研究非标准型问题标准化复杂问题简单化变容易处理换元法称辅助元素法变量代换法通引进新变量分散条件联系起隐含条件显露出者条件结联系起者变熟悉形式复杂计算推证简化
练11（1）（高考变式题）设a>0000求f(x)＝2a(sinx＋cosx)－sinx·cosx－2a值值
答案：f(x)值－2a－2a－值
（2）等式>ax＋解集(4b)a＝________b＝_______
答案：（提示令换元原等式变关t元二次等式解集）
易错点12已知求时 易忽略n＝１情况．
例12（2005高考北京卷）数列前n项（1）求值数列通项公式
易错点分析题应关系时误认意n值成立忽略n1情况验证易出数列等数列错误结
解析：易求该数列第二项开始等数列
知识点类点拔数列间关系：利两者间关系已知求注意适合时两者合否写分段函数形式
练12（2004全国理）已知数列满足数列通项
答案：（条件右端视数列前n1项利公式法解答）
易错点13利函数知识求解数列项前n项值时易忽略定义域限制正整数集子集（1开始）
例13等差数列首项前n项时问n值时
易错点分析等差数列前n项关n二次函数问题转化求解关n二次函数值易忘记二次函数定义域正整数集限制条件
解析：题意知函数n变量二次函数时二次函数开口时取值偶数时
奇数时时
知识点类点拔数列通项公式前n项公式视定义域正整数集子集（1开始）函数解题程中树立函数思想观点应函数知识解决问题特等差数列前n项公式关n二次函数没常数项反满足形应数列必然等差数列前n项时知数列中点直线重结外形前n项应数列必等数列前n项
练13（2001全国高考题）设等差数列前n项列结错误（）ABC D均值
答案：C（提示利二次函数知识等差数列前n项关n二次函数称轴结合单调性解答）
易错点14解答数列问题时没结合等差等数列性质解答解题思维受阻解答程繁琐
例14已知关方程四根组成首项等差数列求值
思维分析注意两方程两根相等隐含条件结合等差数列性质明确等差数列中项排列
解析：妨设方程根两方程两根相等等差数列性质知方程根等差数列第四项方程两根等差数列中间两项根等差数列知识易知等差数列：
知识点类点拔等差数列等数列性质数列知识重方面解题中充分运数列性质起事半功倍效果例等差数列等数列数列等数列前n项成等数列数列等差数列前n项成等差数列等性质熟练灵活应
练14（2003全国理天津理）已知方程四根组成首项等差数列（） A1 B C D
答案：C
易错点15等数列求公式求时易忽略公ｑ＝１情况
例15数列中数列公（）等数列
（I）求成立取值范围（II）求数列前项．
易错点分析等数列前n项易忽略公q1特殊情况造成概念性错误者学生没定义出发研究条件数列公（）等数列数列奇数项偶数项成等数列找解题突破口思维受阻
解：（I）∵数列公等数列∴（）解．
（II）数列公等数列表明数列奇数项成等数列偶数项成等数列公∴时
时．
知识点类点拔题中拆成两数列等数列中解题关键种出数列形式值关注外奇数项偶数项成等数列公相等整数列成等数列解题时慎重写出数列前项进行观察出正确结等数列求定注意公1种特殊情况高考里设计陷阱考生产生现全错误
练15（2005高考全国卷第问）设等数列公q前n项（1）求q取值范围
答案：
易错点16数列求中求等差数列等数列积构成数列前n项会采错项相减法解答结果位
例16．（2003北京理）已知数列等差数列
（1）求数列通项公式（2）令求数列前项公式
思维分析题根条件确定数列通项公式数列通项公式分析知数列等差数列等数列构成差数列错项相减方法求
解析：（1）易求
（2）（1）令（Ⅰ）（Ⅱ）（Ⅰ）减（Ⅱ）（注意错位相减）时
综：
时
知识点类点拔般情况数列中数列分等差数列等数列前n项通原数列项基础等数列公错项相减方法求解实际课等数列求公式种情况特例
练16（2005全国卷理）已知时求数列前n项
答案：时时
易错点17根数列通项特点寻找相应求方法应裂项求方法时裂项抵消项规律清导致项少项
例17求…．
易错点分析题解答时方面通项入手分析项特点难找解题突破口次裂项抵消中间项程中消项剩余项规律清导致解题失误
解：等差数列前项公式∴取…分…∴
．
知识类点拔裂项法两特点分式分子相二项分母两数（三更）相两数第数前项第二数果具备特点进行转化明确消项规律般情况剩余项前称常见变形题题外形式例：求方法抓通项问题会容易解决外类似裂项法题目：求前项通分母理化方法解决数列求常方法：公式法裂项相消法错位相减法倒序相加法等
练17（2005济南统考）求＋＋＋…＋．
答案：…＝．
易错点18易特殊性代般性误必条件做充分条件充条件缺乏严谨逻辑思维
例18（2004年高考数学江苏卷20）设穷等差数列{an}前n项Sn
(Ⅰ)首项公差求满足正整数k
(Ⅱ)求穷等差数列{an}切正整数k成立
易错点分析题考查数列基知识运数学知识分析解决问题力学生解第(Ⅱ)时极易根条件切正整数k成立句话k取两特殊值确定出等差数列首项公差没认识求解出等差数列仅已知条件成立必条件条件成立充分条件应进步特殊般
解：（I）时
（II）设数列{an}公差d中分取k12
（1）
（2）
（1）
成立
数列符合题意
综3满足条件穷等差数列：
①{an} an0000…②{an} an1111… ③{an} an2n－1135…
知识点类点拔事实条件中切正整数k成立等价关k方程解切正整数转化关k方程项系数时零题采程等价转化思想解答样做避免忽视充分性检验犯逻辑错误述解法中定注意种特殊般关系
练18（1）（2000全国）已知数列中数列等数列求常数p
答案：p2p3（提示令n123根等中项性质建立关p方程说明p值意然数n成立）
易错点19判式判定方程解数（交点数）时易忽略讨二次项系数否０．尤直线圆锥曲线相交时更易忽略
例19已知双曲线直线讨直线双曲线公点数
易错点分析讨直线曲线位置关系般直线曲线方程联立组成方程组方程组解直线曲线交点消元转化关xy方程易忽视方程种类进行讨观误认方程二次方程利判式解答
解析：联立方程组消y（1）时方程关x次方程时方程组解直线双曲线交点（2）时方程组解直线双曲线交点（3）
时方程组两交点时（4）时时方程组解时直线双曲线交点
综知时直线双曲线交点时直线双曲线两交点时方程组解时直线双曲线交点
知识点类点拔判断直线双曲线位置关系两种方法：种代数方法判断方程组解数应直线双曲线交点数种方法助渐进线性质利数形结合方法解答两种方法应关系题中第种情况应直线双曲线渐进线行时做直线双曲线相交公点通点说明直线双曲线公点直线双曲线相切必充分条件第二种情况应直线双曲线相切通题加深体会种数形统
练19（1）（2005重庆卷）已知椭圆方程双曲线左右焦点分左右顶点左右顶点分左右焦点（1）求双曲线方程（2）直线椭圆双曲线恒两交点两交点AB满足中O原点求k取值范围答案：（1）（2）
（2）已知双曲线C： 点P（11）作直线l lC公点满足述条件直线l____条答案：4条（知kl存时令l y1k(x1)代入中整理(4k2)x2+2k(k1)x
(1k2)40∴ 4k20k±2时公点k≠±2时Δ0切点：kl存时x1曲线C切点∴综4条满足条件直线）
易错点20易遗忘关齐次式处理方法
例20已知求（1）（2）值
思维分析式子转化正切利（2）式分子分母
解：（1）
(2)
知识点类点拔利齐次式结构特点（果具备通构造办法）进行弦切互化会解题程简化
统称1代换) 常数 1种种代换着广泛应．
练20．（2004年湖北卷理科）
已知值
答案：（原式化）
易错点21解答数列应题审题严易关数列第n项数列前n项混淆导致错误解答
例21果张厚度005mm报纸拆拆拆50次报纸厚度少相信时报纸厚度球月球间建座桥(已知球月球距离约米)
易错点分析拆50次报纸厚度应理解等数列第n项易误理解等数列前n项
解析：拆次厚度增加原倍设次拆厚度构成数列数列米首项公2等数列拆50次纸厚度等数列第51项利等数列通项公式易a51005×103×250563×1010球月球间距离4×108<563×1010建座桥
知识点类点拔 数列数学模型应题高考考查热点容中问题涉等差者等数列前n项第n项问题审题程中定两者区分开
练21（2001全国高考）社会效益济效益出发某投入资金进行生态环境建设发展旅游产业根规划年度投入800万元年投入年减少年度旅游业收入估计400万元该项建设旅游业促进作预计旅游业收入年会年增加
(1)设n年(年度第年)总投入an万元旅游业总收入bn万元写出anbn表达式
(2)少年旅游业总收入超总投入
（1）an800+800×(1－)+…+800×(1－)n－1800×(1－)k－14000×［1－()n］
bn400+400×(1+)+…+400×(1+)k－1400×()k－11600×［()n－1］
（2）少5年旅游业总收入超总投入
易错点22单位圆中三角函数线解题中方面学生易知识遗忘应意识强方面易角三角函数值应三角函数线线段长度二者等起产生概念性错误
例21列命题正确（）
A第二象限角B第三象限角C第四象限角D第象限角
易错点分析学生解答题时易出现错误：（1）象限角简单理解锐角钝角270360度间角（2）思维转利三角函数单调性没应三角函数线较两角三角函数值意识思维受阻
解析：A三角函数易知时角正切线数量角正切线数量B理知C知满足条件角正切线数量角正切线数量正确D理知应
知识点类点拔单位圆三角函数线抽象角三角函数值直观线段数量应起体现数形结合数学思想注意点角三角函数值线段数量长度三角函数线解三角等式较角名函数值三角关系式证明着广泛应方面着定优越性例利三角函数线易知等
练22（2000全国高考）已知列命题正确（）
A 第象限角B第二象限角
B 第三象限角D第四象限角
答案：D
易错点23利三角函数图象变换中周期变换相位变换解题时易求错
例23．函数图象需函数图象（）
A 先x值扩原4倍y值变右移单位
B 先x值缩原倍y值变左移单位
C 先x值扩原4倍y值变左移单位
D 先x值缩原倍y值变右移单位
易错点分析变换成x值缩原倍学误认扩原倍样误选AC移学移方错
学移单位误认
解析：变形常见两种变换方式种先进行周期变换图象点坐标变横坐标变原倍函数图象
函数图象坐标变横坐标右移单位函数
者先进行相位变换图象点坐标变横坐标右移单位函数图象横坐标变原4倍函数图象
知识点类点拔利图角变换作图作出函数图象种重方法般
图象两种思路：先进行振幅变换横坐标变坐标变原A倍进行周期变换 坐标变横坐标变原倍进行相位变换横坐标左（右）移单位
种先进行振幅变换进行相位变换左（右）移单位函数图象横坐标变原倍种变换注意点种变换纯粹变量x说
练23（2005全国卷天津卷）图象需函数图象点
A 横坐标缩短原倍（坐标变）左移单位长度B横坐标缩短原倍（坐标变）左移单位长度C横坐标伸长原2倍（坐标变）左移单位长度D横坐标伸长原2倍（坐标变）右移单位长度
答案：C
易错点24没挖掘题目中确隐含条件忽视角范围限制造成增解现象
例24已知求值
易错点分析题条件利解值通解方程组方法解值解题程中易忽视隐含条件确定角范围观认值正负造成增解
解析：已知（1）（2）联立（1）（2）
知识点类点拔三角函数化简求值程中角范围确定直重点难点解题程中注意已条件基础挖掘隐含条件：结合角三角函数值符号三角形中角均区间已知角三角函数值较结合三角函数单调性等题中实际单位圆中三角函数线知必必
练24（1994全国高考）已知值
答案：
易错点25根已知条件确定角没通确定角三角函数值求角意识确定角三角函数名称适造成错解
例25均锐角求值
易错点分析题解答程中求正弦时正弦函数区间单调满足条件角两两否满足需进步检验解答带困难求余弦易出错余弦函数单调满足条件角唯
解析：均锐角知解析：均锐角知均锐角
知识点类点拔根已知条件确定角定转化确定该角某三角函数值根三
角函数值确定角求角必然步骤里注意两点结合角范围选择合适三角函数名称
时注意量已知角表示求角需定角变换技巧：等
二三角函数值求角时注意确定角范围技巧
练25（1）三角形中已知求三角形角C
答案：（提示确定已知角余弦值结合已知条件确定角A范围）
（2）（2002天津理17）已知cos（α＋）＝≤α＜求cos（2α＋）值
答案：－
易错点26正弦型函数余弦型函数性质：图象称轴称中心易遗忘没深刻理解意义
例26果函数图象关直线称a等（ ）
A B－ C1 D－1
易错点分析函数称轴定图象波峰顶波谷底y轴行称中心图象x轴交点学生函数称性理解误认时y0导致解答出错
解析：（法）函数解析式化值题意直线函数称轴通函数值值点
解选D
（法二）题意函数直线函数称轴：
选D
（法三）函数关直线函数称必代入
知识点类点拔正弦型函数余弦型函数穷条称轴数称中心意义分函数取值x值函数值零x值代数特征希学认真学题三种解法根具体问题灵活处理
练26（1）（2003年高考江苏卷18）已知函数R偶函数图象关点称区间单调函数求ω值
答案：
（2）（2005全国卷第17题第问）设函数图象条称轴直线求 答案：
易错点27利正弦定理解三角形时已知三角形两边边角解三角形时易忽视三角形解数
例27中求面积
易错点分析根三角形面积公式需利正弦定理确定三角形角C相应三角形角A确定利求正弦函数区间严格格单调满足条件角唯时助已知条件加检验务必做漏解解
解析：根正弦定理知：满足条件三角形两相应三角形面积
知识点类点拔正弦定理余弦定理解三角形两重工具沟通三角形中边角间联系正弦定理够解决两类问题（1）已知两角边求边角时解（2）已知两边中边角求边角正弦函数区间严格格单调时三角形解情况解解两解通法作出判断三角形解数：中已知abA解情况：
（1） A锐角
（2）A直角钝角
练27（2001全国）果满足三角表恰k取值范围（）ABCD
答案：D
易错点28三角形中三角函数问题三角变换三角形边角间知识结合综合应程度够
例28（1）（2005湖南高考）已知△ABC中sinA（sinB＋cosB）－sinC＝0sinB＋cos2C＝0求角ABC
易错点分析题解答程中忽视三角形中三角联系三角形角范围限制易思维受阻解答出现增解现象
解法
知
解法二：
知B+2C合求
2（北京市东城区2005年高三年级四月份综合练）△ABC中abc分角ABC边 （Ⅰ）求角B（Ⅱ）求△ABC面积
思维分析根正弦定理余弦定理条件化三角形边关系角关系解答
（Ⅰ）解法：正弦定理式代入已知A+B+C三角形角
解法二：余弦定理式代入 整理
三角形角
（Ⅱ）代入余弦定理
知识点类点拔三角形中三角函数问题直高考热点容正余弦定理考查涉三角形边角互化（判断三角形形状等利正余弦定理条件中含边角关系转化边角关系解三角形常规思路）三角形三角函数求值三角恒等式证明三角形外接圆半径等体现三角函数知识三角形知识交汇体现高考命题原
练28（1）（2004年北京春季高考）中abc分边长已知abc成等数列求值
答案：
（2）（2005天津）△ABC中∠A∠B∠C边长分abc设abc满足条件求∠A值
答案：
易错点29含参分式等式解法易分类讨标准握准分类讨达重漏目
例29解关x等式＞1(a≠1)
易错点分析等式化关x元二次等式忽视二次项系数正负讨导致错解
解：原等式化：＞0［(a－1)x+(2－a)］(x－2)＞0
a＞1时原等式(x－)(x－2)＞0解≥20≤a＜1时原等式解＜2a＜0a＞1a＞1时原等式解(－∞)∪(2+∞)
a＜1时a＜0解集(2)0＜a＜1解集(2)
综述：a＞1时解集(－∞)∪(2+∞)0＜a＜1时解集(2)a0时解集a＜0时解集(2)
知识点分类点拔解等式学生运算化简等价转化力较高求着高考命题原力立意进步转化解等式考查会更热点解等式需注意面问题：
(1)熟练掌握元次等式(组)元二次等式(组)解法
(2)掌握序轴标根法解高次等式分式等式特注意式处理方法
(3)掌握理等式三种类型等价形式指数数等式种基类型解法
(4)掌握含绝值等式种基类型解法
(5)解等式程中充分运分析力原等式等价转化易解等式(6)含字母等式正确分类标准进行分类讨
练29（2005年江西高考）已知函数常数）方程两实根
（1）求函数解析式（2）设解关等式：
答案：①时解集②时等式解集③时解集
易错点30求函数定义域求函数值域错位
例30已知函数（1）果函数定义域R求实数m取值范围（2）果函数值域R求实数m取值范围
易错点分析题学生易忽视否零讨导致思维全面漏解方面两问题中定义域R值域R含义理解透彻导致错解
解析：（1）题意知函数定义域R意x值恒成立令0时验证时适合时二次函数知识意x值函数值零恒成立需解综知m取值范围
（2）果函数值域R数真数取意正数令0时验证时适合时二次函数知识知函数值取正值需解综知满足题意m取值范围
知识点类点拔二次型函数二次型等式二次项系数含字母注意字母否零进行讨函数次函数二次函数等式次等式二次等式时通题解析学认真体会种函数等式二者解题中结合通二者相互转化获解题突破破口者题中函数定义域值域R两概念前者意变量x值函数值恒正者函数值必须取遍正值二者质区
练30已知函数定义域值域分R试分确定满足条件a取值范围答案：（1）（2）
易错点31等式证明方法学生已知条件选择相应证明方法达种证明方法灵活应程度
例31已知a＞0b＞0a+b1求证：(a+)(b+)≥
易错点分析题直接应重等式证明显然a+ b+时取等号题证明方法
证法：(分析综合法）欲证原式证4(ab)2+4(a2+b2)－25ab+4≥0证4(ab)2－33(ab)+8≥0证ab≤ab≥8∵a＞0b＞0a+b1∴ab≥8成立∵1a+b≥2∴ab≤证
证法二：(均值代换法)设a+t1b+t2∵a+b1a＞0b＞0∴t1+t20|t1|＜|t2|＜
显然仅t0ab时等号成立
证法三：(较法）∵a+b1a＞0b＞0∴a+b≥2∴ab≤
证法四：(综合法)∵a+b1 a＞0b＞0∴a+b≥2∴ab≤
证法五：(三角代换法)∵ a＞0b＞0a+b1令asin2αbcos2αα∈(0)
知识点类点拔1等式证明常方法：较法综合法分析法证明等式基方法(1)较法证等式作差(商)变形判断三步骤变形方式分解配方判断程必须详细叙述果作差式子整理关某变量二次式考虑判式法证
(2)综合法导果分析法执果索两法相互转换互相渗透互前提充分运辩证关系增加解题思路开扩视野
2等式证明常方法：换元法放缩法反证法函数单调性法判式法数形结合法等换元法三角代换均值代换两种应换元法时注意代换等价性放缩性等式证明中重变形方法放缩放矢目标证结中考查等式正面证果易说清楚考虑反证法含少惟含否定词命题适宜反证法
证明等式时题设题目特点联系选择适证明方法熟悉种证法中推理思维掌握相应步骤技巧语言特点
练31（2002北京文）数列列条件确定：
（1） 证明：总（2）证明：总
易错点32函数方程等式联系转化学生明确利三者关系解题中相互转化寻找解题思路
例32已知二次函数满足切实数恒成立 求 求解析式求证：
易错点分析条件中等关系等式关系转化知手没二次等式二次函数相互转化意识解题找思路
解：（1）已知令：
（2）令：意实数恒成立 意实数恒成立：
（3）（2）知
原等式成立．
知识点类点拔函数方程思想方法高中数学重数学思想方法函数思想指函数概念性质分析问题转化问题解决问题方程思想问题数量关系入手运数学语言问题中条件转化数学模型（方程等式方程等式混合组）然通解方程（组）等式（组）问题获解时实现函数方程互相转化接轨达解决问题目等式恒成立引入新参数化简等式构造二次函数利函数图单调性进行解决问题中联系方程解体现方程思想函数思想般解题中抓住二次函数图二次等式二次方程三者间紧密联系问题进行相互转化
练32（2005潍坊三月份统考）已知二次函数满足意实数x时（1）求值（2）证明（3）时函数单调求证：
（1）（2）运重等式（3）略
易错点33利函数单调性构造等关系明确函数单调性单调区间定义域限制
例33记等式解集试解关t等式
易错点分析题然求出abc具体值等式解集函数方程联系易知13方程两根易忽视二次函数开口方错误认函数增函数
解析：题意知二次函数区间增函数二次函数单调性知等式等价等式解：
知识点分类点拔函数单调性实质体现等关系函数等式结合历高考热点容解答等式问题重工具解题程中加意应意识指数等式数等式涉抽象函数类型等式等等函数单调性密切相关
练33（1）（2005辽宁4月份统考题）解关等式
答案：时解集时解集
时解集
（2） （2005全国卷Ⅱ）设函数求≥x取值范围
答案：x取值范围
易错点34数学纳法应学生易缺乏应数学纳法解决然数关问题意识忽视步骤规范性理解数学纳法步意义
例34然状态鱼类种生资源持续利资源需宏观考察生力捕捞强度鱼群总量影响表示某鱼群第n年年初总量n∈N＊＞0考虑素设第n年鱼群繁殖量捕捞量成正死亡量成正例系数次正常数abc（Ⅰ）求关系式（Ⅱ）猜测：仅abc满足什条件时年年初鱼群总量保持变？（求证明）（Ⅲ）设a＝2b＝1保证意∈（02）＞0捕捞强度b允许值少？证明结
易错点分析题数列模型应题考查数列等式数学纳法2005年高考涉两种类型应题种类型概率种数列信息：数学越越贴生活数学越越强调实性 备考中注意种常见模型建模训练见高考数学越越注意函数等式导数量等工具结合高考方
解析（I）第n年初第n+1年初鱼群繁殖量捕捞量死亡量
（II）年年初鱼群总量保持变恒等式恒等零 >0猜测：仅时年年初鱼群总量保持变
（Ⅲ）b值>0 知 特 ∈(0 2)猜测b允许值1 证 ∈(0 2) b1时∈(0 2) ①n1时结显然成立②假设nk时结成立∈(0 2)nk+1时∈(0 2)nk+1时结成立①②知意∈(02)综述保证意∈(0 2) >0 捕捞强度b允许值1
知识点类点拔纳种特殊事例导出般原理思维方法纳推理分完全纳推理完全纳推理两种完全纳推理根类事物中部分象具性质推断该类事物全体具性质种推理方法数学推理证中允许完全纳推理考察类事物全部象纳出结数学纳法证明某然数关数学命题种推理方法解数学题中着广泛应递推数学证方法证第步证明命题n＝1(n
)时成立递推基础第二步假设n＝k时命题成立证明n＝k＋1时命题成立限递推理判断命题正确性否特殊推广般实际命题正确性突破限达限两步骤密切相关缺完成两步断定然数（n≥nn∈N）结正确两步出数学纳法递推实现纳属完全纳运数学纳法证明问题时关键n＝k＋1时命题成立推证步证明具目标意识注意终达解题目标进行分析较确定调控解题方差异逐步减终实现目标完成解题运数学纳法证明列问题：然数n关恒等式代数等式三角等式数列问题问题整性问题等等
练34（2005年全国卷Ⅰ统考试理科数学）
（Ⅰ）设函数求值
（Ⅱ）设正数满足证明
答案：（Ⅰ）（Ⅱ）数学纳法证明
（2）（2005高考辽宁）已知函数设数列}满足数列}满足
（Ⅰ）数学纳法证明 （Ⅱ）证明
易错点35涉量关概念运算律理解应易产生概念性错误
例35列命题：
① ② ③ |·|||·||④∥∥∥ ⑤∥存唯实数λ ⑥≠⑦设面两量面量存唯组实数xy成立⑧|+||－|·0⑨·0真命题数（ ）
A．1 B．2 C．3 D．3
易错点分析线量量数量数量积定义性质运算法等量章中正确应量知识解决关问题前提里学生极易量运算实数运算等起认量数量积运算实数样满足交换律产生错误结
解析：①正确根量模计算判断②错误量数量积运算满足交换律根数量积数定义
表示量线量理表示量线量显然量量定线量定成立③错误应④错误注意零量意量行非零量行性具传递性 ⑤错误应加条件非零量⑥错误量满足消律根数量意义需量量量方投影相等作图易知满足条件量数⑦错误注意面量基定理前提量线量组基底⑧正确条件表示两量邻边行四边形角线相等四边形矩形·0⑨错误需两量垂直
答案：B
知识点类点拔利量关概念运算律判断解题时定明确概念定理成立前提条件量运算律解答明确量运算实数运算相处般已知ａｂс实数λ量数量积满足列运算律：①ａ·ｂ＝ｂ·ａ (交换律)②（λａ）·ｂ＝λ（ａ·ｂ）＝ａ·（λｂ） (数结合律)③(ａ＋ｂ)·с＝ａ·с＋ｂ·с (分配律)说明：（1）般(ａ·ｂ)с≠ａ（ｂ·с）（2）ａ·с＝ｂ·сс≠0ａ＝ｂ（3）常性质：ａ２＝｜ａ｜２（ａ＋ｂ）（с＋ｄ）＝ａ·с＋ａ·ｄ＋ｂ·с＋ｂ·ｄ(ａ＋ｂ)２＝ａ２＋２ａ·ｂ＋ｂ２
练35（1）（2002海春13）abc意量m∈R列等式定成立（ ）
A（a+b）+ca+（b+c）B（a+b）·ca·c+b·c Cm（a+b）ma+mb D（a·b）ca（b·c）
（2）(2000江西山西天津理4)设abc意非零面量相互线
①（a·b）c－（c·a）b0 ②|a|－|b|<|a－b| ③（b·c）a－（c·a）bc垂直④（3a+2b）（3a－2b）9|a|2－4|b|2中真命题（ ）
A①② B②③ C③④ D②④
答案：（1）D（2）D
易错点36利量加法减法数量积等运算意义解题时数形结合意识够忽视隐含条件
例36四边形ABCD中＝ａ＝ｂ＝с＝ｄａ·ｂ＝ｂ·с＝с·ｄ＝ｄ·ａ试问四边形ABCD什图形
易错点分析四边形形状边角关系确定关键题设条件演变推算该四边形边角量易忽视两点：（1）四边形中次首尾相接量量零量ａ＋ｂ＋с＋ｄ＝0应注意隐含条件应(2)已知条件产生数量积关键构造数量积数量积定义式中含边角两种关系
解：四边形ABCD矩形方面：ａ＋ｂ＋с＋ｄ＝0ａ＋ｂ＝－（с＋ｄ）(ａ＋ｂ)２＝（с＋ｄ）2｜ａ｜２＋２ａ·ｂ＋｜ｂ｜２＝｜с｜２＋２с·ｄ＋｜ｄ｜２ａ·ｂ＝с·ｄ∴｜ａ｜２＋｜ｂ｜２＝｜с｜２＋｜ｄ｜２①理｜ａ｜２＋｜ｄ｜２＝｜с｜２＋｜ｂ｜２②①②｜ａ｜＝｜с｜｜ｂ｜＝｜ｄ｜四边形ABCD两组边分相等∴四边形ABCD行四边形方面ａ·ｂ＝ｂ·сｂ（ａ－с）＝０行四边形ABCDａ＝－с代入式ｂ·(2ａ)＝０ａ·ｂ＝０∴ａ⊥ｂAB⊥BC综述四边形ABCD矩形
知识点类点拔量高考亮点量知识量观点数学物理等学科分支着广泛应具代数形式形式双重身份融数形体中学数学教学容许干知识综合形成知识交汇点高考中应引起足够重视基点解决量关问题时树立起数形结合形助数解题思路例重结种思想直观：（1）量形式行四边形定理：2（｜｜+｜｜）｜－｜+｜+｜（2）量形式三角形等式：｜｜｜｜｜｜≤｜±｜≤｜｜+｜｜(试问：取等号条件什)（3）△ABC中点P满足直线AP必△ABC心等等结
练36（1）（2003高考江苏）O面 定点ABC面线三点动点P满足P轨迹定通△ABC （ ）
A．外心 B．心 C．重心 D．垂心
（2）（2005全国卷文科）点O三角形ABC面点满足点O（ ）
（A）三角角分线交点 （B）三条边垂直分线交点 （C）三条中线交点 （D）三条高交点
（3）（2005全国卷Ⅰ）外接圆圆心O两条边高交点H实数m
答案：（1）B （2）D （3）m1
易错点37忽视量积定义中两量夹角定义
例37已知中求
易错点分析题易错误码认两量夹角三角形ABC角C导致错误答案
解析条件根余弦定理知三角形角两量夹角补角数量积定义知
知识点类点拔高中阶段涉角概念少学程中明确概念取值范围直线倾斜角取值范围两直线夹角范围两量夹角范围异面直线成角范围直线面成角范围二面角取值范围
练37（2004海春招）ΔABC中命题中正确（）
（1）（2）（3）
ΔABC等腰三角形（4）ΔABC锐角三角形
A（1）（2） B（1）（4） C（2）（3） D（2）（3）（4）
答案：C
易错点38量数积积性质应
例38已知ab非零量a + 3b7a 5b垂直a 4b7a 2b垂直求ab夹角
思维分析题应两量夹角公式树立整体求解思想
解析： (a + 3b)(7a 5b) 0 Þ 7a2 + 16a×b 15b2 0 ① (a 4b)(7a 2b) 0 Þ 7a2 30a×b + 8b2 0 ②两式相减：2a×b b2代入①②：a2 b2设ab夹角qcosq ∴q 60°
知识点类点拔利量数量积重性质结合量坐标运算解决涉长度角度垂直等解析立体代数等问题熟记灵活应性质：设ａｂ非零量①ａｂ数量积意义量ａ量ｂ方单位量正射影数量②ａ⊥ｂａ·ｂ＝０③ａ·ａ＝｜ａ｜２｜ａ｜＝④ｃｏｓθ＝⑤｜ａ·ｂ｜≤｜ａ｜·｜ｂ｜
练38（1）（2005高考江西卷）已知量夹角（ ）A．30° B．60° C．120° D．150°答案：C
（2）（2005浙江卷）已知量≠||＝1意t∈R恒|－t|≥|－|
(A) ⊥ (B) ⊥(－) (C) ⊥(－) (D) (＋)⊥(－)答案：C
易错点39量三角函数求值运算交汇
例39夹角θ1 夹角θ2值
易错点分析题解答程中学生量夹角运算三角变换结合起注意已知角表示两组量夹角程中易忽视角范围导致错误结
解析：
知识点类点拔高考数学命题注重知识整体性综合性重视知识交汇性量新课程新增容具体代数形式双重身份新旧知识重交汇点成联系知识桥梁量三角交汇高考命题必然趋势高考三角考查常常量知识载体结合量夹角量垂直量模量运算进行考查学生综合运知识解决问题力
练39（1）（2005高考江西）已知量令否存实数（中导函数）？存求出值存证明 答案：存实数等式成立
（2）（2005山东卷）已知量求值答案：
易错点40量解三角形交汇
例40ΔABC接O圆心1半径圆3＋4＋5①求数量积···②求ΔABC面积
思维分析第1题意知345三量模根数量积定义运算律量移项方第2问题意已知三角形分割成三三角形利正弦理解答
解析：①∵||||||13＋4＋5：3＋4－5两边方：92＋24·＋162252∴·0理：4＋5－3求·－3＋5－4求·－
②·0||||·－cos∠BOC－ ∴sin∠BOC－∴||||sin∠BOC·－cos∠COA－∴sin∠COA∴||||sin∠COA＋＋＋＋
知识点类点拔题考查量模量数量积运算表达三角形角面积
练40（1）（2005全国卷Ⅲ）△ABC中角ABC边分abc已知abc成等数列cosB＝（1）求cotA+cotC值（2）设求值
答案：（1）（3）
（2）已知量（22）量量夹角·－2①求量
②中AC△ABC角三角形三角A
BC次成等差数列试求|+|取值范围答案：①②
易错点41量相结合三角等式学生综合运知识解决问题力够
例41已知二次函数f(x)意x∈Rf(1－x)f(1＋x)成立设量(sinx2)(2sinx)(cos2x1)(12)x∈[0π]时求等式f(·)＞f(·)解集
易错点分析易忽视二次函数开口方讨三角量函数三者综合程度够
解析：设f(x)二次项系数m图象两点A(1－xy1)B(1＋xy2)1f(1－x)f(1＋x)y1y2x意性f(x)图象关直线x1称m＞0x≥1时f(x)增函数m＜0x≥1时f(x)减函数∵·（sinx2）·（2sinx）2sin2x＋1≥1·（cos2x1）·(12)cos2x＋2≥1∴m＞0时f(·)＞f(·)f(2sin2x＋1)＞f(cos2x＋2)2sin2x＋1＞cos2x＋21－cos2x＋1＞cos2x＋2cos2x＜02kπ＋＜2x＜2kπ＋k∈zkπ＋＜x＜kπ＋k∈z∵0≤x≤π ∴＜x＜m＜0时理0≤x＜＜x≤π综述等式f(·)＞f(·)解集：m＞0时{x|＜x＜m＞0时{x|0≤x＜＜x＜π
知识点分类点拔运函数单调性构造等式时定明确函数区间定义域单调性（忽视定义域限制）通题体会量等式函数三者综合提高已应知识解决综合问题力
练41定义域（－11）导点A(1())B((－)1)意∈(－11)恒成立试求满足等式(sincos)+(cos2)>0取值范围答案：()
易错点42量解析交汇
例42（03年新课程高考）已知常数a>0量c（0a）i（10）原点Oc+λi方量直线定点A（0a）i－2λc方量直线相交点P中λ∈R试问：否存两定点EF|PE|+|PF|定值存求出EF坐标存说明理
易错点分析题综合程度较高方面学生题意理解方量概念理解误面量问题情景结合圆锥曲线定义解答思维陷入僵局
解析：根题设条件首先求出点P坐标满足方程判断否存两定点点P两定点距离定值∵i（10）c（0a） ∴c+λi（λa）i－2λc（1－2λa）直线OPAP方程分 消参数λ点坐标满足方程
整理 ……① ：（i）时方程①圆方程存合题意定点EF（ii）时方程①表示椭圆焦点合题意两定点（iii）时方程①表示椭圆焦点合题意两定点
知识点类点拔题考查面量概念计算求轨迹方法椭圆方程性质利方程判定曲线性质曲线方程关系等解析基思想综合解题力高考中量圆锥曲线结合成高考命题旋律解题程中方面注意出量问题情景中转化出方面注意应量坐标运算解决解析问题：线段值长度夹角特垂直点线等问题提高已应量知识解决解析问题意识
练42（1）（2005全国卷1）已知椭圆中心坐标原点O焦点轴斜率1椭圆右焦点F直线交椭圆AB两点线（Ⅰ）求椭圆离心率（Ⅱ）设M椭圆意点证明定值
答案：（1）（2）1
（2） （02年新课程高考天津卷）已知两点M（10）N（10）点P···成公差零等差数列（1）点P轨迹什曲线？（2）点P坐标（）记夹角求答案：①点P轨迹原点圆心半径右半圆②tan|y|
（3）（2001高考江西山西天津）设坐标原点O抛物线y22x焦点直线交AB两点等（ ）A B－ C3 D－3答案：B
易错点43解析量数量积性质涉模夹角等结合
例43已知椭圆C：动点定点中距离值1（1）请确定M点坐标（2）试问否存M点直线椭圆C两交点AB满足条件（O原点）存求出方程存请说理
思维分析题解题关键条件知条件转化点坐标运算结合韦达定理解答
解析：设时值时时取值解合题意舍综知满足题意时M坐标（10）
（2）题意知条件等价斜率存时C交点时设方程代入椭圆方程整理点M椭圆部恒成立知韦达定理代入式合题意综知样直线存
知识点类点拔解题程中注意量出条件转化量坐标运算两交点坐标联系起然应韦达定理建立起关系式题解答具强示范性请学认真体会融会贯通
练43已知椭圆焦点x轴中心坐标原点右焦点圆心焦点圆右准线截两段弧长21面定点（1）求椭圆方程（2）直线椭圆交图两点AB令求函数值域答案：（1）（2）
[易错点44]牢记常求导公式求复合函数导数分清函数复合关系
例44函数 导数
[易错点分析]复合函数变量导数等已知函数中间变量导数中间变量变量导数
解析：
知识点类点拨掌握复合函数求导方法关键分清函数复合关系适选定中间变量分步计算中步明确变量求导中特注意中间变量系数
[练44]（2003年江苏21）已知n正整数设证明
（1） 设意证明
解析：证明：（1）
（2）函数求导数：时 关x增函数时意
易错点45求曲线切线方程
例45（2005高考福建卷）已知函数图象点P（02）点M（－1f（－1））处切线方程 （Ⅰ）求函数解析式
思维分析利导数意义解答
解析：（Ⅰ）图象P（02）知d2
处切线方程知
求解析式
知识点类点拔导数意义函数yf(x)点处导数曲线y(x)点处切线斜率．利导数求曲线切线方程．具体求法分两步： (1)求出函数yf(x)点处导数曲线yf(x)点处切线斜率(2)已知切点坐标切线斜率条件求切线方程 特果曲线yf(x)点处切线行y轴时导数存根切线定义切线方程利导数意义作解题工具出现解析综合试题中复时注意点
练45（1）（2005福建卷）已知函数图象点M（－1f(x)）处切线方程x+2y+50
（Ⅰ）求函数yf(x)解析式答案：
（2）（2005高考湖南卷）设点P（0）函数图象公点两函数图象点P处相切线（Ⅰ）表示abc答案：
易错点46利导数求解函数单调区间值域
例46( 2005全国卷III)已知函数（Ⅰ）求单调区间值域
（Ⅱ）设函数意总存成立求取值范围
易错点分析利导数求函数单调区间然树立起定义域优先意识时培养已求导解等式运算力第（Ⅱ）问注意问题进行等价转化转化函数区间值域函数值域子集转化求解函数区间值域
解析(Ⅰ) 令解单调递减函数单调递增函数值域[43]单调递减区间
单调递增区间值域[43]( 单调区间闭区间)
（Ⅱ）∵时
时减函数时
时
存
取值范围
知识点分类点拔高考导数考查定位作解决初等数学问题工具出现侧重考查导数函数解析中应方面：①运导数关知识研究函数值问题直高考长考衰热点容．方面数学角度反映实际问题建立数学模型转化函数值值问题利函数导数利解决函数值值问题进步解决实际问题．导数研究函数性质初等方法研究方便导数函数中应作2006年高考命题重点应引起高度注意．单调区间求解程已知 （1）分析 定义域 （2）求导数 （3）解等式解集定义域部分增区间（4）解等式解集定义域部分减区间函数单调区间合函数单调区间合函数单调递增单调递增知函数处连续单调递增理减区间合相邻区间单调性相公点处函数连续二区间合区间
练46（1）（2005高考北京卷）已知函数f(x)－x3＋3x2＋9x＋a （I）求f(x)单调递减区间（II）f(x)区间[－22]值20求该区间值．答案：（1）（－∞－1）（3＋∞）（2）－7
（2）(2005 全国卷III)长90cm宽48cm长方形铁皮做盖容器先四角分截正方形然四边翻转90°角焊接成(图)问该容器高少时容器容积容积少
答案：x10时V值V(10)1960
易错点47二项式展开式通项中ab序颠倒容易出错
例47展开式中第三项系数第二项系数162x次项
易错点分析题中序颠倒项发生变化导致出错
解析：椐题意：
知识点类点拨二项式展开式相通项公式应项相遇类似问题时注意区分
练47（潍坊高三质量检测）展开式中第5项第12项系数绝值相等展开式常数项
解析：题意
令：展开式中常数项：
易错点48二项式展开式中项系数二项式系数概念掌握清容易混淆导致出错
例48展开式中系数 二项式系数
易错点分析通项公式中二项式系数项系数
解析：令项二项式系数项系数
知识点类点拨二项展开式中利通项公式求展开式中具某特性项类典型问题通常做法确定通项公式中r取值取值范围须注意二项式系数项系数区联系
练48（2005高考山东卷）果展开式中项系数128展开式中系数（ ）（A）7 （B） （C）21 （D）
答案：时根二项式通项公式
时应项系数
易错点49二项式系数项展开式系数项两概念求法差次概念清导致出错
例49已知展开式中第五项系数第三项系数10：1
求展开式中系数项二项式系数项
易错点分析二项展开式二项式系数二项式系数性质求n偶数时中间项二项式系数n偶数时中间两项二项式系数相等时取值求系数值项位置定中间需利通项公式根系数值增减性具体讨定
解析：题意知第五项系数第三项系数设展开式中第r项第r+1项第r+2项系数绝值分第r+1项系数绝值解： 系数值知第五项二项式系数时
知识点类点拨展开式中系数项中间项ab系数1时系数值位置定中间通解等式组确定
练49（2000年海）二项式展开式中系数项系数 （结果数值表示）
解析：展开式中第r+1项项系数r奇数项系数
易错点50排列组合问题分清否序关导致方法出错
例50六书列方式分配问少种分配方式？
（1） 分成123三组
（2） 分甲乙丙三中111 两13
（3） 均分成三组组2
（4） 分甲乙丙三2
易错点分析分成三组序关组合问题分三序关排列问题
解析：(1)分三步：先选种选法余5中选两种选法余三全选种选法分步计数原理知分配方式：
（2）甲乙丙三（1）题基础考虑分配问题分配方式种
（3）先分三步：应种方法里容易出现重复妨记六书第步取AB第二步取CD第三步取EF记该种分法（ABCDEF）中（ABEFCD）（CDEFAB）（CDABEF）（EFCDAB）（EFABCD）种情况情况仅ABCDEF序次作种分法分配方式种
（5） 问题（3）基础分配分配方式种
知识点类点拨题关分组分配问题类极易出错题型词类问题关键搞清楚否序关分清先选排分类分步完成等均分组问题更注意序避免计算重复遗漏
练50（2004年全国9）5位男教师4位女教师中选出3位教师派三班担班（班位班）求三位班中男女教师选派方法（ ）
A 210种 B420种 C630种 D840种
解析：首先选择3位教师方案：①男两女计②两男女：计40
次派出3位教师方案6选派方案种
易错点51正确分析种常见排列问题恰选择排列方法导致出错
例51四男学三女学站成排
（1） 三女学必须排起少种排法？
（2） 两女学彼相邻少种排法？
（3） 中甲乙两学间必须恰3少种排法？
（4） 甲乙两相邻丙相邻少种排法？
（5） 女学左右高矮序排少种排法？（三女生身高互相等）
易错点分析排列问题常见题型相邻问题相邻问题序定问题等果题意理解够充分选择错误方法
解析：（1）3女学特殊元素先排列种排法3 学必须排起视排女学整体男学排队时五元素全排列应
种排法法原理种排法
（2）先男生排种排法4男生中间两头5 空中插入3女生种方案符合条件排法种
（3）甲乙2先排种排法余5中选三排甲乙2中间种排法时已排5作整体剩2排种排法样总种排法
（4）先排甲乙丙3外四种排法甲乙相邻甲乙排种排法甲乙排整体丙分插入原先排4空中种排法样总种排法
（5）七位置中选出4位置男生排种排法然余空位置中排女生女生高矮排列仅种排法样总种排法
知识点类点拨解决限制条件排列问题方法：①直接法：②间接法：排符合求情形③般先特殊元素特殊位置入手
练52（2004年辽宁）两排座位前排11座位排12座位现安排2坐规定前排中间三座位坐2左右相邻排法种数（ ）
A234 B346 C350 D363
解析：前两排连起掉前排中间3座位种加4种算相邻种
易错点53二项式展开式通项公式事件A发生k次概率：二项分布列概率公式：三者形式相似应容易混淆导致出错
例53（2004年全国理）某学参加科普知识竞赛需回答三问题竞赛规规定：题回答正确100分回答正确
—100分假设名学题回答正确概率均08题回答正确否相互间没影响
（1） 求名学回答三问题总分概率分布数学期
（2） 求名学总分负分（）概率
易错点分析满足二项分布分布列概率计算公式中机变量二项分布条件理解出错
解析：（1）取值—300—100100300
概率分布
—300
—100
100
300
P
0008
0096
0384
0512
根概率分布期
（2）名学总分负分概率
知识点类点拨二项分布种常见重离散型机变量分布列概率独立重复实验n次中发生k次概率解决实际问题时定清否满足二项分布
练53（2004年重庆理18）设汽车前进途中4路口汽车路口遇绿灯（允许通行）概率遇红灯（禁止通行）概率假定汽车遇红灯达目停止前进表示停车时已通路口数求：
（1）概率分布列期（2）停车时已通3路口概率
解析：（1）值01234表示汽车通第k路口时停独立
分布列
0
1
2
3
4
P
（2）
易错点54正态总体概率密度函数时作标准正态总体概率密度函数两者范围
例54灯泡厂生产白炽灯泡寿命（单位：时）已知灯泡均寿命1000时概率问灯泡低寿命应控制910时
易错点分析服正态分布应利正态分布性质解题
解析：灯泡寿命概率取值概率灯泡低寿命应控制910时
知识点类点拨正态分布中总体均数总体标准差外正态分布概率取值概率解题时应注意正态分布区间取值概率混淆否出现计算失误
练54总体符合该总体（12）概率
解析：题意
易错点55数列两基极限①②两极限成立条件前者者
例55等数列中n项满足取值范围（ ）
A B C D
易错点分析利穷递缩等数列项公式求范围时容易忽视条件
解析：设公q知
知识点类点拨公绝值1穷等数列前n项n限增时极限做穷数列项
练55求a取值范围
解析：
易错点56立体图形截面问题
例56（2005哈师附中东北师附中高三第二次联考）正方体EF分中点p动点（包括端点）EDP作正方体截面截面四边形P轨迹（）
A 线段B线段C线段点D线段点C
易错点分析学生空间想象力足面基定理线面行定理作两面交线
解析：图点P线段移动时易线面行性质定理知：直线DE行面DE截面DEP面交线必行两面交线点PDE行直线点P线段CF时PDE行直线直线交点线段时截面四边形（实质行四边形）特P点恰点F时时截面行四边形点P线段时图分延长DEDP交点HG面基定理知点HG
截面DEP面GH两面交线连结GH分交点KN（注交两直线延长线）分连结EKKNPN截面DEKNP时五边形选C
知识点类点拔高考面截立体图形面图形考查实质学生空间想象力面基定理线面行面面行性质定理考查考生类型题感吃力实质高中阶段作截面方法非两种：种利面基定理：条直线两点面条直线点面两面相交仅条通该公点直线（交线）（注意该定理应证明诸线点方法：先证明中两线相交证明交点第三条直线转化点两面公点第三条直线两交线定理知交点第三条直线诸点线：证明诸点某两面公点点转化两交线）两种定理做两面交线两面通空间想象分取两组直线分相交交点必两面公点两交点连线两交线种方法线面行面面行性质定理寻找线面行面面行关系然根性质作出交线般情况两种方法结合应
练56（1）（2005高考全国卷二）正方体ABCD—A1 B1 C1 D1中PQR分ABADB1 C1中点正方体PQR截面图形（）
（A）三角形 （B）四边形 （C）五边形 （D）六边形 答案：D
（2）正三棱柱中PQR分中点作出三点PQR截正三棱柱截面说出该截面形状答案：五边形
易错点57判断空间点两异面直线成相等角直线条数
例57（93全国考试）果异面直线ab角P空间定点点Pab成角
直线条？
A条 B二条 C三条 D四条
易错点分析点P两异面直线成相角直线位置关系空间想象足明确两直线角两异面直线成角约束关系
解析：图点P分作ab行线成角点P成相等角直线必异面直线ab成相等角点P直线L成相等角样直线L确定面射影角分线时必时时样直线存两条时样直线存选B
知识点分类点拔解决异面直线成角问题关键定义基思想移时题说解决两异面直线成等角直线条数两异面直线移空间点时方面考虑面两相交直线成等角直线角分线否满足题意方面思考空间中面两相交直线成等角直线条数时关键搞清面外直线面直线成角面直线面外直线面射影成角关系公式（中直线面成角）易知（角定理）般异面直线ab成角Lab成角均式结：时样直线存时样直线条时样直线两条时样直线3条时样直线四条
练57果异面直线ab角P空间定点点Pab成角直线条？
A条 B二条 C三条 D四条 答案：C
易错点58关线面行证明问题中定理理解够准确忽视三条件中某
例58图矩形ABCD面MN分ABPC中点求证：面
[易错点分析]：描述条件中容易忽视
A
B
P
C
D
M
N
E
解析：取PD中点E连结AEEN
行四边形
[知识点类点拨]判定直线面行判定定理通线线行判定线面行指直线指面外条直线行面条直线应该定理证线面行时三条件缺
C
B
A
P
D
O
练58（2005浙江）图三棱锥P—ABC中
点OD分ACPC中点面求证：OD面PAB
证明：分ACPC中点
面
易错点59两面行判定定理易条件误记面两条相交直线面两条相交直线分行容易导致证明程跨步太
例59图正方体中MNP分中点
求证：面MNP面
易错点分析题容易证MNMPBD直接出面
解析：连结分中点
理：
知识点类点拨面行问题判定证明转化面直线面行问题线面行面面行必须注意里线面指面两条相交直线面定理中条件缺
练59正方体中（1）MN分棱中点EF分棱中点求证：①EFBD面
②面AMN面EFDB③面面
证明：（1）①EFBD面
②易证：MNEF设
③连结AC正方体理证
易错点60求异面直线成角成角容易忽视证明垂直方法求夹角重方法
例60（2001全国9）三棱柱中成角（ ）A B C D
易错点分析忽视垂直特殊求法导致方法浪费时间
解析：图分中点
连结设
AD面射影
垂直
知识点类点拨求异面直线成角直线面成角二面角时特殊角时采证明垂直方法求
练60（2005年浙江12）
设MN直角梯形ABCD两腰中点E
（图）现DE折起二面角
时点A面BCDE
射影恰点BMN连线AE成角
等
解析：易知取AE中点Q连MQBQNBC中点
MN连线AE成角
易错点61求异面直线成角直线面成角二面角时容易忽视成角范围出现错误
例61图棱长1正方体中MNP分中点求异面直线成角
D
C
B
A
A1
D1
B1
C1
N
M
P
[易错点分析]异面直线成角范围利余弦定理求异面直线成角时出现角余弦值负值错误出异面直线成角钝角时应转化正值求出相应锐角异面直线成角
解析：图连结中点
AM成角成角
易证≌
成角
设AB中点QCNAM成角（补角）
易求中余弦定理
成角
知识点类点拨历届高考中求夹角缺少重题型牢记类角范围两条异面直线成角范围：直线面成角范围：二面角面角取值范围：时量求解两异面直线成角时注意两异面直线成角两量夹角联系区
练61（济南统考题）已知行六面体中底面边长1正方形侧棱长2侧棱夹角等（1）求角线长（2）求直线夹角值答案：（1）（2）（提示采量方法
组基底求两异面直线成角余弦值）
易错点62度纬度两概念度二面角纬度线面角二者容易混淆
例62图北纬纬线圈B两点分东东
度设球半径R求B两点球面距离
易错点分析求AB两点距离求B两点球心角正确描述纬线角度角关键
解析：设北纬圈圆心球中心O
连结AB两点间球面距离
知识点类点拨数学某点度：点线轴确定面初子午线（线）轴确定半面成二面角度数某点纬度：点球半径赤道面成角度数图：
图（1）：度——P点度度数
图（2）：纬度——P点纬度度数
练62（2005高考山东卷）设球半径甲位北纬东乙位南纬东甲乙两球面距离（ ）
（A） （B） （C） （D）
答案：D图示东北纬线交A点
东南纬线交C点设球心
B点
B点圆心ACD
圆求
易错点63量知识立体方面应
例63图 直四棱柱ABCD－A1B1C1D1中AB＝AD＝2DC＝2AA1＝AD⊥DCAC⊥BD 垂足未E（I）求证：BD⊥A1C（II）求二面角A 1－BD－C 1（III）求异面直线 AD BC 1成角．
易错点分析题考查学生运量法中坐标运算方法解决立体问题学生解题中方面根条件建立恰空间坐标系方面建系学生正确找点坐标者没运量知识解决问题意识
解析：解法：（I）直四棱柱中
底面 面射影
（II）连结
（I）理证
二面角面角
中 二面角
（III）B作交连结 成角
中
异面直线成角
解法二：（I）解法
（II）图D坐标原点
直线分轴轴轴建立空间 直角坐标系
连结（I）理证
二面角面角
二面角
（II）图
异面直线成角
解法三：（I）解法
（II）图建立空间直角坐标坐标原点E
连结
（I）理证
二面角面角
二面角
（III）图
异面直线成角
知识点分类点拔解决关量问题时善运量移伸缩合成分解等变换正确进行量种运算加深量质认识二量坐标运算体现数形互相转化密切结合思想量数量积常关量相等两量垂直射影夹角等问题中常量直角坐标运算证明量垂直行问题利量夹角公式距离公式求解空间两条直线夹角两点间距离问题空间量解决立体问题般程进行思考：①解决问题什量知识解决？需量？②需量否已知？未知否已知条件转化成量直接表示？③需量直接已知条件转化成量表示分易未知量表示？未知量已知条件转化量关系？④样已表示出需量进行运算需结？
练63（2005高考淅江东）图三棱锥中
点分中点
(I) 求证 (II) 时求直线
面成角(III) 取值时面PBC射影恰重心
答案方法：
（Ｉ）ＯＤ分中点
面面
(II)
面
取中点Ｅ连结面
作F连结面
面成角
面成角等
中
面成角
（III）II知面面射影
中点点重心三点线
直线面射影直线
反时三棱锥正三棱锥
面射影重心
方法二
面
原点射线非负轴建立空间直角坐标系(图)
设设
(I) DPC中点＝＝ 面
(II)
求面法量
设面成角面成角
(III) 重心
面 反时三棱椎正三棱锥面射影重心
易错点64常见体体积计算公式特棱锥球体积公式容易忽视公式系数导致出错
例64（2003年天津理12）棱长a正方体中连结相邻面中心线段棱八面体体积（ ）A
B C D
易错点分析正确分析图形采割补法
解析：图八面体分割两正四棱锥
选C
知识点类点拨计算简单体体积选择某面作底面选择前提条件面高易求
练64（2004全国20）图四棱锥P—ABCD中底面ABCD 矩形AB8AD侧面PAD 等边三角形底面成二面角求四棱锥P—ABCD体积
解析：图AD中点E连结PE作面ABCD垂足O连结OE
根三垂线定理逆定理侧面PAD底面成二面角面角已知条件四棱锥P—ABCD体积
易错点65求点面距离方法直接法等体积法换点法
例65（2005年春季海19）图已知正三棱锥
P—ABC体积侧面底面成二面角
（1） 证明
（2） 求底面中心O侧面距离
解析：（1）证明：取BC边中点D连结ADPD
（2）解：图（1）知面PBC面APD侧面底面成二面角面角
点O做E垂足OE点O侧面距离设OEh题意知点OAD底面中心O侧面距离3
知识点类点拨求点面距离般该点面引垂线确定垂足转化解三角形求边长者利空间量表示点面垂线段设法求出该量转化计算量模助体积公式利等积求高
练65 图直三棱柱ABC—A1B1C1中
底面等腰直角三角形∠ACB90°
侧棱AA12DE分CC1A1B中点
点E面ABD射影△ABD垂心G
（Ⅰ）求A1B面ABD成角
（结果反三角函数值表示）
（Ⅱ）求点A1面AED距离
解析：连结BGBGBE面ABD射影∠EBGA1B面ABD成角
设FAB中点连结EFFC
（Ⅱ）连结A1D
设A1面AED距离h
A1面AED距离
易错点62二面角面角求法定义法三垂线法垂面法等
例62 图示正三棱柱ABC－A1B1C1中已知AA1＝A1C1＝aEBB1中点截面A1EC⊥侧面AC1．求截面A1EC底面A1B1C1成锐二面角度数．
解法1 ∵截面A1EC∩侧面AC1＝A1C．连结AC1正三棱ABC－A1B1C1中
∵截面A1EC⊥侧面AC1
数求二面角度数．易∠A1AC1＝45°求二面角度数45°．
解法2 图3示延长CEC1B1交点F连结AF截面A1EC∩面A1B1C＝AF．
∵EB1⊥面A1B1C1∴B1作B1G⊥A1F交A1F点G
连接EG三垂线定理知∠EGB1求二面角面角．
求二面角度数45°．
知识点类点拨二面角面角作法：（1）垂面法：指根面角定义作垂直棱面通面二面角两面交线出面角（2）垂线法：指二面角棱取特殊点点二面角两半面作两条射线垂直棱两条射线成角二面角面角（3）三垂线法：指利三垂线定理逆定理作出面角
练65图已知直三棱柱ABC－A1B1C1侧棱长2底面△ABC中
∠B90°AB1BCD侧棱CC1点BD底面成角30°
（1）求点DAB直线距离 （2）求二面角A1－BD－B1度数
解析：①∵CC1⊥面ABC ∠B90°∴DB⊥AB
∴DB长点DAB直线距离
∠DBCBD底面成角∠DBC30°
∵BC ∴BD2
②B1作B1E⊥BDE连A1E∵BB1⊥ABAB⊥BCBB1∩BCB∴AB⊥面BCC1B1∵A1B1∥AB∴A1B1⊥面BCC1B1∵B1E⊥BD∴A1E⊥BD∠A1EB1面A1BD面BDC1B1成二面角面角 连 B1D ∵BCBD2∴CD1 ∵CC12∴DCC1中点 ∴S△BDB1SBCC1B1 ∴B1E·BDBC·CC1 B1E·2·2∴B1ERt△A1B1E中
tan∠A1EB1
易错点66直线双曲线位置关系通分析直线方程渐进线方程位置关系联立直线方程双曲线方程通判式两种方法会忽视特殊情形
例66点（03）作直线l果双曲线公点直线l条数（ ）
A1 B2 C3 D4
易错点分析探讨直线双曲线位置关系时考虑直线方程双曲线方程解情况容易忽视直线渐进线行特殊情况时构成方程次
解析：数形结合方法：点（03）双曲线公点直线分两类类行渐进线两条类双曲线相切两条图示：
O
y
x
(03)
选（D）
知识点类点拨直线双曲线位置关系分：相交相离相切三种判定方法两种：
直线方程双曲线方程联立消未知数元二次方程
（1） 直线双曲线相交两交点直线渐进线行交点
（2） 直线双曲线相切公点
（3） 直线双曲线相离没公点
y
x
O
二利数形结合思想
练66（2004年浙江理21）图已知双曲线中心原点
右顶点A（10）PQ双曲线右支点M（m0）
直线AP距离1
（1）直线AP斜率1求实数m取值范围
解析：（1）图条件直线AP方程
点M直线AP距离1
o
A
Q
P
M
解m取值范围
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会全直成制约学生数学成绩提高重素成学生挥痛解决问题决定学生高考成败起着关重作文结合笔者年高三教学验精心挑选学生考试中常见66易错易混易忘典型题目问题高考中热点重点做力避偏怪难进行精彩剖析配年高考试题作相应练方面明确样问题高考中确实存方面通作针性练帮识破命题者精心设计陷阱达授渔目助高考中风破浪实现已理想报负
易错点1忽视空集非空集合子集导致思维全面
例1 设求实数a组成集合子集少？
易错点分析题条件易知空集非空集合子集解题中极易忽略种特殊情况造成求解满足条件a值产生漏解现象
解析：集合A化简知（Ⅰ）时方程解时a0符合已知条件（Ⅱ）时方程解35代入综满足条件a组成集合子集
知识点类点拔（1）应条件A∪B＝ＢA∩B＝ＡＡＢ时树立起分类讨数学思想集合Ａ空集Φ情况优先进行讨．
（2）解答集合问题时注意集合性质确定性序性互异性特互异性集合元素限制时需进行检验求解结果满足集合中元素性质外解题程中注意集合语言（数学语言）然语言间转化：中求r取值范围集合表达数学语言然语言进行转化：集合A表示原点圆心2半径圆集合B表示（34）圆心r半径圆两圆公点两圆相离含时求半径r取值范围思维马利两圆位置关系解答外等式解集等注意集合语言应
练1已知集合实数a取值范围 答案：
易错点2求解函数值域单调区间易忽视定义域优先原
例2已知求取值范围
易错点分析题学生容易利消元思路问题转化关x函数值求解极易忽略xy满足条件中两变量约束关系造成定义域范围扩
解析：(x+2)21≤1∴3≤x≤1x2+y23x216x12
+x1时x2+y2值1 x时x2+y2值x2+y2取值范围[1 ]
知识点类点拔事实解析角度理解条件xy限制显然方程表示（20）中心椭圆易知3≤x≤1外题通三角换元转化三角值求解
练2（05高考重庆卷）动点（xy）曲线变化值（）
（A）（B）（C）（D）
答案：A
易错点3求解函数反函数易漏掉确定原函数值域反函数定义域
例3 R奇函数（1）求a值（2）求反函数
易错点分析求解已知函数反函数时易忽略求解反函数定义域原函数值域出错
解析：（1）利（）求a1
（2）设
知识点类点拔（1）求解函数反函数时定通确定原函数值域反函数定义域反函数解析式表明（反函数定义域R省略）
（2）应省略求反函数步骤直接利原函数求解应注意变量函数值互换
练3（2004全国理）函数反函数（）
A B
C D
答案：B
易错点4求反函数反函数值错位
例4已知函数函数图图象关直线称解析式（）
A B C D
易错点分析解答题时易互反函数认反函数错选A
解析：求反函数正确答案：B
知识点分类点拔函数函数互反函数表示中xx1代反函数值求反函数程：设
xy互换反函数反函数求解题问题时定谨慎
练4（2004高考福建卷）已知函数ylog2x反函数yf1(x)函数y f1(1x)图象（）
答案：B
易错点5判断函数奇偶性忽视函数具奇偶性必条件：定义域关原点称
例5 判断函数奇偶性
易错点分析题常犯错误考虑定义域步骤求解：出函数非奇非偶函数错误结
解析：函数解析式知x满足函数定义域定义域关原点称定义域易证函数奇函数
知识点类点拔（1）函数定义域关原点称函数具奇偶性必充分条件判断函数奇偶性时定先研究函数定义域
（2）函数具奇偶性定义域x恒等式常常利点求解函数中字母参数值
练5判断列函数奇偶性：
①②③
答案：①奇函数偶函数②非奇非偶函数③非奇非偶函数
易错点6易忘原函数反函数单调性奇偶性关系导致解题程繁锁
例6 函数反函数证明奇函数定义域增函数
思维分析求表达式证明注意具相单调性奇偶性需研究原函数单调性奇偶性
解析：奇函数奇函数令均增函数增函数分增函数分分增函数
知识点类点拔反函数知识重结：（1）定义域单调函数必反函数（2）奇函数反函数奇函数原函数反函数具相单调性（3）定义域非单元素偶函数存反函数（4）周期函数存反函数（5）原函数定义域值域反函数定义域值域换
练6（1）（99全国高考题）已知 结正确（）
A 奇函数增函数 B 奇函数减函数
C 偶函数增函数 D 偶函数减函数
答案：A
（2）（2005天津卷）设函数反函数成立取值范围（）A B C D
答案：A （时单调增函数）
易错点7证明判断函数单调性定义出发注意步骤规范性树立定义域优先原
例7试判断函数单调性出证明
易错点分析解答题中证明判断函数单调性必须函数性质解答特注意定义中意性函数单调区间必函数定义域子集树立定义域优先意识
解析：函数奇函数需判断函数单调性设 时时函数增函数理证函数减函数函数奇函数函数减函数增函数综述：函数分增函数分减函数
知识类点拔（1）函数单调性广泛应较解等式求参数范围值等问题中应引起足够重视
（2）单调性定义等价形式：增函数
减函数表明增减性意义：增（减）函数图象意两点连线斜率（）零
（3）种重函数模型引起重视注意应注意题中说增函数减函数叙述函数单调区间时单调区间间添加符号∪
练7（1） （潍坊市统考题）（1）单调性定义判断函数单调性（2）设值求解析式
答案：（1）函数增函数减函数（2）
（2） （2001天津）设R偶函数（1）求a值（2）试判断函数单调性出证明
答案：（1）（2）函数增函数（证明略）
易错点8解题中误必条件作充分条件充分必条件误作充条件导致错误结
例8（2004全国高考卷）已知函数减函数求a取值范围
易错点分析单调递减充分必条件解题程中易误作充条件R递减
解析：求函数导数（1）时减函数解（2）时易知时函数R减函数（3）时R存区间时函数减函数综求a取值范围
知识类点拔函数导导数函数单调性关系现增函数例说明：①增函数关系推出增函数反定函数单调递增∴增函数充分必条件②时增函数关系根作分界点规定抠分界点时增函数定∴时增函数充分必条件③增函数关系增函数定推出反定函数某区间恒常数函数具单调性∴增函数必充分条件函数单调性函数条重性质高中阶段研究重点定握三关系导数判断函数单调性新教材解决单调区间端点问题律开区间作单调区间避免讨问题简化问题实际应中会遇端点讨问题谨慎处理
题第步进行讨确保充性解题中误必条件作充分条件充分必条件误作充条件导致错误需学学程中注意思维严密性
练8（1）（2003新课程）函数单调函数充条件（）
A B C D
答案：A
（2）否存样K值函数递减递增？
答案：（提示题意结合函数连续性知函数递减递增必条件定充分条件求出K值检验）
易错点9应重等式确定值时忽视应前提条件特易忘判断等式取等号时变量值否定义域限制范围
例9 已知：a>0 b>0 a+b1求(a+)2+(b+)2值
错解 (a+)2+(b+)2a2+b2+++4≥2ab++4≥4+48∴(a+)2+(b+)2值8
易错点分析 面解答中两次基等式a2+b2≥2ab第次等号成立条件ab第二次等号成立条件ab显然两条件时成立8值
解析：原式 a2+b2+++4( a2+b2)+(+)+4[(a+b)22ab]+ [(+)2]+4 (12ab)(1+)+4ab≤()2 ：12ab≥1≥161+≥17∴原式≥×17+4 (仅ab时等号成立)∴(a+)2+(b+)2值
知识类点拔应重等式求解值时注意三前提条件缺正二定三相等解题中容易忽略验证取提值时等号成立变量值否定义域限制范围
练9（97全国卷文22理22）甲乙两相距s km 汽车甲匀速行驶乙速度超c kmh 已知汽车时运输成（元单位）变部分固定部分组成：变部分速度v（kmh）方成正例系数b固定部分a元
（1） 全程运输成y（元）表示速度v（kmh）函数指出函数定义域
（2） 全程运输成汽车应速度行驶？
答案（1）（2）全程运输成≤c时行驶速度v＞c时行驶速度vc
易错点10涉指型函数单调性关问题时没根性质进行分类讨意识易忽略数函数真数限制条件
例10否存实数a函数增函数？存求出a值存说明理
易错点分析题考查数函数单调性复合函数单调性判断方法解题程中易忽略数函数真数零限制条件导致a范围扩
解析：函数复合成根复合函数单调性判断方法（1）a>1时增函数增函数零解a>1（2）a<1时增函数减函数零等式组解综述存实数a>1函数增函数
知识类点拔熟练掌握常初等函数单调性：次函数单调性取决次项系数符号二次函数单调性决定二次项系数符号称轴位置指数函数数函数单调性决定底数范围（11）特解决涉指复合函数单调性问题时树立分类讨数学思想（数型函数注意定义域限制）
练10（1）（黄岗三月分统考变式题）设试求函数单调区间
答案：函数单调递减单调递增函数单调递增单调递减
（2）（2005 高考天津）函数区间单调递增取值范围（）A B C D
答案：B（记时增函数需恒成立矛盾排CD时函数需恒成立排A）
易错点11 换元法解题时易忽略换元前等价性．
例11已知求值
易错点分析题学生通条件问题转化关函数进利换元思想令问题变关t二次函数值求解极易忽略换元前变量等价性造成错解
解析：已知条件（结合）令原式根二次函数配方：时原式取值
知识点类点拔知识基础方法手段思想深化提高数学素质核心提高学生数学思想方法认识运数学素质综合体现力解数学题时某式子成整体变量代问题简化换元法换元实质转化关键构造元设元理等量代换目变换研究象问题移新象知识背景中研究非标准型问题标准化复杂问题简单化变容易处理换元法称辅助元素法变量代换法通引进新变量分散条件联系起隐含条件显露出者条件结联系起者变熟悉形式复杂计算推证简化
练11（1）（高考变式题）设a>0000求f(x)＝2a(sinx＋cosx)－sinx·cosx－2a值值
答案：f(x)值－2a－2a－值
（2）等式>ax＋解集(4b)a＝________b＝_______
答案：（提示令换元原等式变关t元二次等式解集）
易错点12已知求时 易忽略n＝１情况．
例12（2005高考北京卷）数列前n项（1）求值数列通项公式
易错点分析题应关系时误认意n值成立忽略n1情况验证易出数列等数列错误结
解析：易求该数列第二项开始等数列
知识点类点拔数列间关系：利两者间关系已知求注意适合时两者合否写分段函数形式
练12（2004全国理）已知数列满足数列通项
答案：（条件右端视数列前n1项利公式法解答）
易错点13利函数知识求解数列项前n项值时易忽略定义域限制正整数集子集（1开始）
例13等差数列首项前n项时问n值时
易错点分析等差数列前n项关n二次函数问题转化求解关n二次函数值易忘记二次函数定义域正整数集限制条件
解析：题意知函数n变量二次函数时二次函数开口时取值偶数时
奇数时时
知识点类点拔数列通项公式前n项公式视定义域正整数集子集（1开始）函数解题程中树立函数思想观点应函数知识解决问题特等差数列前n项公式关n二次函数没常数项反满足形应数列必然等差数列前n项时知数列中点直线重结外形前n项应数列必等数列前n项
练13（2001全国高考题）设等差数列前n项列结错误（）ABC D均值
答案：C（提示利二次函数知识等差数列前n项关n二次函数称轴结合单调性解答）
易错点14解答数列问题时没结合等差等数列性质解答解题思维受阻解答程繁琐
例14已知关方程四根组成首项等差数列求值
思维分析注意两方程两根相等隐含条件结合等差数列性质明确等差数列中项排列
解析：妨设方程根两方程两根相等等差数列性质知方程根等差数列第四项方程两根等差数列中间两项根等差数列知识易知等差数列：
知识点类点拔等差数列等数列性质数列知识重方面解题中充分运数列性质起事半功倍效果例等差数列等数列数列等数列前n项成等数列数列等差数列前n项成等差数列等性质熟练灵活应
练14（2003全国理天津理）已知方程四根组成首项等差数列（） A1 B C D
答案：C
易错点15等数列求公式求时易忽略公ｑ＝１情况
例15数列中数列公（）等数列
（I）求成立取值范围（II）求数列前项．
易错点分析等数列前n项易忽略公q1特殊情况造成概念性错误者学生没定义出发研究条件数列公（）等数列数列奇数项偶数项成等数列找解题突破口思维受阻
解：（I）∵数列公等数列∴（）解．
（II）数列公等数列表明数列奇数项成等数列偶数项成等数列公∴时
时．
知识点类点拔题中拆成两数列等数列中解题关键种出数列形式值关注外奇数项偶数项成等数列公相等整数列成等数列解题时慎重写出数列前项进行观察出正确结等数列求定注意公1种特殊情况高考里设计陷阱考生产生现全错误
练15（2005高考全国卷第问）设等数列公q前n项（1）求q取值范围
答案：
易错点16数列求中求等差数列等数列积构成数列前n项会采错项相减法解答结果位
例16．（2003北京理）已知数列等差数列
（1）求数列通项公式（2）令求数列前项公式
思维分析题根条件确定数列通项公式数列通项公式分析知数列等差数列等数列构成差数列错项相减方法求
解析：（1）易求
（2）（1）令（Ⅰ）（Ⅱ）（Ⅰ）减（Ⅱ）（注意错位相减）时
综：
时
知识点类点拔般情况数列中数列分等差数列等数列前n项通原数列项基础等数列公错项相减方法求解实际课等数列求公式种情况特例
练16（2005全国卷理）已知时求数列前n项
答案：时时
易错点17根数列通项特点寻找相应求方法应裂项求方法时裂项抵消项规律清导致项少项
例17求…．
易错点分析题解答时方面通项入手分析项特点难找解题突破口次裂项抵消中间项程中消项剩余项规律清导致解题失误
解：等差数列前项公式∴取…分…∴
．
知识类点拔裂项法两特点分式分子相二项分母两数（三更）相两数第数前项第二数果具备特点进行转化明确消项规律般情况剩余项前称常见变形题题外形式例：求方法抓通项问题会容易解决外类似裂项法题目：求前项通分母理化方法解决数列求常方法：公式法裂项相消法错位相减法倒序相加法等
练17（2005济南统考）求＋＋＋…＋．
答案：…＝．
易错点18易特殊性代般性误必条件做充分条件充条件缺乏严谨逻辑思维
例18（2004年高考数学江苏卷20）设穷等差数列{an}前n项Sn
(Ⅰ)首项公差求满足正整数k
(Ⅱ)求穷等差数列{an}切正整数k成立
易错点分析题考查数列基知识运数学知识分析解决问题力学生解第(Ⅱ)时极易根条件切正整数k成立句话k取两特殊值确定出等差数列首项公差没认识求解出等差数列仅已知条件成立必条件条件成立充分条件应进步特殊般
解：（I）时
（II）设数列{an}公差d中分取k12
（1）
（2）
（1）
成立
数列符合题意
综3满足条件穷等差数列：
①{an} an0000…②{an} an1111… ③{an} an2n－1135…
知识点类点拔事实条件中切正整数k成立等价关k方程解切正整数转化关k方程项系数时零题采程等价转化思想解答样做避免忽视充分性检验犯逻辑错误述解法中定注意种特殊般关系
练18（1）（2000全国）已知数列中数列等数列求常数p
答案：p2p3（提示令n123根等中项性质建立关p方程说明p值意然数n成立）
易错点19判式判定方程解数（交点数）时易忽略讨二次项系数否０．尤直线圆锥曲线相交时更易忽略
例19已知双曲线直线讨直线双曲线公点数
易错点分析讨直线曲线位置关系般直线曲线方程联立组成方程组方程组解直线曲线交点消元转化关xy方程易忽视方程种类进行讨观误认方程二次方程利判式解答
解析：联立方程组消y（1）时方程关x次方程时方程组解直线双曲线交点（2）时方程组解直线双曲线交点（3）
时方程组两交点时（4）时时方程组解时直线双曲线交点
综知时直线双曲线交点时直线双曲线两交点时方程组解时直线双曲线交点
知识点类点拔判断直线双曲线位置关系两种方法：种代数方法判断方程组解数应直线双曲线交点数种方法助渐进线性质利数形结合方法解答两种方法应关系题中第种情况应直线双曲线渐进线行时做直线双曲线相交公点通点说明直线双曲线公点直线双曲线相切必充分条件第二种情况应直线双曲线相切通题加深体会种数形统
练19（1）（2005重庆卷）已知椭圆方程双曲线左右焦点分左右顶点左右顶点分左右焦点（1）求双曲线方程（2）直线椭圆双曲线恒两交点两交点AB满足中O原点求k取值范围答案：（1）（2）
（2）已知双曲线C： 点P（11）作直线l lC公点满足述条件直线l____条答案：4条（知kl存时令l y1k(x1)代入中整理(4k2)x2+2k(k1)x
(1k2)40∴ 4k20k±2时公点k≠±2时Δ0切点：kl存时x1曲线C切点∴综4条满足条件直线）
易错点20易遗忘关齐次式处理方法
例20已知求（1）（2）值
思维分析式子转化正切利（2）式分子分母
解：（1）
(2)
知识点类点拔利齐次式结构特点（果具备通构造办法）进行弦切互化会解题程简化
统称1代换) 常数 1种种代换着广泛应．
练20．（2004年湖北卷理科）
已知值
答案：（原式化）
易错点21解答数列应题审题严易关数列第n项数列前n项混淆导致错误解答
例21果张厚度005mm报纸拆拆拆50次报纸厚度少相信时报纸厚度球月球间建座桥(已知球月球距离约米)
易错点分析拆50次报纸厚度应理解等数列第n项易误理解等数列前n项
解析：拆次厚度增加原倍设次拆厚度构成数列数列米首项公2等数列拆50次纸厚度等数列第51项利等数列通项公式易a51005×103×250563×1010球月球间距离4×108<563×1010建座桥
知识点类点拔 数列数学模型应题高考考查热点容中问题涉等差者等数列前n项第n项问题审题程中定两者区分开
练21（2001全国高考）社会效益济效益出发某投入资金进行生态环境建设发展旅游产业根规划年度投入800万元年投入年减少年度旅游业收入估计400万元该项建设旅游业促进作预计旅游业收入年会年增加
(1)设n年(年度第年)总投入an万元旅游业总收入bn万元写出anbn表达式
(2)少年旅游业总收入超总投入
（1）an800+800×(1－)+…+800×(1－)n－1800×(1－)k－14000×［1－()n］
bn400+400×(1+)+…+400×(1+)k－1400×()k－11600×［()n－1］
（2）少5年旅游业总收入超总投入
易错点22单位圆中三角函数线解题中方面学生易知识遗忘应意识强方面易角三角函数值应三角函数线线段长度二者等起产生概念性错误
例21列命题正确（）
A第二象限角B第三象限角C第四象限角D第象限角
易错点分析学生解答题时易出现错误：（1）象限角简单理解锐角钝角270360度间角（2）思维转利三角函数单调性没应三角函数线较两角三角函数值意识思维受阻
解析：A三角函数易知时角正切线数量角正切线数量B理知C知满足条件角正切线数量角正切线数量正确D理知应
知识点类点拔单位圆三角函数线抽象角三角函数值直观线段数量应起体现数形结合数学思想注意点角三角函数值线段数量长度三角函数线解三角等式较角名函数值三角关系式证明着广泛应方面着定优越性例利三角函数线易知等
练22（2000全国高考）已知列命题正确（）
A 第象限角B第二象限角
B 第三象限角D第四象限角
答案：D
易错点23利三角函数图象变换中周期变换相位变换解题时易求错
例23．函数图象需函数图象（）
A 先x值扩原4倍y值变右移单位
B 先x值缩原倍y值变左移单位
C 先x值扩原4倍y值变左移单位
D 先x值缩原倍y值变右移单位
易错点分析变换成x值缩原倍学误认扩原倍样误选AC移学移方错
学移单位误认
解析：变形常见两种变换方式种先进行周期变换图象点坐标变横坐标变原倍函数图象
函数图象坐标变横坐标右移单位函数
者先进行相位变换图象点坐标变横坐标右移单位函数图象横坐标变原4倍函数图象
知识点类点拔利图角变换作图作出函数图象种重方法般
图象两种思路：先进行振幅变换横坐标变坐标变原A倍进行周期变换 坐标变横坐标变原倍进行相位变换横坐标左（右）移单位
种先进行振幅变换进行相位变换左（右）移单位函数图象横坐标变原倍种变换注意点种变换纯粹变量x说
练23（2005全国卷天津卷）图象需函数图象点
A 横坐标缩短原倍（坐标变）左移单位长度B横坐标缩短原倍（坐标变）左移单位长度C横坐标伸长原2倍（坐标变）左移单位长度D横坐标伸长原2倍（坐标变）右移单位长度
答案：C
易错点24没挖掘题目中确隐含条件忽视角范围限制造成增解现象
例24已知求值
易错点分析题条件利解值通解方程组方法解值解题程中易忽视隐含条件确定角范围观认值正负造成增解
解析：已知（1）（2）联立（1）（2）
知识点类点拔三角函数化简求值程中角范围确定直重点难点解题程中注意已条件基础挖掘隐含条件：结合角三角函数值符号三角形中角均区间已知角三角函数值较结合三角函数单调性等题中实际单位圆中三角函数线知必必
练24（1994全国高考）已知值
答案：
易错点25根已知条件确定角没通确定角三角函数值求角意识确定角三角函数名称适造成错解
例25均锐角求值
易错点分析题解答程中求正弦时正弦函数区间单调满足条件角两两否满足需进步检验解答带困难求余弦易出错余弦函数单调满足条件角唯
解析：均锐角知解析：均锐角知均锐角
知识点类点拔根已知条件确定角定转化确定该角某三角函数值根三
角函数值确定角求角必然步骤里注意两点结合角范围选择合适三角函数名称
时注意量已知角表示求角需定角变换技巧：等
二三角函数值求角时注意确定角范围技巧
练25（1）三角形中已知求三角形角C
答案：（提示确定已知角余弦值结合已知条件确定角A范围）
（2）（2002天津理17）已知cos（α＋）＝≤α＜求cos（2α＋）值
答案：－
易错点26正弦型函数余弦型函数性质：图象称轴称中心易遗忘没深刻理解意义
例26果函数图象关直线称a等（ ）
A B－ C1 D－1
易错点分析函数称轴定图象波峰顶波谷底y轴行称中心图象x轴交点学生函数称性理解误认时y0导致解答出错
解析：（法）函数解析式化值题意直线函数称轴通函数值值点
解选D
（法二）题意函数直线函数称轴：
选D
（法三）函数关直线函数称必代入
知识点类点拔正弦型函数余弦型函数穷条称轴数称中心意义分函数取值x值函数值零x值代数特征希学认真学题三种解法根具体问题灵活处理
练26（1）（2003年高考江苏卷18）已知函数R偶函数图象关点称区间单调函数求ω值
答案：
（2）（2005全国卷第17题第问）设函数图象条称轴直线求 答案：
易错点27利正弦定理解三角形时已知三角形两边边角解三角形时易忽视三角形解数
例27中求面积
易错点分析根三角形面积公式需利正弦定理确定三角形角C相应三角形角A确定利求正弦函数区间严格格单调满足条件角唯时助已知条件加检验务必做漏解解
解析：根正弦定理知：满足条件三角形两相应三角形面积
知识点类点拔正弦定理余弦定理解三角形两重工具沟通三角形中边角间联系正弦定理够解决两类问题（1）已知两角边求边角时解（2）已知两边中边角求边角正弦函数区间严格格单调时三角形解情况解解两解通法作出判断三角形解数：中已知abA解情况：
（1） A锐角
（2）A直角钝角
练27（2001全国）果满足三角表恰k取值范围（）ABCD
答案：D
易错点28三角形中三角函数问题三角变换三角形边角间知识结合综合应程度够
例28（1）（2005湖南高考）已知△ABC中sinA（sinB＋cosB）－sinC＝0sinB＋cos2C＝0求角ABC
易错点分析题解答程中忽视三角形中三角联系三角形角范围限制易思维受阻解答出现增解现象
解法
知
解法二：
知B+2C合求
2（北京市东城区2005年高三年级四月份综合练）△ABC中abc分角ABC边 （Ⅰ）求角B（Ⅱ）求△ABC面积
思维分析根正弦定理余弦定理条件化三角形边关系角关系解答
（Ⅰ）解法：正弦定理式代入已知A+B+C三角形角
解法二：余弦定理式代入 整理
三角形角
（Ⅱ）代入余弦定理
知识点类点拔三角形中三角函数问题直高考热点容正余弦定理考查涉三角形边角互化（判断三角形形状等利正余弦定理条件中含边角关系转化边角关系解三角形常规思路）三角形三角函数求值三角恒等式证明三角形外接圆半径等体现三角函数知识三角形知识交汇体现高考命题原
练28（1）（2004年北京春季高考）中abc分边长已知abc成等数列求值
答案：
（2）（2005天津）△ABC中∠A∠B∠C边长分abc设abc满足条件求∠A值
答案：
易错点29含参分式等式解法易分类讨标准握准分类讨达重漏目
例29解关x等式＞1(a≠1)
易错点分析等式化关x元二次等式忽视二次项系数正负讨导致错解
解：原等式化：＞0［(a－1)x+(2－a)］(x－2)＞0
a＞1时原等式(x－)(x－2)＞0解≥20≤a＜1时原等式解＜2a＜0a＞1a＞1时原等式解(－∞)∪(2+∞)
a＜1时a＜0解集(2)0＜a＜1解集(2)
综述：a＞1时解集(－∞)∪(2+∞)0＜a＜1时解集(2)a0时解集a＜0时解集(2)
知识点分类点拔解等式学生运算化简等价转化力较高求着高考命题原力立意进步转化解等式考查会更热点解等式需注意面问题：
(1)熟练掌握元次等式(组)元二次等式(组)解法
(2)掌握序轴标根法解高次等式分式等式特注意式处理方法
(3)掌握理等式三种类型等价形式指数数等式种基类型解法
(4)掌握含绝值等式种基类型解法
(5)解等式程中充分运分析力原等式等价转化易解等式(6)含字母等式正确分类标准进行分类讨
练29（2005年江西高考）已知函数常数）方程两实根
（1）求函数解析式（2）设解关等式：
答案：①时解集②时等式解集③时解集
易错点30求函数定义域求函数值域错位
例30已知函数（1）果函数定义域R求实数m取值范围（2）果函数值域R求实数m取值范围
易错点分析题学生易忽视否零讨导致思维全面漏解方面两问题中定义域R值域R含义理解透彻导致错解
解析：（1）题意知函数定义域R意x值恒成立令0时验证时适合时二次函数知识意x值函数值零恒成立需解综知m取值范围
（2）果函数值域R数真数取意正数令0时验证时适合时二次函数知识知函数值取正值需解综知满足题意m取值范围
知识点类点拔二次型函数二次型等式二次项系数含字母注意字母否零进行讨函数次函数二次函数等式次等式二次等式时通题解析学认真体会种函数等式二者解题中结合通二者相互转化获解题突破破口者题中函数定义域值域R两概念前者意变量x值函数值恒正者函数值必须取遍正值二者质区
练30已知函数定义域值域分R试分确定满足条件a取值范围答案：（1）（2）
易错点31等式证明方法学生已知条件选择相应证明方法达种证明方法灵活应程度
例31已知a＞0b＞0a+b1求证：(a+)(b+)≥
易错点分析题直接应重等式证明显然a+ b+时取等号题证明方法
证法：(分析综合法）欲证原式证4(ab)2+4(a2+b2)－25ab+4≥0证4(ab)2－33(ab)+8≥0证ab≤ab≥8∵a＞0b＞0a+b1∴ab≥8成立∵1a+b≥2∴ab≤证
证法二：(均值代换法)设a+t1b+t2∵a+b1a＞0b＞0∴t1+t20|t1|＜|t2|＜
显然仅t0ab时等号成立
证法三：(较法）∵a+b1a＞0b＞0∴a+b≥2∴ab≤
证法四：(综合法)∵a+b1 a＞0b＞0∴a+b≥2∴ab≤
证法五：(三角代换法)∵ a＞0b＞0a+b1令asin2αbcos2αα∈(0)
知识点类点拔1等式证明常方法：较法综合法分析法证明等式基方法(1)较法证等式作差(商)变形判断三步骤变形方式分解配方判断程必须详细叙述果作差式子整理关某变量二次式考虑判式法证
(2)综合法导果分析法执果索两法相互转换互相渗透互前提充分运辩证关系增加解题思路开扩视野
2等式证明常方法：换元法放缩法反证法函数单调性法判式法数形结合法等换元法三角代换均值代换两种应换元法时注意代换等价性放缩性等式证明中重变形方法放缩放矢目标证结中考查等式正面证果易说清楚考虑反证法含少惟含否定词命题适宜反证法
证明等式时题设题目特点联系选择适证明方法熟悉种证法中推理思维掌握相应步骤技巧语言特点
练31（2002北京文）数列列条件确定：
（1） 证明：总（2）证明：总
易错点32函数方程等式联系转化学生明确利三者关系解题中相互转化寻找解题思路
例32已知二次函数满足切实数恒成立 求 求解析式求证：
易错点分析条件中等关系等式关系转化知手没二次等式二次函数相互转化意识解题找思路
解：（1）已知令：
（2）令：意实数恒成立 意实数恒成立：
（3）（2）知
原等式成立．
知识点类点拔函数方程思想方法高中数学重数学思想方法函数思想指函数概念性质分析问题转化问题解决问题方程思想问题数量关系入手运数学语言问题中条件转化数学模型（方程等式方程等式混合组）然通解方程（组）等式（组）问题获解时实现函数方程互相转化接轨达解决问题目等式恒成立引入新参数化简等式构造二次函数利函数图单调性进行解决问题中联系方程解体现方程思想函数思想般解题中抓住二次函数图二次等式二次方程三者间紧密联系问题进行相互转化
练32（2005潍坊三月份统考）已知二次函数满足意实数x时（1）求值（2）证明（3）时函数单调求证：
（1）（2）运重等式（3）略
易错点33利函数单调性构造等关系明确函数单调性单调区间定义域限制
例33记等式解集试解关t等式
易错点分析题然求出abc具体值等式解集函数方程联系易知13方程两根易忽视二次函数开口方错误认函数增函数
解析：题意知二次函数区间增函数二次函数单调性知等式等价等式解：
知识点分类点拔函数单调性实质体现等关系函数等式结合历高考热点容解答等式问题重工具解题程中加意应意识指数等式数等式涉抽象函数类型等式等等函数单调性密切相关
练33（1）（2005辽宁4月份统考题）解关等式
答案：时解集时解集
时解集
（2） （2005全国卷Ⅱ）设函数求≥x取值范围
答案：x取值范围
易错点34数学纳法应学生易缺乏应数学纳法解决然数关问题意识忽视步骤规范性理解数学纳法步意义
例34然状态鱼类种生资源持续利资源需宏观考察生力捕捞强度鱼群总量影响表示某鱼群第n年年初总量n∈N＊＞0考虑素设第n年鱼群繁殖量捕捞量成正死亡量成正例系数次正常数abc（Ⅰ）求关系式（Ⅱ）猜测：仅abc满足什条件时年年初鱼群总量保持变？（求证明）（Ⅲ）设a＝2b＝1保证意∈（02）＞0捕捞强度b允许值少？证明结
易错点分析题数列模型应题考查数列等式数学纳法2005年高考涉两种类型应题种类型概率种数列信息：数学越越贴生活数学越越强调实性 备考中注意种常见模型建模训练见高考数学越越注意函数等式导数量等工具结合高考方
解析（I）第n年初第n+1年初鱼群繁殖量捕捞量死亡量
（II）年年初鱼群总量保持变恒等式恒等零 >0猜测：仅时年年初鱼群总量保持变
（Ⅲ）b值>0 知 特 ∈(0 2)猜测b允许值1 证 ∈(0 2) b1时∈(0 2) ①n1时结显然成立②假设nk时结成立∈(0 2)nk+1时∈(0 2)nk+1时结成立①②知意∈(02)综述保证意∈(0 2) >0 捕捞强度b允许值1
知识点类点拔纳种特殊事例导出般原理思维方法纳推理分完全纳推理完全纳推理两种完全纳推理根类事物中部分象具性质推断该类事物全体具性质种推理方法数学推理证中允许完全纳推理考察类事物全部象纳出结数学纳法证明某然数关数学命题种推理方法解数学题中着广泛应递推数学证方法证第步证明命题n＝1(n
)时成立递推基础第二步假设n＝k时命题成立证明n＝k＋1时命题成立限递推理判断命题正确性否特殊推广般实际命题正确性突破限达限两步骤密切相关缺完成两步断定然数（n≥nn∈N）结正确两步出数学纳法递推实现纳属完全纳运数学纳法证明问题时关键n＝k＋1时命题成立推证步证明具目标意识注意终达解题目标进行分析较确定调控解题方差异逐步减终实现目标完成解题运数学纳法证明列问题：然数n关恒等式代数等式三角等式数列问题问题整性问题等等
练34（2005年全国卷Ⅰ统考试理科数学）
（Ⅰ）设函数求值
（Ⅱ）设正数满足证明
答案：（Ⅰ）（Ⅱ）数学纳法证明
（2）（2005高考辽宁）已知函数设数列}满足数列}满足
（Ⅰ）数学纳法证明 （Ⅱ）证明
易错点35涉量关概念运算律理解应易产生概念性错误
例35列命题：
① ② ③ |·|||·||④∥∥∥ ⑤∥存唯实数λ ⑥≠⑦设面两量面量存唯组实数xy成立⑧|+||－|·0⑨·0真命题数（ ）
A．1 B．2 C．3 D．3
易错点分析线量量数量数量积定义性质运算法等量章中正确应量知识解决关问题前提里学生极易量运算实数运算等起认量数量积运算实数样满足交换律产生错误结
解析：①正确根量模计算判断②错误量数量积运算满足交换律根数量积数定义
表示量线量理表示量线量显然量量定线量定成立③错误应④错误注意零量意量行非零量行性具传递性 ⑤错误应加条件非零量⑥错误量满足消律根数量意义需量量量方投影相等作图易知满足条件量数⑦错误注意面量基定理前提量线量组基底⑧正确条件表示两量邻边行四边形角线相等四边形矩形·0⑨错误需两量垂直
答案：B
知识点类点拔利量关概念运算律判断解题时定明确概念定理成立前提条件量运算律解答明确量运算实数运算相处般已知ａｂс实数λ量数量积满足列运算律：①ａ·ｂ＝ｂ·ａ (交换律)②（λａ）·ｂ＝λ（ａ·ｂ）＝ａ·（λｂ） (数结合律)③(ａ＋ｂ)·с＝ａ·с＋ｂ·с (分配律)说明：（1）般(ａ·ｂ)с≠ａ（ｂ·с）（2）ａ·с＝ｂ·сс≠0ａ＝ｂ（3）常性质：ａ２＝｜ａ｜２（ａ＋ｂ）（с＋ｄ）＝ａ·с＋ａ·ｄ＋ｂ·с＋ｂ·ｄ(ａ＋ｂ)２＝ａ２＋２ａ·ｂ＋ｂ２
练35（1）（2002海春13）abc意量m∈R列等式定成立（ ）
A（a+b）+ca+（b+c）B（a+b）·ca·c+b·c Cm（a+b）ma+mb D（a·b）ca（b·c）
（2）(2000江西山西天津理4)设abc意非零面量相互线
①（a·b）c－（c·a）b0 ②|a|－|b|<|a－b| ③（b·c）a－（c·a）bc垂直④（3a+2b）（3a－2b）9|a|2－4|b|2中真命题（ ）
A①② B②③ C③④ D②④
答案：（1）D（2）D
易错点36利量加法减法数量积等运算意义解题时数形结合意识够忽视隐含条件
例36四边形ABCD中＝ａ＝ｂ＝с＝ｄａ·ｂ＝ｂ·с＝с·ｄ＝ｄ·ａ试问四边形ABCD什图形
易错点分析四边形形状边角关系确定关键题设条件演变推算该四边形边角量易忽视两点：（1）四边形中次首尾相接量量零量ａ＋ｂ＋с＋ｄ＝0应注意隐含条件应(2)已知条件产生数量积关键构造数量积数量积定义式中含边角两种关系
解：四边形ABCD矩形方面：ａ＋ｂ＋с＋ｄ＝0ａ＋ｂ＝－（с＋ｄ）(ａ＋ｂ)２＝（с＋ｄ）2｜ａ｜２＋２ａ·ｂ＋｜ｂ｜２＝｜с｜２＋２с·ｄ＋｜ｄ｜２ａ·ｂ＝с·ｄ∴｜ａ｜２＋｜ｂ｜２＝｜с｜２＋｜ｄ｜２①理｜ａ｜２＋｜ｄ｜２＝｜с｜２＋｜ｂ｜２②①②｜ａ｜＝｜с｜｜ｂ｜＝｜ｄ｜四边形ABCD两组边分相等∴四边形ABCD行四边形方面ａ·ｂ＝ｂ·сｂ（ａ－с）＝０行四边形ABCDａ＝－с代入式ｂ·(2ａ)＝０ａ·ｂ＝０∴ａ⊥ｂAB⊥BC综述四边形ABCD矩形
知识点类点拔量高考亮点量知识量观点数学物理等学科分支着广泛应具代数形式形式双重身份融数形体中学数学教学容许干知识综合形成知识交汇点高考中应引起足够重视基点解决量关问题时树立起数形结合形助数解题思路例重结种思想直观：（1）量形式行四边形定理：2（｜｜+｜｜）｜－｜+｜+｜（2）量形式三角形等式：｜｜｜｜｜｜≤｜±｜≤｜｜+｜｜(试问：取等号条件什)（3）△ABC中点P满足直线AP必△ABC心等等结
练36（1）（2003高考江苏）O面 定点ABC面线三点动点P满足P轨迹定通△ABC （ ）
A．外心 B．心 C．重心 D．垂心
（2）（2005全国卷文科）点O三角形ABC面点满足点O（ ）
（A）三角角分线交点 （B）三条边垂直分线交点 （C）三条中线交点 （D）三条高交点
（3）（2005全国卷Ⅰ）外接圆圆心O两条边高交点H实数m
答案：（1）B （2）D （3）m1
易错点37忽视量积定义中两量夹角定义
例37已知中求
易错点分析题易错误码认两量夹角三角形ABC角C导致错误答案
解析条件根余弦定理知三角形角两量夹角补角数量积定义知
知识点类点拔高中阶段涉角概念少学程中明确概念取值范围直线倾斜角取值范围两直线夹角范围两量夹角范围异面直线成角范围直线面成角范围二面角取值范围
练37（2004海春招）ΔABC中命题中正确（）
（1）（2）（3）
ΔABC等腰三角形（4）ΔABC锐角三角形
A（1）（2） B（1）（4） C（2）（3） D（2）（3）（4）
答案：C
易错点38量数积积性质应
例38已知ab非零量a + 3b7a 5b垂直a 4b7a 2b垂直求ab夹角
思维分析题应两量夹角公式树立整体求解思想
解析： (a + 3b)(7a 5b) 0 Þ 7a2 + 16a×b 15b2 0 ① (a 4b)(7a 2b) 0 Þ 7a2 30a×b + 8b2 0 ②两式相减：2a×b b2代入①②：a2 b2设ab夹角qcosq ∴q 60°
知识点类点拔利量数量积重性质结合量坐标运算解决涉长度角度垂直等解析立体代数等问题熟记灵活应性质：设ａｂ非零量①ａｂ数量积意义量ａ量ｂ方单位量正射影数量②ａ⊥ｂａ·ｂ＝０③ａ·ａ＝｜ａ｜２｜ａ｜＝④ｃｏｓθ＝⑤｜ａ·ｂ｜≤｜ａ｜·｜ｂ｜
练38（1）（2005高考江西卷）已知量夹角（ ）A．30° B．60° C．120° D．150°答案：C
（2）（2005浙江卷）已知量≠||＝1意t∈R恒|－t|≥|－|
(A) ⊥ (B) ⊥(－) (C) ⊥(－) (D) (＋)⊥(－)答案：C
易错点39量三角函数求值运算交汇
例39夹角θ1 夹角θ2值
易错点分析题解答程中学生量夹角运算三角变换结合起注意已知角表示两组量夹角程中易忽视角范围导致错误结
解析：
知识点类点拔高考数学命题注重知识整体性综合性重视知识交汇性量新课程新增容具体代数形式双重身份新旧知识重交汇点成联系知识桥梁量三角交汇高考命题必然趋势高考三角考查常常量知识载体结合量夹角量垂直量模量运算进行考查学生综合运知识解决问题力
练39（1）（2005高考江西）已知量令否存实数（中导函数）？存求出值存证明 答案：存实数等式成立
（2）（2005山东卷）已知量求值答案：
易错点40量解三角形交汇
例40ΔABC接O圆心1半径圆3＋4＋5①求数量积···②求ΔABC面积
思维分析第1题意知345三量模根数量积定义运算律量移项方第2问题意已知三角形分割成三三角形利正弦理解答
解析：①∵||||||13＋4＋5：3＋4－5两边方：92＋24·＋162252∴·0理：4＋5－3求·－3＋5－4求·－
②·0||||·－cos∠BOC－ ∴sin∠BOC－∴||||sin∠BOC·－cos∠COA－∴sin∠COA∴||||sin∠COA＋＋＋＋
知识点类点拔题考查量模量数量积运算表达三角形角面积
练40（1）（2005全国卷Ⅲ）△ABC中角ABC边分abc已知abc成等数列cosB＝（1）求cotA+cotC值（2）设求值
答案：（1）（3）
（2）已知量（22）量量夹角·－2①求量
②中AC△ABC角三角形三角A
BC次成等差数列试求|+|取值范围答案：①②
易错点41量相结合三角等式学生综合运知识解决问题力够
例41已知二次函数f(x)意x∈Rf(1－x)f(1＋x)成立设量(sinx2)(2sinx)(cos2x1)(12)x∈[0π]时求等式f(·)＞f(·)解集
易错点分析易忽视二次函数开口方讨三角量函数三者综合程度够
解析：设f(x)二次项系数m图象两点A(1－xy1)B(1＋xy2)1f(1－x)f(1＋x)y1y2x意性f(x)图象关直线x1称m＞0x≥1时f(x)增函数m＜0x≥1时f(x)减函数∵·（sinx2）·（2sinx）2sin2x＋1≥1·（cos2x1）·(12)cos2x＋2≥1∴m＞0时f(·)＞f(·)f(2sin2x＋1)＞f(cos2x＋2)2sin2x＋1＞cos2x＋21－cos2x＋1＞cos2x＋2cos2x＜02kπ＋＜2x＜2kπ＋k∈zkπ＋＜x＜kπ＋k∈z∵0≤x≤π ∴＜x＜m＜0时理0≤x＜＜x≤π综述等式f(·)＞f(·)解集：m＞0时{x|＜x＜m＞0时{x|0≤x＜＜x＜π
知识点分类点拔运函数单调性构造等式时定明确函数区间定义域单调性（忽视定义域限制）通题体会量等式函数三者综合提高已应知识解决综合问题力
练41定义域（－11）导点A(1())B((－)1)意∈(－11)恒成立试求满足等式(sincos)+(cos2)>0取值范围答案：()
易错点42量解析交汇
例42（03年新课程高考）已知常数a>0量c（0a）i（10）原点Oc+λi方量直线定点A（0a）i－2λc方量直线相交点P中λ∈R试问：否存两定点EF|PE|+|PF|定值存求出EF坐标存说明理
易错点分析题综合程度较高方面学生题意理解方量概念理解误面量问题情景结合圆锥曲线定义解答思维陷入僵局
解析：根题设条件首先求出点P坐标满足方程判断否存两定点点P两定点距离定值∵i（10）c（0a） ∴c+λi（λa）i－2λc（1－2λa）直线OPAP方程分 消参数λ点坐标满足方程
整理 ……① ：（i）时方程①圆方程存合题意定点EF（ii）时方程①表示椭圆焦点合题意两定点（iii）时方程①表示椭圆焦点合题意两定点
知识点类点拔题考查面量概念计算求轨迹方法椭圆方程性质利方程判定曲线性质曲线方程关系等解析基思想综合解题力高考中量圆锥曲线结合成高考命题旋律解题程中方面注意出量问题情景中转化出方面注意应量坐标运算解决解析问题：线段值长度夹角特垂直点线等问题提高已应量知识解决解析问题意识
练42（1）（2005全国卷1）已知椭圆中心坐标原点O焦点轴斜率1椭圆右焦点F直线交椭圆AB两点线（Ⅰ）求椭圆离心率（Ⅱ）设M椭圆意点证明定值
答案：（1）（2）1
（2） （02年新课程高考天津卷）已知两点M（10）N（10）点P···成公差零等差数列（1）点P轨迹什曲线？（2）点P坐标（）记夹角求答案：①点P轨迹原点圆心半径右半圆②tan|y|
（3）（2001高考江西山西天津）设坐标原点O抛物线y22x焦点直线交AB两点等（ ）A B－ C3 D－3答案：B
易错点43解析量数量积性质涉模夹角等结合
例43已知椭圆C：动点定点中距离值1（1）请确定M点坐标（2）试问否存M点直线椭圆C两交点AB满足条件（O原点）存求出方程存请说理
思维分析题解题关键条件知条件转化点坐标运算结合韦达定理解答
解析：设时值时时取值解合题意舍综知满足题意时M坐标（10）
（2）题意知条件等价斜率存时C交点时设方程代入椭圆方程整理点M椭圆部恒成立知韦达定理代入式合题意综知样直线存
知识点类点拔解题程中注意量出条件转化量坐标运算两交点坐标联系起然应韦达定理建立起关系式题解答具强示范性请学认真体会融会贯通
练43已知椭圆焦点x轴中心坐标原点右焦点圆心焦点圆右准线截两段弧长21面定点（1）求椭圆方程（2）直线椭圆交图两点AB令求函数值域答案：（1）（2）
[易错点44]牢记常求导公式求复合函数导数分清函数复合关系
例44函数 导数
[易错点分析]复合函数变量导数等已知函数中间变量导数中间变量变量导数
解析：
知识点类点拨掌握复合函数求导方法关键分清函数复合关系适选定中间变量分步计算中步明确变量求导中特注意中间变量系数
[练44]（2003年江苏21）已知n正整数设证明
（1） 设意证明
解析：证明：（1）
（2）函数求导数：时 关x增函数时意
易错点45求曲线切线方程
例45（2005高考福建卷）已知函数图象点P（02）点M（－1f（－1））处切线方程 （Ⅰ）求函数解析式
思维分析利导数意义解答
解析：（Ⅰ）图象P（02）知d2
处切线方程知
求解析式
知识点类点拔导数意义函数yf(x)点处导数曲线y(x)点处切线斜率．利导数求曲线切线方程．具体求法分两步： (1)求出函数yf(x)点处导数曲线yf(x)点处切线斜率(2)已知切点坐标切线斜率条件求切线方程 特果曲线yf(x)点处切线行y轴时导数存根切线定义切线方程利导数意义作解题工具出现解析综合试题中复时注意点
练45（1）（2005福建卷）已知函数图象点M（－1f(x)）处切线方程x+2y+50
（Ⅰ）求函数yf(x)解析式答案：
（2）（2005高考湖南卷）设点P（0）函数图象公点两函数图象点P处相切线（Ⅰ）表示abc答案：
易错点46利导数求解函数单调区间值域
例46( 2005全国卷III)已知函数（Ⅰ）求单调区间值域
（Ⅱ）设函数意总存成立求取值范围
易错点分析利导数求函数单调区间然树立起定义域优先意识时培养已求导解等式运算力第（Ⅱ）问注意问题进行等价转化转化函数区间值域函数值域子集转化求解函数区间值域
解析(Ⅰ) 令解单调递减函数单调递增函数值域[43]单调递减区间
单调递增区间值域[43]( 单调区间闭区间)
（Ⅱ）∵时
时减函数时
时
存
取值范围
知识点分类点拔高考导数考查定位作解决初等数学问题工具出现侧重考查导数函数解析中应方面：①运导数关知识研究函数值问题直高考长考衰热点容．方面数学角度反映实际问题建立数学模型转化函数值值问题利函数导数利解决函数值值问题进步解决实际问题．导数研究函数性质初等方法研究方便导数函数中应作2006年高考命题重点应引起高度注意．单调区间求解程已知 （1）分析 定义域 （2）求导数 （3）解等式解集定义域部分增区间（4）解等式解集定义域部分减区间函数单调区间合函数单调区间合函数单调递增单调递增知函数处连续单调递增理减区间合相邻区间单调性相公点处函数连续二区间合区间
练46（1）（2005高考北京卷）已知函数f(x)－x3＋3x2＋9x＋a （I）求f(x)单调递减区间（II）f(x)区间[－22]值20求该区间值．答案：（1）（－∞－1）（3＋∞）（2）－7
（2）(2005 全国卷III)长90cm宽48cm长方形铁皮做盖容器先四角分截正方形然四边翻转90°角焊接成(图)问该容器高少时容器容积容积少
答案：x10时V值V(10)1960
易错点47二项式展开式通项中ab序颠倒容易出错
例47展开式中第三项系数第二项系数162x次项
易错点分析题中序颠倒项发生变化导致出错
解析：椐题意：
知识点类点拨二项式展开式相通项公式应项相遇类似问题时注意区分
练47（潍坊高三质量检测）展开式中第5项第12项系数绝值相等展开式常数项
解析：题意
令：展开式中常数项：
易错点48二项式展开式中项系数二项式系数概念掌握清容易混淆导致出错
例48展开式中系数 二项式系数
易错点分析通项公式中二项式系数项系数
解析：令项二项式系数项系数
知识点类点拨二项展开式中利通项公式求展开式中具某特性项类典型问题通常做法确定通项公式中r取值取值范围须注意二项式系数项系数区联系
练48（2005高考山东卷）果展开式中项系数128展开式中系数（ ）（A）7 （B） （C）21 （D）
答案：时根二项式通项公式
时应项系数
易错点49二项式系数项展开式系数项两概念求法差次概念清导致出错
例49已知展开式中第五项系数第三项系数10：1
求展开式中系数项二项式系数项
易错点分析二项展开式二项式系数二项式系数性质求n偶数时中间项二项式系数n偶数时中间两项二项式系数相等时取值求系数值项位置定中间需利通项公式根系数值增减性具体讨定
解析：题意知第五项系数第三项系数设展开式中第r项第r+1项第r+2项系数绝值分第r+1项系数绝值解： 系数值知第五项二项式系数时
知识点类点拨展开式中系数项中间项ab系数1时系数值位置定中间通解等式组确定
练49（2000年海）二项式展开式中系数项系数 （结果数值表示）
解析：展开式中第r+1项项系数r奇数项系数
易错点50排列组合问题分清否序关导致方法出错
例50六书列方式分配问少种分配方式？
（1） 分成123三组
（2） 分甲乙丙三中111 两13
（3） 均分成三组组2
（4） 分甲乙丙三2
易错点分析分成三组序关组合问题分三序关排列问题
解析：(1)分三步：先选种选法余5中选两种选法余三全选种选法分步计数原理知分配方式：
（2）甲乙丙三（1）题基础考虑分配问题分配方式种
（3）先分三步：应种方法里容易出现重复妨记六书第步取AB第二步取CD第三步取EF记该种分法（ABCDEF）中（ABEFCD）（CDEFAB）（CDABEF）（EFCDAB）（EFABCD）种情况情况仅ABCDEF序次作种分法分配方式种
（5） 问题（3）基础分配分配方式种
知识点类点拨题关分组分配问题类极易出错题型词类问题关键搞清楚否序关分清先选排分类分步完成等均分组问题更注意序避免计算重复遗漏
练50（2004年全国9）5位男教师4位女教师中选出3位教师派三班担班（班位班）求三位班中男女教师选派方法（ ）
A 210种 B420种 C630种 D840种
解析：首先选择3位教师方案：①男两女计②两男女：计40
次派出3位教师方案6选派方案种
易错点51正确分析种常见排列问题恰选择排列方法导致出错
例51四男学三女学站成排
（1） 三女学必须排起少种排法？
（2） 两女学彼相邻少种排法？
（3） 中甲乙两学间必须恰3少种排法？
（4） 甲乙两相邻丙相邻少种排法？
（5） 女学左右高矮序排少种排法？（三女生身高互相等）
易错点分析排列问题常见题型相邻问题相邻问题序定问题等果题意理解够充分选择错误方法
解析：（1）3女学特殊元素先排列种排法3 学必须排起视排女学整体男学排队时五元素全排列应
种排法法原理种排法
（2）先男生排种排法4男生中间两头5 空中插入3女生种方案符合条件排法种
（3）甲乙2先排种排法余5中选三排甲乙2中间种排法时已排5作整体剩2排种排法样总种排法
（4）先排甲乙丙3外四种排法甲乙相邻甲乙排种排法甲乙排整体丙分插入原先排4空中种排法样总种排法
（5）七位置中选出4位置男生排种排法然余空位置中排女生女生高矮排列仅种排法样总种排法
知识点类点拨解决限制条件排列问题方法：①直接法：②间接法：排符合求情形③般先特殊元素特殊位置入手
练52（2004年辽宁）两排座位前排11座位排12座位现安排2坐规定前排中间三座位坐2左右相邻排法种数（ ）
A234 B346 C350 D363
解析：前两排连起掉前排中间3座位种加4种算相邻种
易错点53二项式展开式通项公式事件A发生k次概率：二项分布列概率公式：三者形式相似应容易混淆导致出错
例53（2004年全国理）某学参加科普知识竞赛需回答三问题竞赛规规定：题回答正确100分回答正确
—100分假设名学题回答正确概率均08题回答正确否相互间没影响
（1） 求名学回答三问题总分概率分布数学期
（2） 求名学总分负分（）概率
易错点分析满足二项分布分布列概率计算公式中机变量二项分布条件理解出错
解析：（1）取值—300—100100300
概率分布
—300
—100
100
300
P
0008
0096
0384
0512
根概率分布期
（2）名学总分负分概率
知识点类点拨二项分布种常见重离散型机变量分布列概率独立重复实验n次中发生k次概率解决实际问题时定清否满足二项分布
练53（2004年重庆理18）设汽车前进途中4路口汽车路口遇绿灯（允许通行）概率遇红灯（禁止通行）概率假定汽车遇红灯达目停止前进表示停车时已通路口数求：
（1）概率分布列期（2）停车时已通3路口概率
解析：（1）值01234表示汽车通第k路口时停独立
分布列
0
1
2
3
4
P
（2）
易错点54正态总体概率密度函数时作标准正态总体概率密度函数两者范围
例54灯泡厂生产白炽灯泡寿命（单位：时）已知灯泡均寿命1000时概率问灯泡低寿命应控制910时
易错点分析服正态分布应利正态分布性质解题
解析：灯泡寿命概率取值概率灯泡低寿命应控制910时
知识点类点拨正态分布中总体均数总体标准差外正态分布概率取值概率解题时应注意正态分布区间取值概率混淆否出现计算失误
练54总体符合该总体（12）概率
解析：题意
易错点55数列两基极限①②两极限成立条件前者者
例55等数列中n项满足取值范围（ ）
A B C D
易错点分析利穷递缩等数列项公式求范围时容易忽视条件
解析：设公q知
知识点类点拨公绝值1穷等数列前n项n限增时极限做穷数列项
练55求a取值范围
解析：
易错点56立体图形截面问题
例56（2005哈师附中东北师附中高三第二次联考）正方体EF分中点p动点（包括端点）EDP作正方体截面截面四边形P轨迹（）
A 线段B线段C线段点D线段点C
易错点分析学生空间想象力足面基定理线面行定理作两面交线
解析：图点P线段移动时易线面行性质定理知：直线DE行面DE截面DEP面交线必行两面交线点PDE行直线点P线段CF时PDE行直线直线交点线段时截面四边形（实质行四边形）特P点恰点F时时截面行四边形点P线段时图分延长DEDP交点HG面基定理知点HG
截面DEP面GH两面交线连结GH分交点KN（注交两直线延长线）分连结EKKNPN截面DEKNP时五边形选C
知识点类点拔高考面截立体图形面图形考查实质学生空间想象力面基定理线面行面面行性质定理考查考生类型题感吃力实质高中阶段作截面方法非两种：种利面基定理：条直线两点面条直线点面两面相交仅条通该公点直线（交线）（注意该定理应证明诸线点方法：先证明中两线相交证明交点第三条直线转化点两面公点第三条直线两交线定理知交点第三条直线诸点线：证明诸点某两面公点点转化两交线）两种定理做两面交线两面通空间想象分取两组直线分相交交点必两面公点两交点连线两交线种方法线面行面面行性质定理寻找线面行面面行关系然根性质作出交线般情况两种方法结合应
练56（1）（2005高考全国卷二）正方体ABCD—A1 B1 C1 D1中PQR分ABADB1 C1中点正方体PQR截面图形（）
（A）三角形 （B）四边形 （C）五边形 （D）六边形 答案：D
（2）正三棱柱中PQR分中点作出三点PQR截正三棱柱截面说出该截面形状答案：五边形
易错点57判断空间点两异面直线成相等角直线条数
例57（93全国考试）果异面直线ab角P空间定点点Pab成角
直线条？
A条 B二条 C三条 D四条
易错点分析点P两异面直线成相角直线位置关系空间想象足明确两直线角两异面直线成角约束关系
解析：图点P分作ab行线成角点P成相等角直线必异面直线ab成相等角点P直线L成相等角样直线L确定面射影角分线时必时时样直线存两条时样直线存选B
知识点分类点拔解决异面直线成角问题关键定义基思想移时题说解决两异面直线成等角直线条数两异面直线移空间点时方面考虑面两相交直线成等角直线角分线否满足题意方面思考空间中面两相交直线成等角直线条数时关键搞清面外直线面直线成角面直线面外直线面射影成角关系公式（中直线面成角）易知（角定理）般异面直线ab成角Lab成角均式结：时样直线存时样直线条时样直线两条时样直线3条时样直线四条
练57果异面直线ab角P空间定点点Pab成角直线条？
A条 B二条 C三条 D四条 答案：C
易错点58关线面行证明问题中定理理解够准确忽视三条件中某
例58图矩形ABCD面MN分ABPC中点求证：面
[易错点分析]：描述条件中容易忽视
A
B
P
C
D
M
N
E
解析：取PD中点E连结AEEN
行四边形
[知识点类点拨]判定直线面行判定定理通线线行判定线面行指直线指面外条直线行面条直线应该定理证线面行时三条件缺
C
B
A
P
D
O
练58（2005浙江）图三棱锥P—ABC中
点OD分ACPC中点面求证：OD面PAB
证明：分ACPC中点
面
易错点59两面行判定定理易条件误记面两条相交直线面两条相交直线分行容易导致证明程跨步太
例59图正方体中MNP分中点
求证：面MNP面
易错点分析题容易证MNMPBD直接出面
解析：连结分中点
理：
知识点类点拨面行问题判定证明转化面直线面行问题线面行面面行必须注意里线面指面两条相交直线面定理中条件缺
练59正方体中（1）MN分棱中点EF分棱中点求证：①EFBD面
②面AMN面EFDB③面面
证明：（1）①EFBD面
②易证：MNEF设
③连结AC正方体理证
易错点60求异面直线成角成角容易忽视证明垂直方法求夹角重方法
例60（2001全国9）三棱柱中成角（ ）A B C D
易错点分析忽视垂直特殊求法导致方法浪费时间
解析：图分中点
连结设
AD面射影
垂直
知识点类点拨求异面直线成角直线面成角二面角时特殊角时采证明垂直方法求
练60（2005年浙江12）
设MN直角梯形ABCD两腰中点E
（图）现DE折起二面角
时点A面BCDE
射影恰点BMN连线AE成角
等
解析：易知取AE中点Q连MQBQNBC中点
MN连线AE成角
易错点61求异面直线成角直线面成角二面角时容易忽视成角范围出现错误
例61图棱长1正方体中MNP分中点求异面直线成角
D
C
B
A
A1
D1
B1
C1
N
M
P
[易错点分析]异面直线成角范围利余弦定理求异面直线成角时出现角余弦值负值错误出异面直线成角钝角时应转化正值求出相应锐角异面直线成角
解析：图连结中点
AM成角成角
易证≌
成角
设AB中点QCNAM成角（补角）
易求中余弦定理
成角
知识点类点拨历届高考中求夹角缺少重题型牢记类角范围两条异面直线成角范围：直线面成角范围：二面角面角取值范围：时量求解两异面直线成角时注意两异面直线成角两量夹角联系区
练61（济南统考题）已知行六面体中底面边长1正方形侧棱长2侧棱夹角等（1）求角线长（2）求直线夹角值答案：（1）（2）（提示采量方法
组基底求两异面直线成角余弦值）
易错点62度纬度两概念度二面角纬度线面角二者容易混淆
例62图北纬纬线圈B两点分东东
度设球半径R求B两点球面距离
易错点分析求AB两点距离求B两点球心角正确描述纬线角度角关键
解析：设北纬圈圆心球中心O
连结AB两点间球面距离
知识点类点拨数学某点度：点线轴确定面初子午线（线）轴确定半面成二面角度数某点纬度：点球半径赤道面成角度数图：
图（1）：度——P点度度数
图（2）：纬度——P点纬度度数
练62（2005高考山东卷）设球半径甲位北纬东乙位南纬东甲乙两球面距离（ ）
（A） （B） （C） （D）
答案：D图示东北纬线交A点
东南纬线交C点设球心
B点
B点圆心ACD
圆求
易错点63量知识立体方面应
例63图 直四棱柱ABCD－A1B1C1D1中AB＝AD＝2DC＝2AA1＝AD⊥DCAC⊥BD 垂足未E（I）求证：BD⊥A1C（II）求二面角A 1－BD－C 1（III）求异面直线 AD BC 1成角．
易错点分析题考查学生运量法中坐标运算方法解决立体问题学生解题中方面根条件建立恰空间坐标系方面建系学生正确找点坐标者没运量知识解决问题意识
解析：解法：（I）直四棱柱中
底面 面射影
（II）连结
（I）理证
二面角面角
中 二面角
（III）B作交连结 成角
中
异面直线成角
解法二：（I）解法
（II）图D坐标原点
直线分轴轴轴建立空间 直角坐标系
连结（I）理证
二面角面角
二面角
（II）图
异面直线成角
解法三：（I）解法
（II）图建立空间直角坐标坐标原点E
连结
（I）理证
二面角面角
二面角
（III）图
异面直线成角
知识点分类点拔解决关量问题时善运量移伸缩合成分解等变换正确进行量种运算加深量质认识二量坐标运算体现数形互相转化密切结合思想量数量积常关量相等两量垂直射影夹角等问题中常量直角坐标运算证明量垂直行问题利量夹角公式距离公式求解空间两条直线夹角两点间距离问题空间量解决立体问题般程进行思考：①解决问题什量知识解决？需量？②需量否已知？未知否已知条件转化成量直接表示？③需量直接已知条件转化成量表示分易未知量表示？未知量已知条件转化量关系？④样已表示出需量进行运算需结？
练63（2005高考淅江东）图三棱锥中
点分中点
(I) 求证 (II) 时求直线
面成角(III) 取值时面PBC射影恰重心
答案方法：
（Ｉ）ＯＤ分中点
面面
(II)
面
取中点Ｅ连结面
作F连结面
面成角
面成角等
中
面成角
（III）II知面面射影
中点点重心三点线
直线面射影直线
反时三棱锥正三棱锥
面射影重心
方法二
面
原点射线非负轴建立空间直角坐标系(图)
设设
(I) DPC中点＝＝ 面
(II)
求面法量
设面成角面成角
(III) 重心
面 反时三棱椎正三棱锥面射影重心
易错点64常见体体积计算公式特棱锥球体积公式容易忽视公式系数导致出错
例64（2003年天津理12）棱长a正方体中连结相邻面中心线段棱八面体体积（ ）A
B C D
易错点分析正确分析图形采割补法
解析：图八面体分割两正四棱锥
选C
知识点类点拨计算简单体体积选择某面作底面选择前提条件面高易求
练64（2004全国20）图四棱锥P—ABCD中底面ABCD 矩形AB8AD侧面PAD 等边三角形底面成二面角求四棱锥P—ABCD体积
解析：图AD中点E连结PE作面ABCD垂足O连结OE
根三垂线定理逆定理侧面PAD底面成二面角面角已知条件四棱锥P—ABCD体积
易错点65求点面距离方法直接法等体积法换点法
例65（2005年春季海19）图已知正三棱锥
P—ABC体积侧面底面成二面角
（1） 证明
（2） 求底面中心O侧面距离
解析：（1）证明：取BC边中点D连结ADPD
（2）解：图（1）知面PBC面APD侧面底面成二面角面角
点O做E垂足OE点O侧面距离设OEh题意知点OAD底面中心O侧面距离3
知识点类点拨求点面距离般该点面引垂线确定垂足转化解三角形求边长者利空间量表示点面垂线段设法求出该量转化计算量模助体积公式利等积求高
练65 图直三棱柱ABC—A1B1C1中
底面等腰直角三角形∠ACB90°
侧棱AA12DE分CC1A1B中点
点E面ABD射影△ABD垂心G
（Ⅰ）求A1B面ABD成角
（结果反三角函数值表示）
（Ⅱ）求点A1面AED距离
解析：连结BGBGBE面ABD射影∠EBGA1B面ABD成角
设FAB中点连结EFFC
（Ⅱ）连结A1D
设A1面AED距离h
A1面AED距离
易错点62二面角面角求法定义法三垂线法垂面法等
例62 图示正三棱柱ABC－A1B1C1中已知AA1＝A1C1＝aEBB1中点截面A1EC⊥侧面AC1．求截面A1EC底面A1B1C1成锐二面角度数．
解法1 ∵截面A1EC∩侧面AC1＝A1C．连结AC1正三棱ABC－A1B1C1中
∵截面A1EC⊥侧面AC1
数求二面角度数．易∠A1AC1＝45°求二面角度数45°．
解法2 图3示延长CEC1B1交点F连结AF截面A1EC∩面A1B1C＝AF．
∵EB1⊥面A1B1C1∴B1作B1G⊥A1F交A1F点G
连接EG三垂线定理知∠EGB1求二面角面角．
求二面角度数45°．
知识点类点拨二面角面角作法：（1）垂面法：指根面角定义作垂直棱面通面二面角两面交线出面角（2）垂线法：指二面角棱取特殊点点二面角两半面作两条射线垂直棱两条射线成角二面角面角（3）三垂线法：指利三垂线定理逆定理作出面角
练65图已知直三棱柱ABC－A1B1C1侧棱长2底面△ABC中
∠B90°AB1BCD侧棱CC1点BD底面成角30°
（1）求点DAB直线距离 （2）求二面角A1－BD－B1度数
解析：①∵CC1⊥面ABC ∠B90°∴DB⊥AB
∴DB长点DAB直线距离
∠DBCBD底面成角∠DBC30°
∵BC ∴BD2
②B1作B1E⊥BDE连A1E∵BB1⊥ABAB⊥BCBB1∩BCB∴AB⊥面BCC1B1∵A1B1∥AB∴A1B1⊥面BCC1B1∵B1E⊥BD∴A1E⊥BD∠A1EB1面A1BD面BDC1B1成二面角面角 连 B1D ∵BCBD2∴CD1 ∵CC12∴DCC1中点 ∴S△BDB1SBCC1B1 ∴B1E·BDBC·CC1 B1E·2·2∴B1ERt△A1B1E中
tan∠A1EB1
易错点66直线双曲线位置关系通分析直线方程渐进线方程位置关系联立直线方程双曲线方程通判式两种方法会忽视特殊情形
例66点（03）作直线l果双曲线公点直线l条数（ ）
A1 B2 C3 D4
易错点分析探讨直线双曲线位置关系时考虑直线方程双曲线方程解情况容易忽视直线渐进线行特殊情况时构成方程次
解析：数形结合方法：点（03）双曲线公点直线分两类类行渐进线两条类双曲线相切两条图示：
O
y
x
(03)
选（D）
知识点类点拨直线双曲线位置关系分：相交相离相切三种判定方法两种：
直线方程双曲线方程联立消未知数元二次方程
（1） 直线双曲线相交两交点直线渐进线行交点
（2） 直线双曲线相切公点
（3） 直线双曲线相离没公点
y
x
O
二利数形结合思想
练66（2004年浙江理21）图已知双曲线中心原点
右顶点A（10）PQ双曲线右支点M（m0）
直线AP距离1
（1）直线AP斜率1求实数m取值范围
解析：（1）图条件直线AP方程
点M直线AP距离1
o
A
Q
P
M
解m取值范围
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