中南学限元题答案
题
21 解释概念：应力应变方程物理方程虚位移原理
解 应力某截面应力该处集度
应变指单元体某方ΔU伸长量相变化量应变
表示x轴方正应变包括正应变剪应变
方程表示弹性体节点应变分量位移分量间关系完整表示：
物理方程：表示应力应变关系方程某点应力分量应变分量间关系：
虚位移原理：弹性虚位移情况作质点力系相应虚位移虚功总零：弹性体已知面力体力作处衡状态弹性体产生虚位移作弹性体体力虚位移做工等弹性体具虚位
22说明弹性体力学中基假设
连续性假设：假定整物体体积组成该物体介质填满存间隙
完全弹性假设：假定物体服虎克定律
性假设：假定整物体意材料组成
变形位移假设：指物体点位移远远物体原尺寸应变转角1
23简述线应变剪应变含义
线应变：应变刚体转动位移导数关系剪应变表示单元体棱边间夹角变化
24 推面应变衡微分方程
解：单元体言衡方程：
面中 代入式
25 题图21示三表面隔离出面应力状态中点求值
解：x方：
联立二式：
26相xyz坐标系点应力
某表面外法线方余弦值求该表面法相切应力
解：该面正应力
全应力
该面切应力
27点应力
MP
求应力应力方方余弦球该店剪应力
解：设面方余弦题知
代入
剪应力
（1）时代入式（221）
（2）时代入式（221）
28已知点P位移场求该点p(102)应变分量
解：p点坐标方位移分量uvw
点p(102)处线应变
剪应变
29具面应力场物体材料参数Ev位移场
中abcd常量求讨位移场相容性
解：
满足相容性条件
广义胡克定律
210具面应力场物体材料性质E210GPav03位移场
x0050my0020m时求物体应力应变位移场否相容？
解：
广义胡克定律
满足相容性条件
211没体积力圆盘处面应力状态中
a b c d e f g h常量应力满足衡方程相容方程常量约束条件什？
解：题意：
代入衡方程
根广义胡克定律：
代入相容方程
（2）
代入（1）
中
213 根弹性力学面问题方程证明应变分量满足列方程
解释该方程意义
证明：弹性力学面问题方程：
① ② ③
方程①②分yx求二阶偏导相加：
等式右端项
该方程相容方程中第式意义弹性体点确定位移点连位移应变分量应满足相容方程否变形微元体间出现开裂重叠
214 假设Airy应力函数中常数求求变量间约束关系
解：该应力函数求偏导
两式偏导求：
考虑相容性条件式代入常量间关系：
215 定应力矩阵求TrescaVonMises应力Von Mises应力Tresca应力
20 10 10
进行较δ 10 20 10 Mpa
10 10 20
δz τxy τxz
解：Tresca准：δ δy τyz δs20Mpaτmaxδs210Mpa
δz
δ1（δx+δy）230Mpa δ210Mpa
Von Mises准：2δs26（τxy2+τyz2+τyz2）解δs30Mpa
30 15 20
216 点出应力状态应力矩阵出δ 15 25 10 MpaE70Gpaγ 20 10 40
033求单位体积应变
解：单位体积应变：
υ12E{δx2+δy2+δz22u(δxδy+δyδz+δzδz)+2(1+u)(τxy2 +τxz2+τyz2)}
u（E2γ）2γ γ033带入：
υ42075J
311 图311示面三角形单元厚度t1cm弹性模量E20*105mpa泊松γ03试求插值函数矩阵N应变矩阵B应力矩阵S单元刚度矩阵Ke
解：三角形单元：
2△（102）*432
a1132*（8u15u216u3）
a2132*（4u14u2）
a3132*（8u1+8u3）
a4132*（56v18v216v3）
a5132*（4v1+4v2）
a6132*（8v1+8v3）
b1y2y34 b1x2x38
b1y3y14 b1x3x10
b1y1y20 b1x1x28
b1 0 b2 0 b3 0 4 0 4 0 0
[B]12△* 0 c1 0 c2 0 c3 132* 0 8 0 0 8
c1 b1 c2 b2 c3 b3 8 4 0 8 0
1 γ 0 1 03 0
[D][E(1γ2)]* γ 1 0 [E091]* 03 1 0
0 0 (1γ)2 0 0 035
1 03 0 0125 0 0125 0 0
[S][D]*[B]{E091}* 03 1 0 * 0 025 0 0 025
0 0 035 025 0125 0 025 0
14 0 14 07 0 07
0 4 06 4 0 0
[K]①BT*D*B①*t*△{E364}* 14 06 24 13 06 07
07 4 13 06 1 035
0 0 06 1 06 0
07 0 07 035 0 0
1 0 0 06 1 06
0 035 07 0 07 035
0 07 14 0 14 07
[K]②BT*D*B②*t*△{E364}* 06 0 0 4 06 4
1 07 14 06 24 13
06 035 14 4 13 35
312 求图中示三角形单元插值函数矩阵应变矩阵u120mmv112mmu224mmv212mmu321mmv314mm求单元应变应力求出应力方单元jm边作线性分布面载荷（x轴）求结点载荷分量
解：图2△643解参数：
a119 a22 a36 b13 b24 b31c11 c23 c34
N1{643}*(193xy) N2{643}*(23x3y)
N3{643}*(6x+4y)
N Ni 0 Nj 0 Nm 0
0 Ni 0 Nj 0 Nm
1 0 1 0 1 0
0 1 0 1 0 1
bi 0 bj 0 bm 0
[B]{12△}* 0 ci 0 cj 0 cm
ci bi cj bj cm bm
3 0 4 0 1 0
{643}* 0 1 0 3 0 4
1 3 3 4 4 1
1 γ 0
[D]{E(1γ2)}* γ 1 0
0 0 (1γ)2
1 γ 0 3 0 4 0 1 0
单元应力矩阵[S][D]*[B] {E13(1γ2)}* γ 1 0 * 0 1 0 3 0 4
0 0 (1γ)2 1 3 3 4 4 1
2
11
3 u 4 3u 1 4u 24
单元应力[δ][S]*[q] {E13(1γ2)}* 3u 1 4u 3 u 4 * 12
(u1)2 (3u3)2 (3u3)2 22u 22u (u1)2 24
14
313
解：二维单元xy坐标面移位置单元刚度矩阵相面矩阵
180°时变化单元作述变化时应力矩阵变化
（01）
（21）
314
（20）
（00）
②
①
y
x
解：令
单元①
单元②：
扩充KZ（总刚度阵）
中
化简：
315图示限元网格单元厚度弹性模量泊松回答述问题：
（1）结点编号结构刚度矩阵带宽？
（2）设置位移边界条件约束结构刚体移动？
（3）形成单元刚度矩阵集成结构刚度矩阵
（4）果施加定载荷拟定求解步骤
(1) (2) （3）
解：1节点编号图(2)示
2图(3)设置位移边界条件约束结构刚体移动
3图(2)示节点坐标(m单位)：1(00)2(0080)3(0004)4(008004 )5(0008)6(008008)7(0012)8(008012)
解：单元号 1 2 3 4 5 6
相邻结点 1 3 4 5 5 7
2 2 5 4 6 6
3 4 3 6 7 8
单元号1：
单元号2：
单元号3：
单元号4：
单元号5：
单元号6：
面三角形单元面积均
弹性矩阵均
应变矩阵
应力矩阵
单元刚度矩阵
结构刚度矩阵：
施加定载荷求解步骤：
1单元编号列出单元三结点结点号
2计算外载荷等效结点力列出结构结点载荷列阵
3计算单元刚度矩阵组集结构整体刚度矩阵
4引入边界条件根约束情况修正结构限元方程特消整体刚度矩阵
奇异性考虑约束条件解限元方程
5利线性方程组数值解法结构限元方程进行求解结点位
移量根需求解单元应力
316长方形薄板图示两端受均匀拉伸板长12cm宽4cm厚1cm材料泊松均匀拉力限元法求解板应力精确解较（提示：利结构称性2三角形单元结构进行离散）
解：
解：结点编号 1 2 3 4 单元号 1 2
X坐标 0 12 0 12 相邻结点 1 3
Y坐标 0 0 4 4 2 2
3 4
面三角形单元面积均
应力矩阵：
单元1应变距阵：
单元1单元刚度矩阵：
单元2应变距阵：
单元2单元刚度矩阵：
总刚度矩阵：
位移分量：
载荷列阵：
单元1单元应力：
单元2单元应力：
长方形薄板应力精确解：拉应力限元法求解出结果精确解致相等
317 验证三角形单元位移差值函数满足
解：面三角形形函数：中
分行列式2A中第行第二行第三行元素代数余子式行列式中行元素相应代数余子式积等行列式值行元素行应元素代数余子式积零：
时
理：
318 推导图示9节点矩形单元形函数
解三维杆单元形状函数
①
局部坐标系中令节点152应带入①式节点152仅x方形函数：
②
理：
节点263着全局坐标系y轴形状函数(通变量轮换)节点1形函数xy方积：
：
理整理：
319 图示桁架单元端点力[U1U2]端点位移[u1u2]设部点轴位移u坐标x线性函数：
推导形函数矩阵N
解：轴位移u坐标x线性函数写成量形式设两节点坐标代入量形式位移函数解：
位移函数形函数：
41 答：轴称三角形环单元常应变单元果弹性体形状约束条件载荷称某轴位移应变应力称轴样问题称轴称轴称三角形环单元面常应变单元轴称三角形环单元应变常数矩阵应变矩阵B[B B B]中B（ijm）应变分量常量环应变常量中rz关
42 答：轴称问题中刚度度：环位移径位移轴位移三角环单元均半径均高度进行计算单元刚度矩阵配合精确积分等效结点载荷矩阵计算结果错
43 轴称问题两单元ab设材料弹性模量E泊松μ 015试手算两单元刚度矩阵
解：单元题知：
单元a截面面积
单元a刚度矩阵写成分块矩阵形式：
中子矩阵写：
刚度矩阵
单元题知
单元截面面积
单元刚度矩阵写成分块矩阵形式：
中子矩阵写：
单元刚度矩阵
51 答：杆件受（行杆轴）载荷作样杆件拉压问题杆件受横（垂直杆轴）载荷作梁弯曲问题杆件受力相似薄板薄板受载荷作面应力问题薄板受横载荷作薄板弯曲问题薄板弯曲认梁弯曲推广双弯曲问题中面法线变形保持伸缩成弹性曲面法线中面变形线段面积投影形状保持变（挠度薄板）已知中面挠度位移应力分量
某点位移：
某点应力：
弹性曲面微分方程中……板抗挠刚度
52 答：矩形薄板单元：薄板单元位移函数满足连续性相容性求采种位移函数单元非协调单元种四节点矩形弯曲单元变形挠度面单元间然互相连续法导数连续单元间变形连续光滑（棱）单元逐渐取时候够收敛精确解
三角形薄板单元：常面积坐标分析表明挠度 阶导数 作节点位移函数般形状函数构造满足相容性薄板单元需加二阶导数实现相邻单元间挠度连续法斜率连续种位移模式非协调单云收敛矩形单元单元足够节点增六节点三角形九节点三角形等
53谈面应力弯曲状态组合情况三角形刚度矩阵特点
（1） 面作力产生变形影响弯曲变形反然
（2） 节点转 两种应力状态加入变形中相应节点力存面应力状态弯曲状态加组合单元节点位移量节点力量 指出局部坐标系中节点位移包括 步局部坐标系单元刚度阵换总体坐标系进行集成面应力状态节点力面应力状态节点位移 互影响弯曲应力状态节点面应力状态节点位移互影响组合应力状态板薄板单元单元刚度矩阵：
中矩阵分面应力问题薄板弯曲问题相应子矩阵三角形单元单元刚度矩阵18×18矩阵
61 结构动态特性：结构固频率相应模型着时间变形外加激振力激励机器结构激起位移应力称激起动力响应机械产品动态性重性指标尤现代复杂高速重载精密机械系统动态性影响工作性产品指标关键技术指标机械结构动态特性问题早世纪30年代引起重视动态特性发展机械动态设计提供坚实基础
62 结构离散运动状态节点动力衡：中分惯性力阻尼力动力载荷均矢量弹性力弹性力矢量节点位移刚度矩阵表示：式中刚度矩阵元素节点j单位位移节点i引起弹性力根达朗贝尔原理利质量矩阵节点加速度表示惯性：式中质量矩阵节点j单位加速度节点i引起惯性力设结构阻尼（滞粘）阻尼矩阵C节点速度表示阻尼：式带入：++记运动方程：++
63单元质量矩阵：
质量矩阵称阵节点质量互相耦合动惯性转动惯性间耦合果单元致质量集中分配节点质量矩阵成集中质量矩阵质量分配原：静力学行力分配法单元致质量矩阵集中节点外质量代形函数计算[M]称致质量矩阵
65 结构阻尼（结构身材料性质关）
结构振动程中果没量耗散振动永远保持初始条件决定振幅持续停实际结构振动振幅会时间衰减定时间系统量某原消耗种量耗散作称阻尼阻尼振动衰减系统称阻尼系统
结构部阻尼非粘线似线性弹性材料特金属材料表示种结构阻尼性质种阻尼材料受力变形产生摩擦力变形间产生相位滞
产生量耗散原结构摩擦（粘性）构件接口处摩擦周围介质（空气建筑物基）阻尼影响等关阻尼作机理目前尚未完全研究清楚
1推导横截面积A维桁架架构单元刚度矩阵
解：设杆件两端点位ijξη单元局部坐标ξ表示单元截面位置发生位移：ua0+b1ξvb0+b1ξ+b2ξ2+b3ξ3：
u 1 0 0 ξ 0 0
*（a0 b0 b1 a1 b2 b3）T
v 1 0 ξ 0 ξ2 ξ2
[H] [α]
记{U}[uv][H]* [α]
ij两端位移分量：{ζ}[G]*[ α]
1 0 0 0 0 0
0 1 0 0 0 0
中[G] 0 0 1 0 0 0 式左[G]1
1 0 0 L 0 0
0 1 L 0 L2 L3
0 0 1 0 2L 3L2
{u}[H]* [G]1*{ζ}令[N] [H]* [G]1
N1[1ξL 0 0 ξL 0 0]
N2[0 13[ξL]2+2[ξL]3 ξ*（1ξL）2 0 3[ξL]2+2[ξL]3 ξ*（ξL1）*ξL]
应物理方程：[ε] ξn *[ζ][B]* [ζ]
ζn
利虚功原理推：[K]eE*
EAL
0 12EIZL3
0 6EIZL2 4EIZL 称
EAL 0 0 EAL
0 12EIZL3 6EIZL2 0 12EIZL3
0 6EIZL2 2EIZL 0 6EIZL2 EAL
2图2面超静定桁架结构载荷P作求杆轴力结构成142434三杆组成杆单元两端杆单元结点结点水铅直位移分uv表示
解：题意：杆件局部坐标系单元刚度矩阵：
1 0 1 0
0 0 0 0
[k]eEAL 1 0 1 0 e(14 24 34)
0 0 0 0
图2 桁架超静定结构
①14杆转角γπ2+θcosγcosθsinγsinθ
sinθ cosθ 0 0
cosθ sinθ 0 0
[T]14 0 0 sinθ cosθ
0 0 cosθ sinθ sin2θ sinθ* cosθ sin2θ sinθ* cosθ
[K]14[T]14 T*[K]14 *[T]14EAL* sinθ* cosθ cos2θ sinθ* cosθ cos2θ
sin2θ sinθ* cosθ sin2θ sinθ* cosθ
sinθ* cosθ cos2θ sinθ* cosθ cos2θ
②24杆转角γ90°：
0 0 0 0
0 1 0 1
[K]24 EAL* 0 0 0 0
0 1 0 1
③34杆转角γπ2θcosγcosθsinγsinθ
cosθ sinθ 0 0
sinθ cosθ 0 0
[T]34 0 0 cosθ sinθ
0 0 sinθ cosθ
[K]34[T]34 T*[K]34 *[T]34 sin2θ sinθ* cosθ sin2θ sinθ* cosθ 0 0 0 0
sinθ* cosθ cos2θ sinθ* cosθ cos2θ 0 0 0 0
sin2θ sinθ* cosθ 0 0 0 0 sin2θ sinθ* cosθ
[K]e[K]14+[K]24+[K]34EAL* sinθ* cosθ cos2θ 0 1 0 1 sinθ* cosθ cos2θ
0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 1 0 1 0 0
0 0 sin2θ sinθ* cosθ 0 0 sin2θ sinθ* cosθ
0 0 sinθ* cosθ cos2θ 0 0 sinθ* cosθ cos2θ
利[K]*{0 0 u v 0 0 0 0}{0 0 0 P 0 0 0 0}解uv值
杆单元14时{}14[K]14*{q}14求
杆单元24时{}24[K]24*{q}24求
杆单元34时{}34[K]34*{q}34求
3图3示钢架中两杆尺寸相等等截面杆件横截面积A05m2截面惯性矩I124m4E3*107kpa求解结构
图3 钢架
解：杆件单元标出单元号码结点号码（图示）钢架单元参数：
单元数2结点数3杆件子局部坐标系单元刚度矩阵：
1 0 1 0
[K]eEAL* 0 0 0 0 e12
1 0 1 0
0 0 0 0 1 0 1 0
单元①转角γ0°[K] ①EAL* 0 0 0 0
1 0 1 0
0 0 0 0
0 0 0 0
单元②转角γ90°[K] ② EAL* 0 1 0 1
0 0 0 0
0 1 0 1
1 0 0 0 1 0
0 1 0 1 0 0
0 0 0 0 0 0
[K][K] ①+[K] ②EAL* 0 1 0 1 0 0
1 0 0 0 1 0
0 0 0 0 0 0
[K]*{u v 0 0 0 0}[14 22 0 0 0 0]求uv
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题
21 解释概念：应力应变方程物理方程虚位移原理
解 应力某截面应力该处集度
应变指单元体某方ΔU伸长量相变化量应变
表示x轴方正应变包括正应变剪应变
方程表示弹性体节点应变分量位移分量间关系完整表示：
物理方程：表示应力应变关系方程某点应力分量应变分量间关系：
虚位移原理：弹性虚位移情况作质点力系相应虚位移虚功总零：弹性体已知面力体力作处衡状态弹性体产生虚位移作弹性体体力虚位移做工等弹性体具虚位
22说明弹性体力学中基假设
连续性假设：假定整物体体积组成该物体介质填满存间隙
完全弹性假设：假定物体服虎克定律
性假设：假定整物体意材料组成
变形位移假设：指物体点位移远远物体原尺寸应变转角1
23简述线应变剪应变含义
线应变：应变刚体转动位移导数关系剪应变表示单元体棱边间夹角变化
24 推面应变衡微分方程
解：单元体言衡方程：
面中 代入式
25 题图21示三表面隔离出面应力状态中点求值
解：x方：
联立二式：
26相xyz坐标系点应力
某表面外法线方余弦值求该表面法相切应力
解：该面正应力
全应力
该面切应力
27点应力
MP
求应力应力方方余弦球该店剪应力
解：设面方余弦题知
代入
剪应力
（1）时代入式（221）
（2）时代入式（221）
28已知点P位移场求该点p(102)应变分量
解：p点坐标方位移分量uvw
点p(102)处线应变
剪应变
29具面应力场物体材料参数Ev位移场
中abcd常量求讨位移场相容性
解：
满足相容性条件
广义胡克定律
210具面应力场物体材料性质E210GPav03位移场
x0050my0020m时求物体应力应变位移场否相容？
解：
广义胡克定律
满足相容性条件
211没体积力圆盘处面应力状态中
a b c d e f g h常量应力满足衡方程相容方程常量约束条件什？
解：题意：
代入衡方程
根广义胡克定律：
代入相容方程
（2）
代入（1）
中
213 根弹性力学面问题方程证明应变分量满足列方程
解释该方程意义
证明：弹性力学面问题方程：
① ② ③
方程①②分yx求二阶偏导相加：
等式右端项
该方程相容方程中第式意义弹性体点确定位移点连位移应变分量应满足相容方程否变形微元体间出现开裂重叠
214 假设Airy应力函数中常数求求变量间约束关系
解：该应力函数求偏导
两式偏导求：
考虑相容性条件式代入常量间关系：
215 定应力矩阵求TrescaVonMises应力Von Mises应力Tresca应力
20 10 10
进行较δ 10 20 10 Mpa
10 10 20
δz τxy τxz
解：Tresca准：δ δy τyz δs20Mpaτmaxδs210Mpa
δz
δ1（δx+δy）230Mpa δ210Mpa
Von Mises准：2δs26（τxy2+τyz2+τyz2）解δs30Mpa
30 15 20
216 点出应力状态应力矩阵出δ 15 25 10 MpaE70Gpaγ 20 10 40
033求单位体积应变
解：单位体积应变：
υ12E{δx2+δy2+δz22u(δxδy+δyδz+δzδz)+2(1+u)(τxy2 +τxz2+τyz2)}
u（E2γ）2γ γ033带入：
υ42075J
311 图311示面三角形单元厚度t1cm弹性模量E20*105mpa泊松γ03试求插值函数矩阵N应变矩阵B应力矩阵S单元刚度矩阵Ke
解：三角形单元：
2△（102）*432
a1132*（8u15u216u3）
a2132*（4u14u2）
a3132*（8u1+8u3）
a4132*（56v18v216v3）
a5132*（4v1+4v2）
a6132*（8v1+8v3）
b1y2y34 b1x2x38
b1y3y14 b1x3x10
b1y1y20 b1x1x28
b1 0 b2 0 b3 0 4 0 4 0 0
[B]12△* 0 c1 0 c2 0 c3 132* 0 8 0 0 8
c1 b1 c2 b2 c3 b3 8 4 0 8 0
1 γ 0 1 03 0
[D][E(1γ2)]* γ 1 0 [E091]* 03 1 0
0 0 (1γ)2 0 0 035
1 03 0 0125 0 0125 0 0
[S][D]*[B]{E091}* 03 1 0 * 0 025 0 0 025
0 0 035 025 0125 0 025 0
14 0 14 07 0 07
0 4 06 4 0 0
[K]①BT*D*B①*t*△{E364}* 14 06 24 13 06 07
07 4 13 06 1 035
0 0 06 1 06 0
07 0 07 035 0 0
1 0 0 06 1 06
0 035 07 0 07 035
0 07 14 0 14 07
[K]②BT*D*B②*t*△{E364}* 06 0 0 4 06 4
1 07 14 06 24 13
06 035 14 4 13 35
312 求图中示三角形单元插值函数矩阵应变矩阵u120mmv112mmu224mmv212mmu321mmv314mm求单元应变应力求出应力方单元jm边作线性分布面载荷（x轴）求结点载荷分量
解：图2△643解参数：
a119 a22 a36 b13 b24 b31c11 c23 c34
N1{643}*(193xy) N2{643}*(23x3y)
N3{643}*(6x+4y)
N Ni 0 Nj 0 Nm 0
0 Ni 0 Nj 0 Nm
1 0 1 0 1 0
0 1 0 1 0 1
bi 0 bj 0 bm 0
[B]{12△}* 0 ci 0 cj 0 cm
ci bi cj bj cm bm
3 0 4 0 1 0
{643}* 0 1 0 3 0 4
1 3 3 4 4 1
1 γ 0
[D]{E(1γ2)}* γ 1 0
0 0 (1γ)2
1 γ 0 3 0 4 0 1 0
单元应力矩阵[S][D]*[B] {E13(1γ2)}* γ 1 0 * 0 1 0 3 0 4
0 0 (1γ)2 1 3 3 4 4 1
2
11
3 u 4 3u 1 4u 24
单元应力[δ][S]*[q] {E13(1γ2)}* 3u 1 4u 3 u 4 * 12
(u1)2 (3u3)2 (3u3)2 22u 22u (u1)2 24
14
313
解：二维单元xy坐标面移位置单元刚度矩阵相面矩阵
180°时变化单元作述变化时应力矩阵变化
（01）
（21）
314
（20）
（00）
②
①
y
x
解：令
单元①
单元②：
扩充KZ（总刚度阵）
中
化简：
315图示限元网格单元厚度弹性模量泊松回答述问题：
（1）结点编号结构刚度矩阵带宽？
（2）设置位移边界条件约束结构刚体移动？
（3）形成单元刚度矩阵集成结构刚度矩阵
（4）果施加定载荷拟定求解步骤
(1) (2) （3）
解：1节点编号图(2)示
2图(3)设置位移边界条件约束结构刚体移动
3图(2)示节点坐标(m单位)：1(00)2(0080)3(0004)4(008004 )5(0008)6(008008)7(0012)8(008012)
解：单元号 1 2 3 4 5 6
相邻结点 1 3 4 5 5 7
2 2 5 4 6 6
3 4 3 6 7 8
单元号1：
单元号2：
单元号3：
单元号4：
单元号5：
单元号6：
面三角形单元面积均
弹性矩阵均
应变矩阵
应力矩阵
单元刚度矩阵
结构刚度矩阵：
施加定载荷求解步骤：
1单元编号列出单元三结点结点号
2计算外载荷等效结点力列出结构结点载荷列阵
3计算单元刚度矩阵组集结构整体刚度矩阵
4引入边界条件根约束情况修正结构限元方程特消整体刚度矩阵
奇异性考虑约束条件解限元方程
5利线性方程组数值解法结构限元方程进行求解结点位
移量根需求解单元应力
316长方形薄板图示两端受均匀拉伸板长12cm宽4cm厚1cm材料泊松均匀拉力限元法求解板应力精确解较（提示：利结构称性2三角形单元结构进行离散）
解：
解：结点编号 1 2 3 4 单元号 1 2
X坐标 0 12 0 12 相邻结点 1 3
Y坐标 0 0 4 4 2 2
3 4
面三角形单元面积均
应力矩阵：
单元1应变距阵：
单元1单元刚度矩阵：
单元2应变距阵：
单元2单元刚度矩阵：
总刚度矩阵：
位移分量：
载荷列阵：
单元1单元应力：
单元2单元应力：
长方形薄板应力精确解：拉应力限元法求解出结果精确解致相等
317 验证三角形单元位移差值函数满足
解：面三角形形函数：中
分行列式2A中第行第二行第三行元素代数余子式行列式中行元素相应代数余子式积等行列式值行元素行应元素代数余子式积零：
时
理：
318 推导图示9节点矩形单元形函数
解三维杆单元形状函数
①
局部坐标系中令节点152应带入①式节点152仅x方形函数：
②
理：
节点263着全局坐标系y轴形状函数(通变量轮换)节点1形函数xy方积：
：
理整理：
319 图示桁架单元端点力[U1U2]端点位移[u1u2]设部点轴位移u坐标x线性函数：
推导形函数矩阵N
解：轴位移u坐标x线性函数写成量形式设两节点坐标代入量形式位移函数解：
位移函数形函数：
41 答：轴称三角形环单元常应变单元果弹性体形状约束条件载荷称某轴位移应变应力称轴样问题称轴称轴称三角形环单元面常应变单元轴称三角形环单元应变常数矩阵应变矩阵B[B B B]中B（ijm）应变分量常量环应变常量中rz关
42 答：轴称问题中刚度度：环位移径位移轴位移三角环单元均半径均高度进行计算单元刚度矩阵配合精确积分等效结点载荷矩阵计算结果错
43 轴称问题两单元ab设材料弹性模量E泊松μ 015试手算两单元刚度矩阵
解：单元题知：
单元a截面面积
单元a刚度矩阵写成分块矩阵形式：
中子矩阵写：
刚度矩阵
单元题知
单元截面面积
单元刚度矩阵写成分块矩阵形式：
中子矩阵写：
单元刚度矩阵
51 答：杆件受（行杆轴）载荷作样杆件拉压问题杆件受横（垂直杆轴）载荷作梁弯曲问题杆件受力相似薄板薄板受载荷作面应力问题薄板受横载荷作薄板弯曲问题薄板弯曲认梁弯曲推广双弯曲问题中面法线变形保持伸缩成弹性曲面法线中面变形线段面积投影形状保持变（挠度薄板）已知中面挠度位移应力分量
某点位移：
某点应力：
弹性曲面微分方程中……板抗挠刚度
52 答：矩形薄板单元：薄板单元位移函数满足连续性相容性求采种位移函数单元非协调单元种四节点矩形弯曲单元变形挠度面单元间然互相连续法导数连续单元间变形连续光滑（棱）单元逐渐取时候够收敛精确解
三角形薄板单元：常面积坐标分析表明挠度 阶导数 作节点位移函数般形状函数构造满足相容性薄板单元需加二阶导数实现相邻单元间挠度连续法斜率连续种位移模式非协调单云收敛矩形单元单元足够节点增六节点三角形九节点三角形等
53谈面应力弯曲状态组合情况三角形刚度矩阵特点
（1） 面作力产生变形影响弯曲变形反然
（2） 节点转 两种应力状态加入变形中相应节点力存面应力状态弯曲状态加组合单元节点位移量节点力量 指出局部坐标系中节点位移包括 步局部坐标系单元刚度阵换总体坐标系进行集成面应力状态节点力面应力状态节点位移 互影响弯曲应力状态节点面应力状态节点位移互影响组合应力状态板薄板单元单元刚度矩阵：
中矩阵分面应力问题薄板弯曲问题相应子矩阵三角形单元单元刚度矩阵18×18矩阵
61 结构动态特性：结构固频率相应模型着时间变形外加激振力激励机器结构激起位移应力称激起动力响应机械产品动态性重性指标尤现代复杂高速重载精密机械系统动态性影响工作性产品指标关键技术指标机械结构动态特性问题早世纪30年代引起重视动态特性发展机械动态设计提供坚实基础
62 结构离散运动状态节点动力衡：中分惯性力阻尼力动力载荷均矢量弹性力弹性力矢量节点位移刚度矩阵表示：式中刚度矩阵元素节点j单位位移节点i引起弹性力根达朗贝尔原理利质量矩阵节点加速度表示惯性：式中质量矩阵节点j单位加速度节点i引起惯性力设结构阻尼（滞粘）阻尼矩阵C节点速度表示阻尼：式带入：++记运动方程：++
63单元质量矩阵：
质量矩阵称阵节点质量互相耦合动惯性转动惯性间耦合果单元致质量集中分配节点质量矩阵成集中质量矩阵质量分配原：静力学行力分配法单元致质量矩阵集中节点外质量代形函数计算[M]称致质量矩阵
65 结构阻尼（结构身材料性质关）
结构振动程中果没量耗散振动永远保持初始条件决定振幅持续停实际结构振动振幅会时间衰减定时间系统量某原消耗种量耗散作称阻尼阻尼振动衰减系统称阻尼系统
结构部阻尼非粘线似线性弹性材料特金属材料表示种结构阻尼性质种阻尼材料受力变形产生摩擦力变形间产生相位滞
产生量耗散原结构摩擦（粘性）构件接口处摩擦周围介质（空气建筑物基）阻尼影响等关阻尼作机理目前尚未完全研究清楚
1推导横截面积A维桁架架构单元刚度矩阵
解：设杆件两端点位ijξη单元局部坐标ξ表示单元截面位置发生位移：ua0+b1ξvb0+b1ξ+b2ξ2+b3ξ3：
u 1 0 0 ξ 0 0
*（a0 b0 b1 a1 b2 b3）T
v 1 0 ξ 0 ξ2 ξ2
[H] [α]
记{U}[uv][H]* [α]
ij两端位移分量：{ζ}[G]*[ α]
1 0 0 0 0 0
0 1 0 0 0 0
中[G] 0 0 1 0 0 0 式左[G]1
1 0 0 L 0 0
0 1 L 0 L2 L3
0 0 1 0 2L 3L2
{u}[H]* [G]1*{ζ}令[N] [H]* [G]1
N1[1ξL 0 0 ξL 0 0]
N2[0 13[ξL]2+2[ξL]3 ξ*（1ξL）2 0 3[ξL]2+2[ξL]3 ξ*（ξL1）*ξL]
应物理方程：[ε] ξn *[ζ][B]* [ζ]
ζn
利虚功原理推：[K]eE*
EAL
0 12EIZL3
0 6EIZL2 4EIZL 称
EAL 0 0 EAL
0 12EIZL3 6EIZL2 0 12EIZL3
0 6EIZL2 2EIZL 0 6EIZL2 EAL
2图2面超静定桁架结构载荷P作求杆轴力结构成142434三杆组成杆单元两端杆单元结点结点水铅直位移分uv表示
解：题意：杆件局部坐标系单元刚度矩阵：
1 0 1 0
0 0 0 0
[k]eEAL 1 0 1 0 e(14 24 34)
0 0 0 0
图2 桁架超静定结构
①14杆转角γπ2+θcosγcosθsinγsinθ
sinθ cosθ 0 0
cosθ sinθ 0 0
[T]14 0 0 sinθ cosθ
0 0 cosθ sinθ sin2θ sinθ* cosθ sin2θ sinθ* cosθ
[K]14[T]14 T*[K]14 *[T]14EAL* sinθ* cosθ cos2θ sinθ* cosθ cos2θ
sin2θ sinθ* cosθ sin2θ sinθ* cosθ
sinθ* cosθ cos2θ sinθ* cosθ cos2θ
②24杆转角γ90°：
0 0 0 0
0 1 0 1
[K]24 EAL* 0 0 0 0
0 1 0 1
③34杆转角γπ2θcosγcosθsinγsinθ
cosθ sinθ 0 0
sinθ cosθ 0 0
[T]34 0 0 cosθ sinθ
0 0 sinθ cosθ
[K]34[T]34 T*[K]34 *[T]34 sin2θ sinθ* cosθ sin2θ sinθ* cosθ 0 0 0 0
sinθ* cosθ cos2θ sinθ* cosθ cos2θ 0 0 0 0
sin2θ sinθ* cosθ 0 0 0 0 sin2θ sinθ* cosθ
[K]e[K]14+[K]24+[K]34EAL* sinθ* cosθ cos2θ 0 1 0 1 sinθ* cosθ cos2θ
0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 1 0 1 0 0
0 0 sin2θ sinθ* cosθ 0 0 sin2θ sinθ* cosθ
0 0 sinθ* cosθ cos2θ 0 0 sinθ* cosθ cos2θ
利[K]*{0 0 u v 0 0 0 0}{0 0 0 P 0 0 0 0}解uv值
杆单元14时{}14[K]14*{q}14求
杆单元24时{}24[K]24*{q}24求
杆单元34时{}34[K]34*{q}34求
3图3示钢架中两杆尺寸相等等截面杆件横截面积A05m2截面惯性矩I124m4E3*107kpa求解结构
图3 钢架
解：杆件单元标出单元号码结点号码（图示）钢架单元参数：
单元数2结点数3杆件子局部坐标系单元刚度矩阵：
1 0 1 0
[K]eEAL* 0 0 0 0 e12
1 0 1 0
0 0 0 0 1 0 1 0
单元①转角γ0°[K] ①EAL* 0 0 0 0
1 0 1 0
0 0 0 0
0 0 0 0
单元②转角γ90°[K] ② EAL* 0 1 0 1
0 0 0 0
0 1 0 1
1 0 0 0 1 0
0 1 0 1 0 0
0 0 0 0 0 0
[K][K] ①+[K] ②EAL* 0 1 0 1 0 0
1 0 0 0 1 0
0 0 0 0 0 0
[K]*{u v 0 0 0 0}[14 22 0 0 0 0]求uv
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