升初奥数 32 知识点
1．差倍问题
差问题倍问题 差倍问题
已知条件数差数倍数数差倍数
公式适范围 已知两数差倍数关系
公式 ①(－差)÷2较数
较数＋差较数 －较数较数
公式②(＋差)÷2较数 较数－差较数
－较数较数
÷(倍数＋1)数 数×倍数数
－数数 差÷(倍数1)数
数×倍数数 数＋差数
关键问题：求出条件差 倍数 差倍数
2．年龄问题三基特征：
①两年龄差变
②两年龄时增加者时减少
③两年龄倍数发生变化
3．问题基特点：问题中变量般单量题目般
样速度……等词语表示
关键问题：根题目中条件确定求出单量
4．植树问题
基类型：直线者封闭曲线植树两端植树直线者封闭曲线植树
两端植树直线者封闭曲线植树端植树 封闭曲线植树 基公式
棵数段数＋1
棵距×段数总长棵数段数－1
棵距×段数总长棵数段数
棵距×段数总长
关键问题 确定属类型确定棵数段数关系
5．鸡兔笼问题
基概念：鸡兔笼问题称置换问题假设问题假设错部分置换出
基思路：
①假设假设某种现象存（甲乙样者乙甲样）：
②假设发生题目条件差找出差少
③事物造成差固定找出出现差原
④根两差作适调整消出现差
基公式：
①鸡假设成兔子：
鸡数＝（兔脚数×总头数－总脚数）÷（兔脚数－鸡脚数）
②兔子假设成鸡：
兔数＝（总脚数鸡脚数×总头数）÷（兔脚数鸡脚数）
关键问题：找出总量差单位量差
6．盈亏问题
基概念：定量象某种标准分组产生种结果：种标准分组产生
种结果分组标准造成结果差异关系求象分组组数象
总量．
基思路：先两种分配方案进行较分析标准差异造成结果变化根关
系求出参加分配总份数然根题意求出象总量．
基题型：
①次余数次足
基公式：总份数＝（余数＋足数）÷两次份数差
②两次余数
基公式：总份数＝（较余数较余数）÷两次份数差
③两次足
基公式：总份数＝（较足数较足数）÷两次份数差
基特点：象总量总组数变
关键问题：确定象总量总组数
7．牛吃草问题
基思路：假设头牛吃草速度1份根两次吃法求出中总草量差
找出造成种差异原确定草生长速度总草量
基特点：原草量新草生长速度变
关键问题：确定两变量
基公式：
生长量（较长时间×长时间牛头数较短时间×短时间牛头数）÷（长时间短时间）
总草量较长时间×长时间牛头数较长时间×生长量
8．周期循环数表规律
周期现象：事物运动变化程中某特征规律循环出现
周期：连续两次出现时间周期
关键问题：确定循环周期
闰 年：年 366 天
①年份 4 整②果年份 100 整年份必须 400 整
年：年 365 天
①年份 4 整②果年份 100 整 400 整
9．均数
基公式：①均数总数量÷总份数 数量均数×总份数 总份数总数量÷均数
②均数基准数＋数基准数差÷总份数
基算法：
①求出总数量总份数利基公式①进行计算
②基准数法：根出数间关系确定基准数般选数较接数
者中间数基准数基准数标准求出基准数差求出差
求出差均数求差均数基准数求均数具体关
系见基公式②
抽屉原：果（n+1）物体放 n 抽屉里必抽屉中少放 2
物体
例： 4 物体放 3 抽屉里 4 分解成三整数四种情况：
①44+0+0②43+1+0 ③42+2+0 ④42+1+1
观察面四种放物体方式会发现特点：总抽屉里 2
2 物体说必抽屉中少放 2 物体
抽屉原二：果 n 物体放 m 抽屉里中 n>m必抽屉少
①k[nm]+1 物体： n m 整时
②knm 物体： n m 整时
理解知识点：[X]表示超 X 整数
例[4351]4[0321]0[29999]2
关键问题：构造物体抽屉找代表物体抽屉量抽屉原进行运算
12．数列求
等差数列：列数中意相邻两数差定样列数做等差数列
基概念：首项：等差数列第数般 a1 表示
项数：等差数列数数般 n 表示
公差：数列中意相邻两数差般 d 表示
通项：表示数列中数公式般 an 表示
数列：数列全部数字般 Sn 表示．
基思路：等差数列中涉五量：a1 an d nsn通项公式中涉四量果知
中三求出第四求公式中涉四量果知中三求第四
13．定义新运算
基概念：定义种新运算符号新运算符号包含种基（混合）运算
基思路：严格新定义运算规已知数代入转化加减运算然
基运算程规律进行运算
关键问题：正确理解定义运算符号意义
注意事项：①新运算定符合运算规律特注意运算序
②新定义运算符号题中
14．数列求
等差数列：列数中意相邻两数差定样列数做等差数列
基概念：首项：等差数列第数般 a1 表示
项数：等差数列数数般 n 表示
公差：数列中意相邻两数差般 d 表示
通项：表示数列中数公式般 an 表示
数列：数列全部数字般 Sn 表示．
基思路：等差数列中涉五量：a1 an d nsn通项公式中涉四量果知
中三求出第四求公式中涉四量果知中三求第四
基公式：通项公式：an a1+（n－1）d
通项＝首项＋（项数 1) 公差
数列公式：sn(a1+ an)n2
数列＝（首项＋末项）项数 2
项数公式：n(an+ a1)d＋1
项数（末项首项）公差＋1
公差公式：d （an－a1））（n－1）
公差（末项－首项）（项数－1）
关键问题：确定已知量未知量确定公式
15．二进制应
十进制： 0～9 十数字表示逢 10 进 1数位数字表示含义十位
2 表示 20百位 2 表示 200 234200+30+42102+310+4
An10n1+An110n2+An210n3+An310n4+An410n5+An610n7+……+A3102+A
2101+A1100
注意：N0１N１N（中 N 意然数）
二进制： 0～1 两数字表示逢 2 进 1数位数字表示含义
（2）An2n1+An12n2+An22n3+An32n4+An42n5+An62n7+……+A322+A221+A120
注意：An 0 1
十进制化成二进制：
①根二进制满 2 进 1 特点 2 连续数直商 0然次余数
次写出
②先找出该数 2 n 次方求差找差 2 n 次方
方法直找差 0二进制展开式特点写出
16．加法法原理计数
加法原理：果完成件务 n 类方法第类方法中 m1 种方法第二类方
法中 m2 种方法……第 n 类方法中 mn 种方法完成件务：
m1+ m2 +mn 种方法
关键问题：确定工作分类方法
基特征：种方法完成务
法原理：果完成件务需分成 n 步骤进行做第 1 步 m1 种方法第 1 步
种方法第 2 步总 m2 种方法……前面 n1 步种方法第 n 步总 mn 种
方法完成件务：m1×m2 ×mn 种方法
关键问题：确定工作完成步骤
基特征：步完成务部分
直线：点直线空间定方相反方运动形成轨迹
直线特点：没端点没长度
线段：直线意两点间距离两点端点
线段特点：两端点长度
射线：直线端限延长
射线特点：端点没长度
①数线段规律：总数＝1+2+3+…+（点数 1）
②数角规律1+2+3+…+（射线数 1）
③数长方形规律：数长线段数×宽线段数：
④数长方形规律：数1×1+2×2+3×3+…+行数×列数
17．质数合数
质数：数 1 身外没约数数做质数做素数
合数：数 1 身外约数数做合数
质数：果某质数某数约数质数做数质数
分解质数：数质数相形式表示出做分解质数通常短法分解质
数合数分解质数结果唯
分解质数标准表示形式：N中 a1a2a3……an 合数 N 质数
a1求约数数公式：P(r1+1)×(r2+1)×(r3+1)×……×(rn+1)
互质数：果两数公约数 1两数做互质数
18．约数倍数
约数倍数：整数 a 够 b 整a 做 b 倍数b 做 a 约数
公约数：数公约数做数公约数中做数
公约数
公约数性质：
1 数公约数商互质数
2 数公约数数约数
3 数公约数数公约数约数
4 数然数 m积公约数等数公约数 m
例：12 约数 1234612
18 约数：1236918
12 18 公约数：1236
12 18 公约数：6记作（1218）6
求公约数基方法：
1 分解质数法：先分解质数然相数连起
2 短法：先找公约数然相
3 辗转相法：次数余数相够整余数求公约数
公倍数：数公倍数做数公倍数中做数
公倍数
12 倍数：12243648……
18 倍数：18365472……
12 18 公倍数：3672108……
12 18 公倍数 36记作[1218]36
公倍数性质：
1两数意公倍数公倍数倍数
2两数公约数公倍数积等两数积
求公倍数基方法：1短法求公倍数2分解质数方法
19．数整
基概念符号：
1整：果整数 a然数 b整数商 c没余数做 a
b 整 b 整 a记作 b|a
2常符号：整符号|整符号符号∵符号∴
二整判断方法：
1 25 整：末位数字 25 整
2 425 整：末两位数字组成数 425 整
3 8125 整：末三位数字组成数 8125 整
4 39 整：数位数字 39 整
5 7 整：
①末三位数字组成数末三位前数字组成数差 7 整
②逐次掉位数字减末位数字 2 倍 7 整
6 11 整：
①末三位数字组成数末三位前数字组成数差 11 整
②奇数位数字偶数位数数字差 11 整
③逐次掉位数字减末位数字 11 整
7 13 整：
①末三位数字组成数末三位前数字组成数差 13 整
②逐次掉位数字减末位数字 9 倍 13 整
三整性质：
1 果 ab c 整（a+b）（ab） c 整
2 果 a b 整c 整数 a c b 整
3 果 a b 整b c 整 a c 整
4 果 a bc 整 a b c 公倍数整
20．余数应
基概念：意然数 abqr果 a÷bq……r 0b 余数q 做 a b 完全商
余数性质：
①余数数
② ab c 余数相 c|ab c|ba
③a b c 余数等 a c 余数加 b c 余数 c 余数
④a b 积 c 余数等 a c 余数 b c 余数积 c 余数
21．余数余周期
余定义：
①两整数 ab m 余数相称 ab 模 m 余
②已知三整数 abm果 m|ab称 ab 模 m 余记作 a≡b(mod m)读作 a
余 b 模 m
二余性质：
①身性：a≡a(mod m)
②称性： a≡b(mod m) b≡a(mod m)
③传递性： a≡b(mod m)b≡c(mod m) a≡ c(mod m)
④差性： a≡b(mod m)c≡d(mod m) a+c≡b+d(mod m)ac≡bd(mod m)
⑤相性： a≡ b(mod m)c≡d(mod m) a×c≡ b×d(mod m)
⑥方性： a≡b(mod m) an≡bn(modm)
⑦倍性 a≡ b(mod m)整数 c a×c≡ b×c(mod m×c)
三关方预备知识：
① Aa×b MAMa×b（Ma）b
② Bc+d MBMc+dMc×Md
四 3911 余数特征：
①然数 Mn 表示 M 数位数字 M≡n(mod 9)（mod 3）
②然数 MX 表示 M 奇数位数字Y 表示 M 偶数数位数字
M≡YX M≡11（XY）(mod 11)
五费尔马定理：果 p 质数（素数）
a 然数 a p 整 ap1≡1(mod p)
22．分数百分数应
基概念性质：
分数：单位1均分成份表示样份份数
分数性质：分数分子分母时相数（
0 外）分数变
分数单位：单位1均分成份表示样份数
百分数：表示数数百分数
常方法：
①逆思维方法：题目提供条件反方（结果）进行思考
②应思维方法：找出题目中具体量占率直接应关系
③转化思维方法：类应题转化成类应题进行解答常见转换成例
转换成倍数关系标准（分数中般指倍量）分率转化成条
件分率常见处理方法确定标准倍量
④假设思维方法：解题方便题目中相等量假设成相等者假设某种情
况成立计算出相应结果然进行调整求出结果
⑤量变思维方法：变化量中总量变量变化
量始终固定变三种情况：A分量发生变化总量变B总量发生变化
中分量变C总量分量发生变化分量间差量变化
⑥换思维方法：种量代种量数量关系单化量率关系明朗化
⑦倍率法：总量分量间分率变化规律进行处理
⑧浓度配法：般应总量分量发生变化状况
23．分数较
基方法：
①通分分子法：分数分子相根分子分数分母关系较
②通分分母法：分数分母相根分母分数分子关系较
③基准数法：确定标准分数进行较
④分子分母较法：分子分母差定时分子分母越分数值越
⑤倍率较法：较两分子分母时变化时分数运方法外
倍率变化关系较分数（具体运见倍率变化规律）
⑥转化较方法：分数转化成数（求出分数值）进行较
⑦倍数较法：数数结果数 1 进行较
⑧较法：分数减分数出数 0 较
⑨倒数较法：利倒数较然确定原数
⑩基准数较法：确定基准数数基准数较
24．分数拆分
分数单位分解成两分数公式：
① +
②+（
d 然数）
25．完全方数
完全方数特征：
1 末位数字：014569反成立
2 3 余 0 余 1反成立
3 4 余 0 余 1反成立
4 约数数奇数反成立
5 奇数方十位数字偶数反成立
6 奇数方位数字奇数偶数方位数字偶数
7 两相整数方间方数
方差公式：X2Y2（XY）（X+Y）
完全方公式：（X+Y）2X2+2XY+Y2
完全方差公式：（XY）2X22XY+Y2
26．例
：两数相两数号前面数前项号面数项
值：前项项商做值
性质：前项项时相数（零外）值变
例：表示两相等式子做例abcd
例性质：两外项积等两项积(交叉相)adbc
正例： A 扩缩倍B 扩缩倍（AB 商变时） A B 成正
反例： A 扩缩倍B 缩扩倍（AB 积变时） A B 成反
例尺：图距离实际距离做例尺
例分配：数定例分成份例分配
27．综合行程
基概念：行程问题研究物体运动研究物体速度时间路程三者间关
系
基公式：路程速度×时间路程÷时间速度路程÷速度时间
关键问题：确定运动程中位置方
相遇问题：速度×相遇时间相遇路程（请写出公式）
追问题：追时间＝路程差÷速度差（写出公式）
流水问题：水行程（船速+水速）×水时间
逆水行程（船速水速）×逆水时间
水速度船速+水速
逆水速度船速水速
静水速度（水速度+逆水速度）÷2
水 速（水速度逆水速度）÷2
流水问题：关键确定物体运动速度参公式
桥问题：关键确定物体运动路程参公式
方法：画线段图法
基题型：已知路程（相遇路程追路程）时间（相遇时间追时间）速度（速
度速度差）中意两量求第三量
28．工程问题
基公式：
①工作总量工作效率×工作时间
②工作效率工作总量÷工作时间
③工作时间工作总量÷工作效率
基思路：
①假设工作总量1（总工作量关）
②假设方便数工作总量（般完成工作总量时间公倍数）利 述三基关系简单表示出工作效率工作时间
关键问题：确定工作量工作时间工作效率间两两应关系
验简评：合久必分分久必合
29．逻辑推理
基方法简介：
①条件分析—假设法：假设情况中种成立然假设判断果题
设条件矛盾情况说明该假设情况成立相反情况成立例假设
a 偶数成立判断程中出现矛盾 a 定奇数
②条件分析—列表法：题设条件较需次假设完成时需进行列表辅
助分析列表法题设条件全部表示长方形表格中表格行列分表示
象情况观察表格题设情况运逻辑规律进行判断
③条件分析——图表法：两象间两种关系时连线表示两象间
关系连线表示等肯定状态没连线表示否定状态例 A B 两 间认识认识两种状态连线表示认识没表示认识
④逻辑计算：推理程中进行条件分析推理外进行相应计算根 计算结果推理提供新判断筛选条件
⑤简单纳推理：根题目提供特征数分析中存规律方法特殊情
况推广般情况递推出相关关系式问题解决
30．面积
基思路：
面积计算直接运公式情况般需图形进行割补移旋转
翻折分解变形重叠等规图形变规图形进行计算外需掌握 记忆常规面积规律
常方法：
1 连辅助线方法
2 利等底等高两三角形面积相等
3 胆假设（点设置题目中说意点解题时意点设置特殊位置 ）
4 利特殊规律
①等腰直角三角形已知意条边求出面积（斜边方4 等等腰直角三角 形面积）
②梯形角线连线两腰部分面积相等
③圆面积占外接正方形面积 785
31．立体图形
长 方 体
8 顶点6 面相面相等12 条棱相棱相等 S2(ab+ah+bh) Vabh
Sh
正 方 体
8 顶点6 面面相等12 条棱棱相等 S6a2 Va3
圆柱体
两底行相等圆侧面展开长方形 SS 侧+2S 底 S 侧Ch VSh
圆锥体
底圆顶点l母线顶点底圆周意点距离 SS 侧+S 底
S 侧rlVSh
球体 圆心圆周意点距离球半径 S4r2 Vr3
32．时钟问题—快慢表问题
基思路：
1 行程问题中思维方法解题
2 表成速度运动物体
3 路程单位分格（表周 60 分格）
4 时间标准表时间
合理利行程问题中例关系
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1．差倍问题
差问题倍问题 差倍问题
已知条件数差数倍数数差倍数
公式适范围 已知两数差倍数关系
公式 ①(－差)÷2较数
较数＋差较数 －较数较数
公式②(＋差)÷2较数 较数－差较数
－较数较数
÷(倍数＋1)数 数×倍数数
－数数 差÷(倍数1)数
数×倍数数 数＋差数
关键问题：求出条件差 倍数 差倍数
2．年龄问题三基特征：
①两年龄差变
②两年龄时增加者时减少
③两年龄倍数发生变化
3．问题基特点：问题中变量般单量题目般
样速度……等词语表示
关键问题：根题目中条件确定求出单量
4．植树问题
基类型：直线者封闭曲线植树两端植树直线者封闭曲线植树
两端植树直线者封闭曲线植树端植树 封闭曲线植树 基公式
棵数段数＋1
棵距×段数总长棵数段数－1
棵距×段数总长棵数段数
棵距×段数总长
关键问题 确定属类型确定棵数段数关系
5．鸡兔笼问题
基概念：鸡兔笼问题称置换问题假设问题假设错部分置换出
基思路：
①假设假设某种现象存（甲乙样者乙甲样）：
②假设发生题目条件差找出差少
③事物造成差固定找出出现差原
④根两差作适调整消出现差
基公式：
①鸡假设成兔子：
鸡数＝（兔脚数×总头数－总脚数）÷（兔脚数－鸡脚数）
②兔子假设成鸡：
兔数＝（总脚数鸡脚数×总头数）÷（兔脚数鸡脚数）
关键问题：找出总量差单位量差
6．盈亏问题
基概念：定量象某种标准分组产生种结果：种标准分组产生
种结果分组标准造成结果差异关系求象分组组数象
总量．
基思路：先两种分配方案进行较分析标准差异造成结果变化根关
系求出参加分配总份数然根题意求出象总量．
基题型：
①次余数次足
基公式：总份数＝（余数＋足数）÷两次份数差
②两次余数
基公式：总份数＝（较余数较余数）÷两次份数差
③两次足
基公式：总份数＝（较足数较足数）÷两次份数差
基特点：象总量总组数变
关键问题：确定象总量总组数
7．牛吃草问题
基思路：假设头牛吃草速度1份根两次吃法求出中总草量差
找出造成种差异原确定草生长速度总草量
基特点：原草量新草生长速度变
关键问题：确定两变量
基公式：
生长量（较长时间×长时间牛头数较短时间×短时间牛头数）÷（长时间短时间）
总草量较长时间×长时间牛头数较长时间×生长量
8．周期循环数表规律
周期现象：事物运动变化程中某特征规律循环出现
周期：连续两次出现时间周期
关键问题：确定循环周期
闰 年：年 366 天
①年份 4 整②果年份 100 整年份必须 400 整
年：年 365 天
①年份 4 整②果年份 100 整 400 整
9．均数
基公式：①均数总数量÷总份数 数量均数×总份数 总份数总数量÷均数
②均数基准数＋数基准数差÷总份数
基算法：
①求出总数量总份数利基公式①进行计算
②基准数法：根出数间关系确定基准数般选数较接数
者中间数基准数基准数标准求出基准数差求出差
求出差均数求差均数基准数求均数具体关
系见基公式②
抽屉原：果（n+1）物体放 n 抽屉里必抽屉中少放 2
物体
例： 4 物体放 3 抽屉里 4 分解成三整数四种情况：
①44+0+0②43+1+0 ③42+2+0 ④42+1+1
观察面四种放物体方式会发现特点：总抽屉里 2
2 物体说必抽屉中少放 2 物体
抽屉原二：果 n 物体放 m 抽屉里中 n>m必抽屉少
①k[nm]+1 物体： n m 整时
②knm 物体： n m 整时
理解知识点：[X]表示超 X 整数
例[4351]4[0321]0[29999]2
关键问题：构造物体抽屉找代表物体抽屉量抽屉原进行运算
12．数列求
等差数列：列数中意相邻两数差定样列数做等差数列
基概念：首项：等差数列第数般 a1 表示
项数：等差数列数数般 n 表示
公差：数列中意相邻两数差般 d 表示
通项：表示数列中数公式般 an 表示
数列：数列全部数字般 Sn 表示．
基思路：等差数列中涉五量：a1 an d nsn通项公式中涉四量果知
中三求出第四求公式中涉四量果知中三求第四
13．定义新运算
基概念：定义种新运算符号新运算符号包含种基（混合）运算
基思路：严格新定义运算规已知数代入转化加减运算然
基运算程规律进行运算
关键问题：正确理解定义运算符号意义
注意事项：①新运算定符合运算规律特注意运算序
②新定义运算符号题中
14．数列求
等差数列：列数中意相邻两数差定样列数做等差数列
基概念：首项：等差数列第数般 a1 表示
项数：等差数列数数般 n 表示
公差：数列中意相邻两数差般 d 表示
通项：表示数列中数公式般 an 表示
数列：数列全部数字般 Sn 表示．
基思路：等差数列中涉五量：a1 an d nsn通项公式中涉四量果知
中三求出第四求公式中涉四量果知中三求第四
基公式：通项公式：an a1+（n－1）d
通项＝首项＋（项数 1) 公差
数列公式：sn(a1+ an)n2
数列＝（首项＋末项）项数 2
项数公式：n(an+ a1)d＋1
项数（末项首项）公差＋1
公差公式：d （an－a1））（n－1）
公差（末项－首项）（项数－1）
关键问题：确定已知量未知量确定公式
15．二进制应
十进制： 0～9 十数字表示逢 10 进 1数位数字表示含义十位
2 表示 20百位 2 表示 200 234200+30+42102+310+4
An10n1+An110n2+An210n3+An310n4+An410n5+An610n7+……+A3102+A
2101+A1100
注意：N0１N１N（中 N 意然数）
二进制： 0～1 两数字表示逢 2 进 1数位数字表示含义
（2）An2n1+An12n2+An22n3+An32n4+An42n5+An62n7+……+A322+A221+A120
注意：An 0 1
十进制化成二进制：
①根二进制满 2 进 1 特点 2 连续数直商 0然次余数
次写出
②先找出该数 2 n 次方求差找差 2 n 次方
方法直找差 0二进制展开式特点写出
16．加法法原理计数
加法原理：果完成件务 n 类方法第类方法中 m1 种方法第二类方
法中 m2 种方法……第 n 类方法中 mn 种方法完成件务：
m1+ m2 +mn 种方法
关键问题：确定工作分类方法
基特征：种方法完成务
法原理：果完成件务需分成 n 步骤进行做第 1 步 m1 种方法第 1 步
种方法第 2 步总 m2 种方法……前面 n1 步种方法第 n 步总 mn 种
方法完成件务：m1×m2 ×mn 种方法
关键问题：确定工作完成步骤
基特征：步完成务部分
直线：点直线空间定方相反方运动形成轨迹
直线特点：没端点没长度
线段：直线意两点间距离两点端点
线段特点：两端点长度
射线：直线端限延长
射线特点：端点没长度
①数线段规律：总数＝1+2+3+…+（点数 1）
②数角规律1+2+3+…+（射线数 1）
③数长方形规律：数长线段数×宽线段数：
④数长方形规律：数1×1+2×2+3×3+…+行数×列数
17．质数合数
质数：数 1 身外没约数数做质数做素数
合数：数 1 身外约数数做合数
质数：果某质数某数约数质数做数质数
分解质数：数质数相形式表示出做分解质数通常短法分解质
数合数分解质数结果唯
分解质数标准表示形式：N中 a1a2a3……an 合数 N 质数
a1
互质数：果两数公约数 1两数做互质数
18．约数倍数
约数倍数：整数 a 够 b 整a 做 b 倍数b 做 a 约数
公约数：数公约数做数公约数中做数
公约数
公约数性质：
1 数公约数商互质数
2 数公约数数约数
3 数公约数数公约数约数
4 数然数 m积公约数等数公约数 m
例：12 约数 1234612
18 约数：1236918
12 18 公约数：1236
12 18 公约数：6记作（1218）6
求公约数基方法：
1 分解质数法：先分解质数然相数连起
2 短法：先找公约数然相
3 辗转相法：次数余数相够整余数求公约数
公倍数：数公倍数做数公倍数中做数
公倍数
12 倍数：12243648……
18 倍数：18365472……
12 18 公倍数：3672108……
12 18 公倍数 36记作[1218]36
公倍数性质：
1两数意公倍数公倍数倍数
2两数公约数公倍数积等两数积
求公倍数基方法：1短法求公倍数2分解质数方法
19．数整
基概念符号：
1整：果整数 a然数 b整数商 c没余数做 a
b 整 b 整 a记作 b|a
2常符号：整符号|整符号符号∵符号∴
二整判断方法：
1 25 整：末位数字 25 整
2 425 整：末两位数字组成数 425 整
3 8125 整：末三位数字组成数 8125 整
4 39 整：数位数字 39 整
5 7 整：
①末三位数字组成数末三位前数字组成数差 7 整
②逐次掉位数字减末位数字 2 倍 7 整
6 11 整：
①末三位数字组成数末三位前数字组成数差 11 整
②奇数位数字偶数位数数字差 11 整
③逐次掉位数字减末位数字 11 整
7 13 整：
①末三位数字组成数末三位前数字组成数差 13 整
②逐次掉位数字减末位数字 9 倍 13 整
三整性质：
1 果 ab c 整（a+b）（ab） c 整
2 果 a b 整c 整数 a c b 整
3 果 a b 整b c 整 a c 整
4 果 a bc 整 a b c 公倍数整
20．余数应
基概念：意然数 abqr果 a÷bq……r 0
余数性质：
①余数数
② ab c 余数相 c|ab c|ba
③a b c 余数等 a c 余数加 b c 余数 c 余数
④a b 积 c 余数等 a c 余数 b c 余数积 c 余数
21．余数余周期
余定义：
①两整数 ab m 余数相称 ab 模 m 余
②已知三整数 abm果 m|ab称 ab 模 m 余记作 a≡b(mod m)读作 a
余 b 模 m
二余性质：
①身性：a≡a(mod m)
②称性： a≡b(mod m) b≡a(mod m)
③传递性： a≡b(mod m)b≡c(mod m) a≡ c(mod m)
④差性： a≡b(mod m)c≡d(mod m) a+c≡b+d(mod m)ac≡bd(mod m)
⑤相性： a≡ b(mod m)c≡d(mod m) a×c≡ b×d(mod m)
⑥方性： a≡b(mod m) an≡bn(modm)
⑦倍性 a≡ b(mod m)整数 c a×c≡ b×c(mod m×c)
三关方预备知识：
① Aa×b MAMa×b（Ma）b
② Bc+d MBMc+dMc×Md
四 3911 余数特征：
①然数 Mn 表示 M 数位数字 M≡n(mod 9)（mod 3）
②然数 MX 表示 M 奇数位数字Y 表示 M 偶数数位数字
M≡YX M≡11（XY）(mod 11)
五费尔马定理：果 p 质数（素数）
a 然数 a p 整 ap1≡1(mod p)
22．分数百分数应
基概念性质：
分数：单位1均分成份表示样份份数
分数性质：分数分子分母时相数（
0 外）分数变
分数单位：单位1均分成份表示样份数
百分数：表示数数百分数
常方法：
①逆思维方法：题目提供条件反方（结果）进行思考
②应思维方法：找出题目中具体量占率直接应关系
③转化思维方法：类应题转化成类应题进行解答常见转换成例
转换成倍数关系标准（分数中般指倍量）分率转化成条
件分率常见处理方法确定标准倍量
④假设思维方法：解题方便题目中相等量假设成相等者假设某种情
况成立计算出相应结果然进行调整求出结果
⑤量变思维方法：变化量中总量变量变化
量始终固定变三种情况：A分量发生变化总量变B总量发生变化
中分量变C总量分量发生变化分量间差量变化
⑥换思维方法：种量代种量数量关系单化量率关系明朗化
⑦倍率法：总量分量间分率变化规律进行处理
⑧浓度配法：般应总量分量发生变化状况
23．分数较
基方法：
①通分分子法：分数分子相根分子分数分母关系较
②通分分母法：分数分母相根分母分数分子关系较
③基准数法：确定标准分数进行较
④分子分母较法：分子分母差定时分子分母越分数值越
⑤倍率较法：较两分子分母时变化时分数运方法外
倍率变化关系较分数（具体运见倍率变化规律）
⑥转化较方法：分数转化成数（求出分数值）进行较
⑦倍数较法：数数结果数 1 进行较
⑧较法：分数减分数出数 0 较
⑨倒数较法：利倒数较然确定原数
⑩基准数较法：确定基准数数基准数较
24．分数拆分
分数单位分解成两分数公式：
① +
②+（
d 然数）
25．完全方数
完全方数特征：
1 末位数字：014569反成立
2 3 余 0 余 1反成立
3 4 余 0 余 1反成立
4 约数数奇数反成立
5 奇数方十位数字偶数反成立
6 奇数方位数字奇数偶数方位数字偶数
7 两相整数方间方数
方差公式：X2Y2（XY）（X+Y）
完全方公式：（X+Y）2X2+2XY+Y2
完全方差公式：（XY）2X22XY+Y2
26．例
：两数相两数号前面数前项号面数项
值：前项项商做值
性质：前项项时相数（零外）值变
例：表示两相等式子做例abcd
例性质：两外项积等两项积(交叉相)adbc
正例： A 扩缩倍B 扩缩倍（AB 商变时） A B 成正
反例： A 扩缩倍B 缩扩倍（AB 积变时） A B 成反
例尺：图距离实际距离做例尺
例分配：数定例分成份例分配
27．综合行程
基概念：行程问题研究物体运动研究物体速度时间路程三者间关
系
基公式：路程速度×时间路程÷时间速度路程÷速度时间
关键问题：确定运动程中位置方
相遇问题：速度×相遇时间相遇路程（请写出公式）
追问题：追时间＝路程差÷速度差（写出公式）
流水问题：水行程（船速+水速）×水时间
逆水行程（船速水速）×逆水时间
水速度船速+水速
逆水速度船速水速
静水速度（水速度+逆水速度）÷2
水 速（水速度逆水速度）÷2
流水问题：关键确定物体运动速度参公式
桥问题：关键确定物体运动路程参公式
方法：画线段图法
基题型：已知路程（相遇路程追路程）时间（相遇时间追时间）速度（速
度速度差）中意两量求第三量
28．工程问题
基公式：
①工作总量工作效率×工作时间
②工作效率工作总量÷工作时间
③工作时间工作总量÷工作效率
基思路：
①假设工作总量1（总工作量关）
②假设方便数工作总量（般完成工作总量时间公倍数）利 述三基关系简单表示出工作效率工作时间
关键问题：确定工作量工作时间工作效率间两两应关系
验简评：合久必分分久必合
29．逻辑推理
基方法简介：
①条件分析—假设法：假设情况中种成立然假设判断果题
设条件矛盾情况说明该假设情况成立相反情况成立例假设
a 偶数成立判断程中出现矛盾 a 定奇数
②条件分析—列表法：题设条件较需次假设完成时需进行列表辅
助分析列表法题设条件全部表示长方形表格中表格行列分表示
象情况观察表格题设情况运逻辑规律进行判断
③条件分析——图表法：两象间两种关系时连线表示两象间
关系连线表示等肯定状态没连线表示否定状态例 A B 两 间认识认识两种状态连线表示认识没表示认识
④逻辑计算：推理程中进行条件分析推理外进行相应计算根 计算结果推理提供新判断筛选条件
⑤简单纳推理：根题目提供特征数分析中存规律方法特殊情
况推广般情况递推出相关关系式问题解决
30．面积
基思路：
面积计算直接运公式情况般需图形进行割补移旋转
翻折分解变形重叠等规图形变规图形进行计算外需掌握 记忆常规面积规律
常方法：
1 连辅助线方法
2 利等底等高两三角形面积相等
3 胆假设（点设置题目中说意点解题时意点设置特殊位置 ）
4 利特殊规律
①等腰直角三角形已知意条边求出面积（斜边方4 等等腰直角三角 形面积）
②梯形角线连线两腰部分面积相等
③圆面积占外接正方形面积 785
31．立体图形
长 方 体
8 顶点6 面相面相等12 条棱相棱相等 S2(ab+ah+bh) Vabh
Sh
正 方 体
8 顶点6 面面相等12 条棱棱相等 S6a2 Va3
圆柱体
两底行相等圆侧面展开长方形 SS 侧+2S 底 S 侧Ch VSh
圆锥体
底圆顶点l母线顶点底圆周意点距离 SS 侧+S 底
S 侧rlVSh
球体 圆心圆周意点距离球半径 S4r2 Vr3
32．时钟问题—快慢表问题
基思路：
1 行程问题中思维方法解题
2 表成速度运动物体
3 路程单位分格（表周 60 分格）
4 时间标准表时间
合理利行程问题中例关系
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