学思学奥数知识点总结
前言
学奥数知识点梳理学思学奥数纲建设尤必知识点概括出现偏概全挂漏万现象参考单尊编学数学奥林匹克中国少年报社编华杯赛教材华杯赛集训指南学思寒假班系列教材华罗庚学校教材五套教材力图破原体系重新整合划分构建十七块体系（第十七解题方法汇集补充相应杂题）原简明扼努力刻画学奥数知识树干
概述
计算
1． 四混合运算繁分数
⑴ 运算序
⑵ 分数数混合运算技巧
般言：
① 加减运算中化成限数统数形式
② 运算中统分数形式
⑶带分数假分数互化
⑷繁分数化简
2． 简便计算
⑴凑整思想
⑵基准数思想
⑶裂项拆分
⑷提取公数
⑸商变性质
⑹改变运算序
① 运算定律综合运
② 连减性质
③ 连性质
④ 级运算移项性质
⑤ 增减括号性质
⑥ 变式提取公数
形：
3． 估算
求某式整数部分：扩缩法
4． 较
① 通分
a 通分母
b 通分子
② 中介
③ 利倒数性质
c>b>a形：
5． 定义新运算
6． 特殊数列求
运相关公式：
①
②
③
④
⑤
⑥
⑦1+2+3+4…（n1）+n+（n1）+…4+3+2+1n
二 数
1． 奇偶性问题
奇奇偶 奇×奇奇
奇偶奇 奇×偶偶
偶偶偶 偶×偶偶
2． 位值原
形：100a+10b+c
3． 数整特征：
整数
特 征
2
末尾02468
3
数位数字3倍数
5
末尾05
9
数位数字9倍数
11
奇数位数字偶数位数字两者差11倍数
425
末两位数4（25）倍数
8125
末三位数8（125）倍数
71113
末三位数前位数差7（1113）倍数
4． 整性质
① 果c|ac|bc|(ab)
② 果bc|ab|ac|a
③ 果b|ac|a（bc）1bc|a
④ 果c|bb|ac|a
⑤ a连续然数中必恰数a整
5． 带余法
般果a整数b整数（b≠0）定外两整数qr0≤r＜bab×q+r
r0时称ab整
r≠0时称ab整rab余数qab完全商（简称商）带余数式表示a÷bq……r 0≤r＜b ab×q+r
6 唯分解定理
1然数n写成质数连积
n p1× p2××pk
7 约数数约数定理
设然数n质子分解式n p1× p2××pk：
n约数数：d(n)(a1+1)(a2+1)(ak+1)
n约数：（1+P1+P1+…p1）（1+P2+P2+…p2）…（1+Pk+Pk+…pk）
8 余定理
① 余定义：两整数ab然数m相余数称ab模m余式子表示a≡b(mod m)
②两数ab数c余数相ab差定c整
③两数m余数等两数分m余数
④两数差m余数等两数分m余数差
⑤两数积m余数等两数分m余数积
9．完全方数性质
①方差： AB（A+B）（AB）中注意A+B AB奇偶性
②约数：约数数奇数完全方数
约数数3质数方
③质数分解：数字分解满足积方数
④方
10．孙子定理（中国剩余定理）
11．辗转相法
12．数解题常方法：
枚举纳反证构造配估计
三 图形
1． 面图形
⑴边形角
N边形角(N2)×180°
⑵等积变形（位移割补）
① 三角形等底等高三角形
② 行线等底等高三角形
③ 公部分传递性
④ 极值原理（变变）
⑶三角形面积底正关系
S1︰S2 a︰b S1︰S2S4︰S3 者S1×S3S2×S4
⑷相似三角形性质（份数例）
① S1︰S2a2︰A2
②S1︰S3︰S2︰S4 a2︰b2︰ab︰ab S（a+b）2
⑸燕尾定理
S△ABG：S△AGC＝S△BGE：S△GEC＝BE：EC
S△BGA：S△BGC＝S△AGF：S△GFC＝AF：FC
S△AGC：S△BCG＝S△ADG：S△DGB＝AD：DB
⑹差变原理
知523圆点方点3
⑺隐含条件等价代换
例弦图中长短边长关系
⑻组合图形思考方法
① 化整零
② 先补
③ 正反结合
2． 立体图形
⑴规立体图形表面积体积公式
⑵规立体图形表面积
整体观法
⑶体积等积变形
①水中浸放物体：V升水V物
②测啤酒瓶容积：VV空气+V水
⑷三视图展开图
短线路展开图形状问题
⑸染色问题
面染色块数芯棱长顶点面数关系
四 典型应题
1． 植树问题
①开放型封闭型
②间隔株数关系
2． 方阵问题
外层边长数2层边长数
（外层边长数1）×4外周长数
外层边长数2中空边长数2实面积数
3． 列车桥问题
①车长+桥长速度×时间
②车长甲+车长乙速度×相遇时间
③车长甲+车长乙速度差×追时间
列车骑车列车司机相遇追问题
车长速度×相遇时间
车长速度差×追时间
4． 年龄问题
差变原理
5． 鸡兔笼
假设法解题思想
6． 牛吃草问题
原草量（牛吃速度草长速度）×时间
7． 均数问题
8． 盈亏问题
分析差量关系
9． 差问题
10． 倍问题
11． 差倍问题
12． 逆推问题
原法结果入手
13． 代换问题
列表消元法
等价条件代换
五 行程问题
1． 相遇问题
路程速度×相遇时间
2． 追问题
路程差速度差×追时间
3． 流水行船
水速度船速+水速
逆水速度船速水速
船速（水速度+逆水速度）÷2
水速（水速度逆水速度）÷2
4． 次相遇
线型路程： 甲乙行全程数相遇次数×21
环型路程： 甲乙行全程数相遇次数
中甲行路程单单全程行路程×行全程数
5． 环形跑道
6． 行程问题中正反例关系应
路程定速度时间成反
速度定路程时间成正
时间定路程速度成正
7． 钟面追问题
① 时针分针成直线
② 时针分针成直角
8． 结合分数工程差问题类型
9． 行程问题时常运时光倒流假定成思考方法
六 计数问题
1． 加法原理：分类枚举
2． 法原理：排列组合
3． 容斥原理：
① 总数量A+B+C(AB+AC+BC)+ABC
② 常：总数量A+BAB
4． 抽屉原理：
少问题
5． 握手问题
图形计数中应广泛
① 角线段三角形
② 长方形梯形行四边形
③ 正方形
七 分数问题
1． 量率应
2． 变量1
3． 利润问题
4． 浓度问题
倒三角原理
例：
5． 工程问题
① 合作问题
② 水池进出水问题
6． 例分配
八 方程解题
1． 等量关系
① 相关联量表示法
例： 甲 + 乙 100 甲÷乙3
x 100x 3x x
②解方程技巧
恒等变形
2． 二元次方程组求解
代入法消元法
3． 定方程分析求解
系数者试值角度
4． 等方程分析求解
九 找规律
⑴周期性问题
① 年月日星期问题
② 余数应
⑵数列问题
① 等差数列
通项公式 ana1+(n1)d
求项数： n
求： S
② 等数列
求： S
③ 裴波契数列
⑶策略问题
① 抢报30
② 放硬币
⑷值问题
① 短线路
a字符阵组分线读法
b格子路线短走法数
② 优化问题
a统筹方法
b烙饼问题
十 算式谜
1． 填充型
2． 代型
3． 填运算符号
4． 横式变竖式
5． 结合数知识点
十 数阵问题
1． 相等值问题
2． 数列分组
⑴知行列数求某数
⑵知某数求行列数
3． 幻方
⑴奇阶幻方问题：
杨辉法 罗伯法
⑵偶阶幻方问题：
双偶阶：称交换法
单偶阶：心方阵法
十二 二进制
1． 二进制计数法
① 二进制位值原
② 二进制数十进制数互相转化
③ 二进制运算
2． 进制（十六进制）
十三 笔画
1． 笔画定理：
⑴笔画图形中0两奇点
⑵两奇点进必须奇点进奇点出
2． 哈密尔顿圈哈密尔顿链
3． 笔画定理
笔画数
十四 逻辑推理
1． 等价条件转换
2． 列表法
3． 阵图
竞赛问题涉体育赛常识
十五 火柴棒问题
1． 移动火柴棒改变图形数
2． 移动火柴棒改变算式成立
十六 智力问题
1． 突破思维定势
2． 某特殊情境问题
十七 解题方法
（结合杂题处理）
1． 代换法
2． 消元法
3． 倒推法
4． 假设法
5． 反证法
6． 极值法
7． 设数法
8． 整体法
9． 画图法
10． 列表法
11． 排法
12． 染色法
13． 构造法
14． 配法
15． 列方程
⑴方程
⑵定方程
⑶等方程
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前言
学奥数知识点梳理学思学奥数纲建设尤必知识点概括出现偏概全挂漏万现象参考单尊编学数学奥林匹克中国少年报社编华杯赛教材华杯赛集训指南学思寒假班系列教材华罗庚学校教材五套教材力图破原体系重新整合划分构建十七块体系（第十七解题方法汇集补充相应杂题）原简明扼努力刻画学奥数知识树干
概述
计算
1． 四混合运算繁分数
⑴ 运算序
⑵ 分数数混合运算技巧
般言：
① 加减运算中化成限数统数形式
② 运算中统分数形式
⑶带分数假分数互化
⑷繁分数化简
2． 简便计算
⑴凑整思想
⑵基准数思想
⑶裂项拆分
⑷提取公数
⑸商变性质
⑹改变运算序
① 运算定律综合运
② 连减性质
③ 连性质
④ 级运算移项性质
⑤ 增减括号性质
⑥ 变式提取公数
形：
3． 估算
求某式整数部分：扩缩法
4． 较
① 通分
a 通分母
b 通分子
② 中介
③ 利倒数性质
c>b>a形：
5． 定义新运算
6． 特殊数列求
运相关公式：
①
②
③
④
⑤
⑥
⑦1+2+3+4…（n1）+n+（n1）+…4+3+2+1n
二 数
1． 奇偶性问题
奇奇偶 奇×奇奇
奇偶奇 奇×偶偶
偶偶偶 偶×偶偶
2． 位值原
形：100a+10b+c
3． 数整特征：
整数
特 征
2
末尾02468
3
数位数字3倍数
5
末尾05
9
数位数字9倍数
11
奇数位数字偶数位数字两者差11倍数
425
末两位数4（25）倍数
8125
末三位数8（125）倍数
71113
末三位数前位数差7（1113）倍数
4． 整性质
① 果c|ac|bc|(ab)
② 果bc|ab|ac|a
③ 果b|ac|a（bc）1bc|a
④ 果c|bb|ac|a
⑤ a连续然数中必恰数a整
5． 带余法
般果a整数b整数（b≠0）定外两整数qr0≤r＜bab×q+r
r0时称ab整
r≠0时称ab整rab余数qab完全商（简称商）带余数式表示a÷bq……r 0≤r＜b ab×q+r
6 唯分解定理
1然数n写成质数连积
n p1× p2××pk
7 约数数约数定理
设然数n质子分解式n p1× p2××pk：
n约数数：d(n)(a1+1)(a2+1)(ak+1)
n约数：（1+P1+P1+…p1）（1+P2+P2+…p2）…（1+Pk+Pk+…pk）
8 余定理
① 余定义：两整数ab然数m相余数称ab模m余式子表示a≡b(mod m)
②两数ab数c余数相ab差定c整
③两数m余数等两数分m余数
④两数差m余数等两数分m余数差
⑤两数积m余数等两数分m余数积
9．完全方数性质
①方差： AB（A+B）（AB）中注意A+B AB奇偶性
②约数：约数数奇数完全方数
约数数3质数方
③质数分解：数字分解满足积方数
④方
10．孙子定理（中国剩余定理）
11．辗转相法
12．数解题常方法：
枚举纳反证构造配估计
三 图形
1． 面图形
⑴边形角
N边形角(N2)×180°
⑵等积变形（位移割补）
① 三角形等底等高三角形
② 行线等底等高三角形
③ 公部分传递性
④ 极值原理（变变）
⑶三角形面积底正关系
S1︰S2 a︰b S1︰S2S4︰S3 者S1×S3S2×S4
⑷相似三角形性质（份数例）
① S1︰S2a2︰A2
②S1︰S3︰S2︰S4 a2︰b2︰ab︰ab S（a+b）2
⑸燕尾定理
S△ABG：S△AGC＝S△BGE：S△GEC＝BE：EC
S△BGA：S△BGC＝S△AGF：S△GFC＝AF：FC
S△AGC：S△BCG＝S△ADG：S△DGB＝AD：DB
⑹差变原理
知523圆点方点3
⑺隐含条件等价代换
例弦图中长短边长关系
⑻组合图形思考方法
① 化整零
② 先补
③ 正反结合
2． 立体图形
⑴规立体图形表面积体积公式
⑵规立体图形表面积
整体观法
⑶体积等积变形
①水中浸放物体：V升水V物
②测啤酒瓶容积：VV空气+V水
⑷三视图展开图
短线路展开图形状问题
⑸染色问题
面染色块数芯棱长顶点面数关系
四 典型应题
1． 植树问题
①开放型封闭型
②间隔株数关系
2． 方阵问题
外层边长数2层边长数
（外层边长数1）×4外周长数
外层边长数2中空边长数2实面积数
3． 列车桥问题
①车长+桥长速度×时间
②车长甲+车长乙速度×相遇时间
③车长甲+车长乙速度差×追时间
列车骑车列车司机相遇追问题
车长速度×相遇时间
车长速度差×追时间
4． 年龄问题
差变原理
5． 鸡兔笼
假设法解题思想
6． 牛吃草问题
原草量（牛吃速度草长速度）×时间
7． 均数问题
8． 盈亏问题
分析差量关系
9． 差问题
10． 倍问题
11． 差倍问题
12． 逆推问题
原法结果入手
13． 代换问题
列表消元法
等价条件代换
五 行程问题
1． 相遇问题
路程速度×相遇时间
2． 追问题
路程差速度差×追时间
3． 流水行船
水速度船速+水速
逆水速度船速水速
船速（水速度+逆水速度）÷2
水速（水速度逆水速度）÷2
4． 次相遇
线型路程： 甲乙行全程数相遇次数×21
环型路程： 甲乙行全程数相遇次数
中甲行路程单单全程行路程×行全程数
5． 环形跑道
6． 行程问题中正反例关系应
路程定速度时间成反
速度定路程时间成正
时间定路程速度成正
7． 钟面追问题
① 时针分针成直线
② 时针分针成直角
8． 结合分数工程差问题类型
9． 行程问题时常运时光倒流假定成思考方法
六 计数问题
1． 加法原理：分类枚举
2． 法原理：排列组合
3． 容斥原理：
① 总数量A+B+C(AB+AC+BC)+ABC
② 常：总数量A+BAB
4． 抽屉原理：
少问题
5． 握手问题
图形计数中应广泛
① 角线段三角形
② 长方形梯形行四边形
③ 正方形
七 分数问题
1． 量率应
2． 变量1
3． 利润问题
4． 浓度问题
倒三角原理
例：
5． 工程问题
① 合作问题
② 水池进出水问题
6． 例分配
八 方程解题
1． 等量关系
① 相关联量表示法
例： 甲 + 乙 100 甲÷乙3
x 100x 3x x
②解方程技巧
恒等变形
2． 二元次方程组求解
代入法消元法
3． 定方程分析求解
系数者试值角度
4． 等方程分析求解
九 找规律
⑴周期性问题
① 年月日星期问题
② 余数应
⑵数列问题
① 等差数列
通项公式 ana1+(n1)d
求项数： n
求： S
② 等数列
求： S
③ 裴波契数列
⑶策略问题
① 抢报30
② 放硬币
⑷值问题
① 短线路
a字符阵组分线读法
b格子路线短走法数
② 优化问题
a统筹方法
b烙饼问题
十 算式谜
1． 填充型
2． 代型
3． 填运算符号
4． 横式变竖式
5． 结合数知识点
十 数阵问题
1． 相等值问题
2． 数列分组
⑴知行列数求某数
⑵知某数求行列数
3． 幻方
⑴奇阶幻方问题：
杨辉法 罗伯法
⑵偶阶幻方问题：
双偶阶：称交换法
单偶阶：心方阵法
十二 二进制
1． 二进制计数法
① 二进制位值原
② 二进制数十进制数互相转化
③ 二进制运算
2． 进制（十六进制）
十三 笔画
1． 笔画定理：
⑴笔画图形中0两奇点
⑵两奇点进必须奇点进奇点出
2． 哈密尔顿圈哈密尔顿链
3． 笔画定理
笔画数
十四 逻辑推理
1． 等价条件转换
2． 列表法
3． 阵图
竞赛问题涉体育赛常识
十五 火柴棒问题
1． 移动火柴棒改变图形数
2． 移动火柴棒改变算式成立
十六 智力问题
1． 突破思维定势
2． 某特殊情境问题
十七 解题方法
（结合杂题处理）
1． 代换法
2． 消元法
3． 倒推法
4． 假设法
5． 反证法
6． 极值法
7． 设数法
8． 整体法
9． 画图法
10． 列表法
11． 排法
12． 染色法
13． 构造法
14． 配法
15． 列方程
⑴方程
⑵定方程
⑶等方程
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