2019—2020 学年第学期普通高中期末质量检测
高二数学试题
试卷 4 页.满分 150 分.
注意事项:
1.答题前考生务必试题卷答题卡规定方填写姓名准考证号.考生
认真核答题卡粘贴条形码准考证号姓名考生准考证号姓名否致.
2.选择题题选出答案 2B 铅笔答题卡应题目答案标号涂黑.需改
动橡皮擦干净选涂答案标号.非选择题 05 毫米黑色签字笔答题卡书写
作答.试题卷作答答案效.
3.考试结束考生必须试卷答题卡交回.
单选题:题 8 题题 5 分 40 分.题出四选项中
选项符合题目求.
1.已知直线l 倾斜角 45 斜率
A. 3 B.1 C. 2
2
D. 3
3
2 已知i 虚数单位复数 2i
1i
A 1i B 1i C 1i D 1i
3 计算
1
0 38(3 π)()27
A 7 π3 B 2
3 C 1
2 D 1
3
4.(1 2) 圆心原点圆方程
A 22( 1) ( 2) 5xy B 22( 1) ( 2) 5xy
C 22( 1) ( 2) 5xy D 22( 1) ( 2) 5xy
5.双曲线
2
2 14
yx 渐线方程
A 1
4yx B 1
2yx C 2yx D 4yx
6.函数 21yxx图象致
A B C D 高二数学试题 第 2 页 ( 4 页)
x
y
z
AB
CD
A1 B1
C1D1
7. π π[]22xy sin sin 0x x y y列等式定成立
A. xy B. xy C. xy D. xy
8.已知直线 l ( ) (| | 2)y t k x t t 圆 224O x y交点 k 值值分
Mm | | | |log logttMm 值
A.1 B.0 C. 1 D.
2
|| 2
2log ( )4t
t
t
二选题:题 4 题题 5 分 20 分.题出四选项中选
项符合题目求全部选 5 分选全 3 分选错 0 分.
9.已知方程 221( )mx ny m n R
A. 0mn 时方程表示椭圆 B. 0mn 时方程表示双曲线
C. 0m 时方程表示两条直线 D.方程表示曲线抛物线
10.图长方体 1 1 1 1ABCD A B C D 中 15 4 3AB AD AA 直线 DA DC
1DD 分 x 轴 y 轴 z 轴建立空间直角坐标系
A点 1B 坐标 4 5 3
B点 1C 关点 B 称点 5 8 3
C点 A关直线 1BD 称点 0 5 3
D点C 关面 11ABB A 称点 8 5 0
11.列说法正确
A.命题 xy xy | | | |xy 真命题
B.直线 10ax y 直线 20x ay 行 1a 逆命题真命题
C. p : xR 2 10xx p : xR 2 10xx
D.{ ln( 1)}x x y x [1 )x 充条件
12.已知函数 3( ) exf x x结正确
A ()fx R 单调递增 B
1
2
5(log 2) < (e ) < (ln π)f f f
C.方程 ( ) 1fx 实数解 D.存实数 k 方程 ()f x kx 4 实数解
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三填空题:题 4 题题 5 分 20 分.
13.已知直线 2 1 0l x y 点 1 2 垂直l 直线方程 .
14.迎接 2022 年北京冬奥会短道速滑队组织甲乙丙等 6 名队员参加选拔赛赛结
果没列名次.记甲第名 p 乙第名 q 丙第名r
pq 真命题 pr() 真命题第名 .
15.已知 ()fx定义 R 奇函数 0x 时 32( ) 2 3f x x x a ( 2)f
曲线 ()y f x 点( 2 ( 2))f处切线方程 . (第空 2 分第二空 3 分)
16.设原点直线双曲线
22
221yxC
ab
( 0 0)ab交 PQ 两点F C
焦点 4tan 3PFQ ∠ | | 5| |QF PF 双曲线 离心率 .
四解答题:题 6 题 70 分.解答应写出文字说明证明程演算步骤.
17.(10 分)
已知i 虚数单位复数 2 i 4 2i iz .
(1)求复数 z 模||z
(2) 1 3iz mz n (mnR z 轭复数)求 m n 值.
18.(12 分)
已知函数 2 0()
log 0
x
a
xfx
xx
[ ( 2)] 1ff .
(1)求实数 a 值
(2) [ 22)x 时求 ()fx值域.
19.(12 分)
已知动点 P y 轴右侧点 轴距离点 1 0F 距离1 .
(1)求动点 P 轨迹C 方程
(2)设斜率 1 点 (1 2)M 直线交 AB两点直线 MA MB 斜率分
12kk求 12kk 值.
高二数学试题 第 4 页 ( 4 页)
AB
CD
P
O
20.( 12 分)
已知四棱锥 P ABCD 底面 ABCD等腰梯形 AB CD AC BD O
22AO OC 2 2 PA PB AB AC PB .
(1)证明:面 PBD 面 ABCD
(2)求二面角 A PD B余弦值.
21.(12 分)
阿基米德(公元前 287 年—公元前 212 年)仅著名物理学家著名数学家
利逼法椭圆面积圆周率 π 等椭圆长半轴短半轴积已知面
直角坐标系 xOy 中椭圆C:
22
221( 0)xy abab 面积23π 两焦点短轴
顶点构成等边三角形
(1)求椭圆C 标准方程
(2)点 (1 0)P 直线l C 交两点 AB求 OAB△ 面积值
22.(12 分)
已知函数 ( ) ln ( )f x x ax a R
(1)讨 ()fx单调性
(2) 极值点 0x 两零点 12xx 1 2 0 1 2 0x x mx x x 恒成立求实
数 m 取值范围.
高二数学试题答案 第 1 页 ( 5 页)
高二数学试题答案评分参考
评分说明:
1.解答出种种解法供参考果考生解法解答根试题
考查容评分标准制定相应评分细
2.计算题考生解答某步出现错误时果继部分解答未改变该题
容难度视影响程度决定继部分分超该部分正确解答应分数半
果继部分解答较严重错误分
3.解答右端注分数表示考生正确做步应累加分数
4.整数分数选择题填空题中间分
单选题
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 B A D C C D D B
二选题
9 BD 10 ACD 11 AB 12 BCD
三填空题
13 2 4 0xy 14 乙 15 4 12 20 0xy 16 2
四解答题
17 解:(1) 2 i 4 2i)iz (
2 i 4i 2 4 3iz 3 分
22| | 4 3 5z 5 分
(2)(1)知 4 3iz 4 3iz 6 分
4 3i (43i) 13iz mz n m n
4 4 (3 3 )i 1 3im n m 8 分
4 4 1
3 3 3
mn
m
解 0
3
m
n
10 分
18 解:(1)已知 2 1( 2) 2 4f 2 分
11[ ( 2)] ( ) log44af f f 4 分
令 1log 14a 解 4a 6 分
(2) [ 20]x 时 ( ) 2xfx 区间[ 20] 单调递增
1( ) [ 1]4fx 8 分 高二数学试题答案 第 2 页 ( 5 页)
(02)x 时 4( ) logf x x 区间(02) 单调递增
1()()2fx 10 分
综 [ 22)x 时函数 ()fx值域 ( 1] 12 分
19.解法:(1)题意动点 P 轨迹抛物线(原点)
焦点 (10)F准线 1x 3 分
设方程 2 2 ( 0)y px p 12
p 解 2p
动点 轨迹C 方程 2 4 ( 0)y x x 5 分
(2)设直线 ( 3)AB y x b b 11()A x y 22()B x y
2 4
yx
y x b
2
4
yyb 2 4 4 0y y b 7 分
Δ 16 16 0b 1b 124yy 8 分
2
1
1 4
yx
2
2
2 4
yx
2 1 2 1
12 2 2 2 2
2 1 2 1
2 2 4( 2) 4( 2)
441144
y y y ykk
y y y y
12
2 1 2 1
4( 2 2)44 02 2 ( 2)( 2)
yy
y y y y
120kk. 12 分
解法二:(1)解法. 5 分
(2)设 12()yy 直线l 交点
21
22
21 12
4
44
AB
yyk yyyy
7 分
直线 斜率 1
12
4 1yy 8 分
. 12 分
高二数学试题答案 第 3 页 ( 5 页)
z
yx
O
P
DC
BA
20 解:(1)等腰梯形 ABCD中 2OA OB 22AB
2 2 2AB OA OB OA OB AC BD 2 分
PB AC BD PB B AC 面 PBD 3 分
AC 面 ABCD面 PBD 面 ABCD 4 分
(2)连接 PO (1)知 面 AC PO
222PO PA OA 2 2 2PB PO OB PO OB 5 分
OA OB OA OB OP 直线分 x 轴 y 轴 z 轴建立空间直角坐标系
200 0 10 002ADP 7 分
设面 PAD 法量 x y zn 20 2 0 1 2PA PD
0
0
PA
PD
n
n
2 2 0
2 0
xz
yz
令 1z 1 2xy
面 法量 1 2 1n 9 分
面 面 PBD 法量 1 0 0m 10 分
6cos 6
mnmn mn 二面角 A PD B余弦值 6
6
12 分
21.解:(1)题意
2 2 2
2 3
2
ab
ac
a b c
2 分
解
2
3
a
b
高二数学试题答案 第 4 页 ( 5 页)
椭圆C 标准方程
22
143
yx 4 分
(2)题意直线l 斜率 0设直线l 方程 1x my 5 分
方程组 22
1
143
x my
yx
22(3 4) 6 9 0m y my 7 分
设 11()A x y 22()B x y
12 2
6
34
myy
m
12 2
9
34
yy
m
8 分
2
2
1 2 1 2 1 2 2
12 1| | ( ) 4
34
my y y y y y
m
9 分
12
1 | | | |2OABS OP y y △
2
2
61
34
m
m
10 分
令 2 1tm( 1t ) 221mt
2
66
1313
OAB
tS
t t t
△ 11 分
13t t [1 ) 单调递增
1t 0m 时 OAB△ 面积取值 3
2
12 分
22 解:(1)()fx定义域 0 11() axf x axx
1 分
① 0a 时 ( ) 0fx ()fx 0 单调递增 2 分
② 0a 时令 ( ) 0fx 1x a
10 x a 时 ( ) 0fx 1x a 时 ( ) 0fx
1(0 )a
单调递增 1()a 单调递减 4 分
(2)(1)知 0
1 0xaa 5 分 高二数学试题答案 第 5 页 ( 5 页)
12xx ()fx两零点 11
22
ln
ln
x ax
x ax
2
21
1
ln x a x xx 6 分
1 2 0 1 2 0x x mx x x 恒成立 12
12 0m x xxx a
恒成立
1 2 1 2 0ax x m x x 恒成立 2 1 2
12
1 2 1
ln 0x x x m x xx x x
恒成立
妨设 12xx
22
2 2 1
1 1 2
ln 0x x xmx x x
恒成立 2 2 1
1 1 2
ln 0x x xmx x x
恒成立
令 2
1
1x ttx 1ln ( ) 0t m t t 1t 恒成立 8 分
1ln 0 0ttt 0m 时 成立
令 1( ) ln ( )g t t m t t
22
2 2 2
1 1 (1 )(1) 0 ( ) (1 ) m t t mt t mg g t mt t t t
① 1
2m 时 22 2 21 1 11 1 1 2 1 02 2 2m t t t t t t t
( ) 0gt ()gt区间 1 单调递减
1t 时 ( ) (1) 0g t g恒成立 10 分
② 1 02 m 时 方程 2 0mt t m 21 4 0m
方程 两根 12tt 1 2 1 2
11 0t t t t m 妨设 1201tt
21tt 时 2 0mt t m 0gt
()gt区间 21 t 单调递增时 ( ) (1) 0g t g
1t 恒成立
综述 m 取值范围 1(]2 12 分
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