2020届高三第二轮复习测试卷文科数学（1~8 八分试卷）—附答案解析

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复测试卷
文科数学()

试卷分必做题选做题两部分．满分150 分考试时间120 分钟．
注意事项：
1．客观题题选出答案 2B 铅笔答题卡应题目答案标号涂黑需改动
橡皮擦干净选涂答案标号．观题 05 毫米黑色墨水签字笔答题卡书写
作答．试题卷作答答题效．
2．选做题二选先答题卡应选做题目标号涂黑没选择作答效．
3．考试结束监考员答题卡收回

．选择题： 12 题题 5 分 60 分题出四选项中项符合
题目求
1．已知集合 2{ | ln( 1) 1} { | 2 3}Axx B y y x x    AB 
A ( 1e 1) 

B [0e 1)

C ( 13)

D 
2．已知复数 z 满足| 1 i | 1z    | |z 值
A 1

B 2

C 2 1

D 2 1
3．命题 0xy  0x  0y  否定
A 0xy  0x  0y 

B 0xy  0x  0y 
C 0xy  0x  0y 

D 0xy  0x  0y 
4．已知 oooo(cos71 sin71 ) (2cos19 2sin19 )AB  ||AB 
A 2

B 2

C 5

D 6

5．已知()x y 满足条件
22
2 0
44 0
x y
x y
x y
 
   
   
3 2x y 值
A 1

B 2

C 3

D 6

6．已知等差数列{}na 前 n 项 nS 391 27aS   7a 
A 7

B 6

C 5

D 9
7． ABC 水直观图 ABC   图示已知
oo1 30 90ABACBABC      边 AB 长
A 1

B 2

C 2 2

D 3

8．函数 ()f x 定义(1 ) 单调递减函数函数 (1)f ax  ( 2 1)  单调递增实数
a 取值范围
A ( 2] 

B [ 20)

C ( 1] 

D [ 1 ) 
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9．已知某算法框图图示输出结果应
A 10

B 20
C 11

D 21

10．已知O ABC 外心
2
2
BCAO BC 
 
ABC
A 锐角

B 直角
C 钝角

D 确定

11．已知 1 2( 0) ( 0)F c Fc 双曲线
2 2
2 2 1( 0 0)x y a ba b  
左右焦点点 P 圆 2 2 2Ox y c  by xa 第象限
公点 1PF 直线 by xa 垂直双曲线离心率
A 3

B 2

C 2 3

D 3

12． 已知正三棱台 1 1 1ABC A B C 切球半径1（ 1 1AB AB ）
1 1 1 1
3 AABC A ABCV V 
值
A 12 3

B 18 3

C 12

D 18

二．填空题：题 4 题题 5 分 20 分

13．已知组鞋码身高数（ x 表示鞋码 ( )y cm 表示身高）中 360m n 
x 40 41 42 43 44
y 172 175 m n 183
数计算回直线  225y x a  估计鞋码38时身高约_________．
14．已知数列{ }na 满足 1 ( 1)n
n na a n   1 2a  2019 _______a 
15． ABC 中角 ABC 应边分 abc BC 边高等 3
2
a b c
c b
时 _______A 
16． x R  (e )(2 ) 0x a x b  恒成立 a b 值_________．
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三．解答题：题 6 题 70 分 解答应写出文字说明证明程演算步骤．
（）必做部分
17．（题满分 12 分）已知等数列{ }na 首项 1 1a  前 n 项 nS设 1n nb S  数
列{ }nb 等数列
（Ⅰ）求{ }na { }nb 通项公式
（Ⅱ）求数列 2{ log }n na b 前 n 项 nT






18 ．（ 题 满 分 12 分 ） 已 知 四 棱 柱 ABCD ABCD 中 底 面 ABCD 菱 形
o2 4 60AB AA BAD   E BC 中点C 面 ABCD 投影 H 直线 AE DC
交点
（Ⅰ）求证： BD AH
（Ⅱ）求三棱锥 B DBE  体积












19． 2019 年 10 月 1 日庆祝新中国成立 70 周年阅兵北京举行陆军海军空军火箭军
战略支援部队部分新型武器装备受阅观阅兵某校军事兴趣组决定首次亮相武器装备
做更加深入解完善兴趣组文档资料军事兴趣组 6 分成两组（第
组研究 15 式战坦克轰6N 新型战略轰炸机直20 直升机第二组研究东风17 常规导弹
长剑100 巡航导弹东风41 核导弹）中第组 ABC 三位学分 15 式战坦克轰
6N 新型战略轰炸机直20 直升机特感兴趣第二组 DEF 三位学分东风17 常规导
弹长剑100 巡航导弹东风41 核导弹特感兴趣现两组学机分配（选
项重复）
（Ⅰ）第组三位学恰分配调查非常感兴趣装备概率少？
（Ⅱ）两组中调查装备恰特感兴趣学数分 X Y 求 X Y 概率






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20．（题满分 12 分）已知椭圆
2 2
2 2 1( 0)x yE a ba b   左右焦点分 1 2F F
（Ⅰ）原点作斜率 3 直线l 交椭圆 P Q o
2 90PF Q  求椭圆离心率
（Ⅱ）设 1b  点 (10)N 作两条相互垂直直线 1 2l l 已知 1l 交 E A B 两点 2l 圆
2 2 1x y  交点 M ABM 面积时直线 AB x 轴垂直求 a 取值范围





21．（题满分 12 分）已知定义(0 ) 函数 31( ) ( 1) ( 3
xfx x e axaR  e 然
数底数）
（Ⅰ）(2 (2))f 处切线斜率 22e 求 a
（Ⅱ） 1 2x x ( )f x 两极值点求证： 1 2 2x x 





（二）选做部分
请考生第（22）（23）两题中选题作答果做做第题记分作答时
2B 铅笔答题卡选题目题号涂黑答案填答题卡．

22．（题满分 10 分）选修 44：坐标系参数方程
直角坐标系 xOy 中圆C 参数方程
2cos (2 2sin
x
y
 

  
参数)O 极点 x 轴非负半
轴极轴建立极坐标系
（Ⅰ）求圆C 极坐标方程
（Ⅱ）已知直线极坐标方程 1
π cos( ) 33l     直线 2
π 3l   圆C 交点 O P
直线 1l 交点Q求线段 PQ 长度


23．（题满分 10 分）选修 45：等式选讲
已知函数 ( ) | 2 | | 4 | fxx x  
（Ⅰ）设等式 ( ) 4f x  解集 M求 M
（Ⅱ）求证： a M 时等式 2 2 2 | 5 | 8a a a  恒成立


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文科数学()
．选择题： 12 题题 5 分 60 分题出四选项中项符合
题目求
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
答案 B C D C C A D A B B B C

二．填空题：题 4 题题 5 分 20 分
13．169 14．3 15． π
6 16． 2 2ln 2
三．解答题：题 6 题 70 分 解答应写出文字说明证明程演算步骤．
17．解析（Ⅰ）设{}na 公 q 2
1232 2 2bb q b q q     
222( 2) ( 2)qq q    解 2q  12 2 1 2 nnn
nnnaSb  
（ Ⅱ ） 1
2log 2n
nnab n   0122112 2232 ( 1)2 2nn
nTnn 
1231212 22 32 ( 1)2 2nn
nTnn  两式相减：
21(1 2 2 2 ) 22 (2 1) ( 1) 2 1nnnnn
nTnnn          
18．解析（Ⅰ）证明：CH  面 ABCD C H BD  BD A C 
BD  面 ACHBDAH  
（Ⅱ） ＇CC H 中 ＇C H CH 4 2CC AA CH 2 3CH 
DD ∥ BB BB  面 B BE DD ∥面 BBE
11 3 2 3 136BDBE DBBE BDBE BDEVVVS h 
19．解析（Ⅰ）第组全部分配情况：( )( )( )( )ABCACBBACBCA
( )( )CABCBA 6 种中 ABC 三位学恰分配调查非常感兴趣装备情
况 1 种概率 16
（Ⅱ） 013XY  （Ⅰ）知 11(0) (0) (1) ( 1)32PXPYPXPY    
1(3) (3) 6PXPY    — 高三文科数学()第 6 页( 4 页) —
1 1 1 1 1 11( )(30 1)(10) ( ) 6 3 2 2 3 36PXYPX Y PX Y    
20．解析（Ⅰ）连接 1PF称性 o
1 2 90FPF  o
2 60POF 
1 2 1 23 2 ( 3 1) e 3 1cPF cPFc aPFPF c a  
（Ⅱ）设直线 1AB x my  直线 1 1MNx ym  设 1 1 2 2( )( )Axy Bx y
直线 AB 椭圆方程联立消 x 2 2 2 2( ) 2 1 0m a y my a  

2
1 2 1 22 2 2 2
2 1m ayy yym a m a
  

2 2
2
1 2 1 2 1 2 2 2
2 1| | ( ) 4 a m ayy yy yy m a
    


2 2 2
2
1 2 2 2
2 1 1| | | | 1 ama mAByy m m a
    
直线 MN 2 2 1x y  联立消 x
2
2
2
1 2 0m y ym m
   解 2
2
1M
my m 

2 2
1 2| | | | 1
1M NMN y y m m
 


2 2
2 2
1 2 1| || |2ABM
a m aS AB MN m a
    
令 2 2 1t m a  2
2
2 2 ( 1)11ABM
at aS t at t t
    

20 1 1a  1 2a  时 ABMS 值 2
12
a a
t t



（仅 1t  22m a  时取）
2 1 1a   2a  时 ABMS 关 t 单 调 递 增 时 ABMS 值
2
2
2
2 2 1
11
1
a a
aa
a

 

（仅 2 1t a  0m  时取）（合题意）
综 ABM 面积时直线 AB x 轴垂直 a 取值范围(1 2)
21．解析（Ⅰ） 2 2( ) (2) 2 4xf x xe ax f e a   2 22 4 2e a e  解 2a e — 高三文科数学()第 7 页( 4 页) —
（Ⅱ） 2() ()x xfx xe ax xe ax    1 2x x 方程 xe ax 两根方程 ln lnx x a 
两根 a e 妨假设 1 20 x x 
设 ( ) ln lng x x x a  1( ) 1g x x
   0 1x  时 ( )g x 单调递增 1x  时 ( )g x 单调
递减 1 20 1x x 
1 2 2 1 2 1 1 12 2 1 ()(2) ()(2)xx x x gxgx gxgx    
构造 () () (2 )(0 1)Fxgxg x x   

2
1 1 2 2()()(2) 2 2 2022 (2) ( )2
Fx gxg x x xx x xx
        
( )F x (01) 单调递增 ( ) (1) 0Fx F  1 1() (2 )gx g x  证
1 2 2x x 
22．解析（Ⅰ）消参圆C 化： 2 2 4xy y  圆C 极坐标方程： 4sin 
（Ⅱ）
ππ π π3(23) (6)3 π3 34sin cos( ) 33
P Q

   
     
    

| | 6 2 3PQ  
23．解析（Ⅰ）
6 2 2
( ) 22 4
2 6 4
x x
fx x
x x
 
 
  
2x  时6 2 4 1 2x x 
2 4x  时 2 4 恒成立 4x  时 2 6 4 4 5x x
综 ( ) 4f x  解集[15]
（Ⅱ）（Ⅰ）知1 5a  等式化 2 2 2(5 ) 8a a a  
2 22 [2(5 ) 8] 3 4 ( 4)( 1) 0a a a a a a a  
等式 2 2 2 | 5 | 8a a a  成立
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高三文科数学（）选择填空详细解析

1B解析 {|1 e1} {| 0}Ax x Byy    [0e 1)A B  
2C 解析 z 复面应点轨迹 ( 11)C  圆心1 半径圆| |z 表示 z
应点原点距离值 2 1
3D
4C解析 o o o(2cos( 19 )2sin( 19 ))| | 1| | 2 90B OAOB AOB  
2 2| | 1 2 5AB   
5C解析行域 (0 2) (2 4) (10)A B C 顶点三角形部边界区域3 2x y 点
C 处取值3
6A解析 1 9
9 5 5 7 5 39 9 3 2 72
a aS a a a a a   
7D解析 A作 y轴行线交 x 轴点 D 2 1AD DB   xOy 坐标
系中 o2 2 1 90AD DB ADB   勾股定理 3AB 
8A解析已知 0a  ( )f x 定义域(1 ) ( 2 1)x  时等式 1 1ax   恒
成立 ( 2 1)x  时等式 2x a 恒成立 2a 
9 B解析算法原理求数列 ( 1) (2 1)(2 1)
n
n
na n n   
前 n 项 nS
(1)11 1111 1 1( ) ( 1 ( 1) ( 1) )42121 4 335 21 21
n
n n
n na Sn n n n
    

1 1( 1 ( 1) )4 2 1
n
nS n  
令 10
41nS  解 20n 
10B解析设 M 边 BC 中点设角 ABC 应边分 abc

2 21( ) ( )( )2 2
b cAOBC AM MO BC AMBC AB AC AC AB             

2 2 2
2 2 2
2 2
b c a b c a   2 2 2b a c  ABC 直角
11B解析已知 by xa 1PF 垂直 2PF 行 1F 渐线距离 1
1 | |2 PF
1| | 2PF b 1 2| | 2FF c 2| | 2PF a 2 2tan cosb aPOF POFa c   2POF
中 2| || |PO OF c  余弦定理
2 2 2 2 2
2 2 2
4 2cos 2
c c a c aPOF c c
  

2 2
2
2 2c a a c
c c a
   
12 C解析取 1 1AC AC 中点 MN切球球心梯形 1MNBB 1 BM MN NB 分— 高三文科数学()第 9 页( 4 页) —
相切点 PRQ 设 PM a QN b  1tan OMP a  1tan ONQ b 
o90OMP ONQ   1 1 1a b  1ab 

1 1 1 1
2 21 3 1 33 3 (23)2 (23)23 4 3 4AABC A ABCV V a b     2 22 3(3 )a b 
2 3 2 3 12ab 
13 169 解析 42 178x y  ( )x y 代入回直线 835a  鞋码38 时身高
约 225 38 835 169( )cm 
14 3解析 n 奇数时 1 2 1 1n n n na a n a a n    2 1n na a   （奇数项
周期 2） 2019 3 11 3a a a  
15
6
 解 析 1 3 1 sin2 2 2ABC ABCS a a S bc A   23 sin2 a bc A
2 2 2
cos 2
b c aA bc
  2 4π 4sin 2cos sin( )33 3 3
b c A A Ac b    取 时 角
π
6A 
16 2 2ln 2 解析首先 0a  次方程 (e )(2 ) 0x a x b  根 1 2ln 2
bx ax  应重根
ln 2
ba  2lna b a a  
设函数 2() 2ln()1 0 2f a a a f a aa
  （） ( ) (2) 2 2ln 2fa f  — 高三文科数学(二)第 1 页( 4 页) —

文科数学(二)


试卷分必做题选做题两部分．满分150 分考试时间120 分钟．
注意事项：
1．客观题题选出答案 2B 铅笔答题卡应题目答案标号涂黑需改动
橡皮擦干净选涂答案标号．观题 05 毫米黑色墨水签字笔答题卡书写
作答．试题卷作答答题效．
2．选做题二选先答题卡应选做题目标号涂黑没选择作答效．
3．考试结束监考员答题卡收回

．选择题： 12 题题 5 分 60 分题出四选项中项符合
题目求
1．已知集合 2
2020{ | log (10 3 )}Mxy x x  { | 2020 1}xN y y MN 
A ( 12) B  12 C (12) D  12
2．已知复数
1 i
2z  
实数复数 z 虚部
A 1 B 2 C i D 2i
3．建设学强国学台贯彻落实总书记关加强学建设学国重指示精神
推动全学力抓手．该台容丰富极满足互联网条件广员干部民
群众样化化便捷化学需求．该款软件设阅读文章视听学两学板
块日答题周答题专项答题挑战答题四答题板块．某校解校教职员工
学强国学台学情况机调查 200 名教职员工中喜欢阅读文章喜欢视听学
教职员工 180 喜欢阅读文章教职员工 90 喜欢视听学教职员工数
调查教职员工总数值估计值 06喜欢阅读文章喜欢视听学教职员工数
A．30 B．60 C．90 D．100
4．已知等差数列 na 中前 n 项 nS 1 1a  11 27mm maa a   满足 45mS 
m 值
A．9 B．10 C．11 D．12
5． x y 满足约束条件
4 0
2 3 3 0
41 0
x y
x y
x y
  
   
   
等差数列 na 满足 14a x a y 前 n 项 nS
74SS 值
A．13 B． 1 C． 5 D．5
6．函数 () sin (cos 1)fx xx  π π 图致





A B C D — 高三文科数学(二)第 2 页( 4 页) —
7．已知定义 R 奇函数 ( )f x 满足 ( 1) (1 )fx f x  ( 10)x  时 ( ) 2axf x 
4
4(1 log 80) 5f   a  （ ）
A． 1 B． 2 C．1 D． 2
8．函数 2 3π() sin 3sin(π )sin( )2fx x xx   点横坐标伸长原 2 倍（坐
标变） ( )g x 图现述四结：
① ( )g x 图关直线 2π
3x  称 ② ( )g x  0π 值域 30 2
 
  

③ ( )g x 图关点 π( 0)6
称
④ ( )g x 图 cosy x 图右移 2π
3
单位长度．中正确结编号
A．①② B．①②③ C．③④ D．①③④
9．四棱锥 P ABCD 中底面 ABCD 正方形PD AC AB  面 PADCD PD 3
四棱锥 P ABCD 顶点球O 球面球O 表面积值
A． π B． 2π C． 4π D．6π
10．已知双曲线
2 2
2 2 1( 0 0)x yC a ba b   左右焦点分 1F 2F焦距 2c 圆
2 2 2 ( )Dxc y c   存点 M点 M 1F 关双曲线C 条渐线称
双曲线C 离心率e 
A． 5 B． 2 C． 2 D． 3
11．体甲体乙三视图图示体
甲正视图侧视图两全等等腰三角形等
腰三角形高体乙三视图中圆直径相等
体甲体积乙体积 1
4
体甲乙
表面积
A．1 3 B．1 4
C．1 2 D．1 2
12．设函数 ＇( )f x 奇函数 ( )( )fxx R 导函数 0x  时 2 ( ) ＇( )fx xfx x 
3 ( 1) 1fx x   成立取值范围（ ）
A．( 1) B．( 1)  C．(1 ) D．( 1 ) 

二．填空题：题 4 题题 5 分 20 分．
13．已知 a b 满足 2 2 3a b a b a      a b 夹角_________．
14．数学部推动学发展矛盾直曲
矛盾着学发展逐渐探究曲直相互转化
：化圆方解决曲直两图形等积问题图
设等腰直角三角形 ABC 中 AB BC 90ABC  AC
直径作半圆 AB 直径作半圆 AmB 探究月牙 — 高三文科数学(二)第 3 页( 4 页) —
形面积(图中黑色阴影部分) AOB 面积(图中灰色阴影部分)间关系种关系整
图形中机投掷点该点落图中阴影部分概率_________．
15．已知 AB 抛物线 2 4y x 两动点OA OB 抛物线焦点 F ABF 面
积值_________．
16．已知数列 na 前 n 项 nS 满足 1 1n nSS   （ 2n  *n N ） 1 1a  等式
1
1 2 2 3 1 27
1 1 1 log
n n
na a a a a a 

   意 *n N 恒成立实数 值_________．

三．解答题：题 6 题 70 分 解答应写出文字说明证明程演算步骤．
（）必做部分
17．（题满分 12 分）锐角三角形 ABC 中 abc 分角 ABC 边
2 sin cos cosa Ab Cc B  ．
（Ⅰ）求角 A 值
（Ⅱ） 2 3bc   求 cos cosB C
b c 值．



18．（题满分 12 分）图 1等腰梯形 1 2ABF F 中两腰 2 1 2AF BF  底边 6AB 
1 2 4FF  DC AB 三等分点
E 1 2FF 中点分CEDE
四边形 1BCEF 2ADEF 折起 1F
2F 重合点 F图 2 体．
图 2 中 MN 分CDEF
中点．

（Ⅰ）证明： MN  面 ABCD
（Ⅱ）求点C 面 ADEF 距离．

19．（题满分 12 分）某企业中机抽取 5 名员工测试艺术爱指数 (0 10)x x 
创新灵感指数 (0 10)y y  统计结果表（注：指数值越高素质越优秀）：
艺术爱指数 2 3 4 5 6
创新灵感指数 3 35 4 45 5

（Ⅰ）求创新灵感指数 y 关艺术爱指数 x 线性回方程
（Ⅱ）现 5 名员工中选 3 求恰 2 艺术爱指数等 4 概率
（Ⅲ）企业提高员工艺术爱指数求员工选择音乐绘画中进行培训培训音乐次
数t 艺术爱指数 x 提高量 20
0(10 )(1 e )
t
x 
  培训绘画次数t 艺术爱指数 x 提高量
0
10(10 )(1 )10x t  
中 0x 参加培训某员工已达艺术爱指数．艺术爱指数已达
3 员工甲选择参加音乐培训艺术爱指数已达 4 员工乙选择参加绘画培训培训
20 次估计谁创新灵感指数更高？ — 高三文科数学(二)第 4 页( 4 页) —
附：均值 1 1 nxx xx n
    计算值：
1
2e 06
 1e 037  ．回直线方程 y a bx 
斜率截距二法估计分 1
2
1
( )( )
( )
n
i i
i
n
i
i
x xy y
b
x x


 




a y bx  ．

20．（题满分 12 分）设函数 21( ) ln ( )2f x x ax a R  ．
（Ⅰ）函数 ( )y fx 极值求实数 a 取值范围
（Ⅱ）设 () ()gx fx x  求函数 ( )g x 单调区间．

21．（题满分 12 分）已知椭圆
2 2
2 2 1x yC a b  （ 0a b  ）右焦点 F直线 3 5 2ly x
椭圆C 第象限交点Q 线段OF 垂直分线（O 坐标原点） OQF 面积
3 5
8
．
（Ⅰ）求椭圆C 方程
（Ⅱ）椭圆C 左顶点 A点 P 椭圆C 左右顶点外意点点 P 处切线直
线 x a 相交点 B点 B 直线l 交 C M N 两点设直线 AM AN AP 斜率分
AM AN APk k k 问否存实数 等式 + AM AN APk k k 恒成立？存求出实数  值
存请说明理．

（二）选做部分
请考生第（22）（23）两题中选题作答果做做第题记分作答时
2B 铅笔答题卡选题目题号涂黑答案填答题卡．
22．（题满分 10 分）选修 44：坐标系参数方程
直角坐标系 xoy 中直线 1 4C x  圆 2C 参数方程 1 cos
sin
x
y


 
 
（ 参数）．原点O
极点 x 轴正半轴极轴建立极坐标系．
（Ⅰ）求 1C 2C 极坐标方程
（Ⅱ）设射线l 极坐标方程 π ( 0 )2   1C 2C 交点分 A B P AB
中点 5 2
2OP  求点 P 极坐标．

23．（题满分 10 分）选修 45：等式选讲
设函数   1 +3fx x x   ．
（Ⅰ）求等式   5f x  解集
（Ⅱ）证明： ( )+ ( 4) 8 1fxfx x  ． — 高三文科数学(二)第 5 页( 4 页) —

文科数学(二)参考答案
选择题（题 12 题题 5 分 60 分）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
答案 C A A A C D D A D C D B
二填空题(题 4 题题 5 分 20 分)
13． 2π
3 14． 2
π+1 15．12 16． 1
3
三解答题(题 6 题 70 分)
17．解析（Ⅰ） 2sin cos cosa A b C c B
正弦定理 22sin sin cos sin cosABCCB 22sin sin( )ABC
22sin sinAA ． ABC 锐角三角形sin 0A  1sin 2A  π
6A  ．
（Ⅱ） 2sin cos cosa A b C c B 两边bc
cos cos 2 sin
2 3
BCaAa a
bcbc bc 

．
余弦定理 222 π2 cos 2 3(2 3) 16abcbc bc bc bc   1a  ．
cos cos 2 3
2 3
BC a
bc 

cos cosBC
bc 值 2 3 ．
18．解析（Ⅰ）四边形 BCEF ADEF 均菱形 AD BC AD BC
四边形 ABCD 行四边形．
AD CD 称性知 90ADC BCD     四边形 ABCD 正方形．
N EF 中点 1EN  1EC  3CN  222NECNCE
CN NE CN BC ． BC  面CDN MN BC ．
称性知CN DN M CD 中点 MN CD ． MN  面 ABCD．
（Ⅱ）三棱锥CADF 中 CADF F ACDVV 12 2 1 32432 3 4 d   2 6
3d  ．
点C 面 ADEF 距离 2 6
3
． — 高三文科数学(二)第 6 页( 4 页) —
19．解析（Ⅰ）设 y a bx 
5
1
1 45 i
i
x x

 
5
1
1 45 i
i
y y

 

5
1
5
2
1
( )( ) 5 1
10 2( )
i i
i
i
i
x xy y
b
x x


 
 



14 4 22a y bx  12 2y x  ．
（Ⅱ）记 5 名员工中艺术爱指数 4 1A 2A艺术爱指数等 4 1B 2B
3B．现 5 中选 3 情况 1 2 1( )A A B 1 2 2( )A A B 1 2 3( )AA B 1 1 2( )AB B
1 1 3( )AB B 1 2 3( )AB B 2 1 2( )A BB 2 1 3( )A BB 2 2 3( )A B B 1 2 3( )BB B 10 种
中恰 2 艺术爱指数等 4 情况 1 1 2( )AB B 1 1 3( )AB B 1 2 3( )AB B
2 1 2( )A BB 2 1 3( )A BB 2 2 3( )A B B 6 种恰 2 艺术爱指数等 4
概率 6 3
10 5P   ．
（ Ⅲ ） 员 工 甲 20 次培训估计艺术爱指数达
20
1203 (10 3)(1 e ) 10 7ex    
估计创新灵感指数 11 12 (10 7e) 7(1 )2 2ey     ．
员工乙 20 次培训估计艺术爱指数达 104 (10 4)(1 ) 820 10x  

估计创新灵感指数 12 8 62y    ． 17(1 ) 62e  培训乙创新灵感指数
更高．
20．解析（Ⅰ）函数 ( )f x 定义域 0   21 1axf x axx x
  
0a  时   0f x   0x  恒成立 ( )y fx 极值．
0a  时需   2 1 0axf x x
   2 1 0ax   两等根
4 0a  0a  ．
（Ⅱ）题意    21ln 02gx x ax xx     21 11 ax xg x axx x
    
0a  时   0g x   0x  恒成立  y gx 单调递增区间 0 ．
0a  时令   2 1 0gx ax x   1 1 4
2
ax a
  1 1 4
2
ax a
 
0x  解 0x    0g x   0x  恒成立  g x 单调递增区间
 0 ． — 高三文科数学(二)第 7 页( 4 页) —
0a  时令   2 1 0gx ax x   1 1 40 2
ax a
  
令   2 1 0gx ax x   1 1 4
2
ax a
 
函数  g x 单调递增区间 1 1 40 2
a
a
    
单调递减区间 1 1 4 2
a
a
     
．
综 0a  时  g x 单调递增区间 0 ．
0a  时  g x 单调递增区间 1 1 40 2
a
a
    
单调递减区间 1 1 4 2
a
a
     
．
21．解析（Ⅰ）题知 ( 0)F c 3 5( )2 4
c cQ点Q 坐标代入椭圆方程

2 2
2 2
45 14 16
c c
a b 

①
OQF 面积 3 5
8
1 3 5 3 5
2 4 8
c c  1c  ②
2 2 2a b c  ③①②③椭圆方程
2 2
14 3
x y  ．
（Ⅱ）设 0 0( )Px y P 点处切线方程 0 0 14 3
xx yy   ．
2x  时点 0
0
3( 2)( 2 )2
xQ y
 令 0
0
3( 2)
2
xn y

设 1 1( )Mx y 2 2( )Nx y 直线l方程 ( 2)y n kx 
联立方程 2 2
( 2)
14 3
y n kx
x y
   
2 2 2(4 3) 8 (2 ) 4(2 ) 12 0k x k k n x k n   

2
1 2 1 22 2
8 (2 ) 4(2 ) 124 3 4 3
k k n k nxx xxk k
   
01 2
1 2 1 2 0
21+ 22 2 2 2 3( 2)AM AN
yy y n nkk kxx xxnx     
． — 高三文科数学(二)第 8 页( 4 页) —
0
0
3( 2)AP
yk x 
+ 2AM AN APk k k 存实数 2  满足题意．
22．解析（Ⅰ） 1 4C x  极坐标方程 cos 4   2
1 cos sin
xC y


 
 
直角坐标方程
2 2 2 0x y x   2C 极坐标方程 2cos  ．
（Ⅱ）设 ( )P   射线l极坐标方程 π ( 0 )2   1C 2C 交点 A B 极坐标
分满足 1
4
cos  2 2cos  ． 5 2
2OP  1 2+ 2 5 2cos2 cos 2
     ．
22cos 5 2 cos 4 0   (2cos 2)(cos 2) 0   ．
2cos 2 π 4  点 P 极坐标 5 2 π( )2 4 ．
23．解析（Ⅰ）   1 +3 5fx x x 
3x  时等式化( 1) ( +3) 5x x  ( 2) ( +4) 0x x  4 3x  
3 1x  时等式化 ( 1) ( +3) 5x x  2( 1) +1 0x   3 1x 
1x  时等式化( 1) ( +3) 5x x  ( 2) ( +4) 0x x  1 2x  ．
原等式解集 4 2x x  ．
（Ⅱ） ()+(4) 1 3 5 1 1(3 5)fxfx xx x x x x x  
1 ( 3 5 ) 8 1xx xx    ．










— 高三文科数学(二)第 9 页( 4 页) —
高三文科数学（二）选择填空详细解析
1．C解析 2
2020{ | log (10 3 )} { | 5 2}Mxy xx x x   
{ | 2020 1} { | 1}xNyy xx    {|1 2}MN x x    答案选 C．
2．A解析 2 2(1 ) 11 (1 (1
i
i) ii i)
  

1 i
2z  
实数复数 i( )za aR  
答案选 A．
3．A解析设喜欢阅读文章教职员工数 a 喜欢视听学教职员工数b 喜
欢阅读文章喜欢视听学教职员工数c 题意
90
06200
180
a c
b c
a b c
 
  

  
解
60
90
30
a
b
c

 
 
．
喜欢阅读文章喜欢视听学教职员工教 30答案选 A．
4．A解析数列 na 等差数列 1 1 27m m ma a a   3 27ma  9ma  ．
1 1a  (1 9) 452m
mS   解 9m  答案选 A．
5．C解析等差数列 na 中 1 4a xa y 
3
y xd 
7 4 1 17 21 4 6 3 15 2 53
y xSSadadx xy   
令 2 5z xy  作出行域知点 (0 1) 处取值
7 4 min min( ) 2 0 5 ( 1) 5SS z   答案选 C．
6．D解析判断函数 ( )f x 奇函数排答案 A B (0π)x 时
2＇( ) cos (cos 1) sin ( sin ) 2cos cos 1fxxx x x xx      令 ＇( ) 0f x  1cos 2x 
者cos 1x  （舍）函数 ( )f x 2π(0 )3
单调递减 2π( π)3
单调递增答案选 D．
7．D解析奇函数 ( )f x 满足 ( 1) (1 )fx f x  函数周期 4T 
4 4 4
4(1 log80) (3 log5) ( 1 log5) 5f f f    2
4(1 log 5) 5f  
21 log 5 ( 10)  21 log 5 4(2 ) 5
a  2 4( ) 55
a  2a  答案选 D．
8．A解析函数 2 23π() sin 3sin(π )sin( ) sin 3sin cos2fxx xx x xx  
1cos2 3 π 1sin 2 sin(2 )2 2 6 2
x x x   π 1( ) sin( )6 2gx x  函数称轴方程
π ππ6 2x k   2ππ 3x k  （ k Z ）令 0k  2π
3x  ①正确函数— 高三文科数学(二)第 10 页( 4 页) —
称中心横坐标 π π6x k  ππ 6x k  （ k Z ）令 0k  π
6x  ( )g x 图关
点 π 1( )6 2
称③错误 0 πx  π π 5π
6 6 6x   1 πsin( ) 12 6x 
π 30 sin( )6 2x  ②正确外函数 ( )g x 图 cosy x 做移
④错误答案选 A．
9．D解析设 PD x （0 3x  ） 3PD x  AB  面 PAD AB  PD．
AC  PD PD  面 ABCD四棱锥 P ABCD 补形成长方体
球 O 球 心 PB 中 点 球 O 表 面 积
2 2 2
2 2(3 )4 ( ) 3 ( 1) 2 62π π πxx x x       答案选 D．
10．C解析题意知 1( 0)F c 2 ( 0)F c 设 1F M 关渐线 by xa 称 1F 该渐
线距离
2 2
bc b
a b


．连接 1F M 记 1F M 该渐线交点 N 1 2F M b N 1F M
中点．连接 2F M 坐标原点O 1 2FF 中点 2ON FM 1 2FMF 直角
1 2F MF 直角三角形勾股定理 2 2 24 4c c b  2 2 23 4( )c c a  2 24c a
2e  答案选 C．
11．D解析三视图知甲圆锥乙球．设球半径 R圆锥底面半径 r 圆锥高
2h R 母线长 2 2l r h  甲乙体积 14 3 24 4π π3 3R r h 2 22R r
2 24 3lr R r   ．
2 2
1
2 2
2
π π 3 1
4π 8 2
S r rlr rr
S R r
     答案选 D．
12．B解析题意记 2 1() () 3gx xfx x    

2 21 1()()() () ()3 3gx xfx x xfx x gx          
函数 ( )g x 奇函数．
0x  时  ＇( ) 2 ( ) ＇( ) 0gx x fx xfx x   ( )g x 区间(0 ) 单调递增．
函数 ( )g x 奇函数 ( )g x R 单调递增．
等式3 ( 1) 1fx x   1( 1) ( 1) 03fx x 
等价 2 1( 1) ( 1) ( 1) ( 1) 0 (0)3g x x f x x g     

1 0x   解 1x  3 ( 1) 1fx x   成立取值范围( 1)  答案选 B．
13． 2π
3
解析 2 2 3a b a b a      22(2 ) 3a b a    22( 2 ) 3a b a    两式— 高三文科数学(二)第 11 页( 4 页) —
相减 b a  代入
21
2a b a    1cos 2
a ba b
a b
 

  
   0a b    
a b 夹角 2π
3
．
14． 2
π+1
解析已知妨设 2 2AC  2AB  图月牙形面积等半圆 AmB 面
积减弓形 I 面积 2 21 1π1 π(2)2 2 AOB AOBSSS 
     月牙形 见月牙形面积
AOB 面积相等 1 2 212AOBS   整图形面积 21 π(2) 1π 12S  
阴影部分面积 2 2AOBS 概型概率计算公式求概率 2
π+1
．
15．12解析设 AB 直线方程 x my t  1 1( )Ax y 2 2( )Bx y ．题意知 1 0y  2 0y 
联立方程组 2 4
x my t
y x
 
 
2 4 4 0y my t  ． 1 2 1 24 4yy myy t  ．
OA OB 1 2 1 2 0xx yy 
2 2
1 2
1 2 04 4
y y y y   解 1 2 16y y 
4t  直线 AB 恒定点 (40)M． (10)F 3MF  ．

2
1 2
1 3 364( 1) 8 122 2 4 2ABF
mS MFyy    仅 0m  时等号成立答
案12 ．
16．1
3
解析解析：已知 1 1n nSS   （ 2n  *n N ）数列 nS（*n N ）
等 差 数 列 1 1 1S a  nS n 2
nS n ． 2n  时
2 2
1 ( 1) 2 1n n na S S n n n  1 1a  满足式 2 1na n  （*n N ）
1
1 1 1 1 1( )(2 1)(2 1) 22 1 2 1n na a n n n n
  

1 2 2 3 1
11 11111 1111(1 ) (1 )2335 21212 2121n n
n
a a a a a a n n n n
        ．
1
27
log2 1
n nn 
1
27
1log 2 1n  
1
1 2 2 3 1 27
1 1 1 log
n n
na a a a a a 

   意
*n N 恒成立 1
27
1log 3 
1
31 10 ( )27 3  实数 值 1
3
． — 高三文科数学(三)第 1 页( 4 页) —
高三第二轮复测试试卷
文科数学(三)
试卷分必做题选做题两部分．满分150 分考试时间120 分钟．
注意事项：
1．客观题题选出答案 2B 铅笔答题卡应题目答案标号涂黑需改动
橡皮擦干净选涂答案标号．观题 05 毫米黑色墨水签字笔答题卡书写
作答．试题卷作答答题效．
2．选做题二选先答题卡应选做题目标号涂黑没选择作答效．
3．考试结束监考员答题卡收回
．选择题：12 题题5分60 分题出四选项中项符合
题目求
1已知集合 2
2{| 2 0} { | log 0}Axxx Bx x  ()UCAB 
A(01) B 01 C(12) D 12
2已知 a R i 虚数单位 3iza 
_
4z z  a 
A1 1 B 15 C 15

D 3 3
3抛物线 22y x 通径长
A 4

B 2

C1

D 1
2
4考察某种药物预防禽流感效果四实验室取相体进行动物试验根
四实验室列联表画出图四等高条形图体现该药物预防禽流感效果图形


5国古代洛书中记载着世界古老幻方：图 12…9 填入 3 3
方格三行三列两条角线三数字等 15般连续正整数
2123 n 填入 n n 方格中行列两条角线数字相等正方
形做 n 阶幻方记 ( 3)n n  阶幻方角线数字 nN 图三阶幻方 3 15N 
8N 值
A 260

B369

C 400

D 420
6根样数

x 3 4 5 6 7 8
y 40 25 05 05 20 30
回方程 ˆy bx a 
A 0a  0b  B 0a  0b  C 0a  0b  D 0a  0b  — 高三文科数学(三)第 2 页( 4 页) —
7设 na 意等数列前 n 项前 2n 项前3n 项分 2 3n n nSSS列等
式中恒成立
A 3 22n n nSSS  B    2 2 3 3n n n n n nSSSSSS 
C 2
2 3n n nSSS D    2 2 3n n n n n nSSSSSS 
8设 2020
1
20202019 20192019log2020log  cba cba 关系
A cba  B bca 

C bac 

D abc 
9已知函数 ( ) sin( )( 0 0)fx x    正周期 π 函数 ( )f x 图象左
移 π
3
单位长度函数图象点 (01)P列结中正确
A( )f x 值 2 B( )f x 区间 π π( )6 3 单调递增
C( )f x 图关直线 π
12x  称 D( )f x 图关点 π( 0)3
称
10正方体 1 1 1 1ABCD ABCD 顶点 A 作面 正方体棱面 成角相
等满足条件面 数
A1

B3

C 4

D6
11椭圆双曲线焦点 1 2F F 第象限交点 P设 o
1 2 90FPF  椭圆双曲线
离心率分 1 2e e
A． 2 2
1 2
1 1 12 2e e  B． 2 2
1 2
1 3 14 4e e  C．
2
21
2
4 4 13
e e  D．
2
22
1
4 4 13
e e 
12已知边长1正方形 ABCDM ABC 点满足 o10 MDB MBC   MA 
A 1 B 3
2 C 2
2 D 3
4

二．填空题：题 4 题题 5 分 20 分
13已知函数 xaxxf 2)( 3  图象点 2 20 a ．
14设实数 x y 满足等式
2
1
1
y
x y
x y

  
  
3z xy  取值时直线 3z xy  (11)
圆心圆相切圆面积 ．
15已知等差数列{ }na 公差 (0π)d  1
π 2a  集合   sin nM xx anN  恰
两元素 d 值 ．
16面 | | | | 1AM ANOM ON AP AM AN        1| | 2OP  | |OA 值
． — 高三文科数学(三)第 3 页( 4 页) —
三．解答题：题 6 题 70 分 解答应写出文字说明证明程演算步骤．
（）必做部分
17．（题满分 12 分）已知 A B 分射线CM CN（含端点C）运动 2 π3MCN 
ABC 中角 ABC 边分 a b c ．
（Ⅰ） a b c 次成等差数列公差 2．求c 值
（Ⅱ） 3c  ABC  试 表示 ABC 周长求周长值．






18．（题满分 12 分）图已知三棱柱 1 1 1ABC ABC 面 1 1A ACC  面 ABC
090ABC  1 130 2 3BAC AA AC AC   
E F 分 1 1AC AB 中点
（Ⅰ）证明： EF BC
（Ⅱ）求三棱锥 F ABC 体积






19．（题满分 12 分）2019 年 3 月 5 日国务院总理李克强做政府工作报告时说精准
脱贫攻坚战江西省贫困县脱贫摘帽取突破性进展2019—2020 年稳定实现扶贫象两
愁三保障贫困县全部退出围绕目标江西正着力加快增收步伐提高救助水改善
生活条件产业扶贫保障扶贫安居扶贫三场攻坚战响应国家政策老张力更生开
间阳光鲜奶店月订购种酸奶天进货量相进货成瓶 4 元售价瓶 6 元未
售出酸奶降价处理瓶 2 元价格天全部处理完．根年销售验天需求量
天高气温(单位：℃)关．果高气温低 25需求量 500 瓶果高气温位区间
[2025)需求量 300 瓶果高气温低 20需求量 200 瓶．确定六月份订购计
划统计前三年六月份天高气温数面频数分布表：
高气温 [1015) [1520) [2025) [2530) [3035) [3540)
天数 2 16 36 25 7 4
高气温位区间频率代高气温位该区间概率．
（Ⅰ）求六月份种酸奶天需求量超 300 瓶概率
（Ⅱ）设六月份天销售种酸奶利润Y(单位：元)六月份种酸奶天进货量 450
瓶时写出Y 值估计Y 零概率．






— 高三文科数学(三)第 4 页( 4 页) —
20（题满分 12 分）已知椭圆  
2 2
2 2 1 0x yE a ba b   点 1 3 5( )2 4P 两焦点
1( 0)F c 2 ( 0)F c 距离 4
（Ⅰ）求椭圆 E 方程
（Ⅱ）点 P 作圆 2 2 2O x y b  切线 1 2l l 设直线 1 2l l 斜率分 1 2k k 求
1 2
1 1
k k 值




21．（题满分 12 分）已知函数
2 4 2()ex
x xf x  
（Ⅰ）求函数 )(xf 单调区间
（Ⅱ）意 ( 20]x  等式 2 ( 1) ( )mx fx  恒成立求实数 m 取值范围．





（二）选做部分
请考生第（22）（23）两题中选题作答果做做第题记分作答时
2B 铅笔答题卡选题目题号涂黑答案填答题卡．
22．（题满分 10 分）选修 44：坐标系参数方程
直角坐标系 xOy 中直线l 参数方程 3 (1
 
  
x t ty t
参数) 坐标原点极点x 轴正半
轴极轴极坐标系中 曲线 π 2 2 cos 4C      
（Ⅰ）求直线l 普通方程曲线C 直角坐标方程
（Ⅱ）求曲线C 点直线l 距离值





23．（题满分 10 分）选修 45：等式选讲
已知函数   1 2  f x x a x a
（Ⅰ）  1 3f 求实数 a 取值范围
（Ⅱ） 1 Ra x  求证：   2f x




— 高三文科数学(三)第 5 页( 4 页) —
M
N
θ
A
CB
文科数学(三)参考答案
．选择题（题 12 题题 5 分 60 分．）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
答案 A A D D A A D C B C A A
二．填空题(题 4 题题 5 分 20 分)
13 2 14 5 π2 15 2 π3 16 2
三．解答题(题 6 题 70 分)
17解析（Ⅰ） a b c 成等差公差 2 4a c  2b c  
2 π3MCN
1cos 2C    
 
22 242 1
2422
ccc
cc
      

恒等变形 2 9 14 0cc   解 7c  2c 
 4c   7c 
（Ⅱ） ABC 中
sin sin sin
ACBCAB
ABCBAC ACB

 3 22ππsin sinsin 33
AC BC
 

2sinAC  π2sin 3BC 

 ABC 周长  f  AC BC AB   π2sin 2sin 33 

132sin cos 322

π2sin 33 


π0 3 
 ππ 2π
33 3  
 π π
3 2   π
6  时  f  取值 2 3 ．

18解析(Ⅰ)图示连结 11AEBE等边 1AAC△ 中 AE EC
3sin 0 sin 2BA    面 ABC⊥面 11A ACC 面 ABC∩面 11A ACC AC — 高三文科数学(三)第 6 页( 4 页) —
面面垂直性质定理： 1AE  面 ABC 1AE BC⊥
三棱柱性质知 1 1AB AB∥ AB BC 1 1AB BC
1 1 1 1AB AE A 线面垂直判定定理：
BC  面 1 1ABE结合 EF ⊆面 1 1ABE EF BC
（Ⅱ）点 F 面 ABC 距离等点 1A 面 ABC 距离
等 1
3 2 3 32AE   1 3 33 32 2ABCS  
1 1 3 3 3 33 3 3 2 2ABCV S h  

19解析(Ⅰ)种酸奶天需求量超 300 瓶仅高气温低 25表格数知
高气温低 25 频率 2 16 36 0690
   种酸奶天需求量超 300 瓶概率
估计值 06
（Ⅱ）种酸奶天进货量 450 瓶时
高气温低 25Y 6450 4450900
高气温位区间 [2025）Y 6300+2(450 300) 4450300
高气温低 20Y 6200+2(450 200) 4450 100
Y 值 900300 100
Y 零仅高气温低 20表格数知高气温低 20 频率
36 25 7 4 0890
   Y 零概率估计值 08

20解析(Ⅰ) 已知 2a 
点 1 3 5( )2 4P 坐标代入椭圆方程  
2 2
2 2 1 0x yE a ba b   3b 
方程
2 2
14 3
x y 
（Ⅱ）设  0 0Px y P 斜率 k 直线
 0 0yy kxx  直线圆O 相切
0
2
3
1
y kx
k
 

： 2 2 2
0 0 0 03 2 3 0x k xyky  
已知知 1 2k k 方程（关 k ） 2 2 2
0 0 0 03 2 3 0x k xyky   两根
韦达定理：
0 0
1 2 2
0
2
0
1 2 2
0
2
3
3
3
x yk k x
yk k x
       
两式相： 0 01 2
2
1 2 0
2
3
x yk k
kk y
  
— 高三文科数学(三)第 7 页( 4 页) —

2 2
0 0 14 3
x y  2 2
0 0
33 4y x 
代入式： 01 2
1 2 0
8 4 53
yk k
kk x
  


21解析（Ⅰ）（I）
2( 2 2)＇( ) ex
x xf x    记 2( ) 2 2gx x x  
令 ( ) 0g x  1 3 1 3x   函数 ( )f x (1 31 3)  单调递增
令 ( ) 0g x  1 3 1 3x x 
函数 ( )f x ( 1 3)(1 3 )   单调递减
（II）记 2( ) 2 e ( 1) 4 2xhx mx x x  (0) 0 2 2 1h mm 
＇( ) 2 e ( 2) 2 4 2( 2)( e 1)x xhxmx x xm  
＇( ) 0h x  2x  lnx m ( 20]x  2( 2) 0x  
① 21 em  时 ln ( 20)m  ( 2 ln )x m  时 ＇( ) 0h x 
( ln 0)x m  时 ＇( ) 0h x  min() (ln)ln (2ln)0hx hm m m   
( 20]x  时 ( ) 0h x  恒成立
② 2em  时 2＇( ) 2( 2)(e 1)xhx x   ( 20]x  ＇( ) 0h x 
时 ( )h x 单调递增 2 2( 2) 2e e ( 1) 4 8 2 0h  
( 20]x  时 ( ) ( 2) 0h x h   成立
③ 2em  时 2( 2) 2 2 0e
mh    (0) 2 2 0h m 
存 0 ( 20)x   0( ) 0h x  ( ) 0h x  恒成立．
综 m 取值范围 2(1e ] ．

22解析（Ⅰ） 3
1
x t
y t
 
  
消t 4 0  x y 直线l 普通方程 4 0  x y
π2 2cos 4     
π π2 2 cos cos sin sin 2cos 2sin4 4       


2 2 cos 2 sin  
2 2 2 cos sin   xy x y 代入式
曲线C 直角坐标方程 2 2 2 2  xy xy   2 21 1 2  x y
（ Ⅱ ） 设 曲 线 C 点  1 2 cos 1 2 sin  P 点 P 直 线 l 距 离
1 2 cos 1 2 sin 4
2
  

 
d
 2 sin cos 2
2
 

 
π2sin 24
2
    

πsin 14    
时 max 2 2d — 高三文科数学(三)第 8 页( 4 页) —
曲线C 点直线l 距离值2 2

23解析（Ⅰ）  1 3f 1 2 3 a a
① 0a 时  1 2 3 a a 解 2
3a 2 03  a
② 10 2 a 时  1 2 3 a a 解 2a 10 2 a
③ 1
2a  时  1 2 3 a a 解 4
3a 1 4
2 3a 
综述实数 a 取值范围 2 4( )3 3
（Ⅱ） 1a xR 
     1 2 1 2  f x x a x a x a x a

3 1 a 3 1 a 2


























— 高三文科数学(三)第 9 页( 4 页) —
高三文科数学（三）选择填空详细解析
1A解析  2 0A xx x    0 1B x x 
(01)UCA B  选 A
2A解析复数 3 iz a  3 iz a

  2 3 4z z a

  1a  选 A
3D解析标准化 2 1
2x y 通径 12 2p 
4D解析图知服药患病概率高服药患病概率低选 D
5A解析根题意知幻方角线数成等差数列
3
1 (1 2 3 4 5 6 7 8 9) 153N   
4
1 (1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16) 344N   
5
1(1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25) 655N   

2 2 2
21 1 (1 ) ( 1)(12345 ) 2 2n
n n n nN nn n
      ．
2
8
8(8 1) 2602N  

6A解析画出散点图知 0 0b a  选 A．
7D解析等数列性质： 2 3 2n n n n nSSSSS  成等数列
  2
2 3 2n n n n nSSSSS   化简    2 2 3n n n n n nSSSSSS 
8C解析 2
2019 2019 2019 2019
1 1 1 1log 2019 log 2020 log 2020 log 2019 12 2 2 2a    
2020 2020 2020
1 1 10 log 2019 log 2019 log 2020 2 2 2b   
1
20202019 1c  
9B解析条件知   πsin(2 )6fx x  结合图 B
10C解析正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 中 AA1ADAB 行直线 4 条AA1ADAB
A1﹣BDC1 正三棱锥AA1ADAB 面 A1DB 成角相等
∴正方体 12 条棱直线成角均相等面 4
选 C

11．A解析设椭圆长轴长 12a 双曲线实轴轴长 22a
交点 P 两焦点距离分   0m n m n  焦距 2c  22 2 2mn c 
1 22 2m n a m n a  1 2 1 2m a a n a a  2 2 2
1 2 2aa c  2 2
1 2
1 1 12 2e e  
选 A
12A解析设正方形 ABCD 边长 1 — 高三文科数学(三)第 10 页( 4 页) —
BMD 中正弦定理 o
o o 2sin 35 sin 35 sin135
DM DB DM 
AMD 中余弦定理 2 2 o o o1 4sin 35 4sin 35 cos55 1AM   
AMD 等腰三角形 1AM 
13 2 解析 (2) 8 4 20f a   2a 
14 5 π2
解析直线点 12 时 3z xy  取值1 3 1 1 10
210
r d   
圆面积 5 π2
15 2 π3
解析集合 S 恰两元素 2a 3a 终边关 y 轴称时 2 π3d 
16 2 解析 A 原点分 AM AN       直线 x 轴 y 轴建立面直角坐标系．设
( 0) (0 ) ( )Ma N bOxy ( )P a b 1OM ON    2 22 2 1x a y x y b  
 2 22 21 0 1 0xa y yb x    1
2OP    2 2 1
4x a y b  
2 2 10 1 1 4y x   2 27 24 y x   2 27 22 x y   | OA |取值范围
7( 2]2
值 2 ． — 高三文科数学(四)第 1 页( 4 页) —
复测试试卷
文科数学(四)


试卷分必做题选做题两部分．满分150 分考试时间120 分钟．
注意事项：
1．客观题题选出答案 2B 铅笔答题卡应题目答案标号涂黑需改动
橡皮擦干净选涂答案标号．观题 05 毫米黑色墨水签字笔答题卡书写
作答．试题卷作答答题效．
2．选做题二选先答题卡应选做题目标号涂黑没选择作答效．
3．考试结束监考员答题卡收回

．选择题： 12 题题 5 分 60 分题出四选项中项符合
题目求
1．已知集合  2 0A ax axa x R     1B x y x   ()RCAB 
A． 04xx  B． 14xx  C． 1x x  D． 40xx x
2．已知设i虚数单位 1 3
1
iz i
 
3||2 2
iz   
A．1 B． 2 C． 2 D． 1
2

3．已知等差数列 na 满足 324 3a a  na 中定零项
A． 6a B． 8a C． 10a D． 12a
4．设 03
392 log 4 log 25abc
A．b c a  B． a c b  C． a b c  D．b a c 
5．已知样数
x 1 2 a 3 4
y 09 095 2 305 49
回方程 ˆ 2 3y x  实数 a 值
A． 2 B．3 C． 25 D．35
6．记等式组
0
1
1
2
y
y x
y kx





 
 



表示面区域 D 点(11) D 实数 k 取值范围
A． 1
2k  B． 1k  C． 1
2k  D． 1k 
7．已知等数列 na nS 数列 na 前 n 项公 q 3q   3214S a a 

A．充分必条件 B．必充分条件 — 高三文科数学(四)第 2 页( 4 页) —
x
y
俯视图
左视图视图
C．充分必条件 D．充分必条件
8．已知双曲线
2 2
2 2 1( 0 0)x yC a ba b   左右焦点 1F 2F直线 l y kx 双曲线C
左右两支相交 A B 两点 A B 直径圆点 2F满足 2
3sin 5BAF  双曲线C
离心率
A． 5 B． 2 C． 2 D．5
9．易·系辞河出图洛出书说河图洛书中华文
化阴阳术数源中河图排列结构六二七前
三八左四九右五十背中图白圈阳数黑点
阴数阴数阳数中取数两数 15 概率
A． 1
5 B． 3
25 C． 6
25 D． 2
5
10．设函数 2
ln ( ) ( 0)

x x af x a
x x a x a
  
函数 ( )f x 值 1
4a 实数 a 取值范围

A． 0a B． 1
2a  C． 10 2a  D． 10 2a 
11 ． 已 知 ABC D 四 点 表 面 积 28 球 面 DA ABDA AC 
3DA AB AC  030BAC  三棱锥 D ABC 体积
A． 3 B．3 C． 2 D． 2
12．数学中许形状优美寓意美曲线例：四叶草曲线中种曲线C方程
 32 2 2 2x y xy  出列四结
①曲线C四条称轴 ②曲线C点原点距离 1
4

③设曲线C第象限意点作两坐标轴垂线两坐标轴围
成矩形面积值 1
8
④四叶草面积
4

中正确结序号
A①② B①③ C①③④ D①②④
二．填空题：题 4 题题 5 分 20 分
13．图示网格纸正方形边长 1粗实线画出某体三视图该体
体积 ．
14．已知 a b  互相垂直单位量| | 2 3c ac   
0b c   | |b c   ．
15．已知抛物线 2 4Cy x 焦点 F点 F 直线抛物线相
交 1 1 2 2( )( )Axy Bx y 两点 3AF FB 1 2y y  ．
16．已知函数 2( ) 2fx x x  2( ) loggx x 存实数 m n
 1 x m n   2 08x  1 2( ) ( ) 0fx gx  m n 值 ． — 高三文科数学(四)第 3 页( 4 页) —
三．解答题：题 6 题 70 分 解答应写出文字说明证明程演算步骤．
（）必做部分
17（题满分 12 分）已知锐角 ABC 三角 ABC 边分 abc 面积 S
AD 角 A 角分线满足3 cos 3 cos 2 3b Aa Bbc 
（Ⅰ）求cos A 值
（Ⅱ） ABC 面积 4 2
3
求角分线长 AD 值


18．（题满分 12 分）图：三棱锥 S ABC 中 ABC 等边三角形 AB a
13
2
aSA SC  D AC 中点
（Ⅰ）求证： ABC SBD面 面
（Ⅱ） 21
2SB a 设 E BC 中点
求点 E 面 SAC 距离



19．（题满分 12 分）互联网飞速发展天越越选择更方便省时省钱
网购物某网购物台提供种增值保障服务消费者购物时金融
公司购买增值保障服务增值保障服务包括碎屏保理意外保碎片换新延长保换新
例消费者购买换新增值保值服务超出国家三包政策外 1 年产品质量问题
申请换购买商品样新产品消费者网购买某种家电金融公司购买增值保障服
务（换新服务）活动规：户购买该型号家电时选购换新服务保费 x 元
购买 1 年出现意外质量问题免费更换型号该产品网购物台 5 万台该型
号家电器全部销售完毕年购买换新服务年未换新产品户中机抽取 1000
名合理确定保费 x 值该金融公司进行问卷调查统计表（中 y表示保费
x 元时愿意购买该换新服务户占百分）：
x 10 12 15 18 20
y 075 065 052 038 02
（Ⅰ）根面数求出 y 关 x 回直线方程（精确 001）
（Ⅱ）通数分析该型号家电户中购买年出现质量问题例
02 已知该型号家电价格 2000 元该金融公司求次活动中销售该换新服
务产生利润少 17 万元否保费 x 定 8 元？
参考公式：回方程 y bx a  中
  
 
1
2
1
n
i i
i
n
i
i
x xy y
b
x x



 




a y bx
 
 
参考数：   
5
1
356i i
i
x xy y

   — 高三文科数学(四)第 4 页( 4 页) —
20．（题满分 12 分）已知 1( 10)F  P 面动点 1PF 直径圆圆 2 2 4Ox y 
切
（Ⅰ）动点 P 轨迹方程
（Ⅱ）设点 (01)M 直线l曲线C相交点 A B 两点点 M 作l 垂直直线 1l x 轴相
交 N 点 NA NB 求直线l方程




21．（题满分 12 分）已知函数 1( ) ( 1)e 1xfx kx k    ( ) 0f x 
（Ⅰ）求 k 值
（Ⅱ）0 2x  时求证： 1e ln( 1) 02
x xx x
  





（二）选做部分
请考生第（22）（23）两题中选题作答果做做第题记分作答时
2B 铅笔答题卡选题目题号涂黑答案填答题卡．
22．（题满分 10 分）选修 44：坐标系参数方程
直角坐标系 xoy 中 坐标原点极点 x 轴正半轴极轴建立极坐标系已知直线 1l 参
数方程  cos ( 0 )1 sin
x t ty t
  
   
参数 直线 2l 方程 sin( ) 2 24
    M 曲
线 2l 动点点 P 线段OM 满足 8OM OP 
（Ⅰ）求点 P 轨迹C 直角坐标方程
（Ⅱ）设点 (01)N直线 1l 曲线C 相交 A B 两点 1 1 4 3
3NA NB  求直线 1l 方程



23．（题满分 10 分）选修 45：等式选讲
已知函数 ( ) 1 2fx x x  
（Ⅰ）意 x R 等式 ( )fx m 恒成立 m 取值范围
（ Ⅱ ） 记 满 足 条 件 m 值 M 1 1 1a b c   8 abc M 求 证 ：
( 1)( 1)( 1) 1a b c  



— 高三文科数学(四)第 5 页( 4 页) —

文科数学(四)参考答案
选择题（题 12 题题 5 分 60 分）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
答案 B A A C C C A D B C C C
二填空题(题 4 题题 5 分 20 分)
13 22 + 3 14 3 15 4 3
3 16 4
三解答题(题 6 题 70 分)
17 解析（Ⅰ） 3 cos 3 cos 2 3b A a B b c 
正弦定理化3sin cos 3sin cos 2sin 3sinBAABBC
 3sin cos 3sin cos 2sin 3sinBAABBAB
3sin cos 3sin cos 2sin 3sin cos 3sin cosBAABBABBA
6sin cos 2sinBAB
 0 π sin 0BB   1cos 3A 
（Ⅱ） 12 2cos sin33AA   1 cos 6cos 223
AA
14 2sin23ABCSbc A  4bc 
ABC ABD ACDSSS  111sin sin sin2222 2
AAbcA cAD b AD

2 cos 86 8 6 2 62
336
Abc
AD bc b c bc
 

仅 2b c  时角分线 AD 长值 2 6
3


18解析（Ⅰ） ABC 等边三角形 D AC 中点 BD AC 
SASCSDAC  
BD SD D  AC  面 SBD
AC  面 ABC 面 ABC  面 SBD
（Ⅱ） 13 2SAC SA SC a AC a 中
13322SACSaaa    2E SAC E SDC B SDC C SBDVVVV — 高三文科数学(四)第 6 页( 4 页) —
SBD 中 3 213 2 2BD a SD a SB a  
余弦定理知 1 3cos sin 2 2SDB SDB  
23 3
8SBDS a  设 E 面 SAC 距离 h
31 3 3 3 3
3 2 8 8h a a h a  

19解析（Ⅰ）
5
2
1
15 05 ( ) 68i
i
xy xx

 
^ ^356 005 12568b a  
005 125y x 
（Ⅱ）保费 x 定 8 元理：
保费定位 8 元时 085y 
 50000 8 08550000 2000 02 08517 17   利润： 万元 万元
定保费 8 元

20 解析（Ⅰ）图：设 PF 直径圆圆心 1O连接 1OO
1OO 1 2FPF 中位线圆 1O 圆 2 2 4Ox y  切
： 1 1 1 2OF OO  ： 1 2 1 1 12( ) 4PF PF OF OO  
椭圆定义知 P 轨迹方程：
2 2
14 3
x y 
（Ⅱ）设直线l方程： x ky k  1( 0)N k 令 1 1 2 2( )( )Axy Bx y
： 2 2 2 22 2 (3 4) 6 3 12 0
14 3
x ky k
k y kykx y
       

中：
2 2
1 2 1 22 2
6 3 123 4 3 4
k kyy yyk k
  

题意： NA NB NM AB 射影定理： 2NM MA MB 
： 2 2
1 2 2
11 1 1 1 1MA ky MB ky MN k    
： 2
1 2 1 2 1 2 2 2
8 1 41 1 ( ) 1 3 4 5yyyyyy kk k  
直线l方程： 5 12y x  — 高三文科数学(四)第 7 页( 4 页) —
21 解析（Ⅰ） min(1) 0 ( ) 0 ( ) (1) 0f fx fx f    
1x k  f x 极值点： 1 1 1kk  
（Ⅱ） 0x 时等式显然成立
0 2x  时 1 1e ln( 1) 0 (2 )e2 ln( 1)
x xx xx xx x
    
  11( ) (2 ) 1 e 0e ( ) 1xx hx xh xx x     令
 (01) 0 ( ) (01)x hx hx 时 单增   (12) 0 ( ) (12)x hx hx 时 单减 
1x  ( )h x 极值点 max( ) (1) 1h x h 
证： 1 ln( 1)(0 2)ln( 1)
x xx xx    令 () ln( 1)x x x   ：
1() 1 0 ()(02)1 1
xx xx x
单减     
( ) (0) 0x    0 ln( 1)x x 
等式成立

22 解析（Ⅰ）设点 P 坐标  点 M 坐标 1 
8OM OP 
1
1
8
πsin( ) 2 24
 
 
   

整理轨迹C极坐标方程 π2 2sin( )4  
轨迹C直角坐标方程     211 22  yx
（Ⅱ） 1l 参数方程代曲线C直角坐标方程    2sin1cos 22   tt
整理 01cos22  tt  1cos2 2121  tttt 
点 (01)N 曲线C部  2 2
1 2 1 2 1 2+ 4 4cos 4NANBtt tt tt  
2
1 2
1 2
+1 1 4cos 4 4 3 1 3
NA NB t t
NA NB NA NB t t
   
解
3
1cos 2 
3
3cos  2k
直线 1l 方程 12  xy

23 解析（Ⅰ）







232
211
123
)(
xx
x
xx
xf 1)(21 min  xfx 时
题意： 恒成立 Rxmxf )( mxf  min)( 1m
（Ⅱ）（Ⅰ）知： 1M  8abc ： — 高三文科数学(四)第 8 页( 4 页) —
14441)1(1)1(1)1()1)(1)(1(
222
 cbacbacba
取等条件： 2 cba















































— 高三文科数学(四)第 9 页( 4 页) —
高三文科数学（四）选择填空详细解析
1B解析  2 0RCA ax axa xR   042  aa  04RC A 
 1 xxBRCA B   1 4x x  选 B
2A解析 1 3i (1 3i)( +i) 1 3 (1 3)i1i (1i)(+i) 2z     
1
1
3 i
2 2z   1 3(1 3)i 3i 1 3+ i 12 2 2 2 2
    选 A
3 A解析 3 2 3 3 2 3 64 3 3( ) 0 3 0 0a a a a a a d a    选 A
4 C解析
2
2
9 330 0b 1c log 25 log 5 log 5a  

c b a  
5 C解析回方程定点 x y 2y 代入回方程 25x a 25
6 C解析 1 1 D点（ ） 1 11 2 2k k   选 C
7A解析 3 2 14S a a  1 2 3 2 14 a a a a a   2
1 1( 2 1) 4 a q q a   na 等数
列 1 0a  2 2 1 4q q  1q  3q   3q   3 2 14S a a  充分必条件
选 A
8D解析连接 1 1BF AF A B 直径圆点 2F 2AF B 直角三角形
2 2AF BF 2
3sin 5BAF  2
6
5
cBF  2
8
5
cAF  称性知四边形 1 2AF BF
矩形 1
8
5
cBF  定义 1 2 2BF BF a  8 6 25 5
c c a  5e  选 D
9B解析已知阳数 13579阴数 246810
先阳数取数阴数取数5 5 25  种中两数等 15 情况 7 86 9
10 5 3 种概率 3
25
选 B
10 C解析 1 1( )2 4f a  x a 必须包含 1
2x  10 2a  选 C
11 C解析 ABC 中设 0 3 30AC x AB x BAC   余弦定理知 BC x
ABC rx 外接圆半径 3DA x
2 21 7 7 24 2Rr DA x x  外接球半径 2D ABCV   选 C
12C解析①曲线C四条称轴 x 轴 y轴 y x y x
②令 y x 易知曲线C点 2 24 4
 
   
该点原点距离 1
2 — 高三文科数学(四)第 10 页( 4 页) —
 
22 232 2 2 2
2
x yx y xy       
仅 x y 时取易知曲线C点原点距离
2 2
max
1
2d xy  
③   3 32 2 2 2 2x y xy xy   仅 x y 时取 max
1
8S xy 
④② 00 圆心 1
2
半径作圆圆半径 π
4
四叶草面积 π
4 选 C
13 22π+ 3
解析三视图知该体圆柱三棱锥组合成体积
2 1 1 2π1 2+ 2122π+3 2 3 
14 3 解析 3ac ac     夹角
6
 bc  夹角
3

2 22( ) 2 3bc bc b bcc          
15 4 3
3 解析 设直线 AB 方程： 1x ty  C联立 2 4 4 0y ty 
1 2 4yy  ① 3AF FB 1 23y y ② ① ② 解
1
2
2 3
2 3
3
y
y
 


1
2
2 3
2 3
3
y
y
 

1 2
4 3
3y y 
16 4解析    2 08 ( ) 3x gx  时    1 1 2 ( ) ( ) ( ) 3x mnfx gx fx   
2 2 3 1 3xx x   1 3m n m n   m n 值 4 — 高三文科数学(五)第 1 页( 4 页) —
高三第二轮复测试试卷
文科数学(五)

试卷分必做题选做题两部分．满分150 分考试时间120 分钟．
注意事项：
1．客观题题选出答案 2B 铅笔答题卡应题目答案标号涂黑需改动
橡皮擦干净选涂答案标号．观题 05 毫米黑色墨水签字笔答题卡书写
作答．试题卷作答答题效．
2．选做题二选先答题卡应选做题目标号涂黑没选择作答效．
3．考试结束监考员答题卡收回

．选择题： 12 题题 5 分 60 分题出四选项中项符合
题目求
1．设  1012U   集合  2|1A x x x U  UCA 
A． 012 B． 112 C． 10 2 D． 101
2 复面复数 1 2i
iz  应点位
A．第象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3 设函数 xxf 2log)(  区间 )60( 机取然数 x 2)( xf 概率
A． 1
5 B． 2
5 C． 3
5 D． 4
5
4 元著名数学家朱世杰四元玉鉴中首诗：壶酒携着游春走遇店添倍
逢友饮斗店友四处没壶中酒问壶中原少酒？
程序框图表达图示终输出 0x  开始输入 x 值
A 3
4 B 7
8 C15
16 D 31
32
5 已知 1ln 5 3ln 2e 58abc cba 关系
Ab a c  B a c b  C a b c  Db c a 
6 已知项均正数等数列 na 中 132
13 22a a a 成等差数
列 11 13
810
a a
a a


A． 27 B．3 C． 1 3 D．1 27
7已知 ( 111)a  || 3b  ( 2)( ) 3a b a b       a b 夹角
A 5
6
 B 2
3
 C
3
 D
6
 — 高三文科数学(五)第 2 页( 4 页) —
8已知椭圆 )0(1 2
2
2
2
 bab
y
a
xC 左右顶点分 21AA线段 21 AA 直径圆
直线 02  abaybx 相交C 离心率范围
A)13
6( B )13
3( C )3
30( D )3
60(
9某区计划建造椭圆形花坛O 椭圆中心ON 位椭圆长轴 MON 直
角欲中建立长方形水池图已知矩形OAPB 8 6ON OM  该矩形
面积
A．10 B．12 C． 20 D． 24
10 已知复数 1 cos 2 ()iz x fx  2 ( 3 sin cos ) iz xx   xR复面设复数 1z 2z
应点分 1Z 2Z 1 2 90Z OZ   中O 坐标原点函数 ( )f x 值
A． 1
4 B． 1
4 C． 1
2 D． 1
2
11已知| | | | 2OA OB   点C 线段 AB | |OC 值1| |OA tOB  (t R )
值
A 2 B 3 C 2 D 5
12已知双曲线C
2
2 1( 0)x y mm   离心率 6
2
点 (20)P 直线l 双曲线C 交
两点 ABAOB 钝角（中O 坐标原点）直线l 斜率取值范围
A 5 5( )5 5 B 5 5( 0) (0 )5 5 
C 2 2( )2 2 D 2 2( 0) (0 )2 2 

二填空题：题 4 题题 5 分 20 分
13 x y 满足约束条件
1
1
2 2
x y
x y
x y
 
  
  
目标函数 2z xy  值__________
14 设量 (2tan tan )a   量 (4 3)b   | | 0a b   tan( )   ________
15 定义R 函数 )(xf 满足 ( ) ()f x fx  0x 时
2 1 1 0
( ) 12 ( ) 12
x
x x
f x
x
     

意 [ 11]n  等式 () ()fn fm 恒成立实数 m 取值范围_________
16棱长 446  密封直四棱柱容器半径 1 球晃动容器球
空间体积___________ — 高三文科数学(五)第 3 页( 4 页) —
三解答题题 6 题 70 分 解答应写出文字说明证明程演算步骤
（）必做部分
17 （题满分 10 分） ABC 中角 ABC 应边 分 a b c
tan 3( cos cos )bB aCcA  ．
（Ⅰ）求角 B
（Ⅱ）函数 () 2sin(2 ) 2cosπ 26fx x x  6( )2 5f A  求cos( )6
πA 值．




18 （题满分 12 分）图直四棱柱 1 1 1 1ABCD ABCD 底面菱形 1 4AA  2AB 
60BAD   EMN 分 BC 1BB 1AD 中点
（Ⅰ）证明： MN 面 1C DE
（Ⅱ）求点 N 面 1C DE 距离．






19 （题满分 12 分）南昌市教育局解中学生某项活动兴趣机南昌二中抽取
100 进行调查统计男生女生数9 11男生中 25 表示项活动没兴
趣女生中 40 项活动兴趣
（Ⅰ）完成 2 2 列联表判断否99握认项活动否兴趣性关？
兴趣 没兴趣 合计
男 25
女 40
合计 100
（Ⅱ）分层抽样方法样中项活动兴趣学生中抽取 6 求抽取男生女生分
少？ 6 中选取 3 作项活动宣传员求选取 3 中恰 1 位男生
2 位女生概率
附：
2
2 ( )
( )( )( )( )
n ad bcK a b c d a c b d
    
中 n a b c d 
 2
0Pk k 0150 0100 0050 0025 0010
0k 2072 2076 3841 5024 6635


— 高三文科数学(五)第 4 页( 4 页) —
20（题满分 12 分）设抛物线 2 4：Cy x 点 )04(P 斜率 k 直线l C 交 AB
两点．
（Ⅰ） 1k 求弦长 AB
（Ⅱ） x 轴否存点Q满足 BQPAQP  ？存求出Q 坐标存
说明理





21（题满分 12 分）已知函数 21( ) e 22
xfx xx 
（Ⅰ）求证： )(xf 存唯极值点
（Ⅱ） 0x 时 1)(  axxf 恒成立求 a 取值范围





（二）选做部分
请考生第（22）（23）两题中选题作答果做做第题记分作答时
2B 铅笔答题卡选题目题号涂黑答案填答题卡．
22（题满分 10 分）选修 44：坐标系参数方程
直角坐标系 xOy 中曲线C 参数方程










2
2
2
2
1
323
1
1
t
tty
t
tx
（t 参数）．坐标原点O 极点
x 轴正半轴极轴建立极坐标系直线l 极坐标方程 02sincos  
（Ⅰ）求曲线C 普通方程直线l 直角坐标方程
（Ⅱ）点 (24)P设曲线C 直线l 交 AB 两点求| || |PA PB




23（题满分 10 分）选修 45：等式选讲
（题满分 10 分）设函数 1()|3 |2| |2fx x x  ．
（Ⅰ）求函数 ( )f x 取值范围
（Ⅱ）意 st R 等式 (| 1| |1 |) ()kt t fs  恒成立求 k 取值范围．



— 高三文科数学(五)第 5 页( 4 页) —

文科数学(五)参考答案
选择题（题 12 题题 5 分 60 分．）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
答案 B C C C A A B A D B B D
二填空题(题 4 题题 5 分 20 分)
13． 10 14． 1
7 15．( 1] [1 )  16． 2856 3
π
三解答题题 6 题 70 分 解答应写出文字说明证明程演算步骤
17．解析（Ⅰ） tan 3( cos cos )bB a C c A
正弦定理  sin tan 3sin cos sin cosBBACCA
 sin tan 3sin 3 sinBBACB 
π0 C  sin 0B  tan 3B  π
3B 
（Ⅱ） () 2sin(2 ) 2cos2 2sin2 cos 2cos2 sin 2cos2666
πππfx xxxxx 
π3sin2 cos2 2sin(2 )6xxx
6( ) 2sin π()26 5
AfA  π 3sin( )6 5A 

（Ⅰ） π
3B  2(0 )3
πA  (ππ π)66 2A   
2ππ 4cos( ) 1sin( )66 5AA  
ππ πcos( )cos( ) cos( )cos sin( )sin663 63
πππ
6 3
πAAAA  
4 1 3 3 4 3 3
5252 10
    

18．解析（Ⅰ）连接 ME 1BC
M E 分 1BB BC 中点 ME 1BBC 中位线
1ME B C 1
1
2ME B C N 1AD 中点
11ADBC 1ND B C 1
1
2ND B C — 高三文科数学(五)第 6 页( 4 页) —
ME ND 四边形 MNDE 行四边形
MN DE MN 面 1C DE DE  面 1C DE
MN 面 1C DE
（Ⅱ）菱形 ABCD 中 E BC 中点 DE BC
根题意 3DE  1 17CE  棱柱直棱柱 DE  面 1 1BCC B
1DE EC
1
1 3 172DECS   （1）知 MN 面 1C DE
点 N 面 1C DE 距离点 M 面 1C DE 距离
设点 M 面 1C DE 距离 d 根题意 1 1MCDE DCMEV V 
1 1 1 11 1C ME BME C CE B C MBCB CSSSSS  四边形
1 1 12 4 1 2 1 4 2 2 32 2 2
1 1 13 17 3 33 2 3d   解 6 6 17
1717
d  
点 N 面 1C DE 距离 6 17
17


19．解析（Ⅰ）根题意 2 2 列联表：
兴趣 没兴趣 合计
男 20 25 45
女 40 15 55
合计 60 40 100

2
2 100(20 15 25 40) 825 663545 55 60 40K      

99握认项活动否兴趣性关
（Ⅱ）项活动兴趣学生 60 中抽取 6 抽取男生数女生数分：
6 20 260   6 2 4 
记男生 a b 女生 ABCD中选取 3 基事件
aAB aAC aAD aBC aBD aCD bAB bAC bAD bBC bBD bCD
abA abB abC abD ABCABDACDBCD 20
含 1 男 2 女基事件：aAB aAC aAD aBC aBD aCD bAB bAC bAD
bBC bBD bCD 12
记项运动兴趣学生中抽取 6 做宣传员恰 1 男 2 女事件 M 3( ) 5P M 
选取 6 中恰 1 位男生 2 位女生概率 3
5 — 高三文科数学(五)第 7 页( 4 页) —
20．解析（Ⅰ）已知知 AB 方程： 4y x  设 1 1 2 2( )( )Axy Bx y
联立方程：





xy
xy
4
4
2 消元： 016122  xx
韦达定理： 1612 2121  xxxx 2 2
1 2 1 2( 1)[( ) 4 ] 4 10AB k xx xx   
（Ⅱ）假设存设 )0(aQAB 方程： )4(  xky 设 )()( 2211 yxByxA
联立方程：





xy
xky
4
)4(
2 消元： 016)48( 2222  kxkxk
韦达定理： 1648
212
2
21  xxk
kxx BQPAQP  知
0)4()4(
2
2
1
1
2
2
1
1 

 ax
xk
ax
xk
ax
y
ax
ykk BQAQ
化简： 08))(4(2 2121  axxaxx
代入： 08)48)(4(32 2
2
 ak
ka 0)4(4 2  ka ）（ 4a
存样点QQ 坐标( 40)

21．解析（Ⅰ）证明：
＇( ) e 2xfx x  易知 )(＇ xf 增函数
＇ ＇(0) 1 0 (1) e 1 0f f  零点存定理知   0f x  唯解
)(xf 唯极值点
（Ⅱ）构造 21( ) ( ) 1 e 2 12
xg x f x ax x x ax   (0) 0g 
＇( ) e 2xg x x a  易知 )(＇ xg 增函数
＇(0) 1 0g a  时 1a )(xg  0 递增    0 0g x g 
0)( xg 恒成立
＇(0) 1 0g a  时 1a 存 00 x 满足 0)( 0
＇ xg )(xg  00 x 递减
 0x 递增 0)0()( 0  gxg 已知矛盾
综述： 1a 

22．解析（Ⅰ）曲线 C 参数方程










2
2
2
2
1
323
1
1
t
tty
t
tx
（t 参数）
2
2
11 11
t
t
 

2
2 2 2 2
2 2
1 2( 3) ( ) ( ) 11 1
t tx y t t
   

曲线 C 普通方程 2 2( 3) 1 ( 1)xy x     
直线 l 极坐标方程 02sincos  
直线 l 直角坐标方程 2 0x y   — 高三文科数学(五)第 8 页( 4 页) —
（Ⅱ）（Ⅰ）直线 l 参数方程
22 2
24 2
x t
y t
  
  
代入 2 2( 3) 1x y  
2 22 2(2 ) (4 3) 12 2t t   2 3 2 4 0t t  设点 AB 应参数分 1t 2t
1 2
1 2
3 2 0
4 0
t t
tt
     
 1 2 1 2 3 2PAPB t t tt   

23．解析（Ⅰ） 1()|3 |2| |2fx x x  1
2x  时 ( ) 3 4fx x 
1 32 x  时 ( ) 2fx x  3x  时 ( )3 4fx x  ( )f x 值 5
2
5( ) 2f x 
（Ⅱ）题意知：意 st R 等式 (| 1| |1 |) ()kt t fs  恒成立
等价 5(| 1| |1 |) 2kt t  恒成立设 | 1| |1 |ut t  
| 1| |1 | 2ut t   2 2u 
52 2k  52 2k  解 5 5
4 4k   — 高三文科数学(五)第 9 页( 4 页) —
高三文科数学（五）选择填空详细解析

1B 解 析 集 合 }21012{ A}11|{}1|{ 2  xxxxB 图 形 表 示
}22{}|{  BxAxx 选 B
2C解析
2
2
1 2i i 2i 2 ii iz    
3C 解析已知 2( ) logfx x 区间 (06) 机取然数 x 12345五数
( ) 2f x  0 4x  123三数概率 3
5 选择 C
4C 解析 1 2 1i x x   2 2 (2 1) 1 4 3ix x x    3 2 (4 3) 1 8 7ix x x   
4 2(8 7)1 16 15ixx x    16 15 0x   时解 15
16x 
5A解析题意已知 ln 5
5a  1b e 3ln 2 ln 8
8 8c  
令 ln( ) xf x x 2
1 ln＇( ) xf x x
 函数 ( )f x (0e) 单调递增(e ) 单调递减
max
1[()] (e) ef x f b  (3) (8)f f a c b a c 
6A解析题意 3 1 23 2a a a  2
1 1 13 2a q a a q  解 3q  1q  （舍）
11 13
8 10
a a
a a

 ＝
3 5
38 8
2
8 8
27a q a q qa a q
   选 A．
7B解析( 2 ) ( ) 3a b a b     2 2
2 3    a a b b ( 111)| | 3a b  
1cos 2a b   a b 夹角 2
3
 选 B
8A解析根题意：原点直线距离半径 a
ba
abd 

 22
|2|
2222 3|2| abbab  3
2
3
111 2
2
2  a
be )13
6(e
9D解析设 )sin6cos8( P  2sin24sin6cos8 OAPBS矩形
244  OAPBS矩形 选 D
10B解析条件 1(cos 2 ( ))Z xfx 2 3 sin()cos 1x xZ  1 2OZ OZ
cos ( 3 sin cos ) 2 ( ) 0x x xfx   化简 1 1( ) sin(2 )2 6 4
πfx x 
sin(2 ) 1π
6x   时 1 1( ) sin(2 )2 6 4
πfx x  取值 1
4
11B解析∵ 2OA OB   ∴ 点 O 线段 AB 垂直分线．∵ 点C 线段 AB OC— 高三文科数学(五)第 10 页( 4 页) —
值 1∴ C AB 中点时 OC 时 1OC  ∴ OB OC 夹角60
∴ OA OB  夹角120 ． 2 2 22 2OA tOB OA tOB tOAOB         
24 4 2 2 cos120t t   24 2 4t t  214( ) 3 32t   仅 1
2t  时等号成立．
∴
2
OA tOB  值 3∴ OA tOB  值 3 ．
12D解析解法：题意双曲线 C
2
2 12  x y
设直线 l： 2 x ty 双曲线 C 联立： 2 22 4 2 0  t y ty
设点    1 1 2 2BAxy xy  
2
2
1 2 1 2 1 2 1 22 2
2 2 8 2 42 2
    
tyy xxtyy tyyt t

AOB 钝角 1 2 1 2 0 xx yy

2
2
2 6 02
  
t
t
出 2 2 0t   直线 l 斜率 2
2
1 1
2k t  解 2 2
2 2k 
0k  时 AOB 钝角直线 l 斜率取值范围 2 2( 0) (0 )2 2  选 D
解法二：题意双曲线 C
2
2 12  x y 两条渐线方程 2
2y x 点(20) 双曲线
部直线l 双曲线支交 AB o90AOB  合题意直线l 双曲线左右两
支分交 AB o90AOB  恒成立 2 2
2 2k  0k  时 AOB
钝角直线 l 斜率取值范围 2 2( 0) (0 )2 2  选 D
13．10解析作出等式组
1
1
2 2
x y
x y
x y
 
  
  
表示面区域
图 ABC 部中      10 01 34A B C
直线 yxz  2 进行移
l 点C 时目标函数 z 达值 10
14．
7
1 解析：| | 0a b   2 tan 4 0   tan 3 0  
3tan2tan  
7
1)tan(  
15 ( 1] [1 )  解析题意函数 )(xf 定义 R 区间 ( 0] 单调递增
偶函数等式 )()( mfnf  恒成立 00  mn 意 ]11[n 恒成立 1|| m
11  mm — 高三文科数学(五)第 11 页( 4 页) —
16 2856 3
π 解析容器八角附区域满足题意 3
1
π1 4 48(1 1 ) 88 3
π
3V    
容器十二条棱附区域满足题意体积 2 2
2 8(1 )24(1 )4 3284 4
π π πV   
球空间体积 1 2
286 4 5 π4 6 3V VV   — 高三文科数学(六)第 1 页( 4 页) —

文科数学(六)

试卷分必做题选做题两部分．满分150 分考试时间120 分钟．
注意事项：
1．客观题题选出答案 2B 铅笔答题卡应题目答案标号涂黑需改动
橡皮擦干净选涂答案标号．观题 05 毫米黑色墨水签字笔答题卡书写
作答．试题卷作答答题效．
2．选做题二选先答题卡应选做题目标号涂黑没选择作答效．
3．考试结束监考员答题卡收回

．选择题： 12 题题 5 分 60 分题出四选项中项符合
题目求
1 设集合  2A x x  B x x a  全集 RU  UACB
A 0a  B 2a  C 2a  D 2a 
2 列关命题说法正确
A 命题 0xy  0x  否命题 0xy  0x 
B 命题 0x y  x y 互相反数逆命题真命题
C 命题 Rx  22 1 0x   否定 Rx  22 1 0x  
D 命题cos cosxy x y 逆否命题真命题
3 复数 z 轭复数 z满足 2i 3 0   zz z 
A 1 i B 1 i C 1 2i D 2 i
4 某公司解户产品满意度甲乙两区分机调查 100 户
根户产品满意度评分分甲区乙区户满意度评分频率分布直方图．

甲区乙区户满意度评分中位数分 1m 2m 标准差分 1s 2s 面正确

A 1212m m s s B 1212m m s s C 1212m m s s D 1212m m s s
5 函数 () sin 2cosfx xx 区间[0 π]值域
A [ 2 2] B [ 5 5] C [ 5 2] D [ 2 5]
6 数列 na 等差数列 7421a a   3 0a  公差 d 
A 2 B 1
2 C 1
2 D 2 — 高三文科数学(六)第 2 页( 4 页) —
第 9 题图
7 执行图示程序框图果输入  22x  输出 y 值取值范围
否

结束输出y
y
x
x+1
yx+
1
xx<0输入x开始

A 5
2y  0y  B 22 3y 
C 2y  20 3y  D 2y  2
3y 

8 图某显示器( 400 250mm mm )屏保直径100mm 圆形气泡屏幕机运动
屏幕正中暗点某时刻暗点气泡部概率
A π
40 B π
18 C π
10 D 2π
9
9 体三视图图示（图中正方形
单位正方形）该体外接球表面积
A 41π
B 42π
C 45π
D 112 π3
10 图矩形 ABCD 中 4AB  3AD 
M N 分线段 BC DC 动点 2MN  AM AN  值
A 25 7 2 B 15 C 16 D 17
11 双曲线
2 2
2 2 1( 0 0)x y a ba b   渐线 1 2l l 点 (1 3)A  斜率 1 直线分交
B C 两点 AB AC 双曲线离心率
A 2 3
3 B 3 C 2 D 3
12 设函数    e 2 1 2 2xf x x ax a   中 1a  存唯整数 0x  0 0f x 
a 取值范围
A 3 1[ )4e 2 B 3 3[ )2e 4 C 3 1[ )4e 2 D 3[ 1)2e

二．填空题：题 4 题题 5 分 20 分
13 已知实数 x y 满足
4 0
3 0
0
x y
y
x y
  
 
 



1
1
yz x
 
值
14 已知函数   Rfx x 导函数  f x  3 7f    2f x    2 1fx x  解
集
CD
AB
N
M
第 10 题图 — 高三文科数学(六)第 3 页( 4 页) —
F
A
CB
E
D
F
D＇A＇
CB
E
1
0
乐观
乐观
国外代表国代表
08
06
04
02
15 2 2sin 20 cos50 sin 20 cos 50   值
16 已知 ( )f x 定义 R 奇函数
3|cos | (0 ]2( ) 1 3( ) [ )2
π
π π2
x x
f x
fx x
  
   
函数
() ()12π
xgx fx  零点数
三．解答题：题 6 题 70 分 解答应写出文字说明证明程演算步骤．
（）必做部分
17．（题满分 12 分） ABC 中角 ABC 边分 abc π
3A  4a  AD
BC 边中线
（Ⅰ） 5b c  求 ABC 面积
（Ⅱ） π
2B DAC  求 ABC 周长

18 （题满分 12 分）VR+5G 开启感知新时代题 2019 世界 VR 产业会 10 月
19 日 21 日江西南昌隆重召开次会邀请国外专家学者企业家等代表 7000 余
VR 领域次顶级盛会某校志愿者参会代表VR+5G 技术否 5 年进入普阶段进行
机抽样调查调查象里国代表国外代表
数两倍国外代表持乐观乐观态度
占图示99握认否持乐观
态度国外差异关
（Ⅰ）调查象里国外代表少少？
（Ⅱ）调查国代表中分层抽样组成5
名代表构成样求样中机抽取 2 名代
表恰持乐观态度乐观态度1名概率

参考公式：
2
2 ( )
( )( )( )( )
n ad bcK a b c d a c b d
    


19．（题满分 12 分）图等腰梯形 A BCD  中 AD BC  π
3A BC  2AD  
6BC  线段 AB 点 E 作 EF BC 交CD F着 EF 面 A EFD  折起
AEFD连接 AB DC 面体 AD EBCF
（Ⅰ）直线 AB DC 交 MBE CF 交 N
问：线段 AB 否存点 E MN
面 AEFD？存确定该点位置存
说明理
（Ⅱ） E 线段 AB 中点面
AEF  面 BEF求体 ABCDEF 体积

2
0( )PK k 005 001 0005 0001
0k 3841 6635 7879 10828 — 高三文科数学(六)第 4 页( 4 页) —
20 （题满分 12 分）已知 1 2F F 分椭圆
2 2
2 2 1 ( 0)x yE a ba b   左右焦点 1F
直线 l 交椭圆 E A B 两点果
1 2F AFS 时 1 2F AF 等腰直角三角形周长
4( 2 1)
（Ⅰ）求椭圆 E 标准方程
（ Ⅱ ） 斜 率 k 直 线 l 交 椭 圆 C D 两 点 l l 交 点 ( 11)M 
MA MB MC MD   求直线l方程





21．（题满分 12 分）已知函数 2( ) 2 lnf x ax x x  ( R)a  1x  处切线斜率 4
（Ⅰ）求 a 值确定函数 ( )f x 区间 1( )2  单调性
（Ⅱ）设函数 2 ( )() ex f xgx x x   证明：函数 ( )g x 零点




（二）选做部分
请考生第（22）（23）两题中选题作答果做做第题记分作答时
2B 铅笔答题卡选题目题号涂黑答案填答题卡．
22．（题满分 10 分）选修 44：坐标系参数方程
面直角坐标系 xoy 中已知曲线
2
1
6 (
6
x tC t
y t
 
 
参数)坐标原点极点x 轴正方
极轴建立极坐标系曲线 2 4C   曲线 1C 交第象限点 A
（Ⅰ）求曲线 1C 极坐标方程点 A 极坐标
（Ⅱ） B 曲线 1C 点OB OA 求 AB．




23．（题满分 10 分）选修 45：等式选讲
设函数 ( ) 2 1fx xabx  
（Ⅰ） 1a b  时求函数 ( )f x 值
（Ⅱ） 1b  时 ( ) 1f x  恒成立求实数 a 取值范围．



— 高三文科数学(六)第 5 页( 4 页) —
D
E
B C
A

文科数学(六)参考答案
选择题（题 12 题题 5 分 60 分）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
答案 C B C A D B C B A B C C
二填空题(题 4 题题 5 分 20 分)
13 1 14 (3 ) 15 3
4 16 15
三解答题(题 6 题 70 分)
17解析(Ⅰ) ABC 中 222 2 cosa b c bc A   222()316bcbcbc bc     
5b c  3bc  13 3sin24ABCSbc A
(Ⅱ)
2B DAC     三角形角 π
2CBAD   
ABD 中
sin sin
ADBD
BBAD 

ADC 中
sin sin
ADDC
CDAC 
sin sin
sin sin
ADBC
BDBAD DAC 
sin sin
cos cos
BC
CB
sin2 sin 2BC
2
πBC   （舍） BC
ABC 等边三角形 ABC 周长12
(解：图作 ABC 外接圆延长 AD 交圆 E
连接 EB EC EAC EBC   π
2EAC ABC   
2
πABE  AE 外接圆直径 AD BC 
ABC 等边三角形 ABC 周长12)

18 解析(Ⅰ)设国外代表数 x 国代表
数 2x *x N
2
2
2
()
()( )( )( )
6 3 2 43( ) 35 5 5 5 66358 7 2825 5
n ad bcK a b c d a c b d
x x x xx
xx x x x
    




6193x  *5 x n n N  x 值65
(Ⅱ)国代表中分层抽样抽取5乐观抽取3 记 ABC乐观抽取 2
乐观 乐观 总计
国代表 6
5 x 4
5 x 2x
国外代表 2
5 x 3
5 x x
总计 8
5 x 7
5 x 3x — 高三文科数学(六)第 6 页( 4 页) —
N
M
EF
DA
T
F＇
BC
E＇
S
记 m n 5中机抽取 2 基事件： AB AC Am An BCBm Bn Cm Cn mn
10 种中恰持乐观态度乐观态度1基事件： Am An Bm Bn Cm
Cn 6 种求概率 6 3
10 5P  

19．解析(Ⅰ)  MN 面 AEFD面CMN 交面 AEFD DF MN DF
MBC 中 1
3
AD MD
BC MC   2
3
CF CD
CN CM  2
3CD CN  CF CD 
点 F 点 D 重合 EF BC 点 F 点 A重合
面 A EFD  法折起样点 E 存
(Ⅱ)图体补形成直三棱柱
易知 2ADEBCF BESCFT BEEASV V V    

1 3 3 6 92AD EBCFV sh    
1 1 1 3(1 2) 3 33 3 2 2B E EAS ASE EV S BE    
2 6ADEBCF BESCFT BEEASV V V      

20．解析(Ⅰ)
1 2F AFS 时 1 2F AF 等腰直角三角形
点 A 椭圆短轴端点 2 2
2 2 4( 2 1)
a b c
a c
  
 

解 2 2a  2b c 
椭圆 E 标准方程
2 2
18 4
x y 
(Ⅱ)题意设 1 1 2 2( ) ( )Cxy Dx y 直线l倾斜角 方程 ( 1) 1y kx 
椭圆联立： 2 2
( 1) 1
2 8 0
y kx
x y
 
  

 22 2
1 22( 1)1 80(12)( )( )xkx kxxxx    ①
1 1
cos
xMC 
 2 1
cos
xMD 
 2
1 2cos ( 1)( 1)MC MD x x   
① 1 2 2
5( 1)( 1) 1 2x x k
  

2 2 2 2
5 5
cos (1 2 ) cos 2sinMC MD k   

设直线l 倾斜角  斜率 ＇k
理 2 2 2 2
5 5
cos (1 2 ) cos 2sinMA MB k   
MA MB MC MD   2 2sin sin     （舍） π   0k k  — 高三文科数学(六)第 7 页( 4 页) —
题意知直线l 方程 2y x  1k  直线l方程 0x y 
(解：直线参数方程求解略)

21．解析(Ⅰ) ( ) 2 2 2lnfx ax x   (1) 2 2 4f a   1a  2( ) 2 lnfx x xx 
( ) 2 2 2lnfxx x   2( ) 2 0f x x
    ( )f x (0 ) 单 调 增 函 数
31 1 e() 32ln 3ln4 ln 02 2 4
    f 函数 ( )f x 区间 1( )2  单调增函数
(Ⅱ) 2 2( )( ) e e 2lnx xf xgxx x xxx  (0 )x 
2
2 2 2 e 1( ) ( 2 )e 1 ( 2)e ( 2)
x
x x x xgxxx xx xx x x
     
设 2( ) e 1xhx x  (0 )x  2( ) ( )e 0xhx x x    恒成立 2( ) e 1xhx x  单调
增函数 1 e( ) 1 02 4h   (1) e 1 0h  
存 0
1( 1)2x  02
0 0( ) e 1 0xhx x  02
0 e 1xx  0 02ln 0x x 
0(0 )x x 时 ( ) 0g x  ( )g x 单调递减 0( )x x  时 ( ) 0g x  ( )g x 单调递增
02
0 0 0 0 0 0() () e 2ln 1 2ln 10xgxgxx x x x x     恒成立
函数 ( )g x 零点

22．解析(Ⅰ)
26
6
x t
y t
 
 
知曲线 1C 普通直角坐标方程 2 6y x
化极坐标方程： 2sin 6cos 0   4  代入 24sin 6cos 0   解
π
3  点 A 极坐标(4 π)3
(Ⅱ)设 B 点极坐标( )  OB OA π
3
π
2 
6
π 

6
π  代入曲线 1C 极坐标方程 2
6cos 12 3sin
  
2 24 8 7AB   

23．解析(Ⅰ) 1a  时
2 1
1( ) 2 1 1 3 1 2
12 2
x x
fxx x x x
x x

  
  

  
min
1 3() ()2 2fx f   — 高三文科数学(六)第 8 页( 4 页) —
(Ⅱ) 1b  时 ( ) 2 1 2 1 12 2
a afxxax x x x x   12
a  仅
02
ax   ( )( 1) 02
ax x  取等号
2
ax  时 min( ) 12
af x   ( ) 1f x  恒成立
1 12
a   4a  0a 










































— 高三文科数学(六)第 9 页( 4 页) —
O
B
A
C
D
O＇
高三文科数学（六）选择填空详细解析
1 C解析  2 2Ax x   UC B x x a  2 a 选 C
2 B解析 0xy  0x  否命题 0xy  0x  A 错误
0x y  x y 互相反数逆命题 x y 互相反数 0x y  B 正确
Rx  22 1 0x   否定Rx  22 1 0x   C 错误
cos cosx y x y 假命题逆否命题假命题D 错误选 B
3C解析设 i z a b i 2i( ) 3 0  ab abi
2 3 0
2 0
a b
b a
 
  
1
2
a
b
  
选 C
4 A解析观察直方图知甲区中位数 1 (6070)m  乙区中位数 2 (7080)m  甲
区数更离散乙区数更集中 1 2s s 选 A
5D解析 ( ) 5 sin( )fx x   中 πtan 2 (0 )2   [0π]x 时 () [2 5]f x  
选 D
6 B解析 7 42 1a a   3 34 2 1a d a d    4 2 1d d   1
2d  选 B
7C解析题意知该程序功求函数  
0 21
1 2 0
x xxf x
x xx
    
  


值域
①0 2x  时      0 2f fxf    20 3f x 
② 2 0x  时   1 1 12 2fxx x xx x x
       
仅 1x x  

1x  时等号成立．综输出 y 值取值范围 2y  20 3y  选 C
8 B 解析概型测度面积气泡圆心活动区域面积300 150mm mm 暗点
圆心50mm 半径作圆气泡圆心作圆部时暗点气泡圆
250
300 150 8
π π
1P  
选 B
9 A解析体直观图图示 2 52 54sin
2 5
ABOABCA
  

2 2 2 2 25 414 4 4R OA OO OA     2 4 π4π 1S R  选 A
10 B解析 A 坐标原点建立面直角坐标系 xoy 设 CNM   (0 )2
π 
(43 2sin )M  (4 2cos 3)N 
(43 2sin ) (4 2cos 3) 25 6sin 8cosAM AN        — 高三文科数学(六)第 10 页( 4 页) —
1
05
05
1
10 8 6 4 2 2 4 6 8 10
25 10sin( )AM AN     中 4 3sin cos5 5   15AM AN    选 B
11 C解析设两渐线 1 2l l 方程
2 2
2 2 0x y
a b  点差法易
2
2 3OA BC
bk k a  

2
2
21 4be a  2e  选 C
12 C解析设    e 2 1xgx x    2 2h x ax a  题意知存唯整数 0x  0g x
直线 2 2y ax a  方∵      ＇ e 2 1 2e e 2 1x xxgx x x    ＇ 0g x  1
2x 
 ＇ 0g x  1
2x  ∴  g x 1( )2  递减 1( )2  递增∴ 1
2x  时  g x
取值
1
22e
 1x  时    1 e 0 1g h   0x  时  0 1g   0 2h a
   0 0h g 2 1a  1
2a     1 1g h   13e 2 2a a   3
4ea 
解 3 1
4e 2a  a 取值范围 3 14e 2
 
 
选 C
13 1解析 z 意义区域点定点  11P  斜率图象知直线  13B 时
直线斜率时直线斜率 1 1
1
yz x
 
值1
14 (3 ) 解 析 构 造 函数 ( ) ( ) 2 1Fx fx x  ( ) ( ) 2 0Fx fx    ( )F x 单 减
( ) 0 3Fx x  ( ) 2 1fx x  解集(3 )
15 3
4
解析 2 2 2 2sin 20 cos50 sin 20 cos 50 sin 20 sin 40 sin 20 sin 40       
2 2sin 20 sin 40 2sin 20 sin 40 cos120     
2 2 2(2 sin120 ) (2 sin 20 ) (2 sin 40 ) 2(2 sin 20 ) (2 sin 40 ) cos120R R R RR     
2 2 2 3sin 20 sin 40 2sin 20 sin 40 cos120 sin 120 4      
(解： 2 2sin 20 cos50 sin 20 cos 50    2(sin 20 cos50 ) cos50 sin 20    
2(sin 20 cos(30 20 )) cos(30 20 ) sin 20    
23 1 3 1[sin 20 ( cos 20 sin 20 )]( cos 20 sin 20 ) sin 202 2 2 2      
23 1 3 1( cos 20 sin 20 )( cos 20 sin 20 ) sin 202 2 2 2     
2 2 23 1 3cos 20 sin 20 sin 204 4 4    )
16 15解析题意 ( )g x 零点
2π1
xy  ( )y fx 图交点应图15
公点函数 ( )g x 15零点 — 高三文科数学(七)第 1 页( 4 页) —
高三第二轮复测试试卷
文科数学(七)


试卷分必做题选做题两部分．满分150 分考试时间120 分钟．
注意事项：
1．客观题题选出答案 2B 铅笔答题卡应题目答案标号涂黑需改动
橡皮擦干净选涂答案标号．观题 05 毫米黑色墨水签字笔答题卡书写
作答．试题卷作答答题效．
2．选做题二选先答题卡应选做题目标号涂黑没选择作答效．
3．考试结束监考员答题卡收回

．选择题： 12 题题 5 分 60 分题出四选项中项符合
题目求
1．已知全集 R 集合    R()0 R ( ) 0Axfx Bxg x   ( ) ( ) 0f x g x 解集
AAB B  RCAB C  RCAB D  RACB
2．已知复数 z 满足  1i 3 iz    复数 z 轭复数模
A 2 B 22 C 2 D1
3．已知命题 p 00 x 0sin 00  xx 命题 q nm 两条直线 面
m  m n n  ．列结正确
A qp  B qp 
C qp  D qp 
4．实数 yx 满足等式组






022
042
0
yx
yx
x

yxz  2 值
A1 B 4
C 2 D 4
5．执行图示程序框图输出 M 值
3 判断框中条件
A 6i B 7i C 8i D 6i
6．某学校解学生体情况初年级部分学生进行体测试学生测试成绩分
四类：A优秀B良C合格D
合格获成绩绘制成两辐完
整统计图（图）．学校准备分批
测试成绩合格学生加强体训练
第批男女例机抽取 6 名学生进
行训练已知初（3）班女生李
王体测试成绩合格．李王 — 高三文科数学(七)第 2 页( 4 页) —
抽概率
A
5
2 B
5
1 C
10
3 D
10
1
7．函数
xx
xy sin
cos6
 部分图象致
A B
C D
8． ABC 中D AC 点 π2 2 2 4AD DC AB BAC    E BD 中
点 BCAE
A
4
12  B
2
22  C
2
12  D
4
22 
9．已知数列 na 通项公式 152  nan 前 n 项 nS数列 na 前 n 项 nT
列结正确
① 8n 时 nn ST  ② 8n 时 72SST nn 
③ 8n 时 nn ST  ④ 8n 时 7STn 
A①③ B②④ C②③ D①④
10 ． 已 知 双 曲 线 1 2
2
2
2
 b
y
a
xC 焦 点 1 2F F P C 点 1 2
π
3FPF 
421 FF 1 2PFF 面积 3 双曲线C 渐线方程
A 03  yx B 03  yx C 02  yx D 02  yx
11．已知函数   xxaxxf 32
23  区间 51 单调函数 a 取值范围
A 72( ][0 )5   B 72( )(0 )5  C 72( 0)5 D 72[ 0]5
12．已知函数  2xf 图关点 02 称   0x 时    xfxfx  恒成立
3cos2cos1cos  cba 列结正确
A      bfafcf  B    cbfbcf  C    acfcaf  D    bafabf 

二．填空题：题 4 题题 5 分 20 分
13．函数
2
1
2
log (2 1)y xx  单调递减区间 ． — 高三文科数学(七)第 3 页( 4 页) —
14．已知 3(0 )sin π( )4 5π   cos ．
15．已知函数   sin( )( 0)6
πfx x    导函数  xf  区间 0 2π 仅 5 零点
 取值范围 ．
16．已知函数   xaxxxxf 1ln  直线 1 xy 两交点实数 a 取值范围
．
三．解答题：题 6 题 70 分 解答应写出文字说明证明程演算步骤．
（）必做部分
17．（题满分 12 分）已知正项数列 na 首项 21 a 满足 1
2
1
2 2   nnnn aaaa （ 2n
 Nn ）
（Ⅰ）求数列 na 通项公式
（Ⅱ） 122log  nn ab 求数列
1
1{ }
n nb b 
前 n 项 nT


18．（题满分 12 分） 图四棱锥 P ABCD 中 PA  面 ABCDABC
正三角形 AC BD 交点 M 恰 AC 中点
3 ABPACDAD  120CDA  
点 M 截面 EFGH 面 PCD．
（Ⅰ）求证：面 PBD 面 PAC
（Ⅱ）求四棱锥 ABEFH  体积





19．（题满分 12 分）某公司计划购买 1 台机器该种机器三年淘汰机器
易损零件购进机器时额外购买种零件作备件 200 元机器期间
果备件足购买 500 元现需决策购买机器时应时购买易损零件
搜集整理 100 台种机器三年期
更换易损零件数面柱状图
记 x 表示 1 台机器三年期需更换易
损零件数y 表示 1 台机器购买易损零件
需费(单位元) n 表示购机时购买
易损零件数
（Ⅰ） n19求 y x 函数解析式
（Ⅱ）求需更换易损零件数 n
频率 05求 n 值
（III）假设 100 台机器购机时台
购买 19 易损零件台购买 20 易损零件分计算 100 台机器购买易损零件需
费均数作决策购买 1 台机器时应购买 19 20 易损零件
— 高三文科数学(七)第 4 页( 4 页) —
20．（题满分 12 分）已知抛物线C：)0(22  ppyx 圆O： 1222  yx 相交 AB 两
点点 A 横坐标 22 F 抛物线C 焦点焦点直线l 抛物线C 相交两
点 NM
（Ⅰ）求抛物线C 方程
（Ⅱ）点 NM 作抛物线C 切线 1 2l l 0 0( )Px y 1 2l l 交点．求证：点 P 定直线





21．（题满分 12 分）已知函数   xxxf ln22   中 0
（Ⅰ）讨  xf 单调性
（Ⅱ） 1   axxf  恒成立求实数 a 取值范围





（二）选做部分
请考生第（22）（23）两题中选题作答果做做第题记分作答时
2B 铅笔答题卡选题目题号涂黑答案填答题卡．

22．（题满分 10 分）选修 44：坐标系参数方程
面直角坐标系中已知直线l 参数方程





ty
tx
34
2
13 （t 参数）曲线







sin
cos1 y
xC(
参数）伸缩变换





yy
xx 2 曲线 2C坐标原点 O 极点x 轴正半轴极轴建立极坐
标系．
（Ⅰ）求直线l 普通方程曲线 2C 参数方程
（Ⅱ） P 曲线 2C 点求点 P 直线l 距离．



23．（题满分 10 分）选修 45：等式选讲
（Ⅰ）设函数    542log2  xxxf 求函数  xf 定义域
（Ⅱ）已知 zyx 互相等正实数 1 zyx 求证： 9111  zyx


— 高三文科数学(七)第 5 页( 4 页) —

文科数学(七)参考答案
选择题（题 12 题题 5 分 60 分）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
答案 B Ａ Ｄ B B C Ａ B C Ａ C C
二填空题(题 4 题题 5 分 20 分)
13． 1 14．
10
2 15． 13 8[)6 3 16． 1(ln 2)4 
三解答题(题 6 题 70 分)
17．解析（Ⅰ）    022 111
2
1
2   nnnnnnnn aaaaaaaa
0na  nnn aaa  12 等数列
nn
na 222 1  
(Ⅱ)（Ⅰ） 12  nbn 设  1
1111 1()2 1 2 1 2 2 1 2 1nn
n n
ccbb nnnn
 



 








 



  12
1
12
1
5
1
3
1
3
112
1
21 nncccT nn 
1212
112
1





 n
n
n
18．解析(Ⅰ)证明： ABC 正三角形 M AC 中点
ACBD  PA  面 ABCD BDPA 
 BD 面 PAC
BD 面 PBD面 PBD 面 PAC
(Ⅱ) ABCD 中
 903060180DCB 1 CDAD
面 EFGH 面 PCD CDEF BCEF  — 高三文科数学(七)第 6 页( 4 页) —

4
5
2
130sin  CDBMMFEMEF
1 5 3 9 312 4 4 32ECDFS      
  3120sin12
134
3 22
ABCDS

32
323
32
393 ABEFS
面 EFGH 面 PCD ： PCEF 3 DM
BM
EC
BE
HP
BH
H 面 ABEF 距离 PA4
3

128
6934
3
32
323
3
1 ABEFHV
19．解析(Ⅰ) 19x  时 200 19 3800y  
19x  时 200 19 500( 19) 500 5700y x x  
y 关 x 函数解析式 3800 19
500 5700 19
x xNy
x x xN


  
  


(Ⅱ)柱状图知需更换零件数18频率 6+16+24 046100
19频率 24046+ 07100 n 值19
（III）台机器购机时够买19 易损零件100 台机器中 70 台购买零件
费3800 元 20 台费 4300 元10 台费 4800 元100 台机器购买易
损零件需费均数 1 3800 70+4300 20 4800 10) 4000100   （
台机器购机时购买 20 易损零件100 台机器中90 台购买零件费
4000 元10 台费 4500 元100 台机器购买易损零件需费均数
1 4000 90+4500 10) 4050100  （
较两均数知购买1台机器时应购买19易损零件

20．解析（Ⅰ）点 A 横坐标 22 点 A 坐标  222
代入 pyx 22  解 2p 抛物线C 方程 yx 42  — 高三文科数学(七)第 7 页( 4 页) —
(Ⅱ)抛物线
2
4
xC y 
2
xy  设    2211 yxNyxM
∴切线 PM 方程 1
1 1( )2
xyy xx 
2
1 1 2 4
x xy x 
理切线 PN 方程
2
2 2 2 4
x xy x 
联立点 P 1 2 1 22 4
x x xx 
  

设直线 MN 方程 1y kx  代入 2 4Cx y 2 4 4 0x kx  1 2 4xx 
点 P 直线 1y  结证

21．解析（Ⅰ）   x
x
xxxf )2(2
22   （ 0x ）
0 时   0 xf  xf  0 单调递减
0 时   2
200  xxf   xxf 
2
20 
 xf 2(0 )2
 单调递减 2( )2
  单调递增
(Ⅱ)设   xxxG ln1    xGxx
xxG  )0(1  10 单调递减
 1 单调递增     1ln01  xxGxG
1a 时       011ln 222  xxxxxxxaxxf 时符合题意
1a 时令 ax      0lnln222  aaaaaafaxxf 时符合题意
综述： 1a

22．解析（Ⅰ）





ty
tx
34
2
13 （t 参数） 036432  yx
直线l 普通方程 036432  yx — 高三文科数学(七)第 8 页( 4 页) —






yy
xx 2 代入曲线







sin
cos1 y
xC







sin
2
cos
y
x
曲线 2C 参数方程







sin
2
cos
y
x ( 参数）．
(Ⅱ)设 cos( sin )2P   P 直线l 距离
2cos( ) 4 6 33 cos sin 4 6 3 6
13
π
13
d
    
 
πcos( ) 16   时 max
6( 39 13)
13d 

23．解析（Ⅰ） 542  xx
2x 时等式化
2
1526  xx
2
1x
42  x 时等式化 52  时等式解
4x 时等式化
2
11562  xx
2
11x
综述：函数  xf 定义域 1 11( )( )2 2 
(Ⅱ)  1 1 1 1 1 1 xyzxyzxyzx y zxyzxyz x y z
         

3 yz xz xy
x y z
    
2 2 2 6yzxzxyyxyzzx
x y z xyzyxz
     1 1 1 9x y z  



— 高三文科数学(七)第 9 页( 4 页) —
高三文科数学（七）选择填空详细解析
1 B解析    ( ) ( ) 0 0 0fxgx fx gx   解集 RCA B
2 A解析   21 i 3 i 1 i 21 iz z zz  

3 D解析直角坐标系中作半径 1 圆（图）设 xAOP 

xxxxxxSSSAOAOPAOP tansintan12
112
1sin12
1   Ｔ扇形

(0 )2
πx π
2x  时 1 sπ in2x x  0sin0  xxx p 假 nm 两条
直线 面 m  m n n  n ． q 假选 D
4 B解析等式组表示行域（图）
yxz  2 点  40A 时
4min z
5 B解析执行程序知：
87
8log6
7log5
6log4
5log3
4log2
3log1
2log57 2222222
 Mi 时

8i 时 38loglog 22  MM时输出符合题意选 B
6 B解析统计图知：测试成绩合格学生数 10男女 5 现男女例机抽
取 6 名学生应机抽取女生 3 抽取结果 10 种中包含李王结果
3 种李王抽概率
10
3
7 A解析函数奇函数排 B C
2
π0x    
时 0cos0sin  xxx
排 D
8 B解析 ABC 中 E BD 中点
1 1 2( ) ( )2 2 3AE AB AD AB ACBC AC AB        
 



  ABACACABBCAE 3
2
2
1 — 高三文科数学(七)第 10 页( 4 页) —
2 21 1 1 1 1 1 2 2 2( ) ( ) 3 2 3 2 3 2 3 2 6 6 2 2AC AB AC AB AC AB ABAC              
9 C解析




 8
7
na
naa
n
n
n
8n 时   nnnn SaaaaaaT   2121
8n 时    nnn aaaaaaaaT   872121
    77211 22 SSaaaaa nn   选 C
10 A解析 1332cot 22
21
 bbbSFPF

3314242 222
21  abcaccFF
渐线方程 03
3
1  yxxy
11 C解析   33 2  axxxf 易  xf  开口   30 f
 xf  51 单调函数  
  05
72
05
01 




 af
f

12 C解析已知  xf 奇函数   0x 时     02 





x
xfxfx
x
xf
设    
x
xfxF    0x 时   0 xF  xF 偶函数
 xF  0 单调递增    xFxF 
 π0 π 3 1 π 2 cos π 3 cos1 cos π 2 02   
           cosπ 3 cos1 cosπ 2 cos3 cos1 cos2F FF FFF      
        
b
bf
a
af
c
cfbFaFcF  （ 000  cba ）选 C
13 1 解析    12
10112012 2  xxxxxx 设 12 2  xxt — 高三文科数学(七)第 11 页( 4 页) —
ty
2
1log 12 2  xxt 



  2
1 单调递减 1 单调递增 ty
2
1log
单调递减函数  12log 2
2
1  xxy 单调递减区间 1
14
10
2 解析   π π3π π 3 20 π ( ) sin( ) 4 4 4 4 5 2   
π π04 4      
π4 ππ 4 2 3 2 2cos( ) cos cos[( ) ]4 5 4 4 5 2 5 2 10    
15 3
8
6
13   解析设  xf   0 2π 零点 ix 仅 5 零点
9π π11π 13 82 2 6 2 6 3   


16 1( ln 2)4  解析原问题转化 )0(ln111 2  xxxxa 两等实根
设       
32
12ln111 x
xxxFxxxxF 
 xF  20 单调递增 2 单调递减   2ln4
12max  FxF
0x 时   xF x 时   xF
a 取值范围 1( ln 2)4 
— 高三文科数学(八)第 1 页( 4 页) —
高三第二轮复测试试卷
文科数学(八)
试卷分必做题选做题两部分．满分150 分考试时间120 分钟．
注意事项：
1．客观题题选出答案 2B 铅笔答题卡应题目答案标号涂黑需改动
橡皮擦干净选涂答案标号．观题 05 毫米黑色墨水签字笔答题卡书写
作答．试题卷作答答题效．
2．选做题二选先答题卡应选做题目标号涂黑没选择作答效．
3．考试结束监考员答题卡收回

．选择题： 12 题题 5 分 60 分题出四选项中项符合
题目求
1．集合 6{N| N}1A x x 
集合 6{N | N}1Bxx  
AB 
A．{0125} B．{1236} C．{3 46} D．{12}
2．命题意 2[12) 0xx a  真命题充分必条件
A． 4a  B． 4a  C． 1a  D． 1a 
3．欧拉公式 ie cos isinx xx （i 虚数单位）瑞士著名数学家欧拉发明指数函数
定义域扩复数建立三角函数指数函数关系复变函数里占非常重
位誉数学中天桥 πi4
i
e
表示复数位复面
A． 第象限 B． 第二象限 C． 第三象限 D． 第四象限
4．高二某班学生 60 名座位号分 01 02 03··· 60．现根座位号系统抽
样方法抽取容量 4 样．已知 03 号18 号48 号学样中样中
学座位号
A．31号 B．32 号 C．33 号 D．34 号
5．设量 a b  满足 2 3ab a b   2a b 
A． 6 B．3 2 C． 10 D． 4 2
6．函数 sinyx 图象左移 π
3
单位横坐标扩原 2 倍坐标扩原3
倍函数解析式
A． 3sin(2 )3
πyx B． 12sin(2 )3
π
3yx
C． 13sin π()2 3yx D． 1 23sin( )2
π
3yx
7．等数列{}na 中已知 1 1a  4 8a  3a 5a 分等差数列{}nb 第 2 项第6 项
数列{}nb 前7 项
A． 49 B． 70 C． 98 D． 140 — 高三文科数学(八)第 2 页( 4 页) —
8．衣柜里樟脑丸着时间会挥发体积缩刚放进新丸体积 a t 天体积天
数t 关系式： e k tV a    新丸50 天体积变 4
9 a 新丸体积变 8
27 a
需天数
A．75天 B．100天 C．125天 D．150天
9．执行图示程序框图输出 S 值
A． 3 B． 3 C． 0 D． 3
3

10．已知某体三视图图示网格纸
正方形边长 1该体体积
A． 16
3
B． 16 2
3

C． 16
D． 16 2
11． 锐 角 ABC 中 角 ABC 边 分 abc cos cos 23sin
3sin
BC A
bc C 
cos 3 sin 2B B  a c 取值范围
A． 3( 3]2
B． 3( 3]2 C． 3[ 3]2
D． 3[ 3]2
12． 已知 ( )f x 定义域(0 ) 导函数 ( )f x ( )( ) 1 lnf xfx xx  2(e) ef 
（中e 然数底数）
A．(2) 2 (1)f f B． 4 (3) 3 (4)f f
C． 0x  时 ( ) 0f x  D． 0x  时 ( ) e 0fx x 

二．填空题：题 4 题题 5 分 20 分
13．已知 1 7a a  1a a  ______．
14．已知实数 x y 满足约束条件
1 0
2 2
x y
x y
y a
 
  
 
目标函数 2z xy  值 5 a
值_______．
15．已知双曲线C
2 2
2 2 1( 0 0)x y a ba b   右焦点 F左顶点 A． F 圆心 FA
半径圆交C 右支 P Q 两点 APQ 角60 C 离心率_________．
16．函数 () sin cos sin cosfx x x xx   值_________． — 高三文科数学(八)第 3 页( 4 页) —
D
A
C M
E
B
M D
A B
C
三．解答题：题 6 题 70 分 解答应写出文字说明证明程演算步骤．
（）必做部分
17．(题满分 12 分)已知数列{ }na 满足： 1 2
11 2a a  意 *Nk  均
2[3 (1)] 2 2[(1) 1] 0k k
k ka a   ．
（Ⅰ）令 2 1n nb a  判断{ }nb 否等差数列求出 nb
（Ⅱ）记{ }na 前 n 项 nT求 20T．


18．(题满分 12 分)着中国济快速增长
民生活水逐步提升生育意愿进入行
通道出现口老龄化劳动力短缺等类
问题．某学口计划生育课题组调研
延迟退休年龄政策态度年龄15 ~ 65
岁群中机调查 100 调査数频率分布
直方图支持延迟退休数年龄统计结果
：

年龄 [15 25) [25 35) [35 45) [45 55) [55 65)
支持延迟退休数 15 5 15 28 17
（Ⅰ）统计数填 2 2 列联表判断否犯错误概率超 005 前提认 45
岁分界点群延迟退休年龄政策支持度差异
45 岁 45 岁 总计
支持
支持
总计
（Ⅱ） 45 岁分界点支持延迟退休中分层抽样方法抽取 4 参加某项活
动．现 4 中机抽 2 求抽 2 45 岁概率．

2
2 ( )
( )( )( )( )
n ad bcK a b c d a c b d
    




19．(题满分 12 分)图已知长方形 ABCD 中 2AB  2AD  M CD 中点．
ADM AM 折起四棱锥 D ABCM 点 E 棱 DB 中点．
（Ⅰ）求证：直线 CE 面 ADM
（Ⅱ）点 D 面 ABCM 射
影恰直线 AC 求空间体
DEACM 体积．




2
0( )PK K 0150 0100 0050 0025 0010
0K 2072 2706 3841 5024 6635 — 高三文科数学(八)第 4 页( 4 页) —
20．(题满分 12 分) 已知椭圆  
2 2
2 2 1 0x yC a ba b   离心率 3
2
左右焦点分
1F 2FM 椭圆异长轴端点点 1 2MF F 面积 3 ．
（Ⅰ）求椭圆C 标准方程
（Ⅱ）直线l 点  10P 点直线l 椭圆C 交点 AB否存直线
 0 0 0 2l x xx  点 AB 直线 0l 距离分 Ad Bd 满足 A
B
d PA
d PB 恒成立
存求 0x 值存说明理．



21．(题满分 12 分)已知函数 ( ) ( )ln 1f x x a x ax  ．
（Ⅰ） 1x  时 ( ) 0f x  求实数 a取值范围
（Ⅱ）求证： 1 1 1 1 ln( 1)3 5 7 2 1 nn  
*Nn ．




（二）选做部分
请考生第（22）（23）两题中选题作答果做做第题记分作答时
2B 铅笔答题卡选题目题号涂黑答案填答题卡．

22．（题满分 10 分）选修 44：坐标系参数方程
直角坐标系 xOy 中曲线C 参数方程 cos 3 sin (
sin 3cos
x
y
  
 
  
 
参数）坐标原点O 极
点 x 轴非负半轴极轴取相长度单位建立极坐标系直线 l 极 坐 标 方 程
πcos( ) 2( 00 2π)6     ．
（Ⅰ）求曲线C 直线l 直角坐标方程
（Ⅱ）求直线l 曲线C 交点极坐标．



23．(题满分 10 分)选修 45：等式选讲
已知函数 ()| 1||2 |f x x x a  Ra  ．
（Ⅰ） 0a  时求等式 ( ) 5f x  解集
（Ⅱ） ( ) 2f x  Rx  恒成立求a取值范围．



— 高三文科数学(八)第 5 页( 4 页) —

文科数学(八)参考答案
选择题（题 12 题题 5 分 60 分）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
答案 D B A C D C B A C A B D
二填空题(题 4 题题 5 分 20 分)
13． 3 5 14． 1
3 15． 4
3 16． 6
2

三解答题(题 6 题 70 分)
17．解析（Ⅰ）令 2 1k n  *Nn 21 2 1
21 2 1[3(1) ] 22[( 1) 1] 0nn
nnaa
   
化简 21 2 1224 0nnaa  21 2 1 2nnaa  ． 2 1nnb a  12 1nnb a
121 2 1 2nnnnbba a     {}nb 11 1b a  首项 2 公差等差数列
1 ( 1) 2 2 1nbnn      ．
（Ⅱ）令 2k n *Nn 22 2(3 1) 22(1 1) 0nnaa    2 2
2
1
2
n
n
a
a
 
246 a a a 2
1
2a  首项 1
2
公等数列
（Ⅰ）知 1352 1 na a a a  1 1a  首项 2 公差等差数列．
20 1319 2420( )( )Taa aaa a       
1011[(1 ( ) ]10 9 22[10 1 2] 12 1 2
  


10
1101 2  ．

18．解析（Ⅰ）频率分布直方图知 45 岁 45 岁 50
2 2 列联表：
45 岁 45 岁 总计
支持 35 45 80
支持 15 5 20
总计 50 50 100
列联表
2
2 100 (35 5 45 15) 625 384150 50 80 20K       

犯错误概率超 0．05 前提认 45 岁分界点群延迟退休年龄
政策支持度差异
(Ⅱ)设抽取 4 中45 岁记 1 2 3a a a 45 岁记b 中选两
1 2a a 1 3a a 1a b 2 3a a 2 a b 2 a b 6 种中 2 45 岁— 高三文科数学(八)第 6 页( 4 页) —
1 2a a 1 3a a 2 3a a3 种求概率 1
2
．

19．解析(Ⅰ)设线段 AD 中点 F连结 EF MF EF MC
∴四边形 EFMC 形四边形∴ FM EC ．
FM  面 ADMCE  面 ADM
直线 CE 面 ADM
（Ⅱ）连结 AC BD AC BD O AM BD N
AB AD
AD DM RT ADM ～ RT BAD ∴ 90ADB DAM DMA DAM    
∴ 90DAN  DB AM ．
∵点 D 面 ABCM 射影恰落直线 AC ∴点 D 面 ABCM 射影O．
∵ 2 1AD DM  ∴ 3AM  ∴ 6
3DN  ．
6
2DO  ∴ 6 6 6
2 3 6NO    ∴ 2 2 2 26 6 2( )( )3 6 2DO DM NO    ．
∴ 1 3 2 2 1 2 123 2 2 3 4 3DEACM D ABCM E ABCV V V     ．


20．解析（Ⅰ）设椭圆焦距  2 0c c  1 2MF F 面积 3 3bc 
已知条件
2 2 2
3
2
3
c
a
bc
a b c
 
 
  

解
2
1
3
a
b
c
 
 
 
椭圆C 标准方程
2
2 14
x y 
（Ⅱ）直线l x 轴重合时设直线l 方程 1x my  设点  1 1Ax y  2 2Bx y
直线l 方程椭圆方程联立 2
2
1
14
x my
x y
   
消 x 整理 2 24 2 3 0m y my  
D
A
C M
E
B
M D
A B
C
F
O
N
O
N — 高三文科数学(八)第 7 页( 4 页) —
   2 2 24 12 4 16 3 0mm m    韦达定理 1 2 2
2
4
my y m  

1 2 2
3
4y y m 
．A
B
d PA
d PB 0 1 1
0 2 2
x x y
xx y
  0 1 1
0 2 2
1
1
x my y
xmy y
   
整理
21 2
0
1 2
2
32 ( )2 41 1 42
4
mmy y mx my y
m
      

直线l x 轴重合时直线l 椭圆C 交点左右顶点设点  20A  20B 
1
3
PA
PB  0
0
2
2
A
B
xd
d x
  A
B
d PA
d PB 0
0
2 1
2 3
x
x
  解 0 4x  ．
综述存直线 0 4l x  A
B
d PA
d PB ．

21．解析（Ⅰ）∵ 1x  时 ( ) 0f x  ∴必 (1) 1 0f a  
1a  ．( ) ln 1fx x a ax   令 () ()gx fx  2
1( ) 0ag x x a
xx x
  
∴ ( )f x (1 ) 单调递增∴ ( ) (1) 1fx f  
∴ ( )f x (1 ) 单调递增 ( ) (1) 1 0f x f a  成立．综分析 1a  ．
（Ⅱ）（1） 1a  时 ( ) ( 1)ln 1 0fx x xx  1ln 1
xx x
 
1x  恒成立
令 1nx n

1 11 1ln 1 2 11
n
n n
nn n
n
    
ln( 1) l 1n 2 1n n n  
．
∴ 1ln 2 ln1 2 1  
1ln 3 ln 2 5 1  
 1ln( 1) ln 2 1n n n  

累加 1 1 1ln( 1) ln1 3 5 2 1n n     

1 1 1 1 ln( 1)3 5 7 2 1 nn  
*n N 命题证．

22．解析（Ⅰ） 2 2 2 2(cos 3sin ) (sin 3 cos ) 4x y      
曲线 2 2 4Cx y  ．直线l 极坐标方程展开 3 1cos sin 22 2   
l 直角坐标方程 3 4 0x y   ．
（Ⅱ）曲线C 极坐标方程 2  代入直线l 极坐标方程 3 1 cos sin 22 2    — 高三文科数学(八)第 8 页( 4 页) —
3 cos sin 2   πcos( ) 16   11π
6 
直线l 曲线C 交点极坐标 11π(2 )6
．

23．解析（Ⅰ） 0a  时 ()| 1||2 || 1||2|fxx xax x  ．
( ) 5f x  
1
3 1 5
x
x

  
1 0
1 5
x
x

 
 

0
3 1 5
x
x

  

2 1x  1 0x   40 3x   42 3x  
等式解集 4[ 2 ]3
（Ⅱ） ()| 1||2 || 1|| ||1 |2 2
a afxx xax x    仅
2
ax  时取等号
() ( )|1 |2 2min
a afx f  ．( ) 2f x  x R  恒成立
|1 | 22
a   2a  6a 
a 取值范围( 2] [6 )  ．


























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高三文科数学（八）选择填空详细解析
1．D解析 {0125}A  {1236}B  A B  {12}A B  ．
2．B解析命题等价条件： 2
max( )a x 4a  ．A 充条件CD 必充分条
件 B 充分必条件．
3． A解析 πi4
i i ππ 2 2i(cos isin ) iπ π 4 4 2 2cos isine 4 4
  
 ．
4． C解析抽取样号成公差 15 等差数列：03183348选 C．
5． D解析已知 2( ) 2 9 2 9a b a b      2a b  
2| 2| ( 2) 436842a b a b      ．
6． C解析 π 1 π 1 πsin sin( ) sin( ) 3sin( )3 2 3 2 3yxyx y x y x     ．
7． B解析等数列{ }na 中 1 1a  4 8a  2q  3 4a  5 16a  2 4b 
6 16b  1 7 2 6
7
7( )7( ) 7(4 6) 702 2 2
b b b bS       选 B．
8． A解析题意 504 e9
ka a  解 25 2e 3
ka   令 8e 27
kta a 
3 25 3 752e () (e ) e3
kt t t   需天数 75 天．
9． C解析次循环步长 3进行 674 次循环次循环产生周期数列：
3 3 3 3  中项输出前 674 项 0．
10． A解析三视图知该体三棱锥记
三棱锥 A BCD 放棱长 4 正方体中图示
2 2 4AD BC BD  AD BDAD BC 
BC BD AD  面 BCD
三棱锥 A BCD 体积
1 1 1 162 2 2 2 43 3 2 3ABCD BCDV AD S      ．
11．B解析 cos cos 23sin
3sin
BC A
bc C  cos cos sin cos sin cos
sin
cBbC CB BC
bc bC
 
sin( ) sin 2 3 sin
sin sin 3sin
BC A A
bCbC C
   解 3
2b  ． πcos 3 sin 2sin( ) 26B B B  
∴ π π
6 2B   π
3B  1sin
b
B  ．∴ 2π
3A C  2π π0 3 2C A  π0 2A 
π π
6 2A  ∴ sin sinac A C  
2π 3 3 πsin sin( ) sin cos 3sin( )3 2 2 6A AA A A    ∵ π π
6 2A  ∴ π π 2π
3 6 3A   — 高三文科数学(八)第 10 页( 4 页) —
∴ 3 πsin( ) 12 6A  ∴ 3 π3 sin( ) 32 6A  3( 3]2a c  ．
12．D解答构造函数 ( )( ) f xg x x 2
( ) ( ) 1 ln( ) xfxfx xg x x xx
   两边积分
21( ) ln (ln )2gx x xc  2(e) ef  (e) 1(e) ee 2
fg C  1e 2C  
21 1() (ln) ln e2 2gx x x   令 lnt x 二次函数 21 1e2 2y tt  称轴
1t  ex  图象开口 (2) (1)g g (2) (1)
2 1
f f (2) 2 (1)f f A 项
错误
(3) (4)g g 4 (3) 3 (4)f f B 项错误根开口二次函数图象知 0x 
时 ( ) 0f x  正确C 项错误
0x  时 ( ) e 0fx x  成立需 ( ) e 0f x
x   成立
显然二次函数 21 1e2 2y tt  称轴 1t  处取值e 明显 ( ) e 0f x
x   成立
D 项正确．
13． 3 5 解析 1 2 1 2( ) ( ) 4 45a a a a    1a a  3 5 ．
14． 1
3
解析作出等式应面区域图
( 1 )B a a   2 2 (0 1)Da aC 
2z xy  2y xz 
图象知直线 2y xz  点 D 时
直线 2y xz  截距时 z 5
2(2 2) 5a a  1
3a  ．
15． 4
3
解析图设左焦点 1F圆 x 轴交点 B APQ 角60
30PAF   60PBF PF AF ac   
1 3PF a c  1PFF 中余弦定理
2 o2 2
1 1 12 cos120PF PF FF PF FF    ．
2 2 2 43 4 0 3 4 0 3caca ee e   ．


16． 6
2
解析令 sin cosx xt 
21sin cos 2
tx x 
21() () 2
tfx gt t  
21 1 1sincos sin2 [0]2 2 2
txx x   [ 11]t   ． — 高三文科数学(八)第 11 页( 4 页) —
方法：∵
2
2 2 21 1 3( ) ( 1 )(1 )2 2 2
tt tt   ∴
21 6
2 2
tt   ( )f x 值
6
2
时 6
3t  ．
方法二： 2
1( ) 1 21
2
tg t
t
  
 易知 6[ 1 ]3t   时 ( ) 0g t  函数 ( )g t 单调递增
6[ 1]3t  时 ( ) 0g t  函数 ( )g t 单调递减．∴ max
6 6() ()3 2f x g  ．

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