21
1三角形角定理
三角形角定理：三角形三角等 180°．
三角形角定理推：
三角形外角等相邻两角．
2边形角外角
边形角：n 边形角公式 ()180 2n°× −
边形外角：n 边形外角360°．
3边形镶嵌
重叠摆放边形面部分完全覆盖做面镶嵌镶嵌密铺．
注意：种图形拼接缝隙重叠
（1）果研究正边形顶点落正边形边情况种情况
正边形边长必须相等镶嵌间隙重叠顶点处正
边形角 360°种正边形镶嵌种正边形组合起镶
嵌满足述两条件．
（2）形状完全相意三角形镶嵌成面图形．
（3）形状完全相意四边形镶嵌成面图形．
第讲
三角形边形综合
角度计算模型
三角形边
课程预览
1
2
板块 角度计算模型
知识梳理43
4常见角度模型
图△ ABC 中点 D BC 边点 50B∠ ° 30BAD∠°△ ABD
AD 折叠△ AEDAE BC 交点 F．
（1）填空： AFC∠______ 度
（2）求∠ EDF 度数．
图△ ABC 中MN 分 ABAC 边点BNCM 相交点 O 70A∠ °
38ACM∠° 26ABN∠°求：∠ BMC ∠ BOM 度数．
图示△ ABC 中 1
2B BAC∠∠△ ABC 外角分线交 BC 延长线点 D
1
3ADC CAD∠∠求∠ B 度数．
已知：图点 E AC 点 F AB BECF 交点 O 2CB∠∠
∠ BFC ∠ BEC 20°求∠ C 度数．
例1
例2
变式 1
典型例题
题型 1 角度计算
变式 165
已知副三角板 ABE ACD．
（1）两三角板图（1）放置连 BD计算 12∠ +∠ ______．
（2）图（1）中三角板 BAE 绕点 A 时针旋转锐角 α
①α ______ 时AB ∥ CD图（2）计算 12α +∠ +∠ ______．
② 45α ° 时图（3）计算 12α +∠ +∠ ______．
③旋转程中 B 点直线 CD 方时图（4）α∠ 1∠ 2 间
数量关系否会发生变化什？
④ B 点运动直线 CD 方时图（5）α（∠ CAE）∠ 1∠ 2 间数量
关系否会发生变化试说明结？
（1）图△ ABC 中 1 2∠∠ 3 4∠∠ 36D∠°∠ C 度数 ______．
（2）图AD ⊥ BD垂足 DAE 分∠ BAC
① 30B∠ ° 20DAC∠°求∠ AED 度数
② Bx °∠ ACB y °∠ 求∠ AED 度数．
图△ ABCAD 高线AEBF 角分线相交点 O 50BAC∠°
62C∠ °求∠ DAC∠ BOA 度数．
例3
例4
变式 1
题型 2 角分线相关角度计算87
图△ BCD 中BE 分∠ DBC 交 CD F延长 BC GCE 分∠ DCG
ECDB 延长线交 A 点 33A∠ ° 63DFE∠°．求∠ E 度数．
图△ ABC 中 60A∠ °BDCD 分分∠ ABC∠ ACBMNQ 分
DBDCBC 延长线BECE 分分∠ MBC∠ BCNBFCF 分分
∠ EBC∠ ECQ F∠______．
知道围绕点拼起边形角 360°时够拼成
面图形．某校研究性学组研究面密铺问题中探究两种边长相等
正边形做面密铺情形时方法：
果 x 正三角形y 正六边形进行面密铺 60 120 360xy+化简
26xy+． xy 正整数 2x 2y 4x 1y 时式成立
2 正三角形 2 正六边形 4 正三角形 1 正六边形拼成缝隙
重叠面图形图（1）（2）（3）．
（1）请仿面方法研究边长相等 x 正三角形 y 正方形进行面密铺
情形图（4）中出正方形正三角形致画出密铺图形
示意图（画出种图形）
（2）果形状相图（5）方格纸中三角形进行面密铺？
请方格纸中画出密铺设计图．
变式 1
例6
例5 题型 3 镶嵌109
1三角形三边关系：意△ ABC果中意两顶点成定点（假设 BC
定点）两点间线段短： AB AC BC+>．
理： AB BC AC+> AC BC AB+>．
：三角形意两边第三边．
推：三角形意两边差第三边．
2边形：果边形 n 条线段组成边形做 n 边形．
n 边形角线条数： ()()3 32
nn n
− ≥ ．
注：边相等角相等边形做正边形（regular polygon）．
（1）△ ABC 中 AB AC 边中线△ ABC 周长分 24 18 两部分
求三角形三边长．
（2）已知 abc 三角形三条边长
化简： abc bac cab−−+−−−−+．
（3）长度分 2345（单位：cm）4 根细木棒摆成三角形（允许连接
允许折断）问拼成少三角形？
长度 24 根铝丝折成边均正整数三角形三角形三边分记 ab
c abc≤≤请写出满足题意 abc．
例8
例7
板块二 三角形边
知识梳理
典型例题
题型 2 三角形三边关系
题型 1 三角形边1211
已知 4 条线段总长度 48cm第条线段长 acm第二条线段第条线段
2 倍 3cm第三条线段长等第二两条线段．
（1）含 a 代数式表示第四条线段长
（2） 8
3a 时 4 条线段首尾相接构成四边形？什？
（3）已知 a 整数果 4 条线段首尾相接构成四边形请直接写出满足
述条件 a 值．
图示已知 O △ ABC 点说明OA OB OC++ AB BC CA++间
关系．
面直角坐标系中四边形 ABCD 坐标分： ()11A − ()0 4B − ()20C
()03D ．求证：CD CB AD AB+> +．
1．已知：图△ ABC 中 70A∠ ° 48ABC∠°BD ⊥ AC DCE ∠ ACB 分线
BD CE 交点 F求∠ CBD∠ EFD 度数．
2 图AD △ ABC 中线BE △ ABD 中线．
（1） 15ABE∠° 40BAD∠°求∠ BED 度数
（2）作图：△ BED 中作 BD 边高垂足 F
（3）△ ABC 面积 60 6BD △ BDE 中 BD 边高少？
例9
变式 1变式 1
堂练1413
图已知△ ABC．
（1）请 BC 边分取两点 DE（BC 中点外）连接 ADAE写出
图中存两面积相等三角形相应条件表示出面积相等三角形
（2）请根（1）成立相应条件证明 AB AC AD AE+>+．
已知△ ABC0 填空：
（1）图（1）中 D1E1 分 ABBC 中点阴影部分△ ABC 面积
等 ______
（2）图（2）中 D1D2 分 AB 三等分点E1E2 分 BC 三等分点
阴影部分△ ABC 面积等 ______
（3）图（3）中 D1D2D3 分 AB 四等分点E1E2E3 分 BC
四等分点阴影部分△ ABC 面积等 ______
（4）图（4）中 D1D2D3⋯D8 分 AB 九等分点E1E2E3⋯E8
分 BC 九等分点阴影部分△ ABC 面积等 ______．
1．图△ ABC 中AD △ ABC 高AE △ ABC 角分线．已知 82BAC∠°
40C∠ °求∠ DAE ．
2．三角形三条边长分 71012x− x 取值范围 ______．
典型例题
压轴突破
1*
2*
作业1615
1 全等形：够完全重合两图形做全等形．图形移翻折旋转位置变化
形状没改变移翻折旋转图形原图形全等．应关系：两
全等边形重合起公点做应顶点公边做应边公角做应角．
2全等三角形：够完全重合两三角形做全等三角形．
表示两三角形全等时符号≌：△ ABC≌△ DEF 读作三角形 ABC
全等三角形 DEF．
注：记两三角形全等时必须表示应顶点字母写应位置．
果△ ABC △ DEF 全等记作△ ABC≌△ DEF ：
应点：点 A 应点点 D点 B 应点点 E点 C 应点点 F
应边：边 AB 应边 DE边 BC 应边 EF边 AC 应边 DF
应角： A∠ 应角 D∠ B∠ 应角 E∠ C∠ 应角 F∠ ．
3全等三角形性质：全等三角形应边相等全等三角形应角相等．
注：根全等形定义全等三角形重合全等三角形周长面积相等
时应边高相等应角角分线相等应边中线相等．
第二讲
三角形全等性质判定综合
三角形全等概念性质
三角形全等判定
二次全等辅助线
课程预览
1
2
3
板块 三角形全等概念性质
知识梳理1817
列说法正确（ ）
①张相纸洗出 10 张 1 寸相片全等形②国国旗 4 颗五角星全
等形③正方形全等形④全等形面积定相等
A．1 B．2 C．3 D．4
（1）图已知△ ACE ≌△ DFB列结中正确数（ ）
① AC DB ② AB DC ③ 12∠∠ ④ AE ∥ DF⑤ ACE DFBSS
⑥ BC AE ⑦ BF ∥ EC．
A．4 B．5
C．6 D．7
（2）三角形三边 25x三角形三边 y26两三角形全等
xy+______．
图示△ ABC ≌△ ADEBC 延长线交 DA F交 DE G
105ACB AED∠∠° 15CAD∠° 30BD∠∠ °∠ 1 度数 ___ 度．
图 6 边长相等正方形组合图形 123∠ +∠ +∠ （ ）
A．90° B．120° C．135° D．150°
1全等三角形判定 SSS：三边应相等两三角形全等（简写成边边边SSS）．
2全等三角形判定 SAS：两边 ___________ 应相等两三角形全等（简写
边角边SAS）．
3全等三角形判定 ASA：两角 ____________ 应相等两三角形全等（简
写成角边角者ASA）．
4全等三角形判定 AAS：两角中角 _____________ 应相等两三角形全等
简写成角角边（写作AAS）．
5全等三角形判定HL：斜边条直角边应相等两直角三角形全等简写成斜
边直角边（写作HL）．
例1
例2
变式 2
变式 1
题型 1 全等三角形性质
A D
E
F
B
C2
1
板块二 全等三角形判定
知识梳理2019
图已知△ ABC 中 AB AC AD 分∠ BAC请补充完整程说明
△ ABD ≌△ ACD 理．
证明：∵ AD 分∠ BAC
∴ ______ ______∠∠（角分线定义）
△ ABD △ ACD 中
∵
______________( )
______________( )
______________( )
∴△ ABD ≌△ ACD______．
图 AB AE 12∠∠ CD∠∠．
求证：△ ABC ≌△ AED．
已知：图点 C 线段 AB 中点CE CD ACD BCE∠∠．
求证：△ AEC ≌△ BDC．
图已知AB ∥ DC AB DC AE CF ．求证：△ ABF ≌△ CDE．
图△ ABC 中 90ACB∠° AC BC BE ⊥ CE 点 E．AD ⊥ CE 点 D．
求证：△ BEC ≌△ CDA．
图△ ABC 两条高 ADBE 相交 H AD BD ．
试说明△ BDH ≌△ ADC．
变式 1
题型 1 五种判定
典型例题
例5
例3
例4
变式 1
A
B CD
A BC
D E
D C
A B
E
F
AC
B
E
D
变式 22221
图AB ∥ CDAD ∥ BCOE OF 图中全等三角形 _____ ．
列命题中：
（1）形状相两三角形全等形
（2）两全等三角形中相等角应角相等边应边
（3）全等三角形应边高中线应角分线分相等
中真命题数（ ）
A．3 B．2 C．1 D．0
1（1）已知两边
SAS
HL
SSS
→
→
→
找夹角
找直角
找边
（2）已知边角
AAS
ASA
AAS
SAS
→→
→ → →
边角边 找意角
找条边角
边角条边 找条边角
找该角边
（3）已知两角 ASA
AAS
→
→
找两角夹边
找意边
2二次全等：时想证明结直接利题目中已知条件够直接证明出三角
形全等时需利已知条件证明某三角形全等利全等三角形性质推出某边
者角相等然利新出相等条件证明结．
3辅助线：①直接连接两点②做高
变式 1
例6
板块三 二次全等辅助线
知识梳理
A
B C
D
E
F
O2423
图AFEB 四点线AC ⊥ CEBD ⊥ DF AE BF AC BD ．
求证：△ ACF ≌△ BDE．
求证：全等三角形应边中线相等．
图CB CD BD∠∠求证： AB AD ．
已知： DB DC BAD CAD∠∠求证： AB AC ．
图点 E 正方形 ABCD 点 DCE ABE∠∠．
求证：△ ABE ≌△ DCE．
1 列语句：①面积相等两三角形全等②两等边三角形定全等图形③果两
三角形全等形状定相 ④边数相图形定互相重合．中错误
说法（ ）
A4 B 3 C 2 D 1
2 图△ ABC 中点 A 坐标()01 点 C 坐标()43
果△ ABD △ ABC 全等点 D 坐标 ______．
例8
例9
例7
变式 1
变式 1
题型 1 二次全等
题型 2 辅助线
典型例题
A
B
C
D
A
B C
D
A
B C
D
E
堂练2625
3 图∠ A∠ D 直角AC DB 相交点 EBE EC 相等．
求证：△ ABC ≌△ DCB．
已知图四边形 ABCD 中AD ∥ BC AB CD 求证： BC∠∠．
图D △ ABC 外点 DAB B∠∠CD ⊥ AD 12∠∠ 7AC 4BC
求 AD 长．
2*
1*
典型例题
压轴突破2827
1 图：点 ABCD 条直线 AB CD AE ∥ BFCE ∥ DF．求证： AE BF ．
2 图四边形 ABCD 中 AB DC 延长线段 CB E BE AD 连接 AEAC
AE AC 求证：
（1）△ ABE ≌△ CDA
（2）AD ∥ EC．
作业
第三讲
三角形全等辅助线常技巧
倍长中线
截长补短
课程预览
1
22827
1 图：点 ABCD 条直线 AB CD AE ∥ BFCE ∥ DF．求证： AE BF ．
2 图四边形 ABCD 中 AB DC 延长线段 CB E BE AD 连接 AEAC
AE AC 求证：
（1）△ ABE ≌△ CDA
（2）AD ∥ EC．
作业
第三讲
三角形全等辅助线常技巧
倍长中线
截长补短
课程预览
1
23029
1．倍长中线 ：中线三角形中重线段利中线解决问题时常常采倍长
中线方法添加辅助线．
谓倍长中线三角形中线延长倍便构造出全等三角形运全等三角
形关知识解决问题方法．
倍长中线重点延长中线倍完成 SAS 全等三角形模型构造．
做法：延长 AD 点 E AD DE 连接 BE．
△ ADC ≌△ EDB（SAS）
2．倍长类中线：
时需倍长线段中线中点．倍长样完成 SAS 全等三角形构造．
做法：延长 ED 点 F ED DF 连接 CF．
△ BDE ≌△ CDF（SAS）
图△ ABC 中D BC 中点．
（1）求证： 2AB AC AD+>
（2） 5AB 3AC 求 AD 取值范围．
图已知△ ABC 中AD 分∠ BAC 交 BC D D BC 中点
求证： AB AC ．
图CECB 分△ ABC △ ADC 中线
ACB ABC∠∠ AB AC ．求证： 2CD CE ．
例2
例1
变式 1
题型 1 倍长中线
板块 倍长中线
知识梳理
B
A
CD
E
A
B CD
A B D
C
E3231
等腰三角形性质：等腰三角形两底角相等．请利性质证明：
图△ ABC 中D BC 边中点E AD 点 BE AC BE 延长线交
AC F求证： AEF EAF∠∠．
图△ ABC 中AD 交 BC 点 D点 E BC 中点EF ∥ AD 交 CA 延长线
点 F交 EF 点 G． BG CF 求证：AD △ ABC 角分线．
图AD △ ABC 中线∠ ADB ∠ ADC 分线分交 ABAC 点 EF．求证：
BE CF EF+>．
图梯形 ABCD 中AD ∥ BC点 E BC AE BE 点 F CD 中点
AF ⊥ EF 27AD 4AF 5AE ．求 CE 长．
例4
例3
变式 1
变式 1题型 2 倍长类中线
A
B D C
F
E
A
B C
F
E D
G
A D
B CE
F
A
E F
B D C3433
截长补短：条件者结中出现两条线段（差）等第三边时候考虑
截长补短解决问题．
图AD ∥ BC点 E 线段 AB ADE CDE∠∠ DCE ECB∠∠．求证：
CD AD BC + ．
已知：AC 分 BAD∠ CE AB⊥ 180BD∠ +∠ °．求证： ()1
2AE AB AD + ．
图示P 等腰 ΔABC 底边 BC 意点 PD AB⊥ D PE AC⊥ E
CF 腰 AB 边高证明： PD PE CF+．
五边形 ABCDE 中 AB AE BC DE CD+ 180ABC AED∠ +∠ °
求证：AD 分∠ CDE．
图正方形 ABCD 中E BC 点F CD 点 BE DF EF+求
∠ EAF 度数．
板块二 截长补短
知识梳理
例6例5
变式 2
变式 3
变式 1
典型例题
题型 1 截长补短 题型 2 截长补短
A
B
C
D
E
A B
C
D
E
A
B C
D
E
F3635
已知△ ABC 中 60A∠ °BDCE 分分∠ ABC ∠ ACBBDCE 交点 O
试判断 BECDBC 数量关系加说明．
已知：图ABCD 正方形 FAD FAE∠∠．求证： BE DF AE+．
1．图四边形 ABCD 中AD ∥ BC点 E CD 中点BE 延长线 AD 延长线相交点 F．
求证： BE FE ．
2．图 AB AE AB ⊥ AE AD AC AD ⊥ AC点 M BC 中点求证： 2DE AM ．
3．已知：图△ ABC 中点 E BC 中点点 E 垂线∠ A 分线 AD 相交点 D
点 D 作 DF 垂直 AC 交 AC 延长线点 F．
求证： 2AB AC CF− ．
例7
变式 1
A
B C
D
E
O
堂练
A
B C
E
FD
A
C
F
D
E
B
A
B E C
D
F3837
图△ ABC 中 AB AC 点 D AB 点 E AC 延长线DE 交 BC F
DF EF 求证： BD CE ．
图已知△ ABC 60BAC∠° 40C∠ °PQ 分 BCCA
APBQ 分∠ BAC∠ ABC 角分线．
求证： BQ AQ AB BP++．
1．已知图△ ABC 中 60BAC∠°AD 分∠ BAC AC AB BD + 求∠ B 度数．
（提示：等腰三角形两底角相等）
2．图△ ABC 中 AB AC> 12∠∠ P AD 意点．
求证： AB AC PB PC− >−．
１*
２*
典型例题
压轴突破
A
B
C
P
Q
作业4039
理前提：等腰三角形性质：等腰三角形两底角相等．
等腰三角形判定：两底角相等三角形等腰三角形．
等边三角形性质：等边三角形三边相等角 60°．
模型特点：两等顶角等腰三角形组成顶角顶点公顶点
结：（1）△ ABC ≌△ AEC
（2） DOCα ∠∠
（3）OA 分∠ BOC．
变形：
第四讲
三角形全等模型
手拉手模型
角分线模型
半角模型
课程预览
1
2
3
板块 手拉手模型
知识梳理
AB
E
D
Cα
O4241
图锐角△ CDE 边 CDDE 边长外分作正方形 ABCD DEFG连接
AE CG交点 HCG DE 交点 K．
（1）求证： AE CG
（2）求∠ CHE 度数．
图甲△ ABC 中∠ ACB 锐角．点 D 射线 BC 动点连接 AD AD
边 AD 右侧作等腰直角三角形 ADE
45ADE AED∠∠° 90DAE∠° AD AE ．解答列问题：
（1）果 AB AC 90BAC∠° 45ABC ACB∠∠°．
①点 D 线段 BC 时（点 B 重合）图乙线段 CEBD 间位置
关系 ___数量关系 ___．（证明）
②点 D 线段 BC 延长线时图丙①中结否然成立什？
（2）果 AB AC≠ 90BAC∠ ≠°点 D 线段 BC 运动．
试探究：△ ABC 满足什条件时CE ⊥ BD（点 CE 重合外）？画出
相应图形．
图 1△ ABC △ ADE 等边三角形．
（1）求证： BD CE
（2）求 BD CE 夹角度．
果两等边三角形△ ABD △ BCE连接 AE CD证明：
（1）AE DC 夹角 60°
（2）AE DC 交点设 HBH 分∠ AHC．
例2
例1
变式 1
变式 1
题型 1 等腰全等
E
A
B C
D
A
B
C
E
D
H
A
B C
D
E
F
G
H
K4443
图已知△ ABC 中 AB AC 90BAC∠°点 D BC 中点点 EF 分
直线 ABAC 运动始终保持 AE CF ．
（1）图①点 EF 分线段 ABAC 求证： DE DF DE DF⊥
（2）图②点 EF 分线段 ABCA 延长线（ 1）中结否然成立？
说明理．
角分线辅助线：角分线辅助线通常 3 种图示：
终目角分线两边构成三角形全等．
图示已知 12∠∠ 180BAP BCP∠ +∠ °P BN 点 PD ⊥ BC 点 D
求证 2AB BC BD+ ．
例3
题型 1 双高
题型 2 全等等腰
板块二 角分线模型
知识梳理
典型例题
A
B D C
P
N
F
1
2
例44645
图△ ABC 中AD A∠ 分线 36BAD∠°EF 分 ABAC 点
108EDF∠°求证： DE DF ．
△ ABC 中AD ∠ BAC 外角分线P AD 意点试较 PB PC+
AB AC+ 说明理．
已知图AD △ ABC 角分线P AD 异点 A 意点连接 PB
PC试较 PB PC− AC AB− 说明理．
例5
变式 1 变式 1
题型 2 称
A
B CD
F
E
A
B C D
P
A
B D C
P4847
已知：正方形 ABCD 中 45MAN∠°∠ MAN 绕点 A 时针旋转两边分交
CBDC（延长线）点 MN．
（1）∠ MAN 绕点 A 旋转 BM DN 时（图 1）易证 MN BM DN + ．
（2）∠ MAN 绕点 A 旋转 BM DN≠ 时（图 2）线段 BMDN MN 间
样数量关系？写出猜想加证明．
（3）∠ MAN 绕点 A 旋转图 3 位置时线段 BMDN MN 间样
数量关系？写出猜想加证明．
半角模型满足条件：
（1）点两相等边
（2）顶点两角满足角角半关系
常见条件：
（3）四边形角互补
图示：
正方形 ABCD 中 45MAN∠°交角线 BD E F 交 BC M 交CD N ．：
（1） BM DN MN+
（2） CMN△ 周长正方形边长 2 倍
（3） AMB AMN∠∠
（4） AND ANM∠∠
（5）点 A MN 距离等正方形边长
例6
题型 1 半角模型
板块三 半角模型
知识梳理
F
E
M
N
B C
A D
典型例题
A
B C
D
M
N
A
B C
D
M
N
A
B C
D
M
N
图 1 图 2
图 35049
图正方形 ABCD 边 OAOC 坐标轴点 B 坐标 (6 )6 正方形 OCBA
绕点 C 逆时针旋转角度锐角度数 α正方形 DCFEED 交线段 AB 点 G
ED 延长线交线段 OA 点 H连 CHCG．
（1）求证：△ CBG ≌△ CDG
（2）求出∠ HCG 学出 HGOHBG 间数量关系．
等边△ ABC 两边 ABAC 直线分两点 MN．D △ ABC 外点
60MDN∠° 120BDC∠°BD DC ． 探究： MN 分直线 ABAC 移动时
BMNCMN 间数量关系△ AMN 周长 Q 等边△ ABC 周长 L 关系．
（1）图 1 示点 MN 边 ABAC DM DN 时BMNCMN
间数量关系 _______________ 时 Q
L
_____
（2）图 2 示点 MN 边 ABAC DM DN≠ 时猜想（1）问两
结成立？写出猜想加证明
（3）图 3 示 MN 分边 ABCA 延长线时 2AN Q ___（
含 L 式子表示）．
（1）图四边形 ABCD 中 AB AD 90BD∠∠ °EF 分边 BC
CD 点 1
2EAF BAD∠∠．求证： EF BE FD +
例7
变式 1
变式 1
O H A
C
F
E
G
B
D
x
y
A
B C
M N
D
A
B C
M N A
B C
D
M
N
图 1
图 2
图 3
A
B C
D
E
F5251
1．图C 线段 BD 点分 BC CD 边长直线 BD 侧作两等边三角形
△ ABC △ ECD连接 BE ADBE AC 交点 FAD CE 交点 G．
求证：△ ACD ≌△ BCE
2．已知：图 Rt △ ABC 中 90BAC∠° 2AC AB 点 D AC 中点 AD 斜
边△ ABC 外作等腰直角三角形 AED连结 BEEC．试猜想线段 BE EC 关系
证明猜想．
（2）图四边形 ABCD 中 AB AD 180BD∠ +∠ °EF 分边 BC
CD 点 1
2EAF BAD∠∠（1）中结否然成立？
（3）图四边形 ABCD 中 AB AD 180B ADC∠ +∠ °EF 分边 BC
CD 延长线点 1
2EAF BAD∠∠（1）中结否然成立？成立
请证明成立请写出间数量关系证明．
A
B
C
D
F
E
堂练
A
B C
D
E
F5453
O 正方形 ABCD 中心E CD 边点F AD 边点△ EDF 周长
等 AD 长．①图中求作△ EDF（求：尺规作图写作法保留作图痕迹）
②图中补全图形求 EOF∠ 度数
3．图BPCP 分 ABC 外角∠ CBD∠ BCE 分线．
求证：P 点∠ BAC 分线．
４．图 Rt △ ABC 中 AB AC 90BAC∠° 12∠∠ CE ⊥ BD 延长 E．求证：
2BD CE ．
压轴突破
E O
A
BC
D
1*5655
1．图正方形 ABCD 边长 1点 MN 分 ADCD △ DMN 周长 2求
∠ MBN 度数．
2．图四边形 ABCD 中 AB BC 80ABC∠° 180AC∠ +∠ °点 M AD 边点
射线 BM 绕点 B 时针旋转 40° CD 边交点 N请补全图形求 MNAMCN
数量关系
作业
第五讲
轴称应综合
轴称基础概念
等腰三角形问题
值问题
课程预览
1
2
35655
1．图正方形 ABCD 边长 1点 MN 分 ADCD △ DMN 周长 2求
∠ MBN 度数．
2．图四边形 ABCD 中 AB BC 80ABC∠° 180AC∠ +∠ °点 M AD 边点
射线 BM 绕点 B 时针旋转 40° CD 边交点 N请补全图形求 MNAMCN
数量关系
作业
第五讲
轴称应综合
轴称基础概念
等腰三角形问题
值问题
课程预览
1
2
35857
1．轴称图形
（1）果图形条直线折叠直线两旁部分够互相重合图形做轴
称图形条直线做称轴．时说图形关条直线（成轴）称．
（2）图形着某条直线折叠 果够图形重合说两图
形条直线称条直线做称轴折叠重合点应点做称点．
2．垂直分线
（1）垂直分线定义：线段中点垂直条线段直线做条线段垂直
分线．
（2）垂直分线性质：
线段垂直分线点条线段两端点距离相等．
（3）垂直分线判定：
条线段两端点距离相等点条线段垂直分线．
3角分线
（1）定理：角分线点角两边距离相等．
（2）逆定理：角部角两边距离相等点角分线．
（1）图等腰△ ABC 周长 21底边 5BC AB 垂直分线 DE 交 AB 点 D
交 AC 点 E△ BEC 周长（ ）．
A．13 B．14
C．15 D．16
（2）图AE ∠ BAC 角分线AE 中垂线 PF 交 BC 延长线点 F
50CAF∠° B∠___．
（3）已知：△ ABC 中 132BAC∠°ABAC 垂直分线分交 BC E
F 求 EAF∠ 度数
图AD △ ABC 角分线DE ⊥ AB EDF ⊥ AC F．
求证：AD EF 垂直分线．
例1
例2
板块 轴称基础概念
知识梳理
A
B
C
＇A
＇B
＇C
l
典型例题
题型 1 垂直分线
B E
F
A C
A
D
F
C
E
B6059
已知：∠ AOB点 MN．
求作：点 P∠ AOB 两边距离相等 MN 两点距离相等．（ 求：
尺规作图保留作图痕迹写作法）
图△ ABC 中M BC 中点DM ⊥ BCDM ∠ BAC 角分线交点 D
DE ⊥ ABDF ⊥ ACEF 垂足求证： BE CF ．
图△ ABC 中AE 垂直 ABC∠ 分线 E交 ACB∠ 分线 F F
作 MN ∥ BC 交 AB M交 AC N求证： MN AM CN + ．
1等腰三角形
两条边相等三角形称等腰三角形．相等两条边做腰外边做底．腰底
夹角做底角．两腰夹角做顶角．
2等腰三角形性质
（1）两角相等
（2）底边中线垂直底边
顶角分线垂直底边
底边中线分顶角．
中三性质通常称等腰三角形三线合等腰三角形顶角分线底边
中线底边高重合．
3等腰三角形判定
（1）两角相等三角形等腰三角形
（2）三线合逆定理：三角形中三线意两线合三角形
等腰三角形．
例3
变式 1
变式 1
题型 2 垂直分线 + 角分线
A
O B
N
M
A
B
CE
D
M
F
板块二 等腰三角形
知识梳理
A
B D C6261
图已知 AB AC BD 30DAC∠°试求 B∠ ．
图 ABACBGBHAKKG∠ BAC 度数少？
△ ABC 中AB AC 108A °∠ ．△ ABC 切成三等腰三角形请出 3 种切法？
图△ ABC 中已知 AD 分∠ BAC AD 点 P 作 EF ⊥ AD交 AB E
交 AC F交 BC 延长线 M求证： ( )1
2M ACB B∠ ∠ −∠ ．
（1）图 1△ ABC 中BD 分∠ ABCCD 分∠ ACB． D 作 EF ∥ BC 交
AB E交 AC F请说明 EF BE CF + 理．
（2）图 2BD 分∠ ABCCD △ ABC 中∠ ACB 外角分线然点
D 作 EF ∥ BC 交 AB E交 AC F第（1）题结成立？果成立
请说明理果成立否找 EF BECF 间类似数量关系？
例5
例4
变式 1
变式 2
变式 1
题型 2 等腰三角形相关证明
A
B CD
A
B C H
G
K
典型例题
题型 1 角度计算6463
图△ ABC 中 AB AC AD ⊥ BCCE ⊥ AB AE CE ．求证：
（1）△ AEF ≌△ CEB
（2） 2AF CD ．
图示 Rt △ ABC 中 90ACB∠° AC BC D BC 边中点
CE ⊥ AD 点 EBF ∥ AC 交 CE 延长线点 F求证：AB 垂直分 DF．
图 AB CD 27BAD∠° 42ABC∠°求证： AB AC ．
基问题：直线 l 找点 P直线侧两点 AB 距离．
直线 mn 交点 OPQ 两直线间两点点 P 出发分 mn 找点 A B
PA AB BQ++．
直线 mn 交 OP 两直线间点直线 mn 分找点 AB
△ PAB 周长短．
总结：问题值中__________________问题．
变式 2
变式 1
变式 1
例6
例7
A
D
F
C
E
B
B
A
D C
板块三 值问题
知识梳理
B
A
l
P
O
n
m
Q
P
O
n
m6665
次旭发现白球A45°角击出恰5次碰撞达B处 AB AD （
）
A．12
B． 23
C． 25
D．35
明著名台球俱乐部 VIP 年卡钻石级会员．次玩台球时想击 P 球
次碰撞球台 AB 边BC 边CD 边AD 边恰撞 Q 球求 P 球击路线．
图AB 直线 l 侧两定点定长线段 PQ l 行移动问 PQ 移动什
位置时 AP PQ QB++长短？
图已知牧马营 P 点处．
（1）天牧马赶着马群先河边饮水带草吃草然回营请
牧马设计出短放牧路线．
（2）天牧马赶着马群先河边饮水带草吃草请牧马设计出
短放牧路线．
图MN 分△ ABC 边 ACBC 点 AB 求作点 P△ PMN
周长说明样作理．
例1
变式 1
例8
例9
例 10
题型 2 移称
典型例题
题型 1 直接称
草
P
河流
B
A C
N
M
A
B C
D
B
P
CD
Q
A
A
P Q l
B6867
图A 直线 l 定点长度 2 线段 PQ l 方行移动始终满足
PQ l∥ ．问 PQ 移动什位置时 AP PQ QA++长短？
面直角坐标系中已知 ()1 2A − ()40B ()1Pa ()11Na+ 四边形 PABN
周长．
1．已知∠ MON 两点 AB求作：点 C 点 D点 C OM 点 D ON
AC CD BD AB+++短．
2．图△ ABC 角∠ ABC 分线外角∠ ACG 分线交点 D点 D 作 BC
行线交 AB E交 AC F．试判断 EF BECF 间关系说明理．
四边形 ABDE 中C BD 边中点．
（1）图（1） AC 分 BAE∠ 90ACE∠°线段 AEABDE 长度满
足数量关系 ______________________________（直接写出答案）
（2）图（2）AC 分 BAE∠ EC 分 AED∠ 120ACE∠°线段 AB
BDDEAE 长度满足样数量关系？写出结证明．
图示凸四边形 ABCD 中 ABD CBD∠ >∠ ADB CDB∠ >∠ ．
求证： AB AD BC CD+>+．
变式 1
变式 2
1*
2*
A
P Q
l
堂练
A
O N
M
B
A
FE D
CB G
典型例题
压轴突破
A
B C D
E
图（1）
E
DCB
图（2）
A
A
B
C
D7069
凸四边形 ABCD 角线 ACBD 垂直相交 OOA OC> OB OD> ．
求证： BC AD AB CD+>+．
1 已知△ ABC 中AD BC 边高E AB 点DG 垂直分 CEDC BE ．求证：
2ABC BCE∠∠．
2 图△ ABC 中AD BAC∠ 分线M BC 中点AD ∥ ME．
求证： ()1
2BE CF AB AC + ．
3*
AC
B
D
O
作业
A
B CD
E
F
M
第六讲
三角形中全等构造
SSA 相关构造
等边三角形构造
课程预览
1
27069
凸四边形 ABCD 角线 ACBD 垂直相交 OOA OC> OB OD> ．
求证： BC AD AB CD+>+．
1 已知△ ABC 中AD BC 边高E AB 点DG 垂直分 CEDC BE ．求证：
2ABC BCE∠∠．
2 图△ ABC 中AD BAC∠ 分线M BC 中点AD ∥ ME．
求证： ()1
2BE CF AB AC + ．
3*
AC
B
D
O
作业
A
B CD
E
F
M
第六讲
三角形中全等构造
SSA 相关构造
等边三角形构造
课程预览
1
27271
1直角三角形中边边角（HL）
两直角三角形符合 SSA 判定条件应角直角时显然符合 HL 判定两
三角形全等．
2符合 SSA 三角形两种情况
（1）全等．证明方法：作高 + 次全等
已知图： AB DE AC DF BE∠∠
∠ B ∠ E 钝角．
求证：△ ABC ≌△ DEF．
证明： A D 分作 CB 延长线垂线 AM FE 延长线垂线 DN．
△ AMB △ DNE 中
MN
ABM DEN
AB DE
∠∠
∠∠
∴△ AMB ≌△ DNE（AAS）
∴ AM DN ．
Rt △ AMC Rt △ DNF 中
AM DN
AC DF
∴△ AMC ≌△ DNF（HL）∴ CF∠∠．
△ ABC △ DEF 中
BE
CF
AB DE
∠∠
∠∠
∴△ ABC ≌△ DEF（AAS）．
A
注： SSA 中角锐角时候类似证法．
（2）全等．处理方法：①拼凑等腰②作高
图示述满足 SSA 两三角形拼凑等腰做高处理：
图E AD 中点B 线段 CE AB CD ．求证： ABE DCE∠∠ ．（请
三种方法）
CDEBFABCDACDF
板块 SSA 相关构造
知识梳理
A
B C
D
E F
A
BC
D
E FM N
A
B C
D
EF
A
CD
E
B F
A
B CD
A
CD F
A
CD
A
B F
典型例题
题型 1 SSA 图形
C
AE D
B
例17473
图△ ABC 中 AB BC 90B∠ ° D AC 中点EF 分 ABBC 点
满足 90EDF∠°．求证： DE DF ．
已知△ ABC 中DE 分 ACAB 点BDCE 交点 O
1
2BCE CBD BAC ∠∠ ∠试较 BECD 说明理．
图 1已知△ ABC 等边三角形点 D 边 BC 中点 60ADE∠° DE
∠ ACB 外角分线 CE 相交点 E．
（1）证明△ ADE 等边三角形请写出证明程
（2） D BC 延长线（C 点外）意点条件变（图 2）
△ ADE 等边三角形否然成立？成立请写出证明程成立请
说明理．
例2
变式 1变式 1
题型 2 隐蔽 SSA 图形
A
B C
D
E
F
A
B C
DE
O7675
1已等边
题目中已等边三角形时常常需构造等边三角形．两等边三角形
组成 SAS 全等．
2没等边
时然题目中没等边三角形构造等边三角形题目中条件效结合
起利结合条件想结．
等边三角形 ABC 中点 E AB 点 D CB 延长线 ED EC ．求证：
AE DB ．
图△ ABC 等边三角形延长 BC D延长 BA EAEBD连结 ECED．
求证：CEDE．
图已知△ ABC 等边三角形 60BDA∠°求证： AD BD CD + ．
图已知△ ABC 等边三角形 120BDC∠°求证： AD BD CD + ．
例3
例4
变式 1
变式 1
板块二 等边三角形构造
知识梳理
典型例题
题型 1 已等边
A
B CD
E
A
B
D
C
A
B
D
C7877
已知：图四边形 ABCD 中 60ADC∠° AD CD ．
求证： AB CB DB+>．
已知△ ABC 中 3AB 4AC BC 边△ ABC 侧做等边△ BCD
连接 AD求 AD 值．
图△ ABC 中 60ABC∠° 40ACB∠°P ABC∠ 分线 ACB∠ 分
线 交点．求证： AB PC ．
四边形 ABCD 中 AB AC DA DB 120ADB CAB∠ +∠ °求 ACD∠ ．
图△ ABC 中 AB AC 80BAC∠°O 形点 10OBC∠°
30OCB∠°．求 OAB∠ 度数．
图△ ABC 中D 三角形点满足 15DAC DCA∠∠° 90BAC∠°
CA BA 求证： BA BD ．
例5
例6
变式 1
变式 1
变式 1
例7
题型 2 没等边
A
D C
B
A
CB
O
B
A
D
C8079
1．图 60A∠ ° 30DBC ECB∠ ∠°BD CE 交点 O．求证： BE CD ．
2．图△ ABC 等腰直角三角形 90B∠ °D BC 延长线点 C 作 CM ⊥ AC
E 线段 BC 点连接 AE点 E 作 EF ⊥ AE交 CM 点 F．求证： AE EF ．
图等腰三角形 ABC 中 AB AC 20A∠ °边 AB 取点 D AD BC
求 BDC∠ 度数．
图 100ABC∠° 30ACB∠°D 线段 BC 点 10DAC∠°．
求证： AD BC ．
１*
２*
堂练
典型例题
压轴突破
A
D
CB
A
B CD8281
１．图AD △ ABC 角分线HG 分 ACAB HD BD ．
（1）求证：∠ B ∠ AHD 互补
（2） 2 180B DGA∠+∠ °请探究线段 AG 线段 AHHD 间满足等量关系
加证明．
作业
C
D
H
GA B
C
D
H
G
第七讲
全等三角形变换
轴称全等
旋转全等
移全等
课程预览
1
2
38281
１．图AD △ ABC 角分线HG 分 ACAB HD BD ．
（1）求证：∠ B ∠ AHD 互补
（2） 2 180B DGA∠+∠ °请探究线段 AG 线段 AHHD 间满足等量关系
加证明．
作业
C
D
H
GA B
C
D
H
G
第七讲
全等三角形变换
轴称全等
旋转全等
移全等
课程预览
1
2
38483
分散线段角相集中起已知条件集中基图形中产生进步
更加深入结果种思想称集散思想．者通移旋转轴称产生新
图形问题转化．
称变换：
①利轴称解决线段短距离问题
②某条已知直线称轴进行翻折题目信息糅合起．
（1）图等腰 Rt ABC△ 中 90ACB∠° 2AB AD BAC∠ 分线． P
Q 分 AD AB 动点 PB PQ+ 值 _________________
（2）图已知 30AOB∠°P 部点 3OP MN 分 OAOB 边
点 PMN△ 周长请出确定点 MN 位置方法求出
周长．
已知 AH BC⊥ H 35C∠ ° AB BH HC+求 B∠ 度数．
图 ABC△ 中 90BAC∠°CA BA D 三角形点满足
15DAC DCA∠∠°求证： BA BD ．
板块 轴称全等
知识梳理
典型例题
题型 1 称全等
例2
例1
变式 1
D
B
C
A
P
Q
B
A
O
P
B
A
D
C
CB
A
H8685
图 BC∠∠ 60° 190 2ADB BDC∠ °− ∠ 求证： AB AC ．
旋转变换两相等边集中起通三角形全等组边角相等关系
构造出新全等．条件中等边三角形正方形等腰三角形等情形时常常
作旋转变换集中条件解决问题．
已知：△ ABC △ ADE 直角三角形 90BAC DAE∠∠° AB AC 点 D
线段 BC 连结 CEBD ⊥ CE．
求证： AD AE ．
例4
例3
A
B
C
D
板块二 旋转全等
知识梳理
典型例题
题型 1 已旋转
A
B CD
E8887
图已知 90ABC DBE∠∠° DB BE AB BC ．
（1）求证： AD CE AD ⊥ CE
（2）△ DBE 绕点 B 旋转△ ABC 外部条件变（1）中结否成立？
请证明．
图示五边形 ABCDE 中 90BE∠∠ ° 1AB CD AE BC DE+求
五边形面积 _____________．
已知： Rt ABC∆ 中 90BAC∠° AB AC 点 DE 分直线 BC 两动点
45DAE∠°．
（1）点 DE 线段 BC 时图 1求证： BD CE DE+>．
（2）动点 E 线段 BC 动点 D 运动线段 CB 延长线时图 2条件变
（1）中探究结否发生改变？请说明猜想予证明．
变式 1 变式 1
题型 2 构造旋转
A
B C
D
E
F
A
B
C
D
E
例5
A
B E CD
图 29089
移变换角保持变角两边方变情况移动位置．线段
保持行相等条件移动位置达相关元素相集中元素间关系明
朗化目．
图两条长度 1 线段 AB CD 相交 O 点 60AOC °∠ 求证：
1AC BD+≥．
已知：M 矩形 ABCD 点求证：存四边形四条边分等 MAMB
MCMD角线分等 AB BC两角线相互垂直．
1．AD 三角形 ABC 角分线直线 MN AD⊥ AE MN 点较 ABC△
EBC△ 周长证明．
２．图点 C 线段 AB 点△ ACM△ CBN 等边三角形D AN 中点E BM
中点求证：△ CDE 等边三角形．例6
变式 1
板块三 移全等
知识梳理
典型例题
题型 1 已旋转
O
D
C
B
A
A
B C
D
M
堂练
N
M
DB C
A E
M
A C B
ED
N9291
（1）图 1 示线段 AC 点 P分 APCP 边直线 AC 侧做等
边三角形 ABP CDP连结 AD BC△ ADP △ BCP 全等 _______（填
成立者成立）
（2）图 2 示已知：△ ABC 中 BC a AC b AB 边作等边三角形
ABD．探究列问题：图∠ ACB 变化点 D 点 C 位直线 AB 两侧时
求 CD 值相应∠ ACB 度数．
2*
１*
压轴突破
典型例题
图△ ABC 中 AB AC AD BE 求证： 1
2ED BC≥ ．
１ 图 90ABC∠° BAD ADC∠∠ 2CD AB 求 BAD ACB∠ −∠ 值．
B
A P
D
C
A B
C
D
图 1 图 2
作业
A
D
CB93
２ 已知正方形 ABCD 中EF 分 BCCD 延长线点满足 45EAF∠°．求证：
BE EF DF + ．
A
B
D
C E
F1
八年级数学
课程预览
幂运算
整式法
第八讲
整式法高阶2
八 年 级 数 学
注意： _______（ ）．
知识梳理
底数幂法：般： _________（mn 正整数）．
：底数幂相底数变__________________．
幂底数 时变形：
mnaa⋅
1− a−
幂方：根方意义底数幂法： ____
（mn 正整数）．
：幂方底数变指数相．
()nma
积方：般： （n 正整数）．
：积方等积项式分方幂相．
()n nnab a b
板块 幂运算
{（1）n
1 (n 偶数 )
1（n 奇数） {（a）n
an (n 偶数 )
an（n 奇数）
a0 a 03
八年级数学
题型 1 幂运算应
（1） 33mx + 写成（ ）
A ． B．
C． D．
A ． B．
C． D．
13 mx + 33mxx+
31mxx+⋅ 33mxx⋅
（2） 2xa 3xb 7x 等（ ）
2ab+ 2ab
2ab
（3）式子 结果（ ）
2015
2016 12 2
⋅−
A ． B ．
C． D．
1
2 2−
1
2
−2
（4）列等式正确 _________________．
① ② ③
④ ⑤
典型例题
例 1
()323 6926xy xy−− ()32ma− ()36933aa
()()5 7 355 10 7 10 35 10× ×× × ()()100 10010105 2 05 2 2− × −××4
八 年 级 数 学
（ 1 ） 求 值．4 32xy×2 5 50xy+ −
（ 2 ） 含 a b 式子表示 ．87a 78b 5656
例 25
八年级数学
计算：
较
2016 2018 2018
2018 2018
7 3 15
3 7 35
+ × +
552 443 335 226
例 3
例 46
八 年 级 数 学
()()1243mmab ab− − ⋅− −
堂练
()()2 4 22 1 9 2m nn ma b a b ab+− + 2mn+已知 求 值．
2 27 37 47 1998abcd⋅⋅⋅
( )2015abcd−−+
已知： 中 abcd 然数求
值．
计算
56
711632
− × ×−
（1） （2）
练 1
练 2
练 37
八年级数学
知识梳理
单项式单项式：单项式单项式相系数相字母幂分相
单项式出现字母连指数作积式．
单项式项式：单项式项式相单项式项式项
积相加．
项式项式：项式项式相先项式项项
式项积相加．
板块二 整式法8
八 年 级 数 学
题型 1 整式法计算
计算：
（1） （2）
（3） （4）
解方程：
（1） （2）
例 5
例 6
典型例题
2 222 31
3 42x yz z xy z − ⋅− ⋅ ()()322323axy abxy − +⋅ +
()4 3 34 2 8aa a−−−+()()2 31xyx y+ +−
()() 225 2 7x x xx x−− + − ()()()()2 32 4 4 2 3x x xx+ − + −9
八年级数学
题型 2 代数式求值
（1）已知2 30x −求 ()()2259xx x x x−+ −−值．
（2）已知 abm+ 4ab − 求 22ab−−值．
（1）已知 恒成立求abc++值．
例 7
例 8 ()22 3323 54x ax x b x c x x+++− ++10
八 年 级 数 学
（2）项式 展开含 3x 项 2x 项试求 m
n 值．
（1）已知 20ab+求 ()332 48a ab a b b+ ++ −值．
（2） 2 10mm+ − 求 322 2017mm++ 值．
例 9
()()2234x mx n x x+ + −+11
八年级数学
（1）()4 432
1 2 3 451x ax ax ax ax a+++++试求 135aaa++值
（2）()2011 2011 2010 2009
1 2 3 2011 20121x ax ax ax a x a+ + + ++ + 试求
1 3 5 2011aaa a++++ 值．
123456789 123456786x × 123456788 123456787y × 试较
xy ．
例 10
例 11
12
八 年 级 数 学
堂练
已知 2 1xx+求 4 322 2 2017x xx x+ −−+ 值．
项式 2 8x ax++项式 2 3x xb−+相积中含 2x 3x 项求
()()3 33ab a b−−−值．
正方形边长增加 3cm面积增加 69cm2求正方形
边长．
练 4
练 5
练 613
八年级数学
典型例题
1 较 1615 1333 ．
压轴突破14
八 年 级 数 学
作业
（1） 22 4123 32ab ab b ab−+ ⋅
（2）()()7m nmn−−
先化简求值： 中
．3y
作业 1
作业 2 ()()()()22 24 2x y x y yx y x y− + − −+ + 8x 15
八年级数学
课程预览
常法公式
补充公式
法公式应
第九讲
法公式高阶应16
八 年 级 数 学
知识梳理
板块 常法公式
方差公式：两数两数差相等两数方差．
： ___________．
口诀：首方尾方积两倍中央．
完全方公式：两数（差）方等两数方加（减）
两数积 2 倍．
： _______________ _______________
()()abab+ −
()2ab+ ()2ab−17
八年级数学
典型例题
例 1 计算
（1） （2）
（4）（3）
（1） （2）
（4）（3）
例 2
题型 1 法公式应
()()22xyy x+− ()()mn t mn t−+−−
()()abcabc+− −− ()()()()22442 233abababab+−++
()232ab+ ()225ab−−
()232xy z−− ( )()abcdabcd++− +−+18
八 年 级 数 学
例 3 （ 1 ）已知 求 值．
（ 1 ）计算 2
24690
12346 12345 12347−×
（ 2 ）计算
（ 3 ）计算
例 4
()2 2 2 10xy x y+ − − + ()2017xy+
()()()()2 4 8 1698 18 18 18 1+++ +
2222 2100 99 98 97 2 1−+−++−19
八年级数学
（2）
已知 求 值．ab+
堂练
练 1 （1）
练 2
()()33xy xy+− −+ ()()()()422 16 2 4xx xx−+++
()()5 5 231ab ab+− ++ 20
八 年 级 数 学
板块二 补充公式
立方立方差公式：
完全立方公式：
附加公式：
知识梳理
()()2 2 33a b a ab b a b+ −+ +
()( )2 2 33aba abb a b− ++ −
()3 3 2 2333a b a a b ab b++ + +
()3 3 2 2333a b a a b ab b−− + −
()2 222222a b c a b c ab ac bc++ + + + + +21
八年级数学
典型例题
题型 1 利公式计算
计算
（1） （2）
（4）（3）
计算
（1） （2）
（3）
例 5
例 6
()()22 42y yy+ −+ ()()23 19 3 1a aa− ++
( )222184233x y x xy y+ −+
()()()2 222 2ab ab abbb− −+ − +
()321a − ()332b+
()()3321 1xx− −−22
八 年 级 数 学
知识梳理
例 7 已知 求列式子值：
（1） （2）
0abc++ 2221abc++
ab bc ca++ 22 22 2 2ab bc ca++23
八年级数学
堂练
计算
已知 求 值．3 9a
练 3
练 4
()()2 2 4 22 4x y x xy y− ++
()()()()2211 1 1a a aa aa− + −+ ++24
八 年 级 数 学
知识梳理
板块三 法公式应
法公式变形：
()()22
22
2
ab abab
+ +−+ ()()22
4
ab abab
+ −−
()222 2a b a b ab++ − ()222 2a b a b ab+− +25
八年级数学
典型例题
题型 1 利公式计算
已知 求 值．（1）
（2）
4xy+ 13xy − 223x xy y−+
已知 求 ab 值．9ab+ 2253ab+ ab− 33ab+
已知
求代数式 值．
1 2020ax + 1 1920bx + 1 2120cx +
222a b c ab bc ac++−−−
例 8
例 926
八 年 级 数 学
（1）已知实数 ab 满足 求
值．
2222 4 6 14abc abc++− −− abc++
已知 求 值．
（3）
（2） 1ab− 2bc− 222a b c ab bc ca++−−−
已知 求 ab 值．22 2 216 1 10a b a b ab+ + +
例 1027
八年级数学
题型 2 公式应
222 0a b c ab bc ac++−−−
两数 ab 满足 ab 整数方差 29
求 ab 值．
0ab>>
例 11
例 12
已知△ ABC 三边长分 abc满足
试判断△ ABC 形状．28
八 年 级 数 学
堂练
已知 ．求（1） 值（2） 值．5ab− 4ab 2233ab+
已知 求 值．3ax by+ 5ay bx−
求证： ．xyab++ 2 2 22xyab++ 2017 2017 2017 2017xyab++
练 5
练 6
练 7
()2ab+
()()222 2abx y++29
八年级数学
典型例题
压轴突破
然数减 45 完全方数然数加 44
完全方数试求然数．
已知 求 值．
例 1
例 2 ()()2017 2015 2016xx− − ()()222017 2015xx−+ −30
八 年 级 数 学
作业
列计算正确（ ）
()( )2 2332 48x y x xy y x y+ −+ +
()( )2 2332 24 8x y x xy y x y+ ++ +
()( )2 2332 24 8x y x xy y x y+ −+ +
()( )2 2332 44 8x y x xy y x y+ −+ +
已知实数 ab 满足 求 ab 值．222 2 4 40a ab b b− + − +
A．
B．
C．
D．
作业 1
作业 231
八年级数学
课程预览
常式分解方法
十字相法
分组分解法
第十讲
式分解中
考真题演练32
八 年 级 数 学
知识梳理
板块 式分解常方法
1式分解概念
项式写成整式积形式样式子变形做项式
式分解做项式分解式．
分解式时必须握三原：
（1）式分解必须恒等变形．
（2）式分解必须写成项式积形式．
（3）式分解必须分解式分解止半途废．
2公式：项式项含公式做项式公式．
注：
（1）公式确定分数字系数字母两部分
（2）公式数字母项式式．
注意事项：
（1）公式提千万遗漏
（2）式分解结果项式写单项式面相式写成幂形式
（3）公式提括号外时般括号项式首项系数变正数．
3式分解常方法
（1）提取公式法
利法分配律项式分解成公式剩余部分程做提取
公式法．般形式： ．ma mb mc m a b c+ + ++33
八年级数学
提取公式法分解式时应该注意点：
①公式提
②公式提括号外括号整式首项系数正．
③分解式中果项式应该括号中项式化含类项括号形式．
错误应该 ． ()()22 12xx x+ −+ ()()221xx++
（2）公式法
逆法公式进行式分解方法做公式法．
方差公式 逆公式式分解形 项
式成 形式理 分解 ．
利公式法进行式分解时注意公式中字母应关系灵活运．
常公式：
（1）方差公式：
（2）完全方公式：
()() 22abab a b+ −− 22ab−
()()abab+− 241a − ()()2 12 1aa+−
()()22a b abab−+ −
()2222a ab b a b+ ++
()2222a abb ab− +−34
八 年 级 数 学
例 2
典型例题
题型 1 提公式法
式分解：例 1
2312 2a bc abc+（ 1 ） 22 2 115 12 9mn m n mnab a b ab++ +−+（ 2 ）
（ 1 ） （ 2 ）
式分解：
()()212 6a b cb a−− − ()()25 3 15aa−−−35
八年级数学
例 3
例 4
题型 2 公式法
（ 1 ） （ 2 ）
（ 3 ） （ 4 ）
（ 1 ） （ 2 ）
()()225 21aa+− − ()2 293xy−−
()22 2 224a b ab+− 4 1x −
( )22 2 2 224m p q pq−− − 2314 49a b a b ab−−36
八 年 级 数 学
堂练
282m n mn+
2244b ab a− +
分解式：
分解式：
____________________．
____________________．
32a ab−分解式： ____________________．
25 3436xy xy− 22 22 84a bc ac abc+−
29 12 4xx−+
（ 1 ） （ 2 ）
（ 3 ） （ 4 ）
（ 1 ）
（ 2 ）
（ 3 ）
练 1
练 2
()2 24ab a+−37
八年级数学
知识梳理
板块二 十字相法
1 简单十字相法——二次项系数 1
形 二次三项式已学会公式法进行式分解外
通公式法解决二次三项式通种新方法——十字相法式
分解．然二次三项式利十字相法分解够利十字
相法进行式分解二次三项式项系数着密切关系．
先整式法例子
面等式反：
反观两次二项式积展开程：
出二次三项式系数分解
两次二项式中常数项存定数量关系 ．
类似 进行式分解想办法找两数 ab
．样 分解成 ．
显然 时正满足求写成面形式：
222a ab b++
()() 21 2 32x x xx+ +++
()()2 32 1 2xx x x+ + + +
()()()221 2 12 12 3 2x x x x xx+ + + + +× + +
312 + 2 12 ×
2 56xx++
5 ab + 6 ab 2 56xx++
2 3ab 3 2ab
2 56xx++
1 2
1 3
1312 5× +×
23 6×
∴
()()xaxb++
()()2 56 2 3xx x x+ + + +38
八 年 级 数 学
面种规律总结成种分解式方法——十字相法．十字相法
观察试数办法凑出结果做练熟练掌握．注意十字相
程式分解更加直观简洁减少符号错误需写解题程中．
试填列式子中欠缺部分：
2 稍复杂十字相法——二次项系数 1
面题目例子中二次项系数 1二次项系数 1应该
办呢？接例子：
式分解结果：
面等号两边式子系数关系：
二次项系数
常数项
．
面发现整理：
（_____）2 56xx− + 2x −（ 1 ）
（ 2 ）
（ 3 ）
（ ）
2 56xx− − 1x −（ ）（_____）
2 76xx− +（_____）（_____）
2 12xx+− （ 4 ） （_____）（_____）
22 76xx−+
2 21 ×
22 76xx−+
2
1
3−
2−
()()2 36− ×−
()()()()()()()222 3 2 21 3 1 2 2 3 2 2 7 6x x x x xx− − × + − ×+ ×− +− ×− − +
()()22 7623 2xx x x− + − −
()()63 2− ×−
()()2 21 3 7×− +×− −
()()2 21 3 7×− +×− −39
八年级数学
∴
遇二次三项式二元二次齐次三项式式分解题时应该优先考虑否构成完
全方式果尝试十字相法．
()()22 7623 2xx x x− + − −40
八 年 级 数 学
例 6
典型例题
例 5 （ 1 ） （ 2 ）
（ 1 ） （ 2 ）
题型 1 十字相法式分解
2 6xx−− 2 12xx+−
（ 3 ） （ 4 ）2 10 24xx−− 2 15 36xx−+
2212x xy y+− 226 91x xy y+−
（ 3 ） （ 4 ）2234x y xy++ 22 34x y xy+−41
八年级数学
例 7
例 8
（ 1 ） （ 2 ）
（ 3 ） （ 4 ）
26 72xx−+ 23 83xx−−
212 11 15xx−− 26 12xx−+
二次三项式 （m 整数）整数范围分解两次
式积求 m 取值．
2 8x mx−−42
八 年 级 数 学
题型 2 带字母十字相法
例 9 （ 1 ） （ 2 ）
（ 3 ） （ 4 ）
()2 1x m xm−+ + ()2 2 12xm m+ ++
() 21m x xm+ +− ()22mx m n x mn−++43
八年级数学
堂练
（ 1 ） （ 2 ）
（ 1 ） （ 2 ）
2 11 42xx−− 2 6 216xx+−
2 68xx−+ − 3223xxx−−
练 3
练 444
八 年 级 数 学
知识梳理
板块三 分组分解法
提公式法公式法十字相法外第四种常见式分解方法：
分组分解法．
讲分组分解法前先面例子：
分解式：
观察题目题目里前两项公式 两项公式
首先前两项两项分提取公式 两项
公式
然提取公式
容易验证 原式式分解结果．
总体程：
．
面例子方法分组分解法．通面例子题目
恰分组解题关键．通观察式子中字母系数进行合适分组分
组提公式者运公式法．
ma mb na nb+ ++
m n
()ma b+ ()na b+
()ab+
()ab+ ()()mnab++
()()mnab++
()()()()()()ma mb na nb ma mb na nb m a b n a b m n a b+++ + ++ ++++ +45
八年级数学
典型例题
题型 1 分组分解法
例 10 （ 1 ） （ 2 ）
（ 3 ） （ 4 ）
ax by bx ay−−+ 2x xy x y− −+
ax bx ay bz az by−++−− 22 1x ax x ax a+ + + −−
（ 1 ） （ 2 ）229 26a b ab− +− 22a ab c bc−−+
（ 1 ） （ 2 ） 2 2 2 22222x y z xy yz zxxy+++++−
式分解：例 11
例 12
（ 1 ） （ 2 ）
()22 2 2 224a b c ab+− −46
八 年 级 数 学
堂练
（ 1 ） （ 2 ）5 9 3 15xy x y+− − 27 3 21x y xy x−+−
228 200 8 2xy x y+−− 2ay ax a ab bx xy−−+++（ 1 ） （ 2 ）
练 5
练 647
八年级数学
典型例题
压轴突破
（ 2 ）222222a b c bc ac ab++− + − 329 27 27bb b−+−
分解式：
已知 求 值．xy≠ 3 7xx− 3 7yy− 22x xy y++
（ 1 ）例 1
例 2
例 3
()()223 3 3 48xx xx+− ++−48
八 年 级 数 学
作业
（ 1 ） （ 2 ）
（ 3 ） （ 4 ）
2 16ax a−
()()22axy byx−+ − 224 41x y xy+−−
明做式分解题目时误 常数项符号错分
成 试求原式分解题目结果．
22x ax b++
作业 1
作业 2
()()2 22ma m a−+ −
()()21 3xx+−49
八年级数学
课程预览
第十讲
课程预览
式分解高阶
方式技巧
换元法
双十字相法
添项拆项法50
八 年 级 数 学
知识梳理
解题程中常某较复杂代数式成整体字母
代简化代数式种方法换元法．介绍种常见情况：
板块 换元法
1换单项式
结构较复杂次三项式中某单项式成整体
新字母代化成二次三项式形式问题简化．
式子
里令 原式子化：
式进行式分解：
时注意式子没分解完应 代入式否继续分解．
：
： ．
2换项式
结构较复杂代数式中某项式成整体
新字母代化成二次三项式形式问题简化．
式子
里令 原式子化
式进行式分解：
：
： ．
4234xx−−
2xt 2 34tt−−
()()2 34 1 4tt t t− − + −
2tx
()()()()()()()22 241 4 1 2 2 1tt x x xxx− + − + + − +
()()()42 234 2 2 1xx x x x− − + − +
()()2221 2 13xx xx++ + ++ −
2 1xx t+ + 2 23tt+−
()()2 23 3 1tt t t+ − + −
()()( )()()()22 23 1 13 11 4 1t t xx xx xxxx+ − +++ ++− ++ +
()()()()222 21 2 13 4 1xx xx xxxx++ + ++ − ++ +51
八年级数学
典型例题
例 1
例 2
题型 1 重复出现
式分解：
（1）()()2226xx xx− + −− （2）()()42 424 3 10xx xx+− +++
（3） （4）()()22 2248 3 482xx xxxx++ + +++()()21xyxy+ +− +
计 算：
( )()()()8 87 876 87 876 8765 8 87 876 8765 87 876++ + + −++ + +52
八 年 级 数 学
例 3
例 4
题型 2 逐项相关
（1）
（1）
（2）
（3） （4）
（2）()()()1 2 31xx x x+ + ++ ()()()()1 2 3 4 24xx xx− − − −−
()()()()2 3 5 6 16xxxx+ + − −+ ()()()2 1 3 5 12x xx− + ++
()()()() 21236xx xx x+ + + ++
()()()() 24 5 6 10 12 3xxx x x+ + + +−53
八年级数学
例 5
例 6
（2）
（2）
题型 3 次数较高数字较
（1）
（1）
（3） （4）
4280 81xx+− 6328 27xx−+
63 214 49x xy y++ 42 215 16a ab b−−
422017 2016 2017xxx+ ++()222017 2017 1 2017xx− −−54
八 年 级 数 学
x 整数求证： 完全方数．
堂练
计算
（1）
（1） （2）
（2）
()()()() 2612131 1x x xx x− − − −+ ()()22 23 2 9 18 60aa aa a++ −+ −
练 1
练 2
练 3
()()()22 21a b ab a b ab+− +− + − ()2 1 2017 2018xx x+− ×
()()()()2 4 6 8 16xxxx+++++55
八年级数学
知识梳理
板块二 双十字相法
分解二次三项式时常十字相法某二元二次六项式
十字相法．
例：式分解
．
22ax bxy cy dx ey f+ + +++
222 8 16 6x xy y x y− − −+ −
12 3
14 2
−
−
()()222 8 16 6 2 3 4 2x xy y x y x y x y− − −+ − + − − +56
八 年 级 数 学
（1）
（3）
（2）
（4）
（1） （2）
例 7
例 8
典型例题
题型 1 双十字相法式分解
223 10 9 2x xy x y y− −− + − 224 4 421ababba+ − −++
式分解：
22534xy xy−+++ 222 7 22 5 35 3x xy y x y− − −+ −
22 223 72x xy y xz yz z− − −+ − 22 2695156x xy y xz yz z−+−+ +57
八年级数学
例 9
例 10
已知 三角形三条边
求证： ．
a b c 22 2433720a ac c ab bc b+ +−−+
2bac +
k 值时项式 式 ？222 8 10x xy y x y k+− ++ + 22xy++58
八 年 级 数 学
堂练
（1）
（1） （2）
（2）22423xy xy−+++ 222 228x y xy x y+− +−−
222 3 14 15x xy y x y+ − ++ −
练 4
练 5 ()()2233x xy y xy+ + +− + −59
八年级数学
板块三 添项拆项法
知识梳理
添项拆项法：代数式直接分解没明显换元项
时尝试中某项拆成两项者添加特殊项起桥梁作
然四种常方法式分解．例：式分解 常数项 2 写成
两 1分 组成两组运分组分解法够利分解：
需注意添项拆项法运
非常灵活定观察思考满足公式法十字相法分组分解法代数
式性质越熟悉越容易出具体题目应该添项拆项．
3 2xx+−
()()()()33 22111 2xx x x x xx+− − + − − ++
x3x60
八 年 级 数 学
（3）
（5）
（1） （2）
（4）
（6）
典型例题
题型 1 拆项
例 11 式分解：
3 54xx−+ 224 4 43x xy y−−+−
421xx++ 4 22 411x xy y−+
326 11 6xx x+++ 4322 2 21xxxx+ + ++61
八年级数学
（3）
（5）
（1） （2）
（4）
例 12 式分解：
题型 2 添项
3 98xx−+ 2216 8 2x xy y−−+
4 4x + 4 72xx−−
()()42 424 3 10xx xx+− +++62
八 年 级 数 学
堂练
（1） （2）
式分解：
式分解：
444mn+ 4 324x +
32 20xxx+ −+
练 6
练 763
八年级数学
典型例题
（1） （2）例 1
例 2 式分解：
322 22 24xx x+− + 324 64xxx− +−
压轴突破
43 29 3 7 32xxxx− + −−64
八 年 级 数 学
典型例题
例 3
例 4
果 两式 求 值．32 8x ax bx+ ++ 1x + 2x + ab+
10 位乒乓球选手进行单循环赛设 1 号选手胜 场输 场
2 号选手胜 场输 场……10 号选手胜 场输 场．
试较 ．
1x 1y
2x 2y 10x 10y
22 2
1 2 10xx x++ 22 2
1 2 10yy y++65
八年级数学
作业
（1） （2）
式分解：
4254bb−+
10000a 9999b 222 669ab abab+− −++已知： 求
作业 1
作业 2
()()2223 2 38aa aa− − −−67
八年级数学
课程预览
第十二讲
课程预览
分式运算
分式概念运算
分式应68
八 年 级 数 学
知识梳理
板块 分式概念运算
1分式概念性质
形 果 AB 表示两整式 B 含字母式子做分式．
（1）分式意义意义分式值 0 条件
①分母 时分式 意义
②分母 时分式 意义
③分母 分子 时分式 值 0．
2 分式
A
B
A
BA
B A
B
0B
0B ≠
0B ≠ 0A
（2）分式基性质
分式分子分母（）等 0 整式分式值变．
述性质式子表示： 中 ABC 整式．A AC
B BC
⋅ ⋅ ()0A ACCB BC
÷ ≠÷
①分式约分
分式分子分母没非零次公式时称简分式（约分式）．约
分化分式简分式．整系数分式约分时约分子分母高
公式外应该约分子分母系数公约数．
例 2
2
24 2
36 3
xy y
xy x
②分式
法法：
法法：
A C AC
B D BD
⋅⋅⋅
A C A D AD
B D B C BC
⋅÷⋅⋅69
八年级数学
②分式通分
②分式加减
式子表示： ．
分式法运算根结底法运算法运算实质约分分式化
简分式具体进行分式法运算时注意点：
（1）分子分母单项式时直接法法运算约公式．
（2）分子分母项式时应先分分解式约分．
（3）式者式整式时做分母 1 式子然法
法计算．
（4）法法级运算应左右序进行计算．
（2）分式加减
利分式基性质分式分子分母时适整式改变分式
值样分式变形做分式通分．通分分母做公分母．通分时
般选取原分母式高次幂积作公分母做简公分母．
例 通分 式 3 b 式 2a c．
两分母中式高次幂积 通分时公分母 ．
2
1
3ab 2
1
2ab c
23ab 2a 22ab c 2b
226abc 226abc
①分母分式相加减分母变分子相加减
式子表示： ．
②异分母分式相加减先通分变分母分式加减．
式子表示： ． A C AD BC AD BC
B D BD BD BD
±± ±
A B AB
CC C
±±
n
n n
n
nn
A A A A AA A A
B B B B BB B B
⋅⋅ ⋅⋅⋅⋅ ⋅⋅ ⋅
n n
n
AA
BB
71
八年级数学
例 3
例 4
（1）
（3）
（4）
（2）
题型 2 分式加减
2223 4
11
aa
aa
+ −−+++ 2
16 1
5 25 10 2
x
xx x
+−−−− +
21 21aaa aa
−+−÷
2
22
24
44 2
aa a aaa aa a
+− + ×−++ + 72
八 年 级 数 学
例 5
例 6
样道题：计算： 值中 ．
旭 错抄成 计算结果正确．
说回事？
2
22
21 1
1
xx x xx xx
−+ −÷−−+ 2004x
2004x 2040x
计算 ()()()()()()
abc
abac bcba cacb
++−− −− −−73
八年级数学
堂练
（1） （2）
2
22
3 26
9 69
xx x
x xx
+−−− −+
实数 ab 满足 记 证明： ．1ab 11
11M ab
+++ 11
abN ab
+++
MN
练 1
练 2
2
2
48 1 1
2 11
aaa a
aa a a
− +−÷−−− − +74
八 年 级 数 学
知识梳理
板块二 分式应
1代入求值
代入求值题型分：
（1）代入消元
（2）整体代入消元
（3）降次消元．
2等性质
等性质： ．
注：等性质三例适．
ac
bd
0bd+≠ a c ac
b d bd
+ +75
八年级数学
例 7
典型例题
题型 1 代入求值
（1）已知 求 值
（2）已知 求 值
（3） 求 值．
234
abc
22
22
23
23
a bc b
a bc c
−+
−−
4xy+− 12xy − 11
11
yx
xy
+++++
1 3x x
+
42
42
31
1
xx
xx
++
++76
八 年 级 数 学
（1）
（1）
例 8
例 9
已知 求 值．2 10xx− −
4
5
21xx
x
++
已知 求 值．2
1
13
x
x
+
3
6 1
x
x +
已知 求 值．1
15
ab
ab
+
1
17
bc
bc
+
1
16
ac
ac
+
abc
ab ac bc++77
八年级数学
（1）
（2）
例 10
例 11
等性质题型 2
已知 求
值．
33 3ab c abc a bc
cab
++ ++ + +
求 值．abcd
bcda
abcd
abcd
−+−
+−+
三整数 abc 满足
求 k 值．
()()()abbcca
abc
+++
()()()222
22 2
49abc abc abck ab c
++ ++ ++ 78
八 年 级 数 学
堂练
设 a 正数满足 求 值．2 1a a
− 2
2
4a a
−
已知： 中 AB 常数求 A B 值．
练 3
练 4 ()()
41
25 5 2
x AB
xx x x
− +−− − −79
八年级数学
已知 求证：
2aya x
−
2aza y
−
2axa z
−
已知 求 值．3
4
acem
bd f n
3 2 2017 3
3 2 2017 3
ac e m
bd f n
−+ −
−+ − +
练 5
练 680
八 年 级 数 学
典型例题
例 1
例 2
压轴突破
中 求 值．xyz
ab bc ca
+++ 0abc ≠ 0abc++ xyz++
求证： ．1abc 1111
abc
a ab b bc c ca
++++ ++ ++81
八年级数学
作业
（1） （2）
式分解：
2
2
41
44 2
a
aa a
− −−+ −
先化简求值： 中 ．4x
作业 1
作业 2
3 13 4222
aaaaa
−−÷ −+−−
32222
x xxx
− ÷ +−−−83
八年级数学
课程预览
第十三讲
课程预览
分式方程
应
分式方程
分式方程增根
分式方程实际应84
八 年 级 数 学
知识梳理
板块 分式方程
分式方程：分母中含未知数方程做分式方程．
注：分式方程必须具备：分式分母里含未知数方程． 分式
方程 分式方程整式方程．分式方程整式方程区
分母中否含未知数．
2
1x
x
2
1x
a
分式方程解法步骤：
1分母：方程两端时简公分母分式方程转化成整式方程．
2解方程：解相应整式方程．
3验根：整式方程解带入简公分母果简公分母 0整式
方程解原分式方程解否解原分式方程解称增
根．增根应舍．
注意：解分式方程必须验根．85
八年级数学
典型例题
例 2 计 算：
题型 1 分式方程
解方程 结果（ ）
A ． B ．
C ． D ．
例 1
2x −
4x
2x
解
（1）
（3） （4）
（2）311044
x
xx
− + −−−
143 3 16 2xx
−−−
3233
x
xx
+−−
2
82
42xx
−−
()
13212 1xx
−−−87
八年级数学
练 1
练 2
堂练
解方程
（1）
（1）
（2）
（2）2
1 59
11
x
xx
++− 2
33 5
1
x
xx x x
++−−
1735
2846
xx xx
xxxx
−− −−++−−−−
()()()()()()
11 1 1 111 12 23 34 4x xx x x xx x
++++− −− − − −− −88
八 年 级 数 学
知识梳理
板块二 分式方程增根
分式方程化整式方程：
（1）整式方程解时满足分式方程解分式方程解
整式方程解分式方程解解分式方程增根果整式方
程解分式方程增根原分式方程解．
（2）分式方程化整式方程整式方程解原分式方程解．
（3）分式方程化整式方程整式方程数解原分式方程数
解．89
八年级数学
例 5
例 6
典型例题
题型 1 方程增根
关 x 方程 增根 求 a 值．0111
xax
xxx
+−−−+ 1x
解分式方程 增根求 k 值．2
2 11
1
xk x
x xx x
++ +++90
八 年 级 数 学
例 7
例 8
已知关 x 方程 解求 m 值．
分式方程 解时求 m 取值范围．
32 2 133
x mx
xx
−++−−−
方程解题型 2
()
36 011
xm
x x xx
++− −−91
八年级数学
堂练
已知分式方程 增根求 a 值．
关 x 方程 解求 k 值．
1
33
xa
xx
+ ++
2
21
1
k x kx
x xx x
+−−−
方程 果增根求方程增根．1111x xa
++−
练 3
练 4
练 592
八 年 级 数 学
板块三 分式方程实际应
知识梳理
列分式方程解应题般步骤：
（1）弄清题意
（2）设定未知数：设直接未知数设间接未知数
（3）题意找出等量关系列出分式方程
（4）解分式方程验根
（5）写出符合题意答案．
列分式方程解应题需两步检验：
（1）检验否产生增根
（2）检验解否符合题意．合题意解必须舍．
纳起注意：分式方程必须验根列方程解应题必须检验解否符合
题意．93
八年级数学
典型例题
例 9
例 10
某乡村距城市 50km甲骑行车乡村出发 1 时 30 分钟乙骑
摩托车乡村出发进城甲先 1 时已知乙速度甲速
度 25 倍请求出甲乙两速度．
5 月汛期重庆某江村庄洪水沦孤岛．时洪水流速
10 千米 时张师傅奉命锋舟救援发现洪水流
航速航行 2 千米时间航速逆流航行 12 千米
时间相等．请计算出该锋舟静水中航速？
应题题型 194
八 年 级 数 学
典型例题
例 1
例 2 解方程：
压轴突破
已知 求代数式 值．223 20a ab b+−
22aba b
b a ab
+−−
31 4 4 1 3012345xxxxxx
++++++++++95
八年级数学
作业
（1） （2）
解方程：
31144
x
xx
− +−−
1 111
x
xx
−+−
学李亮学校回家先步行 4km然改公汽行 8km 回家第二天骑
行车原路回学校时间回家时间相已知骑行车
速度步行速度快 6km 时公汽速度骑行车速度 25 倍．求李
亮骑行车速度．
作业 1
作业 2
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1三角形角定理
三角形角定理：三角形三角等 180°．
三角形角定理推：
三角形外角等相邻两角．
2边形角外角
边形角：n 边形角公式 ()180 2n°× −
边形外角：n 边形外角360°．
3边形镶嵌
重叠摆放边形面部分完全覆盖做面镶嵌镶嵌密铺．
注意：种图形拼接缝隙重叠
（1）果研究正边形顶点落正边形边情况种情况
正边形边长必须相等镶嵌间隙重叠顶点处正
边形角 360°种正边形镶嵌种正边形组合起镶
嵌满足述两条件．
（2）形状完全相意三角形镶嵌成面图形．
（3）形状完全相意四边形镶嵌成面图形．
第讲
三角形边形综合
角度计算模型
三角形边
课程预览
1
2
板块 角度计算模型
知识梳理43
4常见角度模型
图△ ABC 中点 D BC 边点 50B∠ ° 30BAD∠°△ ABD
AD 折叠△ AEDAE BC 交点 F．
（1）填空： AFC∠______ 度
（2）求∠ EDF 度数．
图△ ABC 中MN 分 ABAC 边点BNCM 相交点 O 70A∠ °
38ACM∠° 26ABN∠°求：∠ BMC ∠ BOM 度数．
图示△ ABC 中 1
2B BAC∠∠△ ABC 外角分线交 BC 延长线点 D
1
3ADC CAD∠∠求∠ B 度数．
已知：图点 E AC 点 F AB BECF 交点 O 2CB∠∠
∠ BFC ∠ BEC 20°求∠ C 度数．
例1
例2
变式 1
典型例题
题型 1 角度计算
变式 165
已知副三角板 ABE ACD．
（1）两三角板图（1）放置连 BD计算 12∠ +∠ ______．
（2）图（1）中三角板 BAE 绕点 A 时针旋转锐角 α
①α ______ 时AB ∥ CD图（2）计算 12α +∠ +∠ ______．
② 45α ° 时图（3）计算 12α +∠ +∠ ______．
③旋转程中 B 点直线 CD 方时图（4）α∠ 1∠ 2 间
数量关系否会发生变化什？
④ B 点运动直线 CD 方时图（5）α（∠ CAE）∠ 1∠ 2 间数量
关系否会发生变化试说明结？
（1）图△ ABC 中 1 2∠∠ 3 4∠∠ 36D∠°∠ C 度数 ______．
（2）图AD ⊥ BD垂足 DAE 分∠ BAC
① 30B∠ ° 20DAC∠°求∠ AED 度数
② Bx °∠ ACB y °∠ 求∠ AED 度数．
图△ ABCAD 高线AEBF 角分线相交点 O 50BAC∠°
62C∠ °求∠ DAC∠ BOA 度数．
例3
例4
变式 1
题型 2 角分线相关角度计算87
图△ BCD 中BE 分∠ DBC 交 CD F延长 BC GCE 分∠ DCG
ECDB 延长线交 A 点 33A∠ ° 63DFE∠°．求∠ E 度数．
图△ ABC 中 60A∠ °BDCD 分分∠ ABC∠ ACBMNQ 分
DBDCBC 延长线BECE 分分∠ MBC∠ BCNBFCF 分分
∠ EBC∠ ECQ F∠______．
知道围绕点拼起边形角 360°时够拼成
面图形．某校研究性学组研究面密铺问题中探究两种边长相等
正边形做面密铺情形时方法：
果 x 正三角形y 正六边形进行面密铺 60 120 360xy+化简
26xy+． xy 正整数 2x 2y 4x 1y 时式成立
2 正三角形 2 正六边形 4 正三角形 1 正六边形拼成缝隙
重叠面图形图（1）（2）（3）．
（1）请仿面方法研究边长相等 x 正三角形 y 正方形进行面密铺
情形图（4）中出正方形正三角形致画出密铺图形
示意图（画出种图形）
（2）果形状相图（5）方格纸中三角形进行面密铺？
请方格纸中画出密铺设计图．
变式 1
例6
例5 题型 3 镶嵌109
1三角形三边关系：意△ ABC果中意两顶点成定点（假设 BC
定点）两点间线段短： AB AC BC+>．
理： AB BC AC+> AC BC AB+>．
：三角形意两边第三边．
推：三角形意两边差第三边．
2边形：果边形 n 条线段组成边形做 n 边形．
n 边形角线条数： ()()3 32
nn n
− ≥ ．
注：边相等角相等边形做正边形（regular polygon）．
（1）△ ABC 中 AB AC 边中线△ ABC 周长分 24 18 两部分
求三角形三边长．
（2）已知 abc 三角形三条边长
化简： abc bac cab−−+−−−−+．
（3）长度分 2345（单位：cm）4 根细木棒摆成三角形（允许连接
允许折断）问拼成少三角形？
长度 24 根铝丝折成边均正整数三角形三角形三边分记 ab
c abc≤≤请写出满足题意 abc．
例8
例7
板块二 三角形边
知识梳理
典型例题
题型 2 三角形三边关系
题型 1 三角形边1211
已知 4 条线段总长度 48cm第条线段长 acm第二条线段第条线段
2 倍 3cm第三条线段长等第二两条线段．
（1）含 a 代数式表示第四条线段长
（2） 8
3a 时 4 条线段首尾相接构成四边形？什？
（3）已知 a 整数果 4 条线段首尾相接构成四边形请直接写出满足
述条件 a 值．
图示已知 O △ ABC 点说明OA OB OC++ AB BC CA++间
关系．
面直角坐标系中四边形 ABCD 坐标分： ()11A − ()0 4B − ()20C
()03D ．求证：CD CB AD AB+> +．
1．已知：图△ ABC 中 70A∠ ° 48ABC∠°BD ⊥ AC DCE ∠ ACB 分线
BD CE 交点 F求∠ CBD∠ EFD 度数．
2 图AD △ ABC 中线BE △ ABD 中线．
（1） 15ABE∠° 40BAD∠°求∠ BED 度数
（2）作图：△ BED 中作 BD 边高垂足 F
（3）△ ABC 面积 60 6BD △ BDE 中 BD 边高少？
例9
变式 1变式 1
堂练1413
图已知△ ABC．
（1）请 BC 边分取两点 DE（BC 中点外）连接 ADAE写出
图中存两面积相等三角形相应条件表示出面积相等三角形
（2）请根（1）成立相应条件证明 AB AC AD AE+>+．
已知△ ABC0 填空：
（1）图（1）中 D1E1 分 ABBC 中点阴影部分△ ABC 面积
等 ______
（2）图（2）中 D1D2 分 AB 三等分点E1E2 分 BC 三等分点
阴影部分△ ABC 面积等 ______
（3）图（3）中 D1D2D3 分 AB 四等分点E1E2E3 分 BC
四等分点阴影部分△ ABC 面积等 ______
（4）图（4）中 D1D2D3⋯D8 分 AB 九等分点E1E2E3⋯E8
分 BC 九等分点阴影部分△ ABC 面积等 ______．
1．图△ ABC 中AD △ ABC 高AE △ ABC 角分线．已知 82BAC∠°
40C∠ °求∠ DAE ．
2．三角形三条边长分 71012x− x 取值范围 ______．
典型例题
压轴突破
1*
2*
作业1615
1 全等形：够完全重合两图形做全等形．图形移翻折旋转位置变化
形状没改变移翻折旋转图形原图形全等．应关系：两
全等边形重合起公点做应顶点公边做应边公角做应角．
2全等三角形：够完全重合两三角形做全等三角形．
表示两三角形全等时符号≌：△ ABC≌△ DEF 读作三角形 ABC
全等三角形 DEF．
注：记两三角形全等时必须表示应顶点字母写应位置．
果△ ABC △ DEF 全等记作△ ABC≌△ DEF ：
应点：点 A 应点点 D点 B 应点点 E点 C 应点点 F
应边：边 AB 应边 DE边 BC 应边 EF边 AC 应边 DF
应角： A∠ 应角 D∠ B∠ 应角 E∠ C∠ 应角 F∠ ．
3全等三角形性质：全等三角形应边相等全等三角形应角相等．
注：根全等形定义全等三角形重合全等三角形周长面积相等
时应边高相等应角角分线相等应边中线相等．
第二讲
三角形全等性质判定综合
三角形全等概念性质
三角形全等判定
二次全等辅助线
课程预览
1
2
3
板块 三角形全等概念性质
知识梳理1817
列说法正确（ ）
①张相纸洗出 10 张 1 寸相片全等形②国国旗 4 颗五角星全
等形③正方形全等形④全等形面积定相等
A．1 B．2 C．3 D．4
（1）图已知△ ACE ≌△ DFB列结中正确数（ ）
① AC DB ② AB DC ③ 12∠∠ ④ AE ∥ DF⑤ ACE DFBSS
⑥ BC AE ⑦ BF ∥ EC．
A．4 B．5
C．6 D．7
（2）三角形三边 25x三角形三边 y26两三角形全等
xy+______．
图示△ ABC ≌△ ADEBC 延长线交 DA F交 DE G
105ACB AED∠∠° 15CAD∠° 30BD∠∠ °∠ 1 度数 ___ 度．
图 6 边长相等正方形组合图形 123∠ +∠ +∠ （ ）
A．90° B．120° C．135° D．150°
1全等三角形判定 SSS：三边应相等两三角形全等（简写成边边边SSS）．
2全等三角形判定 SAS：两边 ___________ 应相等两三角形全等（简写
边角边SAS）．
3全等三角形判定 ASA：两角 ____________ 应相等两三角形全等（简
写成角边角者ASA）．
4全等三角形判定 AAS：两角中角 _____________ 应相等两三角形全等
简写成角角边（写作AAS）．
5全等三角形判定HL：斜边条直角边应相等两直角三角形全等简写成斜
边直角边（写作HL）．
例1
例2
变式 2
变式 1
题型 1 全等三角形性质
A D
E
F
B
C2
1
板块二 全等三角形判定
知识梳理2019
图已知△ ABC 中 AB AC AD 分∠ BAC请补充完整程说明
△ ABD ≌△ ACD 理．
证明：∵ AD 分∠ BAC
∴ ______ ______∠∠（角分线定义）
△ ABD △ ACD 中
∵
______________( )
______________( )
______________( )
∴△ ABD ≌△ ACD______．
图 AB AE 12∠∠ CD∠∠．
求证：△ ABC ≌△ AED．
已知：图点 C 线段 AB 中点CE CD ACD BCE∠∠．
求证：△ AEC ≌△ BDC．
图已知AB ∥ DC AB DC AE CF ．求证：△ ABF ≌△ CDE．
图△ ABC 中 90ACB∠° AC BC BE ⊥ CE 点 E．AD ⊥ CE 点 D．
求证：△ BEC ≌△ CDA．
图△ ABC 两条高 ADBE 相交 H AD BD ．
试说明△ BDH ≌△ ADC．
变式 1
题型 1 五种判定
典型例题
例5
例3
例4
变式 1
A
B CD
A BC
D E
D C
A B
E
F
AC
B
E
D
变式 22221
图AB ∥ CDAD ∥ BCOE OF 图中全等三角形 _____ ．
列命题中：
（1）形状相两三角形全等形
（2）两全等三角形中相等角应角相等边应边
（3）全等三角形应边高中线应角分线分相等
中真命题数（ ）
A．3 B．2 C．1 D．0
1（1）已知两边
SAS
HL
SSS
→
→
→
找夹角
找直角
找边
（2）已知边角
AAS
ASA
AAS
SAS
→→
→ → →
边角边 找意角
找条边角
边角条边 找条边角
找该角边
（3）已知两角 ASA
AAS
→
→
找两角夹边
找意边
2二次全等：时想证明结直接利题目中已知条件够直接证明出三角
形全等时需利已知条件证明某三角形全等利全等三角形性质推出某边
者角相等然利新出相等条件证明结．
3辅助线：①直接连接两点②做高
变式 1
例6
板块三 二次全等辅助线
知识梳理
A
B C
D
E
F
O2423
图AFEB 四点线AC ⊥ CEBD ⊥ DF AE BF AC BD ．
求证：△ ACF ≌△ BDE．
求证：全等三角形应边中线相等．
图CB CD BD∠∠求证： AB AD ．
已知： DB DC BAD CAD∠∠求证： AB AC ．
图点 E 正方形 ABCD 点 DCE ABE∠∠．
求证：△ ABE ≌△ DCE．
1 列语句：①面积相等两三角形全等②两等边三角形定全等图形③果两
三角形全等形状定相 ④边数相图形定互相重合．中错误
说法（ ）
A4 B 3 C 2 D 1
2 图△ ABC 中点 A 坐标()01 点 C 坐标()43
果△ ABD △ ABC 全等点 D 坐标 ______．
例8
例9
例7
变式 1
变式 1
题型 1 二次全等
题型 2 辅助线
典型例题
A
B
C
D
A
B C
D
A
B C
D
E
堂练2625
3 图∠ A∠ D 直角AC DB 相交点 EBE EC 相等．
求证：△ ABC ≌△ DCB．
已知图四边形 ABCD 中AD ∥ BC AB CD 求证： BC∠∠．
图D △ ABC 外点 DAB B∠∠CD ⊥ AD 12∠∠ 7AC 4BC
求 AD 长．
2*
1*
典型例题
压轴突破2827
1 图：点 ABCD 条直线 AB CD AE ∥ BFCE ∥ DF．求证： AE BF ．
2 图四边形 ABCD 中 AB DC 延长线段 CB E BE AD 连接 AEAC
AE AC 求证：
（1）△ ABE ≌△ CDA
（2）AD ∥ EC．
作业
第三讲
三角形全等辅助线常技巧
倍长中线
截长补短
课程预览
1
22827
1 图：点 ABCD 条直线 AB CD AE ∥ BFCE ∥ DF．求证： AE BF ．
2 图四边形 ABCD 中 AB DC 延长线段 CB E BE AD 连接 AEAC
AE AC 求证：
（1）△ ABE ≌△ CDA
（2）AD ∥ EC．
作业
第三讲
三角形全等辅助线常技巧
倍长中线
截长补短
课程预览
1
23029
1．倍长中线 ：中线三角形中重线段利中线解决问题时常常采倍长
中线方法添加辅助线．
谓倍长中线三角形中线延长倍便构造出全等三角形运全等三角
形关知识解决问题方法．
倍长中线重点延长中线倍完成 SAS 全等三角形模型构造．
做法：延长 AD 点 E AD DE 连接 BE．
△ ADC ≌△ EDB（SAS）
2．倍长类中线：
时需倍长线段中线中点．倍长样完成 SAS 全等三角形构造．
做法：延长 ED 点 F ED DF 连接 CF．
△ BDE ≌△ CDF（SAS）
图△ ABC 中D BC 中点．
（1）求证： 2AB AC AD+>
（2） 5AB 3AC 求 AD 取值范围．
图已知△ ABC 中AD 分∠ BAC 交 BC D D BC 中点
求证： AB AC ．
图CECB 分△ ABC △ ADC 中线
ACB ABC∠∠ AB AC ．求证： 2CD CE ．
例2
例1
变式 1
题型 1 倍长中线
板块 倍长中线
知识梳理
B
A
CD
E
A
B CD
A B D
C
E3231
等腰三角形性质：等腰三角形两底角相等．请利性质证明：
图△ ABC 中D BC 边中点E AD 点 BE AC BE 延长线交
AC F求证： AEF EAF∠∠．
图△ ABC 中AD 交 BC 点 D点 E BC 中点EF ∥ AD 交 CA 延长线
点 F交 EF 点 G． BG CF 求证：AD △ ABC 角分线．
图AD △ ABC 中线∠ ADB ∠ ADC 分线分交 ABAC 点 EF．求证：
BE CF EF+>．
图梯形 ABCD 中AD ∥ BC点 E BC AE BE 点 F CD 中点
AF ⊥ EF 27AD 4AF 5AE ．求 CE 长．
例4
例3
变式 1
变式 1题型 2 倍长类中线
A
B D C
F
E
A
B C
F
E D
G
A D
B CE
F
A
E F
B D C3433
截长补短：条件者结中出现两条线段（差）等第三边时候考虑
截长补短解决问题．
图AD ∥ BC点 E 线段 AB ADE CDE∠∠ DCE ECB∠∠．求证：
CD AD BC + ．
已知：AC 分 BAD∠ CE AB⊥ 180BD∠ +∠ °．求证： ()1
2AE AB AD + ．
图示P 等腰 ΔABC 底边 BC 意点 PD AB⊥ D PE AC⊥ E
CF 腰 AB 边高证明： PD PE CF+．
五边形 ABCDE 中 AB AE BC DE CD+ 180ABC AED∠ +∠ °
求证：AD 分∠ CDE．
图正方形 ABCD 中E BC 点F CD 点 BE DF EF+求
∠ EAF 度数．
板块二 截长补短
知识梳理
例6例5
变式 2
变式 3
变式 1
典型例题
题型 1 截长补短 题型 2 截长补短
A
B
C
D
E
A B
C
D
E
A
B C
D
E
F3635
已知△ ABC 中 60A∠ °BDCE 分分∠ ABC ∠ ACBBDCE 交点 O
试判断 BECDBC 数量关系加说明．
已知：图ABCD 正方形 FAD FAE∠∠．求证： BE DF AE+．
1．图四边形 ABCD 中AD ∥ BC点 E CD 中点BE 延长线 AD 延长线相交点 F．
求证： BE FE ．
2．图 AB AE AB ⊥ AE AD AC AD ⊥ AC点 M BC 中点求证： 2DE AM ．
3．已知：图△ ABC 中点 E BC 中点点 E 垂线∠ A 分线 AD 相交点 D
点 D 作 DF 垂直 AC 交 AC 延长线点 F．
求证： 2AB AC CF− ．
例7
变式 1
A
B C
D
E
O
堂练
A
B C
E
FD
A
C
F
D
E
B
A
B E C
D
F3837
图△ ABC 中 AB AC 点 D AB 点 E AC 延长线DE 交 BC F
DF EF 求证： BD CE ．
图已知△ ABC 60BAC∠° 40C∠ °PQ 分 BCCA
APBQ 分∠ BAC∠ ABC 角分线．
求证： BQ AQ AB BP++．
1．已知图△ ABC 中 60BAC∠°AD 分∠ BAC AC AB BD + 求∠ B 度数．
（提示：等腰三角形两底角相等）
2．图△ ABC 中 AB AC> 12∠∠ P AD 意点．
求证： AB AC PB PC− >−．
１*
２*
典型例题
压轴突破
A
B
C
P
Q
作业4039
理前提：等腰三角形性质：等腰三角形两底角相等．
等腰三角形判定：两底角相等三角形等腰三角形．
等边三角形性质：等边三角形三边相等角 60°．
模型特点：两等顶角等腰三角形组成顶角顶点公顶点
结：（1）△ ABC ≌△ AEC
（2） DOCα ∠∠
（3）OA 分∠ BOC．
变形：
第四讲
三角形全等模型
手拉手模型
角分线模型
半角模型
课程预览
1
2
3
板块 手拉手模型
知识梳理
AB
E
D
Cα
O4241
图锐角△ CDE 边 CDDE 边长外分作正方形 ABCD DEFG连接
AE CG交点 HCG DE 交点 K．
（1）求证： AE CG
（2）求∠ CHE 度数．
图甲△ ABC 中∠ ACB 锐角．点 D 射线 BC 动点连接 AD AD
边 AD 右侧作等腰直角三角形 ADE
45ADE AED∠∠° 90DAE∠° AD AE ．解答列问题：
（1）果 AB AC 90BAC∠° 45ABC ACB∠∠°．
①点 D 线段 BC 时（点 B 重合）图乙线段 CEBD 间位置
关系 ___数量关系 ___．（证明）
②点 D 线段 BC 延长线时图丙①中结否然成立什？
（2）果 AB AC≠ 90BAC∠ ≠°点 D 线段 BC 运动．
试探究：△ ABC 满足什条件时CE ⊥ BD（点 CE 重合外）？画出
相应图形．
图 1△ ABC △ ADE 等边三角形．
（1）求证： BD CE
（2）求 BD CE 夹角度．
果两等边三角形△ ABD △ BCE连接 AE CD证明：
（1）AE DC 夹角 60°
（2）AE DC 交点设 HBH 分∠ AHC．
例2
例1
变式 1
变式 1
题型 1 等腰全等
E
A
B C
D
A
B
C
E
D
H
A
B C
D
E
F
G
H
K4443
图已知△ ABC 中 AB AC 90BAC∠°点 D BC 中点点 EF 分
直线 ABAC 运动始终保持 AE CF ．
（1）图①点 EF 分线段 ABAC 求证： DE DF DE DF⊥
（2）图②点 EF 分线段 ABCA 延长线（ 1）中结否然成立？
说明理．
角分线辅助线：角分线辅助线通常 3 种图示：
终目角分线两边构成三角形全等．
图示已知 12∠∠ 180BAP BCP∠ +∠ °P BN 点 PD ⊥ BC 点 D
求证 2AB BC BD+ ．
例3
题型 1 双高
题型 2 全等等腰
板块二 角分线模型
知识梳理
典型例题
A
B D C
P
N
F
1
2
例44645
图△ ABC 中AD A∠ 分线 36BAD∠°EF 分 ABAC 点
108EDF∠°求证： DE DF ．
△ ABC 中AD ∠ BAC 外角分线P AD 意点试较 PB PC+
AB AC+ 说明理．
已知图AD △ ABC 角分线P AD 异点 A 意点连接 PB
PC试较 PB PC− AC AB− 说明理．
例5
变式 1 变式 1
题型 2 称
A
B CD
F
E
A
B C D
P
A
B D C
P4847
已知：正方形 ABCD 中 45MAN∠°∠ MAN 绕点 A 时针旋转两边分交
CBDC（延长线）点 MN．
（1）∠ MAN 绕点 A 旋转 BM DN 时（图 1）易证 MN BM DN + ．
（2）∠ MAN 绕点 A 旋转 BM DN≠ 时（图 2）线段 BMDN MN 间
样数量关系？写出猜想加证明．
（3）∠ MAN 绕点 A 旋转图 3 位置时线段 BMDN MN 间样
数量关系？写出猜想加证明．
半角模型满足条件：
（1）点两相等边
（2）顶点两角满足角角半关系
常见条件：
（3）四边形角互补
图示：
正方形 ABCD 中 45MAN∠°交角线 BD E F 交 BC M 交CD N ．：
（1） BM DN MN+
（2） CMN△ 周长正方形边长 2 倍
（3） AMB AMN∠∠
（4） AND ANM∠∠
（5）点 A MN 距离等正方形边长
例6
题型 1 半角模型
板块三 半角模型
知识梳理
F
E
M
N
B C
A D
典型例题
A
B C
D
M
N
A
B C
D
M
N
A
B C
D
M
N
图 1 图 2
图 35049
图正方形 ABCD 边 OAOC 坐标轴点 B 坐标 (6 )6 正方形 OCBA
绕点 C 逆时针旋转角度锐角度数 α正方形 DCFEED 交线段 AB 点 G
ED 延长线交线段 OA 点 H连 CHCG．
（1）求证：△ CBG ≌△ CDG
（2）求出∠ HCG 学出 HGOHBG 间数量关系．
等边△ ABC 两边 ABAC 直线分两点 MN．D △ ABC 外点
60MDN∠° 120BDC∠°BD DC ． 探究： MN 分直线 ABAC 移动时
BMNCMN 间数量关系△ AMN 周长 Q 等边△ ABC 周长 L 关系．
（1）图 1 示点 MN 边 ABAC DM DN 时BMNCMN
间数量关系 _______________ 时 Q
L
_____
（2）图 2 示点 MN 边 ABAC DM DN≠ 时猜想（1）问两
结成立？写出猜想加证明
（3）图 3 示 MN 分边 ABCA 延长线时 2AN Q ___（
含 L 式子表示）．
（1）图四边形 ABCD 中 AB AD 90BD∠∠ °EF 分边 BC
CD 点 1
2EAF BAD∠∠．求证： EF BE FD +
例7
变式 1
变式 1
O H A
C
F
E
G
B
D
x
y
A
B C
M N
D
A
B C
M N A
B C
D
M
N
图 1
图 2
图 3
A
B C
D
E
F5251
1．图C 线段 BD 点分 BC CD 边长直线 BD 侧作两等边三角形
△ ABC △ ECD连接 BE ADBE AC 交点 FAD CE 交点 G．
求证：△ ACD ≌△ BCE
2．已知：图 Rt △ ABC 中 90BAC∠° 2AC AB 点 D AC 中点 AD 斜
边△ ABC 外作等腰直角三角形 AED连结 BEEC．试猜想线段 BE EC 关系
证明猜想．
（2）图四边形 ABCD 中 AB AD 180BD∠ +∠ °EF 分边 BC
CD 点 1
2EAF BAD∠∠（1）中结否然成立？
（3）图四边形 ABCD 中 AB AD 180B ADC∠ +∠ °EF 分边 BC
CD 延长线点 1
2EAF BAD∠∠（1）中结否然成立？成立
请证明成立请写出间数量关系证明．
A
B
C
D
F
E
堂练
A
B C
D
E
F5453
O 正方形 ABCD 中心E CD 边点F AD 边点△ EDF 周长
等 AD 长．①图中求作△ EDF（求：尺规作图写作法保留作图痕迹）
②图中补全图形求 EOF∠ 度数
3．图BPCP 分 ABC 外角∠ CBD∠ BCE 分线．
求证：P 点∠ BAC 分线．
４．图 Rt △ ABC 中 AB AC 90BAC∠° 12∠∠ CE ⊥ BD 延长 E．求证：
2BD CE ．
压轴突破
E O
A
BC
D
1*5655
1．图正方形 ABCD 边长 1点 MN 分 ADCD △ DMN 周长 2求
∠ MBN 度数．
2．图四边形 ABCD 中 AB BC 80ABC∠° 180AC∠ +∠ °点 M AD 边点
射线 BM 绕点 B 时针旋转 40° CD 边交点 N请补全图形求 MNAMCN
数量关系
作业
第五讲
轴称应综合
轴称基础概念
等腰三角形问题
值问题
课程预览
1
2
35655
1．图正方形 ABCD 边长 1点 MN 分 ADCD △ DMN 周长 2求
∠ MBN 度数．
2．图四边形 ABCD 中 AB BC 80ABC∠° 180AC∠ +∠ °点 M AD 边点
射线 BM 绕点 B 时针旋转 40° CD 边交点 N请补全图形求 MNAMCN
数量关系
作业
第五讲
轴称应综合
轴称基础概念
等腰三角形问题
值问题
课程预览
1
2
35857
1．轴称图形
（1）果图形条直线折叠直线两旁部分够互相重合图形做轴
称图形条直线做称轴．时说图形关条直线（成轴）称．
（2）图形着某条直线折叠 果够图形重合说两图
形条直线称条直线做称轴折叠重合点应点做称点．
2．垂直分线
（1）垂直分线定义：线段中点垂直条线段直线做条线段垂直
分线．
（2）垂直分线性质：
线段垂直分线点条线段两端点距离相等．
（3）垂直分线判定：
条线段两端点距离相等点条线段垂直分线．
3角分线
（1）定理：角分线点角两边距离相等．
（2）逆定理：角部角两边距离相等点角分线．
（1）图等腰△ ABC 周长 21底边 5BC AB 垂直分线 DE 交 AB 点 D
交 AC 点 E△ BEC 周长（ ）．
A．13 B．14
C．15 D．16
（2）图AE ∠ BAC 角分线AE 中垂线 PF 交 BC 延长线点 F
50CAF∠° B∠___．
（3）已知：△ ABC 中 132BAC∠°ABAC 垂直分线分交 BC E
F 求 EAF∠ 度数
图AD △ ABC 角分线DE ⊥ AB EDF ⊥ AC F．
求证：AD EF 垂直分线．
例1
例2
板块 轴称基础概念
知识梳理
A
B
C
＇A
＇B
＇C
l
典型例题
题型 1 垂直分线
B E
F
A C
A
D
F
C
E
B6059
已知：∠ AOB点 MN．
求作：点 P∠ AOB 两边距离相等 MN 两点距离相等．（ 求：
尺规作图保留作图痕迹写作法）
图△ ABC 中M BC 中点DM ⊥ BCDM ∠ BAC 角分线交点 D
DE ⊥ ABDF ⊥ ACEF 垂足求证： BE CF ．
图△ ABC 中AE 垂直 ABC∠ 分线 E交 ACB∠ 分线 F F
作 MN ∥ BC 交 AB M交 AC N求证： MN AM CN + ．
1等腰三角形
两条边相等三角形称等腰三角形．相等两条边做腰外边做底．腰底
夹角做底角．两腰夹角做顶角．
2等腰三角形性质
（1）两角相等
（2）底边中线垂直底边
顶角分线垂直底边
底边中线分顶角．
中三性质通常称等腰三角形三线合等腰三角形顶角分线底边
中线底边高重合．
3等腰三角形判定
（1）两角相等三角形等腰三角形
（2）三线合逆定理：三角形中三线意两线合三角形
等腰三角形．
例3
变式 1
变式 1
题型 2 垂直分线 + 角分线
A
O B
N
M
A
B
CE
D
M
F
板块二 等腰三角形
知识梳理
A
B D C6261
图已知 AB AC BD 30DAC∠°试求 B∠ ．
图 ABACBGBHAKKG∠ BAC 度数少？
△ ABC 中AB AC 108A °∠ ．△ ABC 切成三等腰三角形请出 3 种切法？
图△ ABC 中已知 AD 分∠ BAC AD 点 P 作 EF ⊥ AD交 AB E
交 AC F交 BC 延长线 M求证： ( )1
2M ACB B∠ ∠ −∠ ．
（1）图 1△ ABC 中BD 分∠ ABCCD 分∠ ACB． D 作 EF ∥ BC 交
AB E交 AC F请说明 EF BE CF + 理．
（2）图 2BD 分∠ ABCCD △ ABC 中∠ ACB 外角分线然点
D 作 EF ∥ BC 交 AB E交 AC F第（1）题结成立？果成立
请说明理果成立否找 EF BECF 间类似数量关系？
例5
例4
变式 1
变式 2
变式 1
题型 2 等腰三角形相关证明
A
B CD
A
B C H
G
K
典型例题
题型 1 角度计算6463
图△ ABC 中 AB AC AD ⊥ BCCE ⊥ AB AE CE ．求证：
（1）△ AEF ≌△ CEB
（2） 2AF CD ．
图示 Rt △ ABC 中 90ACB∠° AC BC D BC 边中点
CE ⊥ AD 点 EBF ∥ AC 交 CE 延长线点 F求证：AB 垂直分 DF．
图 AB CD 27BAD∠° 42ABC∠°求证： AB AC ．
基问题：直线 l 找点 P直线侧两点 AB 距离．
直线 mn 交点 OPQ 两直线间两点点 P 出发分 mn 找点 A B
PA AB BQ++．
直线 mn 交 OP 两直线间点直线 mn 分找点 AB
△ PAB 周长短．
总结：问题值中__________________问题．
变式 2
变式 1
变式 1
例6
例7
A
D
F
C
E
B
B
A
D C
板块三 值问题
知识梳理
B
A
l
P
O
n
m
Q
P
O
n
m6665
次旭发现白球A45°角击出恰5次碰撞达B处 AB AD （
）
A．12
B． 23
C． 25
D．35
明著名台球俱乐部 VIP 年卡钻石级会员．次玩台球时想击 P 球
次碰撞球台 AB 边BC 边CD 边AD 边恰撞 Q 球求 P 球击路线．
图AB 直线 l 侧两定点定长线段 PQ l 行移动问 PQ 移动什
位置时 AP PQ QB++长短？
图已知牧马营 P 点处．
（1）天牧马赶着马群先河边饮水带草吃草然回营请
牧马设计出短放牧路线．
（2）天牧马赶着马群先河边饮水带草吃草请牧马设计出
短放牧路线．
图MN 分△ ABC 边 ACBC 点 AB 求作点 P△ PMN
周长说明样作理．
例1
变式 1
例8
例9
例 10
题型 2 移称
典型例题
题型 1 直接称
草
P
河流
B
A C
N
M
A
B C
D
B
P
CD
Q
A
A
P Q l
B6867
图A 直线 l 定点长度 2 线段 PQ l 方行移动始终满足
PQ l∥ ．问 PQ 移动什位置时 AP PQ QA++长短？
面直角坐标系中已知 ()1 2A − ()40B ()1Pa ()11Na+ 四边形 PABN
周长．
1．已知∠ MON 两点 AB求作：点 C 点 D点 C OM 点 D ON
AC CD BD AB+++短．
2．图△ ABC 角∠ ABC 分线外角∠ ACG 分线交点 D点 D 作 BC
行线交 AB E交 AC F．试判断 EF BECF 间关系说明理．
四边形 ABDE 中C BD 边中点．
（1）图（1） AC 分 BAE∠ 90ACE∠°线段 AEABDE 长度满
足数量关系 ______________________________（直接写出答案）
（2）图（2）AC 分 BAE∠ EC 分 AED∠ 120ACE∠°线段 AB
BDDEAE 长度满足样数量关系？写出结证明．
图示凸四边形 ABCD 中 ABD CBD∠ >∠ ADB CDB∠ >∠ ．
求证： AB AD BC CD+>+．
变式 1
变式 2
1*
2*
A
P Q
l
堂练
A
O N
M
B
A
FE D
CB G
典型例题
压轴突破
A
B C D
E
图（1）
E
DCB
图（2）
A
A
B
C
D7069
凸四边形 ABCD 角线 ACBD 垂直相交 OOA OC> OB OD> ．
求证： BC AD AB CD+>+．
1 已知△ ABC 中AD BC 边高E AB 点DG 垂直分 CEDC BE ．求证：
2ABC BCE∠∠．
2 图△ ABC 中AD BAC∠ 分线M BC 中点AD ∥ ME．
求证： ()1
2BE CF AB AC + ．
3*
AC
B
D
O
作业
A
B CD
E
F
M
第六讲
三角形中全等构造
SSA 相关构造
等边三角形构造
课程预览
1
27069
凸四边形 ABCD 角线 ACBD 垂直相交 OOA OC> OB OD> ．
求证： BC AD AB CD+>+．
1 已知△ ABC 中AD BC 边高E AB 点DG 垂直分 CEDC BE ．求证：
2ABC BCE∠∠．
2 图△ ABC 中AD BAC∠ 分线M BC 中点AD ∥ ME．
求证： ()1
2BE CF AB AC + ．
3*
AC
B
D
O
作业
A
B CD
E
F
M
第六讲
三角形中全等构造
SSA 相关构造
等边三角形构造
课程预览
1
27271
1直角三角形中边边角（HL）
两直角三角形符合 SSA 判定条件应角直角时显然符合 HL 判定两
三角形全等．
2符合 SSA 三角形两种情况
（1）全等．证明方法：作高 + 次全等
已知图： AB DE AC DF BE∠∠
∠ B ∠ E 钝角．
求证：△ ABC ≌△ DEF．
证明： A D 分作 CB 延长线垂线 AM FE 延长线垂线 DN．
△ AMB △ DNE 中
MN
ABM DEN
AB DE
∠∠
∠∠
∴△ AMB ≌△ DNE（AAS）
∴ AM DN ．
Rt △ AMC Rt △ DNF 中
AM DN
AC DF
∴△ AMC ≌△ DNF（HL）∴ CF∠∠．
△ ABC △ DEF 中
BE
CF
AB DE
∠∠
∠∠
∴△ ABC ≌△ DEF（AAS）．
A
注： SSA 中角锐角时候类似证法．
（2）全等．处理方法：①拼凑等腰②作高
图示述满足 SSA 两三角形拼凑等腰做高处理：
图E AD 中点B 线段 CE AB CD ．求证： ABE DCE∠∠ ．（请
三种方法）
CDEBFABCDACDF
板块 SSA 相关构造
知识梳理
A
B C
D
E F
A
BC
D
E FM N
A
B C
D
EF
A
CD
E
B F
A
B CD
A
CD F
A
CD
A
B F
典型例题
题型 1 SSA 图形
C
AE D
B
例17473
图△ ABC 中 AB BC 90B∠ ° D AC 中点EF 分 ABBC 点
满足 90EDF∠°．求证： DE DF ．
已知△ ABC 中DE 分 ACAB 点BDCE 交点 O
1
2BCE CBD BAC ∠∠ ∠试较 BECD 说明理．
图 1已知△ ABC 等边三角形点 D 边 BC 中点 60ADE∠° DE
∠ ACB 外角分线 CE 相交点 E．
（1）证明△ ADE 等边三角形请写出证明程
（2） D BC 延长线（C 点外）意点条件变（图 2）
△ ADE 等边三角形否然成立？成立请写出证明程成立请
说明理．
例2
变式 1变式 1
题型 2 隐蔽 SSA 图形
A
B C
D
E
F
A
B C
DE
O7675
1已等边
题目中已等边三角形时常常需构造等边三角形．两等边三角形
组成 SAS 全等．
2没等边
时然题目中没等边三角形构造等边三角形题目中条件效结合
起利结合条件想结．
等边三角形 ABC 中点 E AB 点 D CB 延长线 ED EC ．求证：
AE DB ．
图△ ABC 等边三角形延长 BC D延长 BA EAEBD连结 ECED．
求证：CEDE．
图已知△ ABC 等边三角形 60BDA∠°求证： AD BD CD + ．
图已知△ ABC 等边三角形 120BDC∠°求证： AD BD CD + ．
例3
例4
变式 1
变式 1
板块二 等边三角形构造
知识梳理
典型例题
题型 1 已等边
A
B CD
E
A
B
D
C
A
B
D
C7877
已知：图四边形 ABCD 中 60ADC∠° AD CD ．
求证： AB CB DB+>．
已知△ ABC 中 3AB 4AC BC 边△ ABC 侧做等边△ BCD
连接 AD求 AD 值．
图△ ABC 中 60ABC∠° 40ACB∠°P ABC∠ 分线 ACB∠ 分
线 交点．求证： AB PC ．
四边形 ABCD 中 AB AC DA DB 120ADB CAB∠ +∠ °求 ACD∠ ．
图△ ABC 中 AB AC 80BAC∠°O 形点 10OBC∠°
30OCB∠°．求 OAB∠ 度数．
图△ ABC 中D 三角形点满足 15DAC DCA∠∠° 90BAC∠°
CA BA 求证： BA BD ．
例5
例6
变式 1
变式 1
变式 1
例7
题型 2 没等边
A
D C
B
A
CB
O
B
A
D
C8079
1．图 60A∠ ° 30DBC ECB∠ ∠°BD CE 交点 O．求证： BE CD ．
2．图△ ABC 等腰直角三角形 90B∠ °D BC 延长线点 C 作 CM ⊥ AC
E 线段 BC 点连接 AE点 E 作 EF ⊥ AE交 CM 点 F．求证： AE EF ．
图等腰三角形 ABC 中 AB AC 20A∠ °边 AB 取点 D AD BC
求 BDC∠ 度数．
图 100ABC∠° 30ACB∠°D 线段 BC 点 10DAC∠°．
求证： AD BC ．
１*
２*
堂练
典型例题
压轴突破
A
D
CB
A
B CD8281
１．图AD △ ABC 角分线HG 分 ACAB HD BD ．
（1）求证：∠ B ∠ AHD 互补
（2） 2 180B DGA∠+∠ °请探究线段 AG 线段 AHHD 间满足等量关系
加证明．
作业
C
D
H
GA B
C
D
H
G
第七讲
全等三角形变换
轴称全等
旋转全等
移全等
课程预览
1
2
38281
１．图AD △ ABC 角分线HG 分 ACAB HD BD ．
（1）求证：∠ B ∠ AHD 互补
（2） 2 180B DGA∠+∠ °请探究线段 AG 线段 AHHD 间满足等量关系
加证明．
作业
C
D
H
GA B
C
D
H
G
第七讲
全等三角形变换
轴称全等
旋转全等
移全等
课程预览
1
2
38483
分散线段角相集中起已知条件集中基图形中产生进步
更加深入结果种思想称集散思想．者通移旋转轴称产生新
图形问题转化．
称变换：
①利轴称解决线段短距离问题
②某条已知直线称轴进行翻折题目信息糅合起．
（1）图等腰 Rt ABC△ 中 90ACB∠° 2AB AD BAC∠ 分线． P
Q 分 AD AB 动点 PB PQ+ 值 _________________
（2）图已知 30AOB∠°P 部点 3OP MN 分 OAOB 边
点 PMN△ 周长请出确定点 MN 位置方法求出
周长．
已知 AH BC⊥ H 35C∠ ° AB BH HC+求 B∠ 度数．
图 ABC△ 中 90BAC∠°CA BA D 三角形点满足
15DAC DCA∠∠°求证： BA BD ．
板块 轴称全等
知识梳理
典型例题
题型 1 称全等
例2
例1
变式 1
D
B
C
A
P
Q
B
A
O
P
B
A
D
C
CB
A
H8685
图 BC∠∠ 60° 190 2ADB BDC∠ °− ∠ 求证： AB AC ．
旋转变换两相等边集中起通三角形全等组边角相等关系
构造出新全等．条件中等边三角形正方形等腰三角形等情形时常常
作旋转变换集中条件解决问题．
已知：△ ABC △ ADE 直角三角形 90BAC DAE∠∠° AB AC 点 D
线段 BC 连结 CEBD ⊥ CE．
求证： AD AE ．
例4
例3
A
B
C
D
板块二 旋转全等
知识梳理
典型例题
题型 1 已旋转
A
B CD
E8887
图已知 90ABC DBE∠∠° DB BE AB BC ．
（1）求证： AD CE AD ⊥ CE
（2）△ DBE 绕点 B 旋转△ ABC 外部条件变（1）中结否成立？
请证明．
图示五边形 ABCDE 中 90BE∠∠ ° 1AB CD AE BC DE+求
五边形面积 _____________．
已知： Rt ABC∆ 中 90BAC∠° AB AC 点 DE 分直线 BC 两动点
45DAE∠°．
（1）点 DE 线段 BC 时图 1求证： BD CE DE+>．
（2）动点 E 线段 BC 动点 D 运动线段 CB 延长线时图 2条件变
（1）中探究结否发生改变？请说明猜想予证明．
变式 1 变式 1
题型 2 构造旋转
A
B C
D
E
F
A
B
C
D
E
例5
A
B E CD
图 29089
移变换角保持变角两边方变情况移动位置．线段
保持行相等条件移动位置达相关元素相集中元素间关系明
朗化目．
图两条长度 1 线段 AB CD 相交 O 点 60AOC °∠ 求证：
1AC BD+≥．
已知：M 矩形 ABCD 点求证：存四边形四条边分等 MAMB
MCMD角线分等 AB BC两角线相互垂直．
1．AD 三角形 ABC 角分线直线 MN AD⊥ AE MN 点较 ABC△
EBC△ 周长证明．
２．图点 C 线段 AB 点△ ACM△ CBN 等边三角形D AN 中点E BM
中点求证：△ CDE 等边三角形．例6
变式 1
板块三 移全等
知识梳理
典型例题
题型 1 已旋转
O
D
C
B
A
A
B C
D
M
堂练
N
M
DB C
A E
M
A C B
ED
N9291
（1）图 1 示线段 AC 点 P分 APCP 边直线 AC 侧做等
边三角形 ABP CDP连结 AD BC△ ADP △ BCP 全等 _______（填
成立者成立）
（2）图 2 示已知：△ ABC 中 BC a AC b AB 边作等边三角形
ABD．探究列问题：图∠ ACB 变化点 D 点 C 位直线 AB 两侧时
求 CD 值相应∠ ACB 度数．
2*
１*
压轴突破
典型例题
图△ ABC 中 AB AC AD BE 求证： 1
2ED BC≥ ．
１ 图 90ABC∠° BAD ADC∠∠ 2CD AB 求 BAD ACB∠ −∠ 值．
B
A P
D
C
A B
C
D
图 1 图 2
作业
A
D
CB93
２ 已知正方形 ABCD 中EF 分 BCCD 延长线点满足 45EAF∠°．求证：
BE EF DF + ．
A
B
D
C E
F1
八年级数学
课程预览
幂运算
整式法
第八讲
整式法高阶2
八 年 级 数 学
注意： _______（ ）．
知识梳理
底数幂法：般： _________（mn 正整数）．
：底数幂相底数变__________________．
幂底数 时变形：
mnaa⋅
1− a−
幂方：根方意义底数幂法： ____
（mn 正整数）．
：幂方底数变指数相．
()nma
积方：般： （n 正整数）．
：积方等积项式分方幂相．
()n nnab a b
板块 幂运算
{（1）n
1 (n 偶数 )
1（n 奇数） {（a）n
an (n 偶数 )
an（n 奇数）
a0 a 03
八年级数学
题型 1 幂运算应
（1） 33mx + 写成（ ）
A ． B．
C． D．
A ． B．
C． D．
13 mx + 33mxx+
31mxx+⋅ 33mxx⋅
（2） 2xa 3xb 7x 等（ ）
2ab+ 2ab
2ab
（3）式子 结果（ ）
2015
2016 12 2
⋅−
A ． B ．
C． D．
1
2 2−
1
2
−2
（4）列等式正确 _________________．
① ② ③
④ ⑤
典型例题
例 1
()323 6926xy xy−− ()32ma− ()36933aa
()()5 7 355 10 7 10 35 10× ×× × ()()100 10010105 2 05 2 2− × −××4
八 年 级 数 学
（ 1 ） 求 值．4 32xy×2 5 50xy+ −
（ 2 ） 含 a b 式子表示 ．87a 78b 5656
例 25
八年级数学
计算：
较
2016 2018 2018
2018 2018
7 3 15
3 7 35
+ × +
552 443 335 226
例 3
例 46
八 年 级 数 学
()()1243mmab ab− − ⋅− −
堂练
()()2 4 22 1 9 2m nn ma b a b ab+− + 2mn+已知 求 值．
2 27 37 47 1998abcd⋅⋅⋅
( )2015abcd−−+
已知： 中 abcd 然数求
值．
计算
56
711632
− × ×−
（1） （2）
练 1
练 2
练 37
八年级数学
知识梳理
单项式单项式：单项式单项式相系数相字母幂分相
单项式出现字母连指数作积式．
单项式项式：单项式项式相单项式项式项
积相加．
项式项式：项式项式相先项式项项
式项积相加．
板块二 整式法8
八 年 级 数 学
题型 1 整式法计算
计算：
（1） （2）
（3） （4）
解方程：
（1） （2）
例 5
例 6
典型例题
2 222 31
3 42x yz z xy z − ⋅− ⋅ ()()322323axy abxy − +⋅ +
()4 3 34 2 8aa a−−−+()()2 31xyx y+ +−
()() 225 2 7x x xx x−− + − ()()()()2 32 4 4 2 3x x xx+ − + −9
八年级数学
题型 2 代数式求值
（1）已知2 30x −求 ()()2259xx x x x−+ −−值．
（2）已知 abm+ 4ab − 求 22ab−−值．
（1）已知 恒成立求abc++值．
例 7
例 8 ()22 3323 54x ax x b x c x x+++− ++10
八 年 级 数 学
（2）项式 展开含 3x 项 2x 项试求 m
n 值．
（1）已知 20ab+求 ()332 48a ab a b b+ ++ −值．
（2） 2 10mm+ − 求 322 2017mm++ 值．
例 9
()()2234x mx n x x+ + −+11
八年级数学
（1）()4 432
1 2 3 451x ax ax ax ax a+++++试求 135aaa++值
（2）()2011 2011 2010 2009
1 2 3 2011 20121x ax ax ax a x a+ + + ++ + 试求
1 3 5 2011aaa a++++ 值．
123456789 123456786x × 123456788 123456787y × 试较
xy ．
例 10
例 11
12
八 年 级 数 学
堂练
已知 2 1xx+求 4 322 2 2017x xx x+ −−+ 值．
项式 2 8x ax++项式 2 3x xb−+相积中含 2x 3x 项求
()()3 33ab a b−−−值．
正方形边长增加 3cm面积增加 69cm2求正方形
边长．
练 4
练 5
练 613
八年级数学
典型例题
1 较 1615 1333 ．
压轴突破14
八 年 级 数 学
作业
（1） 22 4123 32ab ab b ab−+ ⋅
（2）()()7m nmn−−
先化简求值： 中
．3y
作业 1
作业 2 ()()()()22 24 2x y x y yx y x y− + − −+ + 8x 15
八年级数学
课程预览
常法公式
补充公式
法公式应
第九讲
法公式高阶应16
八 年 级 数 学
知识梳理
板块 常法公式
方差公式：两数两数差相等两数方差．
： ___________．
口诀：首方尾方积两倍中央．
完全方公式：两数（差）方等两数方加（减）
两数积 2 倍．
： _______________ _______________
()()abab+ −
()2ab+ ()2ab−17
八年级数学
典型例题
例 1 计算
（1） （2）
（4）（3）
（1） （2）
（4）（3）
例 2
题型 1 法公式应
()()22xyy x+− ()()mn t mn t−+−−
()()abcabc+− −− ()()()()22442 233abababab+−++
()232ab+ ()225ab−−
()232xy z−− ( )()abcdabcd++− +−+18
八 年 级 数 学
例 3 （ 1 ）已知 求 值．
（ 1 ）计算 2
24690
12346 12345 12347−×
（ 2 ）计算
（ 3 ）计算
例 4
()2 2 2 10xy x y+ − − + ()2017xy+
()()()()2 4 8 1698 18 18 18 1+++ +
2222 2100 99 98 97 2 1−+−++−19
八年级数学
（2）
已知 求 值．ab+
堂练
练 1 （1）
练 2
()()33xy xy+− −+ ()()()()422 16 2 4xx xx−+++
()()5 5 231ab ab+− ++ 20
八 年 级 数 学
板块二 补充公式
立方立方差公式：
完全立方公式：
附加公式：
知识梳理
()()2 2 33a b a ab b a b+ −+ +
()( )2 2 33aba abb a b− ++ −
()3 3 2 2333a b a a b ab b++ + +
()3 3 2 2333a b a a b ab b−− + −
()2 222222a b c a b c ab ac bc++ + + + + +21
八年级数学
典型例题
题型 1 利公式计算
计算
（1） （2）
（4）（3）
计算
（1） （2）
（3）
例 5
例 6
()()22 42y yy+ −+ ()()23 19 3 1a aa− ++
( )222184233x y x xy y+ −+
()()()2 222 2ab ab abbb− −+ − +
()321a − ()332b+
()()3321 1xx− −−22
八 年 级 数 学
知识梳理
例 7 已知 求列式子值：
（1） （2）
0abc++ 2221abc++
ab bc ca++ 22 22 2 2ab bc ca++23
八年级数学
堂练
计算
已知 求 值．3 9a
练 3
练 4
()()2 2 4 22 4x y x xy y− ++
()()()()2211 1 1a a aa aa− + −+ ++24
八 年 级 数 学
知识梳理
板块三 法公式应
法公式变形：
()()22
22
2
ab abab
+ +−+ ()()22
4
ab abab
+ −−
()222 2a b a b ab++ − ()222 2a b a b ab+− +25
八年级数学
典型例题
题型 1 利公式计算
已知 求 值．（1）
（2）
4xy+ 13xy − 223x xy y−+
已知 求 ab 值．9ab+ 2253ab+ ab− 33ab+
已知
求代数式 值．
1 2020ax + 1 1920bx + 1 2120cx +
222a b c ab bc ac++−−−
例 8
例 926
八 年 级 数 学
（1）已知实数 ab 满足 求
值．
2222 4 6 14abc abc++− −− abc++
已知 求 值．
（3）
（2） 1ab− 2bc− 222a b c ab bc ca++−−−
已知 求 ab 值．22 2 216 1 10a b a b ab+ + +
例 1027
八年级数学
题型 2 公式应
222 0a b c ab bc ac++−−−
两数 ab 满足 ab 整数方差 29
求 ab 值．
0ab>>
例 11
例 12
已知△ ABC 三边长分 abc满足
试判断△ ABC 形状．28
八 年 级 数 学
堂练
已知 ．求（1） 值（2） 值．5ab− 4ab 2233ab+
已知 求 值．3ax by+ 5ay bx−
求证： ．xyab++ 2 2 22xyab++ 2017 2017 2017 2017xyab++
练 5
练 6
练 7
()2ab+
()()222 2abx y++29
八年级数学
典型例题
压轴突破
然数减 45 完全方数然数加 44
完全方数试求然数．
已知 求 值．
例 1
例 2 ()()2017 2015 2016xx− − ()()222017 2015xx−+ −30
八 年 级 数 学
作业
列计算正确（ ）
()( )2 2332 48x y x xy y x y+ −+ +
()( )2 2332 24 8x y x xy y x y+ ++ +
()( )2 2332 24 8x y x xy y x y+ −+ +
()( )2 2332 44 8x y x xy y x y+ −+ +
已知实数 ab 满足 求 ab 值．222 2 4 40a ab b b− + − +
A．
B．
C．
D．
作业 1
作业 231
八年级数学
课程预览
常式分解方法
十字相法
分组分解法
第十讲
式分解中
考真题演练32
八 年 级 数 学
知识梳理
板块 式分解常方法
1式分解概念
项式写成整式积形式样式子变形做项式
式分解做项式分解式．
分解式时必须握三原：
（1）式分解必须恒等变形．
（2）式分解必须写成项式积形式．
（3）式分解必须分解式分解止半途废．
2公式：项式项含公式做项式公式．
注：
（1）公式确定分数字系数字母两部分
（2）公式数字母项式式．
注意事项：
（1）公式提千万遗漏
（2）式分解结果项式写单项式面相式写成幂形式
（3）公式提括号外时般括号项式首项系数变正数．
3式分解常方法
（1）提取公式法
利法分配律项式分解成公式剩余部分程做提取
公式法．般形式： ．ma mb mc m a b c+ + ++33
八年级数学
提取公式法分解式时应该注意点：
①公式提
②公式提括号外括号整式首项系数正．
③分解式中果项式应该括号中项式化含类项括号形式．
错误应该 ． ()()22 12xx x+ −+ ()()221xx++
（2）公式法
逆法公式进行式分解方法做公式法．
方差公式 逆公式式分解形 项
式成 形式理 分解 ．
利公式法进行式分解时注意公式中字母应关系灵活运．
常公式：
（1）方差公式：
（2）完全方公式：
()() 22abab a b+ −− 22ab−
()()abab+− 241a − ()()2 12 1aa+−
()()22a b abab−+ −
()2222a ab b a b+ ++
()2222a abb ab− +−34
八 年 级 数 学
例 2
典型例题
题型 1 提公式法
式分解：例 1
2312 2a bc abc+（ 1 ） 22 2 115 12 9mn m n mnab a b ab++ +−+（ 2 ）
（ 1 ） （ 2 ）
式分解：
()()212 6a b cb a−− − ()()25 3 15aa−−−35
八年级数学
例 3
例 4
题型 2 公式法
（ 1 ） （ 2 ）
（ 3 ） （ 4 ）
（ 1 ） （ 2 ）
()()225 21aa+− − ()2 293xy−−
()22 2 224a b ab+− 4 1x −
( )22 2 2 224m p q pq−− − 2314 49a b a b ab−−36
八 年 级 数 学
堂练
282m n mn+
2244b ab a− +
分解式：
分解式：
____________________．
____________________．
32a ab−分解式： ____________________．
25 3436xy xy− 22 22 84a bc ac abc+−
29 12 4xx−+
（ 1 ） （ 2 ）
（ 3 ） （ 4 ）
（ 1 ）
（ 2 ）
（ 3 ）
练 1
练 2
()2 24ab a+−37
八年级数学
知识梳理
板块二 十字相法
1 简单十字相法——二次项系数 1
形 二次三项式已学会公式法进行式分解外
通公式法解决二次三项式通种新方法——十字相法式
分解．然二次三项式利十字相法分解够利十字
相法进行式分解二次三项式项系数着密切关系．
先整式法例子
面等式反：
反观两次二项式积展开程：
出二次三项式系数分解
两次二项式中常数项存定数量关系 ．
类似 进行式分解想办法找两数 ab
．样 分解成 ．
显然 时正满足求写成面形式：
222a ab b++
()() 21 2 32x x xx+ +++
()()2 32 1 2xx x x+ + + +
()()()221 2 12 12 3 2x x x x xx+ + + + +× + +
312 + 2 12 ×
2 56xx++
5 ab + 6 ab 2 56xx++
2 3ab 3 2ab
2 56xx++
1 2
1 3
1312 5× +×
23 6×
∴
()()xaxb++
()()2 56 2 3xx x x+ + + +38
八 年 级 数 学
面种规律总结成种分解式方法——十字相法．十字相法
观察试数办法凑出结果做练熟练掌握．注意十字相
程式分解更加直观简洁减少符号错误需写解题程中．
试填列式子中欠缺部分：
2 稍复杂十字相法——二次项系数 1
面题目例子中二次项系数 1二次项系数 1应该
办呢？接例子：
式分解结果：
面等号两边式子系数关系：
二次项系数
常数项
．
面发现整理：
（_____）2 56xx− + 2x −（ 1 ）
（ 2 ）
（ 3 ）
（ ）
2 56xx− − 1x −（ ）（_____）
2 76xx− +（_____）（_____）
2 12xx+− （ 4 ） （_____）（_____）
22 76xx−+
2 21 ×
22 76xx−+
2
1
3−
2−
()()2 36− ×−
()()()()()()()222 3 2 21 3 1 2 2 3 2 2 7 6x x x x xx− − × + − ×+ ×− +− ×− − +
()()22 7623 2xx x x− + − −
()()63 2− ×−
()()2 21 3 7×− +×− −
()()2 21 3 7×− +×− −39
八年级数学
∴
遇二次三项式二元二次齐次三项式式分解题时应该优先考虑否构成完
全方式果尝试十字相法．
()()22 7623 2xx x x− + − −40
八 年 级 数 学
例 6
典型例题
例 5 （ 1 ） （ 2 ）
（ 1 ） （ 2 ）
题型 1 十字相法式分解
2 6xx−− 2 12xx+−
（ 3 ） （ 4 ）2 10 24xx−− 2 15 36xx−+
2212x xy y+− 226 91x xy y+−
（ 3 ） （ 4 ）2234x y xy++ 22 34x y xy+−41
八年级数学
例 7
例 8
（ 1 ） （ 2 ）
（ 3 ） （ 4 ）
26 72xx−+ 23 83xx−−
212 11 15xx−− 26 12xx−+
二次三项式 （m 整数）整数范围分解两次
式积求 m 取值．
2 8x mx−−42
八 年 级 数 学
题型 2 带字母十字相法
例 9 （ 1 ） （ 2 ）
（ 3 ） （ 4 ）
()2 1x m xm−+ + ()2 2 12xm m+ ++
() 21m x xm+ +− ()22mx m n x mn−++43
八年级数学
堂练
（ 1 ） （ 2 ）
（ 1 ） （ 2 ）
2 11 42xx−− 2 6 216xx+−
2 68xx−+ − 3223xxx−−
练 3
练 444
八 年 级 数 学
知识梳理
板块三 分组分解法
提公式法公式法十字相法外第四种常见式分解方法：
分组分解法．
讲分组分解法前先面例子：
分解式：
观察题目题目里前两项公式 两项公式
首先前两项两项分提取公式 两项
公式
然提取公式
容易验证 原式式分解结果．
总体程：
．
面例子方法分组分解法．通面例子题目
恰分组解题关键．通观察式子中字母系数进行合适分组分
组提公式者运公式法．
ma mb na nb+ ++
m n
()ma b+ ()na b+
()ab+
()ab+ ()()mnab++
()()mnab++
()()()()()()ma mb na nb ma mb na nb m a b n a b m n a b+++ + ++ ++++ +45
八年级数学
典型例题
题型 1 分组分解法
例 10 （ 1 ） （ 2 ）
（ 3 ） （ 4 ）
ax by bx ay−−+ 2x xy x y− −+
ax bx ay bz az by−++−− 22 1x ax x ax a+ + + −−
（ 1 ） （ 2 ）229 26a b ab− +− 22a ab c bc−−+
（ 1 ） （ 2 ） 2 2 2 22222x y z xy yz zxxy+++++−
式分解：例 11
例 12
（ 1 ） （ 2 ）
()22 2 2 224a b c ab+− −46
八 年 级 数 学
堂练
（ 1 ） （ 2 ）5 9 3 15xy x y+− − 27 3 21x y xy x−+−
228 200 8 2xy x y+−− 2ay ax a ab bx xy−−+++（ 1 ） （ 2 ）
练 5
练 647
八年级数学
典型例题
压轴突破
（ 2 ）222222a b c bc ac ab++− + − 329 27 27bb b−+−
分解式：
已知 求 值．xy≠ 3 7xx− 3 7yy− 22x xy y++
（ 1 ）例 1
例 2
例 3
()()223 3 3 48xx xx+− ++−48
八 年 级 数 学
作业
（ 1 ） （ 2 ）
（ 3 ） （ 4 ）
2 16ax a−
()()22axy byx−+ − 224 41x y xy+−−
明做式分解题目时误 常数项符号错分
成 试求原式分解题目结果．
22x ax b++
作业 1
作业 2
()()2 22ma m a−+ −
()()21 3xx+−49
八年级数学
课程预览
第十讲
课程预览
式分解高阶
方式技巧
换元法
双十字相法
添项拆项法50
八 年 级 数 学
知识梳理
解题程中常某较复杂代数式成整体字母
代简化代数式种方法换元法．介绍种常见情况：
板块 换元法
1换单项式
结构较复杂次三项式中某单项式成整体
新字母代化成二次三项式形式问题简化．
式子
里令 原式子化：
式进行式分解：
时注意式子没分解完应 代入式否继续分解．
：
： ．
2换项式
结构较复杂代数式中某项式成整体
新字母代化成二次三项式形式问题简化．
式子
里令 原式子化
式进行式分解：
：
： ．
4234xx−−
2xt 2 34tt−−
()()2 34 1 4tt t t− − + −
2tx
()()()()()()()22 241 4 1 2 2 1tt x x xxx− + − + + − +
()()()42 234 2 2 1xx x x x− − + − +
()()2221 2 13xx xx++ + ++ −
2 1xx t+ + 2 23tt+−
()()2 23 3 1tt t t+ − + −
()()( )()()()22 23 1 13 11 4 1t t xx xx xxxx+ − +++ ++− ++ +
()()()()222 21 2 13 4 1xx xx xxxx++ + ++ − ++ +51
八年级数学
典型例题
例 1
例 2
题型 1 重复出现
式分解：
（1）()()2226xx xx− + −− （2）()()42 424 3 10xx xx+− +++
（3） （4）()()22 2248 3 482xx xxxx++ + +++()()21xyxy+ +− +
计 算：
( )()()()8 87 876 87 876 8765 8 87 876 8765 87 876++ + + −++ + +52
八 年 级 数 学
例 3
例 4
题型 2 逐项相关
（1）
（1）
（2）
（3） （4）
（2）()()()1 2 31xx x x+ + ++ ()()()()1 2 3 4 24xx xx− − − −−
()()()()2 3 5 6 16xxxx+ + − −+ ()()()2 1 3 5 12x xx− + ++
()()()() 21236xx xx x+ + + ++
()()()() 24 5 6 10 12 3xxx x x+ + + +−53
八年级数学
例 5
例 6
（2）
（2）
题型 3 次数较高数字较
（1）
（1）
（3） （4）
4280 81xx+− 6328 27xx−+
63 214 49x xy y++ 42 215 16a ab b−−
422017 2016 2017xxx+ ++()222017 2017 1 2017xx− −−54
八 年 级 数 学
x 整数求证： 完全方数．
堂练
计算
（1）
（1） （2）
（2）
()()()() 2612131 1x x xx x− − − −+ ()()22 23 2 9 18 60aa aa a++ −+ −
练 1
练 2
练 3
()()()22 21a b ab a b ab+− +− + − ()2 1 2017 2018xx x+− ×
()()()()2 4 6 8 16xxxx+++++55
八年级数学
知识梳理
板块二 双十字相法
分解二次三项式时常十字相法某二元二次六项式
十字相法．
例：式分解
．
22ax bxy cy dx ey f+ + +++
222 8 16 6x xy y x y− − −+ −
12 3
14 2
−
−
()()222 8 16 6 2 3 4 2x xy y x y x y x y− − −+ − + − − +56
八 年 级 数 学
（1）
（3）
（2）
（4）
（1） （2）
例 7
例 8
典型例题
题型 1 双十字相法式分解
223 10 9 2x xy x y y− −− + − 224 4 421ababba+ − −++
式分解：
22534xy xy−+++ 222 7 22 5 35 3x xy y x y− − −+ −
22 223 72x xy y xz yz z− − −+ − 22 2695156x xy y xz yz z−+−+ +57
八年级数学
例 9
例 10
已知 三角形三条边
求证： ．
a b c 22 2433720a ac c ab bc b+ +−−+
2bac +
k 值时项式 式 ？222 8 10x xy y x y k+− ++ + 22xy++58
八 年 级 数 学
堂练
（1）
（1） （2）
（2）22423xy xy−+++ 222 228x y xy x y+− +−−
222 3 14 15x xy y x y+ − ++ −
练 4
练 5 ()()2233x xy y xy+ + +− + −59
八年级数学
板块三 添项拆项法
知识梳理
添项拆项法：代数式直接分解没明显换元项
时尝试中某项拆成两项者添加特殊项起桥梁作
然四种常方法式分解．例：式分解 常数项 2 写成
两 1分 组成两组运分组分解法够利分解：
需注意添项拆项法运
非常灵活定观察思考满足公式法十字相法分组分解法代数
式性质越熟悉越容易出具体题目应该添项拆项．
3 2xx+−
()()()()33 22111 2xx x x x xx+− − + − − ++
x3x60
八 年 级 数 学
（3）
（5）
（1） （2）
（4）
（6）
典型例题
题型 1 拆项
例 11 式分解：
3 54xx−+ 224 4 43x xy y−−+−
421xx++ 4 22 411x xy y−+
326 11 6xx x+++ 4322 2 21xxxx+ + ++61
八年级数学
（3）
（5）
（1） （2）
（4）
例 12 式分解：
题型 2 添项
3 98xx−+ 2216 8 2x xy y−−+
4 4x + 4 72xx−−
()()42 424 3 10xx xx+− +++62
八 年 级 数 学
堂练
（1） （2）
式分解：
式分解：
444mn+ 4 324x +
32 20xxx+ −+
练 6
练 763
八年级数学
典型例题
（1） （2）例 1
例 2 式分解：
322 22 24xx x+− + 324 64xxx− +−
压轴突破
43 29 3 7 32xxxx− + −−64
八 年 级 数 学
典型例题
例 3
例 4
果 两式 求 值．32 8x ax bx+ ++ 1x + 2x + ab+
10 位乒乓球选手进行单循环赛设 1 号选手胜 场输 场
2 号选手胜 场输 场……10 号选手胜 场输 场．
试较 ．
1x 1y
2x 2y 10x 10y
22 2
1 2 10xx x++ 22 2
1 2 10yy y++65
八年级数学
作业
（1） （2）
式分解：
4254bb−+
10000a 9999b 222 669ab abab+− −++已知： 求
作业 1
作业 2
()()2223 2 38aa aa− − −−67
八年级数学
课程预览
第十二讲
课程预览
分式运算
分式概念运算
分式应68
八 年 级 数 学
知识梳理
板块 分式概念运算
1分式概念性质
形 果 AB 表示两整式 B 含字母式子做分式．
（1）分式意义意义分式值 0 条件
①分母 时分式 意义
②分母 时分式 意义
③分母 分子 时分式 值 0．
2 分式
A
B
A
BA
B A
B
0B
0B ≠
0B ≠ 0A
（2）分式基性质
分式分子分母（）等 0 整式分式值变．
述性质式子表示： 中 ABC 整式．A AC
B BC
⋅ ⋅ ()0A ACCB BC
÷ ≠÷
①分式约分
分式分子分母没非零次公式时称简分式（约分式）．约
分化分式简分式．整系数分式约分时约分子分母高
公式外应该约分子分母系数公约数．
例 2
2
24 2
36 3
xy y
xy x
②分式
法法：
法法：
A C AC
B D BD
⋅⋅⋅
A C A D AD
B D B C BC
⋅÷⋅⋅69
八年级数学
②分式通分
②分式加减
式子表示： ．
分式法运算根结底法运算法运算实质约分分式化
简分式具体进行分式法运算时注意点：
（1）分子分母单项式时直接法法运算约公式．
（2）分子分母项式时应先分分解式约分．
（3）式者式整式时做分母 1 式子然法
法计算．
（4）法法级运算应左右序进行计算．
（2）分式加减
利分式基性质分式分子分母时适整式改变分式
值样分式变形做分式通分．通分分母做公分母．通分时
般选取原分母式高次幂积作公分母做简公分母．
例 通分 式 3 b 式 2a c．
两分母中式高次幂积 通分时公分母 ．
2
1
3ab 2
1
2ab c
23ab 2a 22ab c 2b
226abc 226abc
①分母分式相加减分母变分子相加减
式子表示： ．
②异分母分式相加减先通分变分母分式加减．
式子表示： ． A C AD BC AD BC
B D BD BD BD
±± ±
A B AB
CC C
±±
n
n n
n
nn
A A A A AA A A
B B B B BB B B
⋅⋅ ⋅⋅⋅⋅ ⋅⋅ ⋅
n n
n
AA
BB
71
八年级数学
例 3
例 4
（1）
（3）
（4）
（2）
题型 2 分式加减
2223 4
11
aa
aa
+ −−+++ 2
16 1
5 25 10 2
x
xx x
+−−−− +
21 21aaa aa
−+−÷
2
22
24
44 2
aa a aaa aa a
+− + ×−++ + 72
八 年 级 数 学
例 5
例 6
样道题：计算： 值中 ．
旭 错抄成 计算结果正确．
说回事？
2
22
21 1
1
xx x xx xx
−+ −÷−−+ 2004x
2004x 2040x
计算 ()()()()()()
abc
abac bcba cacb
++−− −− −−73
八年级数学
堂练
（1） （2）
2
22
3 26
9 69
xx x
x xx
+−−− −+
实数 ab 满足 记 证明： ．1ab 11
11M ab
+++ 11
abN ab
+++
MN
练 1
练 2
2
2
48 1 1
2 11
aaa a
aa a a
− +−÷−−− − +74
八 年 级 数 学
知识梳理
板块二 分式应
1代入求值
代入求值题型分：
（1）代入消元
（2）整体代入消元
（3）降次消元．
2等性质
等性质： ．
注：等性质三例适．
ac
bd
0bd+≠ a c ac
b d bd
+ +75
八年级数学
例 7
典型例题
题型 1 代入求值
（1）已知 求 值
（2）已知 求 值
（3） 求 值．
234
abc
22
22
23
23
a bc b
a bc c
−+
−−
4xy+− 12xy − 11
11
yx
xy
+++++
1 3x x
+
42
42
31
1
xx
xx
++
++76
八 年 级 数 学
（1）
（1）
例 8
例 9
已知 求 值．2 10xx− −
4
5
21xx
x
++
已知 求 值．2
1
13
x
x
+
3
6 1
x
x +
已知 求 值．1
15
ab
ab
+
1
17
bc
bc
+
1
16
ac
ac
+
abc
ab ac bc++77
八年级数学
（1）
（2）
例 10
例 11
等性质题型 2
已知 求
值．
33 3ab c abc a bc
cab
++ ++ + +
求 值．abcd
bcda
abcd
abcd
−+−
+−+
三整数 abc 满足
求 k 值．
()()()abbcca
abc
+++
()()()222
22 2
49abc abc abck ab c
++ ++ ++ 78
八 年 级 数 学
堂练
设 a 正数满足 求 值．2 1a a
− 2
2
4a a
−
已知： 中 AB 常数求 A B 值．
练 3
练 4 ()()
41
25 5 2
x AB
xx x x
− +−− − −79
八年级数学
已知 求证：
2aya x
−
2aza y
−
2axa z
−
已知 求 值．3
4
acem
bd f n
3 2 2017 3
3 2 2017 3
ac e m
bd f n
−+ −
−+ − +
练 5
练 680
八 年 级 数 学
典型例题
例 1
例 2
压轴突破
中 求 值．xyz
ab bc ca
+++ 0abc ≠ 0abc++ xyz++
求证： ．1abc 1111
abc
a ab b bc c ca
++++ ++ ++81
八年级数学
作业
（1） （2）
式分解：
2
2
41
44 2
a
aa a
− −−+ −
先化简求值： 中 ．4x
作业 1
作业 2
3 13 4222
aaaaa
−−÷ −+−−
32222
x xxx
− ÷ +−−−83
八年级数学
课程预览
第十三讲
课程预览
分式方程
应
分式方程
分式方程增根
分式方程实际应84
八 年 级 数 学
知识梳理
板块 分式方程
分式方程：分母中含未知数方程做分式方程．
注：分式方程必须具备：分式分母里含未知数方程． 分式
方程 分式方程整式方程．分式方程整式方程区
分母中否含未知数．
2
1x
x
2
1x
a
分式方程解法步骤：
1分母：方程两端时简公分母分式方程转化成整式方程．
2解方程：解相应整式方程．
3验根：整式方程解带入简公分母果简公分母 0整式
方程解原分式方程解否解原分式方程解称增
根．增根应舍．
注意：解分式方程必须验根．85
八年级数学
典型例题
例 2 计 算：
题型 1 分式方程
解方程 结果（ ）
A ． B ．
C ． D ．
例 1
2x −
4x
2x
解
（1）
（3） （4）
（2）311044
x
xx
− + −−−
143 3 16 2xx
−−−
3233
x
xx
+−−
2
82
42xx
−−
()
13212 1xx
−−−87
八年级数学
练 1
练 2
堂练
解方程
（1）
（1）
（2）
（2）2
1 59
11
x
xx
++− 2
33 5
1
x
xx x x
++−−
1735
2846
xx xx
xxxx
−− −−++−−−−
()()()()()()
11 1 1 111 12 23 34 4x xx x x xx x
++++− −− − − −− −88
八 年 级 数 学
知识梳理
板块二 分式方程增根
分式方程化整式方程：
（1）整式方程解时满足分式方程解分式方程解
整式方程解分式方程解解分式方程增根果整式方
程解分式方程增根原分式方程解．
（2）分式方程化整式方程整式方程解原分式方程解．
（3）分式方程化整式方程整式方程数解原分式方程数
解．89
八年级数学
例 5
例 6
典型例题
题型 1 方程增根
关 x 方程 增根 求 a 值．0111
xax
xxx
+−−−+ 1x
解分式方程 增根求 k 值．2
2 11
1
xk x
x xx x
++ +++90
八 年 级 数 学
例 7
例 8
已知关 x 方程 解求 m 值．
分式方程 解时求 m 取值范围．
32 2 133
x mx
xx
−++−−−
方程解题型 2
()
36 011
xm
x x xx
++− −−91
八年级数学
堂练
已知分式方程 增根求 a 值．
关 x 方程 解求 k 值．
1
33
xa
xx
+ ++
2
21
1
k x kx
x xx x
+−−−
方程 果增根求方程增根．1111x xa
++−
练 3
练 4
练 592
八 年 级 数 学
板块三 分式方程实际应
知识梳理
列分式方程解应题般步骤：
（1）弄清题意
（2）设定未知数：设直接未知数设间接未知数
（3）题意找出等量关系列出分式方程
（4）解分式方程验根
（5）写出符合题意答案．
列分式方程解应题需两步检验：
（1）检验否产生增根
（2）检验解否符合题意．合题意解必须舍．
纳起注意：分式方程必须验根列方程解应题必须检验解否符合
题意．93
八年级数学
典型例题
例 9
例 10
某乡村距城市 50km甲骑行车乡村出发 1 时 30 分钟乙骑
摩托车乡村出发进城甲先 1 时已知乙速度甲速
度 25 倍请求出甲乙两速度．
5 月汛期重庆某江村庄洪水沦孤岛．时洪水流速
10 千米 时张师傅奉命锋舟救援发现洪水流
航速航行 2 千米时间航速逆流航行 12 千米
时间相等．请计算出该锋舟静水中航速？
应题题型 194
八 年 级 数 学
典型例题
例 1
例 2 解方程：
压轴突破
已知 求代数式 值．223 20a ab b+−
22aba b
b a ab
+−−
31 4 4 1 3012345xxxxxx
++++++++++95
八年级数学
作业
（1） （2）
解方程：
31144
x
xx
− +−−
1 111
x
xx
−+−
学李亮学校回家先步行 4km然改公汽行 8km 回家第二天骑
行车原路回学校时间回家时间相已知骑行车
速度步行速度快 6km 时公汽速度骑行车速度 25 倍．求李
亮骑行车速度．
作业 1
作业 2
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