材料设计—25-密度泛函理论-基组-缀加平面波和PAW

缀加面波PAW缀加面波 (APW)
线性缀加面波（LAPW）
投影缀加波方法（PAW）Muffintin球知道固体中核区域电子行非常
接原子原子电子波函数展开晶体
波函数考虑远离核区域
电子面波更似然
固体中电子分部区域划分两部分
：原子核中心半径R球
球球间区域里球形区域
谓Muffintin球区球外成间隙区
(interstitial region)固体原胞划分Muffintin球间隙区
两部分区域般求Muffintin球交叠
LMTOASA似中交叠芯态电子波函数完全Muffintin球
价态电子延伸球外间隙区
球取球称势球外取常数势通
常通选取适量零点常数
零种势场模型称Muffintin势




 )R(r 0
)R(r )()(
m
mrVrV Muffintin势选取方法位原点
原子产生势场该Muffintin球中贡献
然周围邻原子该球空间贡献然
次邻更远原子贡献然贡献
逐渐减弱
L F Mattheiss提出中心原子势场叠加周
围原子势场该中心原子原点球谐函数展
开项果取首项球形似果
取更展开项形状似果间隙区电子Muffintin球
势修正引入非Muffintin效应加形
状似全势方法缀加面波基Muffintin势建立起套缀加面波
（augmented plane waveAPW）球
KS方程应该形式解：)()()(  ERY llmlm
 
)( ERl 径波函数满足方程：
)(
)()()1()(1
＇＇
＇
2
2
2

 
ERE
ERVll
d
dR
d
d
l
l
l




 
)(V 球称势l角量子数球APW函数写成面波函数
线性组合：
 

 

0
)()()(
l
l
lm
llmlm ERYa 

lma 线性组合系数球外势场零解应该具面
波形式假设第υ球球心矢量
rυυ球球外：






 

kirkirki eee
rr 




 
0
*)()()(4
l
l
lm
lmlml
lki YkYkjie  
面e指数展开球谐函数
)( kjl 球贝赛尔函数
根球面波函数连续条件
求出系数alm)()()(4 ＇*
   ERkjkYiea lllm
lrki
lm


面alm表达式带入
APW基函数基组形式：







 
 
)(
)( )()()( 0








ki
l
l
lm
llmlm
e
ERYa面式子里角量子数l
穷求通常取10者12够
外APW基组函数量E’相关



M
i
i rkcrk
1
)()( 

晶体波函数面基函数展开：前面基函数系数alm
量E’关E’径薛定谔方程征量
孤立原子采边界条件
穷远处波函数0条件E’
应征波函数固体中显然没
样边界条件取意量E处
应径波函数时波函数然没特
物理意义作基函数
然基矢赖量E
开始设定E实际
量征值接E时候解足够精确
量征值做搜索工作
样子工作量需寻找更解决
方案O K Anderson线性化方法线性缀加面波线性化思路简单充分利某
量点E0已径波函数利泰
勒展开E0附量点波函数
需重新求解薛定谔方程
体现基函数Muffintin球
APW基函数增加项量求导项
径薛定谔方程解量征值函数
某带选定量参数线性
缀加面波方法(LAPW)径波函数量E0展开形式：
  )()()(ERERER lll 
基函数增加项量导数项








)(
)( )()]()([
)(










ki
lm
lmllmllm
e
YERbERa面基函数称线性缀加面波
基函数APW基函数区时球
径波函数R量征值函数
某确定值E选定分波L
选取E通常选择L带中心附
数值样线性化误差会较
R导数项然
定系数blm采基函数球面连续
导数连续条件确定两系数：)ˆ()]()()()([
4
*＇＇
221
kYERkjERkj
ia
lmllllll
l
clm




 
 
)ˆ()]()()()([
4
*＇＇
221
kYERkjERkj
ib
lmllllll
l
clm





 
：
线性化外面基函数APW两处：
1）动满足导数连续 2）没分母零子
消久期方程出现奇异性LAPW方法目前已发展起许固体
材料带计算方法中效精确方
法特适合晶体材料研究著名
程序WIEN2kLAPW方法
LAPW方法够芯电子性质精度
较高缺点公式较复杂数值计算速度
较慢通常处理系统原子数超100Projector Augmented Wave
（PAW）方法全电子方法精确计算量赝势方法
速度快精度够
1994年Blochl提出projector augmented
wave (PAW)方法两种方法扩展
结合两者点更普适方法
事实证明PAW出发推出赝
势方法APW方法PAW方法关键点找形变算符（
transformation operator）真实振荡剧烈
波函数转变滑赝波函数：
里n包含k点指标旋指标带指标
代入KS方程关赝波函数方程果选取合适T赝波函数量滑
远离核区域波函数已较滑
显然T算符需改变核区域波函数：
a原子指标Ta算符原子a中心半
径rc范围起作：
里rcAPW中Muffintin球思想类似真实轨道赝轨道通T联系：
球外两轨道波函数样
赝波函数写成面赝轨道展开P系数：
里展开系数前面赝波函数展开系
数样T求线性展开系数
必然波函数线性函数：
里p成投影函数轨道
投影函数投影函数需满足面两条件
利面第条件Ta写成：利：
：
T公式：KS真实波函数写成：
中第项赝波函数面项包含真实
赝原子轨道投影函数赝波函
数补偿赝波函数较光滑
少量面波展开通面薛定谔方程求
：面波函数求出意物
理量期值：An Example to Show How the PAW Method Works
•
+
 Compare the Results with USPP and AE  Compare the Results with USPP and AE• Some phonon test (frequency unit 1cm)
CASTEP VASP
fitexp (not AE)
0
200
400
600
800
1000
1200
1400
1600
 M K 
0
200
400
600
800
1000
1200
1400
1600
 M K 0
200
400
600
800
1000
1200
1400
1600
 M K PAW结合PPFLAPW方法
PAW具FLAPW精度芯电子冻结
够真正价电子波函数磁
性光学性质重意义
PAW采面波展开具USPP类似
效率程序结构PP程序类似

PAW种全电子方法常见PAW方法程序：
VASP
ABINIT
PWSCF
GPAW等

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