基非线性混沌时序系统重构预测技术应
国家然科学基金资助项目( 79990510)
马军海马军海 男 65生山东莱阳教授二站博士()已国外核心期刊发表文三十余篇研究方复杂非线性动力系统复杂混沌时序重构工程应
（天津学理学院 300072）
盛昭瀚
（南京学理科学工程研究院 210096）
摘 认识具复杂结构系统存两基困难系统身复杂性二通某种观测器采集系统某状态混沌时间序列样需种技术程度通系统整体行维投影原系统整体行文介绍作者年实现技术路线中开展干工作
关键词 非线性 混沌时序 分形 相空间重构 参数辨识 预测技术
1 引言
系统科学角度直接建立系统完备解析形式数学模型疑认完全彻底解系统事实第系统运行机理系统结构身复杂性第二已知解析模型解析解易求常常需解决法获系统模型情况认识系统质特征常遇问题便通某种观测器采集系统某状态时间序列显然序列系统整体行维投影通原系统整体行[1~30]特着混沌现象发现逐渐认识系统整体行中某质特征机原非线性动力学原造成般排高维穷维动力系统产生行机程产生行外混沌时间序列视确定性动力系统结果重反问题混沌时间序列恢复原动力系统[178101114162021]具体说解决问题：
(1) 确定时间序列混沌特性动力系统维数[2~43~151922~30]
(2) 建立动力系统坐标框架[49101113]
(3) 框架分离噪声刻画恢复原复杂非线性动力学系统进行预测调控等工作[461718]
文介绍作者年实现技术路线中开展干工作成果
2 时间序列混沌特征判定
判定时序混沌机特性直国外学者研究重点决定角度出发已许检测确定性混沌方法Tsay[22]非线性检验方法Engle[23]ARCH模型检验方法相空间图递图关联维数Lyapunov 指数相关系数频谱图Poincare截面分谐波频闪观测器等检验独立性双谱方法基BDS统计量非线性检验方法等文献[192425]出现实时序特性问题判基方法相位机化方法马军海盛昭瀚[32]利相位机化方法研究服分布机化方法判定实测数特性属影响成功济时序非线性特征判定时序建立合适预测模型提供指南
3 分形维数相关特性分析研究
分维描述具复杂性系统结构重特征量分维定义种根定义算终值稍差年研究常较分维 Hausdorff维数 计盒维数 信息维数关联维数 广义维数证[413]嵌入维数分维数间关系式
(1)
计算时略噪声影响取少嵌入维数等分维数理会产生影响
证[413]极似然估计 (2)
(6)式方差 (3)
实际问题中N取值穷受诸限制取
极似然估计 (4)
(3)式知值 取样数成反实际问题中适取样减少便估计值更准确采GP算法计算动力系统实测数吸引子关联维数时诸素影响估计精度误差源详细讨见文献[413]
4 混沌时序动力系统非线性重构技术
定量刻画复杂非线性动力系统复杂性两常量分维数李雅普诺夫指数分度量非线性动力系统相空间结构规性复杂性程度相空间重构法根限实测数重构吸引子研究系统动力行方法基思想：系统中分量演化相互作着分量决定相关分量信息隐藏分量发展程中重构等价状态空间需考察分量某固定时间延迟点测量作新维处理延迟值成新坐标确定某维状态空间中点重复程测量相时间延迟量产生出许样点吸引子许性质保存系统观察量重构出原动力系统模型初步确定系统真实相空间维数
够维时间序列中原动力系统相空间结构 Jone FGibson[16] 等采时间延迟技术重构相空间维时间序列嵌入m维空间中：
(5)
表示t时刻系统动力学状态中τ滞时m嵌入空间维数建立相空间嵌入空间映射建立时间序列波动动力系统空间特征间桥梁
Takens Mane[27]证明 m>2D+1(动力系统重构充分必条件)中D吸引子分维吸引子附光滑映射嵌入空间中吸引子特性原动力学系统吸引子特性等价 实际 m> D嵌入空间中点集维数等吸引子维数JPEckman等已证明md≤m≤2d+1中取值Takens[27]定理噪声情况考虑Sauer等延迟嵌入定理推广具噪声情况
组长N实测时间序列中 样时间构造m维量 n 12 中延迟时间间隔延迟时间中范数定义距离
(6)
特强调情况记中范数通计算发现范数计算距离时实现较快
41佳延迟时间间隔 选取
Takens[27]定理知没噪声限长精确数情况意选择实测时间序列限长般噪声污染根验选择基思想具某种程度独立完全关便重构相空间中作独立坐标处理果太值充分区分实际观点提供两独立坐标导致吸引子重构非常相空间中角线重构相空间总杂乱规果太会意相关吸引子轨道会投影两完全相关方反映相轨迹真实演化规实际应中三种验型方法选取线性相关函数法二均互信息法三重构展开法
42 嵌入维数m选取
关嵌入维数Taken[27] Sauer[29]等先理证明时获吸引子分形维数充分条件实验数选择
m没帮助果仅仅计算关联维数Ding[28]等证明噪声限长数取m关联维数整数长度限具噪声数m果m选太吸引子折迭致某方相交样相交区域邻域会包含吸引子部分点果m选太理实际应中着m增加会增加吸引子变量计算工作量实际应中通常方法计算吸引子某变量逐渐增加m直变量停止变化止理讲变量吸引子性质m嵌入维数时结构完全开变量嵌入维数关取吸引子变量停止变化时m嵌入维数种方法缺点数椐求较高（噪声）计算量较观预测误差观点面两种方法较容易实现预测误差法二虚假邻点法
面种方法中确定佳延迟时间间隔需先确定嵌入维数确定嵌入维数需先固定延迟时间间隔身矛盾实际两参数应时确定实际计算中King[31]提出先选定(m1)值增加m时减τ(保持(m1)τ常数)选取佳mτ值方法
43 相空间重构轨线法Legendre坐标法
相空间重构基方法三种分时间延迟法导数法基分量坐标法目前止三种方法间关系没完全弄清楚Gibson et al指出基分量坐标Packard et al[26]and Takens[27]提出导数坐标间存着非常紧密联系更进步少延迟时间提出基分量坐标基简化勒德项式观点
年里相空间重构方法研究便成领域研究焦点相关求出较重构方法中相关参数值 陈予恕马军海[6]出基分量坐标法重构相空间相应结马军海陈予恕[7]国外学者工作基础应勒德坐标法重构动力系统相空间讨时序间隔τ相空间重构工作影响提方法重构系统吸引子
5 动力系统实测数重构预测技术应
混沌吸引子行具相规性混沌吸引子具十分复杂结构混沌吸引子具复杂结构相般说混沌实测数应该建立混沌模型十年国外学者神网络理波理[17~18]等非线性时序开展研究 Martin Casdagli MEDaviesAlexet Potapov[21]等分混沌时序建模预测开展初步研究取定成果马军海陈予恕[625]国外学者工作基础描述非线性系统极限环振跳跃现象幅频赖特性混沌特征EAR(n)模型进行改进应机搜索方法模型参数进行初步估计然采优化理估计模型参数马军海博士二站研究报告中出种基波理神网络理三阶段尺度神网络预测模型聚类方法进行权值阈值初始化反传播算法进行权值学该方法具较快收敛速度时适应选择时序频率成分时序进行降噪适合趋势细节等目预测成功尺度神网络模型应股票数单步预测终预测方法进行评价
6 计算结果
文取2组数分理进行研究：
(1)取Henon map 标准混沌情况10000 前1000点作暂态点掉10000点作(1)组原始数点
(2)混沌数测定3225点作实验数作组实验数时间历程图图2
图2第2组数真值预测值计算结果相误差超40％预测长度20点
图3第1组数相空间重构图横标w0 标w2嵌入维数m3 3图4第2组数相空间重构图横标w0标w1竖坐标w2嵌入维数m3 0024
图1 第2组实验混沌数时间历程图 图2 第2组数真值预测值图
数真值 条数预测值
图3 第1组数相空间重构图横标w0 图4 第2组数相空间重构图横标w0
标w2嵌入维数m3 3 标w1竖坐标w2嵌入维数m30024
7 结
1) 取嵌入维数混沌时序实际维数分维数质影响
2) 点数分维数计算结果影响 低维混沌动力系统少应2000点 分维数计算时2范数3范数等价∞范数样具体计算时取算法易实现范数
3) 相空间重构理低维混沌时序高维混沌时序普遍适文出实际计算结果完成混沌时序相空间基坐标框架投影相空间重构重工作
4) 混沌时序分维数决定模型阶数混沌时序Lyapunov指数决定时序预测长度文献[4]方法确定模型阶
5) 选择适混沌模型采适算法增加模型预测精度混沌时序作长期预测
参考文献
1 Chen YushuMa Junhai Liu ZengrongThe State Space Reconstruction Technology of Different Kinds of Chaotic Data Obtained From Dynamical SystemACTA MECHANICA SINICA 1999 1 (15)8292
2 马军海陈予恕 动力系统实测数非线性混沌特性判定 应数学力学 199819(6) 481~488
3 马军海陈予恕 高斯分布相位机化实测数界值影响分析研究应数学力学199819(11) 955963
4 马军海 混沌时序动力系统非线性重构 天津学博士学位文 1997 5
5 马军海陈予恕 动力系统实测数Lyapunov指数矩阵算法 应数学力学1999 20(9)919927
6 马军海陈予恕 动力系统实测数非线性混沌模型重构 应数学力学 199920 (11)11281134
7 马军海陈予恕 混沌时序相空间重构分析应研究 应数学力学 200021(11) 11171124
8 Ma JunhaiThe State Space Reconstruction of Different Kinds of Chaotic Data Obtained from Economic Dynamical System Proceedings of ’99 International Conference On Management Science & Engineering’ Yichang PRChina 199911106~110
9 马军海陈予恕 三种动力系统实测混沌数Lyapunov指数较 天津学学报1999 2(1) 190195
10 马军海陈予恕 三种动力系统实测混沌数征值较 天津学学报 1999 32(3) 275279
11 马军海陈予恕 动力系统实测数奇异值分解技术 振动工程学报 199912(3) 323330
12 盛昭瀚 马军海 非线性动力系统分析引 科学出版社2000年10月
13 马军海 盛昭瀚 济时序动力系统分形混沌特性研究 系统工程学报 2000113~19
14 Jluis Cabrera FJavier Numerical analysis of transient behavior in the discrete random Logistic equation with delayPhysLett A197(1995) 1924
15 JTimonen and HkoskinenAn improved estimator of dimension and some comments on providing confidence intervals GeophysResLett20(1993) 15271536
16 John FGibson JDoyne Farmer Martin Casdagli and Stephen Eubank An analytic approach to practical state space reconstruction Phys D199257 130
17 Qinghua Zhang Wavelet Networks IEE Transections on Neural Networks 19926(11) 889898
18 Liang Yue Cao Predicting chaotic timeseries with wavelet networks PhysD 199585 225 238
19 Dean Prichard Generating surrogate data for time series with several simultaneously measured variables PhysRevLett 1994191 230245
20 MEDavies Reconstructing attractions from filtered time series PhysD1997101 195 206
21 Alexet Potapov Distortions of reconstruction for chaotic attractors PhysD1997101207 226
22 TsayRNonlinearity Test for Timeseries Biometrica198673461466
23 EngleRAutoregreessive Conditional Heteroscedasticity with Estimates of the Variance Of UKInflations Econometrica1982509871007
24 CJStam JPMPijn WSPritchard Reliable detection of nonlinearity in experimental timental timeseries with strong periodic components PhysD 1998112 361380
25 Alexei PotapovJurgen KurthsCorrelation integral as a tool for distinguishing between dynamics and statistics in time series data PhysD1998120 369385
26 N H Packard J P Crutchfield J D Farmer and R S Shaw Geometry from a time seriesPhys Rev Lett198045(9) 712
27 F Takens In Dynamical Systems of Turbulence edited by D A Rard and L S Young (springer Berlin 1981)
28 JD ScargleStudies in astronomical time series analysisIVModeling chaotic and random processes with linear filters AstrophysJ1990359469482
29 FTakens Mane Detecting strange attractors in fluid turbulencein Dynamical systems and Turbulence Vol898 of Lecture Notes in Mathematics springer Berlin 1986 P366
30 RBadii GBroggi BDerighetti SCiliberto A Politiand MARubio Dimension increase in filtered chaotic signals PhysRevLett198860979984
31 DSBroomherd etcExtracting qualitatire dynamics from experimental data PhysD 198720 217236
32 盛昭瀚 马军海 理科学：面复杂性—混沌时序济动力系统重构技术理科学学报981(1) 3142
The Reconstruction and Prediction Technology and Application of Nonlinear Chaotic Timeseries
Ma Junhai
(Management School Tianjin University 300072 Tianjin)
Zhaohan Sheng
(Institute of Systems Engineering Southeast University Nanjing 210096)
Abstract How to recognize the two difficulties existing in systems with complex structure One is that system itself is complicated Other is that in general we gather the chaotic time series of some states of systems only by some observors Hence we need techniques which can be used to recover the global behavior of systems by the one dimensional projection of the global behavior of systems This paper will introduce the recent work of the authors in realizing these key techniques
Keywords Nonlinear Chaotic timeseries Fractalspace reconstruction Chaotic model Parameter identification Prediction techonogly
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国家然科学基金资助项目( 79990510)
马军海马军海 男 65生山东莱阳教授二站博士()已国外核心期刊发表文三十余篇研究方复杂非线性动力系统复杂混沌时序重构工程应
（天津学理学院 300072）
盛昭瀚
（南京学理科学工程研究院 210096）
摘 认识具复杂结构系统存两基困难系统身复杂性二通某种观测器采集系统某状态混沌时间序列样需种技术程度通系统整体行维投影原系统整体行文介绍作者年实现技术路线中开展干工作
关键词 非线性 混沌时序 分形 相空间重构 参数辨识 预测技术
1 引言
系统科学角度直接建立系统完备解析形式数学模型疑认完全彻底解系统事实第系统运行机理系统结构身复杂性第二已知解析模型解析解易求常常需解决法获系统模型情况认识系统质特征常遇问题便通某种观测器采集系统某状态时间序列显然序列系统整体行维投影通原系统整体行[1~30]特着混沌现象发现逐渐认识系统整体行中某质特征机原非线性动力学原造成般排高维穷维动力系统产生行机程产生行外混沌时间序列视确定性动力系统结果重反问题混沌时间序列恢复原动力系统[178101114162021]具体说解决问题：
(1) 确定时间序列混沌特性动力系统维数[2~43~151922~30]
(2) 建立动力系统坐标框架[49101113]
(3) 框架分离噪声刻画恢复原复杂非线性动力学系统进行预测调控等工作[461718]
文介绍作者年实现技术路线中开展干工作成果
2 时间序列混沌特征判定
判定时序混沌机特性直国外学者研究重点决定角度出发已许检测确定性混沌方法Tsay[22]非线性检验方法Engle[23]ARCH模型检验方法相空间图递图关联维数Lyapunov 指数相关系数频谱图Poincare截面分谐波频闪观测器等检验独立性双谱方法基BDS统计量非线性检验方法等文献[192425]出现实时序特性问题判基方法相位机化方法马军海盛昭瀚[32]利相位机化方法研究服分布机化方法判定实测数特性属影响成功济时序非线性特征判定时序建立合适预测模型提供指南
3 分形维数相关特性分析研究
分维描述具复杂性系统结构重特征量分维定义种根定义算终值稍差年研究常较分维 Hausdorff维数 计盒维数 信息维数关联维数 广义维数证[413]嵌入维数分维数间关系式
(1)
计算时略噪声影响取少嵌入维数等分维数理会产生影响
证[413]极似然估计 (2)
(6)式方差 (3)
实际问题中N取值穷受诸限制取
极似然估计 (4)
(3)式知值 取样数成反实际问题中适取样减少便估计值更准确采GP算法计算动力系统实测数吸引子关联维数时诸素影响估计精度误差源详细讨见文献[413]
4 混沌时序动力系统非线性重构技术
定量刻画复杂非线性动力系统复杂性两常量分维数李雅普诺夫指数分度量非线性动力系统相空间结构规性复杂性程度相空间重构法根限实测数重构吸引子研究系统动力行方法基思想：系统中分量演化相互作着分量决定相关分量信息隐藏分量发展程中重构等价状态空间需考察分量某固定时间延迟点测量作新维处理延迟值成新坐标确定某维状态空间中点重复程测量相时间延迟量产生出许样点吸引子许性质保存系统观察量重构出原动力系统模型初步确定系统真实相空间维数
够维时间序列中原动力系统相空间结构 Jone FGibson[16] 等采时间延迟技术重构相空间维时间序列嵌入m维空间中：
(5)
表示t时刻系统动力学状态中τ滞时m嵌入空间维数建立相空间嵌入空间映射建立时间序列波动动力系统空间特征间桥梁
Takens Mane[27]证明 m>2D+1(动力系统重构充分必条件)中D吸引子分维吸引子附光滑映射嵌入空间中吸引子特性原动力学系统吸引子特性等价 实际 m> D嵌入空间中点集维数等吸引子维数JPEckman等已证明md≤m≤2d+1中取值Takens[27]定理噪声情况考虑Sauer等延迟嵌入定理推广具噪声情况
组长N实测时间序列中 样时间构造m维量 n 12 中延迟时间间隔延迟时间中范数定义距离
(6)
特强调情况记中范数通计算发现范数计算距离时实现较快
41佳延迟时间间隔 选取
Takens[27]定理知没噪声限长精确数情况意选择实测时间序列限长般噪声污染根验选择基思想具某种程度独立完全关便重构相空间中作独立坐标处理果太值充分区分实际观点提供两独立坐标导致吸引子重构非常相空间中角线重构相空间总杂乱规果太会意相关吸引子轨道会投影两完全相关方反映相轨迹真实演化规实际应中三种验型方法选取线性相关函数法二均互信息法三重构展开法
42 嵌入维数m选取
关嵌入维数Taken[27] Sauer[29]等先理证明时获吸引子分形维数充分条件实验数选择
m没帮助果仅仅计算关联维数Ding[28]等证明噪声限长数取m关联维数整数长度限具噪声数m果m选太吸引子折迭致某方相交样相交区域邻域会包含吸引子部分点果m选太理实际应中着m增加会增加吸引子变量计算工作量实际应中通常方法计算吸引子某变量逐渐增加m直变量停止变化止理讲变量吸引子性质m嵌入维数时结构完全开变量嵌入维数关取吸引子变量停止变化时m嵌入维数种方法缺点数椐求较高（噪声）计算量较观预测误差观点面两种方法较容易实现预测误差法二虚假邻点法
面种方法中确定佳延迟时间间隔需先确定嵌入维数确定嵌入维数需先固定延迟时间间隔身矛盾实际两参数应时确定实际计算中King[31]提出先选定(m1)值增加m时减τ(保持(m1)τ常数)选取佳mτ值方法
43 相空间重构轨线法Legendre坐标法
相空间重构基方法三种分时间延迟法导数法基分量坐标法目前止三种方法间关系没完全弄清楚Gibson et al指出基分量坐标Packard et al[26]and Takens[27]提出导数坐标间存着非常紧密联系更进步少延迟时间提出基分量坐标基简化勒德项式观点
年里相空间重构方法研究便成领域研究焦点相关求出较重构方法中相关参数值 陈予恕马军海[6]出基分量坐标法重构相空间相应结马军海陈予恕[7]国外学者工作基础应勒德坐标法重构动力系统相空间讨时序间隔τ相空间重构工作影响提方法重构系统吸引子
5 动力系统实测数重构预测技术应
混沌吸引子行具相规性混沌吸引子具十分复杂结构混沌吸引子具复杂结构相般说混沌实测数应该建立混沌模型十年国外学者神网络理波理[17~18]等非线性时序开展研究 Martin Casdagli MEDaviesAlexet Potapov[21]等分混沌时序建模预测开展初步研究取定成果马军海陈予恕[625]国外学者工作基础描述非线性系统极限环振跳跃现象幅频赖特性混沌特征EAR(n)模型进行改进应机搜索方法模型参数进行初步估计然采优化理估计模型参数马军海博士二站研究报告中出种基波理神网络理三阶段尺度神网络预测模型聚类方法进行权值阈值初始化反传播算法进行权值学该方法具较快收敛速度时适应选择时序频率成分时序进行降噪适合趋势细节等目预测成功尺度神网络模型应股票数单步预测终预测方法进行评价
6 计算结果
文取2组数分理进行研究：
(1)取Henon map 标准混沌情况10000 前1000点作暂态点掉10000点作(1)组原始数点
(2)混沌数测定3225点作实验数作组实验数时间历程图图2
图2第2组数真值预测值计算结果相误差超40％预测长度20点
图3第1组数相空间重构图横标w0 标w2嵌入维数m3 3图4第2组数相空间重构图横标w0标w1竖坐标w2嵌入维数m3 0024
图1 第2组实验混沌数时间历程图 图2 第2组数真值预测值图
数真值 条数预测值
图3 第1组数相空间重构图横标w0 图4 第2组数相空间重构图横标w0
标w2嵌入维数m3 3 标w1竖坐标w2嵌入维数m30024
7 结
1) 取嵌入维数混沌时序实际维数分维数质影响
2) 点数分维数计算结果影响 低维混沌动力系统少应2000点 分维数计算时2范数3范数等价∞范数样具体计算时取算法易实现范数
3) 相空间重构理低维混沌时序高维混沌时序普遍适文出实际计算结果完成混沌时序相空间基坐标框架投影相空间重构重工作
4) 混沌时序分维数决定模型阶数混沌时序Lyapunov指数决定时序预测长度文献[4]方法确定模型阶
5) 选择适混沌模型采适算法增加模型预测精度混沌时序作长期预测
参考文献
1 Chen YushuMa Junhai Liu ZengrongThe State Space Reconstruction Technology of Different Kinds of Chaotic Data Obtained From Dynamical SystemACTA MECHANICA SINICA 1999 1 (15)8292
2 马军海陈予恕 动力系统实测数非线性混沌特性判定 应数学力学 199819(6) 481~488
3 马军海陈予恕 高斯分布相位机化实测数界值影响分析研究应数学力学199819(11) 955963
4 马军海 混沌时序动力系统非线性重构 天津学博士学位文 1997 5
5 马军海陈予恕 动力系统实测数Lyapunov指数矩阵算法 应数学力学1999 20(9)919927
6 马军海陈予恕 动力系统实测数非线性混沌模型重构 应数学力学 199920 (11)11281134
7 马军海陈予恕 混沌时序相空间重构分析应研究 应数学力学 200021(11) 11171124
8 Ma JunhaiThe State Space Reconstruction of Different Kinds of Chaotic Data Obtained from Economic Dynamical System Proceedings of ’99 International Conference On Management Science & Engineering’ Yichang PRChina 199911106~110
9 马军海陈予恕 三种动力系统实测混沌数Lyapunov指数较 天津学学报1999 2(1) 190195
10 马军海陈予恕 三种动力系统实测混沌数征值较 天津学学报 1999 32(3) 275279
11 马军海陈予恕 动力系统实测数奇异值分解技术 振动工程学报 199912(3) 323330
12 盛昭瀚 马军海 非线性动力系统分析引 科学出版社2000年10月
13 马军海 盛昭瀚 济时序动力系统分形混沌特性研究 系统工程学报 2000113~19
14 Jluis Cabrera FJavier Numerical analysis of transient behavior in the discrete random Logistic equation with delayPhysLett A197(1995) 1924
15 JTimonen and HkoskinenAn improved estimator of dimension and some comments on providing confidence intervals GeophysResLett20(1993) 15271536
16 John FGibson JDoyne Farmer Martin Casdagli and Stephen Eubank An analytic approach to practical state space reconstruction Phys D199257 130
17 Qinghua Zhang Wavelet Networks IEE Transections on Neural Networks 19926(11) 889898
18 Liang Yue Cao Predicting chaotic timeseries with wavelet networks PhysD 199585 225 238
19 Dean Prichard Generating surrogate data for time series with several simultaneously measured variables PhysRevLett 1994191 230245
20 MEDavies Reconstructing attractions from filtered time series PhysD1997101 195 206
21 Alexet Potapov Distortions of reconstruction for chaotic attractors PhysD1997101207 226
22 TsayRNonlinearity Test for Timeseries Biometrica198673461466
23 EngleRAutoregreessive Conditional Heteroscedasticity with Estimates of the Variance Of UKInflations Econometrica1982509871007
24 CJStam JPMPijn WSPritchard Reliable detection of nonlinearity in experimental timental timeseries with strong periodic components PhysD 1998112 361380
25 Alexei PotapovJurgen KurthsCorrelation integral as a tool for distinguishing between dynamics and statistics in time series data PhysD1998120 369385
26 N H Packard J P Crutchfield J D Farmer and R S Shaw Geometry from a time seriesPhys Rev Lett198045(9) 712
27 F Takens In Dynamical Systems of Turbulence edited by D A Rard and L S Young (springer Berlin 1981)
28 JD ScargleStudies in astronomical time series analysisIVModeling chaotic and random processes with linear filters AstrophysJ1990359469482
29 FTakens Mane Detecting strange attractors in fluid turbulencein Dynamical systems and Turbulence Vol898 of Lecture Notes in Mathematics springer Berlin 1986 P366
30 RBadii GBroggi BDerighetti SCiliberto A Politiand MARubio Dimension increase in filtered chaotic signals PhysRevLett198860979984
31 DSBroomherd etcExtracting qualitatire dynamics from experimental data PhysD 198720 217236
32 盛昭瀚 马军海 理科学：面复杂性—混沌时序济动力系统重构技术理科学学报981(1) 3142
The Reconstruction and Prediction Technology and Application of Nonlinear Chaotic Timeseries
Ma Junhai
(Management School Tianjin University 300072 Tianjin)
Zhaohan Sheng
(Institute of Systems Engineering Southeast University Nanjing 210096)
Abstract How to recognize the two difficulties existing in systems with complex structure One is that system itself is complicated Other is that in general we gather the chaotic time series of some states of systems only by some observors Hence we need techniques which can be used to recover the global behavior of systems by the one dimensional projection of the global behavior of systems This paper will introduce the recent work of the authors in realizing these key techniques
Keywords Nonlinear Chaotic timeseries Fractalspace reconstruction Chaotic model Parameter identification Prediction techonogly
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