中学导数应
摘：微积分创立疑类发展史重里程碑导数微积分中重基础概念高中数学学学数学学起着承启作导数作中学数学重组成部分分析函数单调性值曲线切线部分等式证明求解数列求解等问题寻找佳方式解决许数学问题强力工具全面体现数学价值锻造全新种思维方法提供重思维力导数关知识解便学生全面解函数相关知识理数学中部分问题法初等数学处理者处理创建数学模型函数关系通函数知识导数分析属性全面激发导数具备实性进处理现实问题导数更中学数学函数间座桥梁
关键词：导数方法应
abstract
the creation of calculus is undoubtedly an important milestone in the history of human development Derivative is an important basic concept in calculus As an important part of middle school mathematics derivative is an important part of middle school mathematics In order to study the monotonicity of function the tangent problem of function most value curve some inequality proof inequality solution It is a powerful tool to solve many mathematical problems It embodies the value of mathematics not only forging a new thinking method but also providing an important thinking ability It helps students better To master the thought and method of function many problems in mathematics may not be solved by elementary mathematics or can be solved the relationship between mathematical model and function can be established and its properties can be studied by means of function thought and derivative In order to solve problems easily and succinctly derivative is more like a bridge between middle school mathematics and function
Keywords derivativemethodapplication
1 引言
函数做载体导数做工具分析函数性质导数应情况期函数导数交汇问题特征命题走势导数明确含参数函数参数取值范围目前普遍研究题重点求存性问题恒成立问题参数范围处理述难题重点等价转化相关理利持续转化解规范繁杂问题转变成解规范模式化简单问题处理关键方式包含参数等式存性恒成立问题身等式结构特点创建函数等价转化成包含参函数值分析问题
前高考试卷中频繁出现述问题外相关知识较综合性较强学生处理部分问题时解确定参数范围函数关系等关系出现文利实例研究述问题正确处理方式希帮助学生更学数学
第章 微分产生发展
21微分萌发
微分积分思想萌芽追溯古代作研究变量函数微分积分互逆关系微积分学诞生17世纪半叶欧洲
微积分创立17世纪数学部矛盾运动数学外部科学数学化相互作结果科学数学化重点表现面重事件中：
1608年伽利略(Galileo)首架远镜出现激发民众天文学分析热情外促进光学分析述
开普勒(J．Kepler)利查整理出行星运动定理：
1)行星运动轨道椭圆太阳处椭圆焦点
2)太阳行星焦半径定时间扫面积均等
3)行星围绕太阳公转周期方椭圆轨道半长轴立方正
终定理1619年公开数学角度验证开普勒验定理变成时期然科学核心问题
1638年伽利略关两门新科学话正式撰写完成动力学发展准备良基础加快众动力学定义定理进行详细数学叙述远镜光程设计明确透镜曲面点法线求曲线切线中炮弹射程求行星轨道日点远点等求数值值相关问题中求曲线围面积曲线长重心引力计算会持续激发众奇心
22微积分创立
十七世纪半期基全部研究专家处理问题寻找全新研究工具处理述疑难问题全新学科——微积分出现
微积分出现处理述中众问题：
1)已知物体运动路程时间间关系求物体意时间速度加速度否已知物体运动加速度速度求物体意时间速度路程
2)求曲线切线述单纯问题然科学应产生重影响透镜设计求曲线切线运动物体运动轨迹意点运动方点切线方
3)求函数值前指出弹道射程问题行星太阳日点远日点
4)求积问题求曲线长曲线曲面围面积体积
述诸难题处理原分析常量静止数学工具法发挥现实功必须变量引进数学描述运动程全新工具——微积分出现问题难题利处理微积分牛顿莱布尼茨分独立创立应分享硕果
23微积分发展
微积分学出现计算精准性应宽泛性时学科变成分析然科学重工具然中部分定义具备严谨详细涵尤微积分基础—穷概念诠释相含糊运算时时零时零陷入逻辑困境中众批评否定未数学家舍弃微积分反激发起相关专家积极性开始研究微积分懈奋斗进引发微积分甚整数学领域严格化运动
微积分严格化活动长达百年发展滞十九世纪早期逐渐良效果研究严密性具备现实影响先驱著名法国数学家柯西数学领域杰出价值微积分增加极限概念做基础创建逻辑精准研究系统微积分发展历史中精髓柯西然科学发展做出贡献时该学者述前提提出复变函数微积分观点
柯西定积分进行全面详细研究良结果定积分定义成极限正式计算前指出需确定积分存性通中值定理直接严谨验证出微积分定理柯西关研究基础具备典型性书籍撰写分析教程(1821)穷计算教程(1823)微分计算教程(1829)述书籍研究严格化做目标确定微积分众理涵述前提柯西直接表达检验处微积分基定理中值定理等众关键知识确定级数收敛性分析级数收敛基础等指出部分定义叙述逐渐微积分现代体系柯西分析开始转变领域基础问题长久出现序局面进入分析全面严格化时期
外微积分严密性发展产生积极影响德国数学家魏尔斯特拉斯该学者相理性外具吃苦耐劳良品质学校教书时候惊毅力开展数学分析
柯西魏尔斯特拉斯深入研究中数学研究基概念全面验证进扭转微积分领域长久存序局面微积分推广概念运动直观解现实赖中释放出促微积分变成代数学领域学科
24微积分影响
微积分出现促进余学科进步数学原余学科发展重条件特天文学力学光学电学热学等学科进步微积分变成物理学语言外部分物理学问题赖微积分处理外天文学天体力学发展产生积极现实影响牛顿微积分学微分方程万引力定律导出开普勒行星运动三定律余学科化学生物学理学等众学科需赖微积分知识说述学科发展定程度微积分述学科微积分方式推导演绎出种全新公式定理等微积分出现余学科进步奠定良基础
第三章导数
31导数数定义
设函数yf(x)点x0某邻域存定义假极限
出现函数f点处导称该极限函数f点处导数记作令式改写
导数函数增量极限
32导函数
函数区间点导称导函数
需注意：（1）导函数定义中区间般指开区间开区间断电出定改变量（左端点增量右端点减量）
（2） 函数定义域点导数处没导数定义域点处处导数
33导数意义物理意义
（1） 导数意义：函数处具备意义曲线点处切线斜率
（2） 导数物理意义：瞬时速度路程函数相时间瞬时变化率瞬时加速度速度函数相时间瞬时变化率
34基初等函数导数公式
基初等函数
导数
35常见初等函数四运算法
（1） 两导函数（差）导数等两函数导数（差）
（2） 两导函数积导数等首函数导数第二函数加首函数第二函数导数
（3） 两导函数商导数等分子导数分母积减分母导数分子积分母方
36复合函数求导
复合函数变量导数等已知函数中间变量导数中间变量变量导数积般设函数点处导数函数点应点处导数复合函数点处导数记作
（1） 导数加法减法法般两导函数推广意限导函数情况
（2） 复合函数求导重点划分函数复合关系科学选择中间变量明确求导程中次变量变量求导般果中间变量较简单必选取中间变量
第四章 导数应
41函数单调性导数
导数正负函数单调性关系
函数yf(x)区间（ab）导
（1） f’(x)>0f(x)区间单调递增函数
（2） f’(x)<0f(x)区间单调减增函数
（3） f’(x)0恒成立f(x)区间常函数
值注意：
讨函数单调性时候定清函数定义域者先求出函数定义域否定义域范围外单调性效
判断函数单调性时候导数等零点影响函数区间单调性
函数区间划分时候需确定导数零点函数连续点导点
42函数极值值导数
1函数极值
极值
极值
定义
包含特定区间（ab）函数yf(x)意点函数值均等点函数值点函数yf(x)极值点函数值极值
包含特定区间（ab）函数yf(x)意点函数值均衣等点函数值点函数yf(x)极值点函数值极值
图
（1） 函数极值点肯定会存区间期间端点法做极值点
（2） 函数整定义域极值点唯极值极值
（3） 极值极值确定关系极值未必极值极值未必极值
（4） 极值点导数关系：导函数极值点肯定导数零点然反定成立导函数处极值必充分条件
2 函数值
值
值
定义
函数区间[ab]点函数值超称点函数区间[ab]值点函数值
函数区间[ab]点函数值称点函数区间[ab]值点函数值
图
3 极值值区连续
函数极值
函数值
区
端点关系
函数极值点肯定存区间区间端点法变成极值点
促函数值值点许区间许端点
特点
极值较函数附函数值出
值较函数区间整定义域函数值
否唯
否没
值值仅
关系
关系固定极值定极值
关系固定值定值
联系
极值值值点极值点
43 导数应
1 利导数研究函数单调性
2 导数分析函数单调性环节：
（1） 确定函数定义域
（2） 求导数
（3） （）解出相应x取值范围时相应区间单调递增时相应区间单调递减
例1
解：函数定义域R
令．
∴函数单调递增区间（－10）
令
∴函数单调递减区间（01）．
例2
解：函数定义域
令．
∴函数递增区间（01）
令
∴函数单调递减区间（12）．
例3
解：函数定义域
令．
∴函数单调递增区间
令
∴函数单调递减区间．
2利导数求解函数极值值
例4 求函数极值
解函数定义域x24(x2)(x+2)
令0解x2x2
面分两种情况讨
(1) ＞0x＞2x＜2时
(2) ＜02＜x＜2时
x变化时 f(x)变化情况表
x
(∞2)
2
(22)
2
(2+∞)
+
0
_
0
+
f(x)
单调递增
单调递减
单调递增
x2时f(x)出现极值外值f(2) x2时f(x)出现极值外值f(2)
纳：求函数yf(x)极值方式
1求解方程00时
(1) 假x0附左边＞0右边＜0时f(x0)极值
(2) 假x0附左边＜0右边＞0时f(x0)极值
例5：：求函数值值
解： 令解
列表讨：
(21)
()
1
(12)
+
－
+
极
极
39
时3
时
函数两端点函数值分39函数值39值
例6：求函数闭区间值值
解：时函数区间 减函数∴函数区间值处取值时函数两极值点区间两端点处函数值∴函数值处取值
总结：1)求闭区间微函数值时极值具体情况需继续分析需直接端点函数值进行
2） 接连函数极值点存时极值肯定函数值
3 利导数求解含参函数问题
例7：已知函数讨函数单调性
解：(Ⅰ) f(x)定义域(0+)
a≥0时＞0f(x)(0+)单调增加
a≤－1时＜0 f(x)(0+)单调减少
－1＜a＜0时令＝0解xx∈(0 )时 ＞0
x∈(+)时＜0 f(x)（0 ）单调增加（+）单调减少
例8：已知函数讨单调性
解：（1）题意
时恒成立函数单调递增
时
两相等实数根
时单调递增
时时单调递增递减综知时单调递增时单调递增单调递增单调递减
4 利导数较实数关系
例9： 已知ab实数中e然数底求证：．
解：证法：
∴证证
设．
∴∴
∴函数增函数．
∴
∴
证法二：证证
证设
∴函数减函数．
说明：构造种重灵活思维方式应构造思想解题通两种方法较求导解题程中起事半功倍效果
4利导数解决等式问题
例10：已知函数求证：时恒
研究：题双边等式右边已知函数证明左边创建函数导数着手证明
解： ∴时增函数时减函数函数单调递增区间单调递减区间时值时∴ （右面证）现证左面令 减函数增函数函数值时∴综知
例11：时证明
证令时∴递减(01)递减∴f(x)总结：利导数证明等式区间恒成立基方法：
（1） 构造函数
（2） 求导根函数单调性函数值域值证明
5利导数解决数列问题
例12：已知数列{}通项nN+求数列{}项
解：构造辅助函数f()(x>0)16x 显然00x>时()<0f(x)区间（0）增函数区间（+）减函数x时函数取值
nN+f()f(5)75f(6)72f(n)值75数列{}项75
例13：求数列 前项
解：x1时1+2+3+…+n x1时+…+两边求导数 1+2x+3+…+n1(n+1)+
综知： x1时x1时
6 利导数求切线方程
1已知切点求曲线切线方程
例15： 曲线点处切线方程
解：点处斜率求切线方程
2已知曲线点求切线方程
例16：求曲线点切线方程．
分析：曲线点切线该点未必切点应先设切点求切点定切点法．
解：设想切点切线斜率．
切线方程．
．
知切线点代入述方程．
解．
求切线方程
3已知曲线外点求切线方程
例17：求点曲线相切直线方程．
解：设切点切线斜率．
切线方程．
已知切线点代入述方程．
解．
7 导数实际生产生活中应
例18：圆柱形金属易拉罐日常生活中处见雪碧百事乐啤酒等饮料易拉罐装易拉罐规模生产时候考虑成问题成般相关参数密切相关生产易拉罐时候选择具体高底半径确保材料量少？
解：设圆柱高h底半径R表面积
S2πRh+2πR2
VπR2h
S(R) 2πR+ 2πR2+2πR2
令 +4πR0
解Rh2
h2R
S(R)极值值
例19：边长60 cm正方形铁片四角切均等正方形边虚线折起(参考图)做成盖方底箱子箱底边长长时候箱底容积？容积？
解：设箱底边长箱高cm箱子容积 ． 令 ＝0解 x0（舍）x40 求 V(40)16 000根题意解x太（0）太（60）时箱子容积16 000值
5 结语
导数已形成较完善学科着丰富历史背景广泛应导数思想已渗入学科利导数工具时应该感恩铭记导数创立作出贡献充分传承发扬导数实性造福类
参考文献：
[1] 数学分析[M]册华东师范学数学系北京高等教育出版社201371150
[2] 孔贺明高考复讲义[Z]新疆青少年出版社20167392
[3] 袁相碗微积分基方法[M]南京南京学出版社201001160
[4] 王树禾思想史数学[M]北京国防工业出版社200301190
[5] 数学通讯[J]数学通讯编辑部数学通讯出版社20180168
[6] 张永辉满分秘籍[Z]北京清华学出版社201701159
[7] 韦问敏高考数学导数试题研究[D]云南云南师范学数学系201701111
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摘：微积分创立疑类发展史重里程碑导数微积分中重基础概念高中数学学学数学学起着承启作导数作中学数学重组成部分分析函数单调性值曲线切线部分等式证明求解数列求解等问题寻找佳方式解决许数学问题强力工具全面体现数学价值锻造全新种思维方法提供重思维力导数关知识解便学生全面解函数相关知识理数学中部分问题法初等数学处理者处理创建数学模型函数关系通函数知识导数分析属性全面激发导数具备实性进处理现实问题导数更中学数学函数间座桥梁
关键词：导数方法应
abstract
the creation of calculus is undoubtedly an important milestone in the history of human development Derivative is an important basic concept in calculus As an important part of middle school mathematics derivative is an important part of middle school mathematics In order to study the monotonicity of function the tangent problem of function most value curve some inequality proof inequality solution It is a powerful tool to solve many mathematical problems It embodies the value of mathematics not only forging a new thinking method but also providing an important thinking ability It helps students better To master the thought and method of function many problems in mathematics may not be solved by elementary mathematics or can be solved the relationship between mathematical model and function can be established and its properties can be studied by means of function thought and derivative In order to solve problems easily and succinctly derivative is more like a bridge between middle school mathematics and function
Keywords derivativemethodapplication
1 引言
函数做载体导数做工具分析函数性质导数应情况期函数导数交汇问题特征命题走势导数明确含参数函数参数取值范围目前普遍研究题重点求存性问题恒成立问题参数范围处理述难题重点等价转化相关理利持续转化解规范繁杂问题转变成解规范模式化简单问题处理关键方式包含参数等式存性恒成立问题身等式结构特点创建函数等价转化成包含参函数值分析问题
前高考试卷中频繁出现述问题外相关知识较综合性较强学生处理部分问题时解确定参数范围函数关系等关系出现文利实例研究述问题正确处理方式希帮助学生更学数学
第章 微分产生发展
21微分萌发
微分积分思想萌芽追溯古代作研究变量函数微分积分互逆关系微积分学诞生17世纪半叶欧洲
微积分创立17世纪数学部矛盾运动数学外部科学数学化相互作结果科学数学化重点表现面重事件中：
1608年伽利略(Galileo)首架远镜出现激发民众天文学分析热情外促进光学分析述
开普勒(J．Kepler)利查整理出行星运动定理：
1)行星运动轨道椭圆太阳处椭圆焦点
2)太阳行星焦半径定时间扫面积均等
3)行星围绕太阳公转周期方椭圆轨道半长轴立方正
终定理1619年公开数学角度验证开普勒验定理变成时期然科学核心问题
1638年伽利略关两门新科学话正式撰写完成动力学发展准备良基础加快众动力学定义定理进行详细数学叙述远镜光程设计明确透镜曲面点法线求曲线切线中炮弹射程求行星轨道日点远点等求数值值相关问题中求曲线围面积曲线长重心引力计算会持续激发众奇心
22微积分创立
十七世纪半期基全部研究专家处理问题寻找全新研究工具处理述疑难问题全新学科——微积分出现
微积分出现处理述中众问题：
1)已知物体运动路程时间间关系求物体意时间速度加速度否已知物体运动加速度速度求物体意时间速度路程
2)求曲线切线述单纯问题然科学应产生重影响透镜设计求曲线切线运动物体运动轨迹意点运动方点切线方
3)求函数值前指出弹道射程问题行星太阳日点远日点
4)求积问题求曲线长曲线曲面围面积体积
述诸难题处理原分析常量静止数学工具法发挥现实功必须变量引进数学描述运动程全新工具——微积分出现问题难题利处理微积分牛顿莱布尼茨分独立创立应分享硕果
23微积分发展
微积分学出现计算精准性应宽泛性时学科变成分析然科学重工具然中部分定义具备严谨详细涵尤微积分基础—穷概念诠释相含糊运算时时零时零陷入逻辑困境中众批评否定未数学家舍弃微积分反激发起相关专家积极性开始研究微积分懈奋斗进引发微积分甚整数学领域严格化运动
微积分严格化活动长达百年发展滞十九世纪早期逐渐良效果研究严密性具备现实影响先驱著名法国数学家柯西数学领域杰出价值微积分增加极限概念做基础创建逻辑精准研究系统微积分发展历史中精髓柯西然科学发展做出贡献时该学者述前提提出复变函数微积分观点
柯西定积分进行全面详细研究良结果定积分定义成极限正式计算前指出需确定积分存性通中值定理直接严谨验证出微积分定理柯西关研究基础具备典型性书籍撰写分析教程(1821)穷计算教程(1823)微分计算教程(1829)述书籍研究严格化做目标确定微积分众理涵述前提柯西直接表达检验处微积分基定理中值定理等众关键知识确定级数收敛性分析级数收敛基础等指出部分定义叙述逐渐微积分现代体系柯西分析开始转变领域基础问题长久出现序局面进入分析全面严格化时期
外微积分严密性发展产生积极影响德国数学家魏尔斯特拉斯该学者相理性外具吃苦耐劳良品质学校教书时候惊毅力开展数学分析
柯西魏尔斯特拉斯深入研究中数学研究基概念全面验证进扭转微积分领域长久存序局面微积分推广概念运动直观解现实赖中释放出促微积分变成代数学领域学科
24微积分影响
微积分出现促进余学科进步数学原余学科发展重条件特天文学力学光学电学热学等学科进步微积分变成物理学语言外部分物理学问题赖微积分处理外天文学天体力学发展产生积极现实影响牛顿微积分学微分方程万引力定律导出开普勒行星运动三定律余学科化学生物学理学等众学科需赖微积分知识说述学科发展定程度微积分述学科微积分方式推导演绎出种全新公式定理等微积分出现余学科进步奠定良基础
第三章导数
31导数数定义
设函数yf(x)点x0某邻域存定义假极限
出现函数f点处导称该极限函数f点处导数记作令式改写
导数函数增量极限
32导函数
函数区间点导称导函数
需注意：（1）导函数定义中区间般指开区间开区间断电出定改变量（左端点增量右端点减量）
（2） 函数定义域点导数处没导数定义域点处处导数
33导数意义物理意义
（1） 导数意义：函数处具备意义曲线点处切线斜率
（2） 导数物理意义：瞬时速度路程函数相时间瞬时变化率瞬时加速度速度函数相时间瞬时变化率
34基初等函数导数公式
基初等函数
导数
35常见初等函数四运算法
（1） 两导函数（差）导数等两函数导数（差）
（2） 两导函数积导数等首函数导数第二函数加首函数第二函数导数
（3） 两导函数商导数等分子导数分母积减分母导数分子积分母方
36复合函数求导
复合函数变量导数等已知函数中间变量导数中间变量变量导数积般设函数点处导数函数点应点处导数复合函数点处导数记作
（1） 导数加法减法法般两导函数推广意限导函数情况
（2） 复合函数求导重点划分函数复合关系科学选择中间变量明确求导程中次变量变量求导般果中间变量较简单必选取中间变量
第四章 导数应
41函数单调性导数
导数正负函数单调性关系
函数yf(x)区间（ab）导
（1） f’(x)>0f(x)区间单调递增函数
（2） f’(x)<0f(x)区间单调减增函数
（3） f’(x)0恒成立f(x)区间常函数
值注意：
讨函数单调性时候定清函数定义域者先求出函数定义域否定义域范围外单调性效
判断函数单调性时候导数等零点影响函数区间单调性
函数区间划分时候需确定导数零点函数连续点导点
42函数极值值导数
1函数极值
极值
极值
定义
包含特定区间（ab）函数yf(x)意点函数值均等点函数值点函数yf(x)极值点函数值极值
包含特定区间（ab）函数yf(x)意点函数值均衣等点函数值点函数yf(x)极值点函数值极值
图
（1） 函数极值点肯定会存区间期间端点法做极值点
（2） 函数整定义域极值点唯极值极值
（3） 极值极值确定关系极值未必极值极值未必极值
（4） 极值点导数关系：导函数极值点肯定导数零点然反定成立导函数处极值必充分条件
2 函数值
值
值
定义
函数区间[ab]点函数值超称点函数区间[ab]值点函数值
函数区间[ab]点函数值称点函数区间[ab]值点函数值
图
3 极值值区连续
函数极值
函数值
区
端点关系
函数极值点肯定存区间区间端点法变成极值点
促函数值值点许区间许端点
特点
极值较函数附函数值出
值较函数区间整定义域函数值
否唯
否没
值值仅
关系
关系固定极值定极值
关系固定值定值
联系
极值值值点极值点
43 导数应
1 利导数研究函数单调性
2 导数分析函数单调性环节：
（1） 确定函数定义域
（2） 求导数
（3） （）解出相应x取值范围时相应区间单调递增时相应区间单调递减
例1
解：函数定义域R
令．
∴函数单调递增区间（－10）
令
∴函数单调递减区间（01）．
例2
解：函数定义域
令．
∴函数递增区间（01）
令
∴函数单调递减区间（12）．
例3
解：函数定义域
令．
∴函数单调递增区间
令
∴函数单调递减区间．
2利导数求解函数极值值
例4 求函数极值
解函数定义域x24(x2)(x+2)
令0解x2x2
面分两种情况讨
(1) ＞0x＞2x＜2时
(2) ＜02＜x＜2时
x变化时 f(x)变化情况表
x
(∞2)
2
(22)
2
(2+∞)
+
0
_
0
+
f(x)
单调递增
单调递减
单调递增
x2时f(x)出现极值外值f(2) x2时f(x)出现极值外值f(2)
纳：求函数yf(x)极值方式
1求解方程00时
(1) 假x0附左边＞0右边＜0时f(x0)极值
(2) 假x0附左边＜0右边＞0时f(x0)极值
例5：：求函数值值
解： 令解
列表讨：
(21)
()
1
(12)
+
－
+
极
极
39
时3
时
函数两端点函数值分39函数值39值
例6：求函数闭区间值值
解：时函数区间 减函数∴函数区间值处取值时函数两极值点区间两端点处函数值∴函数值处取值
总结：1)求闭区间微函数值时极值具体情况需继续分析需直接端点函数值进行
2） 接连函数极值点存时极值肯定函数值
3 利导数求解含参函数问题
例7：已知函数讨函数单调性
解：(Ⅰ) f(x)定义域(0+)
a≥0时＞0f(x)(0+)单调增加
a≤－1时＜0 f(x)(0+)单调减少
－1＜a＜0时令＝0解xx∈(0 )时 ＞0
x∈(+)时＜0 f(x)（0 ）单调增加（+）单调减少
例8：已知函数讨单调性
解：（1）题意
时恒成立函数单调递增
时
两相等实数根
时单调递增
时时单调递增递减综知时单调递增时单调递增单调递增单调递减
4 利导数较实数关系
例9： 已知ab实数中e然数底求证：．
解：证法：
∴证证
设．
∴∴
∴函数增函数．
∴
∴
证法二：证证
证设
∴函数减函数．
说明：构造种重灵活思维方式应构造思想解题通两种方法较求导解题程中起事半功倍效果
4利导数解决等式问题
例10：已知函数求证：时恒
研究：题双边等式右边已知函数证明左边创建函数导数着手证明
解： ∴时增函数时减函数函数单调递增区间单调递减区间时值时∴ （右面证）现证左面令 减函数增函数函数值时∴综知
例11：时证明
证令时∴递减(01)递减∴f(x)
（1） 构造函数
（2） 求导根函数单调性函数值域值证明
5利导数解决数列问题
例12：已知数列{}通项nN+求数列{}项
解：构造辅助函数f()(x>0)16x 显然0
nN+f()f(5)75f(6)72f(n)值75数列{}项75
例13：求数列 前项
解：x1时1+2+3+…+n x1时+…+两边求导数 1+2x+3+…+n1(n+1)+
综知： x1时x1时
6 利导数求切线方程
1已知切点求曲线切线方程
例15： 曲线点处切线方程
解：点处斜率求切线方程
2已知曲线点求切线方程
例16：求曲线点切线方程．
分析：曲线点切线该点未必切点应先设切点求切点定切点法．
解：设想切点切线斜率．
切线方程．
．
知切线点代入述方程．
解．
求切线方程
3已知曲线外点求切线方程
例17：求点曲线相切直线方程．
解：设切点切线斜率．
切线方程．
已知切线点代入述方程．
解．
7 导数实际生产生活中应
例18：圆柱形金属易拉罐日常生活中处见雪碧百事乐啤酒等饮料易拉罐装易拉罐规模生产时候考虑成问题成般相关参数密切相关生产易拉罐时候选择具体高底半径确保材料量少？
解：设圆柱高h底半径R表面积
S2πRh+2πR2
VπR2h
S(R) 2πR+ 2πR2+2πR2
令 +4πR0
解Rh2
h2R
S(R)极值值
例19：边长60 cm正方形铁片四角切均等正方形边虚线折起(参考图)做成盖方底箱子箱底边长长时候箱底容积？容积？
解：设箱底边长箱高cm箱子容积 ． 令 ＝0解 x0（舍）x40 求 V(40)16 000根题意解x太（0）太（60）时箱子容积16 000值
5 结语
导数已形成较完善学科着丰富历史背景广泛应导数思想已渗入学科利导数工具时应该感恩铭记导数创立作出贡献充分传承发扬导数实性造福类
参考文献：
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[4] 王树禾思想史数学[M]北京国防工业出版社200301190
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[6] 张永辉满分秘籍[Z]北京清华学出版社201701159
[7] 韦问敏高考数学导数试题研究[D]云南云南师范学数学系201701111
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