课
程
济数学
执行
日期
星期
检查签字
记录
班级
节次
课题
概率基概念计算
课程类型
理 实测
教
学
目
1 正确理解机事件概率条件概率基概念
2 熟练掌握计算事件概率基方法
教
学
重
点
古典概型全概率公式事件独立性
教
学
难
点
古典概型全概率公式事件独立性
教学方法
教
学
挂
图
教学环节时间分配
1组织教学时间
5分钟
2讲授新课时间
60分钟
3复导入时间
10分钟
4纳结时间
10分钟
5作业布置时间
5分钟
教
学
记
作
业
练
XX职业技术学院备课纸
XX职业技术学院备课纸
概率基概念计算
教学目求
1 正确理解机事件概率条件概率基概念
2 熟练掌握计算事件概率基方法
二重点难点
重点：古典概型全概率公式事件独立性
难点：古典概型全概率公式事件独立性
三课时分配：8 学时
四教学程：
概率研究量机现象成呈现规律性门数学学科机现象普遍性概率具广泛应概率代数学重组成部分时研究数理统计基础
（） 机事件
1 机现象
生产活动日常生活中发生种现象中类现象定条件必然发生（必然发生）类现象做确定性现象例抛石子受心引力作必然落标准气压水加热80℃必然沸腾学代数等学科研究确定性现象数学学科
然生产活动日常生活中存着类现象相条件具种结果种结果会发生事先确定类现象做机现象例抛枚硬币落正面正面事先确定
机现象特点：
（1） 事先预言结果说明机现象具偶然性
（2） 相条件进行量重复试验会呈现某种规律性种规律性通常做统计规律性
例：相条件次抛掷质量均匀枚硬币出现正面次数约占总抛掷
次数半含合格品批产品进行次重复抽查观察合格品率某战士相条件进行次重复射击出命中率
机现象规律性客观存相条件进行量重复试验时呈现出重复次数越客观规律性会表现越明显
机现象次观察做次试验次试验般满足列条件：
（1）相情况重复进行
（2）实验结果已知止
（3）次试验出现结果中次试验前确定会出现结果样试验做机试验通常简称试验
2 机事件
定条件机现象进行试验结果做机事件简称事件通常字母……表示
例抛掷枚硬币落出现正面事件出现正面事件记作
｛正面｝
｛正面｝
批含合格品产品中意抽取三件进行质量检验列事件出现：
｛全合格品｝
｛恰件合格品｝
｛恰二件合格品｝
｛恰三件合格品｝
｛少件合格品｝
｛合格品两件｝
机事件次试验中发生发生具机性进行量重复试验时机事件出现性客观存
定条件必然发生事件做必然事件记作例标准气压纯水加热100℃时事件水沸腾必然事件
定条件必然发生事件做事件记作例全合格品产品中取两件事件全次品事件
研究问题方便起见必然事件事件成机事件特殊情况
3 事件间关系
事件间关系常常错综复杂需研究间相互关系
事件包含关系
定义 果事件发生必然导致事件发生做事件包含事件记作
例盒子中十完全相球分标号码123…10中取球设事件
｛球标号偶数｝
｛球标号4｝
摸标号4球意味着标号偶数球出现事件发生导致事件发生包含
事件
定义 次试验中事件事件少发生事件做事件事件（）记作（）
表示图（略）
图中阴影部分表示
例中
｛球标号偶数｝
｛球标号｝
｛球标号123456810｝
容易出
样事件…中少发生事件做事件…记作
…
事件交
定义 次试验中事件事件时发生事件做事件事件交（积）记作（）
事件交表示图（略）阴影部分
前面例子里
｛球标号偶数｝
｛球标号≥4｝
｛球标号46810｝
容易出
类似事件…时发生事件做事件…交记作
…
互相容事件
定义 果试验中事件事件时发生事件事件做互相容（互斥）记作（）
图3表示事件事件时发生次试验结果表示点点时落说互相容（）
前面例子中
｛球标号偶数｝
｛球标号5｝
显然时发生
立事件
定义 事件发生做事件发生立事件（逆事件）记作
前面例子中
｛球标号偶数｝
｛球标号奇数｝事件立事件
图4中阴影部分表示事件立事件图104中容易出立事件性质：
事件运算律
事件运算满足规律：
（1）交换律
（2）结合律
（3）分配律
（4）反演律
运算律集合运算律致
例 甲乙丙三时进行射击设三事件
｛甲中靶｝
｛乙中靶｝
｛丙中靶｝
试事件关系式表示列事件：
（1） 三中靶
（2） 少两中靶
（3） 恰两中靶
（4） 两中靶
解 （1）三中靶事件表示三事件时发生
｛三中靶｝
（2）少两中靶事件说明两中靶三中靶两事件少发生两中靶事件说明甲乙中靶甲丙中靶乙丙中靶三种情形少种发生题中出条件甲乙丙三时射击甲乙中靶时必丙未中靶甲中靶乙中靶丙未中靶三事件时发生余两种情况
｛少两中靶｝
根事件定义事件表示
｛少两中靶｝
（3）恰两中靶事件说明两中靶第三未中靶事件表示
｛恰两中靶｝
（4）两中靶事件说明两中靶中靶中靶三事件少发生事件表示
｛两中靶｝
问题外种解法样考虑两中靶三中靶立事件
｛两中靶｝
2 掷颗骰子观察出现点数事件表示奇数点表示点数5表示5偶数点试列举方法表示列事件：
解 ｛123456｝
｛135｝
｛1234｝
｛24｝
｛12345｝
｛13｝
｛12345｝
｛｝
｛12346｝
｛5｝
（二） 概率概念
研究机事件规律性时首先需机事件发生性定量分析
1 概率统计定义
研究机事件发生规律性需样条件进行次重复试验定条件次试验中事件发生次数做事件发生频数频数试验次数值做事件发生频率记作
例投掷硬币试验中记录：
投掷次数
（）
正面次数
（频数）
频率（）
2048
4040
12000
24000
30000
72088
1061
2048
6019
12012
14984
36069
05181
05069
05016
05005
04996
05003
表中出事件正面发生频率然具偶然性呈现出定规律频率着投掷次数增逐渐稳定05左右种量观察中规律性做机事件统计规律性试验次数逐渐增时频率常稳定常数附规律通常做频率相稳定性频率稳定值某事件发生性概率概念验基础出定义
定义 样条件重复进行次试验充分时果事件发生频率稳定某常数附数值做机事件概率记作
述定义量统计基础通频率稳定性描述事件概率做概率统计定义
例投掷硬币试验中事件
｛正面｝
频率稳定05附05事件概率05
然频率稳定性概率验基础事件发生概率决定试验完全取决事件身客观存
般情况概率值统计方法精确充分时通常频率作概率似值
频率概率概念概率列性质：
（1） 事件0≤≤1
（2） 必然事件概率等1
（3） 事件概率等0
2 概率古典定义
频率稳定值描述事件概率需通量试验较困难某情况根事件特点事件进行分析出概率值
例投掷硬币试验中次试验发生结果两种正面正面果硬币均匀投掷意显然两种实验结果发生性相等占二分认事件正面正面概率等
出概率古典定义前先介绍基事件概念
机事件中事件事件组合成做复合事件事件分解事件组合种分解成事件组合简单事件做基事件
例十环靶子射击中事件
｛击中8环｝
｛击中环｝｛12…10｝
事件机事件中…中事件分解事件中事件基事件事件事件组合成
事件发生事件发生事件基事件复合事件显然次射击中事件（12…10）中必发生出定义：
定义 果…互相容等事件次试验必事件发生…中事件做基事件基事件总数…做等完备事件组
例抛掷硬币落正面正面两基事件基事件总数2
例 盒中五球（三白球二红球）标序号中取试写出基事件基事件总数少？
解 设事件
｛取第白球｝
｛取第二白球｝
｛取第三白球｝
｛取第红球｝
｛取第二红球｝
事件具特点：
（1）互相容事件
（2）事件发生性相等
（3）次抽取必事件发生
根定义事件基事件构成等完备事件组基事件总数
面出概率古典定义：
定义 果基事件总数基事件次试验中发生性相事件包含中基事件事件发生概率
概率古典定义样具统计定义中述三性质
例 枚硬币连续抛三次求恰出现次正面概率恰出现两次正面概率
解 设正表示正面反表示正面连续抛三次硬币次试验出现基事件
｛正正正｝｛正正反｝｛正反正｝｛反正正｝
｛正反反｝｛反正反｝｛反反正｝｛反反反｝
基事件总数基事件中出事件
｛恰出现次正面｝
包含基事件事件
｛恰出现二次正面｝
包含基事件
利概率古典定义讨事件概率模型古典概型古典概型应满足两条件：
（1） 全部基事件数限
（2） 基事件发生性相等
概率古典定义实践中总结出许情形根古典定义计算概率需定技巧实践中逐步掌握
古典定义计算概率时需结果排列出呢？必数情况利排列组合等方法通分析
例 100件产品中98件正品2件次品中取5件求列事件概率：
（1） ｛5件全正品｝
（2） ｛恰件次品｝
解 100件产品中取5件基事件总数
（1）事件包含基事件数
0902
（2）事件包含基事件数
0096
例8 保险箱号码锁四位数字组成问次开保险箱概率少？
解 四位数字编出重复数字号码基事件总数
设事件｛次开保险箱｝
00001
次开保险箱概率万分
元素重复选取抽样方法济理问题中做放回抽样果抽取放回第二次剩元素中抽取做放回抽样放回抽样放回抽样抽取方法计算方法样例3中果求编出没重复数字四位号码数
（）
相第次012…9十数码中取作第四位数取出号码放回第二次剩余9数码中取作第三位数余类推种放回抽取
例8 元五角二角角五分二分分纸币张试求组成币值中币值足元概率
解 题中纸币组成币值单独张纸币二张三张……七张纸币组成币值序关币值总数基事件总数
…
设事件｛币值足元｝事件包含基事件元纸币排外币值足元基事件数
…
事件概率
04961
（三） 概率加法公式 逆事件概率
节介绍概率运算法较复杂概率计算问题必
1 概率加法公式
1．果事件互相容
图示加说明
图中面积表示事件发生概率面积表示事件发生概率事件互相容显然
表达概率重特性加性
公式推广：
果限事件…互相容
例 某射击中命中10环概率时045命中9环概率035求少命中9环概率
解 设｛命中10环｝
｛命中9环｝
｛少命中9环｝
根概率加性公式（86）
该射击中少命中9环概率08
例 批产品50件中45件合格5件合格批产品中取3件求中少件合格品概率
解 设｛少件合格品｝
｛件合格品｝
｛二件合格品｝
｛三件合格品｝
互相容
02525＋00230＋00005
取3件少1件合格品概率276
公式成立条件事件互相容果事件定互相容公式
2．意两事件
图示加说明
图6中事件相容面积等面积加面积中部分面积AB面积重叠显然面积应等面积加面积减面积
互相容时
公式（88）推广：
意三事件
（89）
2 逆事件概率
根加法公式逆事件概念推出逆事件概率计算公式：
事件逆事件互相容根加法公式（86）
例 批产品50件中45件合格5件合格批产品中取3件求中少件合格品概率
解 事件｛少件合格品｝逆事件｛没合格品｝根逆事件计算公式（810）
少件合格品概率02760
逆事件计算公式常会概率计算带方便例中果直接计算少件合格品概率较繁琐计算：
设｛件合格品｝
｛二件合格品｝
｛三件合格品｝
｛少件合格品｝
互相容
02525＋00230＋00005 02760
计算结果逆事件计算结果相较繁琐
（四） 条件概率 法公式 独立性
1 条件概率
问题中计算事件发生概率外时需计算某事件发生条件事件发生概率
例10件产品中两件次品取中件抽次品概率第次取出件次品放回第二次取出件次品概率应第次取出件次品条件第二次取出次品概率类概率问题条件概率问题
定义 果事件试验两机事件事件发生条件事件发生概率做事件发生事件条件概率记作
例中设事件
｛第次取次品｝
｛第二次取次品｝
抽取放回事件发生条件事件发生概率记作事件发生事件条件概率
例 五球中三白球二红球次取放回抽取两次试求第次取红球条件第二次取白球概率
解 设事件
｛第次取红球｝
｛第二次取白球｝
事件已发生取出球放回5球中剩4中白球3古典概型知
问题中原条件次取放回抽取外第二次取白球第次取红球条件发生条件概率
条件概率计算公式：
公式概率古典定义证明
设某试验基事件总数事件包含基事件事件包含事件包含
图中点代表基事件事件发生条件事件发生概率
时
理时
例814 某居民活60岁概率08活70岁概率065试求现年60岁活70岁概率少？
解 设｛活60岁｝
｛活70岁｝
活60岁中包含活70岁根事件交关系活60岁中活70岁概率活60岁条件活70岁条件概率
2 法公式
条件概率公式（811）直接出概率法公式
两事件积概率等中事件概率事件前事件发生条件条件概率积
例815 100台电视机中3台次品余正品放回中连续取出2台试求：
（1）两次取正品概率
（2）第二次取正品概率
解 设事件
｛第次取正品｝
｛第二次取正品｝
（1）两次取正品意味着时发生
公式（812）
094
（2）第二次取正品意味着第次取次品第二次取正品事件时发生
0029
3 事件独立性
情况两事件间定关联情况两事件发生相互影响例两条件靶般说中靶否相互影响批含合格品产品中放回连续抽取次抽什样产品相互影响
定义 果事件发生影响事件发生概率
（）
称事件事件独立否独立
两事件独立性相互事件事件独立时事件事件独立
例816 抛甲乙两枚硬币事件表示甲币正面事件表示乙币正面试独立性定义验证事件事件相互独立
解 试验中出现基事件：
｛甲正乙正｝｛甲正乙反｝｛甲反乙正｝｛甲反乙反｝
基事件总数4事件包含基事件数2事件包含基事件数2
甲币正面条件乙币正面概率
乙币正面条件甲币正面概率事件事件独立时事件事件独立相互独立
实际问题中两事件否独立总需通公式计算验证根具体情况分析判断事件间没明显联系者联系甚微认相互独立
例两射手相条件射击般说相互间影响微作相互独立
两相互独立事件法公式：
定理 果两事件相互独立两事件积概率等两事件概率积
反式成立相互独立
证明 根法公式
反法公式必
独立
关两事件独立概念推广限事件情形：
果事件…中事件（12…）发生概率受事件发生影响事件…做相互独立
… （815）
例817 图89示线路中元件否正常工作相互独立已知元件正常工作概率分090950708085求线路畅通概率
解 设分元件正常工作事件中间三元件组成线路联线路少元件正常工作部分线路畅通换句话说三元件正常工作时线路通部分线路畅通概率
1（107）（108）（1085）0991
元件联部分线路正常工作时元件联部分否正常工作相互独立线路畅通概率
09×095×0991 08473
例818 加工某零件三道工序设第二三道工序次品率分002003005假定道工序互影响试求加工出零件次品概率
解 设事件
｛加工出零件次品｝
｛第道工序次品｝（123）
方法 零件次品意味着少道工序次品事件互相容计算事件概率公式（89）
002+003+005002×003003×005005×002+002×003×005
009693
方法二 先求少道工序次品事件立事件三道工序正品概率
1098×097×095009693
（五） 独立试验概型
1 独立试验概型
现讨关独立事件类概率问题
果枚硬币抛掷次（次抛掷枚相硬币等价）次抛掷结果相互独立次抛掷两结果正面反面
般说定条件独立重复做次试验果次试验两结果次试验事件发生概率变
样试验做次重复独立试验
次独立试验中事件发生次概率记作称独立试验概型计算公式：
（012…）
举例说明验证公式：
例 100件产品中3件合格品次取件放回抽取三次试求恰1件合格品概率
解 三次抽取独立果次抽取作次试验次试验两结果抽合格品抽合格品三次独立试验
设｛第次抽合格品｝（123）｛第次抽合格品｝
设｛三次抽取中恰1件合格品｝题设知3次抽取恰1件合格品事件种
×
×
×
事件互相容
×0085
3次抽取中恰1件合格品概率85
五 结作业（略）
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程
济数学
执行
日期
星期
检查签字
记录
班级
节次
课题
概率基概念计算
课程类型
理 实测
教
学
目
1 正确理解机事件概率条件概率基概念
2 熟练掌握计算事件概率基方法
教
学
重
点
古典概型全概率公式事件独立性
教
学
难
点
古典概型全概率公式事件独立性
教学方法
教
学
挂
图
教学环节时间分配
1组织教学时间
5分钟
2讲授新课时间
60分钟
3复导入时间
10分钟
4纳结时间
10分钟
5作业布置时间
5分钟
教
学
记
作
业
练
XX职业技术学院备课纸
XX职业技术学院备课纸
概率基概念计算
教学目求
1 正确理解机事件概率条件概率基概念
2 熟练掌握计算事件概率基方法
二重点难点
重点：古典概型全概率公式事件独立性
难点：古典概型全概率公式事件独立性
三课时分配：8 学时
四教学程：
概率研究量机现象成呈现规律性门数学学科机现象普遍性概率具广泛应概率代数学重组成部分时研究数理统计基础
（） 机事件
1 机现象
生产活动日常生活中发生种现象中类现象定条件必然发生（必然发生）类现象做确定性现象例抛石子受心引力作必然落标准气压水加热80℃必然沸腾学代数等学科研究确定性现象数学学科
然生产活动日常生活中存着类现象相条件具种结果种结果会发生事先确定类现象做机现象例抛枚硬币落正面正面事先确定
机现象特点：
（1） 事先预言结果说明机现象具偶然性
（2） 相条件进行量重复试验会呈现某种规律性种规律性通常做统计规律性
例：相条件次抛掷质量均匀枚硬币出现正面次数约占总抛掷
次数半含合格品批产品进行次重复抽查观察合格品率某战士相条件进行次重复射击出命中率
机现象规律性客观存相条件进行量重复试验时呈现出重复次数越客观规律性会表现越明显
机现象次观察做次试验次试验般满足列条件：
（1）相情况重复进行
（2）实验结果已知止
（3）次试验出现结果中次试验前确定会出现结果样试验做机试验通常简称试验
2 机事件
定条件机现象进行试验结果做机事件简称事件通常字母……表示
例抛掷枚硬币落出现正面事件出现正面事件记作
｛正面｝
｛正面｝
批含合格品产品中意抽取三件进行质量检验列事件出现：
｛全合格品｝
｛恰件合格品｝
｛恰二件合格品｝
｛恰三件合格品｝
｛少件合格品｝
｛合格品两件｝
机事件次试验中发生发生具机性进行量重复试验时机事件出现性客观存
定条件必然发生事件做必然事件记作例标准气压纯水加热100℃时事件水沸腾必然事件
定条件必然发生事件做事件记作例全合格品产品中取两件事件全次品事件
研究问题方便起见必然事件事件成机事件特殊情况
3 事件间关系
事件间关系常常错综复杂需研究间相互关系
事件包含关系
定义 果事件发生必然导致事件发生做事件包含事件记作
例盒子中十完全相球分标号码123…10中取球设事件
｛球标号偶数｝
｛球标号4｝
摸标号4球意味着标号偶数球出现事件发生导致事件发生包含
事件
定义 次试验中事件事件少发生事件做事件事件（）记作（）
表示图（略）
图中阴影部分表示
例中
｛球标号偶数｝
｛球标号｝
｛球标号123456810｝
容易出
样事件…中少发生事件做事件…记作
…
事件交
定义 次试验中事件事件时发生事件做事件事件交（积）记作（）
事件交表示图（略）阴影部分
前面例子里
｛球标号偶数｝
｛球标号≥4｝
｛球标号46810｝
容易出
类似事件…时发生事件做事件…交记作
…
互相容事件
定义 果试验中事件事件时发生事件事件做互相容（互斥）记作（）
图3表示事件事件时发生次试验结果表示点点时落说互相容（）
前面例子中
｛球标号偶数｝
｛球标号5｝
显然时发生
立事件
定义 事件发生做事件发生立事件（逆事件）记作
前面例子中
｛球标号偶数｝
｛球标号奇数｝事件立事件
图4中阴影部分表示事件立事件图104中容易出立事件性质：
事件运算律
事件运算满足规律：
（1）交换律
（2）结合律
（3）分配律
（4）反演律
运算律集合运算律致
例 甲乙丙三时进行射击设三事件
｛甲中靶｝
｛乙中靶｝
｛丙中靶｝
试事件关系式表示列事件：
（1） 三中靶
（2） 少两中靶
（3） 恰两中靶
（4） 两中靶
解 （1）三中靶事件表示三事件时发生
｛三中靶｝
（2）少两中靶事件说明两中靶三中靶两事件少发生两中靶事件说明甲乙中靶甲丙中靶乙丙中靶三种情形少种发生题中出条件甲乙丙三时射击甲乙中靶时必丙未中靶甲中靶乙中靶丙未中靶三事件时发生余两种情况
｛少两中靶｝
根事件定义事件表示
｛少两中靶｝
（3）恰两中靶事件说明两中靶第三未中靶事件表示
｛恰两中靶｝
（4）两中靶事件说明两中靶中靶中靶三事件少发生事件表示
｛两中靶｝
问题外种解法样考虑两中靶三中靶立事件
｛两中靶｝
2 掷颗骰子观察出现点数事件表示奇数点表示点数5表示5偶数点试列举方法表示列事件：
解 ｛123456｝
｛135｝
｛1234｝
｛24｝
｛12345｝
｛13｝
｛12345｝
｛｝
｛12346｝
｛5｝
（二） 概率概念
研究机事件规律性时首先需机事件发生性定量分析
1 概率统计定义
研究机事件发生规律性需样条件进行次重复试验定条件次试验中事件发生次数做事件发生频数频数试验次数值做事件发生频率记作
例投掷硬币试验中记录：
投掷次数
（）
正面次数
（频数）
频率（）
2048
4040
12000
24000
30000
72088
1061
2048
6019
12012
14984
36069
05181
05069
05016
05005
04996
05003
表中出事件正面发生频率然具偶然性呈现出定规律频率着投掷次数增逐渐稳定05左右种量观察中规律性做机事件统计规律性试验次数逐渐增时频率常稳定常数附规律通常做频率相稳定性频率稳定值某事件发生性概率概念验基础出定义
定义 样条件重复进行次试验充分时果事件发生频率稳定某常数附数值做机事件概率记作
述定义量统计基础通频率稳定性描述事件概率做概率统计定义
例投掷硬币试验中事件
｛正面｝
频率稳定05附05事件概率05
然频率稳定性概率验基础事件发生概率决定试验完全取决事件身客观存
般情况概率值统计方法精确充分时通常频率作概率似值
频率概率概念概率列性质：
（1） 事件0≤≤1
（2） 必然事件概率等1
（3） 事件概率等0
2 概率古典定义
频率稳定值描述事件概率需通量试验较困难某情况根事件特点事件进行分析出概率值
例投掷硬币试验中次试验发生结果两种正面正面果硬币均匀投掷意显然两种实验结果发生性相等占二分认事件正面正面概率等
出概率古典定义前先介绍基事件概念
机事件中事件事件组合成做复合事件事件分解事件组合种分解成事件组合简单事件做基事件
例十环靶子射击中事件
｛击中8环｝
｛击中环｝｛12…10｝
事件机事件中…中事件分解事件中事件基事件事件事件组合成
事件发生事件发生事件基事件复合事件显然次射击中事件（12…10）中必发生出定义：
定义 果…互相容等事件次试验必事件发生…中事件做基事件基事件总数…做等完备事件组
例抛掷硬币落正面正面两基事件基事件总数2
例 盒中五球（三白球二红球）标序号中取试写出基事件基事件总数少？
解 设事件
｛取第白球｝
｛取第二白球｝
｛取第三白球｝
｛取第红球｝
｛取第二红球｝
事件具特点：
（1）互相容事件
（2）事件发生性相等
（3）次抽取必事件发生
根定义事件基事件构成等完备事件组基事件总数
面出概率古典定义：
定义 果基事件总数基事件次试验中发生性相事件包含中基事件事件发生概率
概率古典定义样具统计定义中述三性质
例 枚硬币连续抛三次求恰出现次正面概率恰出现两次正面概率
解 设正表示正面反表示正面连续抛三次硬币次试验出现基事件
｛正正正｝｛正正反｝｛正反正｝｛反正正｝
｛正反反｝｛反正反｝｛反反正｝｛反反反｝
基事件总数基事件中出事件
｛恰出现次正面｝
包含基事件事件
｛恰出现二次正面｝
包含基事件
利概率古典定义讨事件概率模型古典概型古典概型应满足两条件：
（1） 全部基事件数限
（2） 基事件发生性相等
概率古典定义实践中总结出许情形根古典定义计算概率需定技巧实践中逐步掌握
古典定义计算概率时需结果排列出呢？必数情况利排列组合等方法通分析
例 100件产品中98件正品2件次品中取5件求列事件概率：
（1） ｛5件全正品｝
（2） ｛恰件次品｝
解 100件产品中取5件基事件总数
（1）事件包含基事件数
0902
（2）事件包含基事件数
0096
例8 保险箱号码锁四位数字组成问次开保险箱概率少？
解 四位数字编出重复数字号码基事件总数
设事件｛次开保险箱｝
00001
次开保险箱概率万分
元素重复选取抽样方法济理问题中做放回抽样果抽取放回第二次剩元素中抽取做放回抽样放回抽样放回抽样抽取方法计算方法样例3中果求编出没重复数字四位号码数
（）
相第次012…9十数码中取作第四位数取出号码放回第二次剩余9数码中取作第三位数余类推种放回抽取
例8 元五角二角角五分二分分纸币张试求组成币值中币值足元概率
解 题中纸币组成币值单独张纸币二张三张……七张纸币组成币值序关币值总数基事件总数
…
设事件｛币值足元｝事件包含基事件元纸币排外币值足元基事件数
…
事件概率
04961
（三） 概率加法公式 逆事件概率
节介绍概率运算法较复杂概率计算问题必
1 概率加法公式
1．果事件互相容
图示加说明
图中面积表示事件发生概率面积表示事件发生概率事件互相容显然
表达概率重特性加性
公式推广：
果限事件…互相容
例 某射击中命中10环概率时045命中9环概率035求少命中9环概率
解 设｛命中10环｝
｛命中9环｝
｛少命中9环｝
根概率加性公式（86）
该射击中少命中9环概率08
例 批产品50件中45件合格5件合格批产品中取3件求中少件合格品概率
解 设｛少件合格品｝
｛件合格品｝
｛二件合格品｝
｛三件合格品｝
互相容
02525＋00230＋00005
取3件少1件合格品概率276
公式成立条件事件互相容果事件定互相容公式
2．意两事件
图示加说明
图6中事件相容面积等面积加面积中部分面积AB面积重叠显然面积应等面积加面积减面积
互相容时
公式（88）推广：
意三事件
（89）
2 逆事件概率
根加法公式逆事件概念推出逆事件概率计算公式：
事件逆事件互相容根加法公式（86）
例 批产品50件中45件合格5件合格批产品中取3件求中少件合格品概率
解 事件｛少件合格品｝逆事件｛没合格品｝根逆事件计算公式（810）
少件合格品概率02760
逆事件计算公式常会概率计算带方便例中果直接计算少件合格品概率较繁琐计算：
设｛件合格品｝
｛二件合格品｝
｛三件合格品｝
｛少件合格品｝
互相容
02525＋00230＋00005 02760
计算结果逆事件计算结果相较繁琐
（四） 条件概率 法公式 独立性
1 条件概率
问题中计算事件发生概率外时需计算某事件发生条件事件发生概率
例10件产品中两件次品取中件抽次品概率第次取出件次品放回第二次取出件次品概率应第次取出件次品条件第二次取出次品概率类概率问题条件概率问题
定义 果事件试验两机事件事件发生条件事件发生概率做事件发生事件条件概率记作
例中设事件
｛第次取次品｝
｛第二次取次品｝
抽取放回事件发生条件事件发生概率记作事件发生事件条件概率
例 五球中三白球二红球次取放回抽取两次试求第次取红球条件第二次取白球概率
解 设事件
｛第次取红球｝
｛第二次取白球｝
事件已发生取出球放回5球中剩4中白球3古典概型知
问题中原条件次取放回抽取外第二次取白球第次取红球条件发生条件概率
条件概率计算公式：
公式概率古典定义证明
设某试验基事件总数事件包含基事件事件包含事件包含
图中点代表基事件事件发生条件事件发生概率
时
理时
例814 某居民活60岁概率08活70岁概率065试求现年60岁活70岁概率少？
解 设｛活60岁｝
｛活70岁｝
活60岁中包含活70岁根事件交关系活60岁中活70岁概率活60岁条件活70岁条件概率
2 法公式
条件概率公式（811）直接出概率法公式
两事件积概率等中事件概率事件前事件发生条件条件概率积
例815 100台电视机中3台次品余正品放回中连续取出2台试求：
（1）两次取正品概率
（2）第二次取正品概率
解 设事件
｛第次取正品｝
｛第二次取正品｝
（1）两次取正品意味着时发生
公式（812）
094
（2）第二次取正品意味着第次取次品第二次取正品事件时发生
0029
3 事件独立性
情况两事件间定关联情况两事件发生相互影响例两条件靶般说中靶否相互影响批含合格品产品中放回连续抽取次抽什样产品相互影响
定义 果事件发生影响事件发生概率
（）
称事件事件独立否独立
两事件独立性相互事件事件独立时事件事件独立
例816 抛甲乙两枚硬币事件表示甲币正面事件表示乙币正面试独立性定义验证事件事件相互独立
解 试验中出现基事件：
｛甲正乙正｝｛甲正乙反｝｛甲反乙正｝｛甲反乙反｝
基事件总数4事件包含基事件数2事件包含基事件数2
甲币正面条件乙币正面概率
乙币正面条件甲币正面概率事件事件独立时事件事件独立相互独立
实际问题中两事件否独立总需通公式计算验证根具体情况分析判断事件间没明显联系者联系甚微认相互独立
例两射手相条件射击般说相互间影响微作相互独立
两相互独立事件法公式：
定理 果两事件相互独立两事件积概率等两事件概率积
反式成立相互独立
证明 根法公式
反法公式必
独立
关两事件独立概念推广限事件情形：
果事件…中事件（12…）发生概率受事件发生影响事件…做相互独立
… （815）
例817 图89示线路中元件否正常工作相互独立已知元件正常工作概率分090950708085求线路畅通概率
解 设分元件正常工作事件中间三元件组成线路联线路少元件正常工作部分线路畅通换句话说三元件正常工作时线路通部分线路畅通概率
1（107）（108）（1085）0991
元件联部分线路正常工作时元件联部分否正常工作相互独立线路畅通概率
09×095×0991 08473
例818 加工某零件三道工序设第二三道工序次品率分002003005假定道工序互影响试求加工出零件次品概率
解 设事件
｛加工出零件次品｝
｛第道工序次品｝（123）
方法 零件次品意味着少道工序次品事件互相容计算事件概率公式（89）
002+003+005002×003003×005005×002+002×003×005
009693
方法二 先求少道工序次品事件立事件三道工序正品概率
1098×097×095009693
（五） 独立试验概型
1 独立试验概型
现讨关独立事件类概率问题
果枚硬币抛掷次（次抛掷枚相硬币等价）次抛掷结果相互独立次抛掷两结果正面反面
般说定条件独立重复做次试验果次试验两结果次试验事件发生概率变
样试验做次重复独立试验
次独立试验中事件发生次概率记作称独立试验概型计算公式：
（012…）
举例说明验证公式：
例 100件产品中3件合格品次取件放回抽取三次试求恰1件合格品概率
解 三次抽取独立果次抽取作次试验次试验两结果抽合格品抽合格品三次独立试验
设｛第次抽合格品｝（123）｛第次抽合格品｝
设｛三次抽取中恰1件合格品｝题设知3次抽取恰1件合格品事件种
×
×
×
事件互相容
×0085
3次抽取中恰1件合格品概率85
五 结作业（略）
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