南京市2015届高三年级第三次模拟考试
数 学 201505
注意事项：
1．试卷4页包括填空题（第1题~第14题）解答题（第15题~第20题）两部分．试卷满分160分考试时间120分钟．
2．答题前请务必姓名班级学校写答题纸．试题答案写答题纸应题目答案空格．考试结束交回答题纸．
参考公式
样数x1x2…xn方差s2＝ (xi－)2中＝ xi．
锥体体积公式：V＝Sh中S锥体底面积h锥体高．
填空题：题14题题5分70分．请答案填写答题纸相应位置．
1．已知复数z＝－1中i虚数单位z模 ▲ ．
2．统计银行营业窗口天午9点钟排队等候数相应概率：
排队数
0
1
2
3
4
≥5
概率
01
016
03
03
01
004
该营业窗口午9点钟时少2排队概率 ▲ ．
3．变量xy满足约束条件z＝2x＋y值 ▲ ．
N
S←40
开始
k←1
k←k＋1
S≤0
Y
输出k
结束
S←S－2k
（第4题图）
4．右图算法流程图输出k值
▲ ．
5．图甲乙两位射击运动员5次
训练成绩（单位：环）茎叶图
甲 乙
8
9 7 8 9
3 1 0 6 9
7
8
9
（第5题图）
成绩较稳定（方差较）运动员
▲ ．
6．记等式x2＋x－6＜0解集集合A函数y＝lg(x－a)定义域集合B．xAxB充分条件实数a取值范围 ▲ ．
7．面直角坐标系xOy中双曲线C：x2－＝1右焦点F作x轴垂线ll双曲线C两条渐线围成三角形面积 ▲ ．
8．已知正六棱锥P－ABCDEF底面边长2侧棱长4六棱锥体积 ▲ ．
9．△ABC中 ÐABC＝120°BA＝2BC＝3DE线段AC三等分点·值
▲ ．
10．记等差数列{an}前n项Sn．Sk－1＝8Sk＝0Sk＋1＝－10正整数k＝ ▲ ．
11．函数f(x)＝∣sin(wx－)∣(w＞0)图象左移单位图象应函数偶函数 实数w值 ▲ ．
12．已知xy正实数＋值 ▲ ．
13．面直角坐标系xOy中圆C方程(x－1)2＋(y－1)2＝9直线l：y＝kx＋3圆C相交AB两点M弦AB动点M圆心2半径圆圆C总公点实数k取值范围 ▲ ．
14．已知at正实数函数f(x)＝x2－2x＋a意x∈[0t]f(x)∈[－aa]．正实数a记t值g(a)函数g(a)值域 ▲ ．
二解答题：题6题计90分．请答题纸指定区域作答解答时应写出文字说明证明程演算步骤．
15．（题满分14分）
△ABC中角ABC边分abc．已知acosC＋ccosA＝2bcosA．
（1）求角A值
（2）求sinB＋sinC取值范围．
16．（题满分14分）
四棱锥P－ABCD中BC∥ADPA⊥PDAD＝2BCAB＝PB EPA中点．
（第16题图）
P
A
B
C
D
E
（1）求证：BE∥面PCD
（2）求证：面PAB⊥面PCD．
17．（题满分14分）
图摩天轮半径OA50m低点A距面高度忽略计．面长度240m景观带MN摩天轮竖直面AM＝60m．点P低点A处逆时针方转动高点B处记ÐAOP＝qq ∈(0π)．
（1）q ＝ 时求点P距面高度PQ
（2）试确定q 值ÐMPN取值．
（第17题图）
A
M
N
B
O
P
Q
q
18．（题满分16分）
面直角坐标系xOy中设中心坐标原点椭圆C左右焦点分F1F2右准线
l：x＝m＋1x轴交点BBF2＝m．
（1）已知点(1)椭圆C求实数m值
（2）已知定点A(－20)．
①椭圆C存点T＝求椭圆C离心率取值范围
②m＝1时记M椭圆C动点直线AMBM分椭圆C交点PQ
x
y
A
O
B
M
P
Q
（第18题图）
F2
F1
l
＝λ＝m求证：λ＋m定值．
19．(题满分16分)
已知函数f(x)＝x2－x＋tt≥0g(x)＝lnx．
（1）令h(x)＝f(x)＋g(x)求证：h(x)增函数
（2）直线l函数f(x)g(x)图象相切．确定正实数t讨直线l条数说明理．
20．（题满分16分）
已知数列{an}项均正数前n项Sn意mn∈N*
(Sm＋n＋S1)2＝4a2ma2n．
（1）求值
（2）求证：{an}等数列
（3）已知数列{cn}{dn}满足|cn|＝|dn|＝anp(p≥3)定正整数数列{cn}{dn}前p项分
TpRpTp＝Rp求证：意正整数k(1≤k≤p)ck＝dk．
南京市2015届高三年级第三次模拟考试
数学附加题 201505
注意事项：
1．附加题供选修物理考生．
2．试卷40分考试时间30分钟．
3．答题前考生务必姓名班级学校写答题纸．试题答案写答题纸应题目答案空格．考试结束交回答题纸．
21．选做题ABCD四题中选做2题题10分计20分．请答卷纸指定区域作答．解答应写出文字说明证明程演算步骤．
A．选修4—1：证明选讲
图ABAC⊙O切线ADE⊙O割线求证：BE· CD＝BD· CE．
A
D
B
C
E
O
（第21A题图）
B．选修4－2：矩阵变换
已知矩阵A＝直线l：x－y＋4＝0矩阵A应变换作变
直线l¢：x－y＋2a＝0．
（1）求实数a值
（2）求A2．
C．选修4－4：坐标系参数方程
极坐标系中设圆C：r＝4 cosq 直线l：q＝ (r∈R)交AB两点求AB直径圆极坐标方程．
D．选修4－5：等式选讲
已知实数xy满足x＞y求证：2x＋ ≥2y＋3．
必做题第22题第23题题10分计20分．请答卷纸指定区域作答．解答应写出文字说明证明程演算步骤．
22．（题满分10分）
P
A
B
C
D
图四棱锥P－ABCD中PA^面ABCDAD∥BCAB^ADBC＝AB＝1BD＝PA＝2．
（1）求异面直线BDPC成角余弦值
（2）求二面角A－PD－C余弦值．
23．（题满分10分）
已知集合A集合Pn＝{123…n} (n≥3n∈N*)子集A中恰3元素时3元素3倍数．记符合述条件集合A数f(n)．
（1）求f(3)f(4)
（2）求f(n)（含n式子表示）．
南京市2015届高三第三次模拟考试
数学参考答案评分标准 201505
说明：
1．解答出解法供参考．果考生解法解答根试题考查容评分标准制订相应评分细．
2．计算题考生解答某步出现错误时果续部分解答未改变该题容难度视影响程度决定分超该部分正确解答应分数半果续部分解答较严重错误分．
3．解答右端注分数表示考生正确做步应累加分数．
4．整数分数填空题中间分数．
填空题：题14题题5分70分．
1． 2．074 3．4 4．6 5．甲
6．(－∞－3] 7．4 8．12 9． 10．9
11． 12． 13．[－＋∞) 14．(01)∪{2}
二解答题：题6题90分．
15．解：（1）acosC＋ccosA＝2bcosAsinAcosC＋sinCcosA＝2sinBcosA
sin(A＋C)＝2sinBcosA．
A＋B＋C＝πsin(A＋C)＝sinB．
sinB＝2sinBcosA． ………………………… 4分
sinB≠0cosA＝．
0＜A＜πA＝． ………………………… 7分
（2）sinB＋sinC＝sinB＋sin(－B)＝sinB＋sincosB－cossinB
＝sinB＋cosB＝sin(B＋)． ………………………… 11分
0＜B＜＜B＋＜．
sinB＋sinC取值范围(]． ………………………… 14分
16．证明：（1）取PD中点F连接EFCF．
P
A
B
C
D
E
F
（第16题图）
EPA中点EF∥ADEF＝AD．
BC∥ADBC＝AD
EF∥BCEF＝BC．
四边形BCFE行四边形．
BE∥CF． ………………………… 4分
BEË面PCDCFÌ面PCD
BE∥面PCD． ………………………… 6分
（2）AB＝PBEPA中点PA⊥BE．
BE∥CFPA⊥CF． ………………………… 9分
PA⊥PDPDÌ面PCDCFÌ面PCDPD∩CF＝F
PA⊥面PCD． ………………………… 12分
PAÌ面PAB面PAB^面PCD． ………………………… 14分
17．解：（1）题意PQ＝50－50cosq ．
q ＝ 时PQ＝50－50cos＝75．
点P距面高度75m． ………………………… 4分
（2）（方法）题意AQ＝50sinq MQ＝60－50sinq NQ＝300－50sinq ．
PQ＝50－50cosq
tanÐNPQ＝＝ tanÐMPQ＝＝ ．
………………………… 6分
tanÐMPN＝tan(ÐNPQ－ÐMPQ)
＝＝
＝ ． ………………………… 9分
令g(q )＝ q ∈(0π)
g¢(q)＝ q ∈(0π)．
g¢(q)＝0sinq ＋cosq －1＝0解q ＝ ．
………………………… 11分
q ∈(0)时g¢(q )＞0g(q )增函数q ∈(p)时g¢(q )＜0g(q )减函数
q ＝ 时g(q )极值值．
0＜ÐMPQ＜ÐNPQ＜0＜ÐMPN＜
g(q )＝tanÐMPN取值时ÐMPN取值．
q ＝ 时ÐMPN取值． ………………………… 14分
（方法二）点A坐标原点AMx轴建立面直角坐标系
圆O方程 x2＋(y－50)2＝502x2＋y2－100y＝0点M(600)N(3000)．
设点P坐标 (x0y0)Q (x00)x02＋y02－100y0＝0．
tanÐNPQ＝＝ tanÐMPQ＝＝ ．
………………………… 6分
tanÐMPN＝tan(ÐNPQ－ÐMPQ)
＝＝
＝ ．
题意知x0＝50sinq y0＝50－50cosq
tanÐMPN＝＝ ． ………………………… 9分
（方法）
18．解：（1）设椭圆C方程 ＋＝1(a＞b＞0)．
题意 解
椭圆方程＋＝1．
椭圆C点(1)＋＝1
解m＝2m＝－ (舍）．
m＝2． ………………………… 4分
（2）①设点T(xy)．
＝(x＋2)2＋y2＝2[(x＋1)2＋y2]x2＋y2＝2． ………………… 6分
y2＝m2－m．
0≤m2－m≤m解1≤m≤2．
椭圆C离心率e＝[]． ………………………… 10分
②（方法）设M(x0y0)P(x1y1)Q(x2y2)．
＝(x0＋2y0)＝(x1＋2y1)．
＝l
………………………… 12分
＋y02＝1＋(ly1)2＝1．
l2(＋y12)＋2l(l－1)x1＋2(l－1)2－1＝0．
＋y12＝1代入2l (l－1)x1＋3l2－4l＋1＝0．
题意知l≠1
x1＝－x0＝．
理x0＝． ………………………… 14分
＝
l＋m＝6． ………………………… 16分
（方法二）设M(x0y0)P(x1y1)Q(x2y2)．
直线AM方程y＝(x＋2)．
y＝(x＋2)代入＋y2＝1((x0＋2)2＋y)x2＋4yx＋4y－(x0＋2)2 ＝0(*)．
＋y02＝1（*）化(2x0＋3)x2＋4yx－3x－4x0＝0．
x0x1＝－x1＝－．
理x2＝． ………………………… 14分
＝l＝m
l＋m＝＋＝＋
＝＋＝6．
λ＋m定值6． ………………………… 16分
19．解：（1）h(x)＝f(x)＋g(x)＝x2－x＋t＋lnxh＇ (x)＝2x－1＋x＞0．
2x＋≥2＝2h＇ (x)＞0
函数h(x)增函数． ………………………… 3分
（2）记直线l分切f(x)g(x)图象点(x1x12－x1＋t)(x2lnx2)
f＇(x)＝2x－1l方程y－(x12－x1＋t)＝(2x1－1)(x－x1)y＝(2x1－1)x－x12＋t．
g＇(x)＝l方程y－lnx2＝(x－x2)y＝· x＋lnx2－1．
(*)
消x1lnx2＋－(t＋1)＝0 (**)． ………………………… 7分
令F(x)＝lnx＋－(t＋1)F＇(x)＝－＝＝x＞0．
F＇(x)＝0解x＝1．
0＜x＜1时F＇(x)＜0x＞1时F＇(x)＞0
F(x)(01)单调递减(1＋∞)单调递增
F(x)min＝F(1)＝－t． ………………………… 9分
t＝0时方程(**)唯正数解方程组(*)唯组解
存唯条满足题意直线 ………………………… 11分
t＞0时F(1)＜0F(et＋1)＞ln(et＋1)－(t＋1)＝0
方程(**)(1＋∞)存唯解 ………………………… 13分
令k(x)＝lnx＋－1(x≤1)k＇ (x)＝－＝≤0k (x)(01]单调递减
0＜x＜1时k (x)＞k (1)＝0lnx＞1－
lnx＋ －(t＋1)＞(－)2－t．
F()＞(＋)2－t＝＋＞00＜＜1
方程(**)(01)存唯解．
t＞0时方程(**)两正数解方程组(*)两组解．
存两条满足题意直线．
综t＝0时两函数图象时相切直线条数1
t＞0时两函数图象时相切直线条数2．
………………………… 16分
20．解：（1）(Sm＋n＋S1)2＝4a2na2m(S2＋S1)2＝4a(a2＋2a1)2＝4a．
a1＞0a2＞0a2＋2a1＝a2＝2． ………………………… 3分
证明：（2）（方法）令m＝1n＝2(S3＋S1)2＝4a2a4(2a1＋a2＋a3)2＝4a2a4
令m＝n＝2S4＋S1＝2a42a1＋a2＋a3＝a4．
a4＝4a2＝8a1．
＝2a3＝4a1． ………………………… 6分
(Sm＋n＋S1)2＝4a2na2m(Sn＋1＋S1)2＝4a2na2(Sn＋2＋S1)2＝4a2na4．
两式相＝＝＝2．
Sn＋2＋S1＝2(Sn＋1＋S1)
Sn＋3＋S1＝2(Sn＋2＋S1)．
an＋3＝2an＋2n≥3时{an}公2等数列．
a3＝2a2＝4a1an＝a1·2 n－1n∈N*．
显然an＝a1·2 n－1满足题设
{an}首项a1公2等数列． ………………………… 10分
（方法二）(Sm＋n＋S1)2＝4a2na2m中
令m＝nS2n＋S1＝2a2n． ①
令m＝n＋1S2n＋1＋S1＝2 ②
①中n＋1代nS2n＋2＋S1＝2a2n＋2． ③
②－①a2n＋1＝2－2a2n＝2(－) ④
③－②a2n＋2＝2a2n＋2－2＝2(－) ⑤
④⑤a2n＋1＝． ⑥
………………………… 8分
⑥代入④a2n＋1＝2a2n⑥代入⑤a2n＋2＝2a2n＋1
＝＝2．＝2
an＝a1·2 n－1n∈N*．
显然an＝a1·2 n－1满足题设
{an}首项a1公2等数列． ………………………… 10分
（3）（2）知an＝a1·2 n－1．
|cp|＝|dp|＝a1·2p－1cp＝dpcp＝－dp．
cp＝－dp妨设cp＞0dp＜0
Tp≥a1·2p－1－(a1·2p－2＋a1·2p－3＋…＋a1)＝a1·2p－1－a1·(2p－1－1)＝a1＞0．
Rp≤－a1·2p－1＋(a1·2p－2＋a1·2p－3＋…＋a1)＝－a1·2p－1＋a1·(2p－1－1)＝－a1＜0．
Tp＝Rp矛盾cp＝dp．
Tp－1＝Rp－1．
证明理cp－1＝dp－1．cp－2＝dp－2cp－3＝dp－3．…c1＝d1．
意正整数k(1≤k≤p)ck＝dk． ………………………… 16分
南京市2015届高三第三次模拟考试
数学附加题参考答案评分标准 201505
21．选做题ABCD四题中选做2题题10分20分．
A．选修4—1：证明选讲
证明：AB⊙O切线ÐABD＝ÐAEB．
ÐBAD＝ÐEAB△BAD∽△EAB．
＝． ………………………… 5分
理＝．
ABAC⊙O切线AB＝AC．
＝BE· CD＝BD· CE． ………………………… 10分
B．选修4—2：矩阵变换
解：（1）设直线l点M0(x0y0)矩阵A应变换作变l ¢点M(xy)
＝＝
………………………… 3分
代入l ¢方程(ax0＋y0)－(x0＋ay0)＋2a＝0
(a－1)x0－(a－1)y0＋2a＝0．
(x0y0)满足x0－y0＋4＝0
＝4解a＝2． ………………………… 6分
（2）A＝A2＝×＝． ………………… 10分
C．选修4—4：坐标系参数方程
解： 极点坐标原点极轴x轴正半轴建立直角坐标系题意
圆C直角坐标方程 x2＋y2－4x＝0
直线l直角坐标方程 y＝x． ………………………… 4分
解
A(00)B(22)．
AB直径圆直角坐标方程(x－1)2＋(y－1)2＝2x2＋y2＝2x＋2y．
………………………… 7分
化极坐标方程：r2－2r(cosq＋sinq)＝0r＝2(cosq＋sinq)．
…………………… 10分
D．选修4—5：等式选讲
证明：x＞yx－y＞0
左边＝(x－y)＋(x－y)＋＋2y
≥3＋2y
＝2y＋3
＝右边．
原等式成立． ………………………… 10分
必做题第22题第23题题10分20分．
22．解：（1）PA^面ABCDABÌ面ABCDADÌ面ABCD
PA^ABPA^AD．
AD^AB
分ABADAP直线x轴y轴z轴建立空间直角坐标系．
P
A
B
C
D
x
y
z
根条件AD＝．
B(100)D(00)C(10)P(002)．
＝(－10)＝(1－2)．
………………………… 3分
设异面直线BDPC成角q
cosq ＝|cos＜＞|＝||
＝||＝．
异面直线BDPC成角余弦值． ………………………… 5分
（2）AB^面PAD面PAD法量 ＝(100)．
设面PCD法量n＝(xyz)
n^n^ ＝(1－2)＝(0－2)
解
妨取z＝3n＝(223)． ………………………… 8分
设二面角A－PD－Cj
cosj＝cos＜n＞＝＝＝．
二面角A－PD－C余弦值． ………………………… 10分
23．解：（1）f(3)＝1f(4)＝2 ………………………… 2分
（2）设A0＝{m∣m＝3pp∈N*p≤}
A1＝{m∣m＝3p－1p∈N*p≤}
A2＝{m∣m＝3p－2p∈N*p≤}
含元素数分记∣A0∣∣A1∣∣A2∣．……………………… 4分
①n＝3k时∣A0∣＝∣A1∣＝∣A2∣＝k．
k＝12时f(n)＝(C)3＝k3
k≥3时f(n)＝3C＋(C)3＝k3－k2＋k．
f(n)＝n3－n2＋nn＝3kk∈N*． ………………………… 6分
②n＝3k－1时∣A0∣＝k－1∣A1∣＝∣A2∣＝k．
k＝2时f(n)＝f(5)＝2×2×1＝4
k＝3时f(n)＝f(8)＝1＋1＋3×3×2＝20
k＞3时f(n)＝C＋2C＋C (C)2＝k3－3k2＋k－1
f(n)＝n3－n2＋n－n＝3k－1k∈N*． ………………………… 8分
③n＝3k－2时∣A0∣＝k－1∣A1∣＝k－1∣A2∣＝k．
k＝2时f(n)＝f(4)＝2×1×1＝2
k＝3时f(n)＝f(7)＝1＋3×2×2＝13
k＞3时f(n)＝2C＋C＋(C)2 C＝k3－k2＋5k－2
f(n)＝n3－n2＋n－n＝3k－2k∈N*．
f(n)＝ …………………… 10分
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数 学 201505
注意事项：
1．试卷4页包括填空题（第1题~第14题）解答题（第15题~第20题）两部分．试卷满分160分考试时间120分钟．
2．答题前请务必姓名班级学校写答题纸．试题答案写答题纸应题目答案空格．考试结束交回答题纸．
参考公式
样数x1x2…xn方差s2＝ (xi－)2中＝ xi．
锥体体积公式：V＝Sh中S锥体底面积h锥体高．
填空题：题14题题5分70分．请答案填写答题纸相应位置．
1．已知复数z＝－1中i虚数单位z模 ▲ ．
2．统计银行营业窗口天午9点钟排队等候数相应概率：
排队数
0
1
2
3
4
≥5
概率
01
016
03
03
01
004
该营业窗口午9点钟时少2排队概率 ▲ ．
3．变量xy满足约束条件z＝2x＋y值 ▲ ．
N
S←40
开始
k←1
k←k＋1
S≤0
Y
输出k
结束
S←S－2k
（第4题图）
4．右图算法流程图输出k值
▲ ．
5．图甲乙两位射击运动员5次
训练成绩（单位：环）茎叶图
甲 乙
8
9 7 8 9
3 1 0 6 9
7
8
9
（第5题图）
成绩较稳定（方差较）运动员
▲ ．
6．记等式x2＋x－6＜0解集集合A函数y＝lg(x－a)定义域集合B．xAxB充分条件实数a取值范围 ▲ ．
7．面直角坐标系xOy中双曲线C：x2－＝1右焦点F作x轴垂线ll双曲线C两条渐线围成三角形面积 ▲ ．
8．已知正六棱锥P－ABCDEF底面边长2侧棱长4六棱锥体积 ▲ ．
9．△ABC中 ÐABC＝120°BA＝2BC＝3DE线段AC三等分点·值
▲ ．
10．记等差数列{an}前n项Sn．Sk－1＝8Sk＝0Sk＋1＝－10正整数k＝ ▲ ．
11．函数f(x)＝∣sin(wx－)∣(w＞0)图象左移单位图象应函数偶函数 实数w值 ▲ ．
12．已知xy正实数＋值 ▲ ．
13．面直角坐标系xOy中圆C方程(x－1)2＋(y－1)2＝9直线l：y＝kx＋3圆C相交AB两点M弦AB动点M圆心2半径圆圆C总公点实数k取值范围 ▲ ．
14．已知at正实数函数f(x)＝x2－2x＋a意x∈[0t]f(x)∈[－aa]．正实数a记t值g(a)函数g(a)值域 ▲ ．
二解答题：题6题计90分．请答题纸指定区域作答解答时应写出文字说明证明程演算步骤．
15．（题满分14分）
△ABC中角ABC边分abc．已知acosC＋ccosA＝2bcosA．
（1）求角A值
（2）求sinB＋sinC取值范围．
16．（题满分14分）
四棱锥P－ABCD中BC∥ADPA⊥PDAD＝2BCAB＝PB EPA中点．
（第16题图）
P
A
B
C
D
E
（1）求证：BE∥面PCD
（2）求证：面PAB⊥面PCD．
17．（题满分14分）
图摩天轮半径OA50m低点A距面高度忽略计．面长度240m景观带MN摩天轮竖直面AM＝60m．点P低点A处逆时针方转动高点B处记ÐAOP＝qq ∈(0π)．
（1）q ＝ 时求点P距面高度PQ
（2）试确定q 值ÐMPN取值．
（第17题图）
A
M
N
B
O
P
Q
q
18．（题满分16分）
面直角坐标系xOy中设中心坐标原点椭圆C左右焦点分F1F2右准线
l：x＝m＋1x轴交点BBF2＝m．
（1）已知点(1)椭圆C求实数m值
（2）已知定点A(－20)．
①椭圆C存点T＝求椭圆C离心率取值范围
②m＝1时记M椭圆C动点直线AMBM分椭圆C交点PQ
x
y
A
O
B
M
P
Q
（第18题图）
F2
F1
l
＝λ＝m求证：λ＋m定值．
19．(题满分16分)
已知函数f(x)＝x2－x＋tt≥0g(x)＝lnx．
（1）令h(x)＝f(x)＋g(x)求证：h(x)增函数
（2）直线l函数f(x)g(x)图象相切．确定正实数t讨直线l条数说明理．
20．（题满分16分）
已知数列{an}项均正数前n项Sn意mn∈N*
(Sm＋n＋S1)2＝4a2ma2n．
（1）求值
（2）求证：{an}等数列
（3）已知数列{cn}{dn}满足|cn|＝|dn|＝anp(p≥3)定正整数数列{cn}{dn}前p项分
TpRpTp＝Rp求证：意正整数k(1≤k≤p)ck＝dk．
南京市2015届高三年级第三次模拟考试
数学附加题 201505
注意事项：
1．附加题供选修物理考生．
2．试卷40分考试时间30分钟．
3．答题前考生务必姓名班级学校写答题纸．试题答案写答题纸应题目答案空格．考试结束交回答题纸．
21．选做题ABCD四题中选做2题题10分计20分．请答卷纸指定区域作答．解答应写出文字说明证明程演算步骤．
A．选修4—1：证明选讲
图ABAC⊙O切线ADE⊙O割线求证：BE· CD＝BD· CE．
A
D
B
C
E
O
（第21A题图）
B．选修4－2：矩阵变换
已知矩阵A＝直线l：x－y＋4＝0矩阵A应变换作变
直线l¢：x－y＋2a＝0．
（1）求实数a值
（2）求A2．
C．选修4－4：坐标系参数方程
极坐标系中设圆C：r＝4 cosq 直线l：q＝ (r∈R)交AB两点求AB直径圆极坐标方程．
D．选修4－5：等式选讲
已知实数xy满足x＞y求证：2x＋ ≥2y＋3．
必做题第22题第23题题10分计20分．请答卷纸指定区域作答．解答应写出文字说明证明程演算步骤．
22．（题满分10分）
P
A
B
C
D
图四棱锥P－ABCD中PA^面ABCDAD∥BCAB^ADBC＝AB＝1BD＝PA＝2．
（1）求异面直线BDPC成角余弦值
（2）求二面角A－PD－C余弦值．
23．（题满分10分）
已知集合A集合Pn＝{123…n} (n≥3n∈N*)子集A中恰3元素时3元素3倍数．记符合述条件集合A数f(n)．
（1）求f(3)f(4)
（2）求f(n)（含n式子表示）．
南京市2015届高三第三次模拟考试
数学参考答案评分标准 201505
说明：
1．解答出解法供参考．果考生解法解答根试题考查容评分标准制订相应评分细．
2．计算题考生解答某步出现错误时果续部分解答未改变该题容难度视影响程度决定分超该部分正确解答应分数半果续部分解答较严重错误分．
3．解答右端注分数表示考生正确做步应累加分数．
4．整数分数填空题中间分数．
填空题：题14题题5分70分．
1． 2．074 3．4 4．6 5．甲
6．(－∞－3] 7．4 8．12 9． 10．9
11． 12． 13．[－＋∞) 14．(01)∪{2}
二解答题：题6题90分．
15．解：（1）acosC＋ccosA＝2bcosAsinAcosC＋sinCcosA＝2sinBcosA
sin(A＋C)＝2sinBcosA．
A＋B＋C＝πsin(A＋C)＝sinB．
sinB＝2sinBcosA． ………………………… 4分
sinB≠0cosA＝．
0＜A＜πA＝． ………………………… 7分
（2）sinB＋sinC＝sinB＋sin(－B)＝sinB＋sincosB－cossinB
＝sinB＋cosB＝sin(B＋)． ………………………… 11分
0＜B＜＜B＋＜．
sinB＋sinC取值范围(]． ………………………… 14分
16．证明：（1）取PD中点F连接EFCF．
P
A
B
C
D
E
F
（第16题图）
EPA中点EF∥ADEF＝AD．
BC∥ADBC＝AD
EF∥BCEF＝BC．
四边形BCFE行四边形．
BE∥CF． ………………………… 4分
BEË面PCDCFÌ面PCD
BE∥面PCD． ………………………… 6分
（2）AB＝PBEPA中点PA⊥BE．
BE∥CFPA⊥CF． ………………………… 9分
PA⊥PDPDÌ面PCDCFÌ面PCDPD∩CF＝F
PA⊥面PCD． ………………………… 12分
PAÌ面PAB面PAB^面PCD． ………………………… 14分
17．解：（1）题意PQ＝50－50cosq ．
q ＝ 时PQ＝50－50cos＝75．
点P距面高度75m． ………………………… 4分
（2）（方法）题意AQ＝50sinq MQ＝60－50sinq NQ＝300－50sinq ．
PQ＝50－50cosq
tanÐNPQ＝＝ tanÐMPQ＝＝ ．
………………………… 6分
tanÐMPN＝tan(ÐNPQ－ÐMPQ)
＝＝
＝ ． ………………………… 9分
令g(q )＝ q ∈(0π)
g¢(q)＝ q ∈(0π)．
g¢(q)＝0sinq ＋cosq －1＝0解q ＝ ．
………………………… 11分
q ∈(0)时g¢(q )＞0g(q )增函数q ∈(p)时g¢(q )＜0g(q )减函数
q ＝ 时g(q )极值值．
0＜ÐMPQ＜ÐNPQ＜0＜ÐMPN＜
g(q )＝tanÐMPN取值时ÐMPN取值．
q ＝ 时ÐMPN取值． ………………………… 14分
（方法二）点A坐标原点AMx轴建立面直角坐标系
圆O方程 x2＋(y－50)2＝502x2＋y2－100y＝0点M(600)N(3000)．
设点P坐标 (x0y0)Q (x00)x02＋y02－100y0＝0．
tanÐNPQ＝＝ tanÐMPQ＝＝ ．
………………………… 6分
tanÐMPN＝tan(ÐNPQ－ÐMPQ)
＝＝
＝ ．
题意知x0＝50sinq y0＝50－50cosq
tanÐMPN＝＝ ． ………………………… 9分
（方法）
18．解：（1）设椭圆C方程 ＋＝1(a＞b＞0)．
题意 解
椭圆方程＋＝1．
椭圆C点(1)＋＝1
解m＝2m＝－ (舍）．
m＝2． ………………………… 4分
（2）①设点T(xy)．
＝(x＋2)2＋y2＝2[(x＋1)2＋y2]x2＋y2＝2． ………………… 6分
y2＝m2－m．
0≤m2－m≤m解1≤m≤2．
椭圆C离心率e＝[]． ………………………… 10分
②（方法）设M(x0y0)P(x1y1)Q(x2y2)．
＝(x0＋2y0)＝(x1＋2y1)．
＝l
………………………… 12分
＋y02＝1＋(ly1)2＝1．
l2(＋y12)＋2l(l－1)x1＋2(l－1)2－1＝0．
＋y12＝1代入2l (l－1)x1＋3l2－4l＋1＝0．
题意知l≠1
x1＝－x0＝．
理x0＝． ………………………… 14分
＝
l＋m＝6． ………………………… 16分
（方法二）设M(x0y0)P(x1y1)Q(x2y2)．
直线AM方程y＝(x＋2)．
y＝(x＋2)代入＋y2＝1((x0＋2)2＋y)x2＋4yx＋4y－(x0＋2)2 ＝0(*)．
＋y02＝1（*）化(2x0＋3)x2＋4yx－3x－4x0＝0．
x0x1＝－x1＝－．
理x2＝． ………………………… 14分
＝l＝m
l＋m＝＋＝＋
＝＋＝6．
λ＋m定值6． ………………………… 16分
19．解：（1）h(x)＝f(x)＋g(x)＝x2－x＋t＋lnxh＇ (x)＝2x－1＋x＞0．
2x＋≥2＝2h＇ (x)＞0
函数h(x)增函数． ………………………… 3分
（2）记直线l分切f(x)g(x)图象点(x1x12－x1＋t)(x2lnx2)
f＇(x)＝2x－1l方程y－(x12－x1＋t)＝(2x1－1)(x－x1)y＝(2x1－1)x－x12＋t．
g＇(x)＝l方程y－lnx2＝(x－x2)y＝· x＋lnx2－1．
(*)
消x1lnx2＋－(t＋1)＝0 (**)． ………………………… 7分
令F(x)＝lnx＋－(t＋1)F＇(x)＝－＝＝x＞0．
F＇(x)＝0解x＝1．
0＜x＜1时F＇(x)＜0x＞1时F＇(x)＞0
F(x)(01)单调递减(1＋∞)单调递增
F(x)min＝F(1)＝－t． ………………………… 9分
t＝0时方程(**)唯正数解方程组(*)唯组解
存唯条满足题意直线 ………………………… 11分
t＞0时F(1)＜0F(et＋1)＞ln(et＋1)－(t＋1)＝0
方程(**)(1＋∞)存唯解 ………………………… 13分
令k(x)＝lnx＋－1(x≤1)k＇ (x)＝－＝≤0k (x)(01]单调递减
0＜x＜1时k (x)＞k (1)＝0lnx＞1－
lnx＋ －(t＋1)＞(－)2－t．
F()＞(＋)2－t＝＋＞00＜＜1
方程(**)(01)存唯解．
t＞0时方程(**)两正数解方程组(*)两组解．
存两条满足题意直线．
综t＝0时两函数图象时相切直线条数1
t＞0时两函数图象时相切直线条数2．
………………………… 16分
20．解：（1）(Sm＋n＋S1)2＝4a2na2m(S2＋S1)2＝4a(a2＋2a1)2＝4a．
a1＞0a2＞0a2＋2a1＝a2＝2． ………………………… 3分
证明：（2）（方法）令m＝1n＝2(S3＋S1)2＝4a2a4(2a1＋a2＋a3)2＝4a2a4
令m＝n＝2S4＋S1＝2a42a1＋a2＋a3＝a4．
a4＝4a2＝8a1．
＝2a3＝4a1． ………………………… 6分
(Sm＋n＋S1)2＝4a2na2m(Sn＋1＋S1)2＝4a2na2(Sn＋2＋S1)2＝4a2na4．
两式相＝＝＝2．
Sn＋2＋S1＝2(Sn＋1＋S1)
Sn＋3＋S1＝2(Sn＋2＋S1)．
an＋3＝2an＋2n≥3时{an}公2等数列．
a3＝2a2＝4a1an＝a1·2 n－1n∈N*．
显然an＝a1·2 n－1满足题设
{an}首项a1公2等数列． ………………………… 10分
（方法二）(Sm＋n＋S1)2＝4a2na2m中
令m＝nS2n＋S1＝2a2n． ①
令m＝n＋1S2n＋1＋S1＝2 ②
①中n＋1代nS2n＋2＋S1＝2a2n＋2． ③
②－①a2n＋1＝2－2a2n＝2(－) ④
③－②a2n＋2＝2a2n＋2－2＝2(－) ⑤
④⑤a2n＋1＝． ⑥
………………………… 8分
⑥代入④a2n＋1＝2a2n⑥代入⑤a2n＋2＝2a2n＋1
＝＝2．＝2
an＝a1·2 n－1n∈N*．
显然an＝a1·2 n－1满足题设
{an}首项a1公2等数列． ………………………… 10分
（3）（2）知an＝a1·2 n－1．
|cp|＝|dp|＝a1·2p－1cp＝dpcp＝－dp．
cp＝－dp妨设cp＞0dp＜0
Tp≥a1·2p－1－(a1·2p－2＋a1·2p－3＋…＋a1)＝a1·2p－1－a1·(2p－1－1)＝a1＞0．
Rp≤－a1·2p－1＋(a1·2p－2＋a1·2p－3＋…＋a1)＝－a1·2p－1＋a1·(2p－1－1)＝－a1＜0．
Tp＝Rp矛盾cp＝dp．
Tp－1＝Rp－1．
证明理cp－1＝dp－1．cp－2＝dp－2cp－3＝dp－3．…c1＝d1．
意正整数k(1≤k≤p)ck＝dk． ………………………… 16分
南京市2015届高三第三次模拟考试
数学附加题参考答案评分标准 201505
21．选做题ABCD四题中选做2题题10分20分．
A．选修4—1：证明选讲
证明：AB⊙O切线ÐABD＝ÐAEB．
ÐBAD＝ÐEAB△BAD∽△EAB．
＝． ………………………… 5分
理＝．
ABAC⊙O切线AB＝AC．
＝BE· CD＝BD· CE． ………………………… 10分
B．选修4—2：矩阵变换
解：（1）设直线l点M0(x0y0)矩阵A应变换作变l ¢点M(xy)
＝＝
………………………… 3分
代入l ¢方程(ax0＋y0)－(x0＋ay0)＋2a＝0
(a－1)x0－(a－1)y0＋2a＝0．
(x0y0)满足x0－y0＋4＝0
＝4解a＝2． ………………………… 6分
（2）A＝A2＝×＝． ………………… 10分
C．选修4—4：坐标系参数方程
解： 极点坐标原点极轴x轴正半轴建立直角坐标系题意
圆C直角坐标方程 x2＋y2－4x＝0
直线l直角坐标方程 y＝x． ………………………… 4分
解
A(00)B(22)．
AB直径圆直角坐标方程(x－1)2＋(y－1)2＝2x2＋y2＝2x＋2y．
………………………… 7分
化极坐标方程：r2－2r(cosq＋sinq)＝0r＝2(cosq＋sinq)．
…………………… 10分
D．选修4—5：等式选讲
证明：x＞yx－y＞0
左边＝(x－y)＋(x－y)＋＋2y
≥3＋2y
＝2y＋3
＝右边．
原等式成立． ………………………… 10分
必做题第22题第23题题10分20分．
22．解：（1）PA^面ABCDABÌ面ABCDADÌ面ABCD
PA^ABPA^AD．
AD^AB
分ABADAP直线x轴y轴z轴建立空间直角坐标系．
P
A
B
C
D
x
y
z
根条件AD＝．
B(100)D(00)C(10)P(002)．
＝(－10)＝(1－2)．
………………………… 3分
设异面直线BDPC成角q
cosq ＝|cos＜＞|＝||
＝||＝．
异面直线BDPC成角余弦值． ………………………… 5分
（2）AB^面PAD面PAD法量 ＝(100)．
设面PCD法量n＝(xyz)
n^n^ ＝(1－2)＝(0－2)
解
妨取z＝3n＝(223)． ………………………… 8分
设二面角A－PD－Cj
cosj＝cos＜n＞＝＝＝．
二面角A－PD－C余弦值． ………………………… 10分
23．解：（1）f(3)＝1f(4)＝2 ………………………… 2分
（2）设A0＝{m∣m＝3pp∈N*p≤}
A1＝{m∣m＝3p－1p∈N*p≤}
A2＝{m∣m＝3p－2p∈N*p≤}
含元素数分记∣A0∣∣A1∣∣A2∣．……………………… 4分
①n＝3k时∣A0∣＝∣A1∣＝∣A2∣＝k．
k＝12时f(n)＝(C)3＝k3
k≥3时f(n)＝3C＋(C)3＝k3－k2＋k．
f(n)＝n3－n2＋nn＝3kk∈N*． ………………………… 6分
②n＝3k－1时∣A0∣＝k－1∣A1∣＝∣A2∣＝k．
k＝2时f(n)＝f(5)＝2×2×1＝4
k＝3时f(n)＝f(8)＝1＋1＋3×3×2＝20
k＞3时f(n)＝C＋2C＋C (C)2＝k3－3k2＋k－1
f(n)＝n3－n2＋n－n＝3k－1k∈N*． ………………………… 8分
③n＝3k－2时∣A0∣＝k－1∣A1∣＝k－1∣A2∣＝k．
k＝2时f(n)＝f(4)＝2×1×1＝2
k＝3时f(n)＝f(7)＝1＋3×2×2＝13
k＞3时f(n)＝2C＋C＋(C)2 C＝k3－k2＋5k－2
f(n)＝n3－n2＋n－n＝3k－2k∈N*．
f(n)＝ …………………… 10分
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