数学中简单易错运算变形方法整理
珠海市中沙校区
姜长良
贴子受版三五二研究贴
（httpsqk12comcndiscuzviewthreadphptid338743&extrapage3D1）启发实际应性强特点发目集位行智慧总结出想学生想教学实际中非常重容完善教学者思维教学点盏明灯
面会代数章节分类位朋友验进行整理终成老师学生备忘录教学严谨雪中送炭教学思维锦添花
代数部分：
函数方程等式（项式函数分式函数幂函数等）
（1）定义域优先原
应该说老师教学时候名老师时候告诉学生原学生做题时候总想
1函数方程等式研究时候先考虑中未知数取值范围果忽视点解答时候范围扩造成错误
2培养学生养成运原惯关键老师应该首先养成算简单函数甚定义域R函数解题时候应该强调否学生思维短少严谨性
3原数列公式中适然数列特殊函数点直接更容易忽视里列举……
（2）函数定义中参数取值范围
高三第课时学生提出样问题：
请问：yax^2+bx+c什函数？
数学生回答二次函数
停顿问时：
部分学生说二次函数回答a0时二次函数a0时候次函数
追问次函数？
回马回答a0b0时次函数ab0时常数函数
实基初等函数定义式子定义中参数取值范围学生老师容易忽视应时候更容易忽视
（3）解方程时方程两边时未知数
解方程时方程两边时未知数
例：解方程x^2x
解：方程两边时xx1原方程解：x1
显然丢根x0丢解原做法时候没考虑数0
ΔABC中acosAbcosB判断三角形形状（余弦定理13楼情况样正弦定理会漏解）
带全称量词命题否定会写班学男学（假）
试着否定班级男学（假）
然反证法反设写
（4）均值等式求值时等号取条件忽略
（5）复合函数定义域
例：济学中定义Mf(x)f(x+1)f(x)称M(x)函数f(x)边际函数某企业种产品利润函数p(x)x^3+30x^2+1000(x[1025]整数)边际函数Mp(x)_______________
（1）该函数表达式容易求出问题定标函数定义域
（2）果复合函数角度定义域应该[1024]间整数
（6）关等式运
等式性质中分双单性质果单性质解等式糟糕
新课引进新东西意味着解决新问题时理解新办法局限性
适时候补（强调）适情景（实暗示没发现万办法）等数列q1sns(n1)an(n>1)线性规划里简单加xy∈Z变整数规划基等式yx+2x(x>0)改变定义域(46)改x∈Z
直线方程里设ykx+bk存情况等
等式高中数学难点方程知识做负面迁移更身求函数值特点学生常犯种样错误然错误发生知识身关更教学关教学中果老师步脚印完成题目学生然接受教学严谨反面思考重面引导硬道理
执白提出问题非常关键已收入目录谢谢执白带新容新方法
二指数数函数
（1）换元时忽略新元取值范围
换元时忽略新元取值范围
关指数度方程指数关函数中般说底法掉底转化项式然解
时候换元方法解
：求函数y4^x+4*2^x40值域设t2^x函数变：yt^2+4t40(t+2)^244函数值域：y>44错吧……
三三角函数解三角形
（1）已知三角函数值范围求角范围
解析中直线斜率倾斜角关系三角函数中正切函数已知某直线斜率范围求直线倾斜角范围利函数图完成学考虑端点误认单调结果出错
例：已知某直线斜率取值范围[1212]求直线倾斜角范围
（2）三角函数中表示终边相角学生忽略
次广州模考完理科16题道三角函数题目
第二问求x值时函数f(x)取值？
x表示角答案唯应该5pai6终边相角写出部分没5pai6角前面错部分找角没加2kpai部分加2kpai没写出k什？写全三分
然扣1分件令遗憾事教学应该反思啊
（3）移中发生错误
知道函数图移中样句口诀：左加右减加减学生时候容易犯两种错误：
（1）f(x)变f(2x+4)
（2）f(x)量a（20）移
（3）f(xy)变f(x+2y)
（1）学生容易犯错误误认左移4单位（2）学生误认左移两单位（3）学生误认曲线左移两单位
四数列
（1）通公式运
函数定义域优先质样学生做题时候常常忽略n取值正整数
已知数列前nSn求数列通项An
AnSnSn1式子身n1时候意义必须n1时候单独考虑
（2）特值完成题目结果必须检验证明
广州模理数第19题道数列题目：已知首项递推公式
第1问出数列关含参数新数列等差数列求参数值
学原数列前三项写出新数列前三项运新数列等差数列求出参数值1
结果检验？
五算法统计
（1）计算机程序执行结果表示数值
程序框图中先赋值计算时结果计算结果写出程
程序中计算机执行：1*2*3*……*10结果表达时程10 结果：3628800
(2)开方知道两方根
已知[(2x^2)(xp)]^6展开式中含x 项2027实数p值（ ）
学答案：3
唉气死
六计数原理二项式定理概率分布
（1）解概率分布列问题步骤中：忽视概率1检验
解概率分布题步骤
1)明确机变量
2)确定机变量取值
3)求机变量取值时概率
4)验证概率否1
5)公式计算相关均值方差计算相关概率解决关问题
（2）注意排列数组合数表示法中标取值范围
请题目：
（3a^22a^(13))^n展开式中含常数项正整数n值（ ）
（A） 4 （B）5 （C）6 （D）8
（3）忽视二项分布
二项分布种特殊分布机变量n次独立重复试验中某事件A发生次数
实际问题中学生记会识二项分布解答题目时候造成麻烦甚错误
常见错误：（1）分布列中概率算错（2）计算数学期方差时知道简单公式
解决问题关键：（1）实际问题中提炼出：机变量否n次独立重复试验中某事件A发生次数（2）列完分布列机变量取值０n？概率值二项式通项致？述两种方法确定否二项分布果相关公式解答
（4）展开式项系数二项式系数做区分
初学二项式定理学生二项式系数概念握总项系数混淆
实二项式定理教学老师应该注意点：
1）二项式定理中ab然中间加号交换位置
2）ab中间加号固定认减号行
3）ab具体数式子意规定
4）展开式二项式系数ab什关n关
5）二项式系数性质令ab适值方法学生学重点
6）通项解题关键计算果括号三项考虑两项组合先公式：
(5)忽视二项分布
二项分布种特殊分布机变量n次独立重复试验中某事件A发生次数
实际问题中学生记会识二项分布解答题目时候造成麻烦甚错误
常见错误：（1）分布列中概率算错（2）计算数学期方差时知道简单公式
解决问题关键：（1）实际问题中提炼出：机变量否n次独立重复试验中某事件A发生次数（2）列完分布列机变量取值０n？概率值二项式通项致？述两种方法确定否二项分布果相关公式解答
七面空间量复数
（1）量数量积研究量夹角钝角锐角
量部分讨两量夹角钝角时应该讨两方面：（1）数量积0（2）线容易（2）丢夹角锐角时道理类似
八集合逻辑推理
（1）全称命题否定全称应该改特称特称应该改全称 全称命题否定全称应该改特称特称应该改全称学生容易犯错误记录
（2）条件集合情况研究充分必条件
例：函数f(x)x^3+ax^2+bx7R单调级递增实数ab定满足( )
（A）a^23b<0（B）a^23b>0（C）a^23b0（D）a^23b<1
轻易出答案啊研究研究说
(3) 条件语序问题
学生充分条件必条件充条件学中两种语序区分会出现问题
1）AB……条件例：AB充分非必条件指A推出BB推出A果AB两集合AB真子集
2）A……条件B语序（1）刚相反
九导数
（1）导数求函数闭区间值时忘记求极值点闭区间
想导数求闭区间值时需求极值区间端点值忘极值点否区间
（2）导数研究单调区间等式中等号
般设yf(x)某区间导果f＇(x)>0f(x)增函数书句话什已知函数某区间增函数作条件时候f＇(x)>0呢
问题果非问什话学知识解答会会
首先导数0原函数应区间单调递增导数意义直接证明导数等0时原函数常数函数应区间单调前者导数0中加等号
次函数某区间增函数时该函数某点处导数0（yx^3x0处导数0函数R单调递增）结中应该导数等0果没等0结错
高中阶段样解释够知识讲难数形结合举例反面分析
部分：
直线圆
（1）点斜式斜截式设直线方程
点斜式斜截式设直线方程
学生容易犯错方述两种方法设直线方程实已认定直线斜率存考虑直线斜率存时候样会丢解然简单教学中常强调教师课时候题课时候加重视学生法形成思维严谨性
（2）作差法求两圆相交弦直线方程时出简单证明
知道求两圆相交弦直线方程时需两圆方程相减
两圆方程相减定会条直线方程条直线定两圆相交弦直线方程？回答两圆完全相交
该法求两圆相交弦直线方程时必须出简单证明
（3）线性规划中整点问题
新课引进新东西意味着解决新问题时理解新办法局限性
适时候补（强调）适情景（实暗示没发现万办法）等数列q1sns(n1)an(n>1)线性规划里简单加xy∈Z变整数规划基等式yx+2x(x>0)改变定义域(46)改x∈Z
直线方程里设ykx+bk存情况等
二圆锥曲线
（1）韦达定理
研究直线圆锥曲线相交问题时两种常方法：设求点差法二韦达定理公式法
果直线曲线相交弦题目弦中点关第种方法果弦中点关第二种方法学生第二种方法时候常常考虑直线曲线联立消求知数方程二次果二次学生马韦达定理样做犯严重错误
错误原学生知道二次方程否根根系数关系（韦达定理）般说差式求知数范围两求数等关系解题会带处
失误失误会学子走失败
（2）二次曲线相切判式误区
动点P双曲线x^2y^2b^21（b>0）定点A（20）仅P点（10）处时|PA|取值b取值范围（ ）
果题考虑A圆心1半径圆双曲线相切点P判式等0求b范围结果错误原什呢？
判式等0圆双曲线相切等价消y关x元二次方程方程算两相等实数根圆双曲线然相切
题判式时求[13]间根x1
三空间面体（结构面积体积）
四行垂直
（1）直线垂直时忽略斜率存情况
例：m12直线(m+2)x+3my+10 直线(m2)x+(m+2)y30相互垂直（）条件
果学生考虑斜率存情况填充条件m2时直线6y+10直线4x+30垂直
五空间角距离
（1）误量角成二面角
知道求二角面余弦值时候两面法量成角余弦值求法量成角二面角面角相等互补余弦值时相等时候互相反数求必须考虑点完成学生会忽略
（2）误法量线成角成线面角
般研究线面角时候总求线面角正弦值实正面法量线量成角余弦值绝值学总混淆刚刚考学生忽略
（3）研究空间角时应该首先思考角特殊性90度
立体里东西感触深算什易错性质求两条异面直线成角时时候两条直线身异面垂直（三垂线定理等方法证明）成角90°学生惯性移求角样误入歧途费力费时成功试题命题陷阱证明垂直方法求异面直线成角方法
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代数部分：
函数方程等式（项式函数分式函数幂函数等）
（1）定义域优先原
应该说老师教学时候名老师时候告诉学生原学生做题时候总想
1函数方程等式研究时候先考虑中未知数取值范围果忽视点解答时候范围扩造成错误
2培养学生养成运原惯关键老师应该首先养成算简单函数甚定义域R函数解题时候应该强调否学生思维短少严谨性
3原数列公式中适然数列特殊函数点直接更容易忽视里列举……
（2）函数定义中参数取值范围
高三第课时学生提出样问题：
请问：yax^2+bx+c什函数？
数学生回答二次函数
停顿问时：
部分学生说二次函数回答a0时二次函数a0时候次函数
追问次函数？
回马回答a0b0时次函数ab0时常数函数
实基初等函数定义式子定义中参数取值范围学生老师容易忽视应时候更容易忽视
（3）解方程时方程两边时未知数
解方程时方程两边时未知数
例：解方程x^2x
解：方程两边时xx1原方程解：x1
显然丢根x0丢解原做法时候没考虑数0
ΔABC中acosAbcosB判断三角形形状（余弦定理13楼情况样正弦定理会漏解）
带全称量词命题否定会写班学男学（假）
试着否定班级男学（假）
然反证法反设写
（4）均值等式求值时等号取条件忽略
（5）复合函数定义域
例：济学中定义Mf(x)f(x+1)f(x)称M(x)函数f(x)边际函数某企业种产品利润函数p(x)x^3+30x^2+1000(x[1025]整数)边际函数Mp(x)_______________
（1）该函数表达式容易求出问题定标函数定义域
（2）果复合函数角度定义域应该[1024]间整数
（6）关等式运
等式性质中分双单性质果单性质解等式糟糕
新课引进新东西意味着解决新问题时理解新办法局限性
适时候补（强调）适情景（实暗示没发现万办法）等数列q1sns(n1)an(n>1)线性规划里简单加xy∈Z变整数规划基等式yx+2x(x>0)改变定义域(46)改x∈Z
直线方程里设ykx+bk存情况等
等式高中数学难点方程知识做负面迁移更身求函数值特点学生常犯种样错误然错误发生知识身关更教学关教学中果老师步脚印完成题目学生然接受教学严谨反面思考重面引导硬道理
执白提出问题非常关键已收入目录谢谢执白带新容新方法
二指数数函数
（1）换元时忽略新元取值范围
换元时忽略新元取值范围
关指数度方程指数关函数中般说底法掉底转化项式然解
时候换元方法解
：求函数y4^x+4*2^x40值域设t2^x函数变：yt^2+4t40(t+2)^244函数值域：y>44错吧……
三三角函数解三角形
（1）已知三角函数值范围求角范围
解析中直线斜率倾斜角关系三角函数中正切函数已知某直线斜率范围求直线倾斜角范围利函数图完成学考虑端点误认单调结果出错
例：已知某直线斜率取值范围[1212]求直线倾斜角范围
（2）三角函数中表示终边相角学生忽略
次广州模考完理科16题道三角函数题目
第二问求x值时函数f(x)取值？
x表示角答案唯应该5pai6终边相角写出部分没5pai6角前面错部分找角没加2kpai部分加2kpai没写出k什？写全三分
然扣1分件令遗憾事教学应该反思啊
（3）移中发生错误
知道函数图移中样句口诀：左加右减加减学生时候容易犯两种错误：
（1）f(x)变f(2x+4)
（2）f(x)量a（20）移
（3）f(xy)变f(x+2y)
（1）学生容易犯错误误认左移4单位（2）学生误认左移两单位（3）学生误认曲线左移两单位
四数列
（1）通公式运
函数定义域优先质样学生做题时候常常忽略n取值正整数
已知数列前nSn求数列通项An
AnSnSn1式子身n1时候意义必须n1时候单独考虑
（2）特值完成题目结果必须检验证明
广州模理数第19题道数列题目：已知首项递推公式
第1问出数列关含参数新数列等差数列求参数值
学原数列前三项写出新数列前三项运新数列等差数列求出参数值1
结果检验？
五算法统计
（1）计算机程序执行结果表示数值
程序框图中先赋值计算时结果计算结果写出程
程序中计算机执行：1*2*3*……*10结果表达时程10 结果：3628800
(2)开方知道两方根
已知[(2x^2)(xp)]^6展开式中含x 项2027实数p值（ ）
学答案：3
唉气死
六计数原理二项式定理概率分布
（1）解概率分布列问题步骤中：忽视概率1检验
解概率分布题步骤
1)明确机变量
2)确定机变量取值
3)求机变量取值时概率
4)验证概率否1
5)公式计算相关均值方差计算相关概率解决关问题
（2）注意排列数组合数表示法中标取值范围
请题目：
（3a^22a^(13))^n展开式中含常数项正整数n值（ ）
（A） 4 （B）5 （C）6 （D）8
（3）忽视二项分布
二项分布种特殊分布机变量n次独立重复试验中某事件A发生次数
实际问题中学生记会识二项分布解答题目时候造成麻烦甚错误
常见错误：（1）分布列中概率算错（2）计算数学期方差时知道简单公式
解决问题关键：（1）实际问题中提炼出：机变量否n次独立重复试验中某事件A发生次数（2）列完分布列机变量取值０n？概率值二项式通项致？述两种方法确定否二项分布果相关公式解答
（4）展开式项系数二项式系数做区分
初学二项式定理学生二项式系数概念握总项系数混淆
实二项式定理教学老师应该注意点：
1）二项式定理中ab然中间加号交换位置
2）ab中间加号固定认减号行
3）ab具体数式子意规定
4）展开式二项式系数ab什关n关
5）二项式系数性质令ab适值方法学生学重点
6）通项解题关键计算果括号三项考虑两项组合先公式：
(5)忽视二项分布
二项分布种特殊分布机变量n次独立重复试验中某事件A发生次数
实际问题中学生记会识二项分布解答题目时候造成麻烦甚错误
常见错误：（1）分布列中概率算错（2）计算数学期方差时知道简单公式
解决问题关键：（1）实际问题中提炼出：机变量否n次独立重复试验中某事件A发生次数（2）列完分布列机变量取值０n？概率值二项式通项致？述两种方法确定否二项分布果相关公式解答
七面空间量复数
（1）量数量积研究量夹角钝角锐角
量部分讨两量夹角钝角时应该讨两方面：（1）数量积0（2）线容易（2）丢夹角锐角时道理类似
八集合逻辑推理
（1）全称命题否定全称应该改特称特称应该改全称 全称命题否定全称应该改特称特称应该改全称学生容易犯错误记录
（2）条件集合情况研究充分必条件
例：函数f(x)x^3+ax^2+bx7R单调级递增实数ab定满足( )
（A）a^23b<0（B）a^23b>0（C）a^23b0（D）a^23b<1
轻易出答案啊研究研究说
(3) 条件语序问题
学生充分条件必条件充条件学中两种语序区分会出现问题
1）AB……条件例：AB充分非必条件指A推出BB推出A果AB两集合AB真子集
2）A……条件B语序（1）刚相反
九导数
（1）导数求函数闭区间值时忘记求极值点闭区间
想导数求闭区间值时需求极值区间端点值忘极值点否区间
（2）导数研究单调区间等式中等号
般设yf(x)某区间导果f＇(x)>0f(x)增函数书句话什已知函数某区间增函数作条件时候f＇(x)>0呢
问题果非问什话学知识解答会会
首先导数0原函数应区间单调递增导数意义直接证明导数等0时原函数常数函数应区间单调前者导数0中加等号
次函数某区间增函数时该函数某点处导数0（yx^3x0处导数0函数R单调递增）结中应该导数等0果没等0结错
高中阶段样解释够知识讲难数形结合举例反面分析
部分：
直线圆
（1）点斜式斜截式设直线方程
点斜式斜截式设直线方程
学生容易犯错方述两种方法设直线方程实已认定直线斜率存考虑直线斜率存时候样会丢解然简单教学中常强调教师课时候题课时候加重视学生法形成思维严谨性
（2）作差法求两圆相交弦直线方程时出简单证明
知道求两圆相交弦直线方程时需两圆方程相减
两圆方程相减定会条直线方程条直线定两圆相交弦直线方程？回答两圆完全相交
该法求两圆相交弦直线方程时必须出简单证明
（3）线性规划中整点问题
新课引进新东西意味着解决新问题时理解新办法局限性
适时候补（强调）适情景（实暗示没发现万办法）等数列q1sns(n1)an(n>1)线性规划里简单加xy∈Z变整数规划基等式yx+2x(x>0)改变定义域(46)改x∈Z
直线方程里设ykx+bk存情况等
二圆锥曲线
（1）韦达定理
研究直线圆锥曲线相交问题时两种常方法：设求点差法二韦达定理公式法
果直线曲线相交弦题目弦中点关第种方法果弦中点关第二种方法学生第二种方法时候常常考虑直线曲线联立消求知数方程二次果二次学生马韦达定理样做犯严重错误
错误原学生知道二次方程否根根系数关系（韦达定理）般说差式求知数范围两求数等关系解题会带处
失误失误会学子走失败
（2）二次曲线相切判式误区
动点P双曲线x^2y^2b^21（b>0）定点A（20）仅P点（10）处时|PA|取值b取值范围（ ）
果题考虑A圆心1半径圆双曲线相切点P判式等0求b范围结果错误原什呢？
判式等0圆双曲线相切等价消y关x元二次方程方程算两相等实数根圆双曲线然相切
题判式时求[13]间根x1
三空间面体（结构面积体积）
四行垂直
（1）直线垂直时忽略斜率存情况
例：m12直线(m+2)x+3my+10 直线(m2)x+(m+2)y30相互垂直（）条件
果学生考虑斜率存情况填充条件m2时直线6y+10直线4x+30垂直
五空间角距离
（1）误量角成二面角
知道求二角面余弦值时候两面法量成角余弦值求法量成角二面角面角相等互补余弦值时相等时候互相反数求必须考虑点完成学生会忽略
（2）误法量线成角成线面角
般研究线面角时候总求线面角正弦值实正面法量线量成角余弦值绝值学总混淆刚刚考学生忽略
（3）研究空间角时应该首先思考角特殊性90度
立体里东西感触深算什易错性质求两条异面直线成角时时候两条直线身异面垂直（三垂线定理等方法证明）成角90°学生惯性移求角样误入歧途费力费时成功试题命题陷阱证明垂直方法求异面直线成角方法
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