数学破题36计
第34计 参数开门 宾谦恭
●计名释义
参数顾名思义种参考数供谁参考供变量参考参数元种宾关系元服务受元重
数学解题程中反客参数唱角戏场景异常精彩
趣参数选谁作参问题成解题破门首问题时两种选择参数立足面前认定二参数根中生
●典例示范
例1 PQMN四点椭圆x2+1F椭圆y轴正半轴焦点已知线线·＝0求四边形PMQN面积值值
分析 四边形没面积公式难某边长参数建立面积函数式
幸两条互相垂直角线PQMN四边形面积积表示然已知椭圆找关系需参数k找PQMNk赖式中生
解答 图条件知MNPQ
椭圆两条弦相交焦点F（01）
PQ⊥MN直线PQNM中少条
存斜率妨设PQ斜率k
插语 题设中没k
中生式参数
中认定
仅表示|PQ| f1(k)表示|MN| f2(k) 例1题解图
续解 PQ点F（01）PQ方程ykx+1式代入椭圆方程（2+k2)x2+2kx10设PQ两点坐标分（x1y1)(x2y2)
x1
｜PQ｜2＝(x1x2)2+(y1y2)2 |PQ|
插语 椭圆方程中PQMN坐标中xy愧元新函数关系|PQ|f1(k)标志着宾易位问题已发生转程
续解 (ⅰ)k≠0时MN斜率推
｜MN｜
四边形S＝|PQ|·|MN|
令uk2+S
uk2+≥2k±1时u2SSu变量增函数
≤S<2
插语 题解答干k0时情况补充显完善美实失般性设k≠0代表解答时省边话
续解 (ⅱ)k0时MN椭圆长轴｜MN｜＝2|PQ|S|PQ|·|MN|2
综合(ⅰ)(ⅱ)知四边形PMQN面积值2值
点评 参数kF(xy)0方程转化关k函数达宾融融谐境界参数成解题化中重角色时反客中成角
例2 a∈［11］求等式恒成立x取值范围
分析 题化指数等式整式等式难问题步应样走x讨二次等式？a讨次等式？难易分显易见
解答 yR减函数∴原等式：x2+ax>2x+a+1
a(x1)+(x22x1)>0a∈［11］时恒成立
令f (a)a(x1)+(x22x1)
须(∞1)∪(3+∞)求例3 求函数y值值
解答 设tanty
t2(y3)2t+3y30 ①
∵ttan∈R ∴关t方程①必实数根 ∴ Δ 44·3(y3)(y1)≥0
3y212y+8≤0解：2≤y≤2+
ymax 2+ymin 2
解答二 原式变形：sin xy cos x2y3sin (x+φ)2y3
∵ |sin (x+φ)|≤1∴≤|2y3|
方化简：3y212y+8≤0(略)
点评 例中yx函数三角函数理分式复合成函数
常法应变量x讨确定函数值域例两种解法反客
通转化关t方程必实数解通正弦函数界性直接处理函数值域理
样解法简单样达目
例4 cos2θ+2m sinθ2m2<0恒成立试求实数m取值范围
解答 反客成关sinθ二次式成关m次式
原等式：2m(sinθ1)<1+sin2θ
sinθ10<1恒成立时m∈R
sinθ≠1∵sinθ∈［11］sinθ∈［11)sinθ1<0
∴2m>2
∵ (1sinθ)+≥2
仅1 sinθsinθ1时2
∴22
2m>恒成立需2m>22∴m>1
综合：求m取值范围：m∈(1+∞)
例5 已知动点P双曲线1两焦点F1F2距离定值cos∠F1PF2值
(1)求动点P轨迹方程
(2)已知D(03)MN动点P轨迹λ求实数λ取值范围
思考 (1)动点轨迹椭圆
P椭圆时cos∠F1PF2<0
知∠F1PF2必钝角角
P应短轴端点(须证明)
求出椭圆方程
(2)MN椭⊙λ时
必线设参消参 例5题图
方式确定λ范围
解答 (1)设P(xy)轨迹点命|PF1| r1|PF2| r2∵r1+r22a定值
F1(0)F2(0)定点
∴点P轨迹椭圆已知(cos∠F1PF2)min
cos∠F1PF2里>0r1r2≤a2∴≥
cos∠F1PF2≥11
仅r1r2P短轴端点时1∴a29∵c25∴b24
∴求动点P轨迹方程：1
(2)(1)知点D(03)椭圆外设M(ms)N(nt)椭圆
∵λ(ms3)λ(nt3)
∴ ∴
消n2：
化简：(13λ5)(λ1)6tλ(λ1)
λ1MN重合点椭圆直线DM切点
λ≠1：t∵|t|≤22≤≤2解λ∈［5］
点评 设参消参参数讨历高考重点难点特参数较时感领手类问题基策参数两时应逐渐消非参数终两互相存参数通均值等式通解般等式通三角函数等数学手段确定求参数范围
结 什样问题适合反客？果问题身繁难必画蛇添足弄玄虚果问题身然繁难题型单次分反客
适合反客问题定正面较繁难交换突位置（例含参变量方程函数）相容易破解问题
●应训练
1求A整数切实数x
2已知方程组解求mn值
3解关x方程：x46x32(a3)x2+2(3a+4)x+2a+a20
4已知正项数列{an}中a11Sn求该数列通项
5解方程x3+(1+)x220
●参考答案
1反客xA服务
∵A1 A∈Z时A1∈Z
x+10A1∈Z(x 1)
x+1≠0：A1∈Z两种
(1)±1 x24x+20x2±x22x+40实数解舍
(2)分子1真分数 令x23x+31x12
求实数x1122±相应整数A1342
2设两方程组相解(x0y0)
代入
3反客原方程改写关a元二次方程：
a2(2x26x2)a+x46x3+6x2+8x0 ［a(x23x1)］2 (x1)2
a(x23x1)±(x1)
x22x2a0 ① x24xa0 ②
①：（x1）2 a+3
a≥3时x1±
②：(x2)2a+4
a≥4时x2± a<4时原方程实根
a∈［43)时原方程两解：x2±a∈［3+∞)时原方程四解：
x1±x2±
4反客先求Sn求an∵2Sn(S n Sn1)+：
2S2n 2SnSn1S2n2SnSn1+S2n1+1
∴S2n S2n11∵a1S11令n23…n叠加法S2n S21n1
∴SnanSn Sn1an
5设a原方程转化：a2ax2x(x2+x)0(ax2x)(a+x)0
∴x2+xax a
∵a
∴x2+x0x± x
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第34计 参数开门 宾谦恭
●计名释义
参数顾名思义种参考数供谁参考供变量参考参数元种宾关系元服务受元重
数学解题程中反客参数唱角戏场景异常精彩
趣参数选谁作参问题成解题破门首问题时两种选择参数立足面前认定二参数根中生
●典例示范
例1 PQMN四点椭圆x2+1F椭圆y轴正半轴焦点已知线线·＝0求四边形PMQN面积值值
分析 四边形没面积公式难某边长参数建立面积函数式
幸两条互相垂直角线PQMN四边形面积积表示然已知椭圆找关系需参数k找PQMNk赖式中生
解答 图条件知MNPQ
椭圆两条弦相交焦点F（01）
PQ⊥MN直线PQNM中少条
存斜率妨设PQ斜率k
插语 题设中没k
中生式参数
中认定
仅表示|PQ| f1(k)表示|MN| f2(k) 例1题解图
续解 PQ点F（01）PQ方程ykx+1式代入椭圆方程（2+k2)x2+2kx10设PQ两点坐标分（x1y1)(x2y2)
x1
｜PQ｜2＝(x1x2)2+(y1y2)2 |PQ|
插语 椭圆方程中PQMN坐标中xy愧元新函数关系|PQ|f1(k)标志着宾易位问题已发生转程
续解 (ⅰ)k≠0时MN斜率推
｜MN｜
四边形S＝|PQ|·|MN|
令uk2+S
uk2+≥2k±1时u2SSu变量增函数
≤S<2
插语 题解答干k0时情况补充显完善美实失般性设k≠0代表解答时省边话
续解 (ⅱ)k0时MN椭圆长轴｜MN｜＝2|PQ|S|PQ|·|MN|2
综合(ⅰ)(ⅱ)知四边形PMQN面积值2值
点评 参数kF(xy)0方程转化关k函数达宾融融谐境界参数成解题化中重角色时反客中成角
例2 a∈［11］求等式恒成立x取值范围
分析 题化指数等式整式等式难问题步应样走x讨二次等式？a讨次等式？难易分显易见
解答 yR减函数∴原等式：x2+ax>2x+a+1
a(x1)+(x22x1)>0a∈［11］时恒成立
令f (a)a(x1)+(x22x1)
须(∞1)∪(3+∞)求例3 求函数y值值
解答 设tanty
t2(y3)2t+3y30 ①
∵ttan∈R ∴关t方程①必实数根 ∴ Δ 44·3(y3)(y1)≥0
3y212y+8≤0解：2≤y≤2+
ymax 2+ymin 2
解答二 原式变形：sin xy cos x2y3sin (x+φ)2y3
∵ |sin (x+φ)|≤1∴≤|2y3|
方化简：3y212y+8≤0(略)
点评 例中yx函数三角函数理分式复合成函数
常法应变量x讨确定函数值域例两种解法反客
通转化关t方程必实数解通正弦函数界性直接处理函数值域理
样解法简单样达目
例4 cos2θ+2m sinθ2m2<0恒成立试求实数m取值范围
解答 反客成关sinθ二次式成关m次式
原等式：2m(sinθ1)<1+sin2θ
sinθ10<1恒成立时m∈R
sinθ≠1∵sinθ∈［11］sinθ∈［11)sinθ1<0
∴2m>2
∵ (1sinθ)+≥2
仅1 sinθsinθ1时2
∴22
2m>恒成立需2m>22∴m>1
综合：求m取值范围：m∈(1+∞)
例5 已知动点P双曲线1两焦点F1F2距离定值cos∠F1PF2值
(1)求动点P轨迹方程
(2)已知D(03)MN动点P轨迹λ求实数λ取值范围
思考 (1)动点轨迹椭圆
P椭圆时cos∠F1PF2<0
知∠F1PF2必钝角角
P应短轴端点(须证明)
求出椭圆方程
(2)MN椭⊙λ时
必线设参消参 例5题图
方式确定λ范围
解答 (1)设P(xy)轨迹点命|PF1| r1|PF2| r2∵r1+r22a定值
F1(0)F2(0)定点
∴点P轨迹椭圆已知(cos∠F1PF2)min
cos∠F1PF2里>0r1r2≤a2∴≥
cos∠F1PF2≥11
仅r1r2P短轴端点时1∴a29∵c25∴b24
∴求动点P轨迹方程：1
(2)(1)知点D(03)椭圆外设M(ms)N(nt)椭圆
∵λ(ms3)λ(nt3)
∴ ∴
消n2：
化简：(13λ5)(λ1)6tλ(λ1)
λ1MN重合点椭圆直线DM切点
λ≠1：t∵|t|≤22≤≤2解λ∈［5］
点评 设参消参参数讨历高考重点难点特参数较时感领手类问题基策参数两时应逐渐消非参数终两互相存参数通均值等式通解般等式通三角函数等数学手段确定求参数范围
结 什样问题适合反客？果问题身繁难必画蛇添足弄玄虚果问题身然繁难题型单次分反客
适合反客问题定正面较繁难交换突位置（例含参变量方程函数）相容易破解问题
●应训练
1求A整数切实数x
2已知方程组解求mn值
3解关x方程：x46x32(a3)x2+2(3a+4)x+2a+a20
4已知正项数列{an}中a11Sn求该数列通项
5解方程x3+(1+)x220
●参考答案
1反客xA服务
∵A1 A∈Z时A1∈Z
x+10A1∈Z(x 1)
x+1≠0：A1∈Z两种
(1)±1 x24x+20x2±x22x+40实数解舍
(2)分子1真分数 令x23x+31x12
求实数x1122±相应整数A1342
2设两方程组相解(x0y0)
代入
3反客原方程改写关a元二次方程：
a2(2x26x2)a+x46x3+6x2+8x0 ［a(x23x1)］2 (x1)2
a(x23x1)±(x1)
x22x2a0 ① x24xa0 ②
①：（x1）2 a+3
a≥3时x1±
②：(x2)2a+4
a≥4时x2± a<4时原方程实根
a∈［43)时原方程两解：x2±a∈［3+∞)时原方程四解：
x1±x2±
4反客先求Sn求an∵2Sn(S n Sn1)+：
2S2n 2SnSn1S2n2SnSn1+S2n1+1
∴S2n S2n11∵a1S11令n23…n叠加法S2n S21n1
∴SnanSn Sn1an
5设a原方程转化：a2ax2x(x2+x)0(ax2x)(a+x)0
∴x2+xax a
∵a
∴x2+x0x± x
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