数学破题36计
第25计 函数开门 静显动
●计名释义
函数运动学带进数学函数身讲数互动静运动程中某时状态动静参没参物运动没意义样没静数函数意义变量（动数）数较时先考虑互动中变数变数暂视静止（常数参数）例考虑二次函数yax2+bx+c时xy作互动变数abc作静数实abc变化等需考虑变化时视作变数●典例示范
例1 设双曲线直线x+y1相交两点AB求双曲线离心率取值范围
分析 求取值范围求离心率e值域寻求e函数式
解答 双曲线离心率关系式
插语 公式e静式现运动起成函数式f (a)启发求函数ef (a)定义域a取值范围
续解 双曲线直线相交两点方程组
插语 非方程中解xy值方程组2解条件求出a2取值范围
续解 消y整理
函数ef (a)（01）（1）减函数f (a)>f (a)≠求范围
点评 函数解题动静相动静互控实现简单函数复合函数互动函数方程函数等式互动
附录 函数性质讨a2取值范围
方程组解：a2h(x)≠0a2≠1a2≤2
相交两点AB应着x值a2x应12h (x)中x2a2≠2 a2<2
例2 解方程(x+6)2003+x2003+2x+60
解答 原方程变形(x+6)2003+(x+6)(x)2003+(x)
方程特点构造函数f x)x2003+x知f (x)x∈R单调递增函数f (x+6) f (x)x+6xx3
点评 题方程特点入手利函数思想构造函数f (x)x2003+x解方程问题变讨函数性质问题巧妙求出方程解
例3 xOy面定曲线y22x0
(Ⅰ)设点A坐标(0)曲线距点A点P坐标相应距离|PA|
(Ⅱ)设点A坐标(a0)a∈R曲线点点A距离值
解答 (Ⅰ)设P(xy)曲线意点y22x(x≥0)
|PA|2
∴x0时|PA|取值
(Ⅱ)设P(xy)曲线意点理 |PA|2(xa)2+y2［x(a1)］2+(2a1)(x≥0)
①a≥1时xa1≥0处|PA|取值
②a<0时x0处|PA|取值
点评 解题方建立目标函数然转化a变量二次函数闭区间值问题
例4 某工厂旧墙面长14米现准备利面旧墙建造面图形矩形面积126方米厂房工程条件：①建1米新墙费a元②修1米旧墙费元③拆1米旧墙材料建1米新墙费元讨两种方案：
（1）利旧墙段x米（x<14）矩形厂房面边长
（2）矩形厂房利旧墙面边长x≥14问利旧墙x少米时建墙费省？（1）（2）两种方案更？
分析 通分析已知条件较容易想函数模型解题建墙费目标函数通讨函数值解决问题
解答 设利旧墙面边长x米矩形面边长米
（1）利旧墙段x米（x<14）矩形面边长修旧墙费元剩余旧墙拆材料建新墙费元余建新墙费元
总费
y
仅 x12∈(014)米时ymin35a
(2)利旧墙面矩形边长x≥14修旧墙费元建新墙费元总费：
∵x时x<14x［14+∞)均值等式处失灵
求导法解决问题：
∵y′2a（1） ∴x>时y′>014>
x∈［14+∞）时函数y单调增
∴x14时ymin
综述采方案（1）利旧墙12米矩形面边长时建墙总费省费35a元
点评 函数应题真正难点处理中值问题函数玄机处理值手段利均值等式利函数单调性利导函数利三角函数界性等中导函数法通快捷特点应掌握重点
●应训练
1设abc∈R绝值1求证ab+bc+ca+1≥0
2直线mykx+1双曲线x2y21左支交AB两点直线lP(20)AB线段中点M求ly轴截距b取值范围
3某工厂2005年1月2月3月生产某产品数量分1万件12万件13万件估测月产量三月产量函数模拟产品月产量y月份x关系模拟函数选二次函数函数yabx+c（中abc常数)已知4月份该产品产量137万件请问函数作模拟函数较说明理
●参考答案
1分析 构造函数f (a)ab+bc+ca+1f (a)关a次函数a∈［11］证明f (1)≥0f (1)≥0证明f (a)≥0
证明 设f (a)(b+c)a+bc+1f (a)关a次函数
∵abc∈［11］ ∴f (1)b+c+bc+1b(1+c)+(c+1)(b+1)(c+1)≥0
f (1)(b+c)+bc+1b(c1)+(1c)(1b)(1c)≥0
∴f (a)［11］恒非负f (a)≥0 ∴ab+bc+ca+1≥0
点评 题解法关键具函数意识结合式子结构特征构造出次函数f (a)次函数图象性质问题解决
2解析 消y(k21)x2+2kx+20
题意解1设M(x0y0)
P(20)MQ(0b)三点线求b
设f (k)2k2+k+2f (k)(1)减函数
∴f(k)≠0
∴ ∴b<(2+)b>2
点评 通建立bk函数关系式函数单调性问题转化函数值域确定
3思考 根题意该产品月产量y月份x函数供选函数两种中种函数确定4月份该产品产量愈接137万件种函数作模拟函数较应先确定出两函数具体解析式
设y1f (x)px2+qx+r(pqr常数p≠0)y2g(x)abx+c
已知
解p005q035r07
a08b05c14 ∴f (x)005x2+035x+07
g(x)08×05x+14 ∴f (4)13g(4)135
显然g(4)更接137选y08×05x+14作模拟函数较
点评 定系数法确定两种模拟函数解析式解答题关键
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第25计 函数开门 静显动
●计名释义
函数运动学带进数学函数身讲数互动静运动程中某时状态动静参没参物运动没意义样没静数函数意义变量（动数）数较时先考虑互动中变数变数暂视静止（常数参数）例考虑二次函数yax2+bx+c时xy作互动变数abc作静数实abc变化等需考虑变化时视作变数●典例示范
例1 设双曲线直线x+y1相交两点AB求双曲线离心率取值范围
分析 求取值范围求离心率e值域寻求e函数式
解答 双曲线离心率关系式
插语 公式e静式现运动起成函数式f (a)启发求函数ef (a)定义域a取值范围
续解 双曲线直线相交两点方程组
插语 非方程中解xy值方程组2解条件求出a2取值范围
续解 消y整理
函数ef (a)（01）（1）减函数f (a)>f (a)≠求范围
点评 函数解题动静相动静互控实现简单函数复合函数互动函数方程函数等式互动
附录 函数性质讨a2取值范围
方程组解：a2h(x)≠0a2≠1a2≤2
相交两点AB应着x值a2x应12h (x)中x2a2≠2 a2<2
例2 解方程(x+6)2003+x2003+2x+60
解答 原方程变形(x+6)2003+(x+6)(x)2003+(x)
方程特点构造函数f x)x2003+x知f (x)x∈R单调递增函数f (x+6) f (x)x+6xx3
点评 题方程特点入手利函数思想构造函数f (x)x2003+x解方程问题变讨函数性质问题巧妙求出方程解
例3 xOy面定曲线y22x0
(Ⅰ)设点A坐标(0)曲线距点A点P坐标相应距离|PA|
(Ⅱ)设点A坐标(a0)a∈R曲线点点A距离值
解答 (Ⅰ)设P(xy)曲线意点y22x(x≥0)
|PA|2
∴x0时|PA|取值
(Ⅱ)设P(xy)曲线意点理 |PA|2(xa)2+y2［x(a1)］2+(2a1)(x≥0)
①a≥1时xa1≥0处|PA|取值
②a<0时x0处|PA|取值
点评 解题方建立目标函数然转化a变量二次函数闭区间值问题
例4 某工厂旧墙面长14米现准备利面旧墙建造面图形矩形面积126方米厂房工程条件：①建1米新墙费a元②修1米旧墙费元③拆1米旧墙材料建1米新墙费元讨两种方案：
（1）利旧墙段x米（x<14）矩形厂房面边长
（2）矩形厂房利旧墙面边长x≥14问利旧墙x少米时建墙费省？（1）（2）两种方案更？
分析 通分析已知条件较容易想函数模型解题建墙费目标函数通讨函数值解决问题
解答 设利旧墙面边长x米矩形面边长米
（1）利旧墙段x米（x<14）矩形面边长修旧墙费元剩余旧墙拆材料建新墙费元余建新墙费元
总费
y
仅 x12∈(014)米时ymin35a
(2)利旧墙面矩形边长x≥14修旧墙费元建新墙费元总费：
∵x时x<14x［14+∞)均值等式处失灵
求导法解决问题：
∵y′2a（1） ∴x>时y′>014>
x∈［14+∞）时函数y单调增
∴x14时ymin
综述采方案（1）利旧墙12米矩形面边长时建墙总费省费35a元
点评 函数应题真正难点处理中值问题函数玄机处理值手段利均值等式利函数单调性利导函数利三角函数界性等中导函数法通快捷特点应掌握重点
●应训练
1设abc∈R绝值1求证ab+bc+ca+1≥0
2直线mykx+1双曲线x2y21左支交AB两点直线lP(20)AB线段中点M求ly轴截距b取值范围
3某工厂2005年1月2月3月生产某产品数量分1万件12万件13万件估测月产量三月产量函数模拟产品月产量y月份x关系模拟函数选二次函数函数yabx+c（中abc常数)已知4月份该产品产量137万件请问函数作模拟函数较说明理
●参考答案
1分析 构造函数f (a)ab+bc+ca+1f (a)关a次函数a∈［11］证明f (1)≥0f (1)≥0证明f (a)≥0
证明 设f (a)(b+c)a+bc+1f (a)关a次函数
∵abc∈［11］ ∴f (1)b+c+bc+1b(1+c)+(c+1)(b+1)(c+1)≥0
f (1)(b+c)+bc+1b(c1)+(1c)(1b)(1c)≥0
∴f (a)［11］恒非负f (a)≥0 ∴ab+bc+ca+1≥0
点评 题解法关键具函数意识结合式子结构特征构造出次函数f (a)次函数图象性质问题解决
2解析 消y(k21)x2+2kx+20
题意解1
P(20)MQ(0b)三点线求b
设f (k)2k2+k+2f (k)(1)减函数
∴f(k)≠0
∴ ∴b<(2+)b>2
点评 通建立bk函数关系式函数单调性问题转化函数值域确定
3思考 根题意该产品月产量y月份x函数供选函数两种中种函数确定4月份该产品产量愈接137万件种函数作模拟函数较应先确定出两函数具体解析式
设y1f (x)px2+qx+r(pqr常数p≠0)y2g(x)abx+c
已知
解p005q035r07
a08b05c14 ∴f (x)005x2+035x+07
g(x)08×05x+14 ∴f (4)13g(4)135
显然g(4)更接137选y08×05x+14作模拟函数较
点评 定系数法确定两种模拟函数解析式解答题关键
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