2017年全国统高考数学试卷（理科）（新课标Ⅰ）
选择题：题12题题5分60分．题出四选项中项符合题目求．
1．（5分）已知集合A{x|x＜1}B{x|3x＜1}（ ）
A．A∩B{x|x＜0} B．A∪BR C．A∪B{x|x＞1} D．A∩B∅
2．（5分）图正方形ABCD图形中国古代太极图．正方形切圆中黑色部分白色部分关正方形中心成中心称．正方形机取点点取黑色部分概率（ ）
A． B． C． D．
3．（5分）设面四命题
p1：复数z满足∈Rz∈R
p2：复数z满足z2∈Rz∈R
p3：复数z1z2满足z1z2∈Rz1
p4：复数z∈R∈R．
中真命题（ ）
A．p1p3 B．p1p4 C．p2p3 D．p2p4
4．（5分）记Sn等差数列{an}前n项．a4+a524S648{an}公差（ ）
A．1 B．2 C．4 D．8
5．（5分）函数f（x）（﹣∞+∞）单调递减奇函数．f（1）﹣1满足﹣1≤f（x﹣2）≤1x取值范围（ ）
A．[﹣22] B．[﹣11] C．[04] D．[13]
6．（5分）（1+）（1+x）6展开式中x2系数（ ）
A．15 B．20 C．30 D．35
7．（5分）某面体三视图图示中正视图左视图正方形等腰直角三角形组成正方形边长2俯视图等腰直角三角形该面体面中干梯形梯形面积（ ）
A．10 B．12 C．14 D．16
8．（5分）图程序框图求出满足3n﹣2n＞1000偶数n两空白框中分填入（ ）
A．A＞1000nn+1 B．A＞1000nn+2
C．A≤1000nn+1 D．A≤1000nn+2
9．（5分）已知曲线C1：ycosxC2：ysin（2x+）面结正确（ ）
A．C1点横坐标伸长原2倍坐标变曲线右移单位长度曲线C2
B．C1点横坐标伸长原2倍坐标变曲线左移单位长度曲线C2
C．C1点横坐标缩短原倍坐标变曲线右移单位长度曲线C2
D．C1点横坐标缩短原倍坐标变曲线左移单位长度曲线C2
10．（5分）已知F抛物线C：y24x焦点F作两条互相垂直直线l1l2直线l1C交AB两点直线l2C交DE两点|AB|+|DE|值（ ）
A．16 B．14 C．12 D．10
11．（5分）设xyz正数2x3y5z（ ）
A．2x＜3y＜5z B．5z＜2x＜3y C．3y＜5z＜2x D．3y＜2x＜5z
12．（5分）位学生响应国家创业号召开发款应软件．激发家学数学兴趣推出解数学题获取软件激活码活动．款软件激活码面数学问题答案：已知数列1121241248124816…中第项20接两项2021接三项202122类推．求满足条件整数N：N＞100该数列前N项2整数幂．该款软件激活码（ ）
A．440 B．330 C．220 D．110
二填空题：题4题题5分20分．
13．（5分）已知量夹角60°||2||1|+2| ．
14．（5分）设xy满足约束条件z3x﹣2y值 ．
15．（5分）已知双曲线C：﹣1（a＞0b＞0）右顶点AA圆心b半径作圆A圆A双曲线C条渐线交MN两点．∠MAN60°C离心率 ．
16．（5分）图圆形纸片圆心O半径5cm该纸片等边三角形ABC中心O．DEF圆O点△DBC△ECA△FAB分BCCAAB底边等腰三角形．虚线剪开分BCCAAB折痕折起△DBC△ECA△FABDEF重合三棱锥．△ABC边长变化时三棱锥体积（单位：cm3）值 ．
三解答题：70分．解答应写出文字说明证明程演算步骤．第17～21题必考题试题考生必须作答．第2223题选考题考生根求作答．
17．（12分）△ABC角ABC边分abc已知△ABC面积．
（1）求sinBsinC
（2）6cosBcosC1a3求△ABC周长．
18．（12分）图四棱锥P﹣ABCD中AB∥CD∠BAP∠CDP90°．
（1）证明：面PAB⊥面PAD
（2）PAPDABDC∠APD90°求二面角A﹣PB﹣C余弦值．
19．（12分）监控某种零件条生产线生产程检验员天该生产线机抽取16零件测量尺寸（单位：cm）．根长期生产验认条生产线正常状态生产零件尺寸服正态分布N（μσ2）．
（1）假设生产状态正常记X表示天抽取16零件中尺寸（μ﹣3σμ+3σ）外零件数求P（X≥1）X数学期
（2）天抽检零件中果出现尺寸（μ﹣3σμ+3σ）外零件认条生产线天生产程出现异常情况需天生产程进行检查．
（ⅰ）试说明述监控生产程方法合理性
（ⅱ）面检验员天抽取16零件尺寸：
995
1012
996
996
1001
992
998
1004
1026
991
1013
1002
922
1004
1005
995
计算997s≈0212中xi抽取第i零件尺寸i12…16．
样均数作μ估计值样标准差s作σ估计值利估计值判断否需天生产程进行检查？剔（﹣3+3）外数剩数估计μσ（精确001）．
附：机变量Z服正态分布N（μσ2）P（μ﹣3σ＜Z＜μ+3σ）099740997416≈09592≈009．
20．（12分）已知椭圆C：+1（a＞b＞0）四点P1（11）P2（01）P3（﹣1）P4（1）中恰三点椭圆C．
（1）求C方程
（2）设直线lP2点C相交AB两点．直线P2A直线P2B斜率﹣1证明：l定点．
21．（12分）已知函数f（x）ae2x+（a﹣2）ex﹣x．
（1）讨f（x）单调性
（2）f（x）两零点求a取值范围．
[选修44坐标系参数方程]
22．（10分）直角坐标系xOy中曲线C参数方程（θ参数）直线l参数方程 （t参数）．
（1）a﹣1求Cl交点坐标
（2）C点l距离值求a．
[选修45：等式选讲]
23．已知函数f（x）﹣x2+ax+4g（x）|x+1|+|x﹣1|．
（1）a1时求等式f（x）≥g（x）解集
（2）等式f（x）≥g（x）解集包含[﹣11]求a取值范围．
2017年全国统高考数学试卷（理科）（新课标Ⅰ）
参考答案试题解析
选择题：题12题题5分60分．题出四选项中项符合题目求．
1．（5分）已知集合A{x|x＜1}B{x|3x＜1}（ ）
A．A∩B{x|x＜0} B．A∪BR C．A∪B{x|x＞1} D．A∩B∅
考点1E：交集运算．菁优网版权
专题11：计算题37：集合思想4O：定义法5J：集合．
分析先分求出集合AB求出A∩BA∪B求出结果．
解答解：∵集合A{x|x＜1}
B{x|3x＜1}{x|x＜0}
∴A∩B{x|x＜0}A正确D错误
A∪B{x|x＜1}BC错误．
选：A．
点评题考查交集集求法应基础题解题时认真审题注意交集集定义合理运．
2．（5分）图正方形ABCD图形中国古代太极图．正方形切圆中黑色部分白色部分关正方形中心成中心称．正方形机取点点取黑色部分概率（ ）
A． B． C． D．
考点CF：概型．菁优网版权
专题35：转化思想4O：定义法5I：概率统计．
分析根图象称性求出黑色图形面积结合概型概率公式进行求解．
解答解：根图象称性知黑色部分圆面积半设圆半径1正方形边长2
黑色部分面积S
应概率P
选：B．
点评题考查概型概率计算根称性求出黑色阴影部分面积解决题关键．
3．（5分）设面四命题
p1：复数z满足∈Rz∈R
p2：复数z满足z2∈Rz∈R
p3：复数z1z2满足z1z2∈Rz1
p4：复数z∈R∈R．
中真命题（ ）
A．p1p3 B．p1p4 C．p2p3 D．p2p4
考点2K：命题真假判断应A1：虚数单位i复数A5：复数运算．菁优网版权
专题2A：探究型5L：简易逻辑5N：数系扩充复数．
分析根复数分类复数性质逐分析定四命题真假答案．
解答解：复数z满足∈Rz∈R命题p1真命题
p2：复数zi满足z2﹣1∈Rz∉R命题p2假命题
p3：复数z1iz22i满足z1z2∈Rz1≠命题p3假命题
p4：复数z∈Rz∈R命题p4真命题．
选：B．
点评题命题真假判断应载体考查复数运算复数分类复数运算性质难度属基础题．
4．（5分）记Sn等差数列{an}前n项．a4+a524S648{an}公差（ ）
A．1 B．2 C．4 D．8
考点84：等差数列通项公式85：等差数列前n项．菁优网版权
专题11：计算题34：方程思想4O：定义法54：等差数列等数列．
分析利等差数列通项公式前n项公式列出方程组求出首项公差求出{an}公差．
解答解：∵Sn等差数列{an}前n项a4+a524S648
∴
解a1﹣2d4
∴{an}公差4．
选：C．
点评题考查等差数列公式求法应基础题解题时认真审题注意等差数列性质合理运．
5．（5分）函数f（x）（﹣∞+∞）单调递减奇函数．f（1）﹣1满足﹣1≤f（x﹣2）≤1x取值范围（ ）
A．[﹣22] B．[﹣11] C．[04] D．[13]
考点3P：抽象函数应．菁优网版权
专题35：转化思想4R：转化法51：函数性质应．
分析已知中函数单调性奇偶性等式﹣1≤f（x﹣2）≤1化﹣1≤x﹣2≤1解答案．
解答解：∵函数f（x）奇函数．
f（1）﹣1f（﹣1）1
∵函数f（x）（﹣∞+∞）单调递减﹣1≤f（x﹣2）≤1
∴f（1）≤f（x﹣2）≤f（﹣1）
∴﹣1≤x﹣2≤1
解：x∈[13]
选：D．
点评题考查知识点抽象函数应函数单调性函数奇偶性难度中档．
6．（5分）（1+）（1+x）6展开式中x2系数（ ）
A．15 B．20 C．30 D．35
考点DA：二项式定理．菁优网版权
专题35：转化思想4R：转化法．
分析直接利二项式定理通项公式求解．
解答解：（1+）（1+x）6展开式中：
（1+）（1+x﹣2）提供常数项1（1+x）6提供含x2项展开式中x2系数：
（1+）提供x﹣2项（1+x）6提供含x4项展开式中x2系数：
（1+x）6通项公式．
知r2时展开式中x2系数．
知r4时展开式中x2系数．
（1+）（1+x）6展开式中x2系数：15+1530．
选：C．
点评题考查二项式定理知识点通项公式灵活运．属基础题．
7．（5分）某面体三视图图示中正视图左视图正方形等腰直角三角形组成正方形边长2俯视图等腰直角三角形该面体面中干梯形梯形面积（ ）
A．10 B．12 C．14 D．16
考点L：三视图求面积体积．菁优网版权
专题11：计算题31：数形结合44：数形结合法5Q：立体．
分析三视图直观图图形知该立体图中两相梯形面根梯形面积公式计算
解答解：三视图画出直观图
该立体图中两相梯形面
S梯形×2×（2+4）6
∴梯形面积6×212
选：B．
点评题考查体积计算公式考查推理力计算力属中档题．
8．（5分）图程序框图求出满足3n﹣2n＞1000偶数n两空白框中分填入（ ）
A．A＞1000nn+1 B．A＞1000nn+2
C．A≤1000nn+1 D．A≤1000nn+2
考点EF：程序框图．菁优网版权
专题11：计算题38：应思想49：综合法5K：算法程序框图．
分析通求A＞1000时输出框图中否时输出确定输入A＞1000进通偶数特征确定nn+2．
解答解：求A＞1000时输出框图中否时输出
输入A＞1000
求n偶数n初始值0
中n次加2保证偶数
D选项满足求
选：D．
点评题考查程序框图属基础题意部分考生分．
9．（5分）已知曲线C1：ycosxC2：ysin（2x+）面结正确（ ）
A．C1点横坐标伸长原2倍坐标变曲线右移单位长度曲线C2
B．C1点横坐标伸长原2倍坐标变曲线左移单位长度曲线C2
C．C1点横坐标缩短原倍坐标变曲线右移单位长度曲线C2
D．C1点横坐标缩短原倍坐标变曲线左移单位长度曲线C2
考点HJ：函数yAsin（ωx+φ）图象变换．菁优网版权
专题11：计算题35：转化思想57：三角函数图性质．
分析利三角函数伸缩变换移变换转化求解．
解答解：C1点横坐标缩短原倍坐标变函数ycos2x图象曲线左移单位长度函数ycos2（x+）cos（2x+）sin（2x+）图象曲线C2
选：D．
点评题考查三角函数图象变换诱导公式应考查计算力．
10．（5分）已知F抛物线C：y24x焦点F作两条互相垂直直线l1l2直线l1C交AB两点直线l2C交DE两点|AB|+|DE|值（ ）
A．16 B．14 C．12 D．10
考点K8：抛物线性质．菁优网版权
专题11：计算题34：方程思想4R：转化法5D：圆锥曲线定义性质方程．
分析方法：根题意判断ADBE关x轴称直线DE斜率1|AB|+|DE|根弦长公式计算．
方法二：设直线l1倾斜角θl2倾斜角 +θ利焦点弦弦长公式分表示出|AB||DE|整理求答案
解答解：图l1⊥l2直线l1C交AB两点
直线l2C交DE两点
|AB|+|DE|
ADBE关x轴称直线DE斜率1
直线l2点（10）
直线l2方程yx﹣1
联立方程组y2﹣4y﹣40
∴y1+y24y1y2﹣4
∴|DE|•|y1﹣y2|×8
∴|AB|+|DE|值2|DE|16
方法二：设直线l1倾斜角θl2倾斜角 +θ
根焦点弦长公式|AB|
|DE|
∴|AB|+|DE|+
∵0＜sin22θ≤1
∴θ45°时|AB|+|DE|16
选：A．
点评题考查抛物线简单性质直线抛物线位置关系弦长公式焦点弦熟练掌握相关结解决问题事半功倍属中档题．
11．（5分）设xyz正数2x3y5z（ ）
A．2x＜3y＜5z B．5z＜2x＜3y C．3y＜5z＜2x D．3y＜2x＜5z
考点72：等式较．菁优网版权
专题35：转化思想51：函数性质应59：等式解法应．
分析xyz正数令2x3y5zk＞1．lgk＞0．xyz．3y2x5z．根＞．出关系．
解：xyz正数令2x3y5zk＞1．lgk＞0．xyz．＞12x＞3y理5z＞2x．
解答解：xyz正数
令2x3y5zk＞1．lgk＞0．
xyz．
∴3y2x5z．
∵＞．
∴＞lg＞＞0．
∴3y＜2x＜5z．
解：xyz正数
令2x3y5zk＞1．lgk＞0．
xyz．
∴＞12x＞3y
＞1．5z＞2x．
综：5z＞2x＞3y．
解法三：k取特殊值较出关系．
选：D．
点评题考查数函数单调性换底公式等式性质考查推理力计算力属中档题．
12．（5分）位学生响应国家创业号召开发款应软件．激发家学数学兴趣推出解数学题获取软件激活码活动．款软件激活码面数学问题答案：已知数列1121241248124816…中第项20接两项2021接三项202122类推．求满足条件整数N：N＞100该数列前N项2整数幂．该款软件激活码（ ）
A．440 B．330 C．220 D．110
考点8E：数列求．菁优网版权
专题35：转化思想4R：转化法54：等差数列等数列．
分析方法：数列性质求数列{bn}通项公式前n项知N时（n∈N+）数列{an}前N项数列{bn}前n项2n+1﹣n﹣2容易N＞100时n≥14分判断求该款软件激活码
方法二：题意求数列项前n项Sn2n+1﹣2﹣n项数题意知：2n+12整数幂．需﹣2﹣n消分求N值．
解答解：设该数列{an}设bn+…+2n+1﹣1（n∈N+）ai
题意设数列{an}前N项SN数列{bn}前n项TnTn21﹣1+22﹣1+…+2n+1﹣12n+1﹣n﹣2
知N时（n∈N+）数列{an}前N项数列{bn}前n项2n+1﹣n﹣2
容易N＞100时n≥14
A项435440435+5知S440T29+b5230﹣29﹣2+25﹣1230A项符合题意．
B项仿知325知S330T25+b5226﹣25﹣2+25﹣1226+4显然2整数幂B项符合题意．
C项仿知210知S220T20+b10221﹣20﹣2+210﹣1221+210﹣23显然2整数幂C项符合题意．
D项仿知105知S110T14+b5215﹣14﹣2+25﹣1215+15显然2整数幂D项符合题意．
选A．
方法二：题意知：…
根等数列前n项公式求项分：21﹣122﹣123﹣1…2n﹣1
项含项数：123…n
总项数N1+2+3+…+n
项数Sn：21﹣1+22﹣1+23﹣1+…+2n﹣1（21+22+23+…+2n）﹣n﹣n2n+1﹣2﹣n
题意知：2n+12整数幂．需﹣2﹣n消
①1+2+（﹣2﹣n）0解：n1总+23满足N＞100
②1+2+4+（﹣2﹣n）0解：n5总+318满足N＞100
③1+2+4+8+（﹣2﹣n）0解：n13总+495满足N＞100
④1+2+4+8+16+（﹣2﹣n）0解：n29总+5440满足N＞100
∴该款软件激活码440．
选：A．
点评题考查数列应等差数列等数列前n项考查计算力属难题．
二填空题：题4题题5分20分．
13．（5分）已知量夹角60°||2||1|+2| 2 ．
考点9O：面量数量积性质运算．菁优网版权
专题31：数形结合4O：定义法5A：面量应．
分析根面量数量积求出模长．
解答解：解法量夹角60°||2||1
∴+4•+4
22+4×2×1×cos60°+4×12
12
∴|+2|2．
解法二根题意画出图形图示
结合图形++2
△OAC中余弦定理
||2
|+2|2．
答案：2．
点评题考查面量数量积应问题解题时应利数量积求出模长基础题．
14．（5分）设xy满足约束条件z3x﹣2y值 ﹣5 ．
考点7C：简单线性规划．菁优网版权
专题11：计算题31：数形结合35：转化思想5T：等式．
分析约束条件作出行域图优解求出优解坐标数形结合答案．
解答解：xy满足约束条件作出行域图
图知目标函数优解A
联立解A（﹣11）．
∴z3x﹣2y值﹣3×1﹣2×1﹣5．
答案：﹣5．
点评题考查简单线性规划考查数形结合解题思想方法中档题．
15．（5分）已知双曲线C：﹣1（a＞0b＞0）右顶点AA圆心b半径作圆A圆A双曲线C条渐线交MN两点．∠MAN60°C离心率 ．
考点KC：双曲线性质．菁优网版权
专题11：计算题35：转化思想49：综合法5D：圆锥曲线定义性质方程．
分析利已知条件转化求解A渐线距离推出ac关系然求解双曲线离心率．
解答解：双曲线C：﹣1（a＞0b＞0）右顶点A（a0）
A圆心b半径做圆A圆A双曲线C条渐线交MN两点．
∠MAN60°A渐线bx+ay0距离：bcos30°
：离心率：e．
答案：．
点评题考查双曲线简单性质应点直线距离公式圆方程应考查转化思想计算力．
16．（5分）图圆形纸片圆心O半径5cm该纸片等边三角形ABC中心O．DEF圆O点△DBC△ECA△FAB分BCCAAB底边等腰三角形．虚线剪开分BCCAAB折痕折起△DBC△ECA△FABDEF重合三棱锥．△ABC边长变化时三棱锥体积（单位：cm3）值 4cm3 ．
考点LF：棱柱棱锥棱台体积．菁优网版权
专题11：计算题35：转化思想49：综合法5E：圆锥曲线中值范围问题．
分析法：题连接OD交BC点G题意OD⊥BCOGBC设OGxBC2xDG5﹣x三棱锥高h求出S△ABC3V令f（x）25x4﹣10x5x∈（0）f′（x）100x3﹣50x4f（x）≤f（2）80求出体积值．
法二：设正三角形边长xOGFGSG5﹣SOh示出三棱锥体积值．
解答解法：题意连接OD交BC点G题意OD⊥BCOGBC
OG长度BC长度成正
设OGxBC2xDG5﹣x
三棱锥高h
3
V
令f（x）25x4﹣10x5x∈（0）f′（x）100x3﹣50x4
令f′（x）≥0x4﹣2x3≤0解x≤2
f（x）≤f（2）80
∴V≤4cm3∴体积值4cm3．
答案：4cm3．
解法二：图设正三角形边长xOG
∴FGSG5﹣
SOh
∴三棱锥体积V
令b（x）5x4﹣
令b＇（x）04x3﹣0解x4
∴（cm3）．
答案：4cm3．
点评题考查三棱锥体积值求法考查空间中线线线面面面间位置关系函数性质导数等基础知识考查推理证力运算求解力空间想象力考查数形结合思想化转化思想中档题．
三解答题：70分．解答应写出文字说明证明程演算步骤．第17～21题必考题试题考生必须作答．第2223题选考题考生根求作答．
17．（12分）△ABC角ABC边分abc已知△ABC面积．
（1）求sinBsinC
（2）6cosBcosC1a3求△ABC周长．
考点HP：正弦定理HR：余弦定理．菁优网版权
专题11：计算题33：函数思想4R：转化法56：三角函数求值58：解三角形．
分析（1）根三角形面积公式正弦定理答案
（2）根两角余弦公式cosA求出A根正弦定理bc8根余弦定理求出b+c问题解决．
解答解：（1）三角形面积公式S△ABCacsinB
∴3csinBsinA2a
正弦定理3sinCsinBsinA2sinA
∵sinA≠0
∴sinBsinC
（2）∵6cosBcosC1
∴cosBcosC
∴cosBcosC﹣sinBsinC﹣﹣
∴cos（B+C）﹣
∴cosA
∵0＜A＜π
∴A
∵2R2
∴sinBsinC•
∴bc8
∵a2b2+c2﹣2bccosA
∴b2+c2﹣bc9
∴（b+c）29+3cb9+2433
∴b+c
∴周长a+b+c3+．
点评题考查三角形面积公式两角余弦公式诱导公式正弦定理余弦定理考查学生运算力属中档题．
18．（12分）图四棱锥P﹣ABCD中AB∥CD∠BAP∠CDP90°．
（1）证明：面PAB⊥面PAD
（2）PAPDABDC∠APD90°求二面角A﹣PB﹣C余弦值．
考点LY：面面垂直MJ：二面角面角求法．菁优网版权
专题15：综合题31：数形结合41：量法5G：空间角．
分析（1）已知PA⊥ABPD⊥CDAB∥CDAB⊥PD利线面垂直判定AB⊥面PAD进步面PAB⊥面PAD
（2）已知四边形ABCD行四边形（1）知AB⊥面PADAB⊥AD四边形ABCD矩形设PAAB2aAD．取AD中点OBC中点E连接POOEO坐标原点分OAOEOP直线xyz轴建立空间直角坐标系求出面PBC法量证明PD⊥面PAB面PAB法量两法量成角余弦值二面角A﹣PB﹣C余弦值．
解答（1）证明：∵∠BAP∠CDP90°∴PA⊥ABPD⊥CD
∵AB∥CD∴AB⊥PD
∵PA∩PDPPA⊂面PADPD⊂面PAD
∴AB⊥面PADAB⊂面PAB
∴面PAB⊥面PAD
（2）解：∵AB∥CDABCD∴四边形ABCD行四边形
（1）知AB⊥面PAD∴AB⊥AD四边形ABCD矩形
△APD中PAPD∠APD90°△PAD等腰直角三角形
设PAAB2aAD．
取AD中点OBC中点E连接POOE
O坐标原点分OAOEOP直线xyz轴建立空间直角坐标系
：D（）B（）P（00）C（）．
．
设面PBC法量
取y1．
∵AB⊥面PADAD⊂面PAD∴AB⊥PD
PD⊥PAPA∩ABA
∴PD⊥面PAB面PAB法量．
∴cos＜＞．
图知二面角A﹣PB﹣C钝角
∴二面角A﹣PB﹣C余弦值．
点评题考查面面垂直判定考查空间想象力思维力训练利空间量求二面角面角中档题．
19．（12分）监控某种零件条生产线生产程检验员天该生产线机抽取16零件测量尺寸（单位：cm）．根长期生产验认条生产线正常状态生产零件尺寸服正态分布N（μσ2）．
（1）假设生产状态正常记X表示天抽取16零件中尺寸（μ﹣3σμ+3σ）外零件数求P（X≥1）X数学期
（2）天抽检零件中果出现尺寸（μ﹣3σμ+3σ）外零件认条生产线天生产程出现异常情况需天生产程进行检查．
（ⅰ）试说明述监控生产程方法合理性
（ⅱ）面检验员天抽取16零件尺寸：
995
1012
996
996
1001
992
998
1004
1026
991
1013
1002
922
1004
1005
995
计算997s≈0212中xi抽取第i零件尺寸i12…16．
样均数作μ估计值样标准差s作σ估计值利估计值判断否需天生产程进行检查？剔（﹣3+3）外数剩数估计μσ（精确001）．
附：机变量Z服正态分布N（μσ2）P（μ﹣3σ＜Z＜μ+3σ）099740997416≈09592≈009．
考点CP：正态分布曲线特点曲线表示意义．菁优网版权
专题11：计算题35：转化思想4A：数学模型法5I：概率统计．
分析（1）通P（X0）求出P（X≥1）1﹣P（X0）00408利二项分布期公式计算结
（2）（ⅰ）（1）知落（μ﹣3σμ+3σ）外概率事件知该监控生产程方法合理
（ⅱ）通样均数样标准差s估计知（﹣3+3）（933410606）进需剔（﹣3+3）外数922利公式计算结．
解答解：（1）题知尺寸落（μ﹣3σμ+3σ）概率09974
落（μ﹣3σμ+3σ）外概率1﹣0997400026
P（X0）×（1﹣09974）0×0997416≈09592
P（X≥1）1﹣P（X0）00408
X～B（1600026）
E（X）16×0002600416
（2）（ⅰ）果生产状态正常零件尺寸（﹣3+3）外概率00026天抽取16零件中出现尺寸（﹣3+3）外零件概率00408发生概率．旦发生种状况理认条生产线天生产程出现异常情况需天生产程进行检查见述监控生产程方法合理．
（ⅱ）997s≈0212μ估计值997σ估计值0212样数出
零件尺寸（﹣3+3）外需天生产程进行检查．
剔（﹣3+3）外数922剩数均数
（16×997﹣922）1002
μ估计值1002．
216×02122+16×9972≈1591134
剔（﹣3+3）外数922剩数样方差
（1591134﹣9222﹣15×10022）≈0008
σ估计值≈009．
点评题考查正态分布考查二项分布考查方差标准差考查概率计算考查运算求解力注意解题方法积累属中档题．
20．（12分）已知椭圆C：+1（a＞b＞0）四点P1（11）P2（01）P3（﹣1）P4（1）中恰三点椭圆C．
（1）求C方程
（2）设直线lP2点C相交AB两点．直线P2A直线P2B斜率﹣1证明：l定点．
考点K3：椭圆标准方程KI：圆锥曲线综合．菁优网版权
专题14：证明题35：转化思想49：综合法5E：圆锥曲线中值范围问题．
分析（1）根椭圆称性P2（01）P3（﹣1）P4（1）三点椭圆C．P2（01）P3（﹣1）代入椭圆C求出a24b21求出椭圆C方程．
（2）斜率存时满足斜率存时设l：ykx+t（t≠1）联立（1+4k2）x2+8ktx+4t2﹣40利根判式韦达定理直线方程结合已知条件证明直线l定点（2﹣1）．
解答解：（1）根椭圆称性P3（﹣1）P4（1）两点必椭圆C
P4横坐标1∴椭圆必P1（11）
∴P2（01）P3（﹣1）P4（1）三点椭圆C．
P2（01）P3（﹣1）代入椭圆C：
解a24b21
∴椭圆C方程1．
证明：（2）①斜率存时设l：xmA（myA）B（m﹣yA）
∵直线P2A直线P2B斜率﹣1
∴﹣1
解m2时l椭圆右顶点存两交点满足．
②斜率存时设l：ykx+t（t≠1）A（x1y1）B（x2y2）
联立整理（1+4k2）x2+8ktx+4t2﹣40
x1x2
﹣1t≠1
∴t﹣2k﹣1时△﹣64k存k△＞0成立
∴直线l方程ykx﹣2k﹣1
x2时y﹣1
∴l定点（2﹣1）．
点评题考查椭圆方程求法考查椭圆直线方程根判式韦达定理直线方程位置关系等基础知识考查推理证力运算求解力考查函数方程思想化转化思想中档题．
21．（12分）已知函数f（x）ae2x+（a﹣2）ex﹣x．
（1）讨f（x）单调性
（2）f（x）两零点求a取值范围．
考点52：函数零点判定定理6B：利导数研究函数单调性．菁优网版权
专题32：分类讨35：转化思想4R：转化法53：导数综合应．
分析（1）求导根导数函数单调性关系分类讨求f（x）单调性
（2）（1）知：a＞0时两零点根函数单调性求f（x）值f（x）min＜0g（a）alna+a﹣1a＞0求导g（a）ming（e﹣2）e﹣2lne﹣2+e﹣2﹣1﹣﹣1g（1）0求a取值范围．
（1）求导根导数函数单调性关系分类讨求f（x）单调性
（2）分类讨根函数单调性函数零点判断分求函数零点求a取值范围．
解答解：（1）f（x）ae2x+（a﹣2）ex﹣x求导f′（x）2ae2x+（a﹣2）ex﹣1
a0时f′（x）﹣2ex﹣1＜0
∴x∈Rf（x）单调递减
a＞0时f′（x）（2ex+1）（aex﹣1）2a（ex+）（ex﹣）
令f′（x）0解：xln
f′（x）＞0解：x＞ln
f′（x）＜0解：x＜ln
∴x∈（﹣∞ln）时f（x）单调递减x∈（ln+∞）单调递增
a＜0时f′（x）2a（ex+）（ex﹣）＜0恒成立
∴x∈Rf（x）单调递减
综知：a≤0时f（x）R单调减函数
a＞0时f（x）（﹣∞ln）减函数（ln+∞）增函数
（2）①a≤0时（1）知：f（x）零点
a＞0时f（x）ae2x+（a﹣2）ex﹣x
x→﹣∞时e2x→0ex→0
∴x→﹣∞时f（x）→+∞
x→∞e2x→+∞远远exx
∴x→∞f（x）→+∞
∴函数两零点f（x）值0
f（x）（﹣∞ln）减函数（ln+∞）增函数
∴f（x）minf（ln）a×（）+（a﹣2）×﹣ln＜0
∴1﹣﹣ln＜0ln+﹣1＞0
设tg（t）lnt+t﹣1（t＞0）
求导g′（t）+1g（1）0
∴t＞1解：0＜a＜1
∴a取值范围（01）．
方法二：（1）f（x）ae2x+（a﹣2）ex﹣x求导f′（x）2ae2x+（a﹣2）ex﹣1
a0时f′（x）﹣2ex﹣1＜0
∴x∈Rf（x）单调递减
a＞0时f′（x）（2ex+1）（aex﹣1）2a（ex+）（ex﹣）
令f′（x）0解：x﹣lna
f′（x）＞0解：x＞﹣lna
f′（x）＜0解：x＜﹣lna
∴x∈（﹣∞﹣lna）时f（x）单调递减x∈（﹣lna+∞）单调递增
a＜0时f′（x）2a（ex+）（ex﹣）＜0恒成立
∴x∈Rf（x）单调递减
综知：a≤0时f（x）R单调减函数
a＞0时f（x）（﹣∞﹣lna）减函数（﹣lna+∞）增函数
（2）①a≤0时（1）知：f（x）零点
②a＞0时（1）知：x﹣lna时f（x）取值f（x）minf（﹣lna）1﹣﹣ln
a1时f（﹣lna）0f（x）零点
a∈（1+∞）时1﹣﹣ln＞0f（﹣lna）＞0
f（x）没零点
a∈（01）时1﹣﹣ln＜0f（﹣lna）＜0
f（﹣2）ae﹣4+（a﹣2）e﹣2+2＞﹣2e﹣2+2＞0
f（x）（﹣∞﹣lna）零点
假设存正整数n0满足n0＞ln（﹣1）f（n0）（a+a﹣2）﹣n0＞﹣n0＞﹣n0＞0
ln（﹣1）＞﹣lna
（﹣lna+∞）零点．
∴a取值范围（01）．
点评题考查导数综合应考查利导数求函数单调性值考查函数零点判断考查计算力考查分类讨思想属中档题．
[选修44坐标系参数方程]
22．（10分）直角坐标系xOy中曲线C参数方程（θ参数）直线l参数方程 （t参数）．
（1）a﹣1求Cl交点坐标
（2）C点l距离值求a．
考点IT：点直线距离公式QH：参数方程化成普通方程．菁优网版权
专题34：方程思想4Q：参数法5S：坐标系参数方程．
分析（1）曲线C参数方程化标准方程直线l参数方程化般方程联立两方程求焦点坐标
（2）曲线C点表示成P（3cosθsinθ）θ∈[02π）运点直线距离公式表示出P直线l距离结合距离值进行分析求出a值．
解答解：（1）曲线C参数方程（θ参数）化标准方程：+y21
a﹣1时直线l参数方程化般方程：x+4y﹣30
联立方程
解
椭圆C直线l交点（30）（﹣）．
（2）l参数方程（t参数）化般方程：x+4y﹣a﹣40
椭圆C点P表示成P（3cosθsinθ）θ∈[02π）
点P直线l距离d：
dφ满足tanφd值．
①﹣a﹣4≤0时a≥﹣4时
|5sin（θ+4）﹣a﹣4|≤|﹣5﹣a﹣4|5+a+417
解a8≥﹣4符合题意．
②﹣a﹣4＞0时a＜﹣4时
|5sin（θ+4）﹣a﹣4|≤|5﹣a﹣4|5﹣a﹣41﹣a17
解a﹣16＜﹣4符合题意．
点评题考查曲线参数方程点直线距离三角函数值难点根曲线C点直线l距离值求出a．
[选修45：等式选讲]
23．已知函数f（x）﹣x2+ax+4g（x）|x+1|+|x﹣1|．
（1）a1时求等式f（x）≥g（x）解集
（2）等式f（x）≥g（x）解集包含[﹣11]求a取值范围．
考点R5：绝值等式解法．菁优网版权
专题32：分类讨4R：转化法51：函数性质应5T：等式．
分析（1）a1时f（x）﹣x2+x+4g（x）|x+1|+|x﹣1|分x＞1x∈[﹣11]x∈（﹣∞﹣1）三类讨结合g（x）f（x）单调性质求f（x）≥g（x）解集[﹣1]
（2）题意：﹣x2+ax+4≥2[﹣11]恒成立⇔x2﹣ax﹣2≤0[﹣11]恒成立需解a取值范围．
解答解：（1）a1时f（x）﹣x2+x+4开口称轴x二次函数
g（x）|x+1|+|x﹣1|
x∈（1+∞）时令﹣x2+x+42x解xg（x）（1+∞）单调递增f（x）（1+∞）单调递减∴时f（x）≥g（x）解集（1]
x∈[﹣11]时g（x）2f（x）≥f（﹣1）2．
x∈（﹣∞﹣1）时g（x）单调递减f（x）单调递增g（﹣1）f（﹣1）2．
综述f（x）≥g（x）解集[﹣1]
（2）题意：﹣x2+ax+4≥2[﹣11]恒成立x2﹣ax﹣2≤0[﹣11]恒成立需解﹣1≤a≤1
a取值范围[﹣11]．
点评题考查绝值等式解法掉绝值符号关键考查分类讨思想等价转化思想综合运属中档题．
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选择题：题12题题5分60分．题出四选项中项符合题目求．
1．（5分）已知集合A{x|x＜1}B{x|3x＜1}（ ）
A．A∩B{x|x＜0} B．A∪BR C．A∪B{x|x＞1} D．A∩B∅
2．（5分）图正方形ABCD图形中国古代太极图．正方形切圆中黑色部分白色部分关正方形中心成中心称．正方形机取点点取黑色部分概率（ ）
A． B． C． D．
3．（5分）设面四命题
p1：复数z满足∈Rz∈R
p2：复数z满足z2∈Rz∈R
p3：复数z1z2满足z1z2∈Rz1
p4：复数z∈R∈R．
中真命题（ ）
A．p1p3 B．p1p4 C．p2p3 D．p2p4
4．（5分）记Sn等差数列{an}前n项．a4+a524S648{an}公差（ ）
A．1 B．2 C．4 D．8
5．（5分）函数f（x）（﹣∞+∞）单调递减奇函数．f（1）﹣1满足﹣1≤f（x﹣2）≤1x取值范围（ ）
A．[﹣22] B．[﹣11] C．[04] D．[13]
6．（5分）（1+）（1+x）6展开式中x2系数（ ）
A．15 B．20 C．30 D．35
7．（5分）某面体三视图图示中正视图左视图正方形等腰直角三角形组成正方形边长2俯视图等腰直角三角形该面体面中干梯形梯形面积（ ）
A．10 B．12 C．14 D．16
8．（5分）图程序框图求出满足3n﹣2n＞1000偶数n两空白框中分填入（ ）
A．A＞1000nn+1 B．A＞1000nn+2
C．A≤1000nn+1 D．A≤1000nn+2
9．（5分）已知曲线C1：ycosxC2：ysin（2x+）面结正确（ ）
A．C1点横坐标伸长原2倍坐标变曲线右移单位长度曲线C2
B．C1点横坐标伸长原2倍坐标变曲线左移单位长度曲线C2
C．C1点横坐标缩短原倍坐标变曲线右移单位长度曲线C2
D．C1点横坐标缩短原倍坐标变曲线左移单位长度曲线C2
10．（5分）已知F抛物线C：y24x焦点F作两条互相垂直直线l1l2直线l1C交AB两点直线l2C交DE两点|AB|+|DE|值（ ）
A．16 B．14 C．12 D．10
11．（5分）设xyz正数2x3y5z（ ）
A．2x＜3y＜5z B．5z＜2x＜3y C．3y＜5z＜2x D．3y＜2x＜5z
12．（5分）位学生响应国家创业号召开发款应软件．激发家学数学兴趣推出解数学题获取软件激活码活动．款软件激活码面数学问题答案：已知数列1121241248124816…中第项20接两项2021接三项202122类推．求满足条件整数N：N＞100该数列前N项2整数幂．该款软件激活码（ ）
A．440 B．330 C．220 D．110
二填空题：题4题题5分20分．
13．（5分）已知量夹角60°||2||1|+2| ．
14．（5分）设xy满足约束条件z3x﹣2y值 ．
15．（5分）已知双曲线C：﹣1（a＞0b＞0）右顶点AA圆心b半径作圆A圆A双曲线C条渐线交MN两点．∠MAN60°C离心率 ．
16．（5分）图圆形纸片圆心O半径5cm该纸片等边三角形ABC中心O．DEF圆O点△DBC△ECA△FAB分BCCAAB底边等腰三角形．虚线剪开分BCCAAB折痕折起△DBC△ECA△FABDEF重合三棱锥．△ABC边长变化时三棱锥体积（单位：cm3）值 ．
三解答题：70分．解答应写出文字说明证明程演算步骤．第17～21题必考题试题考生必须作答．第2223题选考题考生根求作答．
17．（12分）△ABC角ABC边分abc已知△ABC面积．
（1）求sinBsinC
（2）6cosBcosC1a3求△ABC周长．
18．（12分）图四棱锥P﹣ABCD中AB∥CD∠BAP∠CDP90°．
（1）证明：面PAB⊥面PAD
（2）PAPDABDC∠APD90°求二面角A﹣PB﹣C余弦值．
19．（12分）监控某种零件条生产线生产程检验员天该生产线机抽取16零件测量尺寸（单位：cm）．根长期生产验认条生产线正常状态生产零件尺寸服正态分布N（μσ2）．
（1）假设生产状态正常记X表示天抽取16零件中尺寸（μ﹣3σμ+3σ）外零件数求P（X≥1）X数学期
（2）天抽检零件中果出现尺寸（μ﹣3σμ+3σ）外零件认条生产线天生产程出现异常情况需天生产程进行检查．
（ⅰ）试说明述监控生产程方法合理性
（ⅱ）面检验员天抽取16零件尺寸：
995
1012
996
996
1001
992
998
1004
1026
991
1013
1002
922
1004
1005
995
计算997s≈0212中xi抽取第i零件尺寸i12…16．
样均数作μ估计值样标准差s作σ估计值利估计值判断否需天生产程进行检查？剔（﹣3+3）外数剩数估计μσ（精确001）．
附：机变量Z服正态分布N（μσ2）P（μ﹣3σ＜Z＜μ+3σ）099740997416≈09592≈009．
20．（12分）已知椭圆C：+1（a＞b＞0）四点P1（11）P2（01）P3（﹣1）P4（1）中恰三点椭圆C．
（1）求C方程
（2）设直线lP2点C相交AB两点．直线P2A直线P2B斜率﹣1证明：l定点．
21．（12分）已知函数f（x）ae2x+（a﹣2）ex﹣x．
（1）讨f（x）单调性
（2）f（x）两零点求a取值范围．
[选修44坐标系参数方程]
22．（10分）直角坐标系xOy中曲线C参数方程（θ参数）直线l参数方程 （t参数）．
（1）a﹣1求Cl交点坐标
（2）C点l距离值求a．
[选修45：等式选讲]
23．已知函数f（x）﹣x2+ax+4g（x）|x+1|+|x﹣1|．
（1）a1时求等式f（x）≥g（x）解集
（2）等式f（x）≥g（x）解集包含[﹣11]求a取值范围．
2017年全国统高考数学试卷（理科）（新课标Ⅰ）
参考答案试题解析
选择题：题12题题5分60分．题出四选项中项符合题目求．
1．（5分）已知集合A{x|x＜1}B{x|3x＜1}（ ）
A．A∩B{x|x＜0} B．A∪BR C．A∪B{x|x＞1} D．A∩B∅
考点1E：交集运算．菁优网版权
专题11：计算题37：集合思想4O：定义法5J：集合．
分析先分求出集合AB求出A∩BA∪B求出结果．
解答解：∵集合A{x|x＜1}
B{x|3x＜1}{x|x＜0}
∴A∩B{x|x＜0}A正确D错误
A∪B{x|x＜1}BC错误．
选：A．
点评题考查交集集求法应基础题解题时认真审题注意交集集定义合理运．
2．（5分）图正方形ABCD图形中国古代太极图．正方形切圆中黑色部分白色部分关正方形中心成中心称．正方形机取点点取黑色部分概率（ ）
A． B． C． D．
考点CF：概型．菁优网版权
专题35：转化思想4O：定义法5I：概率统计．
分析根图象称性求出黑色图形面积结合概型概率公式进行求解．
解答解：根图象称性知黑色部分圆面积半设圆半径1正方形边长2
黑色部分面积S
应概率P
选：B．
点评题考查概型概率计算根称性求出黑色阴影部分面积解决题关键．
3．（5分）设面四命题
p1：复数z满足∈Rz∈R
p2：复数z满足z2∈Rz∈R
p3：复数z1z2满足z1z2∈Rz1
p4：复数z∈R∈R．
中真命题（ ）
A．p1p3 B．p1p4 C．p2p3 D．p2p4
考点2K：命题真假判断应A1：虚数单位i复数A5：复数运算．菁优网版权
专题2A：探究型5L：简易逻辑5N：数系扩充复数．
分析根复数分类复数性质逐分析定四命题真假答案．
解答解：复数z满足∈Rz∈R命题p1真命题
p2：复数zi满足z2﹣1∈Rz∉R命题p2假命题
p3：复数z1iz22i满足z1z2∈Rz1≠命题p3假命题
p4：复数z∈Rz∈R命题p4真命题．
选：B．
点评题命题真假判断应载体考查复数运算复数分类复数运算性质难度属基础题．
4．（5分）记Sn等差数列{an}前n项．a4+a524S648{an}公差（ ）
A．1 B．2 C．4 D．8
考点84：等差数列通项公式85：等差数列前n项．菁优网版权
专题11：计算题34：方程思想4O：定义法54：等差数列等数列．
分析利等差数列通项公式前n项公式列出方程组求出首项公差求出{an}公差．
解答解：∵Sn等差数列{an}前n项a4+a524S648
∴
解a1﹣2d4
∴{an}公差4．
选：C．
点评题考查等差数列公式求法应基础题解题时认真审题注意等差数列性质合理运．
5．（5分）函数f（x）（﹣∞+∞）单调递减奇函数．f（1）﹣1满足﹣1≤f（x﹣2）≤1x取值范围（ ）
A．[﹣22] B．[﹣11] C．[04] D．[13]
考点3P：抽象函数应．菁优网版权
专题35：转化思想4R：转化法51：函数性质应．
分析已知中函数单调性奇偶性等式﹣1≤f（x﹣2）≤1化﹣1≤x﹣2≤1解答案．
解答解：∵函数f（x）奇函数．
f（1）﹣1f（﹣1）1
∵函数f（x）（﹣∞+∞）单调递减﹣1≤f（x﹣2）≤1
∴f（1）≤f（x﹣2）≤f（﹣1）
∴﹣1≤x﹣2≤1
解：x∈[13]
选：D．
点评题考查知识点抽象函数应函数单调性函数奇偶性难度中档．
6．（5分）（1+）（1+x）6展开式中x2系数（ ）
A．15 B．20 C．30 D．35
考点DA：二项式定理．菁优网版权
专题35：转化思想4R：转化法．
分析直接利二项式定理通项公式求解．
解答解：（1+）（1+x）6展开式中：
（1+）（1+x﹣2）提供常数项1（1+x）6提供含x2项展开式中x2系数：
（1+）提供x﹣2项（1+x）6提供含x4项展开式中x2系数：
（1+x）6通项公式．
知r2时展开式中x2系数．
知r4时展开式中x2系数．
（1+）（1+x）6展开式中x2系数：15+1530．
选：C．
点评题考查二项式定理知识点通项公式灵活运．属基础题．
7．（5分）某面体三视图图示中正视图左视图正方形等腰直角三角形组成正方形边长2俯视图等腰直角三角形该面体面中干梯形梯形面积（ ）
A．10 B．12 C．14 D．16
考点L：三视图求面积体积．菁优网版权
专题11：计算题31：数形结合44：数形结合法5Q：立体．
分析三视图直观图图形知该立体图中两相梯形面根梯形面积公式计算
解答解：三视图画出直观图
该立体图中两相梯形面
S梯形×2×（2+4）6
∴梯形面积6×212
选：B．
点评题考查体积计算公式考查推理力计算力属中档题．
8．（5分）图程序框图求出满足3n﹣2n＞1000偶数n两空白框中分填入（ ）
A．A＞1000nn+1 B．A＞1000nn+2
C．A≤1000nn+1 D．A≤1000nn+2
考点EF：程序框图．菁优网版权
专题11：计算题38：应思想49：综合法5K：算法程序框图．
分析通求A＞1000时输出框图中否时输出确定输入A＞1000进通偶数特征确定nn+2．
解答解：求A＞1000时输出框图中否时输出
输入A＞1000
求n偶数n初始值0
中n次加2保证偶数
D选项满足求
选：D．
点评题考查程序框图属基础题意部分考生分．
9．（5分）已知曲线C1：ycosxC2：ysin（2x+）面结正确（ ）
A．C1点横坐标伸长原2倍坐标变曲线右移单位长度曲线C2
B．C1点横坐标伸长原2倍坐标变曲线左移单位长度曲线C2
C．C1点横坐标缩短原倍坐标变曲线右移单位长度曲线C2
D．C1点横坐标缩短原倍坐标变曲线左移单位长度曲线C2
考点HJ：函数yAsin（ωx+φ）图象变换．菁优网版权
专题11：计算题35：转化思想57：三角函数图性质．
分析利三角函数伸缩变换移变换转化求解．
解答解：C1点横坐标缩短原倍坐标变函数ycos2x图象曲线左移单位长度函数ycos2（x+）cos（2x+）sin（2x+）图象曲线C2
选：D．
点评题考查三角函数图象变换诱导公式应考查计算力．
10．（5分）已知F抛物线C：y24x焦点F作两条互相垂直直线l1l2直线l1C交AB两点直线l2C交DE两点|AB|+|DE|值（ ）
A．16 B．14 C．12 D．10
考点K8：抛物线性质．菁优网版权
专题11：计算题34：方程思想4R：转化法5D：圆锥曲线定义性质方程．
分析方法：根题意判断ADBE关x轴称直线DE斜率1|AB|+|DE|根弦长公式计算．
方法二：设直线l1倾斜角θl2倾斜角 +θ利焦点弦弦长公式分表示出|AB||DE|整理求答案
解答解：图l1⊥l2直线l1C交AB两点
直线l2C交DE两点
|AB|+|DE|
ADBE关x轴称直线DE斜率1
直线l2点（10）
直线l2方程yx﹣1
联立方程组y2﹣4y﹣40
∴y1+y24y1y2﹣4
∴|DE|•|y1﹣y2|×8
∴|AB|+|DE|值2|DE|16
方法二：设直线l1倾斜角θl2倾斜角 +θ
根焦点弦长公式|AB|
|DE|
∴|AB|+|DE|+
∵0＜sin22θ≤1
∴θ45°时|AB|+|DE|16
选：A．
点评题考查抛物线简单性质直线抛物线位置关系弦长公式焦点弦熟练掌握相关结解决问题事半功倍属中档题．
11．（5分）设xyz正数2x3y5z（ ）
A．2x＜3y＜5z B．5z＜2x＜3y C．3y＜5z＜2x D．3y＜2x＜5z
考点72：等式较．菁优网版权
专题35：转化思想51：函数性质应59：等式解法应．
分析xyz正数令2x3y5zk＞1．lgk＞0．xyz．3y2x5z．根＞．出关系．
解：xyz正数令2x3y5zk＞1．lgk＞0．xyz．＞12x＞3y理5z＞2x．
解答解：xyz正数
令2x3y5zk＞1．lgk＞0．
xyz．
∴3y2x5z．
∵＞．
∴＞lg＞＞0．
∴3y＜2x＜5z．
解：xyz正数
令2x3y5zk＞1．lgk＞0．
xyz．
∴＞12x＞3y
＞1．5z＞2x．
综：5z＞2x＞3y．
解法三：k取特殊值较出关系．
选：D．
点评题考查数函数单调性换底公式等式性质考查推理力计算力属中档题．
12．（5分）位学生响应国家创业号召开发款应软件．激发家学数学兴趣推出解数学题获取软件激活码活动．款软件激活码面数学问题答案：已知数列1121241248124816…中第项20接两项2021接三项202122类推．求满足条件整数N：N＞100该数列前N项2整数幂．该款软件激活码（ ）
A．440 B．330 C．220 D．110
考点8E：数列求．菁优网版权
专题35：转化思想4R：转化法54：等差数列等数列．
分析方法：数列性质求数列{bn}通项公式前n项知N时（n∈N+）数列{an}前N项数列{bn}前n项2n+1﹣n﹣2容易N＞100时n≥14分判断求该款软件激活码
方法二：题意求数列项前n项Sn2n+1﹣2﹣n项数题意知：2n+12整数幂．需﹣2﹣n消分求N值．
解答解：设该数列{an}设bn+…+2n+1﹣1（n∈N+）ai
题意设数列{an}前N项SN数列{bn}前n项TnTn21﹣1+22﹣1+…+2n+1﹣12n+1﹣n﹣2
知N时（n∈N+）数列{an}前N项数列{bn}前n项2n+1﹣n﹣2
容易N＞100时n≥14
A项435440435+5知S440T29+b5230﹣29﹣2+25﹣1230A项符合题意．
B项仿知325知S330T25+b5226﹣25﹣2+25﹣1226+4显然2整数幂B项符合题意．
C项仿知210知S220T20+b10221﹣20﹣2+210﹣1221+210﹣23显然2整数幂C项符合题意．
D项仿知105知S110T14+b5215﹣14﹣2+25﹣1215+15显然2整数幂D项符合题意．
选A．
方法二：题意知：…
根等数列前n项公式求项分：21﹣122﹣123﹣1…2n﹣1
项含项数：123…n
总项数N1+2+3+…+n
项数Sn：21﹣1+22﹣1+23﹣1+…+2n﹣1（21+22+23+…+2n）﹣n﹣n2n+1﹣2﹣n
题意知：2n+12整数幂．需﹣2﹣n消
①1+2+（﹣2﹣n）0解：n1总+23满足N＞100
②1+2+4+（﹣2﹣n）0解：n5总+318满足N＞100
③1+2+4+8+（﹣2﹣n）0解：n13总+495满足N＞100
④1+2+4+8+16+（﹣2﹣n）0解：n29总+5440满足N＞100
∴该款软件激活码440．
选：A．
点评题考查数列应等差数列等数列前n项考查计算力属难题．
二填空题：题4题题5分20分．
13．（5分）已知量夹角60°||2||1|+2| 2 ．
考点9O：面量数量积性质运算．菁优网版权
专题31：数形结合4O：定义法5A：面量应．
分析根面量数量积求出模长．
解答解：解法量夹角60°||2||1
∴+4•+4
22+4×2×1×cos60°+4×12
12
∴|+2|2．
解法二根题意画出图形图示
结合图形++2
△OAC中余弦定理
||2
|+2|2．
答案：2．
点评题考查面量数量积应问题解题时应利数量积求出模长基础题．
14．（5分）设xy满足约束条件z3x﹣2y值 ﹣5 ．
考点7C：简单线性规划．菁优网版权
专题11：计算题31：数形结合35：转化思想5T：等式．
分析约束条件作出行域图优解求出优解坐标数形结合答案．
解答解：xy满足约束条件作出行域图
图知目标函数优解A
联立解A（﹣11）．
∴z3x﹣2y值﹣3×1﹣2×1﹣5．
答案：﹣5．
点评题考查简单线性规划考查数形结合解题思想方法中档题．
15．（5分）已知双曲线C：﹣1（a＞0b＞0）右顶点AA圆心b半径作圆A圆A双曲线C条渐线交MN两点．∠MAN60°C离心率 ．
考点KC：双曲线性质．菁优网版权
专题11：计算题35：转化思想49：综合法5D：圆锥曲线定义性质方程．
分析利已知条件转化求解A渐线距离推出ac关系然求解双曲线离心率．
解答解：双曲线C：﹣1（a＞0b＞0）右顶点A（a0）
A圆心b半径做圆A圆A双曲线C条渐线交MN两点．
∠MAN60°A渐线bx+ay0距离：bcos30°
：离心率：e．
答案：．
点评题考查双曲线简单性质应点直线距离公式圆方程应考查转化思想计算力．
16．（5分）图圆形纸片圆心O半径5cm该纸片等边三角形ABC中心O．DEF圆O点△DBC△ECA△FAB分BCCAAB底边等腰三角形．虚线剪开分BCCAAB折痕折起△DBC△ECA△FABDEF重合三棱锥．△ABC边长变化时三棱锥体积（单位：cm3）值 4cm3 ．
考点LF：棱柱棱锥棱台体积．菁优网版权
专题11：计算题35：转化思想49：综合法5E：圆锥曲线中值范围问题．
分析法：题连接OD交BC点G题意OD⊥BCOGBC设OGxBC2xDG5﹣x三棱锥高h求出S△ABC3V令f（x）25x4﹣10x5x∈（0）f′（x）100x3﹣50x4f（x）≤f（2）80求出体积值．
法二：设正三角形边长xOGFGSG5﹣SOh示出三棱锥体积值．
解答解法：题意连接OD交BC点G题意OD⊥BCOGBC
OG长度BC长度成正
设OGxBC2xDG5﹣x
三棱锥高h
3
V
令f（x）25x4﹣10x5x∈（0）f′（x）100x3﹣50x4
令f′（x）≥0x4﹣2x3≤0解x≤2
f（x）≤f（2）80
∴V≤4cm3∴体积值4cm3．
答案：4cm3．
解法二：图设正三角形边长xOG
∴FGSG5﹣
SOh
∴三棱锥体积V
令b（x）5x4﹣
令b＇（x）04x3﹣0解x4
∴（cm3）．
答案：4cm3．
点评题考查三棱锥体积值求法考查空间中线线线面面面间位置关系函数性质导数等基础知识考查推理证力运算求解力空间想象力考查数形结合思想化转化思想中档题．
三解答题：70分．解答应写出文字说明证明程演算步骤．第17～21题必考题试题考生必须作答．第2223题选考题考生根求作答．
17．（12分）△ABC角ABC边分abc已知△ABC面积．
（1）求sinBsinC
（2）6cosBcosC1a3求△ABC周长．
考点HP：正弦定理HR：余弦定理．菁优网版权
专题11：计算题33：函数思想4R：转化法56：三角函数求值58：解三角形．
分析（1）根三角形面积公式正弦定理答案
（2）根两角余弦公式cosA求出A根正弦定理bc8根余弦定理求出b+c问题解决．
解答解：（1）三角形面积公式S△ABCacsinB
∴3csinBsinA2a
正弦定理3sinCsinBsinA2sinA
∵sinA≠0
∴sinBsinC
（2）∵6cosBcosC1
∴cosBcosC
∴cosBcosC﹣sinBsinC﹣﹣
∴cos（B+C）﹣
∴cosA
∵0＜A＜π
∴A
∵2R2
∴sinBsinC•
∴bc8
∵a2b2+c2﹣2bccosA
∴b2+c2﹣bc9
∴（b+c）29+3cb9+2433
∴b+c
∴周长a+b+c3+．
点评题考查三角形面积公式两角余弦公式诱导公式正弦定理余弦定理考查学生运算力属中档题．
18．（12分）图四棱锥P﹣ABCD中AB∥CD∠BAP∠CDP90°．
（1）证明：面PAB⊥面PAD
（2）PAPDABDC∠APD90°求二面角A﹣PB﹣C余弦值．
考点LY：面面垂直MJ：二面角面角求法．菁优网版权
专题15：综合题31：数形结合41：量法5G：空间角．
分析（1）已知PA⊥ABPD⊥CDAB∥CDAB⊥PD利线面垂直判定AB⊥面PAD进步面PAB⊥面PAD
（2）已知四边形ABCD行四边形（1）知AB⊥面PADAB⊥AD四边形ABCD矩形设PAAB2aAD．取AD中点OBC中点E连接POOEO坐标原点分OAOEOP直线xyz轴建立空间直角坐标系求出面PBC法量证明PD⊥面PAB面PAB法量两法量成角余弦值二面角A﹣PB﹣C余弦值．
解答（1）证明：∵∠BAP∠CDP90°∴PA⊥ABPD⊥CD
∵AB∥CD∴AB⊥PD
∵PA∩PDPPA⊂面PADPD⊂面PAD
∴AB⊥面PADAB⊂面PAB
∴面PAB⊥面PAD
（2）解：∵AB∥CDABCD∴四边形ABCD行四边形
（1）知AB⊥面PAD∴AB⊥AD四边形ABCD矩形
△APD中PAPD∠APD90°△PAD等腰直角三角形
设PAAB2aAD．
取AD中点OBC中点E连接POOE
O坐标原点分OAOEOP直线xyz轴建立空间直角坐标系
：D（）B（）P（00）C（）．
．
设面PBC法量
取y1．
∵AB⊥面PADAD⊂面PAD∴AB⊥PD
PD⊥PAPA∩ABA
∴PD⊥面PAB面PAB法量．
∴cos＜＞．
图知二面角A﹣PB﹣C钝角
∴二面角A﹣PB﹣C余弦值．
点评题考查面面垂直判定考查空间想象力思维力训练利空间量求二面角面角中档题．
19．（12分）监控某种零件条生产线生产程检验员天该生产线机抽取16零件测量尺寸（单位：cm）．根长期生产验认条生产线正常状态生产零件尺寸服正态分布N（μσ2）．
（1）假设生产状态正常记X表示天抽取16零件中尺寸（μ﹣3σμ+3σ）外零件数求P（X≥1）X数学期
（2）天抽检零件中果出现尺寸（μ﹣3σμ+3σ）外零件认条生产线天生产程出现异常情况需天生产程进行检查．
（ⅰ）试说明述监控生产程方法合理性
（ⅱ）面检验员天抽取16零件尺寸：
995
1012
996
996
1001
992
998
1004
1026
991
1013
1002
922
1004
1005
995
计算997s≈0212中xi抽取第i零件尺寸i12…16．
样均数作μ估计值样标准差s作σ估计值利估计值判断否需天生产程进行检查？剔（﹣3+3）外数剩数估计μσ（精确001）．
附：机变量Z服正态分布N（μσ2）P（μ﹣3σ＜Z＜μ+3σ）099740997416≈09592≈009．
考点CP：正态分布曲线特点曲线表示意义．菁优网版权
专题11：计算题35：转化思想4A：数学模型法5I：概率统计．
分析（1）通P（X0）求出P（X≥1）1﹣P（X0）00408利二项分布期公式计算结
（2）（ⅰ）（1）知落（μ﹣3σμ+3σ）外概率事件知该监控生产程方法合理
（ⅱ）通样均数样标准差s估计知（﹣3+3）（933410606）进需剔（﹣3+3）外数922利公式计算结．
解答解：（1）题知尺寸落（μ﹣3σμ+3σ）概率09974
落（μ﹣3σμ+3σ）外概率1﹣0997400026
P（X0）×（1﹣09974）0×0997416≈09592
P（X≥1）1﹣P（X0）00408
X～B（1600026）
E（X）16×0002600416
（2）（ⅰ）果生产状态正常零件尺寸（﹣3+3）外概率00026天抽取16零件中出现尺寸（﹣3+3）外零件概率00408发生概率．旦发生种状况理认条生产线天生产程出现异常情况需天生产程进行检查见述监控生产程方法合理．
（ⅱ）997s≈0212μ估计值997σ估计值0212样数出
零件尺寸（﹣3+3）外需天生产程进行检查．
剔（﹣3+3）外数922剩数均数
（16×997﹣922）1002
μ估计值1002．
216×02122+16×9972≈1591134
剔（﹣3+3）外数922剩数样方差
（1591134﹣9222﹣15×10022）≈0008
σ估计值≈009．
点评题考查正态分布考查二项分布考查方差标准差考查概率计算考查运算求解力注意解题方法积累属中档题．
20．（12分）已知椭圆C：+1（a＞b＞0）四点P1（11）P2（01）P3（﹣1）P4（1）中恰三点椭圆C．
（1）求C方程
（2）设直线lP2点C相交AB两点．直线P2A直线P2B斜率﹣1证明：l定点．
考点K3：椭圆标准方程KI：圆锥曲线综合．菁优网版权
专题14：证明题35：转化思想49：综合法5E：圆锥曲线中值范围问题．
分析（1）根椭圆称性P2（01）P3（﹣1）P4（1）三点椭圆C．P2（01）P3（﹣1）代入椭圆C求出a24b21求出椭圆C方程．
（2）斜率存时满足斜率存时设l：ykx+t（t≠1）联立（1+4k2）x2+8ktx+4t2﹣40利根判式韦达定理直线方程结合已知条件证明直线l定点（2﹣1）．
解答解：（1）根椭圆称性P3（﹣1）P4（1）两点必椭圆C
P4横坐标1∴椭圆必P1（11）
∴P2（01）P3（﹣1）P4（1）三点椭圆C．
P2（01）P3（﹣1）代入椭圆C：
解a24b21
∴椭圆C方程1．
证明：（2）①斜率存时设l：xmA（myA）B（m﹣yA）
∵直线P2A直线P2B斜率﹣1
∴﹣1
解m2时l椭圆右顶点存两交点满足．
②斜率存时设l：ykx+t（t≠1）A（x1y1）B（x2y2）
联立整理（1+4k2）x2+8ktx+4t2﹣40
x1x2
﹣1t≠1
∴t﹣2k﹣1时△﹣64k存k△＞0成立
∴直线l方程ykx﹣2k﹣1
x2时y﹣1
∴l定点（2﹣1）．
点评题考查椭圆方程求法考查椭圆直线方程根判式韦达定理直线方程位置关系等基础知识考查推理证力运算求解力考查函数方程思想化转化思想中档题．
21．（12分）已知函数f（x）ae2x+（a﹣2）ex﹣x．
（1）讨f（x）单调性
（2）f（x）两零点求a取值范围．
考点52：函数零点判定定理6B：利导数研究函数单调性．菁优网版权
专题32：分类讨35：转化思想4R：转化法53：导数综合应．
分析（1）求导根导数函数单调性关系分类讨求f（x）单调性
（2）（1）知：a＞0时两零点根函数单调性求f（x）值f（x）min＜0g（a）alna+a﹣1a＞0求导g（a）ming（e﹣2）e﹣2lne﹣2+e﹣2﹣1﹣﹣1g（1）0求a取值范围．
（1）求导根导数函数单调性关系分类讨求f（x）单调性
（2）分类讨根函数单调性函数零点判断分求函数零点求a取值范围．
解答解：（1）f（x）ae2x+（a﹣2）ex﹣x求导f′（x）2ae2x+（a﹣2）ex﹣1
a0时f′（x）﹣2ex﹣1＜0
∴x∈Rf（x）单调递减
a＞0时f′（x）（2ex+1）（aex﹣1）2a（ex+）（ex﹣）
令f′（x）0解：xln
f′（x）＞0解：x＞ln
f′（x）＜0解：x＜ln
∴x∈（﹣∞ln）时f（x）单调递减x∈（ln+∞）单调递增
a＜0时f′（x）2a（ex+）（ex﹣）＜0恒成立
∴x∈Rf（x）单调递减
综知：a≤0时f（x）R单调减函数
a＞0时f（x）（﹣∞ln）减函数（ln+∞）增函数
（2）①a≤0时（1）知：f（x）零点
a＞0时f（x）ae2x+（a﹣2）ex﹣x
x→﹣∞时e2x→0ex→0
∴x→﹣∞时f（x）→+∞
x→∞e2x→+∞远远exx
∴x→∞f（x）→+∞
∴函数两零点f（x）值0
f（x）（﹣∞ln）减函数（ln+∞）增函数
∴f（x）minf（ln）a×（）+（a﹣2）×﹣ln＜0
∴1﹣﹣ln＜0ln+﹣1＞0
设tg（t）lnt+t﹣1（t＞0）
求导g′（t）+1g（1）0
∴t＞1解：0＜a＜1
∴a取值范围（01）．
方法二：（1）f（x）ae2x+（a﹣2）ex﹣x求导f′（x）2ae2x+（a﹣2）ex﹣1
a0时f′（x）﹣2ex﹣1＜0
∴x∈Rf（x）单调递减
a＞0时f′（x）（2ex+1）（aex﹣1）2a（ex+）（ex﹣）
令f′（x）0解：x﹣lna
f′（x）＞0解：x＞﹣lna
f′（x）＜0解：x＜﹣lna
∴x∈（﹣∞﹣lna）时f（x）单调递减x∈（﹣lna+∞）单调递增
a＜0时f′（x）2a（ex+）（ex﹣）＜0恒成立
∴x∈Rf（x）单调递减
综知：a≤0时f（x）R单调减函数
a＞0时f（x）（﹣∞﹣lna）减函数（﹣lna+∞）增函数
（2）①a≤0时（1）知：f（x）零点
②a＞0时（1）知：x﹣lna时f（x）取值f（x）minf（﹣lna）1﹣﹣ln
a1时f（﹣lna）0f（x）零点
a∈（1+∞）时1﹣﹣ln＞0f（﹣lna）＞0
f（x）没零点
a∈（01）时1﹣﹣ln＜0f（﹣lna）＜0
f（﹣2）ae﹣4+（a﹣2）e﹣2+2＞﹣2e﹣2+2＞0
f（x）（﹣∞﹣lna）零点
假设存正整数n0满足n0＞ln（﹣1）f（n0）（a+a﹣2）﹣n0＞﹣n0＞﹣n0＞0
ln（﹣1）＞﹣lna
（﹣lna+∞）零点．
∴a取值范围（01）．
点评题考查导数综合应考查利导数求函数单调性值考查函数零点判断考查计算力考查分类讨思想属中档题．
[选修44坐标系参数方程]
22．（10分）直角坐标系xOy中曲线C参数方程（θ参数）直线l参数方程 （t参数）．
（1）a﹣1求Cl交点坐标
（2）C点l距离值求a．
考点IT：点直线距离公式QH：参数方程化成普通方程．菁优网版权
专题34：方程思想4Q：参数法5S：坐标系参数方程．
分析（1）曲线C参数方程化标准方程直线l参数方程化般方程联立两方程求焦点坐标
（2）曲线C点表示成P（3cosθsinθ）θ∈[02π）运点直线距离公式表示出P直线l距离结合距离值进行分析求出a值．
解答解：（1）曲线C参数方程（θ参数）化标准方程：+y21
a﹣1时直线l参数方程化般方程：x+4y﹣30
联立方程
解
椭圆C直线l交点（30）（﹣）．
（2）l参数方程（t参数）化般方程：x+4y﹣a﹣40
椭圆C点P表示成P（3cosθsinθ）θ∈[02π）
点P直线l距离d：
dφ满足tanφd值．
①﹣a﹣4≤0时a≥﹣4时
|5sin（θ+4）﹣a﹣4|≤|﹣5﹣a﹣4|5+a+417
解a8≥﹣4符合题意．
②﹣a﹣4＞0时a＜﹣4时
|5sin（θ+4）﹣a﹣4|≤|5﹣a﹣4|5﹣a﹣41﹣a17
解a﹣16＜﹣4符合题意．
点评题考查曲线参数方程点直线距离三角函数值难点根曲线C点直线l距离值求出a．
[选修45：等式选讲]
23．已知函数f（x）﹣x2+ax+4g（x）|x+1|+|x﹣1|．
（1）a1时求等式f（x）≥g（x）解集
（2）等式f（x）≥g（x）解集包含[﹣11]求a取值范围．
考点R5：绝值等式解法．菁优网版权
专题32：分类讨4R：转化法51：函数性质应5T：等式．
分析（1）a1时f（x）﹣x2+x+4g（x）|x+1|+|x﹣1|分x＞1x∈[﹣11]x∈（﹣∞﹣1）三类讨结合g（x）f（x）单调性质求f（x）≥g（x）解集[﹣1]
（2）题意：﹣x2+ax+4≥2[﹣11]恒成立⇔x2﹣ax﹣2≤0[﹣11]恒成立需解a取值范围．
解答解：（1）a1时f（x）﹣x2+x+4开口称轴x二次函数
g（x）|x+1|+|x﹣1|
x∈（1+∞）时令﹣x2+x+42x解xg（x）（1+∞）单调递增f（x）（1+∞）单调递减∴时f（x）≥g（x）解集（1]
x∈[﹣11]时g（x）2f（x）≥f（﹣1）2．
x∈（﹣∞﹣1）时g（x）单调递减f（x）单调递增g（﹣1）f（﹣1）2．
综述f（x）≥g（x）解集[﹣1]
（2）题意：﹣x2+ax+4≥2[﹣11]恒成立x2﹣ax﹣2≤0[﹣11]恒成立需解﹣1≤a≤1
a取值范围[﹣11]．
点评题考查绝值等式解法掉绝值符号关键考查分类讨思想等价转化思想综合运属中档题．
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