2013年全国统高考数学试卷（理科）（新课标Ⅰ）
选择题：题12题题5分题出四选项中符合题目求
1．（5分）已知集合A{x|x2﹣2x＞0}B{x|﹣＜x＜}（ ）
A．A∩B∅ B．A∪BR C．B⊆A D．A⊆B
2．（5分）复数z满足（3﹣4i）z|4+3i|z虚部（ ）
A．﹣4 B． C．4 D．
3．（5分）解某区中学生视力情况拟该区中学生中抽取部分学生进行调查事先已解该区学初中高中三学段学生视力情况较差异男女生视力情况差异．面抽样方法中合理抽样方法（ ）
A．简单机抽样 B．性分层抽样
C．学段分层抽样 D．系统抽样
4．（5分）已知双曲线C：（a＞0b＞0）离心率C渐线方程（ ）
A．y B．y C．y±x D．y
5．（5分）执行程序框图果输入t∈[﹣13]输出s属（ ）
A．[﹣34] B．[﹣52] C．[﹣43] D．[﹣25]
6．（5分）图水放置透明盖正方体容器容器高8cm球放容器口容器注水球面恰接触水面时测水深6cm计容器厚度球体积（ ）
A． B． C． D．
7．（5分）设等差数列{an}前n项SnSm﹣1﹣2Sm0Sm+13m（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
8．（5分）某体三视图图示该体体积（ ）
A．16+8π B．8+8π C．16+16π D．8+16π
9．（5分）设m正整数（x+y）2m展开式二项式系数值a（x+y）2m+1展开式二项式系数值b13a7bm（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
10．（5分）已知椭圆E：右焦点F（30）点F直线交椭圆EAB两点．AB中点坐标（1﹣1）E方程（ ）
A． B．
C． D．
11．（5分）已知函数f（x）|f（x）|≥axa取值范围（ ）
A．（﹣∞0] B．（﹣∞1] C．[﹣21] D．[﹣20]
12．（5分）设△AnBnCn三边长分anbncn△AnBnCn面积Snn123…b1＞c1b1+c12a1an+1an（ ）
A．{Sn}递减数列
B．{Sn}递增数列
C．{S2n﹣1}递增数列{S2n}递减数列
D．{S2n﹣1}递减数列{S2n}递增数列
二填空题：题4题题5分
13．（5分）已知两单位量夹角60°t+（1﹣t）．•0t ．
14．（5分）数列{an}前n项Snan+数列{an}通项公式an ．
15．（5分）设xθ时函数f（x）sinx﹣2cosx取值cosθ ．
16．（5分）函数f（x）（1﹣x2）（x2+ax+b）图象关直线x﹣2称f（x）值 ．
三解答题：解答应写出文字说明证明程演算步骤
17．（12分）图△ABC中∠ABC90°ABBC1P△ABC点∠BPC90°．
（1）PB求PA
（2）∠APB150°求tan∠PBA．
18．（12分）图三棱柱ABC﹣A1B1C1中CACBABAA1∠BAA160°．
（Ⅰ）证明AB⊥A1C
（Ⅱ）面ABC⊥面AA1B1BABCB2求直线A1C面BB1C1C成角正弦值．
19．（12分）批产品需进行质量检验检验方案：先批产品中取4件作检验4件产品中优质品件数记n．果n3批产品中取4件作检验优质品批产品通检验果n4批产品中取1件作检验优质品批产品通检验情况批产品通检验．假设批产品优质品率50取出产品优质品概率件产品否优质品相互独立．
（Ⅰ）求批产品通检验概率
（Ⅱ）已知件产品检验费100元抽取件产品需检验批产品作质量检验需费记X（单位：元）求X分布列数学期．
20．（12分）已知圆M：（x+1）2+y21圆N：（x﹣1）2+y29动圆P圆M外切圆N切圆心P轨迹曲线C．
（Ⅰ）求C方程
（Ⅱ）l圆P圆M相切条直线l曲线C交AB两点圆P半径长时求|AB|．
21．（12分）已知函数f（x）x2+ax+bg（x）ex（cx+d）曲线yf（x）曲线yg（x）点P（02）点P处相切线y4x+2．
（Ⅰ）求abcd值
（Ⅱ）x≥﹣2时f（x）≤kg（x）求k取值范围．
四请考生第222324题中选道作答2B铅笔答题卡选题目应题号右侧方框涂黑涂题号进行评分涂答涂首题进行评分涂选考题首题进行评分
22．（10分）（选修4﹣1：证明选讲）
图直线AB圆切线切点B点C圆∠ABC角分线BE交圆点EDB垂直BE交圆D．
（Ⅰ）证明：DBDC
（Ⅱ）设圆半径1BC延长CE交AB点F求△BCF外接圆半径．
23．已知曲线C1参数方程（t参数）坐标原点极点x轴正半轴极轴建立极坐标系曲线C2极坐标方程ρ2sinθ．
（1）C1参数方程化极坐标方程
（2）求C1C2交点极坐标（ρ≥00≤θ＜2π）．
24．已知函数f（x）|2x﹣1|+|2x+a|g（x）x+3．
（Ⅰ）a﹣2时求等式f（x）＜g（x）解集
（Ⅱ）设a＞﹣1x∈[﹣]时f（x）≤g（x）求a取值范围．
2013年全国统高考数学试卷（理科）（新课标Ⅰ）
参考答案试题解析
选择题：题12题题5分题出四选项中符合题目求
1．（5分）已知集合A{x|x2﹣2x＞0}B{x|﹣＜x＜}（ ）
A．A∩B∅ B．A∪BR C．B⊆A D．A⊆B
考点1D：集运算73：元二次等式应．菁优网版权
专题59：等式解法应5J：集合．
分析根元二次等式解法求出集合A根定义求出A∩BA∪B．
解答解：∵集合A{x|x2﹣2x＞0}{x|x＞2x＜0}
∴A∩B{x|2＜x＜﹣＜x＜0}A∪BR
选：B．
点评题考查元二次等式解法集定义属基础题．
2．（5分）复数z满足（3﹣4i）z|4+3i|z虚部（ ）
A．﹣4 B． C．4 D．
考点A5：复数运算．菁优网版权
专题5N：数系扩充复数．
分析题意 z利两复数代数形式法法化简 +iz虚部．
解答解：∵复数z满足（3﹣4i）z|4+3i|∴z+i
z虚部等
选：D．
点评题考查复数基概念两复数代数形式法法应属基础题．
3．（5分）解某区中学生视力情况拟该区中学生中抽取部分学生进行调查事先已解该区学初中高中三学段学生视力情况较差异男女生视力情况差异．面抽样方法中合理抽样方法（ ）
A．简单机抽样 B．性分层抽样
C．学段分层抽样 D．系统抽样
考点B3：分层抽样方法．菁优网版权
专题21：阅读型．
分析总体差异明显部分组成时常采分层抽样方法进行抽样．
解答解：常抽样方法：简单机抽样分层抽样系统抽样
事先已解该区学初中高中三学段学生视力情况较差异男女生视力情况差异．
解某区中学生视力情况学段分层抽样种方式具代表性较合理．
选：C．
点评题考查抽样方法考查抽样方法属基题．
4．（5分）已知双曲线C：（a＞0b＞0）离心率C渐线方程（ ）
A．y B．y C．y±x D．y
考点KC：双曲线性质．菁优网版权
专题5D：圆锥曲线定义性质方程．
分析离心率abc关系b24a2渐线方程y±x代入答案．
解答解：双曲线C：（a＞0b＞0）
离心率e4b2a2
渐线方程y±xx
选：D．
点评题考查双曲线简单性质涉渐线方程属基础题．
5．（5分）执行程序框图果输入t∈[﹣13]输出s属（ ）
A．[﹣34] B．[﹣52] C．[﹣43] D．[﹣25]
考点3B：分段函数解析式求法图象作法EF：程序框图．菁优网版权
专题27：图表型5K：算法程序框图．
分析题考查知识点程序框图分析程序中变量语句作根流程图示序知：该程序作计算分段函数函数值条件t＜1分段函数分类标准分支结构中否两条分支应语句行易函数解析式．
解答解：判断框中条件t＜1：
函数分两段t＜1t≥1
满足条件时函数解析式：s3t
满足条件时t≥1时函数解析式：s4t﹣t2
分段函数解析式：s
果输入t∈[﹣13]画出分段函数t∈[﹣13]时图象
输出s属[﹣34]．
选：A．
点评求条件结构应函数解析式分步骤：①分析流程图结构分析条件结构嵌套确定函数分段数②根判断框中条件设置分类标准③根判断框否分支应操作分析函数段解析式④前面分类进行总结写出分段函数解析式．
6．（5分）图水放置透明盖正方体容器容器高8cm球放容器口容器注水球面恰接触水面时测水深6cm计容器厚度球体积（ ）
A． B． C． D．
考点LG：球体积表面积．菁优网版权
专题11：计算题5F：空间位置关系距离．
分析设正方体底面面截球圆M圆心M正方体底面正方形中心．设球半径R根题意球心底面距离等（R﹣2）cm圆M半径4球截面圆性质建立关R方程解出R5球体积公式算出该球体积．
解答解：设正方体底面面截球圆M
圆心M正方体底面正方形中心．图．
设球半径R根题意球心底面距离等（R﹣2）cm
圆M半径4球截面圆性质R2（R﹣2）2+42
解出R5
∴根球体积公式该球体积V．
选：A．
点评题出球正方体相切问题求球体积着重考查正方体性质球截面圆性质球体积公式等知识属中档题．
7．（5分）设等差数列{an}前n项SnSm﹣1﹣2Sm0Sm+13m（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
考点83：等差数列性质85：等差数列前n项．菁优网版权
专题11：计算题54：等差数列等数列．
分析anSn关系求am+1am进公差d前n项公式Sm0求a1通项公式am2m值．
解答解：amSm﹣Sm﹣12am+1Sm+1﹣Sm3
公差dam+1﹣am1
Sm0
m﹣1＞0m＞1m0
a1﹣2
am﹣2+（m﹣1）•12解m5
解：等差数列{an}前n项Sn数列{}成等差数列
成等差数列
2•+
0+
解m5．
解：等差数列求公式（m﹣1）（a1+am﹣1）﹣2
m（a1+am）0（m+1）（a1+am+1）3
a1﹣am﹣2am+am+1+am+1+0
解m5．
选：C．
点评题考查等差数列通项公式前n项公式通项anSn关系考查学生计算力．
8．（5分）某体三视图图示该体体积（ ）
A．16+8π B．8+8π C．16+16π D．8+16π
考点L：三视图求面积体积．菁优网版权
专题16：压轴题27：图表型．
分析三视图复原体长方体半圆柱组合体三视图数出组合体长宽高求出体体积．
解答解：三视图复原体长方体半圆柱组合体图中长方体长宽高分：422半圆柱底面半径2母线长4．
∴长方体体积4×2×216
半圆柱体积×22×π×48π
体体积16+8π
选：A．
点评题考查体三视图直观图画法三视图直观图关系柱体体积计算公式空间想象力
9．（5分）设m正整数（x+y）2m展开式二项式系数值a（x+y）2m+1展开式二项式系数值b13a7bm（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
考点DA：二项式定理．菁优网版权
专题5P：二项式定理．
分析根二项式系数性质求ab利组合数计算公式解方程13a7b求m值．
解答解：∵m正整数（x+y）2m展开式二项式系数值a二项式系数性质a
理（x+y）2m+1展开式二项式系数值bb．
13a7b137 13×7×
137× 13（m+1）7（2m+1）解m6
选：B．
点评题考查二项式系数性质应组合数计算公式属中档题．
10．（5分）已知椭圆E：右焦点F（30）点F直线交椭圆EAB两点．AB中点坐标（1﹣1）E方程（ ）
A． B．
C． D．
考点K3：椭圆标准方程．菁优网版权
专题5D：圆锥曲线定义性质方程．
分析设A（x1y1）B（x2y2）代入椭圆方程利点差法．利中点坐标公式x1+x22y1+y2﹣2利斜率计算公式．化a22b2利c3解a2b2．进椭圆方程．
解答解：设A（x1y1）B（x2y2）
代入椭圆方程
相减
∴．
∵x1+x22y1+y2﹣2．
∴
化a22b2c3解a218b29．
∴椭圆E方程．
选：D．
点评熟练掌握点差法中点坐标公式斜率计算公式解题关键．
11．（5分）已知函数f（x）|f（x）|≥axa取值范围（ ）
A．（﹣∞0] B．（﹣∞1] C．[﹣21] D．[﹣20]
考点7E：等式解法．菁优网版权
专题16：压轴题59：等式解法应．
分析函数图象变换结合基初等函数图象作出函数y|f（x）|图象函数yax图象导数求切线斜率l斜率进数形结合a范围．
解答解：题意作出函数y|f（x）|图象函数yax图象
图象知：函数yax图象原点直线直线介lx轴间符合题意直线l曲线切线时函数y|f（x）|第二象限部分解析式yx2﹣2x
求导数y′2x﹣2x≤0y′≤﹣2直线l斜率﹣2
需直线yax斜率a介﹣20间a∈[﹣20]
选：D．
点评题考查等式解法数形结合解决问题关键属中档题．
12．（5分）设△AnBnCn三边长分anbncn△AnBnCn面积Snn123…b1＞c1b1+c12a1an+1an（ ）
A．{Sn}递减数列
B．{Sn}递增数列
C．{S2n﹣1}递增数列{S2n}递减数列
D．{S2n﹣1}递减数列{S2n}递增数列
考点82：数列函数特性8H：数列递推式．菁优网版权
专题16：压轴题54：等差数列等数列55：点列递数列数学纳法．
分析an+1an知△AnBnCn边BnCn定值a1bn+1+cn+1﹣2a1b1+c12a1bn+cn2a1△AnBnCn中边长BnCna1定值两边AnCnAnBn长度bn+cn2a1定值
知顶点AnBnCn焦点椭圆根bn+1﹣cn+1bn﹣cn知n→+∞时bn→cn判断△AnBnCn边BnCn高hn着n增增三角形面积公式答案．
解答解：b12a1﹣c1b1＞c1∴2a1﹣c1＞c1∴a1＞c1
∴b1﹣a12a1﹣c1﹣a1a1﹣c1＞0∴b1＞a1＞c1
b1﹣c1＜a1∴2a1﹣c1﹣c1＜a1∴2c1＞a1∴
题意+an∴bn+1+cn+1﹣2an（bn+cn﹣2an）
∴bn+cn﹣2an0∴bn+cn2an2a1∴bn+cn2a1
知顶点AnBnCn焦点椭圆
题意bn+1﹣cn+1∴a1﹣bn
∴bn+1﹣a1∴bn﹣a1
∴cn2a1﹣bn
∴[][]
[﹣]单调递增（证n1时＞0）
选：B．
点评题考查数列递推式求数列通项三角形面积海伦公式综合考查学生分析解决问题力较高思维抽象度年度全国高考试题中亮点．
二填空题：题4题题5分
13．（5分）已知两单位量夹角60°t+（1﹣t）．•0t 2 ．
考点9H：面量基定理9O：面量数量积性质运算．菁优网版权
专题5A：面量应．
分析•0式子t+（1﹣t）两边作数量积0化简出．
解答解：∵∴0
∴tcos60°+1﹣t0∴10解t2．
答案2．
点评熟练掌握量数量积运算解题关键．
14．（5分）数列{an}前n项Snan+数列{an}通项公式an （﹣2）n﹣1 ．
考点88：等数列通项公式．菁优网版权
专题54：等差数列等数列．
分析n1代入已知式子数列首项n≥2时anSn﹣Sn﹣1数列等数列公﹣2代入等数列通项公式分段答案．
解答解：n1时a1S1解a11
n≥2时anSn﹣Sn﹣1（）﹣（）
整理﹣2
数列{an}第二项开始﹣2首项﹣2公等数列
n≥2时an（﹣2）n﹣1
验证n1时式适合
答案：（﹣2）n﹣1
点评题考查等数列通项公式涉等数列判定属基础题．
15．（5分）设xθ时函数f（x）sinx﹣2cosx取值cosθ ﹣ ．
考点GP：两角差三角函数H4：正弦函数定义域值域．菁优网版权
专题16：压轴题56：三角函数求值．
分析f（x）解析式提取利两角差正弦函数公式化角正弦函数xθ时函数f（x）取值sinθ﹣2cosθsin2θ+cos2θ1联立求出cosθ值．
解答解：f（x）sinx﹣2cosx（sinx﹣cosx）sin（x﹣α）（中cosαsinα）
∵xθ时函数f（x）取值
∴sin（θ﹣α）1sinθ﹣2cosθ
sin2θ+cos2θ1
联立（2cosθ+）2+cos2θ1解cosθ﹣．
答案：﹣
点评题考查两角差正弦函数公式角三角函数间基关系正弦函数定义域值域熟练掌握公式解题关键．
16．（5分）函数f（x）（1﹣x2）（x2+ax+b）图象关直线x﹣2称f（x）值 16 ．
考点57：函数方程综合运6E：利导数研究函数值．菁优网版权
专题11：计算题16：压轴题51：函数性质应53：导数综合应．
分析题意f（﹣1）f（﹣3）0f（1）f（﹣5）0求出a8b15f（x）﹣x4﹣8x3﹣14x2+8x+15．利导数研究f（x）单调性f（x）区间（﹣∞﹣2﹣）（﹣2﹣2+）增函数区间（﹣2﹣﹣2）（﹣2++∞）减函数结合f（﹣2﹣）f（﹣2+）16f（x）值．
解答解：∵函数f（x）（1﹣x2）（x2+ax+b）图象关直线x﹣2称
∴f（﹣1）f（﹣3）0f（1）f（﹣5）0
[1﹣（﹣3）2][（﹣3）2+a•（﹣3）+b]0[1﹣（﹣5）2][（﹣5）2+a•（﹣5）+b]0
解
f（x）（1﹣x2）（x2+8x+15）﹣x4﹣8x3﹣14x2+8x+15
求导数f′（x）﹣4x3﹣24x2﹣28x+8
令f′（x）0x1﹣2﹣x2﹣2x3﹣2+
x∈（﹣∞﹣2﹣）时f′（x）＞0x∈（﹣2﹣﹣2）时f′（x）＜0
x∈（﹣2﹣2+）时f′（x）＞0 x∈（﹣2++∞）时f′（x）＜0
∴f（x）区间（﹣∞﹣2﹣）（﹣2﹣2+）增函数区间（﹣2﹣﹣2）（﹣2++∞）减函数．
∵f（﹣2﹣）f（﹣2+）16
∴f（x）值16．
答案：16．
点评题出项式函数图象关x﹣2称求函数值．着重考查函数奇偶性利导数研究函数单调性函数值求法等知识属中档题．
三解答题：解答应写出文字说明证明程演算步骤
17．（12分）图△ABC中∠ABC90°ABBC1P△ABC点∠BPC90°．
（1）PB求PA
（2）∠APB150°求tan∠PBA．
考点HP：正弦定理HR：余弦定理．菁优网版权
专题58：解三角形．
分析（I）Rt△PBC利边角关系∠PBC60°∠PBA30°．△PBA中利余弦定理求PA．
（II）设∠PBAαRt△PBC中PBsinα．△PBA中正弦定理化简求出．
解答解：（I）Rt△PBC中∴∠PBC60°∴∠PBA30°．
△PBA中余弦定理PA2PB2+AB2﹣2PB•ABcos30°．
∴PA．
（II）设∠PBAαRt△PBC中PBBCcos（90°﹣α）sinα．
△PBA中正弦定理
化．∴．
点评熟练掌握直角三角形边角关系正弦定理余弦定理解题关键．
18．（12分）图三棱柱ABC﹣A1B1C1中CACBABAA1∠BAA160°．
（Ⅰ）证明AB⊥A1C
（Ⅱ）面ABC⊥面AA1B1BABCB2求直线A1C面BB1C1C成角正弦值．
考点LW：直线面垂直LY：面面垂直MI：直线面成角．菁优网版权
专题5F：空间位置关系距离5G：空间角．
分析（Ⅰ）取AB中点O连接OCOA1A1B已知证OA1⊥ABAB⊥面OA1C进AB⊥A1C
（Ⅱ）易证OAOA1OC两两垂直．O坐标原点方x轴正||单位长建立坐标系坐标设（xyz）面BB1C1C法量解（1﹣1）求|cos＜＞|求正弦值．
解答解：（Ⅰ）取AB中点O连接OCOA1A1B
CACBOC⊥ABABAA1∠BAA160°
△AA1B等边三角形OA1⊥AB
OC∩OA1OAB⊥面OA1C
A1C⊂面OA1CAB⊥A1C
（Ⅱ）（Ⅰ）知OC⊥ABOA1⊥AB面ABC⊥面AA1B1B交线AB
OC⊥面AA1B1BOAOA1OC两两垂直．
O坐标原点方x轴正||单位长建立图示坐标系
A（100）A1（00）C（00）B（﹣100）
（10）（﹣10）（0﹣）
设（xyz）面BB1C1C法量
取y1（1﹣1）cos＜＞
直线法量余弦值绝值等直线面正弦值
直线A1C面BB1C1C成角正弦值：．
点评题考查直线面成角涉直线面垂直性质面面垂直判定属难题．
19．（12分）批产品需进行质量检验检验方案：先批产品中取4件作检验4件产品中优质品件数记n．果n3批产品中取4件作检验优质品批产品通检验果n4批产品中取1件作检验优质品批产品通检验情况批产品通检验．假设批产品优质品率50取出产品优质品概率件产品否优质品相互独立．
（Ⅰ）求批产品通检验概率
（Ⅱ）已知件产品检验费100元抽取件产品需检验批产品作质量检验需费记X（单位：元）求X分布列数学期．
考点CG：离散型机变量分布列CH：离散型机变量期方差．菁优网版权
专题5I：概率统计．
分析（Ⅰ）设第次取出4件产品中恰3件优质品事件A1第次取出4件产品全优质品事件A2第二次取出4件产品全优质品事件B1第二次取出1件产品优质品事件B2批产品通检验事件A题意A（A1B1）∪（A2B2）A1B1A2B2互斥概率加法公式条件概率代入数计算
（Ⅱ）X取值400500800分求概率分布列进期值．
解答解：（Ⅰ）设第次取出4件产品中恰3件优质品事件A1第次取出4件产品全优质品事件A2
第二次取出4件产品全优质品事件B1第二次取出1件产品优质品事件B2
批产品通检验事件A题意A（A1B1）∪（A2B2）A1B1A2B2互斥
P（A）P（A1B1）+P（A2B2）P（A1）P（B1|A1）+P（A2）P（B2|A2）
（Ⅱ）X取值400500800P（X800）P（X500）
P（X400）1﹣﹣X分布列：
X
400
500
800
P
EX400×+500×+800×50625
点评题考查离散型机变量分布列涉数学期求解属中档题．
20．（12分）已知圆M：（x+1）2+y21圆N：（x﹣1）2+y29动圆P圆M外切圆N切圆心P轨迹曲线C．
（Ⅰ）求C方程
（Ⅱ）l圆P圆M相切条直线l曲线C交AB两点圆P半径长时求|AB|．
考点J3：轨迹方程J9：直线圆位置关系．菁优网版权
专题5B：直线圆．
分析（I）设动圆半径R已知动圆P圆M外切圆N切|PM|+|PN|R+1+（3﹣R）4|NM|2椭圆定义知：动点P轨迹MN焦点4长轴长椭圆求出
（II）设曲线C意点P（xy）|PM|﹣|PN|2R﹣2≤4﹣22R≤2仅⊙P圆心（20）R2时半径方程（x﹣2）2+y24．分①l倾斜角90°时ly轴重合|AB|．②l倾斜角90°⊙M半径1≠R知lx轴行设lx轴交点Q根Q（﹣40）设l：yk（x+4）椭圆方程联立根系数关系利弦长公式出．
解答解：（I）圆M：（x+1）2+y21知圆心M（﹣10）圆N：（x﹣1）2+y29圆心N（10）半径3．
设动圆半径R
∵动圆P圆M外切圆N切∴|PM|+|PN|R+1+（3﹣R）4
|NM|2椭圆定义知：动点P轨迹MN焦点4长轴长椭圆
∴a2c1b2a2﹣c23．
∴曲线C方程（x≠﹣2）．
（II）设曲线C意点P（xy）
|PM|﹣|PN|2R﹣2≤3﹣12R≤2仅⊙P圆心（20）R2时半径方程（x﹣2）2+y24．
①l倾斜角90°ly轴重合|AB|．
②l倾斜角90°⊙M半径1≠R知lx轴行
设lx轴交点QQ（﹣40）设l：yk（x+4）
lM相切：解．
时联立7x2+8x﹣80．
∴．
∴|AB|
称性知：时|AB|．
综知：|AB|．
点评题综合考查两圆相切关系直线圆相切问题椭圆定义性质直线椭圆相交问题转化方程联立根系数关系弦长公式等基础知识需较强推理力计算力分类讨思想方法．
21．（12分）已知函数f（x）x2+ax+bg（x）ex（cx+d）曲线yf（x）曲线yg（x）点P（02）点P处相切线y4x+2．
（Ⅰ）求abcd值
（Ⅱ）x≥﹣2时f（x）≤kg（x）求k取值范围．
考点3R：函数恒成立问题6H：利导数研究曲线某点切线方程．菁优网版权
专题16：压轴题53：导数综合应．
分析（Ⅰ）f（x）g（x）进行求导已知交点处相切线曲线yf（x）曲线yg（x）点P（02）解出abcd值
（Ⅱ）（I）出f（x）g（x）解析式求出F（x）导函数通k讨判断出F（x）值判断出f（x）≤kg（x）恒成立求出k范围．
解答解：（Ⅰ）题意知f（0）2g（0）2f′（0）4g′（0）4
f′（x）2x+ag′（x）ex（cx+d+c）b2d2a4d+c4
a4b2c2d2
（Ⅱ）（I）知f（x）x2+4x+2g（x）2ex（x+1）
设F（x）kg（x）﹣f（x）2kex（x+1）﹣x2﹣4x﹣2
F′（x）2kex（x+2）﹣2x﹣42（x+2）（kex﹣1）
题设F（0）≥0k≥1
令F′（x）0x1﹣lnkx2﹣2
①1≤k＜e2﹣2＜x1≤0x∈（﹣2x1）时F′（x）＜0x∈（x1+∞）时F′（x）＞0
F（x）（﹣2x1）减（x1+∞）增F（x）[﹣2+∞）值F（x1）
F（x1）﹣x1（x1+2）≥0x≥﹣2时F（x）≥0f（x）≤kg（x）恒成立．
②ke2F′（x）2e2（x+2）（ex﹣e﹣2）x∈（﹣2+∞）时F′（x）＞0
F（x）（﹣2+∞）增F（﹣2）0x≥﹣2时F（x）≥0f（x）≤kg（x）恒成立．
③k＞e2时F′（x）＞2e2（x+2）（ex﹣e﹣2）
F（﹣2）﹣2ke﹣2+2＜0x＞﹣2时f（x）≤kg（x）恒成立
综k取值范围[1e2]．
点评题考查利导数研究曲线某点切线方程函数恒成立问题考查分类讨思想解题关键够利导数工具研究函数性质题道中档题．
四请考生第222324题中选道作答2B铅笔答题卡选题目应题号右侧方框涂黑涂题号进行评分涂答涂首题进行评分涂选考题首题进行评分
22．（10分）（选修4﹣1：证明选讲）
图直线AB圆切线切点B点C圆∠ABC角分线BE交圆点EDB垂直BE交圆D．
（Ⅰ）证明：DBDC
（Ⅱ）设圆半径1BC延长CE交AB点F求△BCF外接圆半径．
考点NC：圆关例线段．菁优网版权
专题5B：直线圆．
分析（I）连接DE交BC点G弦切角定理∠ABE∠BCE已知角分线∠ABE∠CBE∠CBE∠BCEBECE．已知DB⊥BE知DE⊙O直径Rt△DBE≌Rt△DCE利三角形全等性质DCDB．
（II）（I）知：DGBC垂直分线BG．设DE中点O连接BO∠BOG60°．∠ABE∠BCE∠CBE30°．CF⊥BF．进Rt△BCF外接圆半径．
解答（I）证明：连接DE交BC点G．
弦切角定理∠ABE∠BCE∠ABE∠CBE
∴∠CBE∠BCEBECE．
∵DB⊥BE∴DE⊙O直径∠DCE90°．
∴△DBE≌△DCE∴DCDB．
（II）（I）知：∠CDE∠BDEDBDC．
DGBC垂直分线∴BG．
设DE中点O连接BO∠BOG60°．
∠ABE∠BCE∠CBE30°．
∴CF⊥BF．
∴Rt△BCF外接圆半径．
点评题综合考查圆性质弦切角定理等边三角形性质三角形全等三角形外接圆半径等知识需较强推理力分析问题解决问题力．
23．已知曲线C1参数方程（t参数）坐标原点极点x轴正半轴极轴建立极坐标系曲线C2极坐标方程ρ2sinθ．
（1）C1参数方程化极坐标方程
（2）求C1C2交点极坐标（ρ≥00≤θ＜2π）．
考点Q4：简单曲线极坐标方程QH：参数方程化成普通方程．菁优网版权
专题11：计算题35：转化思想4R：转化法5S：坐标系参数方程．
分析（1）曲线C1参数方程消参数t普通方程求出C1极坐标方程．
（2）曲线C2极坐标方程化直角坐标方程C1普通方程联立求出C1C2交点直角坐标求出C1C2交点极坐标．
解答解：（1）消参数t化普通方程（x﹣4）2+（y﹣5）225
C1：x2+y2﹣8x﹣10y+160
代入x2+y2﹣8x﹣10y+160
ρ2﹣8ρcosθ﹣10ρsinθ+160．
∴C1极坐标方程ρ2﹣8ρcosθ﹣10ρsinθ+160．
（2）∵曲线C2极坐标方程ρ2sinθ．
∴曲线C2直角坐标方程x2+y2﹣2y0
联立
解
∴C1C2交点极坐标（）（2）．
点评题考查曲线极坐标方程求法考查两曲线交点极坐标求法考查极坐标方程直角坐标方程参数方程互化等基础知识考查推理证力运算求解力考查化转化思想函数方程思想中档题．
24．已知函数f（x）|2x﹣1|+|2x+a|g（x）x+3．
（Ⅰ）a﹣2时求等式f（x）＜g（x）解集
（Ⅱ）设a＞﹣1x∈[﹣]时f（x）≤g（x）求a取值范围．
考点R5：绝值等式解法．菁优网版权
分析（Ⅰ）a﹣2时求等式f（x）＜g（x）化|2x﹣1|+|2x﹣2|﹣x﹣3＜0．设y|2x﹣1|+|2x﹣2|﹣x﹣3画出函数y图象数形结合结．
（Ⅱ）等式化 1+a≤x+3x≥a﹣2x∈[﹣]成立分析﹣≥a﹣2解a取值范围．
解答解：（Ⅰ）a﹣2时求等式f（x）＜g（x）化|2x﹣1|+|2x﹣2|﹣x﹣3＜0．
设y|2x﹣1|+|2x﹣2|﹣x﹣3 y图象图示：
结合图象y＜0解集（02）原等式解集（02）．
（Ⅱ）设a＞﹣1x∈[﹣]时f（x）1+a等式化 1+a≤x+3
x≥a﹣2x∈[﹣]成立．
﹣≥a﹣2
解 a≤
a取值范围（﹣1]．
点评题考查绝值等式解法绝值等式性质关键利零点分段讨法分析函数解析式．
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选择题：题12题题5分题出四选项中符合题目求
1．（5分）已知集合A{x|x2﹣2x＞0}B{x|﹣＜x＜}（ ）
A．A∩B∅ B．A∪BR C．B⊆A D．A⊆B
2．（5分）复数z满足（3﹣4i）z|4+3i|z虚部（ ）
A．﹣4 B． C．4 D．
3．（5分）解某区中学生视力情况拟该区中学生中抽取部分学生进行调查事先已解该区学初中高中三学段学生视力情况较差异男女生视力情况差异．面抽样方法中合理抽样方法（ ）
A．简单机抽样 B．性分层抽样
C．学段分层抽样 D．系统抽样
4．（5分）已知双曲线C：（a＞0b＞0）离心率C渐线方程（ ）
A．y B．y C．y±x D．y
5．（5分）执行程序框图果输入t∈[﹣13]输出s属（ ）
A．[﹣34] B．[﹣52] C．[﹣43] D．[﹣25]
6．（5分）图水放置透明盖正方体容器容器高8cm球放容器口容器注水球面恰接触水面时测水深6cm计容器厚度球体积（ ）
A． B． C． D．
7．（5分）设等差数列{an}前n项SnSm﹣1﹣2Sm0Sm+13m（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
8．（5分）某体三视图图示该体体积（ ）
A．16+8π B．8+8π C．16+16π D．8+16π
9．（5分）设m正整数（x+y）2m展开式二项式系数值a（x+y）2m+1展开式二项式系数值b13a7bm（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
10．（5分）已知椭圆E：右焦点F（30）点F直线交椭圆EAB两点．AB中点坐标（1﹣1）E方程（ ）
A． B．
C． D．
11．（5分）已知函数f（x）|f（x）|≥axa取值范围（ ）
A．（﹣∞0] B．（﹣∞1] C．[﹣21] D．[﹣20]
12．（5分）设△AnBnCn三边长分anbncn△AnBnCn面积Snn123…b1＞c1b1+c12a1an+1an（ ）
A．{Sn}递减数列
B．{Sn}递增数列
C．{S2n﹣1}递增数列{S2n}递减数列
D．{S2n﹣1}递减数列{S2n}递增数列
二填空题：题4题题5分
13．（5分）已知两单位量夹角60°t+（1﹣t）．•0t ．
14．（5分）数列{an}前n项Snan+数列{an}通项公式an ．
15．（5分）设xθ时函数f（x）sinx﹣2cosx取值cosθ ．
16．（5分）函数f（x）（1﹣x2）（x2+ax+b）图象关直线x﹣2称f（x）值 ．
三解答题：解答应写出文字说明证明程演算步骤
17．（12分）图△ABC中∠ABC90°ABBC1P△ABC点∠BPC90°．
（1）PB求PA
（2）∠APB150°求tan∠PBA．
18．（12分）图三棱柱ABC﹣A1B1C1中CACBABAA1∠BAA160°．
（Ⅰ）证明AB⊥A1C
（Ⅱ）面ABC⊥面AA1B1BABCB2求直线A1C面BB1C1C成角正弦值．
19．（12分）批产品需进行质量检验检验方案：先批产品中取4件作检验4件产品中优质品件数记n．果n3批产品中取4件作检验优质品批产品通检验果n4批产品中取1件作检验优质品批产品通检验情况批产品通检验．假设批产品优质品率50取出产品优质品概率件产品否优质品相互独立．
（Ⅰ）求批产品通检验概率
（Ⅱ）已知件产品检验费100元抽取件产品需检验批产品作质量检验需费记X（单位：元）求X分布列数学期．
20．（12分）已知圆M：（x+1）2+y21圆N：（x﹣1）2+y29动圆P圆M外切圆N切圆心P轨迹曲线C．
（Ⅰ）求C方程
（Ⅱ）l圆P圆M相切条直线l曲线C交AB两点圆P半径长时求|AB|．
21．（12分）已知函数f（x）x2+ax+bg（x）ex（cx+d）曲线yf（x）曲线yg（x）点P（02）点P处相切线y4x+2．
（Ⅰ）求abcd值
（Ⅱ）x≥﹣2时f（x）≤kg（x）求k取值范围．
四请考生第222324题中选道作答2B铅笔答题卡选题目应题号右侧方框涂黑涂题号进行评分涂答涂首题进行评分涂选考题首题进行评分
22．（10分）（选修4﹣1：证明选讲）
图直线AB圆切线切点B点C圆∠ABC角分线BE交圆点EDB垂直BE交圆D．
（Ⅰ）证明：DBDC
（Ⅱ）设圆半径1BC延长CE交AB点F求△BCF外接圆半径．
23．已知曲线C1参数方程（t参数）坐标原点极点x轴正半轴极轴建立极坐标系曲线C2极坐标方程ρ2sinθ．
（1）C1参数方程化极坐标方程
（2）求C1C2交点极坐标（ρ≥00≤θ＜2π）．
24．已知函数f（x）|2x﹣1|+|2x+a|g（x）x+3．
（Ⅰ）a﹣2时求等式f（x）＜g（x）解集
（Ⅱ）设a＞﹣1x∈[﹣]时f（x）≤g（x）求a取值范围．
2013年全国统高考数学试卷（理科）（新课标Ⅰ）
参考答案试题解析
选择题：题12题题5分题出四选项中符合题目求
1．（5分）已知集合A{x|x2﹣2x＞0}B{x|﹣＜x＜}（ ）
A．A∩B∅ B．A∪BR C．B⊆A D．A⊆B
考点1D：集运算73：元二次等式应．菁优网版权
专题59：等式解法应5J：集合．
分析根元二次等式解法求出集合A根定义求出A∩BA∪B．
解答解：∵集合A{x|x2﹣2x＞0}{x|x＞2x＜0}
∴A∩B{x|2＜x＜﹣＜x＜0}A∪BR
选：B．
点评题考查元二次等式解法集定义属基础题．
2．（5分）复数z满足（3﹣4i）z|4+3i|z虚部（ ）
A．﹣4 B． C．4 D．
考点A5：复数运算．菁优网版权
专题5N：数系扩充复数．
分析题意 z利两复数代数形式法法化简 +iz虚部．
解答解：∵复数z满足（3﹣4i）z|4+3i|∴z+i
z虚部等
选：D．
点评题考查复数基概念两复数代数形式法法应属基础题．
3．（5分）解某区中学生视力情况拟该区中学生中抽取部分学生进行调查事先已解该区学初中高中三学段学生视力情况较差异男女生视力情况差异．面抽样方法中合理抽样方法（ ）
A．简单机抽样 B．性分层抽样
C．学段分层抽样 D．系统抽样
考点B3：分层抽样方法．菁优网版权
专题21：阅读型．
分析总体差异明显部分组成时常采分层抽样方法进行抽样．
解答解：常抽样方法：简单机抽样分层抽样系统抽样
事先已解该区学初中高中三学段学生视力情况较差异男女生视力情况差异．
解某区中学生视力情况学段分层抽样种方式具代表性较合理．
选：C．
点评题考查抽样方法考查抽样方法属基题．
4．（5分）已知双曲线C：（a＞0b＞0）离心率C渐线方程（ ）
A．y B．y C．y±x D．y
考点KC：双曲线性质．菁优网版权
专题5D：圆锥曲线定义性质方程．
分析离心率abc关系b24a2渐线方程y±x代入答案．
解答解：双曲线C：（a＞0b＞0）
离心率e4b2a2
渐线方程y±xx
选：D．
点评题考查双曲线简单性质涉渐线方程属基础题．
5．（5分）执行程序框图果输入t∈[﹣13]输出s属（ ）
A．[﹣34] B．[﹣52] C．[﹣43] D．[﹣25]
考点3B：分段函数解析式求法图象作法EF：程序框图．菁优网版权
专题27：图表型5K：算法程序框图．
分析题考查知识点程序框图分析程序中变量语句作根流程图示序知：该程序作计算分段函数函数值条件t＜1分段函数分类标准分支结构中否两条分支应语句行易函数解析式．
解答解：判断框中条件t＜1：
函数分两段t＜1t≥1
满足条件时函数解析式：s3t
满足条件时t≥1时函数解析式：s4t﹣t2
分段函数解析式：s
果输入t∈[﹣13]画出分段函数t∈[﹣13]时图象
输出s属[﹣34]．
选：A．
点评求条件结构应函数解析式分步骤：①分析流程图结构分析条件结构嵌套确定函数分段数②根判断框中条件设置分类标准③根判断框否分支应操作分析函数段解析式④前面分类进行总结写出分段函数解析式．
6．（5分）图水放置透明盖正方体容器容器高8cm球放容器口容器注水球面恰接触水面时测水深6cm计容器厚度球体积（ ）
A． B． C． D．
考点LG：球体积表面积．菁优网版权
专题11：计算题5F：空间位置关系距离．
分析设正方体底面面截球圆M圆心M正方体底面正方形中心．设球半径R根题意球心底面距离等（R﹣2）cm圆M半径4球截面圆性质建立关R方程解出R5球体积公式算出该球体积．
解答解：设正方体底面面截球圆M
圆心M正方体底面正方形中心．图．
设球半径R根题意球心底面距离等（R﹣2）cm
圆M半径4球截面圆性质R2（R﹣2）2+42
解出R5
∴根球体积公式该球体积V．
选：A．
点评题出球正方体相切问题求球体积着重考查正方体性质球截面圆性质球体积公式等知识属中档题．
7．（5分）设等差数列{an}前n项SnSm﹣1﹣2Sm0Sm+13m（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
考点83：等差数列性质85：等差数列前n项．菁优网版权
专题11：计算题54：等差数列等数列．
分析anSn关系求am+1am进公差d前n项公式Sm0求a1通项公式am2m值．
解答解：amSm﹣Sm﹣12am+1Sm+1﹣Sm3
公差dam+1﹣am1
Sm0
m﹣1＞0m＞1m0
a1﹣2
am﹣2+（m﹣1）•12解m5
解：等差数列{an}前n项Sn数列{}成等差数列
成等差数列
2•+
0+
解m5．
解：等差数列求公式（m﹣1）（a1+am﹣1）﹣2
m（a1+am）0（m+1）（a1+am+1）3
a1﹣am﹣2am+am+1+am+1+0
解m5．
选：C．
点评题考查等差数列通项公式前n项公式通项anSn关系考查学生计算力．
8．（5分）某体三视图图示该体体积（ ）
A．16+8π B．8+8π C．16+16π D．8+16π
考点L：三视图求面积体积．菁优网版权
专题16：压轴题27：图表型．
分析三视图复原体长方体半圆柱组合体三视图数出组合体长宽高求出体体积．
解答解：三视图复原体长方体半圆柱组合体图中长方体长宽高分：422半圆柱底面半径2母线长4．
∴长方体体积4×2×216
半圆柱体积×22×π×48π
体体积16+8π
选：A．
点评题考查体三视图直观图画法三视图直观图关系柱体体积计算公式空间想象力
9．（5分）设m正整数（x+y）2m展开式二项式系数值a（x+y）2m+1展开式二项式系数值b13a7bm（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
考点DA：二项式定理．菁优网版权
专题5P：二项式定理．
分析根二项式系数性质求ab利组合数计算公式解方程13a7b求m值．
解答解：∵m正整数（x+y）2m展开式二项式系数值a二项式系数性质a
理（x+y）2m+1展开式二项式系数值bb．
13a7b137 13×7×
137× 13（m+1）7（2m+1）解m6
选：B．
点评题考查二项式系数性质应组合数计算公式属中档题．
10．（5分）已知椭圆E：右焦点F（30）点F直线交椭圆EAB两点．AB中点坐标（1﹣1）E方程（ ）
A． B．
C． D．
考点K3：椭圆标准方程．菁优网版权
专题5D：圆锥曲线定义性质方程．
分析设A（x1y1）B（x2y2）代入椭圆方程利点差法．利中点坐标公式x1+x22y1+y2﹣2利斜率计算公式．化a22b2利c3解a2b2．进椭圆方程．
解答解：设A（x1y1）B（x2y2）
代入椭圆方程
相减
∴．
∵x1+x22y1+y2﹣2．
∴
化a22b2c3解a218b29．
∴椭圆E方程．
选：D．
点评熟练掌握点差法中点坐标公式斜率计算公式解题关键．
11．（5分）已知函数f（x）|f（x）|≥axa取值范围（ ）
A．（﹣∞0] B．（﹣∞1] C．[﹣21] D．[﹣20]
考点7E：等式解法．菁优网版权
专题16：压轴题59：等式解法应．
分析函数图象变换结合基初等函数图象作出函数y|f（x）|图象函数yax图象导数求切线斜率l斜率进数形结合a范围．
解答解：题意作出函数y|f（x）|图象函数yax图象
图象知：函数yax图象原点直线直线介lx轴间符合题意直线l曲线切线时函数y|f（x）|第二象限部分解析式yx2﹣2x
求导数y′2x﹣2x≤0y′≤﹣2直线l斜率﹣2
需直线yax斜率a介﹣20间a∈[﹣20]
选：D．
点评题考查等式解法数形结合解决问题关键属中档题．
12．（5分）设△AnBnCn三边长分anbncn△AnBnCn面积Snn123…b1＞c1b1+c12a1an+1an（ ）
A．{Sn}递减数列
B．{Sn}递增数列
C．{S2n﹣1}递增数列{S2n}递减数列
D．{S2n﹣1}递减数列{S2n}递增数列
考点82：数列函数特性8H：数列递推式．菁优网版权
专题16：压轴题54：等差数列等数列55：点列递数列数学纳法．
分析an+1an知△AnBnCn边BnCn定值a1bn+1+cn+1﹣2a1b1+c12a1bn+cn2a1△AnBnCn中边长BnCna1定值两边AnCnAnBn长度bn+cn2a1定值
知顶点AnBnCn焦点椭圆根bn+1﹣cn+1bn﹣cn知n→+∞时bn→cn判断△AnBnCn边BnCn高hn着n增增三角形面积公式答案．
解答解：b12a1﹣c1b1＞c1∴2a1﹣c1＞c1∴a1＞c1
∴b1﹣a12a1﹣c1﹣a1a1﹣c1＞0∴b1＞a1＞c1
b1﹣c1＜a1∴2a1﹣c1﹣c1＜a1∴2c1＞a1∴
题意+an∴bn+1+cn+1﹣2an（bn+cn﹣2an）
∴bn+cn﹣2an0∴bn+cn2an2a1∴bn+cn2a1
知顶点AnBnCn焦点椭圆
题意bn+1﹣cn+1∴a1﹣bn
∴bn+1﹣a1∴bn﹣a1
∴cn2a1﹣bn
∴[][]
[﹣]单调递增（证n1时＞0）
选：B．
点评题考查数列递推式求数列通项三角形面积海伦公式综合考查学生分析解决问题力较高思维抽象度年度全国高考试题中亮点．
二填空题：题4题题5分
13．（5分）已知两单位量夹角60°t+（1﹣t）．•0t 2 ．
考点9H：面量基定理9O：面量数量积性质运算．菁优网版权
专题5A：面量应．
分析•0式子t+（1﹣t）两边作数量积0化简出．
解答解：∵∴0
∴tcos60°+1﹣t0∴10解t2．
答案2．
点评熟练掌握量数量积运算解题关键．
14．（5分）数列{an}前n项Snan+数列{an}通项公式an （﹣2）n﹣1 ．
考点88：等数列通项公式．菁优网版权
专题54：等差数列等数列．
分析n1代入已知式子数列首项n≥2时anSn﹣Sn﹣1数列等数列公﹣2代入等数列通项公式分段答案．
解答解：n1时a1S1解a11
n≥2时anSn﹣Sn﹣1（）﹣（）
整理﹣2
数列{an}第二项开始﹣2首项﹣2公等数列
n≥2时an（﹣2）n﹣1
验证n1时式适合
答案：（﹣2）n﹣1
点评题考查等数列通项公式涉等数列判定属基础题．
15．（5分）设xθ时函数f（x）sinx﹣2cosx取值cosθ ﹣ ．
考点GP：两角差三角函数H4：正弦函数定义域值域．菁优网版权
专题16：压轴题56：三角函数求值．
分析f（x）解析式提取利两角差正弦函数公式化角正弦函数xθ时函数f（x）取值sinθ﹣2cosθsin2θ+cos2θ1联立求出cosθ值．
解答解：f（x）sinx﹣2cosx（sinx﹣cosx）sin（x﹣α）（中cosαsinα）
∵xθ时函数f（x）取值
∴sin（θ﹣α）1sinθ﹣2cosθ
sin2θ+cos2θ1
联立（2cosθ+）2+cos2θ1解cosθ﹣．
答案：﹣
点评题考查两角差正弦函数公式角三角函数间基关系正弦函数定义域值域熟练掌握公式解题关键．
16．（5分）函数f（x）（1﹣x2）（x2+ax+b）图象关直线x﹣2称f（x）值 16 ．
考点57：函数方程综合运6E：利导数研究函数值．菁优网版权
专题11：计算题16：压轴题51：函数性质应53：导数综合应．
分析题意f（﹣1）f（﹣3）0f（1）f（﹣5）0求出a8b15f（x）﹣x4﹣8x3﹣14x2+8x+15．利导数研究f（x）单调性f（x）区间（﹣∞﹣2﹣）（﹣2﹣2+）增函数区间（﹣2﹣﹣2）（﹣2++∞）减函数结合f（﹣2﹣）f（﹣2+）16f（x）值．
解答解：∵函数f（x）（1﹣x2）（x2+ax+b）图象关直线x﹣2称
∴f（﹣1）f（﹣3）0f（1）f（﹣5）0
[1﹣（﹣3）2][（﹣3）2+a•（﹣3）+b]0[1﹣（﹣5）2][（﹣5）2+a•（﹣5）+b]0
解
f（x）（1﹣x2）（x2+8x+15）﹣x4﹣8x3﹣14x2+8x+15
求导数f′（x）﹣4x3﹣24x2﹣28x+8
令f′（x）0x1﹣2﹣x2﹣2x3﹣2+
x∈（﹣∞﹣2﹣）时f′（x）＞0x∈（﹣2﹣﹣2）时f′（x）＜0
x∈（﹣2﹣2+）时f′（x）＞0 x∈（﹣2++∞）时f′（x）＜0
∴f（x）区间（﹣∞﹣2﹣）（﹣2﹣2+）增函数区间（﹣2﹣﹣2）（﹣2++∞）减函数．
∵f（﹣2﹣）f（﹣2+）16
∴f（x）值16．
答案：16．
点评题出项式函数图象关x﹣2称求函数值．着重考查函数奇偶性利导数研究函数单调性函数值求法等知识属中档题．
三解答题：解答应写出文字说明证明程演算步骤
17．（12分）图△ABC中∠ABC90°ABBC1P△ABC点∠BPC90°．
（1）PB求PA
（2）∠APB150°求tan∠PBA．
考点HP：正弦定理HR：余弦定理．菁优网版权
专题58：解三角形．
分析（I）Rt△PBC利边角关系∠PBC60°∠PBA30°．△PBA中利余弦定理求PA．
（II）设∠PBAαRt△PBC中PBsinα．△PBA中正弦定理化简求出．
解答解：（I）Rt△PBC中∴∠PBC60°∴∠PBA30°．
△PBA中余弦定理PA2PB2+AB2﹣2PB•ABcos30°．
∴PA．
（II）设∠PBAαRt△PBC中PBBCcos（90°﹣α）sinα．
△PBA中正弦定理
化．∴．
点评熟练掌握直角三角形边角关系正弦定理余弦定理解题关键．
18．（12分）图三棱柱ABC﹣A1B1C1中CACBABAA1∠BAA160°．
（Ⅰ）证明AB⊥A1C
（Ⅱ）面ABC⊥面AA1B1BABCB2求直线A1C面BB1C1C成角正弦值．
考点LW：直线面垂直LY：面面垂直MI：直线面成角．菁优网版权
专题5F：空间位置关系距离5G：空间角．
分析（Ⅰ）取AB中点O连接OCOA1A1B已知证OA1⊥ABAB⊥面OA1C进AB⊥A1C
（Ⅱ）易证OAOA1OC两两垂直．O坐标原点方x轴正||单位长建立坐标系坐标设（xyz）面BB1C1C法量解（1﹣1）求|cos＜＞|求正弦值．
解答解：（Ⅰ）取AB中点O连接OCOA1A1B
CACBOC⊥ABABAA1∠BAA160°
△AA1B等边三角形OA1⊥AB
OC∩OA1OAB⊥面OA1C
A1C⊂面OA1CAB⊥A1C
（Ⅱ）（Ⅰ）知OC⊥ABOA1⊥AB面ABC⊥面AA1B1B交线AB
OC⊥面AA1B1BOAOA1OC两两垂直．
O坐标原点方x轴正||单位长建立图示坐标系
A（100）A1（00）C（00）B（﹣100）
（10）（﹣10）（0﹣）
设（xyz）面BB1C1C法量
取y1（1﹣1）cos＜＞
直线法量余弦值绝值等直线面正弦值
直线A1C面BB1C1C成角正弦值：．
点评题考查直线面成角涉直线面垂直性质面面垂直判定属难题．
19．（12分）批产品需进行质量检验检验方案：先批产品中取4件作检验4件产品中优质品件数记n．果n3批产品中取4件作检验优质品批产品通检验果n4批产品中取1件作检验优质品批产品通检验情况批产品通检验．假设批产品优质品率50取出产品优质品概率件产品否优质品相互独立．
（Ⅰ）求批产品通检验概率
（Ⅱ）已知件产品检验费100元抽取件产品需检验批产品作质量检验需费记X（单位：元）求X分布列数学期．
考点CG：离散型机变量分布列CH：离散型机变量期方差．菁优网版权
专题5I：概率统计．
分析（Ⅰ）设第次取出4件产品中恰3件优质品事件A1第次取出4件产品全优质品事件A2第二次取出4件产品全优质品事件B1第二次取出1件产品优质品事件B2批产品通检验事件A题意A（A1B1）∪（A2B2）A1B1A2B2互斥概率加法公式条件概率代入数计算
（Ⅱ）X取值400500800分求概率分布列进期值．
解答解：（Ⅰ）设第次取出4件产品中恰3件优质品事件A1第次取出4件产品全优质品事件A2
第二次取出4件产品全优质品事件B1第二次取出1件产品优质品事件B2
批产品通检验事件A题意A（A1B1）∪（A2B2）A1B1A2B2互斥
P（A）P（A1B1）+P（A2B2）P（A1）P（B1|A1）+P（A2）P（B2|A2）
（Ⅱ）X取值400500800P（X800）P（X500）
P（X400）1﹣﹣X分布列：
X
400
500
800
P
EX400×+500×+800×50625
点评题考查离散型机变量分布列涉数学期求解属中档题．
20．（12分）已知圆M：（x+1）2+y21圆N：（x﹣1）2+y29动圆P圆M外切圆N切圆心P轨迹曲线C．
（Ⅰ）求C方程
（Ⅱ）l圆P圆M相切条直线l曲线C交AB两点圆P半径长时求|AB|．
考点J3：轨迹方程J9：直线圆位置关系．菁优网版权
专题5B：直线圆．
分析（I）设动圆半径R已知动圆P圆M外切圆N切|PM|+|PN|R+1+（3﹣R）4|NM|2椭圆定义知：动点P轨迹MN焦点4长轴长椭圆求出
（II）设曲线C意点P（xy）|PM|﹣|PN|2R﹣2≤4﹣22R≤2仅⊙P圆心（20）R2时半径方程（x﹣2）2+y24．分①l倾斜角90°时ly轴重合|AB|．②l倾斜角90°⊙M半径1≠R知lx轴行设lx轴交点Q根Q（﹣40）设l：yk（x+4）椭圆方程联立根系数关系利弦长公式出．
解答解：（I）圆M：（x+1）2+y21知圆心M（﹣10）圆N：（x﹣1）2+y29圆心N（10）半径3．
设动圆半径R
∵动圆P圆M外切圆N切∴|PM|+|PN|R+1+（3﹣R）4
|NM|2椭圆定义知：动点P轨迹MN焦点4长轴长椭圆
∴a2c1b2a2﹣c23．
∴曲线C方程（x≠﹣2）．
（II）设曲线C意点P（xy）
|PM|﹣|PN|2R﹣2≤3﹣12R≤2仅⊙P圆心（20）R2时半径方程（x﹣2）2+y24．
①l倾斜角90°ly轴重合|AB|．
②l倾斜角90°⊙M半径1≠R知lx轴行
设lx轴交点QQ（﹣40）设l：yk（x+4）
lM相切：解．
时联立7x2+8x﹣80．
∴．
∴|AB|
称性知：时|AB|．
综知：|AB|．
点评题综合考查两圆相切关系直线圆相切问题椭圆定义性质直线椭圆相交问题转化方程联立根系数关系弦长公式等基础知识需较强推理力计算力分类讨思想方法．
21．（12分）已知函数f（x）x2+ax+bg（x）ex（cx+d）曲线yf（x）曲线yg（x）点P（02）点P处相切线y4x+2．
（Ⅰ）求abcd值
（Ⅱ）x≥﹣2时f（x）≤kg（x）求k取值范围．
考点3R：函数恒成立问题6H：利导数研究曲线某点切线方程．菁优网版权
专题16：压轴题53：导数综合应．
分析（Ⅰ）f（x）g（x）进行求导已知交点处相切线曲线yf（x）曲线yg（x）点P（02）解出abcd值
（Ⅱ）（I）出f（x）g（x）解析式求出F（x）导函数通k讨判断出F（x）值判断出f（x）≤kg（x）恒成立求出k范围．
解答解：（Ⅰ）题意知f（0）2g（0）2f′（0）4g′（0）4
f′（x）2x+ag′（x）ex（cx+d+c）b2d2a4d+c4
a4b2c2d2
（Ⅱ）（I）知f（x）x2+4x+2g（x）2ex（x+1）
设F（x）kg（x）﹣f（x）2kex（x+1）﹣x2﹣4x﹣2
F′（x）2kex（x+2）﹣2x﹣42（x+2）（kex﹣1）
题设F（0）≥0k≥1
令F′（x）0x1﹣lnkx2﹣2
①1≤k＜e2﹣2＜x1≤0x∈（﹣2x1）时F′（x）＜0x∈（x1+∞）时F′（x）＞0
F（x）（﹣2x1）减（x1+∞）增F（x）[﹣2+∞）值F（x1）
F（x1）﹣x1（x1+2）≥0x≥﹣2时F（x）≥0f（x）≤kg（x）恒成立．
②ke2F′（x）2e2（x+2）（ex﹣e﹣2）x∈（﹣2+∞）时F′（x）＞0
F（x）（﹣2+∞）增F（﹣2）0x≥﹣2时F（x）≥0f（x）≤kg（x）恒成立．
③k＞e2时F′（x）＞2e2（x+2）（ex﹣e﹣2）
F（﹣2）﹣2ke﹣2+2＜0x＞﹣2时f（x）≤kg（x）恒成立
综k取值范围[1e2]．
点评题考查利导数研究曲线某点切线方程函数恒成立问题考查分类讨思想解题关键够利导数工具研究函数性质题道中档题．
四请考生第222324题中选道作答2B铅笔答题卡选题目应题号右侧方框涂黑涂题号进行评分涂答涂首题进行评分涂选考题首题进行评分
22．（10分）（选修4﹣1：证明选讲）
图直线AB圆切线切点B点C圆∠ABC角分线BE交圆点EDB垂直BE交圆D．
（Ⅰ）证明：DBDC
（Ⅱ）设圆半径1BC延长CE交AB点F求△BCF外接圆半径．
考点NC：圆关例线段．菁优网版权
专题5B：直线圆．
分析（I）连接DE交BC点G弦切角定理∠ABE∠BCE已知角分线∠ABE∠CBE∠CBE∠BCEBECE．已知DB⊥BE知DE⊙O直径Rt△DBE≌Rt△DCE利三角形全等性质DCDB．
（II）（I）知：DGBC垂直分线BG．设DE中点O连接BO∠BOG60°．∠ABE∠BCE∠CBE30°．CF⊥BF．进Rt△BCF外接圆半径．
解答（I）证明：连接DE交BC点G．
弦切角定理∠ABE∠BCE∠ABE∠CBE
∴∠CBE∠BCEBECE．
∵DB⊥BE∴DE⊙O直径∠DCE90°．
∴△DBE≌△DCE∴DCDB．
（II）（I）知：∠CDE∠BDEDBDC．
DGBC垂直分线∴BG．
设DE中点O连接BO∠BOG60°．
∠ABE∠BCE∠CBE30°．
∴CF⊥BF．
∴Rt△BCF外接圆半径．
点评题综合考查圆性质弦切角定理等边三角形性质三角形全等三角形外接圆半径等知识需较强推理力分析问题解决问题力．
23．已知曲线C1参数方程（t参数）坐标原点极点x轴正半轴极轴建立极坐标系曲线C2极坐标方程ρ2sinθ．
（1）C1参数方程化极坐标方程
（2）求C1C2交点极坐标（ρ≥00≤θ＜2π）．
考点Q4：简单曲线极坐标方程QH：参数方程化成普通方程．菁优网版权
专题11：计算题35：转化思想4R：转化法5S：坐标系参数方程．
分析（1）曲线C1参数方程消参数t普通方程求出C1极坐标方程．
（2）曲线C2极坐标方程化直角坐标方程C1普通方程联立求出C1C2交点直角坐标求出C1C2交点极坐标．
解答解：（1）消参数t化普通方程（x﹣4）2+（y﹣5）225
C1：x2+y2﹣8x﹣10y+160
代入x2+y2﹣8x﹣10y+160
ρ2﹣8ρcosθ﹣10ρsinθ+160．
∴C1极坐标方程ρ2﹣8ρcosθ﹣10ρsinθ+160．
（2）∵曲线C2极坐标方程ρ2sinθ．
∴曲线C2直角坐标方程x2+y2﹣2y0
联立
解
∴C1C2交点极坐标（）（2）．
点评题考查曲线极坐标方程求法考查两曲线交点极坐标求法考查极坐标方程直角坐标方程参数方程互化等基础知识考查推理证力运算求解力考查化转化思想函数方程思想中档题．
24．已知函数f（x）|2x﹣1|+|2x+a|g（x）x+3．
（Ⅰ）a﹣2时求等式f（x）＜g（x）解集
（Ⅱ）设a＞﹣1x∈[﹣]时f（x）≤g（x）求a取值范围．
考点R5：绝值等式解法．菁优网版权
分析（Ⅰ）a﹣2时求等式f（x）＜g（x）化|2x﹣1|+|2x﹣2|﹣x﹣3＜0．设y|2x﹣1|+|2x﹣2|﹣x﹣3画出函数y图象数形结合结．
（Ⅱ）等式化 1+a≤x+3x≥a﹣2x∈[﹣]成立分析﹣≥a﹣2解a取值范围．
解答解：（Ⅰ）a﹣2时求等式f（x）＜g（x）化|2x﹣1|+|2x﹣2|﹣x﹣3＜0．
设y|2x﹣1|+|2x﹣2|﹣x﹣3 y图象图示：
结合图象y＜0解集（02）原等式解集（02）．
（Ⅱ）设a＞﹣1x∈[﹣]时f（x）1+a等式化 1+a≤x+3
x≥a﹣2x∈[﹣]成立．
﹣≥a﹣2
解 a≤
a取值范围（﹣1]．
点评题考查绝值等式解法绝值等式性质关键利零点分段讨法分析函数解析式．
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