（）三角形部分
知识点汇总
1 三角形定义定义：条直线三条线段首尾次相接组成图形做三角形
组成三角形线段做三角形边相邻两边组成角做三角形角简称角相邻两边公端点三角形顶点
三角形ABC符号表示△ABC三角形ABC顶点C边ABc 表示顶点B边ACb表示顶点A边BCa表示
注意：（1）三条线段直线首尾次相接（2）三角形封闭图形
（3）△ABC三角形ABC符号标记单独△没意义．
三角形
等腰三角形
等边三角形
底边腰相等等腰三角形
等边三角形
2（1）三角形边分类：
三角形
直角三角形
斜三角形
锐角三角形
钝角三角形
（2）三角形角分类：
3三角形三边关系
三角形意两边第三边 三角形意两边差第三边
注意： （1）三边关系：两点间线段短
（2）围成三角形条件：意两边第三边．
4三角形关线段：
（1）三角形中线
三角形中连结顶点边中点线段
表示法：1AD△ABCBC中线 2BDDC05BC
3ADDABC中线
注意：①三角形中线线段②三角形三条中线全三角形部
③三角形三条中线交三角形部点
④中线三角形分成两面积相等三角形．
（2）三角形角分线
三角形角分线边相交角交点间线段
表示法：1AD△ABC∠BAC分线2∠1∠205∠BAC
3AD分ÐBAC交BCD
注意：①三角形角分线线段②三角形三条角分线全三角形部
③三角形三条角分线交三角形部点
（3）三角形高
三角形高：三角形顶点边作垂线
顶点垂足间线段做三角形高
表示法：1AD△ABCBC高 2AD⊥BCD
3∠ADB∠ADC90° 4AD△ABC高
注意：①三角形高线段：高垂线高线段垂线直线
②锐角三角形三条高全三角形部直角三角形两条高边钝角三角形两条高三角形外
③三角形三条高直线交点．（锐三角形三条高交点三角形部直角三角形三条高交战角直角顶点钝角三角形三条高交点三角形外部）
4三角形角定理
定理：三角形角等180°．
推：直角三角形两锐角互余
5三角形角外角关系：
(1)三角形三角等180°
(2)三角形外角等相邻两角
(3)三角形外角相邻角
(4)直角三角形两锐角互余
6三角形外角定义：
三角形边边延长线组成角做三角形外角
注意：顶点处两外角两外角顶角
∠ACD∠BCE△ABC外角∠ACD∠BCE 说三角形六外角顶点处选外角样三角形外角三
7 三角形外角性质
（1）三角形外角等相邻两角．
（2）三角形角相邻角．
注意：（1）相邻角容忽视
（2）作CM∥ABBCD线
∴∠A∠1∠B∠2
∠ACD∠1+∠2∠A+∠B
∠ACD>∠A∠ACD>∠B
8（1）边形定义：面线段首尾次相接组成图形做边形
边形角：边形相邻两边组成角做角
边形角公式：n边形角等（n2）·180°
边形外角：边形边邻边延长线组成角做边形外角
边形外角：边形角360°
边形角线：连接边形相邻两顶点线段做边形角线
边形角线条数：
（1）n边形顶点出发引（n3）条角线边形分词（n2）三角形
（2）n边形条角线
（2）正边形：面角相等条边相等边形做正边形
面镶嵌：重叠摆放边形面部分完全覆盖做边形覆盖面
9．三角形稳定性：
三角形三边长确定三角形形状唯确定做三角形稳定性．
注意：（1）三角形具稳定性（2）四边形没稳定性（3）边形没稳定性
二题型解析
1 三角形角定理应
例1 图已知中DEAD点
求证：
证明：AD⊥BCD∠CAD＝∠ABC
证
说明：角度定情况较两角果运三角形角等180°间接求
例2 锐角三角形ABC中∠C＝2∠B∠B范围（ ）
A B C D
分析： 锐角三角形
∠C＝2∠B ∵∠A锐角锐角
选C
例3已知三角形外角等160°两外角23三角形形状（ ）
A 锐角三角形 B 直角三角形 C 钝角三角形 D 法确定
分析：三角形外角等360°中角已知两角知道三外角度数求出进求出三角度数判断三角形形状
解：∵三角形外角等160° ∴两外角等200°
设两外角度数2x3x ∴2x+3x200解：x402x803x120
80°相邻角100° ∴三角形钝角三角形 应选C
2 三角形三边关系应
例4 已知：图中AMBC边中线
求证：
证明：延长AMDMD＝AM连接BD
中
中
说明：分析问题时首先求证式变形然通倍长中线方法相绕点旋转180°构成旋转型全等三角形ACAB2AM转化三角形中利三角形三边等关系达解决问题目然请学试着证明
3 角分线定理应
例5 图∠B＝∠C＝90°MBC中点DM分∠ADC
求证：AM分DAB
证明：M作MG⊥ADG∵DM分∠ADCMC⊥DCMG⊥AD
∴MC＝MG（角分线点角两边距离相等） ∵MC＝MB∴MG＝MB
MG⊥ADMB⊥AB∴M∠ADC分线（角两边距离相等点角分线） ∴DM分∠ADC
说明：题证明程中先角分线定理判定定理运创造条件MG＝MB时注意必证明三角形全等否重复判定定理证明程
4 全等三角形应
例6 图已知：点C∠FAE分线AC点CE⊥AECF⊥AFEF垂足点BAE延长线点DAFAB＝21AD＝9BC＝DC＝10求AC长
分析：求AC长需直角三角形ACE中知AECE长AECE均已知长度线段时需通证全等三角形利性质创设条件证出线段相等进求出AECE长问题解决
解：∵AC分∠FAECF⊥AFCE⊥AE ∴CF＝CE
∴BE＝DF
设
中
中
答：AC长17
分析：初题DE＝DF＋FE想DFFE长逐求出相加DEDFFE长法求出知办？实注意已知条件中BD＋CE＝9应想想DF＋FE否BD＋CE相关？否整体求出？想点难整体求出DF＋FEDE长
解：∵BF∠B分线 ∴∠DBF＝∠CBF DE∥BC ∴∠DFB＝∠CBF ∴∠BDF＝∠DFB ∴DF＝BD 理FE＝CE ∴DF＋FE＝BD＋CE＝9 DE＝9 选A
例7 已知：图中AB＝AC∠ACB＝90°DAC点AE垂直BD延长线E 求证：BD分∠ABC
分析：证∠ABD＝∠CBD通三角形全等证明图中存证全等三角形需设法进行构造注意已知条件特点采补形构造全等方法解决
简证：延长AE交BC延长线F 易证（ASAAAS）
难证
∴BD分∠BAC
说明：通补形构造全等沟通已知未知开解决问题通道
练题：
1 填空：等腰三角形腰中线三角形周长分成12cm21cm等腰三角形底边长____________
2 锐角中高ADBE交H点BH＝AC∠ABC＝__________
3 图示D∠ACB外角分线BA延长线交点试较∠BAC∠B关系
4求证：直角三角形两锐角相邻外角分线夹角等45°
5 图示AB＝AC∠BAC＝90°MAC中点AE⊥BM 求证：∠AMB＝∠CMD
练题答案 1 5cm 2 45°
3 分析：图示∠BAC外角
∠1＝∠2∠BAC＞∠2 ∠2外角∠2＞∠B问题证
答：∠BAC＞∠B∵∠CD分∠ACE∴∠1＝∠2 ∵∠BAC＞∠1∴∠BAC＞∠2
∵∠2＞∠B∴∠BAC＞∠B
4证明：省略
5 证明：点C作CF⊥AC交AD延长线F
∠BAC＝∠ACF＝90° AC＝AB
证明二：点A作AN分∠BAC交BMN
AN分∠BAC
AB＝AC AM＝CM
说明：图中证两角两条线段没全等三角形中求证角线段相等量代换没相等量代换设法作辅助线构造全等三角形
（二）元次等式
知识点汇总
考点1元次等式定义解法
1 元次等式定义：含未知数未知数次数1等式做元次等式
2 解元次等式步骤：（1）分母（根等式性质23）
（2） 括号（根整式运算法）
（3） 移项（根等式性质1）
（4） 合类项（根合类项法）
（5） 系数化1（根等式性质23）
提示：1等式解集般取值范围时候需求等式某特殊解整数解非负整数解整数解等解答问题关键明确解特征
2 解等式中移项解方程中移项相注意改变移项符号等号方变
3 系数化1时特注意等号方否需改变
4 解等式时步骤根等式形式灵活选择解题步骤
考点2元次等式应
步骤：审：审题分析题中已知什求什
设：设出适未知数
找：找出题中等关系抓住题中关键词少超等
解：解出列等式
答：检验结果否符合问题实际意义写出答案
提示：1审题解决问题基础根等式关系列出等式解题关键
2设未知数时出现少超等范围字眼未知数分界点范围
二题分析
例1．列等式中元次等式 （ ）
A B C D >
例2列式中元次等式（ ）
A5+4＞8 B2x－1 C2x≤5 D－3x≥0
例3解等式解集数轴表示出
例4某城市均天产生垃圾700吨甲乙两垃圾处理厂处理已知甲厂时处理垃圾55吨需费550元乙厂时处理垃圾45吨需费495元
（1）甲乙两厂时处理该城市垃圾天需时完成？
（2）果规定该城市天处理垃圾费超7370元甲厂天处理垃圾少需少时？
例5求等式正整数解
例题答案：
1解： 元次等式必须含未知数未知数次数1B等式C二元D未知数次数2选 A
2解： A选项没未知数B选项等式C选项正确D选项等式左边整式分式未知数次数1选C
3解：分母4（2x）(3x5) 括号84x3x+5
移项4x+3x58 合类项x3
等式解集数轴表示：略
4解：（1）700 答：两厂时处理天需7时
（2）设甲厂天处理垃圾x吨乙厂天处理垃圾（700x）吨根题意 解：
答：甲厂天处理垃圾少需6时
注：设未知数时少等确定词语掉求出等式解集应题解应题根实际情况取舍
5解：分母84x10(x+4)括号
移项合类项 系数化1
4正整数1234等式正整数解1234
解析求等式特殊解时需先求出等式解集解集中找出符合条件特殊解
三练题：
1数轴左右三数a1＋a－aa取值范围（ ）
Aa＜ Ba＜0 Ca＞0 Da＜－
2等式组解集数轴表示（ ）
A
B
C
D
3面直角坐标系P（2x－6x－5）第四象限x取值范围（ ）
A3＜x＜5 B－3＜x＜5 C－5＜x＜3 D－5＜x＜－3
4已知等式：①②③④四等式中取两构成正整数解2等式组（ ）
A①② B②③ C③④ D①④
5方程组解xy满足x＞ym取值范围（ ）
A B C D
6等式组解集 ．
7等式组解集
8等式组解m取值范围 ．
9等式组解集－1＜x＜1（a＋1）（b－1）值等________
10等式组解a取值范围_______________
11解等式组解集表示数轴求出等式组整数解．
12求时满足等式6x－2≥3x－4整数x值
13关xy二元次方程组中x值负数y值正数求m取值范围
1410点10分离家赶11点整火车已知家离车站10千米离家先3千米时速度走5分钟然公汽车车站问公汽车时少走少千米误次火车？
练题答案：
1D 2C 3A 4D 5D 6－1≤x＜3 7－≤x≤4 8m＞2 9－6 10a≤1
11210－1 12等式组解集整数x0 13－2＜m＜05
14解：设公汽车时少走x千米误次火车
答：公汽车时少走13千米误次火车
（三）图形坐标
知识点汇总
1确定面物体位置方法：坐标法方位距离法纬度法
2根坐标描出点位置点位置写出坐标
3直角坐标系中感受图形变换点坐标变化
4面物体位置序实数确定
5面确定物体位置般需数方法
(1)序数确定 (2)方距离（方位）确定
6面公原点互相垂直两条数轴构成面直角坐标系简称直角坐标系坐标系面做坐标面
7掌握象限x轴y轴点坐标 特点：
第象限（++）第二象限（－+）第三象限（－－）第四象限（+－）
8x轴点坐标0表示（x0）y轴点横坐标0表示（0y）
9(1)关x轴称两点：横坐标相坐标互相反数
图1
(2)关y轴称两点：坐标相横坐标互相反数
(3)关原点称两点：横坐标互相反数坐标互相反数
二例题分析
1 坐标面点序实数应
例1图1面直角坐标系中点E坐标 （ ）
－3
－2
－1
3
2
1
O
－1
－2
1
2
3
x
y
图2
A．(1 2) B．(2 1) C．(－1 2) D．(1－2)
2 图形坐标面变换点坐标
例2 图2直角坐标系中右边图案左边图案移左图案中左右眼睛坐标分(－42)(－22)右图中左眼坐标(34)右图案中右眼坐标
图4
例3已知△ABC 直角坐标系中位置图示果△A＇B＇C＇ △ABC 关y轴称点A应点A＇坐标（ ）．
A．(－42) B．(－4－2) C．(4－2) D．(42)
例题答案：
1分析点Ex轴画垂线垂足x轴应实数1点E横坐标1理点Ey轴画垂线点E坐标2点E坐标(12)选A．
2解析图2中移前左眼坐标(42)移左眼坐标(34)横坐标增加7坐标增加2根规律移特征移右眼坐标(54)
3解析关y轴称点坐标相横坐标相反图4中A点坐标(42)A点关y轴称应点坐标(42)选D
点评面直角坐标系中求图形变换点坐标应先准确作图然求坐标
三练题
1面直角坐标系中点P（－32）象限（ ）
A．第象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
2面直角坐标系中点（2－3）关原点中心称点（ ）
(A)（－32） (B)（3－2） (C)（－23） (D)（23）
3点P（﹣2）第四象限取值范围（ ）
A﹣2＜＜0 B0＜＜2 C＞2 D＜0
4面直角坐标系中▱ABCD顶点ABC坐标分(00)(30)(4．2)顶点D坐标（ ）
A (72) B (5 4) C (12) D (21)
5行四边形ABCD顶点A原点直线ADx轴建立直角坐标系已知BD点坐标分（13）（40）行四边形移2单位C点移相应点坐标（ ）
A（33） B（53） C（35） D（55）
第6题图
6图直角坐标系中鱼顶点
横坐标保持变坐标分变原
点A应点坐标（ ）
A．(－43) B．(43)
C．(－26) D．(－23)
7 已知点A（a1a+1）x轴a等______．
8．点第二四象限两条坐标轴夹角分线a b
9 已知点M（32）点N（xy）条垂直x轴直线N点x轴距离5点N坐标
第10题图
10 图面直角坐标系中△ABC绕点P旋转180°△DEF请写出P点坐标
三解答题
11△ABC面直角坐标系中位置图示．
（1）作出△ABC关轴称△写出点坐标
（2）作出△ABC 绕点O时针旋转180°△．
12 图菱形ABCD中心直角坐标系原点条边ADx轴行已知点AD坐标分（－43）（3）求BC坐标．
13图面直角坐标系中矩形OABC角线AC行x轴边OAx轴正半轴夹角30°OC2求点B坐标
答案：
选择题
1 B 2C 3B 4 C 5D 6A
二 填空题
71 823 9（35) （35) 10（11)
三解答题
11答案（1）作图图示坐标（－2－3）．
（2）图示．
12 B（3） C（43）
13解：点B作DE⊥OEE
∵矩形OABC角线AC行x轴边OAx轴正半轴夹角30°
∴∠CAO30°∴AC4∴OBAC4∴OE2∴BE2
∴点B坐标（2）
(四)次函数
知识点汇总
1次函数定义
般形（常数）函数做次函数中x变量时次函数做正例函数
⑴次函数解析式形式判断函数否次函数判断否化成形式．
⑵时次函数．
⑶时次函数．
⑷正例函数次函数特例次函数包括正例函数．
2正例函数性质
般形ykx(k常数k≠0)函数做正例函数中k做例系数
注：正例函数般形式 ykx (k零) ① k零 ② x指数1 ③ b取零
k>0时直线ykx三象限左右升x增y增k<0时直线ykx二四象限左右降x增y反减．
(1) 解析式：ykx（k常数k≠0）
(2) 必点：（00）（1k）
(3) 走：k>0时图三象限k<0时图二四象限
(4) 增减性：k>0yx增增k<0yx增减
(5) 倾斜度：|k|越越接y轴|k|越越接x轴
3次函数性质
般形ykx＋b(kb常数k≠0)y做x次函数b0时ykx＋bykx说正例函数种特殊次函数
注：次函数般形式 ykx+b (k零)： ① k零 ②x指数1 ③ b取意实数
次函数ykx+b图象（0b）（0）两点条直线称直线ykx+b作直线ykx移|b|单位长度（b>0时移b<0时移）
（1）解析式：ykx+b(kb常数k0) （2）必点：（0b）（0）
（3）走： k>0图象第三象限k<0图象第二四象限
b>0图象第二象限b<0图象第三四象限
直线第二三象限 直线第三四象限
直线第二四象限 直线第二三四象限
（4）增减性： k>0yx增增k<0yx增减
（5）倾斜度：|k|越图象越接y轴|k|越图象越接x轴
（6）图移： b>0时直线ykx图象移b单位
b<0时直线ykx图象移b单位
次
函数
符号
图象
性质
增增
增减
4次函数ykx＋b图象画法
b>0
b<0
b0
k>0
第二三象限
第三四象限
第三象限
图象左右升yx增增
k<0
第二四象限
第二三四象限
第二四象限
图象左右降yx增减
根知识：两点画出条直线画出条直线两点确定条直线画次函数图象时先描出两点连成直线般情况：先选取两坐标轴交点：（0b）横坐标坐标0点
5正例函数次函数间关系性质
次函数ykx＋b图象条直线作直线ykx移|b|单位长度（b>0时移b<0时移）
正例函数
次函数
概 念
般形ykx(k常数k≠0)函数做正例函数中k做例系数
般形ykx＋b(kb常数k≠0)y做x次函数b0时ykx说正例函数种特殊次函数
变量
范 围
X全体实数
图 象
条直线
必点
（00）（1k）
（0b）（0）
走
k>0时直线三象限
k<0时直线二四象限
k＞0b＞0直线第二三象限
k＞0b＜0直线第三四象限
k＜0b＞0直线第二四象限
k＜0b＜0直线第二三四象限
增减性
k>0yx增增（左右升）
k<0yx增减（左右降）
倾斜度
|k|越越接y轴|k|越越接x轴
图
移
b>0时直线ykx图象移单位
b<0时直线ykx图象移单位
6直线（）（）位置关系
（1）两直线行 （2）两直线相交
（3）两直线重合 （4）两直线垂直
7定系数法确定函数解析式般步骤：
（1）根已知条件写出含定系数函数关系式
（2）xy值图象点坐标代入述函数关系式中定系数未知数方程
（3）解方程出未知系数值
（4）求出定系数代回求函数关系式中出求函数解析式
二练题：
1．1≤x≤2时函数yax+6满足y<10常数a取值范围（ ）
（A）4 2．直角坐标系中已知A（11）x轴确定点P△AOP等腰三角形符合条件点P（ ）
（A）1 （B）2 （C）3 （D）4
3．直角坐标系中横坐标整数点称整点设k整数．直线yx3ykx+k交点整点时k值取（ ）
（A）2 （B）4 （C）6 （D）8
4．kb元二次方程x2+px│q│0两实根（kb≠0）次函数ykx+b中yx增减次函数图定（ ）
（A）第124象限 （B）第123象限 （C）第234象限（D）第134象限
5．点P（82）直线yx+1行次函数解析式_________．
6．yxy2x+3图交点第_________象限．
7．次函数ykx+b3≤x≤1时应y值1≤y≤9次函数解析式________．
8．设直线kx+（k+1）y10（正整数）两坐标围成图形面积Sk（k123……2008）S1+S2+…+S2008_______．
9．明学骑行车郊外春游图表示离家距离y（千米）时间x（时）间关系函数图象．
（1）根图象回答：明达离家远方需时？时离家远？
（2）求明出发两半时离家远？
（3）求明出发长时间距家12千米？
10．已知次函数图象交x轴A（60）交正例函数图象点B点B第三象限横坐标2△AOB面积6方单位求正例函数次函数解析式．
11．某租赁公司50台联合收割机中甲型20台乙型30台．现50台联合收割机派AB两收割麦中30台派A20台派B．两区该租赁公司商定天租赁价格：
甲型收割机租金
乙型收割机租金
A
1800元台
1600元台
B
1600元台
1200元台
（1）设派Ax台乙型联合收割机租赁公司50台联合收割机天获租金y（元）请x表示y注明x范围．
（2）租赁公司50台联合收割机天获租金总额低79600元说明少种分派方案种方案写出．
答案：
1．D 2．D 3．B 4．A 提示：题意△p2+4│q│>0 k·b<0
次函数ykx+b中yx增减次函数图定二四象限选A．
5．yx6．提示：设求次函数解析式ykx+b．∵直线ykx+byx+1行∴k1
∴yx+b．P（82）代入28+bb6∴求解析式yx6．
6．解方程组 ∴两函数交点坐标（）第象限．
7．y2x+7y2x+3 8．
9．（1）图象知明达离家远方需3时时离家30千米．
（2）设直线CD解析式yk1x+b1C（215）D（330）代入：y15x15（2≤x≤3）．x25时y225（千米） 答：出发两半时明离家225千米．
（3）设EF两点直线解析式yk2x+b2E（430）F（60）代入y15x+90（4≤x≤6） AB两点直线解析式yk3x
∵B（115）∴y15x．（0≤x≤1）分令y12x（时）x（时）．
答：明出发时时距家12千米．
10．设正例函数ykx次函数yax+b ∵点B第三象限横坐标2
设B（2yB）中yB<0 ∵S△AOB6∴AO·│yB│6
∴yB2点B（22）代入正例函数ykxk1．
点A（60）B（22）代入yax+b
∴yxyx3求．
11．（1）y200x+7400010≤x≤30
（2）三种方案次x282930情况．
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知识点汇总
1 三角形定义定义：条直线三条线段首尾次相接组成图形做三角形
组成三角形线段做三角形边相邻两边组成角做三角形角简称角相邻两边公端点三角形顶点
三角形ABC符号表示△ABC三角形ABC顶点C边ABc 表示顶点B边ACb表示顶点A边BCa表示
注意：（1）三条线段直线首尾次相接（2）三角形封闭图形
（3）△ABC三角形ABC符号标记单独△没意义．
三角形
等腰三角形
等边三角形
底边腰相等等腰三角形
等边三角形
2（1）三角形边分类：
三角形
直角三角形
斜三角形
锐角三角形
钝角三角形
（2）三角形角分类：
3三角形三边关系
三角形意两边第三边 三角形意两边差第三边
注意： （1）三边关系：两点间线段短
（2）围成三角形条件：意两边第三边．
4三角形关线段：
（1）三角形中线
三角形中连结顶点边中点线段
表示法：1AD△ABCBC中线 2BDDC05BC
3ADDABC中线
注意：①三角形中线线段②三角形三条中线全三角形部
③三角形三条中线交三角形部点
④中线三角形分成两面积相等三角形．
（2）三角形角分线
三角形角分线边相交角交点间线段
表示法：1AD△ABC∠BAC分线2∠1∠205∠BAC
3AD分ÐBAC交BCD
注意：①三角形角分线线段②三角形三条角分线全三角形部
③三角形三条角分线交三角形部点
（3）三角形高
三角形高：三角形顶点边作垂线
顶点垂足间线段做三角形高
表示法：1AD△ABCBC高 2AD⊥BCD
3∠ADB∠ADC90° 4AD△ABC高
注意：①三角形高线段：高垂线高线段垂线直线
②锐角三角形三条高全三角形部直角三角形两条高边钝角三角形两条高三角形外
③三角形三条高直线交点．（锐三角形三条高交点三角形部直角三角形三条高交战角直角顶点钝角三角形三条高交点三角形外部）
4三角形角定理
定理：三角形角等180°．
推：直角三角形两锐角互余
5三角形角外角关系：
(1)三角形三角等180°
(2)三角形外角等相邻两角
(3)三角形外角相邻角
(4)直角三角形两锐角互余
6三角形外角定义：
三角形边边延长线组成角做三角形外角
注意：顶点处两外角两外角顶角
∠ACD∠BCE△ABC外角∠ACD∠BCE 说三角形六外角顶点处选外角样三角形外角三
7 三角形外角性质
（1）三角形外角等相邻两角．
（2）三角形角相邻角．
注意：（1）相邻角容忽视
（2）作CM∥ABBCD线
∴∠A∠1∠B∠2
∠ACD∠1+∠2∠A+∠B
∠ACD>∠A∠ACD>∠B
8（1）边形定义：面线段首尾次相接组成图形做边形
边形角：边形相邻两边组成角做角
边形角公式：n边形角等（n2）·180°
边形外角：边形边邻边延长线组成角做边形外角
边形外角：边形角360°
边形角线：连接边形相邻两顶点线段做边形角线
边形角线条数：
（1）n边形顶点出发引（n3）条角线边形分词（n2）三角形
（2）n边形条角线
（2）正边形：面角相等条边相等边形做正边形
面镶嵌：重叠摆放边形面部分完全覆盖做边形覆盖面
9．三角形稳定性：
三角形三边长确定三角形形状唯确定做三角形稳定性．
注意：（1）三角形具稳定性（2）四边形没稳定性（3）边形没稳定性
二题型解析
1 三角形角定理应
例1 图已知中DEAD点
求证：
证明：AD⊥BCD∠CAD＝∠ABC
证
说明：角度定情况较两角果运三角形角等180°间接求
例2 锐角三角形ABC中∠C＝2∠B∠B范围（ ）
A B C D
分析： 锐角三角形
∠C＝2∠B ∵∠A锐角锐角
选C
例3已知三角形外角等160°两外角23三角形形状（ ）
A 锐角三角形 B 直角三角形 C 钝角三角形 D 法确定
分析：三角形外角等360°中角已知两角知道三外角度数求出进求出三角度数判断三角形形状
解：∵三角形外角等160° ∴两外角等200°
设两外角度数2x3x ∴2x+3x200解：x402x803x120
80°相邻角100° ∴三角形钝角三角形 应选C
2 三角形三边关系应
例4 已知：图中AMBC边中线
求证：
证明：延长AMDMD＝AM连接BD
中
中
说明：分析问题时首先求证式变形然通倍长中线方法相绕点旋转180°构成旋转型全等三角形ACAB2AM转化三角形中利三角形三边等关系达解决问题目然请学试着证明
3 角分线定理应
例5 图∠B＝∠C＝90°MBC中点DM分∠ADC
求证：AM分DAB
证明：M作MG⊥ADG∵DM分∠ADCMC⊥DCMG⊥AD
∴MC＝MG（角分线点角两边距离相等） ∵MC＝MB∴MG＝MB
MG⊥ADMB⊥AB∴M∠ADC分线（角两边距离相等点角分线） ∴DM分∠ADC
说明：题证明程中先角分线定理判定定理运创造条件MG＝MB时注意必证明三角形全等否重复判定定理证明程
4 全等三角形应
例6 图已知：点C∠FAE分线AC点CE⊥AECF⊥AFEF垂足点BAE延长线点DAFAB＝21AD＝9BC＝DC＝10求AC长
分析：求AC长需直角三角形ACE中知AECE长AECE均已知长度线段时需通证全等三角形利性质创设条件证出线段相等进求出AECE长问题解决
解：∵AC分∠FAECF⊥AFCE⊥AE ∴CF＝CE
∴BE＝DF
设
中
中
答：AC长17
分析：初题DE＝DF＋FE想DFFE长逐求出相加DEDFFE长法求出知办？实注意已知条件中BD＋CE＝9应想想DF＋FE否BD＋CE相关？否整体求出？想点难整体求出DF＋FEDE长
解：∵BF∠B分线 ∴∠DBF＝∠CBF DE∥BC ∴∠DFB＝∠CBF ∴∠BDF＝∠DFB ∴DF＝BD 理FE＝CE ∴DF＋FE＝BD＋CE＝9 DE＝9 选A
例7 已知：图中AB＝AC∠ACB＝90°DAC点AE垂直BD延长线E 求证：BD分∠ABC
分析：证∠ABD＝∠CBD通三角形全等证明图中存证全等三角形需设法进行构造注意已知条件特点采补形构造全等方法解决
简证：延长AE交BC延长线F 易证（ASAAAS）
难证
∴BD分∠BAC
说明：通补形构造全等沟通已知未知开解决问题通道
练题：
1 填空：等腰三角形腰中线三角形周长分成12cm21cm等腰三角形底边长____________
2 锐角中高ADBE交H点BH＝AC∠ABC＝__________
3 图示D∠ACB外角分线BA延长线交点试较∠BAC∠B关系
4求证：直角三角形两锐角相邻外角分线夹角等45°
5 图示AB＝AC∠BAC＝90°MAC中点AE⊥BM 求证：∠AMB＝∠CMD
练题答案 1 5cm 2 45°
3 分析：图示∠BAC外角
∠1＝∠2∠BAC＞∠2 ∠2外角∠2＞∠B问题证
答：∠BAC＞∠B∵∠CD分∠ACE∴∠1＝∠2 ∵∠BAC＞∠1∴∠BAC＞∠2
∵∠2＞∠B∴∠BAC＞∠B
4证明：省略
5 证明：点C作CF⊥AC交AD延长线F
∠BAC＝∠ACF＝90° AC＝AB
证明二：点A作AN分∠BAC交BMN
AN分∠BAC
AB＝AC AM＝CM
说明：图中证两角两条线段没全等三角形中求证角线段相等量代换没相等量代换设法作辅助线构造全等三角形
（二）元次等式
知识点汇总
考点1元次等式定义解法
1 元次等式定义：含未知数未知数次数1等式做元次等式
2 解元次等式步骤：（1）分母（根等式性质23）
（2） 括号（根整式运算法）
（3） 移项（根等式性质1）
（4） 合类项（根合类项法）
（5） 系数化1（根等式性质23）
提示：1等式解集般取值范围时候需求等式某特殊解整数解非负整数解整数解等解答问题关键明确解特征
2 解等式中移项解方程中移项相注意改变移项符号等号方变
3 系数化1时特注意等号方否需改变
4 解等式时步骤根等式形式灵活选择解题步骤
考点2元次等式应
步骤：审：审题分析题中已知什求什
设：设出适未知数
找：找出题中等关系抓住题中关键词少超等
解：解出列等式
答：检验结果否符合问题实际意义写出答案
提示：1审题解决问题基础根等式关系列出等式解题关键
2设未知数时出现少超等范围字眼未知数分界点范围
二题分析
例1．列等式中元次等式 （ ）
A B C D >
例2列式中元次等式（ ）
A5+4＞8 B2x－1 C2x≤5 D－3x≥0
例3解等式解集数轴表示出
例4某城市均天产生垃圾700吨甲乙两垃圾处理厂处理已知甲厂时处理垃圾55吨需费550元乙厂时处理垃圾45吨需费495元
（1）甲乙两厂时处理该城市垃圾天需时完成？
（2）果规定该城市天处理垃圾费超7370元甲厂天处理垃圾少需少时？
例5求等式正整数解
例题答案：
1解： 元次等式必须含未知数未知数次数1B等式C二元D未知数次数2选 A
2解： A选项没未知数B选项等式C选项正确D选项等式左边整式分式未知数次数1选C
3解：分母4（2x）(3x5) 括号84x3x+5
移项4x+3x58 合类项x3
等式解集数轴表示：略
4解：（1）700 答：两厂时处理天需7时
（2）设甲厂天处理垃圾x吨乙厂天处理垃圾（700x）吨根题意 解：
答：甲厂天处理垃圾少需6时
注：设未知数时少等确定词语掉求出等式解集应题解应题根实际情况取舍
5解：分母84x10(x+4)括号
移项合类项 系数化1
4正整数1234等式正整数解1234
解析求等式特殊解时需先求出等式解集解集中找出符合条件特殊解
三练题：
1数轴左右三数a1＋a－aa取值范围（ ）
Aa＜ Ba＜0 Ca＞0 Da＜－
2等式组解集数轴表示（ ）
A
B
C
D
3面直角坐标系P（2x－6x－5）第四象限x取值范围（ ）
A3＜x＜5 B－3＜x＜5 C－5＜x＜3 D－5＜x＜－3
4已知等式：①②③④四等式中取两构成正整数解2等式组（ ）
A①② B②③ C③④ D①④
5方程组解xy满足x＞ym取值范围（ ）
A B C D
6等式组解集 ．
7等式组解集
8等式组解m取值范围 ．
9等式组解集－1＜x＜1（a＋1）（b－1）值等________
10等式组解a取值范围_______________
11解等式组解集表示数轴求出等式组整数解．
12求时满足等式6x－2≥3x－4整数x值
13关xy二元次方程组中x值负数y值正数求m取值范围
1410点10分离家赶11点整火车已知家离车站10千米离家先3千米时速度走5分钟然公汽车车站问公汽车时少走少千米误次火车？
练题答案：
1D 2C 3A 4D 5D 6－1≤x＜3 7－≤x≤4 8m＞2 9－6 10a≤1
11210－1 12等式组解集整数x0 13－2＜m＜05
14解：设公汽车时少走x千米误次火车
答：公汽车时少走13千米误次火车
（三）图形坐标
知识点汇总
1确定面物体位置方法：坐标法方位距离法纬度法
2根坐标描出点位置点位置写出坐标
3直角坐标系中感受图形变换点坐标变化
4面物体位置序实数确定
5面确定物体位置般需数方法
(1)序数确定 (2)方距离（方位）确定
6面公原点互相垂直两条数轴构成面直角坐标系简称直角坐标系坐标系面做坐标面
7掌握象限x轴y轴点坐标 特点：
第象限（++）第二象限（－+）第三象限（－－）第四象限（+－）
8x轴点坐标0表示（x0）y轴点横坐标0表示（0y）
9(1)关x轴称两点：横坐标相坐标互相反数
图1
(2)关y轴称两点：坐标相横坐标互相反数
(3)关原点称两点：横坐标互相反数坐标互相反数
二例题分析
1 坐标面点序实数应
例1图1面直角坐标系中点E坐标 （ ）
－3
－2
－1
3
2
1
O
－1
－2
1
2
3
x
y
图2
A．(1 2) B．(2 1) C．(－1 2) D．(1－2)
2 图形坐标面变换点坐标
例2 图2直角坐标系中右边图案左边图案移左图案中左右眼睛坐标分(－42)(－22)右图中左眼坐标(34)右图案中右眼坐标
图4
例3已知△ABC 直角坐标系中位置图示果△A＇B＇C＇ △ABC 关y轴称点A应点A＇坐标（ ）．
A．(－42) B．(－4－2) C．(4－2) D．(42)
例题答案：
1分析点Ex轴画垂线垂足x轴应实数1点E横坐标1理点Ey轴画垂线点E坐标2点E坐标(12)选A．
2解析图2中移前左眼坐标(42)移左眼坐标(34)横坐标增加7坐标增加2根规律移特征移右眼坐标(54)
3解析关y轴称点坐标相横坐标相反图4中A点坐标(42)A点关y轴称应点坐标(42)选D
点评面直角坐标系中求图形变换点坐标应先准确作图然求坐标
三练题
1面直角坐标系中点P（－32）象限（ ）
A．第象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
2面直角坐标系中点（2－3）关原点中心称点（ ）
(A)（－32） (B)（3－2） (C)（－23） (D)（23）
3点P（﹣2）第四象限取值范围（ ）
A﹣2＜＜0 B0＜＜2 C＞2 D＜0
4面直角坐标系中▱ABCD顶点ABC坐标分(00)(30)(4．2)顶点D坐标（ ）
A (72) B (5 4) C (12) D (21)
5行四边形ABCD顶点A原点直线ADx轴建立直角坐标系已知BD点坐标分（13）（40）行四边形移2单位C点移相应点坐标（ ）
A（33） B（53） C（35） D（55）
第6题图
6图直角坐标系中鱼顶点
横坐标保持变坐标分变原
点A应点坐标（ ）
A．(－43) B．(43)
C．(－26) D．(－23)
7 已知点A（a1a+1）x轴a等______．
8．点第二四象限两条坐标轴夹角分线a b
9 已知点M（32）点N（xy）条垂直x轴直线N点x轴距离5点N坐标
第10题图
10 图面直角坐标系中△ABC绕点P旋转180°△DEF请写出P点坐标
三解答题
11△ABC面直角坐标系中位置图示．
（1）作出△ABC关轴称△写出点坐标
（2）作出△ABC 绕点O时针旋转180°△．
12 图菱形ABCD中心直角坐标系原点条边ADx轴行已知点AD坐标分（－43）（3）求BC坐标．
13图面直角坐标系中矩形OABC角线AC行x轴边OAx轴正半轴夹角30°OC2求点B坐标
答案：
选择题
1 B 2C 3B 4 C 5D 6A
二 填空题
71 823 9（35) （35) 10（11)
三解答题
11答案（1）作图图示坐标（－2－3）．
（2）图示．
12 B（3） C（43）
13解：点B作DE⊥OEE
∵矩形OABC角线AC行x轴边OAx轴正半轴夹角30°
∴∠CAO30°∴AC4∴OBAC4∴OE2∴BE2
∴点B坐标（2）
(四)次函数
知识点汇总
1次函数定义
般形（常数）函数做次函数中x变量时次函数做正例函数
⑴次函数解析式形式判断函数否次函数判断否化成形式．
⑵时次函数．
⑶时次函数．
⑷正例函数次函数特例次函数包括正例函数．
2正例函数性质
般形ykx(k常数k≠0)函数做正例函数中k做例系数
注：正例函数般形式 ykx (k零) ① k零 ② x指数1 ③ b取零
k>0时直线ykx三象限左右升x增y增k<0时直线ykx二四象限左右降x增y反减．
(1) 解析式：ykx（k常数k≠0）
(2) 必点：（00）（1k）
(3) 走：k>0时图三象限k<0时图二四象限
(4) 增减性：k>0yx增增k<0yx增减
(5) 倾斜度：|k|越越接y轴|k|越越接x轴
3次函数性质
般形ykx＋b(kb常数k≠0)y做x次函数b0时ykx＋bykx说正例函数种特殊次函数
注：次函数般形式 ykx+b (k零)： ① k零 ②x指数1 ③ b取意实数
次函数ykx+b图象（0b）（0）两点条直线称直线ykx+b作直线ykx移|b|单位长度（b>0时移b<0时移）
（1）解析式：ykx+b(kb常数k0) （2）必点：（0b）（0）
（3）走： k>0图象第三象限k<0图象第二四象限
b>0图象第二象限b<0图象第三四象限
直线第二三象限 直线第三四象限
直线第二四象限 直线第二三四象限
（4）增减性： k>0yx增增k<0yx增减
（5）倾斜度：|k|越图象越接y轴|k|越图象越接x轴
（6）图移： b>0时直线ykx图象移b单位
b<0时直线ykx图象移b单位
次
函数
符号
图象
性质
增增
增减
4次函数ykx＋b图象画法
b>0
b<0
b0
k>0
第二三象限
第三四象限
第三象限
图象左右升yx增增
k<0
第二四象限
第二三四象限
第二四象限
图象左右降yx增减
根知识：两点画出条直线画出条直线两点确定条直线画次函数图象时先描出两点连成直线般情况：先选取两坐标轴交点：（0b）横坐标坐标0点
5正例函数次函数间关系性质
次函数ykx＋b图象条直线作直线ykx移|b|单位长度（b>0时移b<0时移）
正例函数
次函数
概 念
般形ykx(k常数k≠0)函数做正例函数中k做例系数
般形ykx＋b(kb常数k≠0)y做x次函数b0时ykx说正例函数种特殊次函数
变量
范 围
X全体实数
图 象
条直线
必点
（00）（1k）
（0b）（0）
走
k>0时直线三象限
k<0时直线二四象限
k＞0b＞0直线第二三象限
k＞0b＜0直线第三四象限
k＜0b＞0直线第二四象限
k＜0b＜0直线第二三四象限
增减性
k>0yx增增（左右升）
k<0yx增减（左右降）
倾斜度
|k|越越接y轴|k|越越接x轴
图
移
b>0时直线ykx图象移单位
b<0时直线ykx图象移单位
6直线（）（）位置关系
（1）两直线行 （2）两直线相交
（3）两直线重合 （4）两直线垂直
7定系数法确定函数解析式般步骤：
（1）根已知条件写出含定系数函数关系式
（2）xy值图象点坐标代入述函数关系式中定系数未知数方程
（3）解方程出未知系数值
（4）求出定系数代回求函数关系式中出求函数解析式
二练题：
1．1≤x≤2时函数yax+6满足y<10常数a取值范围（ ）
（A）4
（A）1 （B）2 （C）3 （D）4
3．直角坐标系中横坐标整数点称整点设k整数．直线yx3ykx+k交点整点时k值取（ ）
（A）2 （B）4 （C）6 （D）8
4．kb元二次方程x2+px│q│0两实根（kb≠0）次函数ykx+b中yx增减次函数图定（ ）
（A）第124象限 （B）第123象限 （C）第234象限（D）第134象限
5．点P（82）直线yx+1行次函数解析式_________．
6．yxy2x+3图交点第_________象限．
7．次函数ykx+b3≤x≤1时应y值1≤y≤9次函数解析式________．
8．设直线kx+（k+1）y10（正整数）两坐标围成图形面积Sk（k123……2008）S1+S2+…+S2008_______．
9．明学骑行车郊外春游图表示离家距离y（千米）时间x（时）间关系函数图象．
（1）根图象回答：明达离家远方需时？时离家远？
（2）求明出发两半时离家远？
（3）求明出发长时间距家12千米？
10．已知次函数图象交x轴A（60）交正例函数图象点B点B第三象限横坐标2△AOB面积6方单位求正例函数次函数解析式．
11．某租赁公司50台联合收割机中甲型20台乙型30台．现50台联合收割机派AB两收割麦中30台派A20台派B．两区该租赁公司商定天租赁价格：
甲型收割机租金
乙型收割机租金
A
1800元台
1600元台
B
1600元台
1200元台
（1）设派Ax台乙型联合收割机租赁公司50台联合收割机天获租金y（元）请x表示y注明x范围．
（2）租赁公司50台联合收割机天获租金总额低79600元说明少种分派方案种方案写出．
答案：
1．D 2．D 3．B 4．A 提示：题意△p2+4│q│>0 k·b<0
次函数ykx+b中yx增减次函数图定二四象限选A．
5．yx6．提示：设求次函数解析式ykx+b．∵直线ykx+byx+1行∴k1
∴yx+b．P（82）代入28+bb6∴求解析式yx6．
6．解方程组 ∴两函数交点坐标（）第象限．
7．y2x+7y2x+3 8．
9．（1）图象知明达离家远方需3时时离家30千米．
（2）设直线CD解析式yk1x+b1C（215）D（330）代入：y15x15（2≤x≤3）．x25时y225（千米） 答：出发两半时明离家225千米．
（3）设EF两点直线解析式yk2x+b2E（430）F（60）代入y15x+90（4≤x≤6） AB两点直线解析式yk3x
∵B（115）∴y15x．（0≤x≤1）分令y12x（时）x（时）．
答：明出发时时距家12千米．
10．设正例函数ykx次函数yax+b ∵点B第三象限横坐标2
设B（2yB）中yB<0 ∵S△AOB6∴AO·│yB│6
∴yB2点B（22）代入正例函数ykxk1．
点A（60）B（22）代入yax+b
∴yxyx3求．
11．（1）y200x+7400010≤x≤30
（2）三种方案次x282930情况．
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