第1讲 数学文化核心素养类试题
「考情研析」 数学文化数学知识相结合效考查考生阅读理解力抽象概括力转化化力体现数学应性考查体现国数学文化源远流长．高考中选择题形式出现难度中等．
核心知识回顾
1古代数学书籍九章算术数书九章等书背景数学文化类题目．
2．高等数学相衔接题目类特殊函数：取整函数狄利克雷函数符号函数．
3．课阅读课题背景数学文化类题目：割圆术阿氏圆等．
4．中外典数学问题背景题目：回文数匹克定理哥尼斯堡七桥问题四色猜想等典数学问题．
热点考探究
考1 三角函数中数学文化
例1 (2020·河北省衡水中学第九次调研考试)国古代数学家秦九韶数书九章中记述三斜求积术现代式子表示：△ABC中角ABC边分abc△ABC面积S＝根公式a cos B＋(b＋3c)cos A＝0a2－b2－c2＝2△ABC面积( )
A． B．2
C． D．2
答案 A
解析 a cos B＋(b＋3c)cos A＝0sin A cos B＋cos A sin B＋3sin C cos A＝0sin (A＋B)＋3sin C cos A＝0sin C(1＋3cos A)＝0sin C≠0cos A＝－余弦定理a2－b2－c2＝－2bc cos A＝bc＝2bc＝3△ABC面积公式S＝＝＝选A
国南宋数学家秦九韶发现三斜求积术然海伦公式(S＝中p＝(a＋b＋c))形式样两者完全等价填补国传统数学项空白．
(2020·湖南省长郡中学高三第三次适应性考试)世纪末河南出土鹤尺骨(翅骨)制成骨笛(图1)充分展示国古代高超音律艺术先进数学水印证国古代音律历法密切联系．图2骨笛测量春(秋)分夏(冬)示意图．图3某骨笛部分测量数(骨笛弯曲忽略计)夏(冬)日光(日正午太阳光线)春秋分日光(日正午太阳光线)夹角等黄赤交角．
历法理知黄赤交角1万年持续减正切值应年代表：
根信息通计算黄赤交角估计该骨笛致年代( )
A．早公元前6000年
B．公元前2000年公元元年
C．公元前4000年公元前2000年
D．公元前6000年公元前4000年
答案 A
解析 题意设冬日光垂直线夹角α春秋分日光垂直线夹角βα－β冬日光春秋分日光夹角黄赤交角图3似画出图面图形tan α＝＝16tan β＝＝066tan (α－β)＝＝≈0457
∵0455<0457<0461∴估计该骨笛致年代早公元前6000年．
考2 数列中数学文化
例2 (选)(2020·山东省青岛市高三三模)悠久灿烂中国古代文化中数学文化中朵绚丽奇葩．张丘建算国古代标志性容丰富众数学名著约创作公元五世纪．书中问题：女善织日益功疾初日织五尺月织九匹三丈问日益？意：女子擅长织布织布速度天天快第二天起天前天织相数量布第天织5尺月织九匹三丈问第二天起天前天织少尺布？已知1匹＝4丈1丈＝10尺月30天记该女子月中第n天织布尺数anbn＝2an数列{an}{bn}列选项中正确( )
A．b10＝8b5 B．{bn}等数列
C．a1b30＝105 D．＝
答案 BD
解析 题意知数列{an}等差数列设数列{an}公差da1＝5题意30a1＋＝390解d＝∴an＝a1＋(n－1)d＝∵bn＝2an∴＝＝2an＋1－an＝2d(非零常数)数列{bn}等数列B正确∵5d＝5×＝≠3＝(2d)5＝25d≠23∴b10≠8b5A错误a30＝a1＋29d＝5＋16＝21∴a1b30＝5×221>105C错误a4＝a1＋3d＝5＋3×＝a5＝a1＋4d＝5＋4×＝∴＝＝＝D正确．选BD
题传统数学文化载体考查数列实际应问题．解题关键古代实际问题转化现代数学问题建立等差等数列模型探索掌握基数量关系利方程思想求解．
(2020·福建省宁德市二模)著名物理学家李政道说：科学艺术分割．音乐中乐音高度意定严格数学方法确定．国明代数学家音乐理家朱载堉创立十二均律第利数学音律公式化．十二均律生律法精确规定八度例八度分成13半音相邻两半音间频率常数表示中a1a2…a13表示半音频率满足log2＝1(i＝12…12)某半音D#频率该半音( )
频率
a1
a2
a3
a4
a5
a6
a7
a8
a9
a10
a11
a12
a13
半音
C
C#
D
D#
E
F
F#
G
G#
A
A#
B
C(八度)
AF# B．G
C．G# D．A
答案 B
解析 题意知log2＝1(i＝12…12)∴＝2数列{an}公q＝2等数列．
∵a4＝D#a8＝a4q4＝D#×(2)4＝D#×＝G
∴＝选B
考3 立体中数学文化
例3 国齐梁时代数学家祖暅提出条原理：幂势积容异．意思：两等高体等高处水截面面积相等两体体积相等．椭球体椭圆绕轴旋转成旋转体．图底面直径2b高皆a椭半球体已挖圆锥体圆柱放置面β行面β面β意距离d处面截两体横截S圆S环两截面．证明S圆＝S环总成立．半短轴长1半长轴长3椭球体体积________．
答案 4π
解析 S圆＝S环总成立半椭球体体积πb2a－πb2a＝πb2a椭球体体积V＝πb2a椭球体半短轴长1半长轴长3椭球体体积V＝πb2a＝π×12×3＝4π答案4π
托立体传播数学文化．立体中国古代数学重研究容中国古代数学中挖掘素材考查立体线面位置关系体体积等知识符合考生认知水引导学生关注中华优秀传统文化．
(2020·山东省潍坊市模拟)唐狩猎景象浮雕银杯图1示浮雕摹国画漆绘墓室壁画体现古智慧工艺．盛酒部分似作半球圆柱组合体(假设壁表面光滑忽略杯壁厚度)图2示．已知球半径R酒杯壁表面积πR2设酒杯部分(圆柱)体积V1部分(半球)体积V2＝( )
A．2 B．
C．1 D．
答案 A
解析 球半径R半球部表面积2πR2酒杯壁表面积πR2∴圆柱侧面积πR2设圆柱高h2πR·h＝πR2h＝R∴V1＝πR2·R＝πR3V2＝πR3∴＝＝2选A
考4 概率中数学文化
例4 (2020·河北省张家口高三5月模拟)角谷猜想3n＋1猜想日数学家角谷静夫发现指正整数果奇数3加1果偶数2循环终够1：取n＝6根述程出631051684219数．n＝5根述程出整数中机选取两数两数偶数概率( )
A． B．
C． D．
答案 C
解析 n＝5根述程出整数5168421机选取两数基事件总数n＝C＝15两数偶数包含基事件数m＝C＝6两数偶数概率P＝＝＝选C
数学文化渗透概率数学中丰富数学概率知识提高学生文化素养．解决类问题关键构建合理概率模型利相应概率计算公式求解
(2020·河南省六市高三模)五行学说华夏民族创造哲学思想华夏文明重组成部分．古认天万物皆金木水火土五类元素组成图分金木水火土彼间存相生相克关系．5类元素中选2类元素2类元素相生概率( )
A B．
C． D．
答案 A
解析 金木水火土彼间存相生相克关系．5类元素中选2类元素基事件总数n＝C＝102类元素相生包含基事件52类元素相生概率P＝＝选A
考5 数学文化现代科学
例5 2016年1月14日国防科工局宣布嫦娥四号务已通探月工程重专项领导组审议正式开始实施．图示假设嫦娥四号卫星月转移轨道飞月球月球附点P变轨进入月球球心F焦点椭圆轨道Ⅰ绕月飞行卫星P点第二次变轨进入F焦点椭圆轨道Ⅱ绕月飞行．2c12c2分表示椭圆轨道ⅠⅡ焦距2a12a2分表示椭圆轨道ⅠⅡ长轴长出列式子：
①a1＋c1＝a2＋c2②a1－c1＝a2－c2③<
④c1a2>a1c2
中正确式子序号( )
A．①③ B．①④
C．②③ D．②④
答案 D
解析 观察题图知a1>a2c1>c2∴a1＋c1>a2＋c2①式正确a1－c1＝a2－c2＝|PF|②式正确a1－c1＝a2－c2>0c1>c2>0知<a1c2>④式正确③式正确．
(1)命题者抓住嫦娥奔月古老现代浪漫话题探测卫星轨道背景抽象出条称轴焦点顶点两椭圆性质加减方式构造两等式两等式考查椭圆性质谓匠心独运．
(2)注意椭圆轨道ⅠⅡ顶点P焦点F题目四式子涉长半轴长半焦距焦距入手求解关键题考生数学力进行较
全面考查道名副实中见常中见新蕴文化现代科学技术应中题．
(2020·北京市东城区模拟)
标准数远视力表(图)采五分记录法国独创视力记录方式标准数远视力表行正方形E形视标视力52视标行开始行E边长方行E边长倍视力41视标边长a视力49视标边长( )
A．10a
B．10a
C．10a
D．10a
答案 C
解析 设第n行视标边长an第n－1行视标边长an－1题意an－1＝an⇔＝10数列{an}公10等数列a10＝a＝10a视力49视标边长10a选C
真题押题
『真题检验』
1．(2020·新高考卷Ⅰ)日晷中国古代测定时间仪器利晷面垂直晷针投射晷面影子测定时间．球成球(球心记O)球点A纬度指OA球赤道面成角点A处水面指点AOA垂直面．点A处放置日晷晷面赤道面行点A处纬度北纬40°晷针点A处水面成角( )
A．20° B．40°
C．50° D．90°
答案 B
解析 画出截面图图示中CD赤道面截线l点A处水面截线题意知OA⊥lAB晷针直线m晷面截线题意晷面赤道面行晷针晷面垂直根面行性质定理m∥CD根线面垂直定义AB⊥m∠AOC＝40°m∥CD∠OAG＝∠AOC＝40°∠OAG＋∠GAE＝∠BAE＋∠GAE＝90°∠BAE＝∠OAG＝40°晷针点A处水面成角∠BAE＝40°选B
2．(2020·全国卷Ⅱ)北京天坛圜丘坛古代祭天场分中三层层中心块圆形石板(称天心石)环绕天心石砌9块扇面形石板构成第环外环次增加9块层第环层环9块外环次增加9块已知层环数相层中层729块三层扇面形石板(含天心石)( )
A．3699块 B．3474块
C．3402块 D．3339块
答案 C
解析 设第n环扇面形石板块数an第层n环数列{an}9首项9公差等差数列an＝9＋(n－1)×9＝9n设Sn数列{an}前n项第层第二层第三层块数分SnS2n－SnS3n－S2n层中层729块S3n－S2n＝S2n－Sn＋729－＝－＋7299n2＝729解n＝9S3n＝S27＝＝3402选C
3 (2019·全国卷Ⅱ)中国悠久金石文化印信金石文化代表．印信形状长方体正方体圆柱体南北时期官员独孤信印信形状半正面体(图1)半正面体两种两种正边形围成面体．半正面体体现数学称美．图2棱数48半正面体顶点正方体表面正方体棱长1该半正面体________面棱长________．
答案 26 －1
解析 先求面数两种方法．
解法：半正面体结构特征棱数48知部分9面中间部分8面部分9面2×9＋8＝26()面．
解法二：般凸面体顶点数(V)＋面数(F)－棱数(E)＝2(欧拉公式)图形知棱数48半正面体顶点数24V＋F－E＝2面数F＝2＋E－V＝2＋48－24＝26求棱长．
作中间部分横截面题意知该截面顶点边长1正方形正八边形ABCDEFGH图设正八边形边长x正八边形边长半正面体棱
长．连接AFHG分作HM⊥AFGN⊥AF垂足分MNAM＝MH＝NG＝NF＝xAM＋MN＋NF＝1x＋x＋x＝1解x＝－1半正面体棱长－1
『金版押题』
4．天干支纪年法(简称干支纪年法)中国历法古直纪年方法．天干十：甲乙丙丁戊庚辛壬癸支十二：子丑寅卯辰巳午未申酉戌亥．干支纪年法中天干支应规律表：
天干
甲
乙
丙
丁
戊
庚
辛
壬
癸
甲
乙
丙
…
支
子
丑
寅
卯
辰
巳
午
未
申
酉
戌
亥
子
…
干支纪年
甲子年
乙丑年
丙寅年
丁卯年
戊辰年
巳年
庚午年
辛未年
壬申年
癸酉年
甲戌年
乙亥年
丙子年
…
2049年新中国成立100周年．百年中国逐步实现中华民族伟复兴．干支纪年法2049年巳年2059年________年干支纪年法________种干支纪年．
答案 卯 60
解析 根题意天干十甲乙丙丁戊庚辛壬癸支十二子丑寅卯辰巳午未申酉戌亥相配序：甲子乙丑丙寅…癸酉甲戌乙亥丙子…癸未甲申乙酉丙戌…癸巳…2049年巳年2059年卯年天干10公差等差数列支12公差等差数列天干支60种组合干支纪年法60种干支纪年．
专题作业
选择题
1．(2020·山东省烟台市模拟)九章算术国古代数学名著．全书方田粟米衰分少广商功均输盈足方程勾股九章收246生产生活实践联系应问题．第六章均输中样道题目：五分五钱令二三等问？意思：现五分5钱成等差数列较两份等较少三份问五少？题中意两差值( )
A． B．
C． D．
答案 B
解析 设分钱数构成等差数列{an}公差d>0题意a1＋a2＋a3＝a4＋a5S5＝53a1＋3d＝2a1＋7d5a1＋10d＝5解a1＝d＝意两差值4d＝选B
2．中国古代数学著作算法统宗中样问题：三百七十八里关初步健步难次日脚痛减半六关见次日行里数请公仔细算相．意：走378里路第天健步行走第二天起脚痛天走路程前天半走6天达目．该第五天走路程( )
A．48里 B．24里
C．12里 D．6里
答案 C
解析 设第天路程a1里＝378a1＝192a5＝192×＝12
3 (2020·河北六校联考)玉琮中国古代玉器中重礼器神纹玉琮王新石器时代良渚文化典型玉器1986年出土浙江省余杭县反山文化遗址．图玉琮王通高88 cm孔径49 cm外径176 cm琮体四面琢刻完整兽面神图象兽面两侧浅浮雕鸟纹器形呈扁矮方柱体圆外方端圆面射中心垂直相透圆孔．估计该神纹玉琮王体积(单位：cm3)( )
A．6250 B．3050
C．2850 D．2350
答案 D
解析 题意该神纹玉琮王致成底面正方形边长176 cm高88 cm长方体掉底面直径49 cm高88 cm圆柱剩余部分体积176×176×88－π××88≈2560(cm3)该神纹玉琮王外面方形偏低掉雕刻部分结合选项估计该神纹玉琮王体积2350 cm3
4．中国发现研究勾股定理古老国家古代数学家称直角三角形较短直角边勾直角边股斜边弦三边长组成组数称勾股数．现1～1515数中机抽取3数三数勾股数概率( )
A． B．
C． D．
答案 C
解析 15数中机抽取3数基事件数C中勾股数(345)(6810)(91215)(51213)4概率P＝＝选C
5．阿基米德(公元前287年～公元前212年)仅著名物理学家著名数学家利逼法椭圆面积圆周率等椭圆长半轴短半轴积．椭圆C称轴坐标轴焦点y轴椭圆离心率面积12π椭圆C方程( )
A．＋＝1 B．＋＝1
C．＋＝1 D．＋＝1
答案 A
解析 题意解a＝4b＝3椭圆焦点y轴椭圆C方程＋＝1选A
6．(2020·山东省泰安市模拟)国古代数学名著九章算术中记载：刍甍者袤广袤广．刍草．甍屋盖．底面正方形屋脊形状面体(图示)底面边长2正方形棱EF＝EF∥面ABCDEF面ABCD距离2该刍甍体积( )
A6 B．
C． D．12
答案 B
解析 图作FN∥AEFM∥ED面体分割棱柱棱锥两部分该刍甍体积VF－MNBC＋VADE－NMF＝S四边形MNBC×2＋S直截面×＝×2××2＋×＝选B
7．(2020·江西省九江市二模)算盘中国传统计算工具形长方周木框贯直柱俗称档档中横梁梁两珠珠作数五梁五珠珠作数．算珠梁部分珠梁部分珠．例：十位档拨颗珠颗珠位档拨颗珠表示数字65十百千位档中机选择档拨颗珠机选择两档位拨颗珠拨数字200概率( )
A B．
C． D．
答案 D
解析 十百千位档中机选择档拨颗珠机选择两档位拨颗珠题意拨数字n＝CC＝24种情况拨数字200包含两种情况：①珠拨千位档百位档CC＝12种②珠拨位档十位档珠颗拨千位档CC＝6种拨数字200包含基事件m＝12＋6＝18种拨数字200概率P＝＝＝选D
8．九章算术国古代数学名著学中研究西方早千年．例堑堵指底面直角三角形侧棱垂直底面三棱柱阳马指底面矩形侧棱垂直底面四棱锥．图堑堵ABC－A1B1C1中AC⊥BCA1A＝AB＝2阳马B－A1ACC1体积时堑堵ABC－A1B1C1体积( )
A． B．
C．2 D．2
答案 C
解析 阳马定义知VB－A1ACC1＝A1A·AC·BC＝AC·BC≤(AC2＋BC2)＝AB2＝仅AC＝BC＝时等号成立阳马B－A1ACC1体积时堑堵ABC－A1B1C1体积×××2＝2选C
9．(2020·四川省达州市模拟)斗拱中国古典建筑富装饰性构件中国特．图1图2斗拱实物图图3斗拱构件斗体．图中斗棱台长方体形凹槽(长方体掉长方体)组成．棱台两底面面积分400 cm2900 cm2高9 cm长方体形凹槽体积4300 cm3斗体积( )
注：台体体积公式V＝(S′＋＋S)h
A．5700 cm3 B．8100 cm3
C．10000 cm3 D．9000 cm3
答案 C
解析 ∵斗棱台长方体形凹槽(长方体掉长方体)组成棱台两底面面积分400 cm2900 cm2高9 cm长方体形凹槽体积4300 cm3∴斗体积V＝×(400＋＋900)×9＋4300＝10000(cm3)选C
10 (2020·辽宁省葫芦岛市模拟)球公转轨道作太阳焦点椭圆根开普勒行星运动第二定律知太阳球连线相等时间扫相等面积．某学结合物理理知识结：
①球太阳距离取值值时球分位图中A点B点
②已知球公转轨道长半轴长约149600000千米短半轴长约149580000千米该椭圆离心率约1该椭圆似圆形
③已知国逢春分(3月21日前)秋分(9月23日前)球会分运行图中C点D点知国年夏半年(春分秋分)冬半年(年秋分次年春分)少天．
结正确( )
A．① B．①②
C．②③ D．①③
答案 A
解析 ①球太阳距离值a－c值a＋c球分位图中A点B点显然正确②离心率e＝＝＝根题意a≈149600000b≈149580000≈1e≈0离心率应该约0③根开普勒行星运动第二定律球D点C点运行速度较快历时间较短夏半年冬半年天．选A
二填空题
11．数学文化许奇妙联系诗中回文诗：忆父妻忆夫读逆读．数学中回文数34312521等两位数回文数112233…999三位数回文数中偶数概率________．
答案
解析 三位数回文数ABA
A199种1B12B23B3…
B0910种A0AA1AA2AA3A…9×10＝90
中ABA偶数A偶数4种2B24B46B68B8B0910种A0AA1AA2AA3A…4×10＝40
∴三位数回文数中偶数概率P＝＝
12．孙子算国古代数学名著书中问题：五等诸侯分橘子六十颗加三颗．问：五？意思5分60橘子分橘子数成公差3等差数列问5少橘子．问题中橘子少橘子数________．
答案 6
解析 设分橘子数构成等差数列{an}首项a1公差3S5＝5a1＋×3＝60解a1＝6橘子少橘子数6
13．(2020·山东省泰安市高三模)易中国传统文化中精髓图易八卦(含乾坤巽震坎离艮兑八卦)卦三根线组成表示根阳线表示根阴线八卦中取两卦两卦六根线中恰两根阳线四根阴线概率________．
答案
解析 观察八卦图知含3根阴线1卦含3根阳线1卦含2根阴线1根阳线3卦
含1根阴线2根阳线3卦∴八卦中取两卦两卦六根线恰两根阳线四根阴线概率P＝＝
14．国物权法规定：建造建筑物违反国家关工程建设标准妨碍相邻建筑物通风采光日．已知某区住宅楼底部均水面楼高均45 m规定该区住宅楼楼间距应52 m．该区某居民距离楼底27 m高处某阳台观测点测该区正面住宅楼楼顶仰角楼底俯角45°该区住宅楼楼间距实际________ m
答案 54
解析 设两住宅楼楼间距实际x m图根题意tan ∠DCA＝tan ∠DCB＝＝∠DCA＋∠DCB＝45°tan (∠DCA＋∠DCB)＝＝1整理x2－45x－27×18＝0解x＝54x＝－9(舍)该区住宅楼楼间距实际54 m．
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第1讲 数学文化核心素养类试题
「考情研析」 数学文化数学知识相结合效考查考生阅读理解力抽象概括力转化化力体现数学应性考查体现国数学文化源远流长．高考中选择题形式出现难度中等．
核心知识回顾
1古代数学书籍九章算术数书九章等书背景数学文化类题目．
2．高等数学相衔接题目类特殊函数：取整函数狄利克雷函数符号函数．
3．课阅读课题背景数学文化类题目：割圆术阿氏圆等．
4．中外典数学问题背景题目：回文数匹克定理哥尼斯堡七桥问题四色猜想等典数学问题．
热点考探究
考1 三角函数中数学文化
例1 (2020·河北省衡水中学第九次调研考试)国古代数学家秦九韶数书九章中记述三斜求积术现代式子表示：△ABC中角ABC边分abc△ABC面积S＝根公式a cos B＋(b＋3c)cos A＝0a2－b2－c2＝2△ABC面积( )
A． B．2
C． D．2
答案 A
解析 a cos B＋(b＋3c)cos A＝0sin A cos B＋cos A sin B＋3sin C cos A＝0sin (A＋B)＋3sin C cos A＝0sin C(1＋3cos A)＝0sin C≠0cos A＝－余弦定理a2－b2－c2＝－2bc cos A＝bc＝2bc＝3△ABC面积公式S＝＝＝选A
国南宋数学家秦九韶发现三斜求积术然海伦公式(S＝中p＝(a＋b＋c))形式样两者完全等价填补国传统数学项空白．
(2020·湖南省长郡中学高三第三次适应性考试)世纪末河南出土鹤尺骨(翅骨)制成骨笛(图1)充分展示国古代高超音律艺术先进数学水印证国古代音律历法密切联系．图2骨笛测量春(秋)分夏(冬)示意图．图3某骨笛部分测量数(骨笛弯曲忽略计)夏(冬)日光(日正午太阳光线)春秋分日光(日正午太阳光线)夹角等黄赤交角．
历法理知黄赤交角1万年持续减正切值应年代表：
根信息通计算黄赤交角估计该骨笛致年代( )
A．早公元前6000年
B．公元前2000年公元元年
C．公元前4000年公元前2000年
D．公元前6000年公元前4000年
答案 A
解析 题意设冬日光垂直线夹角α春秋分日光垂直线夹角βα－β冬日光春秋分日光夹角黄赤交角图3似画出图面图形tan α＝＝16tan β＝＝066tan (α－β)＝＝≈0457
∵0455<0457<0461∴估计该骨笛致年代早公元前6000年．
考2 数列中数学文化
例2 (选)(2020·山东省青岛市高三三模)悠久灿烂中国古代文化中数学文化中朵绚丽奇葩．张丘建算国古代标志性容丰富众数学名著约创作公元五世纪．书中问题：女善织日益功疾初日织五尺月织九匹三丈问日益？意：女子擅长织布织布速度天天快第二天起天前天织相数量布第天织5尺月织九匹三丈问第二天起天前天织少尺布？已知1匹＝4丈1丈＝10尺月30天记该女子月中第n天织布尺数anbn＝2an数列{an}{bn}列选项中正确( )
A．b10＝8b5 B．{bn}等数列
C．a1b30＝105 D．＝
答案 BD
解析 题意知数列{an}等差数列设数列{an}公差da1＝5题意30a1＋＝390解d＝∴an＝a1＋(n－1)d＝∵bn＝2an∴＝＝2an＋1－an＝2d(非零常数)数列{bn}等数列B正确∵5d＝5×＝≠3＝(2d)5＝25d≠23∴b10≠8b5A错误a30＝a1＋29d＝5＋16＝21∴a1b30＝5×221>105C错误a4＝a1＋3d＝5＋3×＝a5＝a1＋4d＝5＋4×＝∴＝＝＝D正确．选BD
题传统数学文化载体考查数列实际应问题．解题关键古代实际问题转化现代数学问题建立等差等数列模型探索掌握基数量关系利方程思想求解．
(2020·福建省宁德市二模)著名物理学家李政道说：科学艺术分割．音乐中乐音高度意定严格数学方法确定．国明代数学家音乐理家朱载堉创立十二均律第利数学音律公式化．十二均律生律法精确规定八度例八度分成13半音相邻两半音间频率常数表示中a1a2…a13表示半音频率满足log2＝1(i＝12…12)某半音D#频率该半音( )
频率
a1
a2
a3
a4
a5
a6
a7
a8
a9
a10
a11
a12
a13
半音
C
C#
D
D#
E
F
F#
G
G#
A
A#
B
C(八度)
AF# B．G
C．G# D．A
答案 B
解析 题意知log2＝1(i＝12…12)∴＝2数列{an}公q＝2等数列．
∵a4＝D#a8＝a4q4＝D#×(2)4＝D#×＝G
∴＝选B
考3 立体中数学文化
例3 国齐梁时代数学家祖暅提出条原理：幂势积容异．意思：两等高体等高处水截面面积相等两体体积相等．椭球体椭圆绕轴旋转成旋转体．图底面直径2b高皆a椭半球体已挖圆锥体圆柱放置面β行面β面β意距离d处面截两体横截S圆S环两截面．证明S圆＝S环总成立．半短轴长1半长轴长3椭球体体积________．
答案 4π
解析 S圆＝S环总成立半椭球体体积πb2a－πb2a＝πb2a椭球体体积V＝πb2a椭球体半短轴长1半长轴长3椭球体体积V＝πb2a＝π×12×3＝4π答案4π
托立体传播数学文化．立体中国古代数学重研究容中国古代数学中挖掘素材考查立体线面位置关系体体积等知识符合考生认知水引导学生关注中华优秀传统文化．
(2020·山东省潍坊市模拟)唐狩猎景象浮雕银杯图1示浮雕摹国画漆绘墓室壁画体现古智慧工艺．盛酒部分似作半球圆柱组合体(假设壁表面光滑忽略杯壁厚度)图2示．已知球半径R酒杯壁表面积πR2设酒杯部分(圆柱)体积V1部分(半球)体积V2＝( )
A．2 B．
C．1 D．
答案 A
解析 球半径R半球部表面积2πR2酒杯壁表面积πR2∴圆柱侧面积πR2设圆柱高h2πR·h＝πR2h＝R∴V1＝πR2·R＝πR3V2＝πR3∴＝＝2选A
考4 概率中数学文化
例4 (2020·河北省张家口高三5月模拟)角谷猜想3n＋1猜想日数学家角谷静夫发现指正整数果奇数3加1果偶数2循环终够1：取n＝6根述程出631051684219数．n＝5根述程出整数中机选取两数两数偶数概率( )
A． B．
C． D．
答案 C
解析 n＝5根述程出整数5168421机选取两数基事件总数n＝C＝15两数偶数包含基事件数m＝C＝6两数偶数概率P＝＝＝选C
数学文化渗透概率数学中丰富数学概率知识提高学生文化素养．解决类问题关键构建合理概率模型利相应概率计算公式求解
(2020·河南省六市高三模)五行学说华夏民族创造哲学思想华夏文明重组成部分．古认天万物皆金木水火土五类元素组成图分金木水火土彼间存相生相克关系．5类元素中选2类元素2类元素相生概率( )
A B．
C． D．
答案 A
解析 金木水火土彼间存相生相克关系．5类元素中选2类元素基事件总数n＝C＝102类元素相生包含基事件52类元素相生概率P＝＝选A
考5 数学文化现代科学
例5 2016年1月14日国防科工局宣布嫦娥四号务已通探月工程重专项领导组审议正式开始实施．图示假设嫦娥四号卫星月转移轨道飞月球月球附点P变轨进入月球球心F焦点椭圆轨道Ⅰ绕月飞行卫星P点第二次变轨进入F焦点椭圆轨道Ⅱ绕月飞行．2c12c2分表示椭圆轨道ⅠⅡ焦距2a12a2分表示椭圆轨道ⅠⅡ长轴长出列式子：
①a1＋c1＝a2＋c2②a1－c1＝a2－c2③<
④c1a2>a1c2
中正确式子序号( )
A．①③ B．①④
C．②③ D．②④
答案 D
解析 观察题图知a1>a2c1>c2∴a1＋c1>a2＋c2①式正确a1－c1＝a2－c2＝|PF|②式正确a1－c1＝a2－c2>0c1>c2>0知<
(1)命题者抓住嫦娥奔月古老现代浪漫话题探测卫星轨道背景抽象出条称轴焦点顶点两椭圆性质加减方式构造两等式两等式考查椭圆性质谓匠心独运．
(2)注意椭圆轨道ⅠⅡ顶点P焦点F题目四式子涉长半轴长半焦距焦距入手求解关键题考生数学力进行较
全面考查道名副实中见常中见新蕴文化现代科学技术应中题．
(2020·北京市东城区模拟)
标准数远视力表(图)采五分记录法国独创视力记录方式标准数远视力表行正方形E形视标视力52视标行开始行E边长方行E边长倍视力41视标边长a视力49视标边长( )
A．10a
B．10a
C．10a
D．10a
答案 C
解析 设第n行视标边长an第n－1行视标边长an－1题意an－1＝an⇔＝10数列{an}公10等数列a10＝a＝10a视力49视标边长10a选C
真题押题
『真题检验』
1．(2020·新高考卷Ⅰ)日晷中国古代测定时间仪器利晷面垂直晷针投射晷面影子测定时间．球成球(球心记O)球点A纬度指OA球赤道面成角点A处水面指点AOA垂直面．点A处放置日晷晷面赤道面行点A处纬度北纬40°晷针点A处水面成角( )
A．20° B．40°
C．50° D．90°
答案 B
解析 画出截面图图示中CD赤道面截线l点A处水面截线题意知OA⊥lAB晷针直线m晷面截线题意晷面赤道面行晷针晷面垂直根面行性质定理m∥CD根线面垂直定义AB⊥m∠AOC＝40°m∥CD∠OAG＝∠AOC＝40°∠OAG＋∠GAE＝∠BAE＋∠GAE＝90°∠BAE＝∠OAG＝40°晷针点A处水面成角∠BAE＝40°选B
2．(2020·全国卷Ⅱ)北京天坛圜丘坛古代祭天场分中三层层中心块圆形石板(称天心石)环绕天心石砌9块扇面形石板构成第环外环次增加9块层第环层环9块外环次增加9块已知层环数相层中层729块三层扇面形石板(含天心石)( )
A．3699块 B．3474块
C．3402块 D．3339块
答案 C
解析 设第n环扇面形石板块数an第层n环数列{an}9首项9公差等差数列an＝9＋(n－1)×9＝9n设Sn数列{an}前n项第层第二层第三层块数分SnS2n－SnS3n－S2n层中层729块S3n－S2n＝S2n－Sn＋729－＝－＋7299n2＝729解n＝9S3n＝S27＝＝3402选C
3 (2019·全国卷Ⅱ)中国悠久金石文化印信金石文化代表．印信形状长方体正方体圆柱体南北时期官员独孤信印信形状半正面体(图1)半正面体两种两种正边形围成面体．半正面体体现数学称美．图2棱数48半正面体顶点正方体表面正方体棱长1该半正面体________面棱长________．
答案 26 －1
解析 先求面数两种方法．
解法：半正面体结构特征棱数48知部分9面中间部分8面部分9面2×9＋8＝26()面．
解法二：般凸面体顶点数(V)＋面数(F)－棱数(E)＝2(欧拉公式)图形知棱数48半正面体顶点数24V＋F－E＝2面数F＝2＋E－V＝2＋48－24＝26求棱长．
作中间部分横截面题意知该截面顶点边长1正方形正八边形ABCDEFGH图设正八边形边长x正八边形边长半正面体棱
长．连接AFHG分作HM⊥AFGN⊥AF垂足分MNAM＝MH＝NG＝NF＝xAM＋MN＋NF＝1x＋x＋x＝1解x＝－1半正面体棱长－1
『金版押题』
4．天干支纪年法(简称干支纪年法)中国历法古直纪年方法．天干十：甲乙丙丁戊庚辛壬癸支十二：子丑寅卯辰巳午未申酉戌亥．干支纪年法中天干支应规律表：
天干
甲
乙
丙
丁
戊
庚
辛
壬
癸
甲
乙
丙
…
支
子
丑
寅
卯
辰
巳
午
未
申
酉
戌
亥
子
…
干支纪年
甲子年
乙丑年
丙寅年
丁卯年
戊辰年
巳年
庚午年
辛未年
壬申年
癸酉年
甲戌年
乙亥年
丙子年
…
2049年新中国成立100周年．百年中国逐步实现中华民族伟复兴．干支纪年法2049年巳年2059年________年干支纪年法________种干支纪年．
答案 卯 60
解析 根题意天干十甲乙丙丁戊庚辛壬癸支十二子丑寅卯辰巳午未申酉戌亥相配序：甲子乙丑丙寅…癸酉甲戌乙亥丙子…癸未甲申乙酉丙戌…癸巳…2049年巳年2059年卯年天干10公差等差数列支12公差等差数列天干支60种组合干支纪年法60种干支纪年．
专题作业
选择题
1．(2020·山东省烟台市模拟)九章算术国古代数学名著．全书方田粟米衰分少广商功均输盈足方程勾股九章收246生产生活实践联系应问题．第六章均输中样道题目：五分五钱令二三等问？意思：现五分5钱成等差数列较两份等较少三份问五少？题中意两差值( )
A． B．
C． D．
答案 B
解析 设分钱数构成等差数列{an}公差d>0题意a1＋a2＋a3＝a4＋a5S5＝53a1＋3d＝2a1＋7d5a1＋10d＝5解a1＝d＝意两差值4d＝选B
2．中国古代数学著作算法统宗中样问题：三百七十八里关初步健步难次日脚痛减半六关见次日行里数请公仔细算相．意：走378里路第天健步行走第二天起脚痛天走路程前天半走6天达目．该第五天走路程( )
A．48里 B．24里
C．12里 D．6里
答案 C
解析 设第天路程a1里＝378a1＝192a5＝192×＝12
3 (2020·河北六校联考)玉琮中国古代玉器中重礼器神纹玉琮王新石器时代良渚文化典型玉器1986年出土浙江省余杭县反山文化遗址．图玉琮王通高88 cm孔径49 cm外径176 cm琮体四面琢刻完整兽面神图象兽面两侧浅浮雕鸟纹器形呈扁矮方柱体圆外方端圆面射中心垂直相透圆孔．估计该神纹玉琮王体积(单位：cm3)( )
A．6250 B．3050
C．2850 D．2350
答案 D
解析 题意该神纹玉琮王致成底面正方形边长176 cm高88 cm长方体掉底面直径49 cm高88 cm圆柱剩余部分体积176×176×88－π××88≈2560(cm3)该神纹玉琮王外面方形偏低掉雕刻部分结合选项估计该神纹玉琮王体积2350 cm3
4．中国发现研究勾股定理古老国家古代数学家称直角三角形较短直角边勾直角边股斜边弦三边长组成组数称勾股数．现1～1515数中机抽取3数三数勾股数概率( )
A． B．
C． D．
答案 C
解析 15数中机抽取3数基事件数C中勾股数(345)(6810)(91215)(51213)4概率P＝＝选C
5．阿基米德(公元前287年～公元前212年)仅著名物理学家著名数学家利逼法椭圆面积圆周率等椭圆长半轴短半轴积．椭圆C称轴坐标轴焦点y轴椭圆离心率面积12π椭圆C方程( )
A．＋＝1 B．＋＝1
C．＋＝1 D．＋＝1
答案 A
解析 题意解a＝4b＝3椭圆焦点y轴椭圆C方程＋＝1选A
6．(2020·山东省泰安市模拟)国古代数学名著九章算术中记载：刍甍者袤广袤广．刍草．甍屋盖．底面正方形屋脊形状面体(图示)底面边长2正方形棱EF＝EF∥面ABCDEF面ABCD距离2该刍甍体积( )
A6 B．
C． D．12
答案 B
解析 图作FN∥AEFM∥ED面体分割棱柱棱锥两部分该刍甍体积VF－MNBC＋VADE－NMF＝S四边形MNBC×2＋S直截面×＝×2××2＋×＝选B
7．(2020·江西省九江市二模)算盘中国传统计算工具形长方周木框贯直柱俗称档档中横梁梁两珠珠作数五梁五珠珠作数．算珠梁部分珠梁部分珠．例：十位档拨颗珠颗珠位档拨颗珠表示数字65十百千位档中机选择档拨颗珠机选择两档位拨颗珠拨数字200概率( )
A B．
C． D．
答案 D
解析 十百千位档中机选择档拨颗珠机选择两档位拨颗珠题意拨数字n＝CC＝24种情况拨数字200包含两种情况：①珠拨千位档百位档CC＝12种②珠拨位档十位档珠颗拨千位档CC＝6种拨数字200包含基事件m＝12＋6＝18种拨数字200概率P＝＝＝选D
8．九章算术国古代数学名著学中研究西方早千年．例堑堵指底面直角三角形侧棱垂直底面三棱柱阳马指底面矩形侧棱垂直底面四棱锥．图堑堵ABC－A1B1C1中AC⊥BCA1A＝AB＝2阳马B－A1ACC1体积时堑堵ABC－A1B1C1体积( )
A． B．
C．2 D．2
答案 C
解析 阳马定义知VB－A1ACC1＝A1A·AC·BC＝AC·BC≤(AC2＋BC2)＝AB2＝仅AC＝BC＝时等号成立阳马B－A1ACC1体积时堑堵ABC－A1B1C1体积×××2＝2选C
9．(2020·四川省达州市模拟)斗拱中国古典建筑富装饰性构件中国特．图1图2斗拱实物图图3斗拱构件斗体．图中斗棱台长方体形凹槽(长方体掉长方体)组成．棱台两底面面积分400 cm2900 cm2高9 cm长方体形凹槽体积4300 cm3斗体积( )
注：台体体积公式V＝(S′＋＋S)h
A．5700 cm3 B．8100 cm3
C．10000 cm3 D．9000 cm3
答案 C
解析 ∵斗棱台长方体形凹槽(长方体掉长方体)组成棱台两底面面积分400 cm2900 cm2高9 cm长方体形凹槽体积4300 cm3∴斗体积V＝×(400＋＋900)×9＋4300＝10000(cm3)选C
10 (2020·辽宁省葫芦岛市模拟)球公转轨道作太阳焦点椭圆根开普勒行星运动第二定律知太阳球连线相等时间扫相等面积．某学结合物理理知识结：
①球太阳距离取值值时球分位图中A点B点
②已知球公转轨道长半轴长约149600000千米短半轴长约149580000千米该椭圆离心率约1该椭圆似圆形
③已知国逢春分(3月21日前)秋分(9月23日前)球会分运行图中C点D点知国年夏半年(春分秋分)冬半年(年秋分次年春分)少天．
结正确( )
A．① B．①②
C．②③ D．①③
答案 A
解析 ①球太阳距离值a－c值a＋c球分位图中A点B点显然正确②离心率e＝＝＝根题意a≈149600000b≈149580000≈1e≈0离心率应该约0③根开普勒行星运动第二定律球D点C点运行速度较快历时间较短夏半年冬半年天．选A
二填空题
11．数学文化许奇妙联系诗中回文诗：忆父妻忆夫读逆读．数学中回文数34312521等两位数回文数112233…999三位数回文数中偶数概率________．
答案
解析 三位数回文数ABA
A199种1B12B23B3…
B0910种A0AA1AA2AA3A…9×10＝90
中ABA偶数A偶数4种2B24B46B68B8B0910种A0AA1AA2AA3A…4×10＝40
∴三位数回文数中偶数概率P＝＝
12．孙子算国古代数学名著书中问题：五等诸侯分橘子六十颗加三颗．问：五？意思5分60橘子分橘子数成公差3等差数列问5少橘子．问题中橘子少橘子数________．
答案 6
解析 设分橘子数构成等差数列{an}首项a1公差3S5＝5a1＋×3＝60解a1＝6橘子少橘子数6
13．(2020·山东省泰安市高三模)易中国传统文化中精髓图易八卦(含乾坤巽震坎离艮兑八卦)卦三根线组成表示根阳线表示根阴线八卦中取两卦两卦六根线中恰两根阳线四根阴线概率________．
答案
解析 观察八卦图知含3根阴线1卦含3根阳线1卦含2根阴线1根阳线3卦
含1根阴线2根阳线3卦∴八卦中取两卦两卦六根线恰两根阳线四根阴线概率P＝＝
14．国物权法规定：建造建筑物违反国家关工程建设标准妨碍相邻建筑物通风采光日．已知某区住宅楼底部均水面楼高均45 m规定该区住宅楼楼间距应52 m．该区某居民距离楼底27 m高处某阳台观测点测该区正面住宅楼楼顶仰角楼底俯角45°该区住宅楼楼间距实际________ m
答案 54
解析 设两住宅楼楼间距实际x m图根题意tan ∠DCA＝tan ∠DCB＝＝∠DCA＋∠DCB＝45°tan (∠DCA＋∠DCB)＝＝1整理x2－45x－27×18＝0解x＝54x＝－9(舍)该区住宅楼楼间距实际54 m．
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