唐山中2020—2021学年度第二学期期中考试
高二年级 数学试卷
说明：
1考试时间120分钟满分150分2．答卷前考生务必姓名考生号填写答题卡3．回答选择题时选出题答案铅笔答题卡应题目答案标号涂黑需改动橡皮擦干净选涂答案标号回答非选择题时答案写答题卡写试卷效
卷Ⅰ(选择题 60分)
．单项选择题（8题题5 分计40分题出四选项中选项符合题意）
1复面复数z2+3i34i(i虚数单位)复数z轭复数应点位( )
A 第象限 B 第二象限 C 第三象限 D 第四象限
2已知abc∈RaA 充分非必条件 B 必非充分条件
C 充条件 D 非充分非必条件
34名学生报名参加语数英兴趣组选报1种方法( )
A 43种 B 34种 C A43种 D C43种
42x3+1x2n(n∈N*)展开式中存常数项n值( )
A 3 B 5 C 8 D 10
5某中学组织招生数学选拔赛已知次选拔赛数学成绩X服正态分布 N（75121）考生1000估计数学成绩75分86分间数约( )．
(参考数P(μσA 261 B 341 C 477 D 683
6某射手次射击击中目标概率均p(0A 512 B 535 C 612 D 635
7圆柱形金属饮料罐体积定生产种金属饮料罐材料省高底面半径( )
A 21 B 12 C 14 D 41
83位男生3位女生1位老师站起相求老师必须站中间老师相邻时男生女生样排法种数( )
A 144 B 216 C 288 D 432
二．项选择题（4题题5 分计20分题出四选项中选项符合题目求全部选5分选错0分部分选2分）
9面截正方体截面形状( )
A 正三角形 B 正方形 C 正五边形 D 正六边形
10列说法正确( )
A 组数中数非零常数a方差变原a倍
B 四条线段长度分1357中取3条3条线段够成三角形概率 14
C 线性相关系数r越两变量线性相关性越强反线性相关性越弱
D 设两独立事件AB发生概率 19A发生B发生概率B发生 A发生概率相事件A发生概率 23
11已知F抛物线y22px(p>0)焦点点F斜率3直线l交抛物线AB两点(点A第象限)交抛物线准线点C列结正确( )
A AFFC B |AF|2|BF|
C |AB|3p D AF直径圆y轴相切
12已知函数f(x)ex+alnx中正确结( )
A a0时函数f(x)值．
B 意a<0函数f(x)定存值．
C 意a>0函数f(x)(0+∞)增函数．
D 意a>0函数f(x)>0．
卷Ⅱ(非选择题 90分)
三．填空题（4题题5 分计20分）
13命题∃x∈Rx2+(a1)x+1<0假命题实数a取值范围
14已知(2+mx)(1+x)3展开式中x3系数5m________．
15根某区气象台统计该区雨概率 35刮风概率 12刮风雨概率 110刮风天里雨概率_______．
16已知实验女排育女排两队进行赛局赛中实验女排获胜概率 23没局．采三局两胜制先胜两局者获胜赛结束实验女排获胜概率____．
四．解答题（题6题70分解答应写出文字说明证明程演算步骤）
17（10分）某城市鼓励坐铁出行铁公司决定客铁站数量实施分段优惠政策超30站铁票价表：
坐站数x
01020票价(元)
3
6
9
现甲乙两位客时起点坐辆铁已知坐铁超30站甲乙坐超10站概率分1413甲乙坐超20站概率分1213．
(1)求甲乙两付费相概率
(2)设甲乙两付费机变量X求X分布列数学期．
18 （12分）四棱锥PABCD中面PAD⊥面ABCDPAPD2四边形ABCD边长2菱形∠A60°EAD中点．
(1)求证：BE⊥面PAD
(2)求面PAB面PBC成角余弦值．
19（12分）新型冠状病毒传染性非常强通接触传播者呼吸道飞沫传播感染群年龄数40岁群该病毒进入体潜伏期潜伏期越长感染性越高现100病例潜伏期(单位：天)进行调查统计发现潜伏期中位数5均数721方差508果认超8天潜伏期属长潜伏期年龄统计样面列联表：
长潜伏期
非长潜伏期
40岁
15
55
40岁
10
20
K2≥k
01
005
k
2706
3841
(1)否90握认长潜伏期年龄关
(2)假设潜伏期Z服正态分布N(μσ2)中μ似样均数σ2似样方差 现省份入境旅客律求隔离14天请概率知识解释合理性
附：K2n(adbc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)．
机变量Z服正态分布N(μσ2)P(μσ20（12分）某餐厅通查阅5次食品交易会参会数x (万)餐厅原材料 数量y (袋)统计表：
第次
第二次
第三次
第四次
第五次
参会数x (万)
13
9
8
10
12
原材料y (袋)
32
23
18
24
28
(1)根5组数求出y关x线性回方程ybx+a．
(2)已知购买原材料费C(元)数量t(袋)关系
C400t200投入袋原材料相应销售收入700元余原材料偿返悉次交易会约15万参加根(1)中求出线性回方程预测餐厅应购买少袋原材料获利润利润少？(注：利润L销售收入原材料费)．
参考公式：bi1nxixyiyi1nxix2i1nxiyinxyi1nxi2nx2aybx．
参考数：i15xiyi1343i15xi2558i15yi23237．
21（12分）已知椭圆Cx2a2+y2b21(a>b>0)点P(22)焦点F坐标(20)．
(1)求椭圆C方程
(2)设直线lykx+1椭圆C交AB两点O坐标原点求OA·OB取值范围．
22（12分）已知f(x)12x2+aexlnx．
(1)设x12f(x)极值点求实数a值求f(x)单调区间
(2)a>0时求证：f(x)>12．
高二期中考试数学参考答案
单选题 CBBB BBAD
二选题 9 ABD 10 BD 11 AD 12 BC
三填空题 13 [13] 14 1 15 15 16 2027
四解答题
17解：(1)题意知甲坐超10站超20站概率1141214
乙坐超10站超20站概率1131313
设甲乙两付费相事件A
PA14×13+14×13+12×1313
甲乙两付费相概率13．……………………………………（4分）
(2)题意知X取值：69121518．
PX614×13112PX914×13 +14×1316
PX1214×13+12 ×13+14×1313P(X15)14×13+12 ×1314
PX1812×1316．…………………………………………………………（8分）
X分布列：
X
6
9
12
15
18
P
112
16
13
14
16
X数学期EX6×112+9×16 +12×13+15×14+18×16514．……（10分）
18(1)证明：PAPD2EAD中点PE⊥AD
面PAD⊥面ABCD面PAD∩面ABCDADPE⊂面PAD
PE⊥面ABCDBE⊂面ABCDPE⊥BE
四边形ABCD边长2菱形∠A60°BE⊥AD
PE∩ADEPEAD⊂面PAD
BE⊥面PAD……………………（5分）
(2)解：(1)知EAEBEP两两垂直
E原点EAEBEP直线分x轴y轴z轴建立空间直角坐标系图
P(003)A(100)B(030)C(230)
PA(103)PB(033)PC(233)
设面PAB法量n(xyz)
PA⋅n0PB⋅n0x3z03y3z0
令z1n(311)………………（8分）
理面PBC法量m（011）………………（10分）
面PAB面PBC成角余弦值|cos⟨mn⟩|m⋅n|m| |n|105．………（12分）
19解：(1)K2n(adbc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)100×(15×2055×10)270×30×25×75≈1587
1587<2706
没90握认长潜伏期年龄关………………（6分）
(2)潜伏期Z～N(7212252)
时μ+3σ721+3×2251396
P(Z≥1396)109974200013
显然潜伏期超14天概率低
隔离14天合理．………………………………（12分）
20解：(1)数：x13+9+8+10+125104y32+23+18+24+28525（2分）
bi15xiyi5xyi15xi25x213435×104×255585×104225………………（4分）
aybx2525×1041
y关x线性回方程y25x1………………（6分）
(2)(1)中求出线性回方程知x15时y365
预计需原材料365袋C400t200t<36时利润L700t400t20300t+20
t35时Lmax300×35+2010520
t>36时利润L700×365380t700×365380×3711490
t36时L700×36380×3611520
综餐厅应该购买36袋原材料利润获11520元……（12分）
21解：(1)解：(1)根椭圆定义
2a|PF1|+|PF2|(2+2)2+(2)2+242解a22
c2∴b2a2c2(22)2224
∴椭圆C方程x28+y241………………（5分）
(2)设A(x1y1)B(x2y2)
ykx+1x28+y241消y整理(1+2k2)x2+4kx60
△16k2+24(1+2k2)64k2+24>0解k∈R
根系数关系x1+x24k1+2k2x1x261+2k2………………（8分）
∴y1y2k2x1x2+k(x1+x2)+16k21+2k24k21+2k2+118k21+2k2
OA⋅OBx1x2+y1y261+2k2+18k21+2k28k251+2k2411+2k2
1≤11+2k2<0
∴OA⋅OB取值范围[54)．………………（12分）
22解：(1)题意函数f(x)定义域(0+∞)
f＇(x)x+aex1xx12函数f(x)极值点
f＇(12)12+ae1220解a3e2e………………（2分）
a>0时(0+∞)f＇(x)增函数f＇(12)0
f＇(x)>0x>12f＇(x)<00函数fx单调递增区间(12+∞)单调递减区间(012)．………………（5分）
(2)(1)知a>0(0+∞)f＇(x)x+aex1x增函数
f＇(1)1+ae1>0(变量x逐渐趋0时f＇(x)趋∞)
∃x0∈(01)f＇(x0)0
x0+aex01x00aex01x0x0………………（7分）
x∈(0x0)f＇(x)<0函数f(x)减函数
x∈(x0+∞)f＇(x)>0函数f(x)增函数
xx0时fx取极值值
f(x)minf(x0)12x02+aex0lnx012x02+1x0x0lnx0(0令g(x)12x2+1xxlnx(0g＇(x)x1x211x(x1)1+xx2
x∈(01)时g＇(x)<0函数g(x)单调递减g(x)>g(1)12
f(x)≥f(x)min>12成立．………………（12分）
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高二年级 数学试卷
说明：
1考试时间120分钟满分150分2．答卷前考生务必姓名考生号填写答题卡3．回答选择题时选出题答案铅笔答题卡应题目答案标号涂黑需改动橡皮擦干净选涂答案标号回答非选择题时答案写答题卡写试卷效
卷Ⅰ(选择题 60分)
．单项选择题（8题题5 分计40分题出四选项中选项符合题意）
1复面复数z2+3i34i(i虚数单位)复数z轭复数应点位( )
A 第象限 B 第二象限 C 第三象限 D 第四象限
2已知abc∈Ra
C 充条件 D 非充分非必条件
34名学生报名参加语数英兴趣组选报1种方法( )
A 43种 B 34种 C A43种 D C43种
42x3+1x2n(n∈N*)展开式中存常数项n值( )
A 3 B 5 C 8 D 10
5某中学组织招生数学选拔赛已知次选拔赛数学成绩X服正态分布 N（75121）考生1000估计数学成绩75分86分间数约( )．
(参考数P(μσ
6某射手次射击击中目标概率均p(0
7圆柱形金属饮料罐体积定生产种金属饮料罐材料省高底面半径( )
A 21 B 12 C 14 D 41
83位男生3位女生1位老师站起相求老师必须站中间老师相邻时男生女生样排法种数( )
A 144 B 216 C 288 D 432
二．项选择题（4题题5 分计20分题出四选项中选项符合题目求全部选5分选错0分部分选2分）
9面截正方体截面形状( )
A 正三角形 B 正方形 C 正五边形 D 正六边形
10列说法正确( )
A 组数中数非零常数a方差变原a倍
B 四条线段长度分1357中取3条3条线段够成三角形概率 14
C 线性相关系数r越两变量线性相关性越强反线性相关性越弱
D 设两独立事件AB发生概率 19A发生B发生概率B发生 A发生概率相事件A发生概率 23
11已知F抛物线y22px(p>0)焦点点F斜率3直线l交抛物线AB两点(点A第象限)交抛物线准线点C列结正确( )
A AFFC B |AF|2|BF|
C |AB|3p D AF直径圆y轴相切
12已知函数f(x)ex+alnx中正确结( )
A a0时函数f(x)值．
B 意a<0函数f(x)定存值．
C 意a>0函数f(x)(0+∞)增函数．
D 意a>0函数f(x)>0．
卷Ⅱ(非选择题 90分)
三．填空题（4题题5 分计20分）
13命题∃x∈Rx2+(a1)x+1<0假命题实数a取值范围
14已知(2+mx)(1+x)3展开式中x3系数5m________．
15根某区气象台统计该区雨概率 35刮风概率 12刮风雨概率 110刮风天里雨概率_______．
16已知实验女排育女排两队进行赛局赛中实验女排获胜概率 23没局．采三局两胜制先胜两局者获胜赛结束实验女排获胜概率____．
四．解答题（题6题70分解答应写出文字说明证明程演算步骤）
17（10分）某城市鼓励坐铁出行铁公司决定客铁站数量实施分段优惠政策超30站铁票价表：
坐站数x
0
3
6
9
现甲乙两位客时起点坐辆铁已知坐铁超30站甲乙坐超10站概率分1413甲乙坐超20站概率分1213．
(1)求甲乙两付费相概率
(2)设甲乙两付费机变量X求X分布列数学期．
18 （12分）四棱锥PABCD中面PAD⊥面ABCDPAPD2四边形ABCD边长2菱形∠A60°EAD中点．
(1)求证：BE⊥面PAD
(2)求面PAB面PBC成角余弦值．
19（12分）新型冠状病毒传染性非常强通接触传播者呼吸道飞沫传播感染群年龄数40岁群该病毒进入体潜伏期潜伏期越长感染性越高现100病例潜伏期(单位：天)进行调查统计发现潜伏期中位数5均数721方差508果认超8天潜伏期属长潜伏期年龄统计样面列联表：
长潜伏期
非长潜伏期
40岁
15
55
40岁
10
20
K2≥k
01
005
k
2706
3841
(1)否90握认长潜伏期年龄关
(2)假设潜伏期Z服正态分布N(μσ2)中μ似样均数σ2似样方差 现省份入境旅客律求隔离14天请概率知识解释合理性
附：K2n(adbc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)．
机变量Z服正态分布N(μσ2)P(μσ
第次
第二次
第三次
第四次
第五次
参会数x (万)
13
9
8
10
12
原材料y (袋)
32
23
18
24
28
(1)根5组数求出y关x线性回方程ybx+a．
(2)已知购买原材料费C(元)数量t(袋)关系
C400t200
参考公式：bi1nxixyiyi1nxix2i1nxiyinxyi1nxi2nx2aybx．
参考数：i15xiyi1343i15xi2558i15yi23237．
21（12分）已知椭圆Cx2a2+y2b21(a>b>0)点P(22)焦点F坐标(20)．
(1)求椭圆C方程
(2)设直线lykx+1椭圆C交AB两点O坐标原点求OA·OB取值范围．
22（12分）已知f(x)12x2+aexlnx．
(1)设x12f(x)极值点求实数a值求f(x)单调区间
(2)a>0时求证：f(x)>12．
高二期中考试数学参考答案
单选题 CBBB BBAD
二选题 9 ABD 10 BD 11 AD 12 BC
三填空题 13 [13] 14 1 15 15 16 2027
四解答题
17解：(1)题意知甲坐超10站超20站概率1141214
乙坐超10站超20站概率1131313
设甲乙两付费相事件A
PA14×13+14×13+12×1313
甲乙两付费相概率13．……………………………………（4分）
(2)题意知X取值：69121518．
PX614×13112PX914×13 +14×1316
PX1214×13+12 ×13+14×1313P(X15)14×13+12 ×1314
PX1812×1316．…………………………………………………………（8分）
X分布列：
X
6
9
12
15
18
P
112
16
13
14
16
X数学期EX6×112+9×16 +12×13+15×14+18×16514．……（10分）
18(1)证明：PAPD2EAD中点PE⊥AD
面PAD⊥面ABCD面PAD∩面ABCDADPE⊂面PAD
PE⊥面ABCDBE⊂面ABCDPE⊥BE
四边形ABCD边长2菱形∠A60°BE⊥AD
PE∩ADEPEAD⊂面PAD
BE⊥面PAD……………………（5分）
(2)解：(1)知EAEBEP两两垂直
E原点EAEBEP直线分x轴y轴z轴建立空间直角坐标系图
P(003)A(100)B(030)C(230)
PA(103)PB(033)PC(233)
设面PAB法量n(xyz)
PA⋅n0PB⋅n0x3z03y3z0
令z1n(311)………………（8分）
理面PBC法量m（011）………………（10分）
面PAB面PBC成角余弦值|cos⟨mn⟩|m⋅n|m| |n|105．………（12分）
19解：(1)K2n(adbc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)100×(15×2055×10)270×30×25×75≈1587
1587<2706
没90握认长潜伏期年龄关………………（6分）
(2)潜伏期Z～N(7212252)
时μ+3σ721+3×2251396
P(Z≥1396)109974200013
显然潜伏期超14天概率低
隔离14天合理．………………………………（12分）
20解：(1)数：x13+9+8+10+125104y32+23+18+24+28525（2分）
bi15xiyi5xyi15xi25x213435×104×255585×104225………………（4分）
aybx2525×1041
y关x线性回方程y25x1………………（6分）
(2)(1)中求出线性回方程知x15时y365
预计需原材料365袋C400t200
t35时Lmax300×35+2010520
t>36时利润L700×365380t700×365380×3711490
t36时L700×36380×3611520
综餐厅应该购买36袋原材料利润获11520元……（12分）
21解：(1)解：(1)根椭圆定义
2a|PF1|+|PF2|(2+2)2+(2)2+242解a22
c2∴b2a2c2(22)2224
∴椭圆C方程x28+y241………………（5分）
(2)设A(x1y1)B(x2y2)
ykx+1x28+y241消y整理(1+2k2)x2+4kx60
△16k2+24(1+2k2)64k2+24>0解k∈R
根系数关系x1+x24k1+2k2x1x261+2k2………………（8分）
∴y1y2k2x1x2+k(x1+x2)+16k21+2k24k21+2k2+118k21+2k2
OA⋅OBx1x2+y1y261+2k2+18k21+2k28k251+2k2411+2k2
1≤11+2k2<0
∴OA⋅OB取值范围[54)．………………（12分）
22解：(1)题意函数f(x)定义域(0+∞)
f＇(x)x+aex1xx12函数f(x)极值点
f＇(12)12+ae1220解a3e2e………………（2分）
a>0时(0+∞)f＇(x)增函数f＇(12)0
f＇(x)>0x>12f＇(x)<00
(2)(1)知a>0(0+∞)f＇(x)x+aex1x增函数
f＇(1)1+ae1>0(变量x逐渐趋0时f＇(x)趋∞)
∃x0∈(01)f＇(x0)0
x0+aex01x00aex01x0x0………………（7分）
x∈(0x0)f＇(x)<0函数f(x)减函数
x∈(x0+∞)f＇(x)>0函数f(x)增函数
xx0时fx取极值值
f(x)minf(x0)12x02+aex0lnx012x02+1x0x0lnx0(0
x∈(01)时g＇(x)<0函数g(x)单调递减g(x)>g(1)12
f(x)≥f(x)min>12成立．………………（12分）
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