高三数学查漏补缺试题
三角
1． 已知函数f (x)sinxcosx－2cos2x +1
(Ⅰ) 求f ()
(Ⅱ) 求函数f (x)图象称轴方程
解： (Ⅰ)f (x) ＝sin2x－cos2x
＝ 2sin(2x－)
f () ＝ 2sin＝ ……………………(7分)
(Ⅱ) 令2x－ k＋(k∈Z)
x
函数f (x)图象称轴方程x(k∈Z) ……………(14分)
2．已知函数
(Ⅰ)求值
(Ⅱ)求 成立x取值集合
解 (1)
(2)(1)知
3．中角ABC边分abc 设
（Ⅰ）求值
（Ⅱ）求值
（Ⅰ）解：
正弦定理
………………3分
余弦定理 ………………5分
解 ………………7分
（Ⅱ）解：
………………8分
………………11分
………………13分
4．已知函数
(1)求定义域
(2)设第二象限角tan求值
二数列
1等数列中已知
（Ⅰ）求数列通项公式
（Ⅱ）设等差数列
求数列公差计算值
解：（Ⅰ）设等数列公
已知 …………………2分
两式相 …………………4分
…………………6分
数列通项公式 …………………7分
（Ⅱ）设等差数列公差
…………………9分
解 …………………11分
………………12分
…………………13分
2．数列意 满足
（Ⅰ）求数列通项公式
（Ⅱ）求通项公式前项．
解：（Ⅰ）已知 数列等差数列公差
6分
（Ⅱ）（Ⅰ）
14分
三概率统计
1．育新中学高二班男学名女学名老师分层抽样方法组建课外兴趣组．
（Ⅰ）求某学抽概率课外兴趣组中男女学数
（Ⅱ）月学讨兴趣组决定选出两名学做某项实验方法先组里选出名学做实验该学做完组剩学中选名学做实验求选出两名学中恰名女学概率
（Ⅲ）试验结束第次做试验学试验数第二次做试验学试验数请问位学实验更稳定？说明理
解：（Ⅰ）某学抽概率………………2分
设名男学男女学数分…………4分
（Ⅱ）名男学名女学记选取两名学基事件种中名女学种
选出两名学中恰名女学概率………………………8分
（Ⅲ）
第二学实验更稳定………………………12分
2． 款击鼓游戏规：盘游戏需击鼓三次次击鼓出现次音乐出现音乐盘游戏击鼓三次出现次音乐获10分出现两次音乐获20分出现三次音乐获100分没出现音乐扣200分(获－200分)．设次击鼓出现音乐概率次击鼓出现音乐相互独立．
(1)设盘游戏获分数X求X分布列．
(2)玩三盘游戏少盘出现音乐概率少？
(3)玩款游戏许发现干盘游戏初分数相分数没增加反减少．请运概率统计相关知识分析分数减少原．
解：(1)X取值1020100－200
根题意
P(X＝10)＝C××＝
P(X＝20)＝C××＝
P(X＝100)＝C××＝
P(X＝－200)＝C××＝
X分布列：
X
10
20
100
－200
P
(2)设第i盘游戏没出现音乐事件Ai(i＝123)
P(A1)＝P(A2)＝P(A3)＝P(X＝－200)＝
三盘游戏中少盘出现音乐概率1－P(A1A2A3)＝1－＝1－＝
玩三盘游戏少盘出现音乐概率
(3)(1)知X数学期EX＝10×＋20×＋100×－200×＝－
表明获分数X均值负．
次游戏分数减少性更．
四立体
1．图四棱锥中面底面菱形点角线交点中点．
(Ⅰ)求证： ∥面
(Ⅱ)面面
(Ⅲ)三棱锥体积等时求长．
证明：（Ⅰ）△中分中点
∥．
面面
∥面． ……………………5分
(Ⅱ)底面菱形
．
面面
．
面．
面
面面． ……………………10分
（Ⅲ）底面菱形
．
三棱锥高
解． ……………………14分
2 已知△ABC中∠B90oDE分边BCAC中点△CDEDE翻折成四棱锥（图）
（Ⅰ）求证：DE⊥面
（Ⅱ）设面面求证：AB∥l[源学科网ZXXK]
（Ⅲ）F棱点设值时三棱锥体积1？
证明：（Ⅰ）∵∠B90oDE分BCAC中点
∴DE∥AB ……………1分
∴ ……………3分
∵ ……………4分
∴DE⊥面 ……………5分
（Ⅱ）∵DE∥AB面 面
∴AB∥面 ……………7分
∵AB面面面 ……………9分
∴ AB∥ ……………10分
（Ⅲ）∵
∴⊥面BDE．
∵∴ ……………11分
BD3AB2[源学科网]
∴
……………13分
解． ……………14分
3．图三角形梯形面互相垂直
线段点
（Ⅰ）时求证：面
（Ⅱ）求二面角余弦值
（Ⅲ）否存点满足面？说明理
解：（Ⅰ）取中点连接
四边形行四边形
面面
面
（Ⅱ）面面面面
面
面
图原点建立空间直角坐标系
面法量
设面法量
令
题知二面角钝角二面角余弦值
（Ⅲ）垂直
存点满足面
4．正△ABC边长4CDAB边高EF分ACBC边中点现△ABCCD翻折成直二面角A—DC—B（图（2））
图形（2）中：
（Ⅰ）试判断直线AB面DEF位置关系说明理
（Ⅱ）求二面角E—DF—C余弦值
（Ⅲ）线段BC否存点PAP⊥DE？证明结
解：
法：（I）图：△ABC中EF分ACBC中点EFAB
AB面DEFEF面DEF
∴AB∥面DEF……………………………………………………………………3分
（II）
∵AD⊥CDBD⊥CD
∴∠ADB二面角A—CD—B面角……………………4分
∴AD⊥BD ∴AD⊥面BCD
取CD中点M时EM∥AD ∴EM⊥面BCD
M作MN⊥DF点N连结ENEN⊥DF
∴∠MNE二面角E—DF—C面角……………………6分
Rt△EMN中EM1MN
∴tan∠MNEcos∠MNE………………………………8分
（Ⅲ）线段BC存点PAP⊥DE……………………………………9分
证明：
线段BC取点PP作PQ⊥CD点Q
∴PQ⊥面ACD………………………………………………………………10分
∵等边△ADE中∠DAQ30°
∴AQ⊥DE∴AP⊥DE…………………………………………………………12分
法二：（Ⅱ）点D坐标原点直线DBDCx轴y轴建立空间直角坐标系A（002）B（200）C（0
…………………………4分
面CDF法量
设面EDF法量
……………………6分
二面角E—DF—C余弦值………………………………8分
（Ⅲ）面坐标系xDy中直线BC方程
设
………………10分[源ZxxkCom]
线段BC存点PAP⊥DE…………………………………12分
解：设
线段BC存点PAP⊥DE…………………………12分
五导数
1 已知曲线
（Ⅰ）求函数处切线
（Ⅱ）时求曲线直线交点数
（Ⅲ）求证：函数单调递增
解：（Ⅰ）
函数处切线
（Ⅱ）时
曲线直线交点数方程解数相
显然该方程解
令
时时
单调递减单调递增
值
零点0
两曲线两交点
（Ⅲ）
时
函数单调递增
2．设函数
（Ⅰ）(然数底数)时求极值
（Ⅱ）讨函数零点数
（Ⅲ）意恒成立求取值范围．
解：（Ⅰ）定义域
a＝e时f(x)＝ln x＋f′(x)＝
∴x∈(0e)时f′(x)<0f(x)(0e)单调递减
x∈(e＋∞)时f′(x)>0f(x)(e＋∞)单调递增．
∴x＝e时f(x)取极值f(e)＝ln e＋＝2
∴f(x)极值2 5分
（Ⅱ）题设g(x)＝f′(x)－＝－－(x>0)
令g(x)＝0a＝－x3＋x(x>0)
设φ(x)＝－x3＋x(x≥0)
φ′(x)＝－x2＋1＝－(x－1)(x＋1)
x∈(01)时φ′(x)>0φ(x)(01)单调递增
x∈(1＋∞)时φ′(x)<0φ(x)(1＋∞)单调递减．
∴x＝1φ(x)唯极值点极值点x＝1φ(x)值点
∴φ(x)值φ(1)＝
φ(0)＝0结合y＝φ(x)图(图示)知
①a >时函数g(x)零点
②a＝时函数g(x)零点
③0④a≤0时函数g(x)零点（x>0）．
综述a>时函数g(x)零点
a＝a≤0时函数g(x)零点
0（Ⅲ）意恒成立
等价恒成立．(*)
设h(x)＝f(x)－x＝ln x＋－x(x>0)
∴(*)等价h(x)(0＋∞)单调递减．
h′(x)＝－－1≤0(0＋∞)恒成立
a≥－x2＋x＝－＋(x>0)恒成立
∴a≥ （h′(x)0仅 时成立）14分
∴a取值范围
3．已知函数直线点曲线相切
（1）求切线方程
（2）关等式恒成立求实数值
（3）设函数唯零点求证
4．知函数中实数设该函数
图象两点
(Ⅰ)指出函数单调区间
(Ⅱ)函数图象点处切线互相垂直证明
(Ⅲ)函数图象点处切线重合求取值范围
解(Ⅰ)函数单调减区间单调增区间
(Ⅱ)导数意义知点A处切线斜率点B处切线斜率
点处切线互相垂直时
x<0时
(仅时等号成立)
函数图象点处切线互相垂直时
(Ⅲ)时
时图象点处切线方程
时图象点处切线方程
两切线重合充条件
①知
①②
令
设
减函数
t趋0时限增
取值范围
函数图象点处切线重合时取值范围
六解析
1．已知椭圆焦距4点
(Ⅰ)求椭圆C方程
(Ⅱ)设椭圆点点作轴垂线垂足取点连接点作垂线交轴点点点关轴称点作直线问样作出直线否椭圆C定唯公点说明理
解 (1)椭圆点
椭圆C方程
(2)
题意点坐标图示
直线方程
化简
带入
求
直线椭圆公点
2．已知椭圆C中心原点焦点x轴离心率等顶点恰抛物线x28y准线．
（1）求椭圆C标准方程
（2）点P（2）Q（2﹣）椭圆AB椭圆位直线PQ两侧动点．AB运动时满足∠APQ∠BPQ试问直线AB斜率否定值请说明理．
解：（1）设椭圆C标准方程（a＞b＞0）
∵椭圆顶点恰抛物线x28y准线y﹣2
∴﹣b﹣2解b2．
a2b2+c2
∴a4
椭圆C标准方程．
（2）设A（x1y1）B（x2y2）
∵∠APQ∠BPQPAPB斜率互相互数
设直线PA斜率kPB斜率﹣k
直线PA方程： k（x﹣2）
联立
化+4﹣160
∴x1+2
理：x2+2
∴x1+x2x1﹣x2
kAB．
∴直线AB斜率定值．
3 已知椭圆直线原点O行坐标轴C两交点线段中点．
(Ⅰ)证明：直线斜率斜率积定值
(Ⅱ)点延长线段椭圆交点四边形否行四边形
求时斜率说明理．
解：(Ⅰ)设直线
直线OM斜率9
直线OM斜率l斜率积定值
(Ⅱ)四边形OAPB行四边形
直线点原点C两交点充条件
(Ⅰ)OM方程
设点P横坐标 联立解
点坐标代入方程………8分
四边形OAPB行四边形仅线段AB线段OP互相分xP2xM
解
斜率时四边形OAPB行四边形
4．已知椭圆C：+（a＞b＞0）离心率坐标原点圆心椭圆短半轴半径圆直线x﹣y+0相切．
（Ⅰ）求椭圆C方程
（Ⅱ）椭圆C右顶点B作两条互相垂直直线l1l2分交椭圆CMN两点探究直线MN否定点？定点求出定点坐标否说明理．
解：（I）∵∴a22c2b2+c2∴a22b2
∵坐标原点圆心椭圆短半轴半径圆直线x﹣y+0相切
∴b
∴b1．∴a22．
∴椭圆C方程：．
（II）题意知：直线l1l2斜率存设直线l1：yk（x﹣1）直线l2：
设M（x1y1）N（x2y2）联立化（x﹣1）[（2+k2）x﹣（k2﹣2）]0解x1y1
k换成﹣x2
∴kMN
直线MN方程：化
∴直线MN定点．
k±1时MN时直线MN定点．
综：直线MN必定点．
5． 已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)焦距4短轴两端点长轴端点构成正三角形．
(1)求椭圆C标准方程．
(2)设F椭圆C左焦点T直线x＝－3意点F作TF垂线交椭圆C点PQ
①证明：OT分线段PQ(中O坐标原点)
②时求点T坐标．
解：(1)已知
解a2＝6b2＝2
椭圆C标准方程＋＝1
(2)①证明：(1)F坐标(－20)设T点坐标(－3m)
直线TF斜率kTF＝＝－m
m≠0时直线PQ斜率kPQ＝直线PQ方程x＝my－2
m＝0时直线PQ方程x＝－2符合x＝my－2形式．
设P(x1y1)Q(x2y2)直线PQ方程椭圆C方程联立
消x(m2＋3)y2－4my－2＝0
判式Δ＝16m2＋8(m2＋3)>0
y1＋y2＝y1y2＝
x1＋x2＝m(y1＋y2)－4＝
设MPQ中点M点坐标
直线OM斜率kOM＝－
直线OT斜率kOT＝－
点M直线OT
OT分线段PQ
②①
|TF|＝
|PQ|＝
＝
＝[源ZxxkCom]
＝[源Z|xx|kCom]
＝＝
≥＝
仅m2＋1＝m＝±1时等号成立时取值．
时T点坐标(－31)(－3－1)．
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三角
1． 已知函数f (x)sinxcosx－2cos2x +1
(Ⅰ) 求f ()
(Ⅱ) 求函数f (x)图象称轴方程
解： (Ⅰ)f (x) ＝sin2x－cos2x
＝ 2sin(2x－)
f () ＝ 2sin＝ ……………………(7分)
(Ⅱ) 令2x－ k＋(k∈Z)
x
函数f (x)图象称轴方程x(k∈Z) ……………(14分)
2．已知函数
(Ⅰ)求值
(Ⅱ)求 成立x取值集合
解 (1)
(2)(1)知
3．中角ABC边分abc 设
（Ⅰ）求值
（Ⅱ）求值
（Ⅰ）解：
正弦定理
………………3分
余弦定理 ………………5分
解 ………………7分
（Ⅱ）解：
………………8分
………………11分
………………13分
4．已知函数
(1)求定义域
(2)设第二象限角tan求值
二数列
1等数列中已知
（Ⅰ）求数列通项公式
（Ⅱ）设等差数列
求数列公差计算值
解：（Ⅰ）设等数列公
已知 …………………2分
两式相 …………………4分
…………………6分
数列通项公式 …………………7分
（Ⅱ）设等差数列公差
…………………9分
解 …………………11分
………………12分
…………………13分
2．数列意 满足
（Ⅰ）求数列通项公式
（Ⅱ）求通项公式前项．
解：（Ⅰ）已知 数列等差数列公差
6分
（Ⅱ）（Ⅰ）
14分
三概率统计
1．育新中学高二班男学名女学名老师分层抽样方法组建课外兴趣组．
（Ⅰ）求某学抽概率课外兴趣组中男女学数
（Ⅱ）月学讨兴趣组决定选出两名学做某项实验方法先组里选出名学做实验该学做完组剩学中选名学做实验求选出两名学中恰名女学概率
（Ⅲ）试验结束第次做试验学试验数第二次做试验学试验数请问位学实验更稳定？说明理
解：（Ⅰ）某学抽概率………………2分
设名男学男女学数分…………4分
（Ⅱ）名男学名女学记选取两名学基事件种中名女学种
选出两名学中恰名女学概率………………………8分
（Ⅲ）
第二学实验更稳定………………………12分
2． 款击鼓游戏规：盘游戏需击鼓三次次击鼓出现次音乐出现音乐盘游戏击鼓三次出现次音乐获10分出现两次音乐获20分出现三次音乐获100分没出现音乐扣200分(获－200分)．设次击鼓出现音乐概率次击鼓出现音乐相互独立．
(1)设盘游戏获分数X求X分布列．
(2)玩三盘游戏少盘出现音乐概率少？
(3)玩款游戏许发现干盘游戏初分数相分数没增加反减少．请运概率统计相关知识分析分数减少原．
解：(1)X取值1020100－200
根题意
P(X＝10)＝C××＝
P(X＝20)＝C××＝
P(X＝100)＝C××＝
P(X＝－200)＝C××＝
X分布列：
X
10
20
100
－200
P
(2)设第i盘游戏没出现音乐事件Ai(i＝123)
P(A1)＝P(A2)＝P(A3)＝P(X＝－200)＝
三盘游戏中少盘出现音乐概率1－P(A1A2A3)＝1－＝1－＝
玩三盘游戏少盘出现音乐概率
(3)(1)知X数学期EX＝10×＋20×＋100×－200×＝－
表明获分数X均值负．
次游戏分数减少性更．
四立体
1．图四棱锥中面底面菱形点角线交点中点．
(Ⅰ)求证： ∥面
(Ⅱ)面面
(Ⅲ)三棱锥体积等时求长．
证明：（Ⅰ）△中分中点
∥．
面面
∥面． ……………………5分
(Ⅱ)底面菱形
．
面面
．
面．
面
面面． ……………………10分
（Ⅲ）底面菱形
．
三棱锥高
解． ……………………14分
2 已知△ABC中∠B90oDE分边BCAC中点△CDEDE翻折成四棱锥（图）
（Ⅰ）求证：DE⊥面
（Ⅱ）设面面求证：AB∥l[源学科网ZXXK]
（Ⅲ）F棱点设值时三棱锥体积1？
证明：（Ⅰ）∵∠B90oDE分BCAC中点
∴DE∥AB ……………1分
∴ ……………3分
∵ ……………4分
∴DE⊥面 ……………5分
（Ⅱ）∵DE∥AB面 面
∴AB∥面 ……………7分
∵AB面面面 ……………9分
∴ AB∥ ……………10分
（Ⅲ）∵
∴⊥面BDE．
∵∴ ……………11分
BD3AB2[源学科网]
∴
……………13分
解． ……………14分
3．图三角形梯形面互相垂直
线段点
（Ⅰ）时求证：面
（Ⅱ）求二面角余弦值
（Ⅲ）否存点满足面？说明理
解：（Ⅰ）取中点连接
四边形行四边形
面面
面
（Ⅱ）面面面面
面
面
图原点建立空间直角坐标系
面法量
设面法量
令
题知二面角钝角二面角余弦值
（Ⅲ）垂直
存点满足面
4．正△ABC边长4CDAB边高EF分ACBC边中点现△ABCCD翻折成直二面角A—DC—B（图（2））
图形（2）中：
（Ⅰ）试判断直线AB面DEF位置关系说明理
（Ⅱ）求二面角E—DF—C余弦值
（Ⅲ）线段BC否存点PAP⊥DE？证明结
解：
法：（I）图：△ABC中EF分ACBC中点EFAB
AB面DEFEF面DEF
∴AB∥面DEF……………………………………………………………………3分
（II）
∵AD⊥CDBD⊥CD
∴∠ADB二面角A—CD—B面角……………………4分
∴AD⊥BD ∴AD⊥面BCD
取CD中点M时EM∥AD ∴EM⊥面BCD
M作MN⊥DF点N连结ENEN⊥DF
∴∠MNE二面角E—DF—C面角……………………6分
Rt△EMN中EM1MN
∴tan∠MNEcos∠MNE………………………………8分
（Ⅲ）线段BC存点PAP⊥DE……………………………………9分
证明：
线段BC取点PP作PQ⊥CD点Q
∴PQ⊥面ACD………………………………………………………………10分
∵等边△ADE中∠DAQ30°
∴AQ⊥DE∴AP⊥DE…………………………………………………………12分
法二：（Ⅱ）点D坐标原点直线DBDCx轴y轴建立空间直角坐标系A（002）B（200）C（0
…………………………4分
面CDF法量
设面EDF法量
……………………6分
二面角E—DF—C余弦值………………………………8分
（Ⅲ）面坐标系xDy中直线BC方程
设
………………10分[源ZxxkCom]
线段BC存点PAP⊥DE…………………………………12分
解：设
线段BC存点PAP⊥DE…………………………12分
五导数
1 已知曲线
（Ⅰ）求函数处切线
（Ⅱ）时求曲线直线交点数
（Ⅲ）求证：函数单调递增
解：（Ⅰ）
函数处切线
（Ⅱ）时
曲线直线交点数方程解数相
显然该方程解
令
时时
单调递减单调递增
值
零点0
两曲线两交点
（Ⅲ）
时
函数单调递增
2．设函数
（Ⅰ）(然数底数)时求极值
（Ⅱ）讨函数零点数
（Ⅲ）意恒成立求取值范围．
解：（Ⅰ）定义域
a＝e时f(x)＝ln x＋f′(x)＝
∴x∈(0e)时f′(x)<0f(x)(0e)单调递减
x∈(e＋∞)时f′(x)>0f(x)(e＋∞)单调递增．
∴x＝e时f(x)取极值f(e)＝ln e＋＝2
∴f(x)极值2 5分
（Ⅱ）题设g(x)＝f′(x)－＝－－(x>0)
令g(x)＝0a＝－x3＋x(x>0)
设φ(x)＝－x3＋x(x≥0)
φ′(x)＝－x2＋1＝－(x－1)(x＋1)
x∈(01)时φ′(x)>0φ(x)(01)单调递增
x∈(1＋∞)时φ′(x)<0φ(x)(1＋∞)单调递减．
∴x＝1φ(x)唯极值点极值点x＝1φ(x)值点
∴φ(x)值φ(1)＝
φ(0)＝0结合y＝φ(x)图(图示)知
①a >时函数g(x)零点
②a＝时函数g(x)零点
③0
综述a>时函数g(x)零点
a＝a≤0时函数g(x)零点
0
等价恒成立．(*)
设h(x)＝f(x)－x＝ln x＋－x(x>0)
∴(*)等价h(x)(0＋∞)单调递减．
h′(x)＝－－1≤0(0＋∞)恒成立
a≥－x2＋x＝－＋(x>0)恒成立
∴a≥ （h′(x)0仅 时成立）14分
∴a取值范围
3．已知函数直线点曲线相切
（1）求切线方程
（2）关等式恒成立求实数值
（3）设函数唯零点求证
4．知函数中实数设该函数
图象两点
(Ⅰ)指出函数单调区间
(Ⅱ)函数图象点处切线互相垂直证明
(Ⅲ)函数图象点处切线重合求取值范围
解(Ⅰ)函数单调减区间单调增区间
(Ⅱ)导数意义知点A处切线斜率点B处切线斜率
点处切线互相垂直时
x<0时
(仅时等号成立)
函数图象点处切线互相垂直时
(Ⅲ)时
时图象点处切线方程
时图象点处切线方程
两切线重合充条件
①知
①②
令
设
减函数
t趋0时限增
取值范围
函数图象点处切线重合时取值范围
六解析
1．已知椭圆焦距4点
(Ⅰ)求椭圆C方程
(Ⅱ)设椭圆点点作轴垂线垂足取点连接点作垂线交轴点点点关轴称点作直线问样作出直线否椭圆C定唯公点说明理
解 (1)椭圆点
椭圆C方程
(2)
题意点坐标图示
直线方程
化简
带入
求
直线椭圆公点
2．已知椭圆C中心原点焦点x轴离心率等顶点恰抛物线x28y准线．
（1）求椭圆C标准方程
（2）点P（2）Q（2﹣）椭圆AB椭圆位直线PQ两侧动点．AB运动时满足∠APQ∠BPQ试问直线AB斜率否定值请说明理．
解：（1）设椭圆C标准方程（a＞b＞0）
∵椭圆顶点恰抛物线x28y准线y﹣2
∴﹣b﹣2解b2．
a2b2+c2
∴a4
椭圆C标准方程．
（2）设A（x1y1）B（x2y2）
∵∠APQ∠BPQPAPB斜率互相互数
设直线PA斜率kPB斜率﹣k
直线PA方程： k（x﹣2）
联立
化+4﹣160
∴x1+2
理：x2+2
∴x1+x2x1﹣x2
kAB．
∴直线AB斜率定值．
3 已知椭圆直线原点O行坐标轴C两交点线段中点．
(Ⅰ)证明：直线斜率斜率积定值
(Ⅱ)点延长线段椭圆交点四边形否行四边形
求时斜率说明理．
解：(Ⅰ)设直线
直线OM斜率9
直线OM斜率l斜率积定值
(Ⅱ)四边形OAPB行四边形
直线点原点C两交点充条件
(Ⅰ)OM方程
设点P横坐标 联立解
点坐标代入方程………8分
四边形OAPB行四边形仅线段AB线段OP互相分xP2xM
解
斜率时四边形OAPB行四边形
4．已知椭圆C：+（a＞b＞0）离心率坐标原点圆心椭圆短半轴半径圆直线x﹣y+0相切．
（Ⅰ）求椭圆C方程
（Ⅱ）椭圆C右顶点B作两条互相垂直直线l1l2分交椭圆CMN两点探究直线MN否定点？定点求出定点坐标否说明理．
解：（I）∵∴a22c2b2+c2∴a22b2
∵坐标原点圆心椭圆短半轴半径圆直线x﹣y+0相切
∴b
∴b1．∴a22．
∴椭圆C方程：．
（II）题意知：直线l1l2斜率存设直线l1：yk（x﹣1）直线l2：
设M（x1y1）N（x2y2）联立化（x﹣1）[（2+k2）x﹣（k2﹣2）]0解x1y1
k换成﹣x2
∴kMN
直线MN方程：化
∴直线MN定点．
k±1时MN时直线MN定点．
综：直线MN必定点．
5． 已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)焦距4短轴两端点长轴端点构成正三角形．
(1)求椭圆C标准方程．
(2)设F椭圆C左焦点T直线x＝－3意点F作TF垂线交椭圆C点PQ
①证明：OT分线段PQ(中O坐标原点)
②时求点T坐标．
解：(1)已知
解a2＝6b2＝2
椭圆C标准方程＋＝1
(2)①证明：(1)F坐标(－20)设T点坐标(－3m)
直线TF斜率kTF＝＝－m
m≠0时直线PQ斜率kPQ＝直线PQ方程x＝my－2
m＝0时直线PQ方程x＝－2符合x＝my－2形式．
设P(x1y1)Q(x2y2)直线PQ方程椭圆C方程联立
消x(m2＋3)y2－4my－2＝0
判式Δ＝16m2＋8(m2＋3)>0
y1＋y2＝y1y2＝
x1＋x2＝m(y1＋y2)－4＝
设MPQ中点M点坐标
直线OM斜率kOM＝－
直线OT斜率kOT＝－
点M直线OT
OT分线段PQ
②①
|TF|＝
|PQ|＝
＝
＝[源ZxxkCom]
＝[源Z|xx|kCom]
＝＝
≥＝
仅m2＋1＝m＝±1时等号成立时取值．
时T点坐标(－31)(－3－1)．
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