11 巧算
基础知识
常计算技巧：
(1) 凑整技巧——法凑整
(2) 等差数列求
(3) 裂项
(4) 通项纳
(5) 换元法
(6) 找规律
(7) 公式法
例题精讲
例 1： 计算：125´ 621´16 + 58
（2017 年五年级希杯 1 试第 1 题）
例 2：
计算： 2016´32 + 2016´ 680
（2016 年五年级希杯 1 试第 1 题）
例 3：
计算： (2016 + 201)´ 2017 2016´ (2017 + 2010)
（2017 年五年级希杯 2 试第 1 题）
例 4：
æ ö
ç ÷
ç ÷
ç 1 5 ÷
3
2
ç 5
ç
9 ÷´ 5 ¸
2
÷
3 + 225 4 A 值 ．
3
ç 1+ 24
÷ 7 4
è A ø
（2017 华杯初赛高组第 7 题）
例 5：
1
1 1
1
1
1 1 1
1 1 1 1
3 3+
3 35
5+LL
2021051520210717
计算： 1
11 1 + 11
11 1 +…LL+ +1 1 1 1
1 1
1´1´´ ´
1 ´ ´´ ´
´ ´ ´ ´
2 23
3 3 34
45 5
202105152021061620210717
（2017 华杯决赛 B 卷高组第 1 题）
12 定义新运算
基础知识
1基概念： 定义新运算指新定义运算符号已知运算表达式表示种新运算． 2基思路： 新定义运算符号△◎※等等表示含义设定．解答类题目
关键理解新定义严格新定义式子代入数值定义新运算转化成熟悉 四运算．
例题精讲
例 1：
定义 a *b a ´b + a 2´b 3* m 17 m
_ ．
（2017 年五年级希杯 2 试第 2 题）
例 2：定义： m Å n m´ m n´ n
2 Å2 Å4 44Å4 Å6 66Å6 Å8 88Å81Å010L…LLL 989Å81Å01000
（2016 年五年级希杯 2 试第 4 题）
例 3：[x]表示超 x 整数例[314]3 求
é 2017 ´ 3ù + é 2017 ´ 4ù + é 2017 ´ 5ù + é 2017 ´ 6ù + é 2017 ´ 7 ù + é 2017 ´8ù
ëê 11
ûú êë 11
ûú êë 11
ûú êë 11
ûú êë 11
ûú êë 11 úû
（2017 华杯决赛 A 卷高组——第 1 题）
例 4：
列数 记 数字 ：S(22) 2+24
等 ．
（2017 华杯决赛 A 卷高组第 7 题）
13 计算综合
基础知识
1 等差数列通项公式： an a1 + (n 1)d （中 d 表示公差 an 表示第 n 项）
2 等差数列求项数公式： n (an a1 ) ¸ d +1
3 等差数列求公式： S (a1 + an )´ n
2
4 长方形数表中位置两块形状完全相区域应位置数差相 等两块区域总差单项差项数积
例题精讲
例 1：
100 加 15减 12加 3加 15减 12加 3……序断重复运算运算 26 步 结果 ．( 1 步指加减数)
（2016 年五年级希杯 1 试第 6 题）
例 2：
根图示规律推知 M ．
（2016 年五年级希杯 2 试第 10 题）
例 3：
表中8 位第 3 行第 2 列2017 位第 a 行第 b 列 a b ．
1
4
5
2
3
6
9
8
7
10
13
14
11
12
15
18
17
16
19
22
23
20
21
…
（2017 年五年级希杯 2 试第 3 题）
例 4：
图正方体面展开图该正方体相两面数值相等 a b´ c 值 ．
（2017 年五年级希杯 1 试第 8 题）
21 常见应题
基础知识
1 二量应题 解含两量应题时题中般会含两等量关系采列方程
方法两未知量设字母解题关键
2 工程问题 工程问题指分数解答关工作总量工作时间工作效率间相互关系问
题
工作总量：般抽象成单位1 工作效率：单位时间完成工作量 三基公式：工作总量工作效率×工作时间
工作效率工作总量÷工作时间 工作时间工作总量÷工作效率
3 等量代换问题 较法倍数关系进行等量代换 4 值原理
定差积积定差
例题精讲
例 1：
张超王海家文具店买样练铅笔张超买 5 练 4 支铅笔付
20 元找回 35 元王海买 2 练 2 支铅笔正 7 元整 练 25
元
（2017 五年级希杯 2 试——第 5 题）
例 2：
某项工程需 100 天完成开始 10 30 天完成全部工程 1 增加 10
5
完成项工程提前 10 天完成务
（2015 华杯决赛高组 A 卷——第 3 题）
例 3：
磊买 3 块橡皮5 支铅笔需付 106 元 买品种 4 块橡皮4 支铅笔需付 12 元
块橡皮价格 22 元
（2016 希杯五年级 2 试——第 2 题）
例 4：
现甲乙丙三容量相水池台 A 型水泵单独甲水池注水台 B 型水泵单独 乙水池注水台 A 型台 B 型水泵起丙水池注水已知注满乙水池注满丙水池 需时间 4 时注满甲水池注满乙水池需时间 5 时注满丙水池三分二
需 4 时
（2014 华杯决赛高组 C 卷——第 6 题）
例 5：
酒店 100 标准间房价 400 元天入住率 50降低 20 元房价增加 5
间入住求合适房价酒店收房费高
（2015 华杯决赛高组 A 卷——第 10 题）
22 行程综合
基础知识
1 行程问题基公式： 路程速度×时间 均速度总路程÷总时间
2 例法：
设甲乙两走路程分 s 甲s 乙速度分 v 甲v 乙时间分
t 甲t 乙 s 甲v 甲×t 甲s 乙 v 乙×t 乙关系：
（1）时间相 t 甲 t 乙时 s 甲：s 乙v 甲：v 乙
（2）速度相 v 甲 v 乙时 s 甲：s 乙 t 甲：t 乙
（3）路程相 s 甲 s 乙时 v 甲：v 乙 t 乙：t 甲
例题精讲
例 1：
某天爸爸开车送红距学校 1000 米方步行学校结果红天家学
校 225 分钟 红骑行车家学校需 40 分钟均分钟步行 80 米骑行
车爸爸开车均分钟慢 800 米求红家学校距离少米？
（2017 五年级希杯 2 试——第 16 题）
例 2：
王教授早 8 点达车站候车登列车时站台时钟时针分针恰左右称．列车 8
点 35 分出发午 2 点 15 分达终点站．王教授走列车时站台时钟时针分针恰
称走出车站时恰 3 点整．王教授列车时间计 分钟．
（2015 华杯决赛高组 A 卷——第 4 题）
例 3：
已知 C AB 两中点午 7 点整甲车 A 出发 B 行进乙车丙车分 B
C 出发 A 行进甲车丙车相遇时乙车恰走完全程 3 午 10 点丙车达 A
8
10 点 30 分乙车走 A 时甲车距离 B 84 千米 A B 两距离 少千米？
（2015 华杯决赛高组 C 卷——第 9 题）
例 4：
张强骑车公交车 A 站出发着公交路线骑行分钟行 250 米段时间辆公 交车 A 站出发分钟行 450 米行驶 6 分钟需站停 1 分钟 辆公交车 出发 15 分钟时候追张强该公交车出发时候张强已骑距离少米？
（2016 五年级希杯 2 试——第 13 题）
例 5：
李双骑车 320 米分钟速度 A 驶 B 途中行车障推车继续前步行 5 分钟距 B 1800 米某修车15 分钟原车速 15 倍继续前行驶 B 达 B 时预计时间 17 分钟李双推车步行速度 米分钟
（2016 五年级希杯 1 试——第 18 题）
23 方程例法解应题
基础知识
列方程（组）解应题基步骤：
（1）审：认真审题弄清问题中已知量什未知量什间什等量 关系
（2）设：合理选择未知数解题关键步骤．直接设未知数间接设未知 数
（3）列：根题目中已知条件利等量关系列出方程（组）
（4）解：求出未知数值
（5）答：方程（组）解进行检查验算否符合题意针问题做出答案．
例题精讲
例 1：
数 abcd 均数 71 25×ab12c+48025×d a×b×c×d
（2017 五年级希杯 2 试——第 6 题）
例 2：
李老师带领学生参观科技馆学生数 5 倍数根规定教师学生原票价
半收费恰付钱数整数元付 1599 元问：班少名学生？原 票价少元？
（2017 五年级希杯 2 试——第 14 题）
例 3：
杯子装满浓度 16盐水中铁球体积 1043首先 球沉入盐水杯中结果盐水溢出 10取出球次中球沉入盐水杯中取出接 着球沉入盐水杯中取出杯中倒入纯水杯满止时杯中盐水浓度 少？（保留位数）
（2014 华杯决赛高组 A 卷——第 10 题）
例 4：
清明节学车烈士陵园扫墓果汽车行驶 1 时车速提高五分
预定时间提前 20 分钟赶果该车先原速行驶 72 千米速度提高三分
预定时间提前 30 分钟赶学校烈士陵园少千米？
（2014 华杯决赛高组 A 卷——第 11 题）
例 5：
甲乙两船流时行 8 千米逆流时行 4 千米甲船流然返回乙船
逆流 两船时出发 3 时时回出发点 3 时中长时间甲 乙两船航行？
（2015 五年级希杯 2 试——第 13 题）
31 组合图形问题
基础知识
1 三角形面积 三角形面积底×高÷2 2 勾股定理
直角三角形中两条直角边方等斜边方．数学公式中常写成
a2 + b2 c2 ．
例题精讲
例 1：
图正方形面积 1图中阴影部分面积 ．
（2017 五年级希杯 2 试——第 7 题）
例 2：
图3×3 正方形网格．果正方形边长 1阴影部分面积( )． A：5 B：4 C：3 D：2
（2018 华杯初赛 A 卷高组——第 2 题）
例 3：
图三角形 ABC 中EBEDFCFD∠EDF72°∠AED+∠AFD °
（2018 华杯初赛 A 卷高组——第 4 题）
例 4：
相 3 直角梯形位置图示∠1
．
（2017 五年级希杯 2 试——第 4 题）
例 5：
图中四边形 ABCD 边长 11 厘米正方形G CD 四边形 CEFG 边长 9
厘米正方形H AB ∠EDH 直角三角形 EDH 面积（ ）方厘米．
（2015 华杯决赛高组 C 卷——第 4 题）
32 模型
基础知识
1 鸟头模型 两三角形角相等互补时两三角形面积等分夹两角两
组边积
A D
E
D
E
D 2 D
A A 2
1 A
E E 1
B C B C B
C B C
S
S
ADE
AD AE
ABC
AB
AC
2 蝴蝶模型
图梯形 ABCD 中 AB CD a b
（1） S
（2） S
AOD S
S
BOC
a2 ab ab b2 (a b)2
S S S
AOB AOD BOC COD ABCD
A B
O
D C
3 燕尾模型
S
S
ABD
ACD
BE
CE
图三角形 ABC 中
A
D
B E C
4 风筝模型
S
图
ABD
BE S
CBD DE
S ACD CE
S CBA AE
A
B E C
D
例题精讲
例 1：
图ABCD 长方形AEFG 正方形． AB6AD4 SDADE
2 求
SDABG ．
（2017 五年级希杯 2 试——第 15 题）
例 2：
图三角形 ABC 中D BC 中点AF2BFCE3AE．连接 CF 交 DE P 点
求 EP 值．
DP
（2014 华杯决赛高组 A 卷——第 12 题）
例 3：
图长方形 ABCD 面积 60 EB2AEAFFD四边形 AEOF 面积
．
（2017 五年级希杯 1 试——第 16 题）
例 4：
图中ABCD 行四边形F AD S
面积72cm²求△CDE 面积
DAEF
8cm2 S
DDEF
12cm2 四边形 BCDF
（2015 华杯决赛高组 C 卷——第 13 题）
例 5：
图中ABCD 行四边形AMMBDNCNBEEFFC四边形 EFGH 面积 1求行四边形 ABCD 面积．
（2015 华杯决赛高组 A 卷——第 13 题）
33 立体
基础知识
1三视图原立体图形
（1）类问题突破口俯视图俯视图相堆叠体底座先画出底座 根正视图左视图标出高度解决类问题方法．
（2）块面量体积解块 面量藏里面体积解．
（3）求体积解时注意：俯视图出现十字形时中间格空．
2三视图法求表面积： 立方体堆砌成立体图形表面积三视图法求解
例题精讲
例 1：
图示长宽高分 15cm5cm4cm 长方体中切割走块长宽高分 ycm5cmxcm 长方体（xy 整数）余部分体积 120cm³ x
cmy cm．
例 2：
（2015 华杯决赛高组 A 卷——第 6 题）
长方体棱长整数厘米棱长 88 厘米长方体总侧面积 ( )方厘米．
（2015 华杯决赛高组 C 卷——第 6 题）
例 3：
图某体正面左面图形该体干棱长 1 正方体垒 成体体积 ．
（2016 希杯五年级 2 试——第 8 题）
例 4：
64 体积 1 立方米正方体拼成正方体果正方体 8 顶点处正 方体掉时体表面积 方米．
（2015 希杯五年级 1 试——第 7 题）
例 5： 图干相正方体摆成体面前面左面分图形①
②③少需 正方体．
（2015 希杯五年级 1 试——第 10 题）
41 计数问题
基础知识
常方法：
（1）枚举法
（2）树形图
（3）加原理
（4）分类讨
例题精讲
例 1：
20152016201720182019 五数分填入图中写DOGCW五 方格 D+O+GC+O+W 种填法
（2017 五年级希杯 2 试——第 8 题）
例 2：
面 5 条直线 5 条直线形成 n 交点 n 少数值？
（2017 华杯决赛高组 A 卷——第 9 题）
例 3：
1～8 八然数中取三数中没连续然数取法 种
（2014 华杯决赛高组 A 卷——第 3 题）
例 4：
1~100 然数中数字 5 倍数数
（2014 五年级希杯 2 试——第 2 题）
例 5：
2015 分数 11 11
11 …LL 11
11
11
化成数少限数？
22 33 44
22001144
22001155
22001166
（2015 华杯决赛高组 C 卷——第 10 题）
42 值问题
基础知识
常知识点： 少长短等问题称值问题值问题普遍应
类问题解决字描述问题类问题通常种类问题 结合考察学构造证极端分析力
（1）枚举法：情况全部列举出中找情况
（2）极端分析法：极端情况出发考虑
（3）值原理：定差积差积
例题精讲
例 1：
16 盒饼干中 15 盒质量(含盒子)相 1 盒少块果天称 少称 次定找出盒饼干
（2013 五年级希杯 1 试——第 15 题）
例 2：
边算式9 汉字代表数字 1 9汉字代表数字该算式 值( )
盼´+ 树´翠绿 + 天空´ 湛蓝
（2015 华杯决赛高组 C 卷——第 8 题）
例 3： 已知算式
abcd aad ´ e 式中字母代表数码问四位数 abcd 值少？
（2015 华杯决赛高组 C 卷——第 12 题）
例 4：
图边长 12 米正方形池塘周围草池塘边 ABCD 处根木桩 ABBCCD3 米现长 4 米绳子头羊拴中某根木桩羊草 活动区域面积应绳子拴 处木桩
（2014 华杯决赛高组 A 卷——第 1 题）
例 5：
某校学生提供苹果香蕉梨三种水果 作课间加餐名学生少选 择种 选 统计结果显示： 70 学生选择苹果 40 学生选香蕉 30 学生 选梨 三种水果选学生数占学生总数百分
（2017 华杯决赛高组 A 卷——第 10 题）
43 抽屉原理利原
基础知识
常知识点： 苹果÷抽屉＝商……余数
（1）余数＝1结：少（商＋1）苹果抽屉里
（2）余数＝𝑥结：少（商＋1）苹果抽屉里
（3）余数＝0结：少 商 苹果抽屉里
例题精讲
例 1：
副扑克牌中(掉王)少取 张牌保证中 3 张牌点数 相
（2007 五年级希杯 1 试——第 14 题）
例 2：
口袋里分红黄黑球 478 取出球中 6 色少取 球
（2008 五年级希杯 1 试——第 14 题）
例 3：
530 书分 48 名学生少名学生分书数量相？
（2015 华杯决赛高组 C 卷——第 14 题）
例 4：
连续然数 123…2014 中取出 n 数 n 数满足意取中两数 会数数 5 倍试求 n 值说明理
（2014 华杯决赛高组 A 卷——第 13 题）
51 数
基础知识
常知识点：
（1）整问题
（2）余数问题
（3）质数合数
（4）数倍数
例题精讲
例 1：
果三位数3□24倍数□里填数 数
（2013希杯1试）
例 2：
十位数 a2016b2017 33 整样十位数
（2013 希杯 1 试）
例 3：
1 5 7 组成位数字三位数中质数
（2014 希杯 1 试）
例 4：
10 2014 相积末位数
（2014 希杯 1 试）
例 5：
22017 ¸ 7 余数 ． （注：xn 示 n x 相）
（2017 希杯 1 试）
例 6：
两然数 667公倍数公约数商等 120．求两数
．
（2015 华杯决赛高 A 卷）
52 纳规律
基础知识
容斥原理
图中圆表示 A 元素数中圆表示 B 元素数圆表示 C 元素 数．
例题精讲
� ∪ � ∪ � � + � + � − � ∩ � − � ∩ � − � ∩ � + � ∩ � ∩ �
例 1：
图黑白两种球逐层排列层左右逐排白球第 次黑 球 2013 时恰排完第 层第
（2016 希杯 2 试）
例 2：
然数 abc 分某长方体长宽高值两位数 ab bc 满足 ab + bc 79求
长方体体积值．
（2017 希杯 2 试）
例 3：
编号 123…2015 2015 盏亮着电灯拉线开关控制．编号
2 倍数3 倍数5 倍数灯线拉时亮着灯 盏．
（2015 希杯 1 试）
例 4：
158 朋友排成排左边第起（第发苹果）隔 1 发苹
果右边第起（第发香蕉）隔 2 发香蕉求没水果 朋友数．
（2015 希杯 2 试）
53 数学思想
基础知识
基知识点：
（1）整体思想
（2）等量代换思想
（3）定方程分类讨思想
（4）称重问题
例题精讲
例 1：
三然数 2015两两相加分 m＋1m＋2011 m＋2012 m
（2015 年希杯 2 试）
例 2：
1~100 100 然数中掉两相邻偶数剩数均数 50掉两 数积 ．
（2016 年希杯 2 试）
例 3：
已知三位数 abc a (b + c) 33 b (a + c) 40 三位数 ．
（2015 年希杯 1 试）
例 4：
□○△分表示三木块质量相 1 克2 克3 克4 克 5
克根图 2 判断□质量 克○质量 克△质量 克
（2010 希杯 1 试）
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11 巧算
基础知识
常计算技巧：
(1) 凑整技巧——法凑整
(2) 等差数列求
(3) 裂项
(4) 通项纳
(5) 换元法
(6) 找规律
(7) 公式法
例题精讲
例 1： 计算：125´ 621´16 + 58
（2017 年五年级希杯 1 试第 1 题）
例 2：
计算： 2016´32 + 2016´ 680
（2016 年五年级希杯 1 试第 1 题）
例 3：
计算： (2016 + 201)´ 2017 2016´ (2017 + 2010)
（2017 年五年级希杯 2 试第 1 题）
例 4：
æ ö
ç ÷
ç ÷
ç 1 5 ÷
3
2
ç 5
ç
9 ÷´ 5 ¸
2
÷
3 + 225 4 A 值 ．
3
ç 1+ 24
÷ 7 4
è A ø
（2017 华杯初赛高组第 7 题）
例 5：
1
1 1
1
1
1 1 1
1 1 1 1
3 3+
3 35
5+LL
2021051520210717
计算： 1
11 1 + 11
11 1 +…LL+ +1 1 1 1
1 1
1´1´´ ´
1 ´ ´´ ´
´ ´ ´ ´
2 23
3 3 34
45 5
202105152021061620210717
（2017 华杯决赛 B 卷高组第 1 题）
12 定义新运算
基础知识
1基概念： 定义新运算指新定义运算符号已知运算表达式表示种新运算． 2基思路： 新定义运算符号△◎※等等表示含义设定．解答类题目
关键理解新定义严格新定义式子代入数值定义新运算转化成熟悉 四运算．
例题精讲
例 1：
定义 a *b a ´b + a 2´b 3* m 17 m
_ ．
（2017 年五年级希杯 2 试第 2 题）
例 2：定义： m Å n m´ m n´ n
2 Å2 Å4 44Å4 Å6 66Å6 Å8 88Å81Å010L…LLL 989Å81Å01000
（2016 年五年级希杯 2 试第 4 题）
例 3：[x]表示超 x 整数例[314]3 求
é 2017 ´ 3ù + é 2017 ´ 4ù + é 2017 ´ 5ù + é 2017 ´ 6ù + é 2017 ´ 7 ù + é 2017 ´8ù
ëê 11
ûú êë 11
ûú êë 11
ûú êë 11
ûú êë 11
ûú êë 11 úû
（2017 华杯决赛 A 卷高组——第 1 题）
例 4：
列数 记 数字 ：S(22) 2+24
等 ．
（2017 华杯决赛 A 卷高组第 7 题）
13 计算综合
基础知识
1 等差数列通项公式： an a1 + (n 1)d （中 d 表示公差 an 表示第 n 项）
2 等差数列求项数公式： n (an a1 ) ¸ d +1
3 等差数列求公式： S (a1 + an )´ n
2
4 长方形数表中位置两块形状完全相区域应位置数差相 等两块区域总差单项差项数积
例题精讲
例 1：
100 加 15减 12加 3加 15减 12加 3……序断重复运算运算 26 步 结果 ．( 1 步指加减数)
（2016 年五年级希杯 1 试第 6 题）
例 2：
根图示规律推知 M ．
（2016 年五年级希杯 2 试第 10 题）
例 3：
表中8 位第 3 行第 2 列2017 位第 a 行第 b 列 a b ．
1
4
5
2
3
6
9
8
7
10
13
14
11
12
15
18
17
16
19
22
23
20
21
…
（2017 年五年级希杯 2 试第 3 题）
例 4：
图正方体面展开图该正方体相两面数值相等 a b´ c 值 ．
（2017 年五年级希杯 1 试第 8 题）
21 常见应题
基础知识
1 二量应题 解含两量应题时题中般会含两等量关系采列方程
方法两未知量设字母解题关键
2 工程问题 工程问题指分数解答关工作总量工作时间工作效率间相互关系问
题
工作总量：般抽象成单位1 工作效率：单位时间完成工作量 三基公式：工作总量工作效率×工作时间
工作效率工作总量÷工作时间 工作时间工作总量÷工作效率
3 等量代换问题 较法倍数关系进行等量代换 4 值原理
定差积积定差
例题精讲
例 1：
张超王海家文具店买样练铅笔张超买 5 练 4 支铅笔付
20 元找回 35 元王海买 2 练 2 支铅笔正 7 元整 练 25
元
（2017 五年级希杯 2 试——第 5 题）
例 2：
某项工程需 100 天完成开始 10 30 天完成全部工程 1 增加 10
5
完成项工程提前 10 天完成务
（2015 华杯决赛高组 A 卷——第 3 题）
例 3：
磊买 3 块橡皮5 支铅笔需付 106 元 买品种 4 块橡皮4 支铅笔需付 12 元
块橡皮价格 22 元
（2016 希杯五年级 2 试——第 2 题）
例 4：
现甲乙丙三容量相水池台 A 型水泵单独甲水池注水台 B 型水泵单独 乙水池注水台 A 型台 B 型水泵起丙水池注水已知注满乙水池注满丙水池 需时间 4 时注满甲水池注满乙水池需时间 5 时注满丙水池三分二
需 4 时
（2014 华杯决赛高组 C 卷——第 6 题）
例 5：
酒店 100 标准间房价 400 元天入住率 50降低 20 元房价增加 5
间入住求合适房价酒店收房费高
（2015 华杯决赛高组 A 卷——第 10 题）
22 行程综合
基础知识
1 行程问题基公式： 路程速度×时间 均速度总路程÷总时间
2 例法：
设甲乙两走路程分 s 甲s 乙速度分 v 甲v 乙时间分
t 甲t 乙 s 甲v 甲×t 甲s 乙 v 乙×t 乙关系：
（1）时间相 t 甲 t 乙时 s 甲：s 乙v 甲：v 乙
（2）速度相 v 甲 v 乙时 s 甲：s 乙 t 甲：t 乙
（3）路程相 s 甲 s 乙时 v 甲：v 乙 t 乙：t 甲
例题精讲
例 1：
某天爸爸开车送红距学校 1000 米方步行学校结果红天家学
校 225 分钟 红骑行车家学校需 40 分钟均分钟步行 80 米骑行
车爸爸开车均分钟慢 800 米求红家学校距离少米？
（2017 五年级希杯 2 试——第 16 题）
例 2：
王教授早 8 点达车站候车登列车时站台时钟时针分针恰左右称．列车 8
点 35 分出发午 2 点 15 分达终点站．王教授走列车时站台时钟时针分针恰
称走出车站时恰 3 点整．王教授列车时间计 分钟．
（2015 华杯决赛高组 A 卷——第 4 题）
例 3：
已知 C AB 两中点午 7 点整甲车 A 出发 B 行进乙车丙车分 B
C 出发 A 行进甲车丙车相遇时乙车恰走完全程 3 午 10 点丙车达 A
8
10 点 30 分乙车走 A 时甲车距离 B 84 千米 A B 两距离 少千米？
（2015 华杯决赛高组 C 卷——第 9 题）
例 4：
张强骑车公交车 A 站出发着公交路线骑行分钟行 250 米段时间辆公 交车 A 站出发分钟行 450 米行驶 6 分钟需站停 1 分钟 辆公交车 出发 15 分钟时候追张强该公交车出发时候张强已骑距离少米？
（2016 五年级希杯 2 试——第 13 题）
例 5：
李双骑车 320 米分钟速度 A 驶 B 途中行车障推车继续前步行 5 分钟距 B 1800 米某修车15 分钟原车速 15 倍继续前行驶 B 达 B 时预计时间 17 分钟李双推车步行速度 米分钟
（2016 五年级希杯 1 试——第 18 题）
23 方程例法解应题
基础知识
列方程（组）解应题基步骤：
（1）审：认真审题弄清问题中已知量什未知量什间什等量 关系
（2）设：合理选择未知数解题关键步骤．直接设未知数间接设未知 数
（3）列：根题目中已知条件利等量关系列出方程（组）
（4）解：求出未知数值
（5）答：方程（组）解进行检查验算否符合题意针问题做出答案．
例题精讲
例 1：
数 abcd 均数 71 25×ab12c+48025×d a×b×c×d
（2017 五年级希杯 2 试——第 6 题）
例 2：
李老师带领学生参观科技馆学生数 5 倍数根规定教师学生原票价
半收费恰付钱数整数元付 1599 元问：班少名学生？原 票价少元？
（2017 五年级希杯 2 试——第 14 题）
例 3：
杯子装满浓度 16盐水中铁球体积 1043首先 球沉入盐水杯中结果盐水溢出 10取出球次中球沉入盐水杯中取出接 着球沉入盐水杯中取出杯中倒入纯水杯满止时杯中盐水浓度 少？（保留位数）
（2014 华杯决赛高组 A 卷——第 10 题）
例 4：
清明节学车烈士陵园扫墓果汽车行驶 1 时车速提高五分
预定时间提前 20 分钟赶果该车先原速行驶 72 千米速度提高三分
预定时间提前 30 分钟赶学校烈士陵园少千米？
（2014 华杯决赛高组 A 卷——第 11 题）
例 5：
甲乙两船流时行 8 千米逆流时行 4 千米甲船流然返回乙船
逆流 两船时出发 3 时时回出发点 3 时中长时间甲 乙两船航行？
（2015 五年级希杯 2 试——第 13 题）
31 组合图形问题
基础知识
1 三角形面积 三角形面积底×高÷2 2 勾股定理
直角三角形中两条直角边方等斜边方．数学公式中常写成
a2 + b2 c2 ．
例题精讲
例 1：
图正方形面积 1图中阴影部分面积 ．
（2017 五年级希杯 2 试——第 7 题）
例 2：
图3×3 正方形网格．果正方形边长 1阴影部分面积( )． A：5 B：4 C：3 D：2
（2018 华杯初赛 A 卷高组——第 2 题）
例 3：
图三角形 ABC 中EBEDFCFD∠EDF72°∠AED+∠AFD °
（2018 华杯初赛 A 卷高组——第 4 题）
例 4：
相 3 直角梯形位置图示∠1
．
（2017 五年级希杯 2 试——第 4 题）
例 5：
图中四边形 ABCD 边长 11 厘米正方形G CD 四边形 CEFG 边长 9
厘米正方形H AB ∠EDH 直角三角形 EDH 面积（ ）方厘米．
（2015 华杯决赛高组 C 卷——第 4 题）
32 模型
基础知识
1 鸟头模型 两三角形角相等互补时两三角形面积等分夹两角两
组边积
A D
E
D
E
D 2 D
A A 2
1 A
E E 1
B C B C B
C B C
S
S
ADE
AD AE
ABC
AB
AC
2 蝴蝶模型
图梯形 ABCD 中 AB CD a b
（1） S
（2） S
AOD S
S
BOC
a2 ab ab b2 (a b)2
S S S
AOB AOD BOC COD ABCD
A B
O
D C
3 燕尾模型
S
S
ABD
ACD
BE
CE
图三角形 ABC 中
A
D
B E C
4 风筝模型
S
图
ABD
BE S
CBD DE
S ACD CE
S CBA AE
A
B E C
D
例题精讲
例 1：
图ABCD 长方形AEFG 正方形． AB6AD4 SDADE
2 求
SDABG ．
（2017 五年级希杯 2 试——第 15 题）
例 2：
图三角形 ABC 中D BC 中点AF2BFCE3AE．连接 CF 交 DE P 点
求 EP 值．
DP
（2014 华杯决赛高组 A 卷——第 12 题）
例 3：
图长方形 ABCD 面积 60 EB2AEAFFD四边形 AEOF 面积
．
（2017 五年级希杯 1 试——第 16 题）
例 4：
图中ABCD 行四边形F AD S
面积72cm²求△CDE 面积
DAEF
8cm2 S
DDEF
12cm2 四边形 BCDF
（2015 华杯决赛高组 C 卷——第 13 题）
例 5：
图中ABCD 行四边形AMMBDNCNBEEFFC四边形 EFGH 面积 1求行四边形 ABCD 面积．
（2015 华杯决赛高组 A 卷——第 13 题）
33 立体
基础知识
1三视图原立体图形
（1）类问题突破口俯视图俯视图相堆叠体底座先画出底座 根正视图左视图标出高度解决类问题方法．
（2）块面量体积解块 面量藏里面体积解．
（3）求体积解时注意：俯视图出现十字形时中间格空．
2三视图法求表面积： 立方体堆砌成立体图形表面积三视图法求解
例题精讲
例 1：
图示长宽高分 15cm5cm4cm 长方体中切割走块长宽高分 ycm5cmxcm 长方体（xy 整数）余部分体积 120cm³ x
cmy cm．
例 2：
（2015 华杯决赛高组 A 卷——第 6 题）
长方体棱长整数厘米棱长 88 厘米长方体总侧面积 ( )方厘米．
（2015 华杯决赛高组 C 卷——第 6 题）
例 3：
图某体正面左面图形该体干棱长 1 正方体垒 成体体积 ．
（2016 希杯五年级 2 试——第 8 题）
例 4：
64 体积 1 立方米正方体拼成正方体果正方体 8 顶点处正 方体掉时体表面积 方米．
（2015 希杯五年级 1 试——第 7 题）
例 5： 图干相正方体摆成体面前面左面分图形①
②③少需 正方体．
（2015 希杯五年级 1 试——第 10 题）
41 计数问题
基础知识
常方法：
（1）枚举法
（2）树形图
（3）加原理
（4）分类讨
例题精讲
例 1：
20152016201720182019 五数分填入图中写DOGCW五 方格 D+O+GC+O+W 种填法
（2017 五年级希杯 2 试——第 8 题）
例 2：
面 5 条直线 5 条直线形成 n 交点 n 少数值？
（2017 华杯决赛高组 A 卷——第 9 题）
例 3：
1～8 八然数中取三数中没连续然数取法 种
（2014 华杯决赛高组 A 卷——第 3 题）
例 4：
1~100 然数中数字 5 倍数数
（2014 五年级希杯 2 试——第 2 题）
例 5：
2015 分数 11 11
11 …LL 11
11
11
化成数少限数？
22 33 44
22001144
22001155
22001166
（2015 华杯决赛高组 C 卷——第 10 题）
42 值问题
基础知识
常知识点： 少长短等问题称值问题值问题普遍应
类问题解决字描述问题类问题通常种类问题 结合考察学构造证极端分析力
（1）枚举法：情况全部列举出中找情况
（2）极端分析法：极端情况出发考虑
（3）值原理：定差积差积
例题精讲
例 1：
16 盒饼干中 15 盒质量(含盒子)相 1 盒少块果天称 少称 次定找出盒饼干
（2013 五年级希杯 1 试——第 15 题）
例 2：
边算式9 汉字代表数字 1 9汉字代表数字该算式 值( )
盼´+ 树´翠绿 + 天空´ 湛蓝
（2015 华杯决赛高组 C 卷——第 8 题）
例 3： 已知算式
abcd aad ´ e 式中字母代表数码问四位数 abcd 值少？
（2015 华杯决赛高组 C 卷——第 12 题）
例 4：
图边长 12 米正方形池塘周围草池塘边 ABCD 处根木桩 ABBCCD3 米现长 4 米绳子头羊拴中某根木桩羊草 活动区域面积应绳子拴 处木桩
（2014 华杯决赛高组 A 卷——第 1 题）
例 5：
某校学生提供苹果香蕉梨三种水果 作课间加餐名学生少选 择种 选 统计结果显示： 70 学生选择苹果 40 学生选香蕉 30 学生 选梨 三种水果选学生数占学生总数百分
（2017 华杯决赛高组 A 卷——第 10 题）
43 抽屉原理利原
基础知识
常知识点： 苹果÷抽屉＝商……余数
（1）余数＝1结：少（商＋1）苹果抽屉里
（2）余数＝𝑥结：少（商＋1）苹果抽屉里
（3）余数＝0结：少 商 苹果抽屉里
例题精讲
例 1：
副扑克牌中(掉王)少取 张牌保证中 3 张牌点数 相
（2007 五年级希杯 1 试——第 14 题）
例 2：
口袋里分红黄黑球 478 取出球中 6 色少取 球
（2008 五年级希杯 1 试——第 14 题）
例 3：
530 书分 48 名学生少名学生分书数量相？
（2015 华杯决赛高组 C 卷——第 14 题）
例 4：
连续然数 123…2014 中取出 n 数 n 数满足意取中两数 会数数 5 倍试求 n 值说明理
（2014 华杯决赛高组 A 卷——第 13 题）
51 数
基础知识
常知识点：
（1）整问题
（2）余数问题
（3）质数合数
（4）数倍数
例题精讲
例 1：
果三位数3□24倍数□里填数 数
（2013希杯1试）
例 2：
十位数 a2016b2017 33 整样十位数
（2013 希杯 1 试）
例 3：
1 5 7 组成位数字三位数中质数
（2014 希杯 1 试）
例 4：
10 2014 相积末位数
（2014 希杯 1 试）
例 5：
22017 ¸ 7 余数 ． （注：xn 示 n x 相）
（2017 希杯 1 试）
例 6：
两然数 667公倍数公约数商等 120．求两数
．
（2015 华杯决赛高 A 卷）
52 纳规律
基础知识
容斥原理
图中圆表示 A 元素数中圆表示 B 元素数圆表示 C 元素 数．
例题精讲
� ∪ � ∪ � � + � + � − � ∩ � − � ∩ � − � ∩ � + � ∩ � ∩ �
例 1：
图黑白两种球逐层排列层左右逐排白球第 次黑 球 2013 时恰排完第 层第
（2016 希杯 2 试）
例 2：
然数 abc 分某长方体长宽高值两位数 ab bc 满足 ab + bc 79求
长方体体积值．
（2017 希杯 2 试）
例 3：
编号 123…2015 2015 盏亮着电灯拉线开关控制．编号
2 倍数3 倍数5 倍数灯线拉时亮着灯 盏．
（2015 希杯 1 试）
例 4：
158 朋友排成排左边第起（第发苹果）隔 1 发苹
果右边第起（第发香蕉）隔 2 发香蕉求没水果 朋友数．
（2015 希杯 2 试）
53 数学思想
基础知识
基知识点：
（1）整体思想
（2）等量代换思想
（3）定方程分类讨思想
（4）称重问题
例题精讲
例 1：
三然数 2015两两相加分 m＋1m＋2011 m＋2012 m
（2015 年希杯 2 试）
例 2：
1~100 100 然数中掉两相邻偶数剩数均数 50掉两 数积 ．
（2016 年希杯 2 试）
例 3：
已知三位数 abc a (b + c) 33 b (a + c) 40 三位数 ．
（2015 年希杯 1 试）
例 4：
□○△分表示三木块质量相 1 克2 克3 克4 克 5
克根图 2 判断□质量 克○质量 克△质量 克
（2010 希杯 1 试）
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