11 简算巧算
四运算运算律
（1）交换律：
加法交换律字母表示写成
法交换律字母表示写成
（2）结合律：
加法结合律字母表示写成
法结合律字母表示写成
（3）分配律：
填空完成法分配律： (a + b)´ c
(a b)´ c
填空完成法分配律： (a + b)¸ c
(a b)¸ c
（4）括号： 括号规律完成括号练：
35 + (25 37)
25´(4 ¸ 5)
35 (25 37)
125 ¸(5 ¸ 4)
（5）带符号搬家： 级运算时带符号搬家加减法第级运算法第二级运算 带符号搬家原改写面算式：
54´39 ¸ 27 58 + 69 28
（6）方差公式
a2 b2 ( x + y)( x y)
例 1
19+199+1999+19999+199999 （2008 希杯四年级二试）
例 2
计算4×37×25
（2013 希杯四年级试）
例 3
计算：2468×629÷(1234×37)＝ (2015 希杯四年级试)
例 4
(7777+8888)÷5(888777)×3
（2011 希杯四年级试）
例 5
计算28×7×25＋12×7×25＋7×11×3＋44＝ （2012 华杯赛决赛中组）
例 6
计算[(55×45 – 37×43) – (3×221+1)]÷22 (2015 希杯四年级二试)
12 等差数列
1字母表示数
（1）字母表示数够简明表示出事物规律特征：
正方形边长 a周长表示 面积表示
（2）问题中数字母表示：
长方形长 m 宽 n 长方形周长表示 面积表示
含字母法中 号×写作· 省略写 般数值写字母前
面
正确写法改写面算式：
a×b×c
p×q
m×12×n
a×3×5
2 定义新运算
定义新运算种特设计计算形式特殊符号符号新 运算含义
特殊符号避免熟悉运算符号产生混淆
例 1
定义 a Å b a + b + ab (2 Å 3) Å 4 值 （2015 希杯四年级试）
3 简单方程
方程含未知数等式等式分恒等式非恒等式意数值代式子中字 母等式永远成立等式恒等式
方程概念填空：
a+bb+a2x－17m×nn×mm＋5m－56÷p 13×a+3
中属方程：
解方程关键等号两边时做相计算等号左边＋3右边时＋3左边×
5右边×5
尝试解列方程：
x+58 x58 x÷58 5x80
(x+5)÷88 5x+833 x÷7 – 23 (x – 3)×636
例 2
果 8×(2＋1÷x)＝18 x＝ _ （2017 希杯四年级试）
4 等差数列
（1）等差数列概念：
列数果第二项开始 项前项差常数称数列 等差数列常数称公差数列第数第项称首项 数称末项
判断面数列否等差数列：
12345……99100101
1357……9799101
1481319263443536476
（
（
（
）
）
）
（2）等差数列求公式：
等差数列 （首项+末项）×项数÷2 ① 等差数列 项数×首项 + 项数×（项数－1）×公差÷2 ② 等差数列尝试推导等差数列求公式①： 1+3+5+7+9+…+99+101+103
例 3
计算1 – 3+5 – 7+ – 11+13 –…– 39+41 (2009 希杯四年级二试)
13 数谜
1 数字谜
数字谜解题方法纳：
（1）末位分析法
（2）进位分析法
（3）位分析法
（4）余数分析位数分析
（5）综合分析法
例 1
图示5 相两位数 AB 相加两位数 MB中相字母表示相数字
字母表示数字 AB
（2012 希杯 1 试）
例 2
熊×熊二熊兄弟 相汉字代表 0 9 中相数字汉字代表数 字＞二满足条件熊兄弟代表三位数
（2013 华杯赛中组 B 卷）
2 数阵图
（1）数阵图分类：辐射型封闭型复合型
（2）数阵图问题质：数阵中填入保证特定线（特定区域）数间关系
（3）解题关键：
区分普通位关键位
→确定特定线（区域）计算线数
→判断关键位填入数
→运已信息进行尝试
例 3
1 16 16 然数排成图形状条斜线 4 数相等 abc+d+e+f
g
（2013 希杯 1 试）
例 4
六数 1357911 分填入图中圆圈（圆圈仅填数）边 三数等 19三角形三顶点处圆圈填三数
（2012 华杯赛中组 B 卷）
21 时间相关问题
1 日历问题
（1） 4 整时 100 整者 400 整年份闰年四年闰百年
闰四百年闰闰年 366 天非闰年 365 天
（2）135781012 月 31 天46911 30 天闰年 2 月 29 天非闰年
2 月 28 天
（3）周 7 天7 天周期 时候日历问题周期问题余数问题思考
例 1
果天星期五天算起57 天第天星期
（2012 希杯 1 试）
2 时间问题
钟面时针分针某特定位置时瞬间时刻（时刻钟面出） 时刻时刻间间隔时间（时间计算出）终止时刻起始时刻 时间
时间单位：时分秒（年月日等） 计时法两种：12 时计时法 24 时计时法
1 天24 时1 时60 分钟3600 秒1 分钟60 秒
例 2
图示电子钟显示 000000 235959 时间昼夜(24 时)钟表显示 时间恰数字 123456 组成 秒
（2012 希杯 1 试）
例 3
1200 时候时针分针夹角 0°时针分针第 6 次成 90°夹角时刻
（12 时制）
（2013 希杯 1 试）
3 年龄问题
年龄问题通常倍差倍者差等问题形式出现年龄问题差倍 数等问题综合需灵活加解决
解答年龄问题灵活运三条规律：
（1）年两年龄差总变
（2）着时间前推移年龄总减少增加相等数量（长 长）
（3）着时间变化两年龄间倍数关系会发生变化（倍数年龄增加 变）
例 4
年李林爸爸年龄 50 岁4 年爸爸年龄年龄 3 倍 2
岁李林爸爸 岁
（2011 希杯 1 试）
例 5
年丹丹 4 岁丹丹爸爸 28 岁a 年爸爸年龄丹丹年龄 3 倍 a 值
（2016 希杯 2 试）
22 行程问题初步
行程问题常公式
（1）基公式：速度×时间路程
（2）相遇问题 ：速度×相遇时间相遇路程
（3） 追问题 ：速度差×追时间相差路程
（4）火车桥 ：桥长＋车长路程 速度×桥时间路程
（5） 流水行船 ：水船速船速＋水速逆水船速＋水速×2
例 1
东荣时甲出发乙 东分钟行 50 米荣分钟行 60 米 荣达乙 立返回 两出发相遇 10 分钟甲乙两相距 米
（2014 希杯 1 试）
例 2
甲乙两机器分 AB 两点时出发甲达 B 点时乙走 288 米甲追 乙时乙走 336 米 AB 两点间距离 米．
（2016 希杯 1 试）
例 3
车队 4 米秒速度缓慢通座长 298 米桥 115 秒已知辆车长 6 米
相两车间隔 20 米车队 辆车
（2012 华杯赛中组 A 卷）
例 4
条河 AB 两码头A 游B 游甲乙两分 AB 时出发划船相 行4 时相遇果甲乙两分 AB 时出发划船行乙 16 时 追甲已知甲静水中划船速度时 6 千米乙静水中划船时行驶 千米
（2015 华杯赛中组）
例 5
座高楼红登层需 15 分钟走层需半分钟午 845 开始停
底层走高层立走中途停留午 917 第次返回底层 座楼 层
（2008 希杯 2 试）
例 6
图边长 50 米正方形围墙甲乙两分 AC 围墙时针方时出 发已知甲秒走 5 米乙秒走 3 米少 秒甲乙条边．
（2010 希杯 2 试）
例 7
甲乙两条长 120 米直路回跑 甲速度 5 米秒 乙速度 3 米秒 时端出发跑 15 分钟 段时间迎面相遇 次（端点 外）
（2016 华杯赛中组 A 卷）
23 典型应题综合
1 基应题
般复合应题两组两组数量关系交织起已知条件间接 数量关系较复杂叙述方式序较样般应题没明显结构特征 解题规律循
解答般应题时助线段图示意图直观演示手段帮助分析分析应题 数量关系时条件出发逐步推出求问题（综合法）问题出发找出 必须两条件（分析法）实际解时根题中已知条件灵活运两种方法
例 1
甲乙丙 3 起购买学品．已知甲乙支付 67 元乙丙支付 64 元甲
丙支付 63 元甲支付 元．
（2016 希杯四年级 1 试）
2 差倍应题
差问题
倍问题
差倍问题
已知条件
数差
数倍数
数差倍数
公式
(－差)÷2较数 (＋差)÷2较数
÷(倍数＋1)较数
差÷(倍数1)较数
例 2
甲乙两油桶中 100 千克油乙桶中 15 千克油注入甲桶时甲桶中油乙 桶中油 4 倍 原甲桶中油乙桶中油 千克．
（2014 希杯四年级 1 试）
3 盈亏问题
定数量物品分定数量物品够少物品余 盈亏问题已知情况确定物品总数参加分配数解答盈亏问题关键弄清盈 亏两次分关系
盈亏问题数量关系：
（1）（盈+亏）÷两次分配差份数
（盈—盈）÷两次分配差份数
（亏—亏）÷两次分配差份数
（2）次分数量×份数+盈总数量 次分数量×份数—亏总数量
例 3
某希杯组委会参加希杯考试考生安排考场考场 30 名考生会余 26
名考生独考场考场 26 名考生会余 20 名考生独考场前
种方案 9 考场该区参加考试考生 名
（2015 希杯四年级 1 试）
4 鸡兔笼问题
解鸡兔笼问题基关系式：
（1） 果假设全兔：
鸡数（兔子脚数×鸡兔总数实际脚数）÷（兔子脚数鸡脚数） 兔数鸡兔总数鸡数
（2） 果假设全鸡：
兔数（实际脚数鸡脚数×鸡兔总数）÷（兔子脚数鸡脚数） 鸡数鸡兔总数兔数
例 4
鸡兔笼 40 头兔脚数目鸡脚数目 10 倍少 8 兔
（2013 华杯赛中组 B 卷）
5 牛吃草问题
基公式
（1） 设定头牛天吃草量1
（2）草生长速度＝草量差÷时间差
（3）原草量＝牛头数×吃天数－草生长速度×吃天数
（4）吃天数＝原草量÷（牛头数－草生长速度）
（5）牛头数＝原草量÷吃天数＋草生长速度
例 5
型污水池存定量污水污水断流入安排 4 台污水处理设备36 天 池中污水处理完安排 5 台污水处理设备27 天池中污水处理完安排 7 台污水处理设备 天池中污水处理完
（2016 希杯四年级 1 试）
31 简单图形
常见问题
（1） 图形分割
（2）线段问题
（3）图形计数
（4）轴称问题
例 1
长方形 MNPQ 中MN 3MQ 4中心 O(角线 MP NQ 交点)画条直线 长方形 MNPQ 分成两相图形形状分
（2012 希杯四年级 1 试）
例 2
ABCD 四点左右次排条直线四点端点组成 6 条线段 已知 6 条线段长度分 12183032 4462(单位：厘米)线段 BC 长度 厘米
（2013 希杯四年级 1 试）
例 3
图 20 方格组成中含 A 正方形
（2017 希杯四年级 1 试）
例 4
图 5×5 方格纸 20 格点处钉 1 枚钉子钉子中某四顶点橡皮 筋围成正方形围成 正方形 （2013 希杯四年级 1 试）
例 5
图 4×4 方格图 3 正方形阴影正方形涂阴影方格图成 轴称图形涂法 种
（2014 希杯四年级 1 试）
32 计算
1 角度问题
（1）角分类：锐角直角钝角角周角
（2）特殊三角形分类：等腰三角形等边三角形直角三角形
（3）直角等 90°角等 180°周角等 360°三角形角 180°四边 形角 360°
例 1
图 已知直线 AB CD 交点 O ∠ AOC 20 ° ∠ EOD 60 ° ∠ AOE
°∠BOC °
（2011 希杯四年级 1 试）
2巧求长方形周长
（1）基公式：
①长方形周长2×(长+宽)面积长×宽．
②正方形周长4×边长正方形面积边长×边长．
（2）基长方形正方形图形直接公式求出周长面积 规较复杂图形采转化数学思想方法割补成基图形利 长方形正方形周长面积计算公式求解．
例 2
边长 5cm 正方形纸片虚线分成 5 长方形然箭头标记方长度移 动中 4 长方形图形周长 cm （2017 希杯四年级 1 试）
3 面积周长转化问题
常转化方法：
（1）移（2）割补（3）称（4）代换
例 3
长方形长宽增加 3 厘米面积增加 90 方厘米原长方形周长
厘米
（2015 希杯四年级 1 试）
4 格点面积问题
利格点求图形面积通常两种思路直接图形分成干面积单位然通 计算少面积单位求图形面积二某图形转化成长方形面积求然 两种方法结合起求出某较复杂图形面积
例 4
图 5×4 边长 1 正方形组成中阴影部分面积 ．
（2016 希杯四年级 1 试）
5 正方形面积问题
正方形面积边长×边长角线×角线÷2
例 5
图阴影正方形边长 2外面正方形边长 6 正方形 ABCD 面积
（2014 希杯四年级 1 试）
33 立体图形初步
1 正方体展开图
正方体面展开图中相两面特点： 相两面中间定隔着正方 形没公顶点相距
通正方体展开图形找相面首先层中隔面寻找层中隔两面寻找 剩两面相面
2 立方体
正方体特征 ：
正方体 6 面8 顶点12 条棱
正方体 6 面相正方形12 条棱长度相等 正方体特殊长方体
例 1
图数字 456 填入正方体展开图中正方体相两面数字相等
A 处应该填 B 处应该填 C 处应该填
（2013 希杯四年级 1 试）
例 2
棱长 1 米正方体木块分割成棱长 1 厘米正方体积木设想孙悟空施展神力
积木接叠放起成根长方体神棒直指蓝天已知珠穆朗玛峰海 拔高度 8844 米神棒高度超珠穆朗玛峰海拔高度 米
（2012 华杯赛中组）
例 3
图示蚂蚁正方体顶点 A 出发正方体棱爬顶点 B求行走路线
短蚂蚁 种走法
（2012 华杯赛中组 A 卷）
41 加原理
1 加法原理
般果完成件事 k 类方法第类方法中 m1 种做法第二类方法中 m2 种做法……第 k 类方法中 mk 种做法完成件事 m1+ m2+…
+mk 种方法 加法原理解题三部曲
1 完成件事分类情况
2 类类独立（类单独完成该件事）
3 类类相加
例 1
阳光学四年级 3 班班分男生 18 20 16 中意选升旗手
少种选法？
2 法原理
般果完成件事分成 n 必步骤第步 m1 种做法第二步 m2 种做法……第 n 步 mn 种做法完成件事 m1×m2×…×mn 种 方法
法原理解题三部曲
1 完成件事分 n 必步骤
2 步步相关（步单独完成该件事）
3 步步相
例 2
表出词造句句必须包括交通工具目请问
造出少句子？
爸爸
飞机
北京
妈妈
火车
拉萨
汽车
台北
例 3
希希花店买花装饰客厅花店里 5 盆黄色花7 盆红色花 6 盆粉色花希
希想中选择 2 盆颜色话少种选法？
例 4
0 – 6 七数字组成少重复数字四位偶数？
例 5
甲乙丙丁四作业混放起四便求满足列条件
法少种：
（1）甲作业
（2）恰作业
（3）少没作业
（4）谁没作业
42 简单数
什数
数纯粹数学分支研究整数性质简单说实关数理 学阶段课里没数概念提出相关知识处尤四年 级学没系统学数分数前学整数性质整数基 性质学熟练掌握灵活运奇数偶数连续数均数反序数位值原理 等等
例 1
10 连续然数排列 6 数前 4 数 2 倍 15 10
数中数
（2017 四年级希杯 1 试——第 12 题）
例 2
15 数均数 17加入 1 数均数变成 20加入数
（2017 四年级希杯 2 试——第 2 题）
例 3
三位数 abc cba 三位反序数（ 123 321778 877）果三位反序数中两
数 1069样反序数
（2015 四年级希杯 1 试——第 18 题）
例 4
某两位数位数字十位数字 12 位数字十位数字交换两位数原数
36 原数 （2011 四年级希杯 1 试——第 15 题）
例 5
果 a 表示三位数 b 表示两位数 a+b a+b a – b
a – b （2012 四年级希杯 1 试——第 3 题）
知识精讲
a ¸ b cd
43 整余数
法算式中整数 a 非零整数 b商整数 c余数 d余数 d
0 时称 a b 整 b 整 a记 b|a|整符号学妨先记起 整情况称 a b 倍数b a 约数（数）
整数特征：
（1） 2 整数：偶数 2 整末 位 02468
（2） 3 整数：整数数字 3 整整数 3 整
（3） 4 整数：末两位 4 整整数 4 整
（4） 5 整数：末位 0 5 整数 5 整
（5） 8 整数：末三位 8 整整数 8 整
（6） 9 整数：数字 9 整整数 9 整
（7） 71113 整数： 7×11×131001三位截断法判断数否 三数整
整法中会产生余数
余定理：定正整数 m果两整数 a b 满足 a－b 够 m 整称
a b 模 m 余标记方式 a º b （mod m）
例 1
法算式数数 136商 7数
（2015 四年级希杯 1 试——第 2 题）
例 2
面算式中五数积末尾六 0□里数
8×10×15×25×□
（2007 四年级希杯 2 试——第 3 题）
例 3
筐桃子 4 4 数 2 6 6 数 4 8 8 数 少 2 已知筐
桃子数少 120 150 筐桃子
（2012 四年级希杯 1 试——第 14 题）
例 4
1 100 100 数中 235 非零余数余数彼等数
（2016 四年级希杯 1 试——第 15 题）
51 找规律
知识精讲
找规律学数学中学数学教学基技学生发现历探究图形 数字简单排列规律通较理解掌握找规律方法培养学生初步观察操 作推理力
类题型出具体特殊数式图形求找出中变化规律猜想出 般性结
解题思路特殊般简化具体方法步骤：
（1）通特例分析寻找规律纳
（2）猜想符合规律般性结
（3）验证证明结否正确
例 1
算式1×1+11×11+111×111+···+111…111（20101）×111…111（20101）结果末三位数 字
（2010四年级希杯2试——第10题）
例 2
图 1 中前 4 图中数规律第 5 图中填适数 A B
_ C_
D E F （2011 四年级希杯 1 试——第 7 题）
例 3
An 表示积 7 ´ 7 ´ 7 ´¼´ 7 结果位数字 A17 A2 9 A33 …
n7
A1+A2+A3+…+A2013 （2013 四年级希杯 1 试——第 21 题）
例 4
图 n1 时 2 星星 n2 时 6 星星 n3 时 12 星星
n4 时 20 星星······ n10 时 星星
（2013 四年级希杯 2 试——第 3 题）
52 数学方法
1 利原
类题目会出现变化量需求值类题目属非常规问题没统 方法题目策略方法具体题目言致方 面思考：
（1）寻找极端情形
（2）分析推理——确定值
（3）枚举较——确定值
（4）估计构造模型 分析方法时需差情况出发分析问题利原
例 1
布袋中 60 彩球 种颜色球 6 蒙眼取球 保证取出球中三色球 少取出 球
（2013 华杯赛中组 B 卷）
例 2
1 200 200 然数中意选数少选出少确保中必 2 数积等 238？
（2016 华杯赛中组 A 卷）
2 抽屉原理
抽屉原称鸽巢原理早德国数学家狄利克雷提出关数问题中 成功应 简单抽屉原样： 3 物品放两抽屉里时肯定抽屉里 物品少 2 3 物品分配两种情形：0 3 1 2 说抽 屉里物品时候抽屉里两物品抽屉里没物品时候抽 屉里三物品抽屉原应样： 1 物品放两抽屉里时候肯定 抽屉里没物品
拓展般情形 n+1 物品放进 n 抽屉里时必定抽屉里两物 品 n 物品放进 n+1 抽屉里必定少抽屉里没物品
利抽屉原关键构造抽屉讨范围缩问题变简单明确运 抽屉原解题难点抽屉构造问题出发分析弄清进行分类元素特征 规律抽屉构造思路
利抽屉原解题般步骤：
（1）分析特征规律构造抽屉
（2）元素放入构造抽屉中
（3）运抽屉原问题进行分析讨
例 3
11 球分放三盒子里盒子里球数彼放球盒子里放
球少放 球
（2012 四年级希杯 2 试——第 9 题）
3 容斥原理
计数时必须注意没重复没遗漏重叠部分重复计算研究出 种新计数方法种方法基思想：先考虑重叠情况包含某容中 象数目先计算出然计数时重复计算数目排斥出计算结果 遗漏重复种计数方法称容斥原理
容斥问题中常会韦恩图快速解决问题
例 4
1~500 中2 整3 整5整数少
（2018四年级希杯培训题）
53 逻辑操作
1 逻辑问题
逻辑规律包括律矛盾律排中律充足理律四种
（1）律思维程中思想必须保持性：数 a 质数 整推理程中 a 始终质数保持性
（2）矛盾律指思维程中思想相矛盾真假 非：推理程中推出数 a 奇数奇数相矛盾
（3）排中律指思维程中两相互矛盾思想真必假 时真（假）：然数 a 奇数偶数假做出样判断 违反排中律
（4）充足理律指证程中判断某事实真时必须充足理：条 件然数 a 合数出发做出 a 定质数结违反充足理律 间忽略 a 1种情况
例 1
甲乙丙丁戊 5 猜测全班学科总成绩前 5 名
甲第 1 名 D第 5 名 E
乙第 2 名 A第 4 名 C
丙第 3 名 D第 4 名 A
丁第 1 名 C第 3 名 B
戊第 2 名 C第 4 名 B
猜 1 名次名次 1 猜第 12345 名分 （2011 四年级试）
（2011 四年级希杯 1 试——第 20 题）
2 操作问题
谓操作问题实际某事物定求进行种变换种变换具体执行 操作问题求连续进行种操作结果常见操作问题类：
（1）数字相关操作问题
（2）染色相关操作问题
（3）计数方面操作问题
例 2
A B C D 4 盒子中次放 8 6 3 1 球 第 1 朋友找放球少盒子 然 盒子中取球放入盒子 第 2 朋友找放球少盒子 然盒子 中取球放入盒子 ……第 50 位朋友放完 A 盒中球数
（2012 四年级希杯 1 试——第 16 题）
例 3
黑板写着九位数 222222222 做操作擦掉末位数 4 加刚擦数 字 然黑板写数 ……操作 直黑板写位数
（2014 四年级希杯 1 试——第 20 题）
例 4
3 堆桃子数分 937063猴子 3 堆桃子间搬运已知猴子次搬 5
桃子堆搬堆途中会吃掉 1 3 堆桃子数相等时猴子少吃 掉 桃子．
（2016 四年级希杯 1 试——第 14 题）
例 5
亚瑟王王宫中召见 6 名骑士 骑士中骑士恰 2 名朋友 围着张圆 桌坐（骑士姓名座位图） 结果发现种坐法 意相邻两名骑士恰朋友 亚瑟 王想重新安排座位 亚瑟王 种方法安排座位 骑士 朋友相邻 (旋转相 算种方法)
（2017 华杯赛中组）
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11 简算巧算
四运算运算律
（1）交换律：
加法交换律字母表示写成
法交换律字母表示写成
（2）结合律：
加法结合律字母表示写成
法结合律字母表示写成
（3）分配律：
填空完成法分配律： (a + b)´ c
(a b)´ c
填空完成法分配律： (a + b)¸ c
(a b)¸ c
（4）括号： 括号规律完成括号练：
35 + (25 37)
25´(4 ¸ 5)
35 (25 37)
125 ¸(5 ¸ 4)
（5）带符号搬家： 级运算时带符号搬家加减法第级运算法第二级运算 带符号搬家原改写面算式：
54´39 ¸ 27 58 + 69 28
（6）方差公式
a2 b2 ( x + y)( x y)
例 1
19+199+1999+19999+199999 （2008 希杯四年级二试）
例 2
计算4×37×25
（2013 希杯四年级试）
例 3
计算：2468×629÷(1234×37)＝ (2015 希杯四年级试)
例 4
(7777+8888)÷5(888777)×3
（2011 希杯四年级试）
例 5
计算28×7×25＋12×7×25＋7×11×3＋44＝ （2012 华杯赛决赛中组）
例 6
计算[(55×45 – 37×43) – (3×221+1)]÷22 (2015 希杯四年级二试)
12 等差数列
1字母表示数
（1）字母表示数够简明表示出事物规律特征：
正方形边长 a周长表示 面积表示
（2）问题中数字母表示：
长方形长 m 宽 n 长方形周长表示 面积表示
含字母法中 号×写作· 省略写 般数值写字母前
面
正确写法改写面算式：
a×b×c
p×q
m×12×n
a×3×5
2 定义新运算
定义新运算种特设计计算形式特殊符号符号新 运算含义
特殊符号避免熟悉运算符号产生混淆
例 1
定义 a Å b a + b + ab (2 Å 3) Å 4 值 （2015 希杯四年级试）
3 简单方程
方程含未知数等式等式分恒等式非恒等式意数值代式子中字 母等式永远成立等式恒等式
方程概念填空：
a+bb+a2x－17m×nn×mm＋5m－56÷p 13×a+3
中属方程：
解方程关键等号两边时做相计算等号左边＋3右边时＋3左边×
5右边×5
尝试解列方程：
x+58 x58 x÷58 5x80
(x+5)÷88 5x+833 x÷7 – 23 (x – 3)×636
例 2
果 8×(2＋1÷x)＝18 x＝ _ （2017 希杯四年级试）
4 等差数列
（1）等差数列概念：
列数果第二项开始 项前项差常数称数列 等差数列常数称公差数列第数第项称首项 数称末项
判断面数列否等差数列：
12345……99100101
1357……9799101
1481319263443536476
（
（
（
）
）
）
（2）等差数列求公式：
等差数列 （首项+末项）×项数÷2 ① 等差数列 项数×首项 + 项数×（项数－1）×公差÷2 ② 等差数列尝试推导等差数列求公式①： 1+3+5+7+9+…+99+101+103
例 3
计算1 – 3+5 – 7+ – 11+13 –…– 39+41 (2009 希杯四年级二试)
13 数谜
1 数字谜
数字谜解题方法纳：
（1）末位分析法
（2）进位分析法
（3）位分析法
（4）余数分析位数分析
（5）综合分析法
例 1
图示5 相两位数 AB 相加两位数 MB中相字母表示相数字
字母表示数字 AB
（2012 希杯 1 试）
例 2
熊×熊二熊兄弟 相汉字代表 0 9 中相数字汉字代表数 字＞二满足条件熊兄弟代表三位数
（2013 华杯赛中组 B 卷）
2 数阵图
（1）数阵图分类：辐射型封闭型复合型
（2）数阵图问题质：数阵中填入保证特定线（特定区域）数间关系
（3）解题关键：
区分普通位关键位
→确定特定线（区域）计算线数
→判断关键位填入数
→运已信息进行尝试
例 3
1 16 16 然数排成图形状条斜线 4 数相等 abc+d+e+f
g
（2013 希杯 1 试）
例 4
六数 1357911 分填入图中圆圈（圆圈仅填数）边 三数等 19三角形三顶点处圆圈填三数
（2012 华杯赛中组 B 卷）
21 时间相关问题
1 日历问题
（1） 4 整时 100 整者 400 整年份闰年四年闰百年
闰四百年闰闰年 366 天非闰年 365 天
（2）135781012 月 31 天46911 30 天闰年 2 月 29 天非闰年
2 月 28 天
（3）周 7 天7 天周期 时候日历问题周期问题余数问题思考
例 1
果天星期五天算起57 天第天星期
（2012 希杯 1 试）
2 时间问题
钟面时针分针某特定位置时瞬间时刻（时刻钟面出） 时刻时刻间间隔时间（时间计算出）终止时刻起始时刻 时间
时间单位：时分秒（年月日等） 计时法两种：12 时计时法 24 时计时法
1 天24 时1 时60 分钟3600 秒1 分钟60 秒
例 2
图示电子钟显示 000000 235959 时间昼夜(24 时)钟表显示 时间恰数字 123456 组成 秒
（2012 希杯 1 试）
例 3
1200 时候时针分针夹角 0°时针分针第 6 次成 90°夹角时刻
（12 时制）
（2013 希杯 1 试）
3 年龄问题
年龄问题通常倍差倍者差等问题形式出现年龄问题差倍 数等问题综合需灵活加解决
解答年龄问题灵活运三条规律：
（1）年两年龄差总变
（2）着时间前推移年龄总减少增加相等数量（长 长）
（3）着时间变化两年龄间倍数关系会发生变化（倍数年龄增加 变）
例 4
年李林爸爸年龄 50 岁4 年爸爸年龄年龄 3 倍 2
岁李林爸爸 岁
（2011 希杯 1 试）
例 5
年丹丹 4 岁丹丹爸爸 28 岁a 年爸爸年龄丹丹年龄 3 倍 a 值
（2016 希杯 2 试）
22 行程问题初步
行程问题常公式
（1）基公式：速度×时间路程
（2）相遇问题 ：速度×相遇时间相遇路程
（3） 追问题 ：速度差×追时间相差路程
（4）火车桥 ：桥长＋车长路程 速度×桥时间路程
（5） 流水行船 ：水船速船速＋水速逆水船速＋水速×2
例 1
东荣时甲出发乙 东分钟行 50 米荣分钟行 60 米 荣达乙 立返回 两出发相遇 10 分钟甲乙两相距 米
（2014 希杯 1 试）
例 2
甲乙两机器分 AB 两点时出发甲达 B 点时乙走 288 米甲追 乙时乙走 336 米 AB 两点间距离 米．
（2016 希杯 1 试）
例 3
车队 4 米秒速度缓慢通座长 298 米桥 115 秒已知辆车长 6 米
相两车间隔 20 米车队 辆车
（2012 华杯赛中组 A 卷）
例 4
条河 AB 两码头A 游B 游甲乙两分 AB 时出发划船相 行4 时相遇果甲乙两分 AB 时出发划船行乙 16 时 追甲已知甲静水中划船速度时 6 千米乙静水中划船时行驶 千米
（2015 华杯赛中组）
例 5
座高楼红登层需 15 分钟走层需半分钟午 845 开始停
底层走高层立走中途停留午 917 第次返回底层 座楼 层
（2008 希杯 2 试）
例 6
图边长 50 米正方形围墙甲乙两分 AC 围墙时针方时出 发已知甲秒走 5 米乙秒走 3 米少 秒甲乙条边．
（2010 希杯 2 试）
例 7
甲乙两条长 120 米直路回跑 甲速度 5 米秒 乙速度 3 米秒 时端出发跑 15 分钟 段时间迎面相遇 次（端点 外）
（2016 华杯赛中组 A 卷）
23 典型应题综合
1 基应题
般复合应题两组两组数量关系交织起已知条件间接 数量关系较复杂叙述方式序较样般应题没明显结构特征 解题规律循
解答般应题时助线段图示意图直观演示手段帮助分析分析应题 数量关系时条件出发逐步推出求问题（综合法）问题出发找出 必须两条件（分析法）实际解时根题中已知条件灵活运两种方法
例 1
甲乙丙 3 起购买学品．已知甲乙支付 67 元乙丙支付 64 元甲
丙支付 63 元甲支付 元．
（2016 希杯四年级 1 试）
2 差倍应题
差问题
倍问题
差倍问题
已知条件
数差
数倍数
数差倍数
公式
(－差)÷2较数 (＋差)÷2较数
÷(倍数＋1)较数
差÷(倍数1)较数
例 2
甲乙两油桶中 100 千克油乙桶中 15 千克油注入甲桶时甲桶中油乙 桶中油 4 倍 原甲桶中油乙桶中油 千克．
（2014 希杯四年级 1 试）
3 盈亏问题
定数量物品分定数量物品够少物品余 盈亏问题已知情况确定物品总数参加分配数解答盈亏问题关键弄清盈 亏两次分关系
盈亏问题数量关系：
（1）（盈+亏）÷两次分配差份数
（盈—盈）÷两次分配差份数
（亏—亏）÷两次分配差份数
（2）次分数量×份数+盈总数量 次分数量×份数—亏总数量
例 3
某希杯组委会参加希杯考试考生安排考场考场 30 名考生会余 26
名考生独考场考场 26 名考生会余 20 名考生独考场前
种方案 9 考场该区参加考试考生 名
（2015 希杯四年级 1 试）
4 鸡兔笼问题
解鸡兔笼问题基关系式：
（1） 果假设全兔：
鸡数（兔子脚数×鸡兔总数实际脚数）÷（兔子脚数鸡脚数） 兔数鸡兔总数鸡数
（2） 果假设全鸡：
兔数（实际脚数鸡脚数×鸡兔总数）÷（兔子脚数鸡脚数） 鸡数鸡兔总数兔数
例 4
鸡兔笼 40 头兔脚数目鸡脚数目 10 倍少 8 兔
（2013 华杯赛中组 B 卷）
5 牛吃草问题
基公式
（1） 设定头牛天吃草量1
（2）草生长速度＝草量差÷时间差
（3）原草量＝牛头数×吃天数－草生长速度×吃天数
（4）吃天数＝原草量÷（牛头数－草生长速度）
（5）牛头数＝原草量÷吃天数＋草生长速度
例 5
型污水池存定量污水污水断流入安排 4 台污水处理设备36 天 池中污水处理完安排 5 台污水处理设备27 天池中污水处理完安排 7 台污水处理设备 天池中污水处理完
（2016 希杯四年级 1 试）
31 简单图形
常见问题
（1） 图形分割
（2）线段问题
（3）图形计数
（4）轴称问题
例 1
长方形 MNPQ 中MN 3MQ 4中心 O(角线 MP NQ 交点)画条直线 长方形 MNPQ 分成两相图形形状分
（2012 希杯四年级 1 试）
例 2
ABCD 四点左右次排条直线四点端点组成 6 条线段 已知 6 条线段长度分 12183032 4462(单位：厘米)线段 BC 长度 厘米
（2013 希杯四年级 1 试）
例 3
图 20 方格组成中含 A 正方形
（2017 希杯四年级 1 试）
例 4
图 5×5 方格纸 20 格点处钉 1 枚钉子钉子中某四顶点橡皮 筋围成正方形围成 正方形 （2013 希杯四年级 1 试）
例 5
图 4×4 方格图 3 正方形阴影正方形涂阴影方格图成 轴称图形涂法 种
（2014 希杯四年级 1 试）
32 计算
1 角度问题
（1）角分类：锐角直角钝角角周角
（2）特殊三角形分类：等腰三角形等边三角形直角三角形
（3）直角等 90°角等 180°周角等 360°三角形角 180°四边 形角 360°
例 1
图 已知直线 AB CD 交点 O ∠ AOC 20 ° ∠ EOD 60 ° ∠ AOE
°∠BOC °
（2011 希杯四年级 1 试）
2巧求长方形周长
（1）基公式：
①长方形周长2×(长+宽)面积长×宽．
②正方形周长4×边长正方形面积边长×边长．
（2）基长方形正方形图形直接公式求出周长面积 规较复杂图形采转化数学思想方法割补成基图形利 长方形正方形周长面积计算公式求解．
例 2
边长 5cm 正方形纸片虚线分成 5 长方形然箭头标记方长度移 动中 4 长方形图形周长 cm （2017 希杯四年级 1 试）
3 面积周长转化问题
常转化方法：
（1）移（2）割补（3）称（4）代换
例 3
长方形长宽增加 3 厘米面积增加 90 方厘米原长方形周长
厘米
（2015 希杯四年级 1 试）
4 格点面积问题
利格点求图形面积通常两种思路直接图形分成干面积单位然通 计算少面积单位求图形面积二某图形转化成长方形面积求然 两种方法结合起求出某较复杂图形面积
例 4
图 5×4 边长 1 正方形组成中阴影部分面积 ．
（2016 希杯四年级 1 试）
5 正方形面积问题
正方形面积边长×边长角线×角线÷2
例 5
图阴影正方形边长 2外面正方形边长 6 正方形 ABCD 面积
（2014 希杯四年级 1 试）
33 立体图形初步
1 正方体展开图
正方体面展开图中相两面特点： 相两面中间定隔着正方 形没公顶点相距
通正方体展开图形找相面首先层中隔面寻找层中隔两面寻找 剩两面相面
2 立方体
正方体特征 ：
正方体 6 面8 顶点12 条棱
正方体 6 面相正方形12 条棱长度相等 正方体特殊长方体
例 1
图数字 456 填入正方体展开图中正方体相两面数字相等
A 处应该填 B 处应该填 C 处应该填
（2013 希杯四年级 1 试）
例 2
棱长 1 米正方体木块分割成棱长 1 厘米正方体积木设想孙悟空施展神力
积木接叠放起成根长方体神棒直指蓝天已知珠穆朗玛峰海 拔高度 8844 米神棒高度超珠穆朗玛峰海拔高度 米
（2012 华杯赛中组）
例 3
图示蚂蚁正方体顶点 A 出发正方体棱爬顶点 B求行走路线
短蚂蚁 种走法
（2012 华杯赛中组 A 卷）
41 加原理
1 加法原理
般果完成件事 k 类方法第类方法中 m1 种做法第二类方法中 m2 种做法……第 k 类方法中 mk 种做法完成件事 m1+ m2+…
+mk 种方法 加法原理解题三部曲
1 完成件事分类情况
2 类类独立（类单独完成该件事）
3 类类相加
例 1
阳光学四年级 3 班班分男生 18 20 16 中意选升旗手
少种选法？
2 法原理
般果完成件事分成 n 必步骤第步 m1 种做法第二步 m2 种做法……第 n 步 mn 种做法完成件事 m1×m2×…×mn 种 方法
法原理解题三部曲
1 完成件事分 n 必步骤
2 步步相关（步单独完成该件事）
3 步步相
例 2
表出词造句句必须包括交通工具目请问
造出少句子？
爸爸
飞机
北京
妈妈
火车
拉萨
汽车
台北
例 3
希希花店买花装饰客厅花店里 5 盆黄色花7 盆红色花 6 盆粉色花希
希想中选择 2 盆颜色话少种选法？
例 4
0 – 6 七数字组成少重复数字四位偶数？
例 5
甲乙丙丁四作业混放起四便求满足列条件
法少种：
（1）甲作业
（2）恰作业
（3）少没作业
（4）谁没作业
42 简单数
什数
数纯粹数学分支研究整数性质简单说实关数理 学阶段课里没数概念提出相关知识处尤四年 级学没系统学数分数前学整数性质整数基 性质学熟练掌握灵活运奇数偶数连续数均数反序数位值原理 等等
例 1
10 连续然数排列 6 数前 4 数 2 倍 15 10
数中数
（2017 四年级希杯 1 试——第 12 题）
例 2
15 数均数 17加入 1 数均数变成 20加入数
（2017 四年级希杯 2 试——第 2 题）
例 3
三位数 abc cba 三位反序数（ 123 321778 877）果三位反序数中两
数 1069样反序数
（2015 四年级希杯 1 试——第 18 题）
例 4
某两位数位数字十位数字 12 位数字十位数字交换两位数原数
36 原数 （2011 四年级希杯 1 试——第 15 题）
例 5
果 a 表示三位数 b 表示两位数 a+b a+b a – b
a – b （2012 四年级希杯 1 试——第 3 题）
知识精讲
a ¸ b cd
43 整余数
法算式中整数 a 非零整数 b商整数 c余数 d余数 d
0 时称 a b 整 b 整 a记 b|a|整符号学妨先记起 整情况称 a b 倍数b a 约数（数）
整数特征：
（1） 2 整数：偶数 2 整末 位 02468
（2） 3 整数：整数数字 3 整整数 3 整
（3） 4 整数：末两位 4 整整数 4 整
（4） 5 整数：末位 0 5 整数 5 整
（5） 8 整数：末三位 8 整整数 8 整
（6） 9 整数：数字 9 整整数 9 整
（7） 71113 整数： 7×11×131001三位截断法判断数否 三数整
整法中会产生余数
余定理：定正整数 m果两整数 a b 满足 a－b 够 m 整称
a b 模 m 余标记方式 a º b （mod m）
例 1
法算式数数 136商 7数
（2015 四年级希杯 1 试——第 2 题）
例 2
面算式中五数积末尾六 0□里数
8×10×15×25×□
（2007 四年级希杯 2 试——第 3 题）
例 3
筐桃子 4 4 数 2 6 6 数 4 8 8 数 少 2 已知筐
桃子数少 120 150 筐桃子
（2012 四年级希杯 1 试——第 14 题）
例 4
1 100 100 数中 235 非零余数余数彼等数
（2016 四年级希杯 1 试——第 15 题）
51 找规律
知识精讲
找规律学数学中学数学教学基技学生发现历探究图形 数字简单排列规律通较理解掌握找规律方法培养学生初步观察操 作推理力
类题型出具体特殊数式图形求找出中变化规律猜想出 般性结
解题思路特殊般简化具体方法步骤：
（1）通特例分析寻找规律纳
（2）猜想符合规律般性结
（3）验证证明结否正确
例 1
算式1×1+11×11+111×111+···+111…111（20101）×111…111（20101）结果末三位数 字
（2010四年级希杯2试——第10题）
例 2
图 1 中前 4 图中数规律第 5 图中填适数 A B
_ C_
D E F （2011 四年级希杯 1 试——第 7 题）
例 3
An 表示积 7 ´ 7 ´ 7 ´¼´ 7 结果位数字 A17 A2 9 A33 …
n7
A1+A2+A3+…+A2013 （2013 四年级希杯 1 试——第 21 题）
例 4
图 n1 时 2 星星 n2 时 6 星星 n3 时 12 星星
n4 时 20 星星······ n10 时 星星
（2013 四年级希杯 2 试——第 3 题）
52 数学方法
1 利原
类题目会出现变化量需求值类题目属非常规问题没统 方法题目策略方法具体题目言致方 面思考：
（1）寻找极端情形
（2）分析推理——确定值
（3）枚举较——确定值
（4）估计构造模型 分析方法时需差情况出发分析问题利原
例 1
布袋中 60 彩球 种颜色球 6 蒙眼取球 保证取出球中三色球 少取出 球
（2013 华杯赛中组 B 卷）
例 2
1 200 200 然数中意选数少选出少确保中必 2 数积等 238？
（2016 华杯赛中组 A 卷）
2 抽屉原理
抽屉原称鸽巢原理早德国数学家狄利克雷提出关数问题中 成功应 简单抽屉原样： 3 物品放两抽屉里时肯定抽屉里 物品少 2 3 物品分配两种情形：0 3 1 2 说抽 屉里物品时候抽屉里两物品抽屉里没物品时候抽 屉里三物品抽屉原应样： 1 物品放两抽屉里时候肯定 抽屉里没物品
拓展般情形 n+1 物品放进 n 抽屉里时必定抽屉里两物 品 n 物品放进 n+1 抽屉里必定少抽屉里没物品
利抽屉原关键构造抽屉讨范围缩问题变简单明确运 抽屉原解题难点抽屉构造问题出发分析弄清进行分类元素特征 规律抽屉构造思路
利抽屉原解题般步骤：
（1）分析特征规律构造抽屉
（2）元素放入构造抽屉中
（3）运抽屉原问题进行分析讨
例 3
11 球分放三盒子里盒子里球数彼放球盒子里放
球少放 球
（2012 四年级希杯 2 试——第 9 题）
3 容斥原理
计数时必须注意没重复没遗漏重叠部分重复计算研究出 种新计数方法种方法基思想：先考虑重叠情况包含某容中 象数目先计算出然计数时重复计算数目排斥出计算结果 遗漏重复种计数方法称容斥原理
容斥问题中常会韦恩图快速解决问题
例 4
1~500 中2 整3 整5整数少
（2018四年级希杯培训题）
53 逻辑操作
1 逻辑问题
逻辑规律包括律矛盾律排中律充足理律四种
（1）律思维程中思想必须保持性：数 a 质数 整推理程中 a 始终质数保持性
（2）矛盾律指思维程中思想相矛盾真假 非：推理程中推出数 a 奇数奇数相矛盾
（3）排中律指思维程中两相互矛盾思想真必假 时真（假）：然数 a 奇数偶数假做出样判断 违反排中律
（4）充足理律指证程中判断某事实真时必须充足理：条 件然数 a 合数出发做出 a 定质数结违反充足理律 间忽略 a 1种情况
例 1
甲乙丙丁戊 5 猜测全班学科总成绩前 5 名
甲第 1 名 D第 5 名 E
乙第 2 名 A第 4 名 C
丙第 3 名 D第 4 名 A
丁第 1 名 C第 3 名 B
戊第 2 名 C第 4 名 B
猜 1 名次名次 1 猜第 12345 名分 （2011 四年级试）
（2011 四年级希杯 1 试——第 20 题）
2 操作问题
谓操作问题实际某事物定求进行种变换种变换具体执行 操作问题求连续进行种操作结果常见操作问题类：
（1）数字相关操作问题
（2）染色相关操作问题
（3）计数方面操作问题
例 2
A B C D 4 盒子中次放 8 6 3 1 球 第 1 朋友找放球少盒子 然 盒子中取球放入盒子 第 2 朋友找放球少盒子 然盒子 中取球放入盒子 ……第 50 位朋友放完 A 盒中球数
（2012 四年级希杯 1 试——第 16 题）
例 3
黑板写着九位数 222222222 做操作擦掉末位数 4 加刚擦数 字 然黑板写数 ……操作 直黑板写位数
（2014 四年级希杯 1 试——第 20 题）
例 4
3 堆桃子数分 937063猴子 3 堆桃子间搬运已知猴子次搬 5
桃子堆搬堆途中会吃掉 1 3 堆桃子数相等时猴子少吃 掉 桃子．
（2016 四年级希杯 1 试——第 14 题）
例 5
亚瑟王王宫中召见 6 名骑士 骑士中骑士恰 2 名朋友 围着张圆 桌坐（骑士姓名座位图） 结果发现种坐法 意相邻两名骑士恰朋友 亚瑟 王想重新安排座位 亚瑟王 种方法安排座位 骑士 朋友相邻 (旋转相 算种方法)
（2017 华杯赛中组）
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