11 分数计算
1 基概念性质
（1）分数分子相法中 分数分数线相法中 分数分母 相法中 分数分数值相法中
（2）分数基性质：
（3）两数 A B（A>B）A B B A （填分）A B
（填分）B A 少 （填分数表示分）
例 1
分数分子减少 20分母增加 28新分数原分数减少
（2015 希杯 1 试）
2分数巧算方法
（1）法分配律：
（2）简算巧算常思想： 等
（3）级运算中括号前面加号（号）添（）括号 括号前面减号（ 号）添（）括号
（4）级运算中带符号搬家
（5）含带分数加减运算通常带分数 形式含带分数运算 通常
（6）繁分数计算繁分数中分数线转化成 做先算 算 层层化简
例 2
计算：121´ 13 +12´ 21 ． （2016 希杯 1 试）
25 25
3 裂项相消
（1）裂差型运算：
1
n(n +1)
1
a ´ b
（2）裂型运算：
a + b
a ´ b
a2 + b2
a ´ b
例 3
计算： 1
1+ 2
1
+
1+ 2 + 3
+ + 1
1+ 2 + 3 + 4 + +10
（2015 希杯 2 试）
4较估算
分数较常方法：
（1）通分母： 通分子：
（2）倒数：
（3） 1 相减较法：
（4）放缩法： ．
例 4
a <
1 +
2011
1 +
2012
1
1 +
2013
1 +
2014
1
2015
< a +1
整数 a
（2015 希杯 1 试）
5 循环数分数
（1）简分数化数三种情况：
果 分数定化成限数
果 分数定化成纯循环数 果 分数定化成
混循环数
（ 2 ） 限 循 环 数 化 分 数 方 法 般 方 法 限 循 环 数
扩限循环数原限循环数
完全相然两数
（3）纯循环数化分数：
混循环数化分数： 减 差
例 5
· ·
计算 4 ´ 9 3 + 975´ 2 + 0142857´975
（2017
希杯 2 试）
7 4 7
6 数列计算
（1）等差数列
末项公式： 项数公式： 求公式：
（2）等数列
等数列求方法：
例 6
明书页码 1 开始逐页相加加数 4979发现书中缺 张（连续两页码）书原 页
（2015 希杯 2 试）
1 数字谜
12 数字谜数阵
（1）解题突破口竖式横式中特殊处例
（2）根情况逐步缩范围进行恰
（3）题目中涉字母汉字时注意利 条件排 干性
（4）注意结合 考虑
（5）时运数中 等方法
例 1
面算式中 字母 a b c d □代表十数字 0 9 中 中 a b c d 四字母 代表数字 求 a b c d 代表数字
（2014 华杯赛决赛）
例 2
算式 希杯´8 希杯´5 中 汉 字 代 表 数 字
希杯代表六位偶数
（2016 希杯 2 试）
2 数阵
（1）辐射型数阵图特点中心出发外作射线填类数阵图关键
然通数分析进行试验填数求解
（2）封闭型数阵图特点：边间相互连接形成封闭图形填类数阵图
抓住 进行分析试验方法确定
填出数阵图
（3）数阵图辐射型数阵图特点封闭型数阵图求做复合型数 阵图思考数阵图问题时首先确定 试验方法找
综解数阵图关键 突破口般选择
关键数列出关系式确定出关键数具体数值 位置数进行推断
例 3
四相正方形拼成右图 否连续24然数分放图中示24黑点处
（处放 数次） 图中正方形边放数相等 请出例子 请说明理
（2013华杯赛决赛）
例 4
图中华罗庚金杯五汉字分代表 1~5 五数字．线段两端点数字相 加五 种情况五恰五连续然数．
（2017 华杯赛初赛）
13 计算综合
1 定义新运算
（1）定义新运算指 解答某算式种运算
（2）解答定义新运算关键 然严格新定义计算程 序数值代入转化 进行计算
（3）遇重符号时候逐步运算新定义算式括号先算
例 1
定义运算⊕：
ìa(a > b) a Å b ï (a b)
î
í1
ïb(a < b)
例：35⊕2351⊕12127⊕71
11Å 7 1 Å 01
3 3
4 Å 08
5
（2013 希杯 1 试）
例 2
0 然数 n 规定种G运算：
① n 奇数时G(n)3n+1
② n 偶数时G(n)等 n 连续 2 直商奇数
k 次G运算记作 Gk G1(5)3×5＋116G2(5) G1(16)16÷2÷2÷2÷21 G3(5)3×1＋14G4(5)4÷2÷21 请计算：
（1）G1(2016)值
（2）G5(19)值
（3）G2017(19)值
（2017 希杯 2 试）
2 关分子分母运算问题
（1） 分数简分数简分数分数分子分母
简分数约分数
（2）分数分母分子时减数分子分母差变样问题转化
解决
（3）已知分数分子分母样问题转化 解决
（4）分子分母中发生变化时 份量（单位1）进行运算
例 3
已知 x y
9 15
z 简真分数积 1 x+ y +z
14 6
（2015 希杯 1 试）
3取整取运算
（1）[x]表示 x 整数做 {x}x[x]表示 x 数部分做
（2）意 x：
（3）意 x：
（4）x 0 数n 0 然数超 x 然数中n 倍数
例 4
[x]表示超 x 整数例[314]3：
[ 2017 ´ 3] +[ 2017 ´ 4] +[ 2017 ´ 5] +[ 2017 ´ 6] +[ 2017 ´ 7] +[ 2017 ´8] 值
11 11 11 11 11 11
（2017 华杯赛决赛）
例 5
解方程：[x]´{x}+ x 2{x}+ 9 中[x] 表示 x 整数部分{x} 表示 x 数部分［314］＝
3｛314｝＝014
（2016 希杯 2 试）
21 例分数应题
1 分数应题
解分数应题时分析题中数量间关系准确找出 解题 关键
基公式：
（1）应量
（2） 单位1量
点： 常 作单位1
例 1
甲挖条水渠第天挖水渠总长度 1 第二天挖剩水渠长度 5
第三天挖未
4 21
挖水渠长度 1 第四天挖完剩 100 米水渠条水渠长 米
2
（2014 希杯 1 试）
2 例应题
（1）例分配
ab 例分配 x 物品分
（2）差分问题
AB 数量 ab (a>b)数量差 x A 数量 B 数量
解题关键 ．
例 2
两根粗细相材料相蜡烛长度 2116时开始燃烧18 分钟长蜡烛 短蜡烛长度 1511较长根蜡烛燃烧 分钟
（2016 希杯 2 试）
3 浓度问题
（1）浓度配问题中基概念
溶液：种物质 种物质里形成均稳定混合物做溶液 溶质： 做溶质
溶剂： 做溶剂
浓度：指溶液中 值通常 表示
（2）浓度配问题中基公式
浓度＝ ＝ 溶液＝ ＝ 溶质＝
溶剂＝
例 3
三杯重量相等溶液浓度次 102045果次三杯子中溶液重
量 1 1 1
倒入第四空杯子中第四杯子中溶液浓度 ．
2 4 5
（2017 希杯 2 试）
4 工程问题
工程问题指分数解答关 间相互关系问题 工作总量：般抽象成
工作效率： 工作量 三基公式：
工作总量 工作效率 工作时间
例 4
某水池甲乙两进水阀 开甲注水 10 时空水池注满开乙15 时 空水池注满现求 7 时空水池注满 开甲注水干时 接着开乙 注水干时 时开甲乙注水时开甲乙时间少时
（2016 华杯赛决赛）
22 行程问题
1 钟表问题
（1）时钟问题做特殊圆形轨道 2 追相遇问题里两分 时钟分针时针
（2）钟面周分 60 格格 6°数字间隔 5 格 30° 分针分钟走
格 6° 时针分钟走 1
12
格 05°分针速度时针速度 12 倍时针分针速度 1
12
（3）初始时刻分针落时针 a 格分针追时针时间间隔 a÷(1－ 1
12
)分
2 例行程
（4）两针垂直夹角 90°两针直线夹角 180° 0°
例 1
红午 11 点时出家门时挂钟时针分针重合天午 5 点时回 家时挂钟时针分针方相反(条直线)红出 时
（2014 希杯 2 试）
（1）相时间甲乙走路程等
（2）甲乙走相路程时时间等
（3）车速度变时走路程时间
例 2
清明节 学车烈士陵园扫墓 果汽车行驶 1 时 车速提高五分 预定时间提前 20 分钟赶果该车先原速行驶 72 千米速度提高三分 预定时间提前 30 分钟赶 学校烈士陵园少千米？
（2014 华杯赛决赛）
3 次相遇
（1）甲乙两两时相行返运动
出发第 1 次相遇两合走 1 全程次相遇次相遇间两合 走路程 全程
出发第 1 次相遇历时间 t次相遇次相遇间历时间
出发第 1 次相遇甲走 s 路程次相遇次相遇间甲走路程
（2）甲乙两时出发返运动
出发第 1 次相遇某次相遇次相遇两合走路程 全程
出发第 1 次相遇某次相遇次相遇历时间
出发第 1 次相遇某次相遇次相遇甲走路程
例 3
甲乙两分 AB 两时出发相行甲乙速度 53两相遇继续
行进甲达 B 乙达 A 立原路返回两第二次相遇点距第次相遇 点 50 千米 AB 两相距 千米 （2014 希杯 1 试）
4 环形跑道
（1）环形跑道问题点出发果相行 相遇次果 行 相遇次．
（2）行等量关系：次相遇次相遇两 跑道长 背行等量关系：次相遇次相遇两 跑道长
例 4
圆形跑道等距插着 2015 面旗子甲乙时某旗子出发甲乙次时回
出发点时甲跑 23 圈乙跑 13 圈．算起始点旗子位置甲正旗子位置追乙 少次？
（2015 华杯赛决赛）
23 列方程解应题
1应题方程解法
列方程解应题般分五步：
（1）审题
理清题目结构
（2）合理设未知数
设未知数方法两种：
（3）根等量关系列出方程
寻找等量关系常方法：根题中 找等量关系
（4）解方程求出未知数值
（5）验算答题
例 1
某行车前轮周长11 米轮周长1 1 米前轮轮转 25 圈时行车行
3 2
走 米．
（2016 希杯 1 试）
例 2
100 升容器盛满纯酒精倒出部分注满水第二次倒出第次等体积混合
液注满水时容器水体积纯酒精体积 3 倍第次倒出酒精混合液 升
（2015 希杯 1 试）
2 设求
应题通 设求铺路搭桥巧妙求解 优点：
（1）利 化难易
（2）利 化隐显
例 3
AB 两校男女生数分 8∶7 30∶31两校合男女 生数 27∶ 26 AB 两校合前数
（2013 希杯 1 试）
3 定方程
（1）定方程（组）指未知数数 方程数方程（组）特点 解唯确定 求 甚求 加条件限制解确定
（2） 简单定方程复杂定方程（组）常常 转化 问题加解决
（3）般解法： 等等
例 4
3 老鼠发现堆花生米商量第二天分第二天第老鼠早发现花生
米法分吃粒余恰分成 3 份份走第二第三 老鼠次遇样问题采取样方法吃掉粒花生米分成 3 份走份堆花生米少 粒
（2015 希杯 1 试）
31 立体图形
1 表面积体积
（1）长方体表面积 长方体体积
（2）正方体表面积 正方体体积
（3）圆柱表面积 圆柱体积
V
V
S
V
_
S
S
（4）圆锥体积＝
V
例 1
某日台风天气雨直均匀着雨里放左图示长方形容器容器装满 雨水需 1 时 请问：雨水满右图示三容器需少时？
（2017 希杯 2 试）
2 浸没问题
物体浸入水中时水面升（降）体积
： 容器底面积×水面升（降）高度 ×
例 2
图底面直径 10 厘米圆柱形容器装满水先底面直径 8 厘米圆锥形铁 块放入容器中铁块全部浸入水中铁块取出时水面高度 降 32 厘米圆锥 形铁块高 厘米
（2014 希杯 1 试）
3 视图
正方体 11 种展开图：
（1）141 型
（2）231 型
（3）222型
（4）33型
例 3
四完全相正方体堆积成图示立体 立体表面（包括底面）黑点 总数少 （2013华杯赛决赛）
4 立体图形分割
（1）立体图形切成两部分新增加表面积等 反两
立体图形粘合起减少表面积等
（2）长方体拼成表面积长方体应 拼合起 长方体拼成表面积长方体应 拼合起
例 4
图棱长 6 正方体切割成干棱长整数相正方体正方体 表面积切割前正方体表面积 2 倍切割成正方体棱长
（2015 希杯 1 试）
32 图形中例
1 长方形面积例问题
（1）根长方形面积＝长×宽 长方形面积定时 成反例 长方形长定时 成正例 长方形宽定时 成正例
（2）两长方形长例 ab宽 cd面积
例 1
图 1 长方形分成 9 长方形中位角 3 长方形面积分 9
15 12第 4 角长方形面积等
（2015 希杯 2 试）
2 三角形面积例问题
（1）根三角形面积＝底×高÷2 三角形面积定时 成反例 三角形底定时 成正例 三角形高定时 成正例
（2）两三角形底边例 ab高 cd面积
例 2
图三角形 ABC 面积 1DOOB13EOOA45三角形 DOE 面积 ．
（2015 华杯赛决赛）
3 模型
（1）等积模型
图
A B
C D
（2）鸟头定理
图
D
A
D
E
A
E
B C B C
（3）蝶形定理
图
推广梯形中
D
A S 1
S 4
S 2 O
S 3
B
A a D S 1
S 2 S 4
O
S 3
C B b C
（4）相似模型 图
A E F D
D
F
E
A
B G C B G C
金字塔模型 沙漏模型
（5）边定理（燕尾模型风筝模型）
图
A
F
E
O
B D C
例 3
图ABCD 行四边形E CD 中点AE BD 交点 FAC BE 交点 H
AC BD 交点 G四边形 EHGF 面积 15 ABCD 面积 ．
（2017 华杯赛初赛）
33 方法技巧
1 分割法
求规图形面积通 方法转化
例 1
图示 10×12 网格图中猴子 KING 图片干圆弧线段组成中 圆半径 4图中阴影部分面积 ．（π取 3）
（2016 希杯 1 试）
2 移补法
求组合图形面积常常需 图形进行 变成计算出面积规图形
例 2
图正六边形 ABCDEF 中△ACE 面积 18三阴影部分面积
（2014 希杯 2 试）
3 等量代换
前者等量公理者减法差变性质两性质解题时重作 求图形面积转化求图形面积两图形面积差转化两 图形面积差
例 3
图AB圆O直径长6厘米正方形BCDE顶点E圆周∠ABE45°圆O 中非阴影部分面积正方形BCDE中非阴影部分面积差等 方厘米（取 π314）
（2013华杯赛初赛）
D
E
C
A
O
B
4 巧添辅助线
添加辅助线作：
（1） 元素转化 元素
（2） 图形转化 图形 图形转化 基图形
例 4
正三角形ABC点P三边作垂线垂足次DEF连结APBPCP果正三 角形ABC面积2028方厘米三角形PAD三角形PBE面积192方厘米三角 形PCF面积 方厘米
（2015华杯赛初赛）
34 问题
1折叠问题
（1） 做图形折叠
（2）折叠程中 保持变
例 1
图长方形 ABCD 线段 DE 翻折六边形 EBCFGD∠GDF20°∠AED
（2014 希杯 2 试）
2线段旋转
（1）旋转两素：
（2）线动成面：
（3）线段绕点旋转：
中心线段→ 中心线段外→
例 2
图直角△ABC 斜边AB10BC5∠ABC60°点B 中心△ABC 时针旋转 120°点AC 分达点EDAC 边扫面积(图中阴影部分面积) (π 取3)
（2014希杯2试）
3 圆滚动
（1）圆滚动前进圆心路径（轨迹）长度等
（2） 等 圆身旋转圈数
（3）圆滚线段头时会转圆底部点静止动转时圆扫面积
例 3
图直径 1 厘米圆绕边长 2 厘米正方形滚动周回原位置
程中圆面覆盖区域(阴影部分)面积_
方厘米(π 取 3)
（2014 希杯 1 试）
4 勾股定理
（1）勾股定理： ： ．
（2）常见勾股数：
例 4
面五点ABCDE满足 AB 8cmBC 4 cmAD 5 cmDE 1 cmAC 12 cmAE 6 cm 果三角形EAB面积24方厘米点ACD距离等 cm
（2014华杯赛决赛）
5 图形分割拼接
（1）图形分割拼合剪拼程中结合 思考．
（2）果图形分割成干形状相等部分想办法找 图形 ．
（3）分割图形果数量方面求先 入手找出分块含数 量少结合数量分割图形．
例 5
边长 7 正方形分割边长分 1 2 3 正方形中少少边长 1 正方形
（2014 希杯 2 试）
41 数学原理
1 抽屉原理
（1）抽屉原理 1
n 件物品意放 n 抽屉中少抽屉中物品少 2 件
（2）抽屉原理 2
m×n 件物品意放 n 抽屉中少抽屉中物品少
（m+1）件
（3）公式
总数÷抽屉＝商……余数 余数＝1结：少（商＋1）物品抽屉里
余数＝ x 中1 < x < (n 1) 结：少（商＋1）苹果抽屉里 余数＝0（整）结：少商苹果抽屉里
例 1
参加体操武术钢琴书法四兴趣组学生中参加两兴趣组 保证选兴趣组情况完全相学生少 6 参加兴趣组学生少
（2014 希杯 2 试）
2 利原
（1）求值值问题需利情况出发分析问题利原
（2）题目特征：少……保证保证……少……
（3）解决问题点： 利情况成功少 1 情况② 种类找齐全种 类达利情况③保证成功数利数+1
例 2
1234…1516 十六然数中取出 n 数中必样两数：
3 倍 n
（2012 希杯 1 试）
3 容斥原理
（1）计数时重叠部分重复计算先考虑重叠情况包含某容
中象数目先计算出然计数时重复计算数目排斥出计算结果 遗漏重复种计数方法称容斥原理
（2）二元容斥原理： | A B || A | + | B | | A B |
三元容斥原理：| A B C || A | + | B | + | C | | A B | | A C | | B C | + | A B C |
例 3
分子分母 2013 简真分数
（2013 希杯 1 试）
42 排列组合
1 加法原理法原理
⑴加法原理完成件事方法分成类类中种方法完成务 完成务方法数等类方法数．
⑵法原理件事分步完成步缺完成务方法数等 步方法数积．
例 1
圣诞老36样礼物 分装8袋子中 已知8袋子中礼物数少1
相 现中选出袋子 选出袋子中礼物均分8朋友 恰分完
（朋友少分礼物） 种选择
（2013 华杯赛初赛）
例 2
根图中信息求满足条件五位数数
（2014 希杯 2 试）
2 排列组合
（1） n 元素中取出 m (m≤n)元素排列数做 n 元
n
素排列中取出 m 元素排列数记做 Am ．
n
Am n(n 1)(n 2)
(n m +1)
（2） n 元素中取出 m 元素(m≤n)组合数做 n 元素中取
n
出 m 元素组合数．记作 Cm
Am
．
n（×
n 1）（×
n 2)
（n m + 1）
n
A
m
Cm n
m
m（×
m 1）（×
m 2）× × 3 × 2 ×1
例 3
1～8八然数中取三数 中没连续然数取法 种
（2014华杯赛决赛）
例 4
123456788数排成行 8两边数相等
（ ）种排法．
A．1152 B．864 C．576 D．288
（2016 华杯赛初赛）
43 计数问题
1 分类枚举
研究问题时发生情况列举加研究方法做枚举法(穷举 法) 枚举法解题时常常需讨象进行恰分类枚举时注意遗漏 重复
2 排列组合
应排列组合公式技巧：插空法捆绑法等等 相邻问题捆绑法解决某元素求相邻问题时先捆绑整
体考虑相邻元素视作元素进行排序然考虑元素部元素间排 列序
邻问题插空法解决某元素求相邻问题时先元素排 指定相邻元素插入已排元素间隙两端位置
3 纳递推
通引入数列建立递推关系计数方法称递推计数法 运递推方法计数般步骤 ①求初始值②建立递推关系 ③利递推关系求解
例 1
典童话书 382 页书页码中 数字 0
（2015 希杯 1 试）
例 2
图六边形六顶点分标志 ABCDEF 开始时候华罗庚金杯赛六汉 字分位 ABCDEF 顶点处六汉字顶点处意摆放终结果顶点 处汉字字开始位置相邻顶点处摆放方法 种．
（2017 华杯赛决赛）
例 3
单位正方形拼成 15×15 网格网格格点顶点作边长整数正方形边长 5
正方形
（2015 华杯赛初赛）
51 探索规律
1 周期问题
（1）事物运动变化程中某特征规律循环出现
周期
（2）解决关周期性问题关键 商 余数
例 1
农谚逢冬数九’讲 冬日起 九天分段 次称九二九
……九九冬天九第天 2012年12月21日冬 2013年元旦
九第 天
（2013华杯赛决赛）
例 2
12013+22013+32013+42013+52013 5余数 (中 a2013 表示 2013 a 相)
（2013 希杯 2 试）
2 找规律
类题型出具体特殊数式图形求找出中变化规律猜想出 般性结
解题思路 具体方法步骤：
（1）
（2）
（3）
例 3
观察面列数规律列数左右第 100 数
1 3 5 7 9
2 5 8 11 14
（2016 希杯 1 试）
例 4
图示图① 1 棱长 1 正方体堆成图② 5 棱长 1 正方体堆成图
③ 14 棱长 1 正方体堆成规律求：
（1）图⑥少棱长 1 正方体堆成？
（2）图⑩示立体图形表面积
（2016 希杯 2 试）
3 递推法
（1）般说果然数关数列中项 an 前面 k(≤n1)项运 算方法表示出称相邻间 称种公式递推公 式递推关系式通寻求递关系解决问题方法称递推方法
（2）递推方法问题两类：问题中明显递推关系重点递推关系应 二问题中没明显递推关系需已条件进行变形改变问题关形式建 立递推关系问题转化第类问题
例 5
列数 a1a2…an…记 S(ai) ai 数字 S(22)2+24 a12017 a222 an S(an1)+ S(an2) a2017 等
（2017 华杯赛决赛）
52 数
1 位值原理
数字写数里位置表示数值说
数字身值外 例2写位表示
写百位表示 种 结合起表示数原 称写数位值原理
数分拆： abcd
例 1
四互相非零数字组成没重复数字四位数 73326四位数中
．
（2015 华杯赛决赛）
2 数进制
常进制十进制特点 外 1 然数进位制 二进制八进制十六进制等
二进制：计算机中采计数法二进制 二进制中 两数字 二进制运算法：
二进制计数单位分 20212223……二进制数写做展开式形式例
100110 二进制中表示：(100110)2
注意：意然数 n n01
n 进制：n 进制运算法 n 进制四混合运算 十进制样先 级运算先 括号时先计算括号
例 2
十进制计数法逢 10 进 1
24102×10+4×1
365103×102+6×10+5×1
计算机二进制计数法逢 2 进 1
11121×22+1×2+1×1
110021×23+1×22+0×2+0×1
果然数写成 m 进制数 45m 写成 n 进制数 54n
m
n
(注：
an a ´ a ´ ´ a )
na
（2011 希杯 2 试）
3 数整性
（1）末位系：254258125
否 2 5 整 否 4 25 整 否 8 125 整
（2）系：3999
否 39 整 39 倍数 39 余数数数字 39
余数相否 99 整位数位开始两位段 否 99 整
（3）差系：11
否 11 整：规律右开始数 差否 11 倍数
代表数 11 余
（4） 拆分系： 728×9 123×4 10017×11×13
例 3
1234567891011 某两位数字交换否完全方数？请说明理．
（2015 华杯赛决赛）
4 余数余
（1）余数加法定理
a b c 余数等
（2）余数法定理
a b 积 c 余数等 者
（3）余定理
两整数 ab 然数 m 相余数称 ab 模 m 余式子表示 ：a≡b ( mod m )左边式子做余式 余式读作：a 余 b模 m
两数 ab 数 m 余数相
例 4
20171029 725 d 余数均 r dr 值 ．
（2017 华杯赛初赛）
5 质数合数
（1）1质数合数2 偶质数
（2）质数p│ab必
（3）正整数ab积质数p必
（4）意1整数N分解成k质数积考虑质数间序 种分解
例5
设q方数果q2q+2质数称qP型方数例9P型方数 1000P型方数
（2016华杯赛初赛）
53 值策略推理
1 构造证
种探讨定求否实现设计佳安排选择方案组合问题．里佳通常指某 量达．解题时
．证中常手段包括 ．
例 1
连续然数123 …2014中取出n数n数满足：意取中两数会 数数5倍 试求n值说明理
（2014 华杯赛决赛）
例 2
1 9 填入右图网格中 求格子填整数格子填数字格 子周围格子（该格子公边格子）填数字该格子中填数字整数倍已知 左右格子已填数字 4 5问：标字母 x 格子填数字少？
（2017 华杯赛决赛）
例 3
两进行乒乓球赛三局两胜制局赛中先 11 分方少 10 分者胜10
2 分者胜．两分总 31 分赢第局赢赛第二局 分少种？
（2015 华杯赛决赛）
2 逻辑推理
解答逻辑问题常方法
（1）直推法：先条件出发逐步推理直推出结止
（2） 假设法：先假设然利条件进行推理出矛盾结说明作假设前 提成立假设相反判断便正确
例 4
现甲乙丙丁四中选出两参加项活动规定：果甲乙果 丙乙果丙丁参加活动两（ ）
（A）甲乙（B）乙丙（C）甲丙（D）乙丁
（2015 年华杯赛初赛）
例 5
阿春阿天阿真阿美阿丽五朋友序取出盒子中糖果取完次说 面话：
阿春：家取糖果数 阿天：取剩糖果数半
阿真：取剩糖果 2
3
阿美：取剩全部糖果 阿丽：取剩糖果数半
请问：（1）阿真第取糖果？
（2）已知取糖果盒糖果少少颗？
（2016 希杯 2 试）
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11 分数计算
1 基概念性质
（1）分数分子相法中 分数分数线相法中 分数分母 相法中 分数分数值相法中
（2）分数基性质：
（3）两数 A B（A>B）A B B A （填分）A B
（填分）B A 少 （填分数表示分）
例 1
分数分子减少 20分母增加 28新分数原分数减少
（2015 希杯 1 试）
2分数巧算方法
（1）法分配律：
（2）简算巧算常思想： 等
（3）级运算中括号前面加号（号）添（）括号 括号前面减号（ 号）添（）括号
（4）级运算中带符号搬家
（5）含带分数加减运算通常带分数 形式含带分数运算 通常
（6）繁分数计算繁分数中分数线转化成 做先算 算 层层化简
例 2
计算：121´ 13 +12´ 21 ． （2016 希杯 1 试）
25 25
3 裂项相消
（1）裂差型运算：
1
n(n +1)
1
a ´ b
（2）裂型运算：
a + b
a ´ b
a2 + b2
a ´ b
例 3
计算： 1
1+ 2
1
+
1+ 2 + 3
+ + 1
1+ 2 + 3 + 4 + +10
（2015 希杯 2 试）
4较估算
分数较常方法：
（1）通分母： 通分子：
（2）倒数：
（3） 1 相减较法：
（4）放缩法： ．
例 4
a <
1 +
2011
1 +
2012
1
1 +
2013
1 +
2014
1
2015
< a +1
整数 a
（2015 希杯 1 试）
5 循环数分数
（1）简分数化数三种情况：
果 分数定化成限数
果 分数定化成纯循环数 果 分数定化成
混循环数
（ 2 ） 限 循 环 数 化 分 数 方 法 般 方 法 限 循 环 数
扩限循环数原限循环数
完全相然两数
（3）纯循环数化分数：
混循环数化分数： 减 差
例 5
· ·
计算 4 ´ 9 3 + 975´ 2 + 0142857´975
（2017
希杯 2 试）
7 4 7
6 数列计算
（1）等差数列
末项公式： 项数公式： 求公式：
（2）等数列
等数列求方法：
例 6
明书页码 1 开始逐页相加加数 4979发现书中缺 张（连续两页码）书原 页
（2015 希杯 2 试）
1 数字谜
12 数字谜数阵
（1）解题突破口竖式横式中特殊处例
（2）根情况逐步缩范围进行恰
（3）题目中涉字母汉字时注意利 条件排 干性
（4）注意结合 考虑
（5）时运数中 等方法
例 1
面算式中 字母 a b c d □代表十数字 0 9 中 中 a b c d 四字母 代表数字 求 a b c d 代表数字
（2014 华杯赛决赛）
例 2
算式 希杯´8 希杯´5 中 汉 字 代 表 数 字
希杯代表六位偶数
（2016 希杯 2 试）
2 数阵
（1）辐射型数阵图特点中心出发外作射线填类数阵图关键
然通数分析进行试验填数求解
（2）封闭型数阵图特点：边间相互连接形成封闭图形填类数阵图
抓住 进行分析试验方法确定
填出数阵图
（3）数阵图辐射型数阵图特点封闭型数阵图求做复合型数 阵图思考数阵图问题时首先确定 试验方法找
综解数阵图关键 突破口般选择
关键数列出关系式确定出关键数具体数值 位置数进行推断
例 3
四相正方形拼成右图 否连续24然数分放图中示24黑点处
（处放 数次） 图中正方形边放数相等 请出例子 请说明理
（2013华杯赛决赛）
例 4
图中华罗庚金杯五汉字分代表 1~5 五数字．线段两端点数字相 加五 种情况五恰五连续然数．
（2017 华杯赛初赛）
13 计算综合
1 定义新运算
（1）定义新运算指 解答某算式种运算
（2）解答定义新运算关键 然严格新定义计算程 序数值代入转化 进行计算
（3）遇重符号时候逐步运算新定义算式括号先算
例 1
定义运算⊕：
ìa(a > b) a Å b ï (a b)
î
í1
ïb(a < b)
例：35⊕2351⊕12127⊕71
11Å 7 1 Å 01
3 3
4 Å 08
5
（2013 希杯 1 试）
例 2
0 然数 n 规定种G运算：
① n 奇数时G(n)3n+1
② n 偶数时G(n)等 n 连续 2 直商奇数
k 次G运算记作 Gk G1(5)3×5＋116G2(5) G1(16)16÷2÷2÷2÷21 G3(5)3×1＋14G4(5)4÷2÷21 请计算：
（1）G1(2016)值
（2）G5(19)值
（3）G2017(19)值
（2017 希杯 2 试）
2 关分子分母运算问题
（1） 分数简分数简分数分数分子分母
简分数约分数
（2）分数分母分子时减数分子分母差变样问题转化
解决
（3）已知分数分子分母样问题转化 解决
（4）分子分母中发生变化时 份量（单位1）进行运算
例 3
已知 x y
9 15
z 简真分数积 1 x+ y +z
14 6
（2015 希杯 1 试）
3取整取运算
（1）[x]表示 x 整数做 {x}x[x]表示 x 数部分做
（2）意 x：
（3）意 x：
（4）x 0 数n 0 然数超 x 然数中n 倍数
例 4
[x]表示超 x 整数例[314]3：
[ 2017 ´ 3] +[ 2017 ´ 4] +[ 2017 ´ 5] +[ 2017 ´ 6] +[ 2017 ´ 7] +[ 2017 ´8] 值
11 11 11 11 11 11
（2017 华杯赛决赛）
例 5
解方程：[x]´{x}+ x 2{x}+ 9 中[x] 表示 x 整数部分{x} 表示 x 数部分［314］＝
3｛314｝＝014
（2016 希杯 2 试）
21 例分数应题
1 分数应题
解分数应题时分析题中数量间关系准确找出 解题 关键
基公式：
（1）应量
（2） 单位1量
点： 常 作单位1
例 1
甲挖条水渠第天挖水渠总长度 1 第二天挖剩水渠长度 5
第三天挖未
4 21
挖水渠长度 1 第四天挖完剩 100 米水渠条水渠长 米
2
（2014 希杯 1 试）
2 例应题
（1）例分配
ab 例分配 x 物品分
（2）差分问题
AB 数量 ab (a>b)数量差 x A 数量 B 数量
解题关键 ．
例 2
两根粗细相材料相蜡烛长度 2116时开始燃烧18 分钟长蜡烛 短蜡烛长度 1511较长根蜡烛燃烧 分钟
（2016 希杯 2 试）
3 浓度问题
（1）浓度配问题中基概念
溶液：种物质 种物质里形成均稳定混合物做溶液 溶质： 做溶质
溶剂： 做溶剂
浓度：指溶液中 值通常 表示
（2）浓度配问题中基公式
浓度＝ ＝ 溶液＝ ＝ 溶质＝
溶剂＝
例 3
三杯重量相等溶液浓度次 102045果次三杯子中溶液重
量 1 1 1
倒入第四空杯子中第四杯子中溶液浓度 ．
2 4 5
（2017 希杯 2 试）
4 工程问题
工程问题指分数解答关 间相互关系问题 工作总量：般抽象成
工作效率： 工作量 三基公式：
工作总量 工作效率 工作时间
例 4
某水池甲乙两进水阀 开甲注水 10 时空水池注满开乙15 时 空水池注满现求 7 时空水池注满 开甲注水干时 接着开乙 注水干时 时开甲乙注水时开甲乙时间少时
（2016 华杯赛决赛）
22 行程问题
1 钟表问题
（1）时钟问题做特殊圆形轨道 2 追相遇问题里两分 时钟分针时针
（2）钟面周分 60 格格 6°数字间隔 5 格 30° 分针分钟走
格 6° 时针分钟走 1
12
格 05°分针速度时针速度 12 倍时针分针速度 1
12
（3）初始时刻分针落时针 a 格分针追时针时间间隔 a÷(1－ 1
12
)分
2 例行程
（4）两针垂直夹角 90°两针直线夹角 180° 0°
例 1
红午 11 点时出家门时挂钟时针分针重合天午 5 点时回 家时挂钟时针分针方相反(条直线)红出 时
（2014 希杯 2 试）
（1）相时间甲乙走路程等
（2）甲乙走相路程时时间等
（3）车速度变时走路程时间
例 2
清明节 学车烈士陵园扫墓 果汽车行驶 1 时 车速提高五分 预定时间提前 20 分钟赶果该车先原速行驶 72 千米速度提高三分 预定时间提前 30 分钟赶 学校烈士陵园少千米？
（2014 华杯赛决赛）
3 次相遇
（1）甲乙两两时相行返运动
出发第 1 次相遇两合走 1 全程次相遇次相遇间两合 走路程 全程
出发第 1 次相遇历时间 t次相遇次相遇间历时间
出发第 1 次相遇甲走 s 路程次相遇次相遇间甲走路程
（2）甲乙两时出发返运动
出发第 1 次相遇某次相遇次相遇两合走路程 全程
出发第 1 次相遇某次相遇次相遇历时间
出发第 1 次相遇某次相遇次相遇甲走路程
例 3
甲乙两分 AB 两时出发相行甲乙速度 53两相遇继续
行进甲达 B 乙达 A 立原路返回两第二次相遇点距第次相遇 点 50 千米 AB 两相距 千米 （2014 希杯 1 试）
4 环形跑道
（1）环形跑道问题点出发果相行 相遇次果 行 相遇次．
（2）行等量关系：次相遇次相遇两 跑道长 背行等量关系：次相遇次相遇两 跑道长
例 4
圆形跑道等距插着 2015 面旗子甲乙时某旗子出发甲乙次时回
出发点时甲跑 23 圈乙跑 13 圈．算起始点旗子位置甲正旗子位置追乙 少次？
（2015 华杯赛决赛）
23 列方程解应题
1应题方程解法
列方程解应题般分五步：
（1）审题
理清题目结构
（2）合理设未知数
设未知数方法两种：
（3）根等量关系列出方程
寻找等量关系常方法：根题中 找等量关系
（4）解方程求出未知数值
（5）验算答题
例 1
某行车前轮周长11 米轮周长1 1 米前轮轮转 25 圈时行车行
3 2
走 米．
（2016 希杯 1 试）
例 2
100 升容器盛满纯酒精倒出部分注满水第二次倒出第次等体积混合
液注满水时容器水体积纯酒精体积 3 倍第次倒出酒精混合液 升
（2015 希杯 1 试）
2 设求
应题通 设求铺路搭桥巧妙求解 优点：
（1）利 化难易
（2）利 化隐显
例 3
AB 两校男女生数分 8∶7 30∶31两校合男女 生数 27∶ 26 AB 两校合前数
（2013 希杯 1 试）
3 定方程
（1）定方程（组）指未知数数 方程数方程（组）特点 解唯确定 求 甚求 加条件限制解确定
（2） 简单定方程复杂定方程（组）常常 转化 问题加解决
（3）般解法： 等等
例 4
3 老鼠发现堆花生米商量第二天分第二天第老鼠早发现花生
米法分吃粒余恰分成 3 份份走第二第三 老鼠次遇样问题采取样方法吃掉粒花生米分成 3 份走份堆花生米少 粒
（2015 希杯 1 试）
31 立体图形
1 表面积体积
（1）长方体表面积 长方体体积
（2）正方体表面积 正方体体积
（3）圆柱表面积 圆柱体积
V
V
S
V
_
S
S
（4）圆锥体积＝
V
例 1
某日台风天气雨直均匀着雨里放左图示长方形容器容器装满 雨水需 1 时 请问：雨水满右图示三容器需少时？
（2017 希杯 2 试）
2 浸没问题
物体浸入水中时水面升（降）体积
： 容器底面积×水面升（降）高度 ×
例 2
图底面直径 10 厘米圆柱形容器装满水先底面直径 8 厘米圆锥形铁 块放入容器中铁块全部浸入水中铁块取出时水面高度 降 32 厘米圆锥 形铁块高 厘米
（2014 希杯 1 试）
3 视图
正方体 11 种展开图：
（1）141 型
（2）231 型
（3）222型
（4）33型
例 3
四完全相正方体堆积成图示立体 立体表面（包括底面）黑点 总数少 （2013华杯赛决赛）
4 立体图形分割
（1）立体图形切成两部分新增加表面积等 反两
立体图形粘合起减少表面积等
（2）长方体拼成表面积长方体应 拼合起 长方体拼成表面积长方体应 拼合起
例 4
图棱长 6 正方体切割成干棱长整数相正方体正方体 表面积切割前正方体表面积 2 倍切割成正方体棱长
（2015 希杯 1 试）
32 图形中例
1 长方形面积例问题
（1）根长方形面积＝长×宽 长方形面积定时 成反例 长方形长定时 成正例 长方形宽定时 成正例
（2）两长方形长例 ab宽 cd面积
例 1
图 1 长方形分成 9 长方形中位角 3 长方形面积分 9
15 12第 4 角长方形面积等
（2015 希杯 2 试）
2 三角形面积例问题
（1）根三角形面积＝底×高÷2 三角形面积定时 成反例 三角形底定时 成正例 三角形高定时 成正例
（2）两三角形底边例 ab高 cd面积
例 2
图三角形 ABC 面积 1DOOB13EOOA45三角形 DOE 面积 ．
（2015 华杯赛决赛）
3 模型
（1）等积模型
图
A B
C D
（2）鸟头定理
图
D
A
D
E
A
E
B C B C
（3）蝶形定理
图
推广梯形中
D
A S 1
S 4
S 2 O
S 3
B
A a D S 1
S 2 S 4
O
S 3
C B b C
（4）相似模型 图
A E F D
D
F
E
A
B G C B G C
金字塔模型 沙漏模型
（5）边定理（燕尾模型风筝模型）
图
A
F
E
O
B D C
例 3
图ABCD 行四边形E CD 中点AE BD 交点 FAC BE 交点 H
AC BD 交点 G四边形 EHGF 面积 15 ABCD 面积 ．
（2017 华杯赛初赛）
33 方法技巧
1 分割法
求规图形面积通 方法转化
例 1
图示 10×12 网格图中猴子 KING 图片干圆弧线段组成中 圆半径 4图中阴影部分面积 ．（π取 3）
（2016 希杯 1 试）
2 移补法
求组合图形面积常常需 图形进行 变成计算出面积规图形
例 2
图正六边形 ABCDEF 中△ACE 面积 18三阴影部分面积
（2014 希杯 2 试）
3 等量代换
前者等量公理者减法差变性质两性质解题时重作 求图形面积转化求图形面积两图形面积差转化两 图形面积差
例 3
图AB圆O直径长6厘米正方形BCDE顶点E圆周∠ABE45°圆O 中非阴影部分面积正方形BCDE中非阴影部分面积差等 方厘米（取 π314）
（2013华杯赛初赛）
D
E
C
A
O
B
4 巧添辅助线
添加辅助线作：
（1） 元素转化 元素
（2） 图形转化 图形 图形转化 基图形
例 4
正三角形ABC点P三边作垂线垂足次DEF连结APBPCP果正三 角形ABC面积2028方厘米三角形PAD三角形PBE面积192方厘米三角 形PCF面积 方厘米
（2015华杯赛初赛）
34 问题
1折叠问题
（1） 做图形折叠
（2）折叠程中 保持变
例 1
图长方形 ABCD 线段 DE 翻折六边形 EBCFGD∠GDF20°∠AED
（2014 希杯 2 试）
2线段旋转
（1）旋转两素：
（2）线动成面：
（3）线段绕点旋转：
中心线段→ 中心线段外→
例 2
图直角△ABC 斜边AB10BC5∠ABC60°点B 中心△ABC 时针旋转 120°点AC 分达点EDAC 边扫面积(图中阴影部分面积) (π 取3)
（2014希杯2试）
3 圆滚动
（1）圆滚动前进圆心路径（轨迹）长度等
（2） 等 圆身旋转圈数
（3）圆滚线段头时会转圆底部点静止动转时圆扫面积
例 3
图直径 1 厘米圆绕边长 2 厘米正方形滚动周回原位置
程中圆面覆盖区域(阴影部分)面积_
方厘米(π 取 3)
（2014 希杯 1 试）
4 勾股定理
（1）勾股定理： ： ．
（2）常见勾股数：
例 4
面五点ABCDE满足 AB 8cmBC 4 cmAD 5 cmDE 1 cmAC 12 cmAE 6 cm 果三角形EAB面积24方厘米点ACD距离等 cm
（2014华杯赛决赛）
5 图形分割拼接
（1）图形分割拼合剪拼程中结合 思考．
（2）果图形分割成干形状相等部分想办法找 图形 ．
（3）分割图形果数量方面求先 入手找出分块含数 量少结合数量分割图形．
例 5
边长 7 正方形分割边长分 1 2 3 正方形中少少边长 1 正方形
（2014 希杯 2 试）
41 数学原理
1 抽屉原理
（1）抽屉原理 1
n 件物品意放 n 抽屉中少抽屉中物品少 2 件
（2）抽屉原理 2
m×n 件物品意放 n 抽屉中少抽屉中物品少
（m+1）件
（3）公式
总数÷抽屉＝商……余数 余数＝1结：少（商＋1）物品抽屉里
余数＝ x 中1 < x < (n 1) 结：少（商＋1）苹果抽屉里 余数＝0（整）结：少商苹果抽屉里
例 1
参加体操武术钢琴书法四兴趣组学生中参加两兴趣组 保证选兴趣组情况完全相学生少 6 参加兴趣组学生少
（2014 希杯 2 试）
2 利原
（1）求值值问题需利情况出发分析问题利原
（2）题目特征：少……保证保证……少……
（3）解决问题点： 利情况成功少 1 情况② 种类找齐全种 类达利情况③保证成功数利数+1
例 2
1234…1516 十六然数中取出 n 数中必样两数：
3 倍 n
（2012 希杯 1 试）
3 容斥原理
（1）计数时重叠部分重复计算先考虑重叠情况包含某容
中象数目先计算出然计数时重复计算数目排斥出计算结果 遗漏重复种计数方法称容斥原理
（2）二元容斥原理： | A B || A | + | B | | A B |
三元容斥原理：| A B C || A | + | B | + | C | | A B | | A C | | B C | + | A B C |
例 3
分子分母 2013 简真分数
（2013 希杯 1 试）
42 排列组合
1 加法原理法原理
⑴加法原理完成件事方法分成类类中种方法完成务 完成务方法数等类方法数．
⑵法原理件事分步完成步缺完成务方法数等 步方法数积．
例 1
圣诞老36样礼物 分装8袋子中 已知8袋子中礼物数少1
相 现中选出袋子 选出袋子中礼物均分8朋友 恰分完
（朋友少分礼物） 种选择
（2013 华杯赛初赛）
例 2
根图中信息求满足条件五位数数
（2014 希杯 2 试）
2 排列组合
（1） n 元素中取出 m (m≤n)元素排列数做 n 元
n
素排列中取出 m 元素排列数记做 Am ．
n
Am n(n 1)(n 2)
(n m +1)
（2） n 元素中取出 m 元素(m≤n)组合数做 n 元素中取
n
出 m 元素组合数．记作 Cm
Am
．
n（×
n 1）（×
n 2)
（n m + 1）
n
A
m
Cm n
m
m（×
m 1）（×
m 2）× × 3 × 2 ×1
例 3
1～8八然数中取三数 中没连续然数取法 种
（2014华杯赛决赛）
例 4
123456788数排成行 8两边数相等
（ ）种排法．
A．1152 B．864 C．576 D．288
（2016 华杯赛初赛）
43 计数问题
1 分类枚举
研究问题时发生情况列举加研究方法做枚举法(穷举 法) 枚举法解题时常常需讨象进行恰分类枚举时注意遗漏 重复
2 排列组合
应排列组合公式技巧：插空法捆绑法等等 相邻问题捆绑法解决某元素求相邻问题时先捆绑整
体考虑相邻元素视作元素进行排序然考虑元素部元素间排 列序
邻问题插空法解决某元素求相邻问题时先元素排 指定相邻元素插入已排元素间隙两端位置
3 纳递推
通引入数列建立递推关系计数方法称递推计数法 运递推方法计数般步骤 ①求初始值②建立递推关系 ③利递推关系求解
例 1
典童话书 382 页书页码中 数字 0
（2015 希杯 1 试）
例 2
图六边形六顶点分标志 ABCDEF 开始时候华罗庚金杯赛六汉 字分位 ABCDEF 顶点处六汉字顶点处意摆放终结果顶点 处汉字字开始位置相邻顶点处摆放方法 种．
（2017 华杯赛决赛）
例 3
单位正方形拼成 15×15 网格网格格点顶点作边长整数正方形边长 5
正方形
（2015 华杯赛初赛）
51 探索规律
1 周期问题
（1）事物运动变化程中某特征规律循环出现
周期
（2）解决关周期性问题关键 商 余数
例 1
农谚逢冬数九’讲 冬日起 九天分段 次称九二九
……九九冬天九第天 2012年12月21日冬 2013年元旦
九第 天
（2013华杯赛决赛）
例 2
12013+22013+32013+42013+52013 5余数 (中 a2013 表示 2013 a 相)
（2013 希杯 2 试）
2 找规律
类题型出具体特殊数式图形求找出中变化规律猜想出 般性结
解题思路 具体方法步骤：
（1）
（2）
（3）
例 3
观察面列数规律列数左右第 100 数
1 3 5 7 9
2 5 8 11 14
（2016 希杯 1 试）
例 4
图示图① 1 棱长 1 正方体堆成图② 5 棱长 1 正方体堆成图
③ 14 棱长 1 正方体堆成规律求：
（1）图⑥少棱长 1 正方体堆成？
（2）图⑩示立体图形表面积
（2016 希杯 2 试）
3 递推法
（1）般说果然数关数列中项 an 前面 k(≤n1)项运 算方法表示出称相邻间 称种公式递推公 式递推关系式通寻求递关系解决问题方法称递推方法
（2）递推方法问题两类：问题中明显递推关系重点递推关系应 二问题中没明显递推关系需已条件进行变形改变问题关形式建 立递推关系问题转化第类问题
例 5
列数 a1a2…an…记 S(ai) ai 数字 S(22)2+24 a12017 a222 an S(an1)+ S(an2) a2017 等
（2017 华杯赛决赛）
52 数
1 位值原理
数字写数里位置表示数值说
数字身值外 例2写位表示
写百位表示 种 结合起表示数原 称写数位值原理
数分拆： abcd
例 1
四互相非零数字组成没重复数字四位数 73326四位数中
．
（2015 华杯赛决赛）
2 数进制
常进制十进制特点 外 1 然数进位制 二进制八进制十六进制等
二进制：计算机中采计数法二进制 二进制中 两数字 二进制运算法：
二进制计数单位分 20212223……二进制数写做展开式形式例
100110 二进制中表示：(100110)2
注意：意然数 n n01
n 进制：n 进制运算法 n 进制四混合运算 十进制样先 级运算先 括号时先计算括号
例 2
十进制计数法逢 10 进 1
24102×10+4×1
365103×102+6×10+5×1
计算机二进制计数法逢 2 进 1
11121×22+1×2+1×1
110021×23+1×22+0×2+0×1
果然数写成 m 进制数 45m 写成 n 进制数 54n
m
n
(注：
an a ´ a ´ ´ a )
na
（2011 希杯 2 试）
3 数整性
（1）末位系：254258125
否 2 5 整 否 4 25 整 否 8 125 整
（2）系：3999
否 39 整 39 倍数 39 余数数数字 39
余数相否 99 整位数位开始两位段 否 99 整
（3）差系：11
否 11 整：规律右开始数 差否 11 倍数
代表数 11 余
（4） 拆分系： 728×9 123×4 10017×11×13
例 3
1234567891011 某两位数字交换否完全方数？请说明理．
（2015 华杯赛决赛）
4 余数余
（1）余数加法定理
a b c 余数等
（2）余数法定理
a b 积 c 余数等 者
（3）余定理
两整数 ab 然数 m 相余数称 ab 模 m 余式子表示 ：a≡b ( mod m )左边式子做余式 余式读作：a 余 b模 m
两数 ab 数 m 余数相
例 4
20171029 725 d 余数均 r dr 值 ．
（2017 华杯赛初赛）
5 质数合数
（1）1质数合数2 偶质数
（2）质数p│ab必
（3）正整数ab积质数p必
（4）意1整数N分解成k质数积考虑质数间序 种分解
例5
设q方数果q2q+2质数称qP型方数例9P型方数 1000P型方数
（2016华杯赛初赛）
53 值策略推理
1 构造证
种探讨定求否实现设计佳安排选择方案组合问题．里佳通常指某 量达．解题时
．证中常手段包括 ．
例 1
连续然数123 …2014中取出n数n数满足：意取中两数会 数数5倍 试求n值说明理
（2014 华杯赛决赛）
例 2
1 9 填入右图网格中 求格子填整数格子填数字格 子周围格子（该格子公边格子）填数字该格子中填数字整数倍已知 左右格子已填数字 4 5问：标字母 x 格子填数字少？
（2017 华杯赛决赛）
例 3
两进行乒乓球赛三局两胜制局赛中先 11 分方少 10 分者胜10
2 分者胜．两分总 31 分赢第局赢赛第二局 分少种？
（2015 华杯赛决赛）
2 逻辑推理
解答逻辑问题常方法
（1）直推法：先条件出发逐步推理直推出结止
（2） 假设法：先假设然利条件进行推理出矛盾结说明作假设前 提成立假设相反判断便正确
例 4
现甲乙丙丁四中选出两参加项活动规定：果甲乙果 丙乙果丙丁参加活动两（ ）
（A）甲乙（B）乙丙（C）甲丙（D）乙丁
（2015 年华杯赛初赛）
例 5
阿春阿天阿真阿美阿丽五朋友序取出盒子中糖果取完次说 面话：
阿春：家取糖果数 阿天：取剩糖果数半
阿真：取剩糖果 2
3
阿美：取剩全部糖果 阿丽：取剩糖果数半
请问：（1）阿真第取糖果？
（2）已知取糖果盒糖果少少颗？
（2016 希杯 2 试）
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