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注意事项：
１．试卷分选择题非选择题两部分１５０分考试时间１２０分钟
２．答卷前考生务必班级姓名准考证号座号０．５ｍｍ黑色签字笔２Ｂ铅笔分涂写
答题卡
３．选择题题选出答案铅笔答题卡应题目答案标号涂黑非选择题直接答答题
卡相应区域答试卷试卷交请妥善保存交答题卡
选择题：题１２题题５分６０分．题出四选项中项符合题目
求．
１．已知集合 犕 ＝｛－１０１｝犖＝｛狓｜狓＝２犪犪∈犕｝集合 犕 ∪犖＝ （ ）
Ａ．｛－１０１｝ Ｂ．｛－２０２｝ Ｃ．｛０｝ Ｄ．｛－２－１０１２｝
２．复数狕１ 应复面点（２－３）狕１·狕２＝１＋２犻复数狕２ 虚部 （ ）
Ａ．－５
１３ Ｂ．７
１３ Ｃ．－１
１３ Ｄ．１
１３
３．图边长３正方形二维码测算图中黑色部分面积正方形区域机
投掷１０８９点中落入白色部分４８４点估计黑色部分面积 （ ）
Ａ．４ Ｂ．５ Ｃ．８ Ｄ．９
４．实数犪犫犮犪＞犫犪犮２＞犫犮２ （ ）
Ａ．充分必条件 Ｂ．必充分条件
Ｃ．充条件 Ｄ．充分必条件
５．已知双曲线狓２
犪２ －狔２
犫２ ＝１（犪＞犫犫＞０）条渐线方程狔＝２狓点 犘（槡６４）双曲线方
程 （ ）
Ａ．狓２
４ －狔２
３２＝１ Ｂ．狓２
３ －狔２
４ ＝１ Ｃ．狓２
２ －狔２
８＝１ Ｄ．狓２－狔２
４＝１
６．１９２７年德国汉堡学学生考拉兹提出猜想：意正整数果奇数３加
１果偶数２样循环终结果１．数学家认该猜想程度解
决现代数学进步开辟全新领域概蕴含奇偶思想关．图根
考拉兹猜想设计程序框图输出犻值 （ ）
Ａ．８ Ｂ．７ Ｃ．６ Ｄ．５
７．已知ｓｉｎα＋ｃｏｓα＝１
５中α∈ π
２π（ ）ｔａｎ２α＝ （ ）
Ａ．－２４
７ Ｂ．－４
３ Ｃ．７
２４ Ｄ．２４
７
８．已知 １
２狓－狓２（ ）狀
展开式中前三项二项式系数等２２展开式中常数项 （ ）
Ａ．１５
１６ Ｂ．３
４ Ｃ．－３
４ Ｄ．－１５
１６
９．已知数列｛犪狀｝满足（狀＋１）犪狀 ＝狀犪狀＋１（狀∈犖 ）犪２＝２等数列｛犫狀｝满足犫１＝犪１犫２＝犪２｛犫狀｝前
６项 （ ）
Ａ．－６４ Ｂ．６３ Ｃ．６４ Ｄ．１２６
１０．函数犳（狓）＝ｓｉｎ２狓 右移π
４单位函数犵（狓）犵（狓）具性质 （ ）
Ａ． ０π
４（ ）单调递增偶函数 Ｂ．值１图象关直线狓＝３π
４ 称
Ｃ． －３π
８ π
８（ ）单调递增奇函数 Ｄ．周期π图象关点 ３π
８０（ ）称
１１．点 犘 椭圆犆１：狓２
４ ＋狔２
３ ＝１犆１ 右焦点 犉点 犙 圆犆２：狓２ ＋狔２ ＋６狓－８狔＋２１＝０
犘犙 － 犘犉 值 （ ）
槡 槡 槡 槡Ａ．４ ２ Ｂ．４－４ ２ Ｃ．６－２ ５ Ｄ．２ ５－６
１２．已知函数 犳（狓）＝
狓２－２狓＋４≤０
ｌｎ狓狓＞０烅
烄
烆
函数犵（狓）＝犳２（狓）＋３犳（狓）＋犿（犿∈犚）三零点 犿
取值范围 （ ）
Ａ．犿＜９
４ Ｂ．犿≤－２８ Ｃ．－２８≤犿＜９
４ Ｄ．犿＞２８
１ ３ ４ ５ ６ ７ ８ ９ １０ １１ １２
答案
二填空题：题４题题５分２０分．答案填答题卡中横线．
１３．已知量犪＝（犿１）犫＝（４犿）犪·犫＝ 犪 · 犫 犿＝ ．
１４．已知等差数列 犪狀｛ ｝前狀 项犛狀 犪９＝１
２犪１２＋６犪２＝４数列 １
犛狀｛ ｝前１０项 ．
１５．已知犗 坐标原点犉 椭圆犆：狓２
犪２ ＋狔２
犫２ ＝１（犪＞犫＞０）右焦点点 犉 直线第象限椭圆
犆 交点犘△犘犗犉 正三角形椭圆犆 离心率 ．
１６．正四棱锥 犗－犃犅犆犇 体积 槡３ ２
２ 底 面边 长 槡３ 正四 棱 锥 犗－犃犅犆犇 切球 表 面 积
．
数学理科（二）
题号 ２２ 页（２页）
三解答题：７０分解答应写出文字说明证明程演算步骤．第１７—２１题必考题试题考生
必须作答．第２２２３题选考题考生根求作答．
（）必考题：６０分．
１７．（题满分１２分）
△犃犅犆 中角犃犅犆 边分犪犫犮犪２＋犫２－犮２
犪犫 ＝２ｓｉｎ犃－ｓｉｎ犆
ｓｉｎ犅 ．
（１）求角犅
（２）△犃犅犆 面积槡３求边犫 取值范围．
１８．（题满分１２分）
图四边形犃犅犆犇 犅犇犈犉 均菱形设犃犆 犅犇 相交点犗∠犇犃犅＝∠犇犅犉＝６０°犉犃
＝犉犆．
（１）求证：犉犆∥面犈犃犇
（２）求直线 犃犉 面犅犆犉 成角余弦值．
１９．（题满分１２分）
某企业算处理批产品产品箱１００件箱单位销售．已知批产品中箱出现
废品率１０％ 者２０％ 两种两种应概率均０．５．假设该产品正品件市场价格
１００元废品值钱．现处理价格箱８４００元遇废品予更换．箱产品中正品价格期
值作决策．
（１）开箱检验情况判断否购买
（２）现允许开箱放回机箱中抽取２件产品进行检验．
①箱出现废品率２０％ 记抽废品数 犡求 犡 分布列数学期
②已发现抽取检验２件产品中中恰件废品判断否购买．
２０．（题满分１２分）
已知直线犾：狓－狔＋１＝０焦点犉 抛物线犆：狔２＝２狆狓（狆＞０）相切．
（１）求抛物线犆 方程
（２）点犉 直线犿 抛物线犆 交犃犅 两点求 犃犅 两点直线犾距离值．
２１．（题满分１２分）
已知函数犳（狓）＝ｌｎ狓＋１
狓 －１．
（１）求函数单调区间
（２）求证：ｌｎ（狀＋１）＞２狀－４ 狀槡 ＋１（狀∈犖 ）．
（二）选考题：１０分．请考生２２２３题中选题作答．果做做第题计分．
选修４—４：坐标系参数方程（１０分）
２２．面直角坐标系中曲线犆１：狓２－狔２＝２曲线犆２ 参数方程 狓＝２＋２ｃｏｓθ
狔＝２ｓｉｎθ｛ （θ 参数）．坐标
原点犗 极点狓 轴正半轴极轴建立极坐标系．
（１）求曲线犆１犆２ 极坐标方程
（２）极坐标系中射线θ＝ π
６曲线 犆１犆２ 分交 犃犅 两点（异极点 犗）定点 犕 （３０）求
△犕犃犅 面积．
选修４—５：等式选讲（１０分）
２３．已知函数犳（狓）＝ 狓＋犿 － ２狓－２犿 （犿＞０）．
（１） 犿＝１
２时求等式犳（狓）≥１
２解集
（２）意实数狓存实数狋等式犳（狓）＋｜狋－３｜＜｜狋＋４｜成立求实数 犿 取值范围．
狓＝２犪犪∈犕｝＝｛－２０２｝
∴集合 犕 ∪犖＝｛－２－１０１２｝选 Ｄ．
２．Ｂ 解 析 题 意狕１ ＝２－３犻 狕１ ·狕２ ＝１＋２犻 狕２ ＝１＋２犻
２－３犻 ＝
（１＋２犻）（２＋３犻）
（２－３犻）（２＋３犻）＝－ ４
１３＋ ７
１３犻
∴复数狕２ 虚部 ７
１３选 Ｂ．
３．Ｂ 解析题意正方形区域机投掷１０８９点中落入白色部分
４８４点中落 入 黑 色 部 分 ６０５ 点 机 模 拟 试 验 ：犛黑
犛正
＝
６０５
１０８９犛正 ＝９犛黑 ＝６０５
１０８９×９＝５选 Ｂ．
４．Ｂ 解析犮＝０ 时显 然 左 边 法 推 导 出 右 边 右 边 推 出 左 边
选 Ｂ．
５．Ｃ 解析双曲线狓２
犪２ －狔２
犫２ ＝１（犪＞０犫＞０）条渐线方程狔＝２狓设双曲
线方程狓２－狔２
４ ＝λ双曲线点 犘（槡６４）６－１６
４ ＝λλ＝２
双曲线方程狓２
２ －狔２
８ ＝１选 Ｃ．
６．Ａ 解析犪＝３犪＝１满足犪 奇数满足犪＝１０犻＝２
犪＝１０犪＝１满足犪 奇数满足犪＝５犻＝３
犪＝５犪＝１满足犪 奇数满足犪＝１６犻＝４
犪＝１６犪＝１满足犪 奇数满足犪＝８犻＝５
犪＝８犪＝１满足犪 奇数满足犪＝４犻＝６
犪＝４犪＝１满足犪 奇数满足犪＝２犻＝７
犪＝２犪＝１满足犪 奇数满足犪＝１犻＝８
犪＝１犪＝１满足输出犻＝８选 Ａ．
７．Ｄ 解析∵ｓｉｎα＋ｃｏｓα＝ １
５ …①两边方：（ｓｉｎα＋ｃｏｓα）２ ＝ １
２５
１＋２ｓｉｎαｃｏｓα＝ １
２５∴２ｓｉｎαｃｏｓα＝－２４
２５∵α∈ π
２ π（ ）∴ｓｉｎα＞０ｃｏｓα＜０
ｓｉｎα－ｃｏｓα＞０
∴（ｓｉｎα－ｃｏｓα）２＝１－２ｓｉｎαｃｏｓα＝４９
２５解ｓｉｎα－ｃｏｓα＝ ７
５ …②
①＋②：２ｓｉｎα＝ ８
５ ｓｉｎα＝ ４
５ ｃｏｓα＝－ ３
５
ｔａｎα＝－ ４
３ ｔａｎ２α＝ ２ｔａｎα
１－ｔａｎ２α＝２４
７ 选 Ｄ．
８．Ａ 解析题意 Ｃ０
狀 ＋Ｃ１
狀 ＋Ｃ２
狀 ＝２２狀∈犖＋ 解狀＝６
二 项 式 １
２狓－狓２（ ）狀
展 开 式 通 项 ：犜狉＋１ ＝Ｃ狉
６
１
２狓（ ）６－狉
（－狓２）狉 ＝ （－１）狉
１
２（ ）６－狉
Ｃ狉
６狓３狉－６
令３狉－６＝０解狉＝２展开式中常数项（－１）２ １
２（ ）４
Ｃ２
６＝１５
１６选 Ａ．
９．Ｂ 解析∵数列 犪狀｛ ｝满足（狀＋１）犪狀 ＝狀犪狀＋１（狀∈犖 ）∴犪狀＋１
狀＋１＝犪狀
狀
∴数列 犪狀
狀｛ ｝犪２
２ ＝１常数列∴犪狀
狀 ＝１∴犪狀 ＝狀．
∴等数列｛犫狀 ｝满足犫１＝犪１＝１犫２＝犪２＝２∴狇＝２
∴｛犫狀 ｝前６项１－２６
１－２＝６３选 Ｂ．
１０．Ａ 解 析函 数 犳（狓）＝ｓｉｎ２狓 右 移 π
４ 单 位 函 数 犵（狓）＝ｓｉｎ
２狓－ π
２（ ）＝－ｃｏｓ２狓
狓＝３π
４ 时函数值０ Ｂ错误函数犵（狓）偶函数 Ｃ错误
狓＝３π
８ 时犵 ３π
８（ ）＝槡２
２ ≠０ Ｄ 错误．选 Ａ．
１１．Ｄ 解 析 设 椭 圆 左 焦 点 犉１ 犘犙 － 犘犉 ＝ 犘犙 － （２犪 －
犘犉１ ）＝ 犘犙 ＋ 犘犉１ －４求 犘犙 － 犘犉 值求 犘犙 ＋
犘犉１ 值圆 犆２ 半 径 狉 ２ 犘犙 ＋ 犘犉１ 值 等
犆２犉１ －２＝ （－１＋３）２＋４槡 ２ 槡－２＝２ ５－２∴ 犘犙 ＋ 犘犉１ 值２
槡５－６选 Ｄ．
１２．Ｂ 解析作出犳（狓）图象图：
设狋＝犳（狓） 图 象 知 狋≥４ 时狋＝犳
（狓）两根
狋＜４时狋＝犳（狓）根
函数犵（狓）＝犳２ （狓）＋３犳（狓）＋犿 （犿 ∈
犚）三零点
等价函数犵（狓）＝犺（狋）＝狋２＋３狋＋犿 两
零点
中狋１＜４狋２≥４
满足 △＝９－４犿＞０
犳（４）＝１６＋１２＋犿≤０｛
犿＜ ９
４
犿≤－２８
烅
烄
烆
犿≤－２８选 Ｂ．
１３．２ 解析量犪＝（犿１）犫＝（４犿）犪·犫＝ 犪 · 犫
４犿＋犿＝ 犿２槡 ＋１· １６＋犿槡 ２ 解 犿＝２犿＝－２（舍）．
１４．１０
１１ 解析设等差数列 犪狀｛ ｝公差犱∵犪９＝ １
２犪１２＋６犪２＝４
∴犪６＝１２＝犪１＋５犱犪１＋犱＝４解犪１＝犱＝２
∴犛狀 ＝２狀＋狀（狀－１）
２ ×２＝狀（狀＋１）．
∴ １
犛狀
＝ １
狀（狀＋１）＝ １
狀 － １
狀＋１．
数列 １
犛狀｛ ｝前１０项＝１－ １
２ ＋ １
２ － １
３ ＋……＋ １
１０－ １
１１＝１－ １
１１＝１０
１１．
１５．槡３－１ 解析∵ 椭 圆 存 点 犘 △犘犗犉 正 三 角 形设 犉 右 焦 点
犗犉 ＝犮犘 第象 限∴ 点 犘 坐 标 犮
２ 槡３
２犮（ ）代 入 椭 圆 方 程 ：犮２
４犪２ ＋
３犮２
４犫２ ＝１犲＝犮
犪
∴犲２
４ ＋ ３犲２
４－４犲２ ＝１犲∈（０１）解犲 槡＝ ３－１．
１６．（ 槡４－ ７）π 解析正四棱锥 犗－犃犅犆犇 体积
犞＝ １
３犛犺＝ １
３ 槡 槡× ３× ３×犺＝ 槡３ ２
２
∴犺＝ 槡３ ２
２ ∴斜高 槡３ ２
２（ ）２
＋ 槡３
２（ ）槡
２
＝ 槡２１
２
设正四棱锥 犗－犃犅犆犇 切球半径狉 １
３
× 槡 槡３× ３＋４× １
２ 槡× ３× 槡２１
２（ ）狉＝ 槡３ ２
２
∴狉＝槡２（槡７－１）
４ ．
∴正四棱锥 犗－犃犅犆犇 切球表面积４π狉２＝（ 槡４－ ７）π．
１．Ｄ 解析∵集合 犕 ＝｛－１０１｝犖＝｛狓
数学理科2
评分标准
数学理科2１７．解析（１）∵犪２＋犫２－犮２
犪犫 ＝２ｓｉｎ犃－ｓｉｎ犆
ｓｉｎ犅
∴正弦定理余弦定理２犪犫ｃｏｓ犆
犪犫 ＝２犪－犮
犫 ２分……………………………
２犫ｃｏｓ犆＋犮＝２犪 ３分…………………………………………………………
∴２ｓｉｎ犅ｃｏｓ犆＋ｓｉｎ犆＝２ｓｉｎ犃 ４分………………………………………………
∴２ｓｉｎ犅ｃｏｓ犆＋ｓｉｎ犆＝２ｓｉｎ（犅＋犆）＝２ｓｉｎ犅ｃｏｓ犆＋２ｃｏｓ犅ｓｉｎ犆
ｓｉｎ犆＝２ｃｏｓ犅ｓｉｎ犆 ５分………………………………………………………
∵ｓｉｎ犆≠０∴ｃｏｓ犅＝ １
２ ．
∵犅∈（０π）∴犅＝ π
３ ． ６分…………………………………………………………
（２）∵犅＝ π
３ △犃犅犆 面积槡３＝ １
２犪犮ｓｉｎ犅＝槡３
４犪犮 ７分……………………
∴犪犮＝４ ８分…………………………………………………………………………
∵余弦定理：犫２＝犪２＋犮２－犪犮≥２犪犮－犪犮＝犪犮＝４
仅犪＝犮 时等号成立 １１分…………………………………………………
∴犫≥２．
边犫 取值范围［２＋∞）． １２分……………………………………………
１８．解析（１）∵四边形 犃犅犆犇 犅犇犈犉 均菱形
∴犃犇∥犅犆犇犈∥犅犉． １分…………………………………………………………
∵犃犇面 犉犅犆犇犈面 犉犅犆犅犆面 犉犅犆犅犉面 犉犅犆
∴犃犇∥面 犉犅犆犇犈∥面 犉犅犆 ３分…………………………………………
犃犇∩犇犈＝犇犃犇面 犈犃犇犇犈面 犈犃犇
∴面 犉犅犆∥面 犈犃犇
犉犆面 犉犅犆∴犉犆∥面 犈犃犇． ５分………………………………………
（２）连接 犉犗犉犇∵四边形 犅犇犈犉 菱形∠犇犅犉＝６０°
∴△犇犅犉 等边三角形
∵犗 犅犇 中点∴犉犗⊥犅犇
∵犗 犃犆 中点 犉犃＝犉犆∴犃犆⊥犉犗
犃犆∩犅犇＝犗∴犉犗⊥面 犃犅犆犇．
犗犃犗犅犗犉 两两垂直建立图示空间直角坐标系 犗－狓狔狕． ７分……
设 犃犅＝２四边形 犃犅犆犇 菱形∠犇犃犅＝６０°
犅犇＝２犗犅＝１犗犃＝犗犉 槡＝ ３
∴犗（０００）犃（槡３００）犅（０１０）犆（ 槡－ ３００）犉
（００槡３）
犆犉→ ＝（槡３０槡３）犆犅→ ＝（槡３１０）犃犉→ ＝（ 槡－ ３０槡３）
８分…………………………………………………
设面 犅犆犉 法量狀＝（狓狔狕）
狀·犆犉→ 槡＝ ３狓 槡＋ ３狕＝０
狀·犆犅→ 槡＝ ３狓＋狔＝０｛取狓＝１狀＝（１ 槡－ ３
－１） １０分……………………………………………………………………………
设直线 犃犉 面犅犆犉 成角θ
ｓｉｎθ＝ 犃犉→ ·狀
犃犉→ · 狀
＝ 槡－２ ３
槡６·槡５
＝ 槡１０
５ １１分………………………………
∴ｃｏｓθ＝ １－ 槡１０
５（）槡
２
＝ 槡１５
５
∴直线 犃犉 面犅犆犉 成角余弦值 槡１５
５ ． １２分…………………………
１９．解析（１）开箱检验情况箱产品中正品价格期值：
犈ξ＝１００×（１－０．２）×１００×０．５＋１００×（１－０．１）×１００×０．５＝８５００＞８４００
∴开箱检验情况购买． ３分…………………………………………
（２）①犡 取值０１２
犘（犡＝０）＝Ｃ０
２×０．２０×０．８２＝０．６４
犘（犡＝１）＝Ｃ１
２×０．２１×０．８１＝０．３２
犘（犡＝２）＝Ｃ２
２×０．２２×０．８０＝０．０４
∴犡 分布列：
犡 ０ １ ２
犘 ０．６４ ０．３２ ０．０４
犈（犡）＝０×０．６４＋１×０．３２＋２×０．０４＝０．４． ７分……………………………………
②设事件 犃：发现抽取检验２件产品中中恰件废品
犘（犃）＝Ｃ１
２×０．２×０．８×０．５＋Ｃ１
２×０．１×０．９×０．５＝０．２５ ８分…………………
箱产品中设正品价格期值ηη＝８０００９０００
事件 犅１：抽取废品率２０％ 箱
犘（η＝８０００）＝犘（犅１｜犃）＝犘（犃犅１）
犘（犃） ＝Ｃ１
２×０．２×０．８×０．５
０．２５ ＝０．６４ ９分………
事件 犅２：抽取废品率１０％ 箱
犘（η＝９０００）＝犘（犅２｜犃）＝犘（犃犅２）
犘（犃） ＝Ｃ１
２×０．１×０．９×０．５
０．２５ ＝０．３６ １０分……
∴犈（η）＝８０００×０．６４＋９０００×０．３６＝８３６０＜８４００ １１分…………………………
∴已发现抽取检验２件产品中中恰件废品购买．
１２分
………
………………………………………………………………………………
２０．解析（１）∵直线犾：狓－狔＋１＝０抛物线犆 相切
狓－狔＋１＝０
狔２＝２狆狓｛ 消狓 狔２－２狆狔＋２狆＝０ ２分………………………………
Δ＝４狆２－８狆＝０解狆＝２． ３分……………………………………………
∴抛物线犆 方程狔２＝４狓． ４分…………………………………………………
（２）直线 犿 斜率０设直线 犿 方程狋狔＝狓－１犃（狓１狔１）
犅（狓２狔２）．
狋狔＝狓－１
狔２＝４狓｛ 消狓 狔２－４狋狔－４＝０ ６分……………………………………
∴狔１＋狔２＝４狋狓１＋狓２＝４狋２＋２
∴线段 犃犅 中点 犕 坐标（２狋２＋１２狋）． ７分…………………………………
设点 犃 直线犾距离犱犃 点 犅 直线犾距离犱犅 点 犕 直线犾距离
犱
犱犃 ＋犱犅 ＝２犱＝２·｜２狋２－２狋＋２｜
槡２
槡＝２ ２ 狋２－狋＋１ 槡＝２ ２ 狋－ １
２（）２
＋ ３
４
１０分………………………………………………………………………………
∴狋＝ １
２ 时 犃犅 两点直线犾距离距离值 槡３ ２
２ ．
１２分………………………………………………………………………………
２１．解析（１）∵函数犳（狓）＝ｌｎ狓＋ １
狓 －１∴函数犳′（狓）＝ １
狓 － １
狓２ （狓＞０）．
１分
…
………………………………………………………………………………
犳′（狓）＝ １
狓 － １
狓２ ＞０解狓＞１犳′（狓）＝ １
狓 － １
狓２ ＜００＜狓＜１．
∴函数单调递增区间（１＋∞）单调递减区间（０１）． ３分………………
（２）证明：（１）知狔＝犳（狓）值犳（１）＝０
∴犳（狓）＞０（狓＞０狓≠１）ｌｎ狓＞１－ １
狓 ５分…………………………………
槡∴ｌｎ ２＞１－ １
槡２
槡ｌｎ ３＞１－ １
槡３
…ｌｎ 狀槡 ＋１＞１－ １
狀槡 ＋１
６分………………
累 加 ： 槡 槡ｌｎ ２ ＋ ｌｎ ３ ＋ … ＋ ｌｎ 狀槡 ＋１ ＞ １－ １
槡２（）＋ １－ １
槡３（）＋ …
＋ １－ １
狀槡 ＋１（）
１
２ｌｎ［２×３×４×…×（狀＋１）］＞狀－
１
槡２
＋ １
槡３
＋…＋ １
狀槡 ＋１（）
∴ｌｎ（狀＋１）＞２狀－２
１
槡２
＋ １
槡３
＋…＋ １
狀槡 ＋１（） ８分……………………………
面利数学纳法证明 １
槡２
＋ １
槡３
＋…＋ １
狀槡 ＋１
＜２ 狀槡 ＋１．
狀＝１时左边＝槡２
２ 右边 槡＝２ ２等式成立 ９分……………………………
假设狀＝犽 时等式成立 １
槡２
＋ １
槡３
＋…＋ １
犽槡 ＋１
＜２ 犽槡 ＋１
狀＝犽＋１时１
槡２
＋ １
槡３
＋…＋ １
犽槡 ＋１
＋ １
犽槡 ＋２
＜２ 犽槡 ＋１＋ １
犽槡 ＋２
．
１０分
…
………………………………………………………………………………
证２ 犽槡 ＋１＋ １
犽槡 ＋２
＜２ 犽槡 ＋２
需证２ 犽２＋３犽槡 ＋２＋１＜２犽＋４证８＜９时显然成立．
∴２ 犽槡 ＋１＋ １
犽槡 ＋２
＜２ 犽槡 ＋２
１
槡２
＋ １
槡３
＋…＋ １
犽槡 ＋２
＜２ 犽槡 ＋２
综１
槡２
＋ １
槡３
＋…＋ １
狀槡 ＋１
＜２ 狀槡 ＋１．
∴ｌｎ（狀＋１）＞２狀－４ 狀槡 ＋１（狀∈犖 ）． １２分……………………………………
２２．解析（１）∵曲线犆１∶狓２－狔２＝２
∴曲线犆１ 极坐标方程：ρ２ｃｏｓ２θ－ρ２ｓｉｎ２θ＝２ρ２ｃｏｓ２θ＝２ ２分………
∵曲线犆２ 参数方程 狓＝２＋２ｃｏｓθ
狔＝２ｓｉｎθ｛（θ 参数）．
∴曲线犆２ 普通方程：（狓－２）２＋狔２＝４ ３分…………………………………
狓２＋狔２－４狓＝０
∴曲线犆２ 极坐标方程ρ＝４ｃｏｓθ． ４分………………………………………
（２）（１）：点 犃 极坐标 ２π
６（）
点 犅 极坐标 槡２ ３π
６（） ６分…………………………………………………
∴ 犃犅 ＝ 槡２－２ ３ 槡＝２ ３－２ ７分……………………………………………
犕（３０）点射线θ＝ π
６ （ρ≥０）距离犱＝３ｓｉｎ π
６ ＝ ３
２ ８分…………………
∴△犕犃犅 面积：
犛△犕犃犅 ＝ １
２ 犃犅 犱＝ １
２ ×（槡２ ３－２）× ３
２ ＝ 槡３ ３－３
２ ． １０分………………………
２３．解 析 犿 ＞ ０ 犳 （狓 ） ＝ 狓＋犿 － ２狓－２犿 ＝
狓－３犿狓≤－犿
３狓－犿－犿＜狓＜犿
－狓＋３犿狓≥犿
烅
烄
烆
． １分…………………………………………………………
（１） 犿＝ １
２ 时犳（狓）＝
狓－ ３
２ 狓≤－ １
２
３狓－ １
２ － １
２ ＜狓＜ １
２
－狓＋ ３
２ 狓≥ １
２
烅
烄
烆
２分……………………………
犳（狓）≥ １
２
狓－ ３
２ ≥ １
２
狓≤－ １
２
烅
烄
烆
３狓－ １
２ ≥ １
２
－ １
２ ＜狓＜ １
２
烅
烄
烆
－狓＋ ３
２ ≥ １
２
狓≥ １
２
烅
烄
烆
３分
……
………………………………………………………………………………
解 １
３ ≤狓＜ １
２ １
２ ≤狓≤１ ４分…………………………………………………
原等式解集 狓 １
３ ≤狓≤１｛｝． ５分………………………………………
１数学理科2（２）犳（狓）＋ 狋－３ ＜ 狋＋４ 犳（狓）＜ 狋＋４ － 狋－３
令犵（狋）＝ 狋＋４ － 狋－３ 题设犳 （狓）ｍａｘ＜犵 （狋）ｍａｘ． ６分……………
犳（狓）＝
狓－３犿狓≤－犿
３狓－犿－犿＜狓＜犿
－狓＋３犿狓≥犿
烅
烄
烆
犳 （狓）ｍａｘ＝犳（犿）＝２犿． ７分………………
狋＋４ － 狋－３ ≤ （狋＋４）－（狋－３） ＝７－７≤犵（狋）≤７． ８分…
犵 （狋）ｍａｘ＝７２犿＜７ 犿＜ ７
２ ９分………………………………………
已知 犿＞０实数 犿 取值范围 ０７
２（）． １０分……………………………
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１ 页（２页）
注意事项：
１．试卷分选择题非选择题两部分１５０分考试时间１２０分钟
２．答卷前考生务必班级姓名准考证号座号０．５ｍｍ黑色签字笔２Ｂ铅笔分涂写
答题卡
３．选择题题选出答案铅笔答题卡应题目答案标号涂黑非选择题直接答答题
卡相应区域答试卷试卷交请妥善保存交答题卡
选择题：题１２题题５分６０分．题出四选项中项符合题目
求．
１．已知集合 犕 ＝｛－１０１｝犖＝｛狓｜狓＝２犪犪∈犕｝集合 犕 ∪犖＝ （ ）
Ａ．｛－１０１｝ Ｂ．｛－２０２｝ Ｃ．｛０｝ Ｄ．｛－２－１０１２｝
２．复数狕１ 应复面点（２－３）狕１·狕２＝１＋２犻复数狕２ 虚部 （ ）
Ａ．－５
１３ Ｂ．７
１３ Ｃ．－１
１３ Ｄ．１
１３
３．图边长３正方形二维码测算图中黑色部分面积正方形区域机
投掷１０８９点中落入白色部分４８４点估计黑色部分面积 （ ）
Ａ．４ Ｂ．５ Ｃ．８ Ｄ．９
４．实数犪犫犮犪＞犫犪犮２＞犫犮２ （ ）
Ａ．充分必条件 Ｂ．必充分条件
Ｃ．充条件 Ｄ．充分必条件
５．已知双曲线狓２
犪２ －狔２
犫２ ＝１（犪＞犫犫＞０）条渐线方程狔＝２狓点 犘（槡６４）双曲线方
程 （ ）
Ａ．狓２
４ －狔２
３２＝１ Ｂ．狓２
３ －狔２
４ ＝１ Ｃ．狓２
２ －狔２
８＝１ Ｄ．狓２－狔２
４＝１
６．１９２７年德国汉堡学学生考拉兹提出猜想：意正整数果奇数３加
１果偶数２样循环终结果１．数学家认该猜想程度解
决现代数学进步开辟全新领域概蕴含奇偶思想关．图根
考拉兹猜想设计程序框图输出犻值 （ ）
Ａ．８ Ｂ．７ Ｃ．６ Ｄ．５
７．已知ｓｉｎα＋ｃｏｓα＝１
５中α∈ π
２π（ ）ｔａｎ２α＝ （ ）
Ａ．－２４
７ Ｂ．－４
３ Ｃ．７
２４ Ｄ．２４
７
８．已知 １
２狓－狓２（ ）狀
展开式中前三项二项式系数等２２展开式中常数项 （ ）
Ａ．１５
１６ Ｂ．３
４ Ｃ．－３
４ Ｄ．－１５
１６
９．已知数列｛犪狀｝满足（狀＋１）犪狀 ＝狀犪狀＋１（狀∈犖 ）犪２＝２等数列｛犫狀｝满足犫１＝犪１犫２＝犪２｛犫狀｝前
６项 （ ）
Ａ．－６４ Ｂ．６３ Ｃ．６４ Ｄ．１２６
１０．函数犳（狓）＝ｓｉｎ２狓 右移π
４单位函数犵（狓）犵（狓）具性质 （ ）
Ａ． ０π
４（ ）单调递增偶函数 Ｂ．值１图象关直线狓＝３π
４ 称
Ｃ． －３π
８ π
８（ ）单调递增奇函数 Ｄ．周期π图象关点 ３π
８０（ ）称
１１．点 犘 椭圆犆１：狓２
４ ＋狔２
３ ＝１犆１ 右焦点 犉点 犙 圆犆２：狓２ ＋狔２ ＋６狓－８狔＋２１＝０
犘犙 － 犘犉 值 （ ）
槡 槡 槡 槡Ａ．４ ２ Ｂ．４－４ ２ Ｃ．６－２ ５ Ｄ．２ ５－６
１２．已知函数 犳（狓）＝
狓２－２狓＋４≤０
ｌｎ狓狓＞０烅
烄
烆
函数犵（狓）＝犳２（狓）＋３犳（狓）＋犿（犿∈犚）三零点 犿
取值范围 （ ）
Ａ．犿＜９
４ Ｂ．犿≤－２８ Ｃ．－２８≤犿＜９
４ Ｄ．犿＞２８
１ ３ ４ ５ ６ ７ ８ ９ １０ １１ １２
答案
二填空题：题４题题５分２０分．答案填答题卡中横线．
１３．已知量犪＝（犿１）犫＝（４犿）犪·犫＝ 犪 · 犫 犿＝ ．
１４．已知等差数列 犪狀｛ ｝前狀 项犛狀 犪９＝１
２犪１２＋６犪２＝４数列 １
犛狀｛ ｝前１０项 ．
１５．已知犗 坐标原点犉 椭圆犆：狓２
犪２ ＋狔２
犫２ ＝１（犪＞犫＞０）右焦点点 犉 直线第象限椭圆
犆 交点犘△犘犗犉 正三角形椭圆犆 离心率 ．
１６．正四棱锥 犗－犃犅犆犇 体积 槡３ ２
２ 底 面边 长 槡３ 正四 棱 锥 犗－犃犅犆犇 切球 表 面 积
．
数学理科（二）
题号 ２２ 页（２页）
三解答题：７０分解答应写出文字说明证明程演算步骤．第１７—２１题必考题试题考生
必须作答．第２２２３题选考题考生根求作答．
（）必考题：６０分．
１７．（题满分１２分）
△犃犅犆 中角犃犅犆 边分犪犫犮犪２＋犫２－犮２
犪犫 ＝２ｓｉｎ犃－ｓｉｎ犆
ｓｉｎ犅 ．
（１）求角犅
（２）△犃犅犆 面积槡３求边犫 取值范围．
１８．（题满分１２分）
图四边形犃犅犆犇 犅犇犈犉 均菱形设犃犆 犅犇 相交点犗∠犇犃犅＝∠犇犅犉＝６０°犉犃
＝犉犆．
（１）求证：犉犆∥面犈犃犇
（２）求直线 犃犉 面犅犆犉 成角余弦值．
１９．（题满分１２分）
某企业算处理批产品产品箱１００件箱单位销售．已知批产品中箱出现
废品率１０％ 者２０％ 两种两种应概率均０．５．假设该产品正品件市场价格
１００元废品值钱．现处理价格箱８４００元遇废品予更换．箱产品中正品价格期
值作决策．
（１）开箱检验情况判断否购买
（２）现允许开箱放回机箱中抽取２件产品进行检验．
①箱出现废品率２０％ 记抽废品数 犡求 犡 分布列数学期
②已发现抽取检验２件产品中中恰件废品判断否购买．
２０．（题满分１２分）
已知直线犾：狓－狔＋１＝０焦点犉 抛物线犆：狔２＝２狆狓（狆＞０）相切．
（１）求抛物线犆 方程
（２）点犉 直线犿 抛物线犆 交犃犅 两点求 犃犅 两点直线犾距离值．
２１．（题满分１２分）
已知函数犳（狓）＝ｌｎ狓＋１
狓 －１．
（１）求函数单调区间
（２）求证：ｌｎ（狀＋１）＞２狀－４ 狀槡 ＋１（狀∈犖 ）．
（二）选考题：１０分．请考生２２２３题中选题作答．果做做第题计分．
选修４—４：坐标系参数方程（１０分）
２２．面直角坐标系中曲线犆１：狓２－狔２＝２曲线犆２ 参数方程 狓＝２＋２ｃｏｓθ
狔＝２ｓｉｎθ｛ （θ 参数）．坐标
原点犗 极点狓 轴正半轴极轴建立极坐标系．
（１）求曲线犆１犆２ 极坐标方程
（２）极坐标系中射线θ＝ π
６曲线 犆１犆２ 分交 犃犅 两点（异极点 犗）定点 犕 （３０）求
△犕犃犅 面积．
选修４—５：等式选讲（１０分）
２３．已知函数犳（狓）＝ 狓＋犿 － ２狓－２犿 （犿＞０）．
（１） 犿＝１
２时求等式犳（狓）≥１
２解集
（２）意实数狓存实数狋等式犳（狓）＋｜狋－３｜＜｜狋＋４｜成立求实数 犿 取值范围．
狓＝２犪犪∈犕｝＝｛－２０２｝
∴集合 犕 ∪犖＝｛－２－１０１２｝选 Ｄ．
２．Ｂ 解 析 题 意狕１ ＝２－３犻 狕１ ·狕２ ＝１＋２犻 狕２ ＝１＋２犻
２－３犻 ＝
（１＋２犻）（２＋３犻）
（２－３犻）（２＋３犻）＝－ ４
１３＋ ７
１３犻
∴复数狕２ 虚部 ７
１３选 Ｂ．
３．Ｂ 解析题意正方形区域机投掷１０８９点中落入白色部分
４８４点中落 入 黑 色 部 分 ６０５ 点 机 模 拟 试 验 ：犛黑
犛正
＝
６０５
１０８９犛正 ＝９犛黑 ＝６０５
１０８９×９＝５选 Ｂ．
４．Ｂ 解析犮＝０ 时显 然 左 边 法 推 导 出 右 边 右 边 推 出 左 边
选 Ｂ．
５．Ｃ 解析双曲线狓２
犪２ －狔２
犫２ ＝１（犪＞０犫＞０）条渐线方程狔＝２狓设双曲
线方程狓２－狔２
４ ＝λ双曲线点 犘（槡６４）６－１６
４ ＝λλ＝２
双曲线方程狓２
２ －狔２
８ ＝１选 Ｃ．
６．Ａ 解析犪＝３犪＝１满足犪 奇数满足犪＝１０犻＝２
犪＝１０犪＝１满足犪 奇数满足犪＝５犻＝３
犪＝５犪＝１满足犪 奇数满足犪＝１６犻＝４
犪＝１６犪＝１满足犪 奇数满足犪＝８犻＝５
犪＝８犪＝１满足犪 奇数满足犪＝４犻＝６
犪＝４犪＝１满足犪 奇数满足犪＝２犻＝７
犪＝２犪＝１满足犪 奇数满足犪＝１犻＝８
犪＝１犪＝１满足输出犻＝８选 Ａ．
７．Ｄ 解析∵ｓｉｎα＋ｃｏｓα＝ １
５ …①两边方：（ｓｉｎα＋ｃｏｓα）２ ＝ １
２５
１＋２ｓｉｎαｃｏｓα＝ １
２５∴２ｓｉｎαｃｏｓα＝－２４
２５∵α∈ π
２ π（ ）∴ｓｉｎα＞０ｃｏｓα＜０
ｓｉｎα－ｃｏｓα＞０
∴（ｓｉｎα－ｃｏｓα）２＝１－２ｓｉｎαｃｏｓα＝４９
２５解ｓｉｎα－ｃｏｓα＝ ７
５ …②
①＋②：２ｓｉｎα＝ ８
５ ｓｉｎα＝ ４
５ ｃｏｓα＝－ ３
５
ｔａｎα＝－ ４
３ ｔａｎ２α＝ ２ｔａｎα
１－ｔａｎ２α＝２４
７ 选 Ｄ．
８．Ａ 解析题意 Ｃ０
狀 ＋Ｃ１
狀 ＋Ｃ２
狀 ＝２２狀∈犖＋ 解狀＝６
二 项 式 １
２狓－狓２（ ）狀
展 开 式 通 项 ：犜狉＋１ ＝Ｃ狉
６
１
２狓（ ）６－狉
（－狓２）狉 ＝ （－１）狉
１
２（ ）６－狉
Ｃ狉
６狓３狉－６
令３狉－６＝０解狉＝２展开式中常数项（－１）２ １
２（ ）４
Ｃ２
６＝１５
１６选 Ａ．
９．Ｂ 解析∵数列 犪狀｛ ｝满足（狀＋１）犪狀 ＝狀犪狀＋１（狀∈犖 ）∴犪狀＋１
狀＋１＝犪狀
狀
∴数列 犪狀
狀｛ ｝犪２
２ ＝１常数列∴犪狀
狀 ＝１∴犪狀 ＝狀．
∴等数列｛犫狀 ｝满足犫１＝犪１＝１犫２＝犪２＝２∴狇＝２
∴｛犫狀 ｝前６项１－２６
１－２＝６３选 Ｂ．
１０．Ａ 解 析函 数 犳（狓）＝ｓｉｎ２狓 右 移 π
４ 单 位 函 数 犵（狓）＝ｓｉｎ
２狓－ π
２（ ）＝－ｃｏｓ２狓
狓＝３π
４ 时函数值０ Ｂ错误函数犵（狓）偶函数 Ｃ错误
狓＝３π
８ 时犵 ３π
８（ ）＝槡２
２ ≠０ Ｄ 错误．选 Ａ．
１１．Ｄ 解 析 设 椭 圆 左 焦 点 犉１ 犘犙 － 犘犉 ＝ 犘犙 － （２犪 －
犘犉１ ）＝ 犘犙 ＋ 犘犉１ －４求 犘犙 － 犘犉 值求 犘犙 ＋
犘犉１ 值圆 犆２ 半 径 狉 ２ 犘犙 ＋ 犘犉１ 值 等
犆２犉１ －２＝ （－１＋３）２＋４槡 ２ 槡－２＝２ ５－２∴ 犘犙 ＋ 犘犉１ 值２
槡５－６选 Ｄ．
１２．Ｂ 解析作出犳（狓）图象图：
设狋＝犳（狓） 图 象 知 狋≥４ 时狋＝犳
（狓）两根
狋＜４时狋＝犳（狓）根
函数犵（狓）＝犳２ （狓）＋３犳（狓）＋犿 （犿 ∈
犚）三零点
等价函数犵（狓）＝犺（狋）＝狋２＋３狋＋犿 两
零点
中狋１＜４狋２≥４
满足 △＝９－４犿＞０
犳（４）＝１６＋１２＋犿≤０｛
犿＜ ９
４
犿≤－２８
烅
烄
烆
犿≤－２８选 Ｂ．
１３．２ 解析量犪＝（犿１）犫＝（４犿）犪·犫＝ 犪 · 犫
４犿＋犿＝ 犿２槡 ＋１· １６＋犿槡 ２ 解 犿＝２犿＝－２（舍）．
１４．１０
１１ 解析设等差数列 犪狀｛ ｝公差犱∵犪９＝ １
２犪１２＋６犪２＝４
∴犪６＝１２＝犪１＋５犱犪１＋犱＝４解犪１＝犱＝２
∴犛狀 ＝２狀＋狀（狀－１）
２ ×２＝狀（狀＋１）．
∴ １
犛狀
＝ １
狀（狀＋１）＝ １
狀 － １
狀＋１．
数列 １
犛狀｛ ｝前１０项＝１－ １
２ ＋ １
２ － １
３ ＋……＋ １
１０－ １
１１＝１－ １
１１＝１０
１１．
１５．槡３－１ 解析∵ 椭 圆 存 点 犘 △犘犗犉 正 三 角 形设 犉 右 焦 点
犗犉 ＝犮犘 第象 限∴ 点 犘 坐 标 犮
２ 槡３
２犮（ ）代 入 椭 圆 方 程 ：犮２
４犪２ ＋
３犮２
４犫２ ＝１犲＝犮
犪
∴犲２
４ ＋ ３犲２
４－４犲２ ＝１犲∈（０１）解犲 槡＝ ３－１．
１６．（ 槡４－ ７）π 解析正四棱锥 犗－犃犅犆犇 体积
犞＝ １
３犛犺＝ １
３ 槡 槡× ３× ３×犺＝ 槡３ ２
２
∴犺＝ 槡３ ２
２ ∴斜高 槡３ ２
２（ ）２
＋ 槡３
２（ ）槡
２
＝ 槡２１
２
设正四棱锥 犗－犃犅犆犇 切球半径狉 １
３
× 槡 槡３× ３＋４× １
２ 槡× ３× 槡２１
２（ ）狉＝ 槡３ ２
２
∴狉＝槡２（槡７－１）
４ ．
∴正四棱锥 犗－犃犅犆犇 切球表面积４π狉２＝（ 槡４－ ７）π．
１．Ｄ 解析∵集合 犕 ＝｛－１０１｝犖＝｛狓
数学理科2
评分标准
数学理科2１７．解析（１）∵犪２＋犫２－犮２
犪犫 ＝２ｓｉｎ犃－ｓｉｎ犆
ｓｉｎ犅
∴正弦定理余弦定理２犪犫ｃｏｓ犆
犪犫 ＝２犪－犮
犫 ２分……………………………
２犫ｃｏｓ犆＋犮＝２犪 ３分…………………………………………………………
∴２ｓｉｎ犅ｃｏｓ犆＋ｓｉｎ犆＝２ｓｉｎ犃 ４分………………………………………………
∴２ｓｉｎ犅ｃｏｓ犆＋ｓｉｎ犆＝２ｓｉｎ（犅＋犆）＝２ｓｉｎ犅ｃｏｓ犆＋２ｃｏｓ犅ｓｉｎ犆
ｓｉｎ犆＝２ｃｏｓ犅ｓｉｎ犆 ５分………………………………………………………
∵ｓｉｎ犆≠０∴ｃｏｓ犅＝ １
２ ．
∵犅∈（０π）∴犅＝ π
３ ． ６分…………………………………………………………
（２）∵犅＝ π
３ △犃犅犆 面积槡３＝ １
２犪犮ｓｉｎ犅＝槡３
４犪犮 ７分……………………
∴犪犮＝４ ８分…………………………………………………………………………
∵余弦定理：犫２＝犪２＋犮２－犪犮≥２犪犮－犪犮＝犪犮＝４
仅犪＝犮 时等号成立 １１分…………………………………………………
∴犫≥２．
边犫 取值范围［２＋∞）． １２分……………………………………………
１８．解析（１）∵四边形 犃犅犆犇 犅犇犈犉 均菱形
∴犃犇∥犅犆犇犈∥犅犉． １分…………………………………………………………
∵犃犇面 犉犅犆犇犈面 犉犅犆犅犆面 犉犅犆犅犉面 犉犅犆
∴犃犇∥面 犉犅犆犇犈∥面 犉犅犆 ３分…………………………………………
犃犇∩犇犈＝犇犃犇面 犈犃犇犇犈面 犈犃犇
∴面 犉犅犆∥面 犈犃犇
犉犆面 犉犅犆∴犉犆∥面 犈犃犇． ５分………………………………………
（２）连接 犉犗犉犇∵四边形 犅犇犈犉 菱形∠犇犅犉＝６０°
∴△犇犅犉 等边三角形
∵犗 犅犇 中点∴犉犗⊥犅犇
∵犗 犃犆 中点 犉犃＝犉犆∴犃犆⊥犉犗
犃犆∩犅犇＝犗∴犉犗⊥面 犃犅犆犇．
犗犃犗犅犗犉 两两垂直建立图示空间直角坐标系 犗－狓狔狕． ７分……
设 犃犅＝２四边形 犃犅犆犇 菱形∠犇犃犅＝６０°
犅犇＝２犗犅＝１犗犃＝犗犉 槡＝ ３
∴犗（０００）犃（槡３００）犅（０１０）犆（ 槡－ ３００）犉
（００槡３）
犆犉→ ＝（槡３０槡３）犆犅→ ＝（槡３１０）犃犉→ ＝（ 槡－ ３０槡３）
８分…………………………………………………
设面 犅犆犉 法量狀＝（狓狔狕）
狀·犆犉→ 槡＝ ３狓 槡＋ ３狕＝０
狀·犆犅→ 槡＝ ３狓＋狔＝０｛取狓＝１狀＝（１ 槡－ ３
－１） １０分……………………………………………………………………………
设直线 犃犉 面犅犆犉 成角θ
ｓｉｎθ＝ 犃犉→ ·狀
犃犉→ · 狀
＝ 槡－２ ３
槡６·槡５
＝ 槡１０
５ １１分………………………………
∴ｃｏｓθ＝ １－ 槡１０
５（）槡
２
＝ 槡１５
５
∴直线 犃犉 面犅犆犉 成角余弦值 槡１５
５ ． １２分…………………………
１９．解析（１）开箱检验情况箱产品中正品价格期值：
犈ξ＝１００×（１－０．２）×１００×０．５＋１００×（１－０．１）×１００×０．５＝８５００＞８４００
∴开箱检验情况购买． ３分…………………………………………
（２）①犡 取值０１２
犘（犡＝０）＝Ｃ０
２×０．２０×０．８２＝０．６４
犘（犡＝１）＝Ｃ１
２×０．２１×０．８１＝０．３２
犘（犡＝２）＝Ｃ２
２×０．２２×０．８０＝０．０４
∴犡 分布列：
犡 ０ １ ２
犘 ０．６４ ０．３２ ０．０４
犈（犡）＝０×０．６４＋１×０．３２＋２×０．０４＝０．４． ７分……………………………………
②设事件 犃：发现抽取检验２件产品中中恰件废品
犘（犃）＝Ｃ１
２×０．２×０．８×０．５＋Ｃ１
２×０．１×０．９×０．５＝０．２５ ８分…………………
箱产品中设正品价格期值ηη＝８０００９０００
事件 犅１：抽取废品率２０％ 箱
犘（η＝８０００）＝犘（犅１｜犃）＝犘（犃犅１）
犘（犃） ＝Ｃ１
２×０．２×０．８×０．５
０．２５ ＝０．６４ ９分………
事件 犅２：抽取废品率１０％ 箱
犘（η＝９０００）＝犘（犅２｜犃）＝犘（犃犅２）
犘（犃） ＝Ｃ１
２×０．１×０．９×０．５
０．２５ ＝０．３６ １０分……
∴犈（η）＝８０００×０．６４＋９０００×０．３６＝８３６０＜８４００ １１分…………………………
∴已发现抽取检验２件产品中中恰件废品购买．
１２分
………
………………………………………………………………………………
２０．解析（１）∵直线犾：狓－狔＋１＝０抛物线犆 相切
狓－狔＋１＝０
狔２＝２狆狓｛ 消狓 狔２－２狆狔＋２狆＝０ ２分………………………………
Δ＝４狆２－８狆＝０解狆＝２． ３分……………………………………………
∴抛物线犆 方程狔２＝４狓． ４分…………………………………………………
（２）直线 犿 斜率０设直线 犿 方程狋狔＝狓－１犃（狓１狔１）
犅（狓２狔２）．
狋狔＝狓－１
狔２＝４狓｛ 消狓 狔２－４狋狔－４＝０ ６分……………………………………
∴狔１＋狔２＝４狋狓１＋狓２＝４狋２＋２
∴线段 犃犅 中点 犕 坐标（２狋２＋１２狋）． ７分…………………………………
设点 犃 直线犾距离犱犃 点 犅 直线犾距离犱犅 点 犕 直线犾距离
犱
犱犃 ＋犱犅 ＝２犱＝２·｜２狋２－２狋＋２｜
槡２
槡＝２ ２ 狋２－狋＋１ 槡＝２ ２ 狋－ １
２（）２
＋ ３
４
１０分………………………………………………………………………………
∴狋＝ １
２ 时 犃犅 两点直线犾距离距离值 槡３ ２
２ ．
１２分………………………………………………………………………………
２１．解析（１）∵函数犳（狓）＝ｌｎ狓＋ １
狓 －１∴函数犳′（狓）＝ １
狓 － １
狓２ （狓＞０）．
１分
…
………………………………………………………………………………
犳′（狓）＝ １
狓 － １
狓２ ＞０解狓＞１犳′（狓）＝ １
狓 － １
狓２ ＜００＜狓＜１．
∴函数单调递增区间（１＋∞）单调递减区间（０１）． ３分………………
（２）证明：（１）知狔＝犳（狓）值犳（１）＝０
∴犳（狓）＞０（狓＞０狓≠１）ｌｎ狓＞１－ １
狓 ５分…………………………………
槡∴ｌｎ ２＞１－ １
槡２
槡ｌｎ ３＞１－ １
槡３
…ｌｎ 狀槡 ＋１＞１－ １
狀槡 ＋１
６分………………
累 加 ： 槡 槡ｌｎ ２ ＋ ｌｎ ３ ＋ … ＋ ｌｎ 狀槡 ＋１ ＞ １－ １
槡２（）＋ １－ １
槡３（）＋ …
＋ １－ １
狀槡 ＋１（）
１
２ｌｎ［２×３×４×…×（狀＋１）］＞狀－
１
槡２
＋ １
槡３
＋…＋ １
狀槡 ＋１（）
∴ｌｎ（狀＋１）＞２狀－２
１
槡２
＋ １
槡３
＋…＋ １
狀槡 ＋１（） ８分……………………………
面利数学纳法证明 １
槡２
＋ １
槡３
＋…＋ １
狀槡 ＋１
＜２ 狀槡 ＋１．
狀＝１时左边＝槡２
２ 右边 槡＝２ ２等式成立 ９分……………………………
假设狀＝犽 时等式成立 １
槡２
＋ １
槡３
＋…＋ １
犽槡 ＋１
＜２ 犽槡 ＋１
狀＝犽＋１时１
槡２
＋ １
槡３
＋…＋ １
犽槡 ＋１
＋ １
犽槡 ＋２
＜２ 犽槡 ＋１＋ １
犽槡 ＋２
．
１０分
…
………………………………………………………………………………
证２ 犽槡 ＋１＋ １
犽槡 ＋２
＜２ 犽槡 ＋２
需证２ 犽２＋３犽槡 ＋２＋１＜２犽＋４证８＜９时显然成立．
∴２ 犽槡 ＋１＋ １
犽槡 ＋２
＜２ 犽槡 ＋２
１
槡２
＋ １
槡３
＋…＋ １
犽槡 ＋２
＜２ 犽槡 ＋２
综１
槡２
＋ １
槡３
＋…＋ １
狀槡 ＋１
＜２ 狀槡 ＋１．
∴ｌｎ（狀＋１）＞２狀－４ 狀槡 ＋１（狀∈犖 ）． １２分……………………………………
２２．解析（１）∵曲线犆１∶狓２－狔２＝２
∴曲线犆１ 极坐标方程：ρ２ｃｏｓ２θ－ρ２ｓｉｎ２θ＝２ρ２ｃｏｓ２θ＝２ ２分………
∵曲线犆２ 参数方程 狓＝２＋２ｃｏｓθ
狔＝２ｓｉｎθ｛（θ 参数）．
∴曲线犆２ 普通方程：（狓－２）２＋狔２＝４ ３分…………………………………
狓２＋狔２－４狓＝０
∴曲线犆２ 极坐标方程ρ＝４ｃｏｓθ． ４分………………………………………
（２）（１）：点 犃 极坐标 ２π
６（）
点 犅 极坐标 槡２ ３π
６（） ６分…………………………………………………
∴ 犃犅 ＝ 槡２－２ ３ 槡＝２ ３－２ ７分……………………………………………
犕（３０）点射线θ＝ π
６ （ρ≥０）距离犱＝３ｓｉｎ π
６ ＝ ３
２ ８分…………………
∴△犕犃犅 面积：
犛△犕犃犅 ＝ １
２ 犃犅 犱＝ １
２ ×（槡２ ３－２）× ３
２ ＝ 槡３ ３－３
２ ． １０分………………………
２３．解 析 犿 ＞ ０ 犳 （狓 ） ＝ 狓＋犿 － ２狓－２犿 ＝
狓－３犿狓≤－犿
３狓－犿－犿＜狓＜犿
－狓＋３犿狓≥犿
烅
烄
烆
． １分…………………………………………………………
（１） 犿＝ １
２ 时犳（狓）＝
狓－ ３
２ 狓≤－ １
２
３狓－ １
２ － １
２ ＜狓＜ １
２
－狓＋ ３
２ 狓≥ １
２
烅
烄
烆
２分……………………………
犳（狓）≥ １
２
狓－ ３
２ ≥ １
２
狓≤－ １
２
烅
烄
烆
３狓－ １
２ ≥ １
２
－ １
２ ＜狓＜ １
２
烅
烄
烆
－狓＋ ３
２ ≥ １
２
狓≥ １
２
烅
烄
烆
３分
……
………………………………………………………………………………
解 １
３ ≤狓＜ １
２ １
２ ≤狓≤１ ４分…………………………………………………
原等式解集 狓 １
３ ≤狓≤１｛｝． ５分………………………………………
１数学理科2（２）犳（狓）＋ 狋－３ ＜ 狋＋４ 犳（狓）＜ 狋＋４ － 狋－３
令犵（狋）＝ 狋＋４ － 狋－３ 题设犳 （狓）ｍａｘ＜犵 （狋）ｍａｘ． ６分……………
犳（狓）＝
狓－３犿狓≤－犿
３狓－犿－犿＜狓＜犿
－狓＋３犿狓≥犿
烅
烄
烆
犳 （狓）ｍａｘ＝犳（犿）＝２犿． ７分………………
狋＋４ － 狋－３ ≤ （狋＋４）－（狋－３） ＝７－７≤犵（狋）≤７． ８分…
犵 （狋）ｍａｘ＝７２犿＜７ 犿＜ ７
２ ９分………………………………………
已知 犿＞０实数 犿 取值范围 ０７
２（）． １０分……………………………
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