线 折 叠
选择题：题
12
题题
5
分
60
分
题出四选项中
项 中
项 项
项
项 项符合题目求
1
设命题
p
：
2
≥
1
命题
q
：
≥≥
1
哿
０
1
2
列命题中真命题
A
p
∧
q
B
劭
p
∧
q
C
p
∧
劭
q
D
劭
p
∨
劭
q
2
直线
l
1
：
x
3
姨
y
10
垂直点（
1
3
姨
）直线
l
2
方程
A
．
3
姨
x
+
y
0 B
．
x
3
姨
y
20
C
．
x
3
姨
y
40 D
．
3
姨
x
+
y
2
3
姨
0
3
命题
坌
x
∈
R
x
2
≠
2
x
否定
A
坌
x
∈
R
x
2
2
x
B
埚
x
0
埸
R
x
0
2
2
x
0
C
埚
x
0
∈
R
x
0
2
≠
2
x
0
D
埚
x
0
∈
R
x
0
2
2
x
0
4
列命题中
题 列
题 命
题 题
A
条直线两行面中相交必面相交
B
果面
α
垂直面
β
面
α
定存直线垂直面
β
C
行面两条直线定行
D
直线
l
行面
α
l
面
α
面
α
存
l
行直线
5
已知直线
l
：
x
y
+
m
0
圆
O
：
x
2
+
y
2
1
相交
A
B
两点
△
OAB
正三角形实数
m
值
A
3
姨
2
B
6
姨
2
C
3
姨
2
3
姨
2
D
6
姨
2
6
姨
2
6
△
ABC
中角
A
B
C
边分
a
b
c
a
2
+
b
2
＞
c
2
△
ABC
锐角三角
形
A
充分必条件
B
必充分条件
C
充条件
D
充分必条件
7
行六面体
ABCDA
1
B
1
C
1
D
1
中
AC
1
1
1
x
A
1
1
B
2
y
B
1
1
C
+3
z
DD
1
1
1
x
+
y
+
z
A
2
3
B
5
6
C 1 D
7
6
8
曲线
x
2
1
6
+
y
2
9
1
曲线
x
2
16
k
+
y
2
9
k
1
（
９＜
ｋ
＜１６
）
A
．
长轴长相等
B
．
短轴长相等
C
．
焦距相等
D
．
离心率相等
9
双曲线
ｙ
２
ｍ
－
ｘ
２
＝１
顶点抛物线
ｙ
＝
１
２
ｘ
２
准线该双曲线离心率
A
３
姨
B
５
姨
C
２
３
姨
D
２
５
姨
高
二理科数学试题 第
１
页（
4
页） 高二理科数学试题 第
2
页（
4
页）
秘密
★
启前
注意事项：
1
答卷前考生务必姓名准考证号填写试题相应位置
2
全部答案答题卡完成答试题效
3
回答选择题时选出题答案
2B
铅笔答题卡应题目答案标号
涂黑
需改动橡皮擦干净选涂答案标号
回答非选择题时答案
05mm
黑色笔迹签字笔写答题卡
4
考试结束试题答题卡交回
姓名 准考证号
高
二理科数学试题
Ⅱ 线 折 叠
10
直三棱柱
ＡＢＣ
－
Ａ
１
Ｂ
１
Ｃ
１
中
∠
ＢＡＣ
＝９０°
ＡＢ
＝
ＡＣ
＝
ＡＡ
１
异面直线
ＢＡ
１
ＡＣ
１
成
角等A
３０°
B
４５°
C
６０°
D
９０°
11
．
设椭圆
ｘ
２
ｍ
２
＋
ｙ
２
ｎ
２
＝１
（
ｍ
＞０
ｎ
＞０
）焦点抛物线
ｘ
２
＝８
ｙ
焦点相离心率
１２
ｍ
－
ｎ
＝
A
． ２
３
姨
－４
B
． ４－２
３
姨
C
． ４
３
姨
－８
D
． ８－４
３
姨
12
已知正方体
ＡＢＣＤ
－
Ａ
１
Ｂ
１
Ｃ
１
Ｄ
１
棱长
2
E
棱
ＣＣ
１
中点点
M
正方形
ＢＣＣ
１
Ｂ
１
运
动直线
AM
∥
面
Ａ
１
ＤＥ
动点
M
轨迹长度
A
π
４
B
２
姨
C 2 D
π
二填空题：题
4
题题
5
分
20
分
13
命题
ｘ
２
－３
ｘ
＋２＝０
ｘ
＝１
ｘ
＝２
逆否命题
▲
．
14
已知量
a
＝
（
２
４
ｘ
）
ｂ
（
１
ｙ
３
）
a
∥
ｂ
ｘ
＋
ｙ
＝
▲
．
15
已知动点
M
点
A
（
8
0
）距离等点
M
点
B
（
2
0
）距离
2
倍点
M
轨迹方程
▲
．
16
已知点
P
椭圆
ｘ
２
ａ
２
＋
ｙ
２
ｂ
２
＝１
（
ａ
＞
ｂ
＞０
）点
Ｆ
１
Ｆ
２
分椭圆左右焦点已知
∠
Ｆ
１
ＰＦ
２
＝１２０°
ＰＦ
１
＝２
ＰＦ
２
椭圆离心率
▲
．
三解答题：题
6
题
70
分
解答应写出文字说明证明程演算步骤
17
（
10
分）
已知
p
：意实数
k
函数
f
（
k
）
log
2
（
ka
）（
a
常数）意义
q
：存实数
k
方
程
x
2
k
+
1
+
y
2
3
k
1
表示双曲线
劭
q
p
充分必条件求实数
a
取值范围
18
（
12
分）
已知圆
C
：
x
2
+
y
2
2
x
+4
y
0
（
1
）直线
l
：
x
2
y
+
t
0
圆
C
相切求
t
值
（
2
）圆
M
：（
x
+2
）
2
+
（
y
4
）
2
r
2
圆
C
3
条公切线求
r
值
19
（
12
分）
图正三棱柱
ABC
A
1
B
1
C
1
中
AB
BB
1
2
点
Q
R
分
BC
B
1
C
1
中点
（
1
）求证：面
A
1
BR
∥
面
AQC
1
（
2
）求直线
CC
1
面
AQC
1
成角正弦值
20
（
12
分）
已知抛物线
C
：
y
2
2
px
（
p
＞
0
）
（
1
）直线
x
y
20
抛物线
C
焦点求抛物线
C
准线方程
（
2
）斜率
１
直线抛物线
C
焦点
F
抛物线
C
交
A
B
两点
A
B
2
时求抛物线
C
方程
21
（
12
分）
图三棱锥
P
ABC
中
AB
BC
2
2
姨
PA
PB
PC
AC
4
O
AC
中点
（
1
）证明：
PO
⊥
面
ABC
（
2
）点
M
棱
BC
BM
13
BC
求二面角
M
PA
C
22
（
12
分）
已知椭圆
C
：
x
2
a
2
+
y
2
b
2
1
（
a
＞
b
＞
0
）该椭圆点
B
（
0
2
）离心率
2
姨
2
（
1
）求椭圆
C
标准方程
（
2
）设
M
圆
x
2
+
y
2
12
意点
M
引椭圆
C
两条切线
MA
MB
两条切线
斜率存时证明：两条切线斜率积定值
高二理科数学试题 第
3
页（
4
页） 高二理科数学试题 第
4
页（
4
页）
Ⅱ选择题
1 A 解析∵ 命题 p 真命题 q 真∴p∧q 真．
2 A 解析∵ 直线 l1x 3姨 y10 斜率 3姨
3 ∴ 垂直 l2 直线斜率 3姨 根点斜式直线
l2 方程 y 3姨 3姨 （x+1） 3姨 x+y0
3 D 解析全称命题否定特称命题第步全称量词改写存量词第二步结加否定
4 C 解析行面两条直线位置关系行相交异面
5 D 解析圆O：x2+y21圆心 O（00）半径 r1∵△OAB 正三角形∴ 圆心 O 直线 xy+m0 距离
3姨
2 r 3姨
2 d m
2姨
3姨
2 解 m 6姨
2 6姨
2
6 B解析a2+b2＞c2说明∠C 锐角推出△ABC 锐角三角形△ABC 锐角三角形时
定 a2+b2＞c2成立a2+b2＞c2△ABC 锐角三角形必充分条件
7 B 解析∵ 行六面体 ABCDA1B1C1D1中AC1
11A11B +B11C +DD1
11∴x1y 1
2 z 1
3 x+y+z 5
6
8 C 解析曲线 x2
16 + y2
9 1表示椭圆焦距 2c2 a2b2姨 2 7姨 9＜k＜16 时曲线 x2
16k + y2
9k 1表示双曲线
焦距 2c2 a2+b2姨 2 16k+k9姨 2 7姨 两条曲线焦距相等
9 B 解析∵ 抛物线 ｙ＝ １
２ ｘ２准线方程 y 1
2 ∴m 1
4 离心率 e
1+ 1
4姨 1
2
5姨
10 C 解析法：直三棱柱补成正方体图 1 示异面直线 BA1 AC1 成角∠A1BD1 相等
∵△A1BD1 正三角形异面直线 BA1 AC1 成角 60°
图 1 图 2
法二：图 2点 A 坐标原点建立空间直角坐标系 Axyz妨设 AB1
A（000）B（100）A1（001）C1（011）
cos〈BA1
11AC1
11〉 BA1
11·AC1
11
BA1
11 · AC1
11 （101）·（011）
2姨 × 2姨
1
2
∴ 异面直线 BA1 AC1 成角 60°
秘密★启前
理科数学（Ⅱ）参考答案评分参考
高二理科数学试题答案 第 1 页（ 4 页）高二理科数学试题答案 第 2 页（ 4 页）
11 A 解析∵ 抛物线性 x28y 焦点（02）∴ 椭圆焦点 y 轴 c2
∵ 离心率 1
2 ∴n4m2 3姨 ∴mn2 3姨 4
12 B 解析法：图建系 DxyzA（200）A1（202）D（000）E（021）
设 M（x2z）设面 A1DE 法量 n（x′y′z′）
∵
DA1
姨姨·n0
D姨姨E·n0
姨
姨
姨姨
姨
姨
姨姨
姨
∴n（212） ∵A姨姨M （x22z）
∵AM∥面 A1DE∴A姨姨M·n2（x2）+22z0 xz10
∴ 动点 M 轨迹 BCBB1 中点端点线段条线段长 2姨
法二：取 BB1 中点 PBC 中点 Q面 APQ∥面 A1DE
∴M 轨迹线段 PQ PQ 2姨
二填空题
13x≠1x≠2x23x+2≠0解析原命题pq逆否命题劭q劭p
14 8 解析∵a∥b∴存唯实数姿a姿bx+y6+28
15 x2+y216 解析设M（xy） MA 2 MB 化简x2+y216．
16 7姨
3 解析∵ PF1 2 PF2 PF1 + PF2 2a∴ PF1 4a
3 PF2 2a
3
∵∠F1PF2120°∴△F1PF2中 F1F2
2 PF1
2+ PF2
22 PF1 PF2 ·cos∠F1PF2
4ｃ2 4a
3△ △2
+ 2a
3△ △2
2×4a
3 ×2a
3 × 1
2△ △ 28a2
9 ∴ｅ c
a 7
9姨 7姨
3
三解答题
17 解： p 函数 f（k）意义 k>a ………………………………………………………………………… 2 分
q 知 x2
k+1 + y2
3k 1 表示双曲线（k+1）（3k）<0 k<1 k>3 ……………………………… 5 分
∴劭q：k∈［13］
∵劭q p 充分必条件
∴a<1 ………………………………………………………………………………………………………… 10 分
18 解：（1）圆C方程x2+y22x+4y0（x1）2+（y+2）25∴圆心C（12）半径 5姨
∵直线l：x2y+t0 圆C相切∴圆心C直线l距离d 1+4+t
5姨
5姨 t+5 5
解t0t10 ………………………………………………………………………………………………… 6分
（2）题圆心M（24）∵圆M：（x+2）2+（y4）2r2 圆C3条公切线
∴圆M圆C相外切 CM 5姨 +r∵ CM 3 5姨 ∴解r2 5姨 ………………………………… 12分
19（1）证明：∵A1R∥AQA1R埭面AQC1AQ奂面AQC1∴A1R∥面AQC1
（第 12 题答图）高二理科数学试题答案 第 3 页（ 4 页）
（第 19 题答图）
∵BR∥QC1BR埭面AQC1C1Q奂面AQC1∴BR∥面AQC1
∵A1R∩BRRAQ∩C1Q∴面A1BR∥面AQC1 …………………………………………………………… 6分
（2）解： Q 坐标原点建立图示空间直角坐标系 Qxyz
Q（000）A（ 3姨 00）C1（012）C（010）
∴Q姨姨A （ 3姨 00）QC1
姨姨（012）
设面 AQC1 法量 n（xyz）
Q姨姨A·n0
QC1
姨姨·n
姨
姨
姨姨
姨
姨
姨姨
姨 0
3姨 x0
y+2z0
姨
姨
姨姨
姨
姨
姨姨
姨
令 z1∴n（021）
∵CC1
姨姨（002）
设直线 CC1 面 AQC1 成角 φ
∴sinφ cos〈CC1
姨姨n〉 2
2 5姨 5姨
5
直线 CC1 面 AQC1 成角正弦值 5姨
5 ……………………………………………………… 12 分
20 解：（1）∵直线xy20 抛物线C焦点
∴抛物线C焦点坐标（20）
∴抛物线C准线方程x2． ………………………………………………………………………………… 4分
（2）设抛物线 C 焦点斜率1 直线方程 yx+ p
2 直线 C 交 A（x1y1）B（x2y2）
yx+ p
2
y22p
姨
姨
姨
姨姨
姨
姨
姨
姨姨
姨 x
化简 x23px+p2
4 0
∴x1+x23p
∵ AB x1+x2+p4p2解 p 1
2
∴ 抛物线 C 方程 y2x …………………………………………………………………………………… 12 分
21（1）证明：连接 OB∵ PAPCO AC 中点∴PO⊥AC∴PO4× 3姨
2 2 3姨
∵ABBC2 2姨 AC4
∴AB2+BC2AC2 AB⊥BC
∴ Rt△ABC 中OAOBOC2
∵PO2+OB2PB2∴PO⊥OB
∵AC∩OBO高二理科数学试题答案 第 4 页（ 4 页）
（第 21 题答图）
∴PO⊥面 ABC ……………………………………………………………………………………………… 6 分
（2）解：∵OB⊥ACPO⊥面 ABC
∴ O 坐标原点建立图示空间直角坐标系 Oxyz
A（020）C（020）B（200）P（002 3姨 ）
设M（xmym0）∵B姨姨M 1
3 BC姨姨∴M 4
3 2
3 0
设面PAM法量ｍ（xyz）
A姨姨P·ｍ0
A姨姨M·ｍ
0
y+ 3姨 z0
x+2y0
令z1∴ｍ（2 3姨 3姨 1）
∵面PAC法量ｎ（100）
∴cos〈ｍｎ〉 ｍ·ｎ
ｍ · ｎ 2 3姨
（2 3姨 ）2+（ 3姨 ）2+1姨
2 3姨
4 3姨
2 ……………………………………… 10分
求二面角MPAC30° ………………………………………………………………………… 12分
22 解：（1）题意
c
a 2姨
2
a2b2+c2
b2
解a28b24
∴椭圆C标准方程 x2
8 + y2
4 1 ……………………………………………………………………………… 4分
（2）设M（x0y0）x0
2+y0
212
题意知点M引椭圆C切线方程设yy0k（xx0）
联立
yy0k（xx0）
x2
8 + y2
4
1
化简（1+2k2）x2+4k（y0kx0）x+2（y0kx0）280
∵直线椭圆相切
∴ Δ［4k（y0kx0）］24（1+2k2）［2（y0kx0）28］0
化简（x0
28）k22x0y0k+y0
240 …………………………………………………………………………… 10分
∴k1·k2 y0
24
x0
28 y0
24
12y0
28 y0
24
4y0
2 1
∴两条切线斜率积定值 ……………………………………………………………………………… 12分
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选择题：题
12
题题
5
分
60
分
题出四选项中
项 中
项 项
项
项 项符合题目求
1
设命题
p
：
2
≥
1
命题
q
：
≥≥
1
哿
０
1
2
列命题中真命题
A
p
∧
q
B
劭
p
∧
q
C
p
∧
劭
q
D
劭
p
∨
劭
q
2
直线
l
1
：
x
3
姨
y
10
垂直点（
1
3
姨
）直线
l
2
方程
A
．
3
姨
x
+
y
0 B
．
x
3
姨
y
20
C
．
x
3
姨
y
40 D
．
3
姨
x
+
y
2
3
姨
0
3
命题
坌
x
∈
R
x
2
≠
2
x
否定
A
坌
x
∈
R
x
2
2
x
B
埚
x
0
埸
R
x
0
2
2
x
0
C
埚
x
0
∈
R
x
0
2
≠
2
x
0
D
埚
x
0
∈
R
x
0
2
2
x
0
4
列命题中
题 列
题 命
题 题
A
条直线两行面中相交必面相交
B
果面
α
垂直面
β
面
α
定存直线垂直面
β
C
行面两条直线定行
D
直线
l
行面
α
l
面
α
面
α
存
l
行直线
5
已知直线
l
：
x
y
+
m
0
圆
O
：
x
2
+
y
2
1
相交
A
B
两点
△
OAB
正三角形实数
m
值
A
3
姨
2
B
6
姨
2
C
3
姨
2
3
姨
2
D
6
姨
2
6
姨
2
6
△
ABC
中角
A
B
C
边分
a
b
c
a
2
+
b
2
＞
c
2
△
ABC
锐角三角
形
A
充分必条件
B
必充分条件
C
充条件
D
充分必条件
7
行六面体
ABCDA
1
B
1
C
1
D
1
中
AC
1
1
1
x
A
1
1
B
2
y
B
1
1
C
+3
z
DD
1
1
1
x
+
y
+
z
A
2
3
B
5
6
C 1 D
7
6
8
曲线
x
2
1
6
+
y
2
9
1
曲线
x
2
16
k
+
y
2
9
k
1
（
９＜
ｋ
＜１６
）
A
．
长轴长相等
B
．
短轴长相等
C
．
焦距相等
D
．
离心率相等
9
双曲线
ｙ
２
ｍ
－
ｘ
２
＝１
顶点抛物线
ｙ
＝
１
２
ｘ
２
准线该双曲线离心率
A
３
姨
B
５
姨
C
２
３
姨
D
２
５
姨
高
二理科数学试题 第
１
页（
4
页） 高二理科数学试题 第
2
页（
4
页）
秘密
★
启前
注意事项：
1
答卷前考生务必姓名准考证号填写试题相应位置
2
全部答案答题卡完成答试题效
3
回答选择题时选出题答案
2B
铅笔答题卡应题目答案标号
涂黑
需改动橡皮擦干净选涂答案标号
回答非选择题时答案
05mm
黑色笔迹签字笔写答题卡
4
考试结束试题答题卡交回
姓名 准考证号
高
二理科数学试题
Ⅱ 线 折 叠
10
直三棱柱
ＡＢＣ
－
Ａ
１
Ｂ
１
Ｃ
１
中
∠
ＢＡＣ
＝９０°
ＡＢ
＝
ＡＣ
＝
ＡＡ
１
异面直线
ＢＡ
１
ＡＣ
１
成
角等A
３０°
B
４５°
C
６０°
D
９０°
11
．
设椭圆
ｘ
２
ｍ
２
＋
ｙ
２
ｎ
２
＝１
（
ｍ
＞０
ｎ
＞０
）焦点抛物线
ｘ
２
＝８
ｙ
焦点相离心率
１２
ｍ
－
ｎ
＝
A
． ２
３
姨
－４
B
． ４－２
３
姨
C
． ４
３
姨
－８
D
． ８－４
３
姨
12
已知正方体
ＡＢＣＤ
－
Ａ
１
Ｂ
１
Ｃ
１
Ｄ
１
棱长
2
E
棱
ＣＣ
１
中点点
M
正方形
ＢＣＣ
１
Ｂ
１
运
动直线
AM
∥
面
Ａ
１
ＤＥ
动点
M
轨迹长度
A
π
４
B
２
姨
C 2 D
π
二填空题：题
4
题题
5
分
20
分
13
命题
ｘ
２
－３
ｘ
＋２＝０
ｘ
＝１
ｘ
＝２
逆否命题
▲
．
14
已知量
a
＝
（
２
４
ｘ
）
ｂ
（
１
ｙ
３
）
a
∥
ｂ
ｘ
＋
ｙ
＝
▲
．
15
已知动点
M
点
A
（
8
0
）距离等点
M
点
B
（
2
0
）距离
2
倍点
M
轨迹方程
▲
．
16
已知点
P
椭圆
ｘ
２
ａ
２
＋
ｙ
２
ｂ
２
＝１
（
ａ
＞
ｂ
＞０
）点
Ｆ
１
Ｆ
２
分椭圆左右焦点已知
∠
Ｆ
１
ＰＦ
２
＝１２０°
ＰＦ
１
＝２
ＰＦ
２
椭圆离心率
▲
．
三解答题：题
6
题
70
分
解答应写出文字说明证明程演算步骤
17
（
10
分）
已知
p
：意实数
k
函数
f
（
k
）
log
2
（
ka
）（
a
常数）意义
q
：存实数
k
方
程
x
2
k
+
1
+
y
2
3
k
1
表示双曲线
劭
q
p
充分必条件求实数
a
取值范围
18
（
12
分）
已知圆
C
：
x
2
+
y
2
2
x
+4
y
0
（
1
）直线
l
：
x
2
y
+
t
0
圆
C
相切求
t
值
（
2
）圆
M
：（
x
+2
）
2
+
（
y
4
）
2
r
2
圆
C
3
条公切线求
r
值
19
（
12
分）
图正三棱柱
ABC
A
1
B
1
C
1
中
AB
BB
1
2
点
Q
R
分
BC
B
1
C
1
中点
（
1
）求证：面
A
1
BR
∥
面
AQC
1
（
2
）求直线
CC
1
面
AQC
1
成角正弦值
20
（
12
分）
已知抛物线
C
：
y
2
2
px
（
p
＞
0
）
（
1
）直线
x
y
20
抛物线
C
焦点求抛物线
C
准线方程
（
2
）斜率
１
直线抛物线
C
焦点
F
抛物线
C
交
A
B
两点
A
B
2
时求抛物线
C
方程
21
（
12
分）
图三棱锥
P
ABC
中
AB
BC
2
2
姨
PA
PB
PC
AC
4
O
AC
中点
（
1
）证明：
PO
⊥
面
ABC
（
2
）点
M
棱
BC
BM
13
BC
求二面角
M
PA
C
22
（
12
分）
已知椭圆
C
：
x
2
a
2
+
y
2
b
2
1
（
a
＞
b
＞
0
）该椭圆点
B
（
0
2
）离心率
2
姨
2
（
1
）求椭圆
C
标准方程
（
2
）设
M
圆
x
2
+
y
2
12
意点
M
引椭圆
C
两条切线
MA
MB
两条切线
斜率存时证明：两条切线斜率积定值
高二理科数学试题 第
3
页（
4
页） 高二理科数学试题 第
4
页（
4
页）
Ⅱ选择题
1 A 解析∵ 命题 p 真命题 q 真∴p∧q 真．
2 A 解析∵ 直线 l1x 3姨 y10 斜率 3姨
3 ∴ 垂直 l2 直线斜率 3姨 根点斜式直线
l2 方程 y 3姨 3姨 （x+1） 3姨 x+y0
3 D 解析全称命题否定特称命题第步全称量词改写存量词第二步结加否定
4 C 解析行面两条直线位置关系行相交异面
5 D 解析圆O：x2+y21圆心 O（00）半径 r1∵△OAB 正三角形∴ 圆心 O 直线 xy+m0 距离
3姨
2 r 3姨
2 d m
2姨
3姨
2 解 m 6姨
2 6姨
2
6 B解析a2+b2＞c2说明∠C 锐角推出△ABC 锐角三角形△ABC 锐角三角形时
定 a2+b2＞c2成立a2+b2＞c2△ABC 锐角三角形必充分条件
7 B 解析∵ 行六面体 ABCDA1B1C1D1中AC1
11A11B +B11C +DD1
11∴x1y 1
2 z 1
3 x+y+z 5
6
8 C 解析曲线 x2
16 + y2
9 1表示椭圆焦距 2c2 a2b2姨 2 7姨 9＜k＜16 时曲线 x2
16k + y2
9k 1表示双曲线
焦距 2c2 a2+b2姨 2 16k+k9姨 2 7姨 两条曲线焦距相等
9 B 解析∵ 抛物线 ｙ＝ １
２ ｘ２准线方程 y 1
2 ∴m 1
4 离心率 e
1+ 1
4姨 1
2
5姨
10 C 解析法：直三棱柱补成正方体图 1 示异面直线 BA1 AC1 成角∠A1BD1 相等
∵△A1BD1 正三角形异面直线 BA1 AC1 成角 60°
图 1 图 2
法二：图 2点 A 坐标原点建立空间直角坐标系 Axyz妨设 AB1
A（000）B（100）A1（001）C1（011）
cos〈BA1
11AC1
11〉 BA1
11·AC1
11
BA1
11 · AC1
11 （101）·（011）
2姨 × 2姨
1
2
∴ 异面直线 BA1 AC1 成角 60°
秘密★启前
理科数学（Ⅱ）参考答案评分参考
高二理科数学试题答案 第 1 页（ 4 页）高二理科数学试题答案 第 2 页（ 4 页）
11 A 解析∵ 抛物线性 x28y 焦点（02）∴ 椭圆焦点 y 轴 c2
∵ 离心率 1
2 ∴n4m2 3姨 ∴mn2 3姨 4
12 B 解析法：图建系 DxyzA（200）A1（202）D（000）E（021）
设 M（x2z）设面 A1DE 法量 n（x′y′z′）
∵
DA1
姨姨·n0
D姨姨E·n0
姨
姨
姨姨
姨
姨
姨姨
姨
∴n（212） ∵A姨姨M （x22z）
∵AM∥面 A1DE∴A姨姨M·n2（x2）+22z0 xz10
∴ 动点 M 轨迹 BCBB1 中点端点线段条线段长 2姨
法二：取 BB1 中点 PBC 中点 Q面 APQ∥面 A1DE
∴M 轨迹线段 PQ PQ 2姨
二填空题
13x≠1x≠2x23x+2≠0解析原命题pq逆否命题劭q劭p
14 8 解析∵a∥b∴存唯实数姿a姿bx+y6+28
15 x2+y216 解析设M（xy） MA 2 MB 化简x2+y216．
16 7姨
3 解析∵ PF1 2 PF2 PF1 + PF2 2a∴ PF1 4a
3 PF2 2a
3
∵∠F1PF2120°∴△F1PF2中 F1F2
2 PF1
2+ PF2
22 PF1 PF2 ·cos∠F1PF2
4ｃ2 4a
3△ △2
+ 2a
3△ △2
2×4a
3 ×2a
3 × 1
2△ △ 28a2
9 ∴ｅ c
a 7
9姨 7姨
3
三解答题
17 解： p 函数 f（k）意义 k>a ………………………………………………………………………… 2 分
q 知 x2
k+1 + y2
3k 1 表示双曲线（k+1）（3k）<0 k<1 k>3 ……………………………… 5 分
∴劭q：k∈［13］
∵劭q p 充分必条件
∴a<1 ………………………………………………………………………………………………………… 10 分
18 解：（1）圆C方程x2+y22x+4y0（x1）2+（y+2）25∴圆心C（12）半径 5姨
∵直线l：x2y+t0 圆C相切∴圆心C直线l距离d 1+4+t
5姨
5姨 t+5 5
解t0t10 ………………………………………………………………………………………………… 6分
（2）题圆心M（24）∵圆M：（x+2）2+（y4）2r2 圆C3条公切线
∴圆M圆C相外切 CM 5姨 +r∵ CM 3 5姨 ∴解r2 5姨 ………………………………… 12分
19（1）证明：∵A1R∥AQA1R埭面AQC1AQ奂面AQC1∴A1R∥面AQC1
（第 12 题答图）高二理科数学试题答案 第 3 页（ 4 页）
（第 19 题答图）
∵BR∥QC1BR埭面AQC1C1Q奂面AQC1∴BR∥面AQC1
∵A1R∩BRRAQ∩C1Q∴面A1BR∥面AQC1 …………………………………………………………… 6分
（2）解： Q 坐标原点建立图示空间直角坐标系 Qxyz
Q（000）A（ 3姨 00）C1（012）C（010）
∴Q姨姨A （ 3姨 00）QC1
姨姨（012）
设面 AQC1 法量 n（xyz）
Q姨姨A·n0
QC1
姨姨·n
姨
姨
姨姨
姨
姨
姨姨
姨 0
3姨 x0
y+2z0
姨
姨
姨姨
姨
姨
姨姨
姨
令 z1∴n（021）
∵CC1
姨姨（002）
设直线 CC1 面 AQC1 成角 φ
∴sinφ cos〈CC1
姨姨n〉 2
2 5姨 5姨
5
直线 CC1 面 AQC1 成角正弦值 5姨
5 ……………………………………………………… 12 分
20 解：（1）∵直线xy20 抛物线C焦点
∴抛物线C焦点坐标（20）
∴抛物线C准线方程x2． ………………………………………………………………………………… 4分
（2）设抛物线 C 焦点斜率1 直线方程 yx+ p
2 直线 C 交 A（x1y1）B（x2y2）
yx+ p
2
y22p
姨
姨
姨
姨姨
姨
姨
姨
姨姨
姨 x
化简 x23px+p2
4 0
∴x1+x23p
∵ AB x1+x2+p4p2解 p 1
2
∴ 抛物线 C 方程 y2x …………………………………………………………………………………… 12 分
21（1）证明：连接 OB∵ PAPCO AC 中点∴PO⊥AC∴PO4× 3姨
2 2 3姨
∵ABBC2 2姨 AC4
∴AB2+BC2AC2 AB⊥BC
∴ Rt△ABC 中OAOBOC2
∵PO2+OB2PB2∴PO⊥OB
∵AC∩OBO高二理科数学试题答案 第 4 页（ 4 页）
（第 21 题答图）
∴PO⊥面 ABC ……………………………………………………………………………………………… 6 分
（2）解：∵OB⊥ACPO⊥面 ABC
∴ O 坐标原点建立图示空间直角坐标系 Oxyz
A（020）C（020）B（200）P（002 3姨 ）
设M（xmym0）∵B姨姨M 1
3 BC姨姨∴M 4
3 2
3 0
设面PAM法量ｍ（xyz）
A姨姨P·ｍ0
A姨姨M·ｍ
0
y+ 3姨 z0
x+2y0
令z1∴ｍ（2 3姨 3姨 1）
∵面PAC法量ｎ（100）
∴cos〈ｍｎ〉 ｍ·ｎ
ｍ · ｎ 2 3姨
（2 3姨 ）2+（ 3姨 ）2+1姨
2 3姨
4 3姨
2 ……………………………………… 10分
求二面角MPAC30° ………………………………………………………………………… 12分
22 解：（1）题意
c
a 2姨
2
a2b2+c2
b2
解a28b24
∴椭圆C标准方程 x2
8 + y2
4 1 ……………………………………………………………………………… 4分
（2）设M（x0y0）x0
2+y0
212
题意知点M引椭圆C切线方程设yy0k（xx0）
联立
yy0k（xx0）
x2
8 + y2
4
1
化简（1+2k2）x2+4k（y0kx0）x+2（y0kx0）280
∵直线椭圆相切
∴ Δ［4k（y0kx0）］24（1+2k2）［2（y0kx0）28］0
化简（x0
28）k22x0y0k+y0
240 …………………………………………………………………………… 10分
∴k1·k2 y0
24
x0
28 y0
24
12y0
28 y0
24
4y0
2 1
∴两条切线斜率积定值 ……………………………………………………………………………… 12分
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