理科数学
考试时量:120 分钟 试卷满分:150 分
选择题(题 12 题题 5 分 60 分. 题出四选项中
项符合题目求)
1.设集合 {}{}2
2| log(2 ) | 3 20A x y x B x x x + < ACB
A.( 1) B.( 1] C.(2 ) D.[2 )
2 设i 虚数单位 ()2
aiz a Ri
纯虚数 a
A. 1
2
B. 1
2 C.1 D. 1
3 已知某超市 2019 年 12 月收入支出数折线图图示:
根该折线图知列说法错误
A.该超市 2019 年 12 月中 7 月份收益高
B.该超市 2019 年 12 月中 4 月份收益低
C.该超市 2019 年 1~6 月份总收益低 2019 年 7~12 月份总收益
D.该超市 2019 年 7~12 月份总收益 2019 年 1~6 月份总收益增长 90 万元
4.已知 3sin( )3 2 2
2020cos( )3
A.
2
3 B.
2
3 C. 1
2
D. 1
2
理科数学试题 第 2 页 15 页
5 已知
1
2
12
1ln 2x x e
3x 满足 3
3lnxex
A. 1 2 3x x x B. 1 3 2x x x C. 213x x x D. 3 1 2x x x
6 函数 2( ) 1 sin1 xf x xe
图象致形状
A B C D
7公元前 5 世纪古希腊哲学家芝诺发表著名阿基里斯悖:提出乌龟阿基里斯
前面 1000 米处开始阿基里斯赛跑假定阿基里斯速度乌龟 10 倍赛开始
阿基里斯跑 1000 米时乌龟便领先 100 米阿基里斯跑完 100 米时
乌龟先 10 米阿基里斯跑完 10 米时乌龟先 1 米……阿基里斯永远
追乌龟样规律阿基里斯乌龟距离恰 210 米时乌龟爬行总距
离
A.
410 1
90
米 B.
510 1
900
米 C.
510 9
90
米 D.
410 9
900
米
8已知函数 ( ) 2sin( )( 00 ) ( ) 2 ( ) 082f x x f f fx
(0 ) 单调列说法正确
A. 1
2 B. 62()82f
C.函数 []2
单调递增 D.函数 图象关点 3( 0)4
称
9 AOB 中OA a OB b满足 | | 2a b a b 面积值
A 3 B 2 C 23 D 22
10.已知双曲线 C:
22
221( 0 0)xy abab 12FF分左右焦点O 坐标原点
点 2F 关渐线称点恰落 1F 圆心 1OF 半径圆 C 离心率
A. 2 B. 3 C.2 D.3
理科数学试题 第 3 页 15 页
11 正方体 1 1 1 1ABCD A B C D 中PQ 分 1AD 1BC动点满足 1AP B Q
列 4 命题中:
①存
某位置 AB PQ∥ ② BPQV 面积定值
③ 0PA 时直线 1PB 直线 AQ 定异面
④ 运动位置均 BC PQ 中正确命题序号
A ①②④ B ①③④ C ①③ D ②④
12.函数 1
2( ) 2 log ( 0)xxf x e x a a 区间(0 2) 两零点实数 a
取值范围
A 2( 2 2 )
e
B (0 2] C
2
2( 2 2 )
e
D
34
24(2 2 )
e
二填空题(题 4 题题 5 分 20 分. 答案填答题卡中横线)
13. 251()ax
x
展开式中 5x 系数 80 实数 a __ __.
14.菱形 ABCD 中 060DAB菱形角线 BD 折起面 DAB
面 BDC 时三棱锥 A BCD 外接球表面积5 AB 长 .
15已知数列 na 满足 1 1a 1 35nna a n *nN (1) 21na
(2)
2
1
1
1( 1) ii
n
i
i
aa
16.图衡阳市相交点O 条东西走公路l 条南北走公路 m
商城 A部分边界椭圆四分两条公路椭圆称轴椭圆长半轴长 2
短半轴长 1(单位千米) 根市民建议欲新建条公路 PQ 点 PQ分公路 lm
求 椭圆形商城 相切公路 长短时OQ 长________千米
l
m
Q
O
P
理科数学试题 第 4 页 15 页
三解答题(题 6 题 70 分. 解答应写出文字说明证明程演算步骤)
()必考题:60 分.
17.(题满分 12 分) 已知△ABC 角 ABC 边分 abc
tan ( sin 2 cos ) cos2 2 2 2
ACACa b a.
(1)求角 B 值
(2)△ABC 面积33设 D 边 AC 中点求线段 BD 长值.
18.(题满分 12 分) 已知正方形 ABCDEF 分 ABCD 中点△ADE DE
折起△ACD 等边三角形图示记二面角 ADEC (0 )
(1)证明:点 A 面 BCDE 射影 G 直线 EF
(2)求角 正弦值
CB
A
BC
E
D
A
D
F
EF
19.(题满分 12 分) 图已知椭圆
22
22 1( 0)xyC a bab+ > > 长轴 12AA 长 4
椭圆右焦点 F 作斜率 ( 0)kk¹ 直线交椭圆 BC 两点直线 12BA BA 斜率
积 3
4
(1)求椭圆C 方程
(2)已知直线 4lx 直线 11ABAC 分l 相交
MN两点设 E 线段 MN 中点求证:BC EF^
O
M
N
l
C
A2
A1
E
y
x
F
B 理科数学试题 第 5 页 15 页
20.(题满分 12 分)已知函数 ( ) e sin )( 2 ( )2
xf x x a Rax .
(1) 1a 时求函数 fx区间[] 值域
(2)意 120 xx
21
21()() 2 2xx
f x f x aee
求实数 a 取值范围
21 (题满分 12 分) 着科学技术飞速发展网络已逐渐融入日常生活
网购作种新消费方式具快捷商品种类齐全性价高等优势深受广消
费者认某网购公司统计五年公司网购数相关数(中x1
表示 2015 年x2表示 2016 年次类推y 表示数):
x 1 2 3 4 5
y(万) 20 50 100 150 180
(1)试根表中数求出 y 关 x 线性回方程预测年该公司网购数
超 300 万
(2)该公司吸引网购者特推出玩网络游戏送免费购物券活动网购者根抛
掷骰子结果操控微型遥控车方格图行进 遥控车终停胜利营网购
者获免费购物券 500 元遥控车终停失败营 网购者获免费购物券
200 元 已知骰子出现奇数偶数概率 1
2
方格图标第 0 格第 1 格第 2 格…
第 20 格遥控车开始第 0 格网购者抛掷次骰子遥控车前移动次掷出奇
数遥控车前移动格( k 1k )掷出偶数遥控车前移动两格( 2k )
直遥控车移第 19 格胜利营)第 20 格(失败营)时游戏结束设遥控车移
第 (1 19)nn 格概率 nP试证明 1nnPP 等数列求网购者参游戏
次获免费购物券金额期值
附:线性回方程 ˆˆ ˆy bx a中 1
22
1
ˆ ˆˆ
n
ii
i
n
i
i
x y nx y
b a y b x
x nx
理科数学试题 第 6 页 15 页
(二)选考题: 10 分.请考生第 2223 题中选题作答果做做
第题计分.
22 (题满分 10 分) [选修 4-4:坐标系参数方程]
直角坐标系 xOy 中点 13P()直线l 参数方程 1
32
xt
yt
(t 参数)
O 极点x 轴正半轴极轴极坐标系中曲线 C 极坐标方程 2sin 16cos 0
直线l 曲线 C 交 AB 两点.
(1)求直线l 普通方程曲线 C 直角坐标方程
(2)求 11
PA PB 值.
23 (题满分 10 分) [选修 4-5:等式选讲]
已知函数 1 ( 1)f x x m x mm .
(1) 2m 时求等式 ( ) 3fx 解集
(2)证明: 1( ) 3( 1)fx mm .
理科数学试题 第 7 页 15 页
参考答案
考试时量:120 分钟 试卷满分:150 分
选择题(题 12 题题 5 分 60 分. 题出四选项中
项符合题目求)
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
答案 B A D D A C B C A C B D
二填空题(题 4 题题 5 分 20 分. 答案填答题卡中横线)
13. __ 2 __. 14. 3 .
15 (1) 21na 32n (2)
2
1
1
1( 1) ii
n
i
i
aa
29 33
22
nn
16. _ _
三解答题(题 6 题 70 分. 解答应写出文字说明证明程演算步骤)
()必考题:60 分.
17.(题满分 12 分) 已知△ABC 角 ABC 边分 abc
tan ( sin 2 cos ) cos2 2 2 2
ACACa b a.
(1)求角 B 值
(2)△ABC 面积33设 D 边 AC 中点求线段 BD 长值.
详解(1) sin ( sin 2 cos ) cos cos2 2 2 2 2
ACAACa b a
(cos cos sin sin ) 2 sin cos2 2 2 2 2 2
ACACAAab cos sin2
ACa b A
正弦定理sin cos sin sin2
ACABA 0 sin 0sin 02
BAA 理科数学试题 第 8 页 15 页
cos sin2
AC A cos sin 2sin cos2 2 2
BBBB
1cos (0 )2 2 2 2
BB
23
B 2
3B
(2)△ABC 面积33 1 sin 3 32 ac B 12ac
D 边 AC 中点 1 ()2BD BA BC 2 2 21 ( 2 )4BD BA BC BA BC
2 221 1 1( 2 cos ) (2 ) 34 4 4BD c a ac B ac ac ac
仅 23ac 时取 3BD 线段 BD 长值 3
18.(题满分 12 分) 已知正方形 ABCDEF 分 ABCD 中点△ADE DE
折起△ACD 等边三角形图示记二面角 ADEC (0 )
(1)证明:点 A 面 BCDE 射影 G 直线 EF
(2)求角 正弦值
CB
A
BC
E
D
A
D
F
EF
详解(1)证明:点 A 作 AG⊥面 BCDE垂足 G连接 GCGD
△ACD 等边三角形 ACAD点 G CD 垂直分线
EF CD 垂直线点 A 面 BCDE 射影 G 直线 EF
证:点 A 作 AG⊥EF证 AG⊥CD证 AG⊥面 BCDE
点 A 面 BCDE 射影 G 直线 EF
(2) 解: G 坐标原点GA 直线 z 轴GF 直线 y 轴点 G 作行 DC
直线 x 轴建立空间直角坐标系设正方形 ABCD 边长 2a连接 AF
AF 3 aAE aEF2 a
3 3 3(000) (00 ) ( 0) ( 0) (0 0)2 2 2 2
aG A a C a a D a a E
G
y
z
x
A
D
E
CB
F 理科数学试题 第 9 页 15 页
设面 ADE 法量 m(xyz)
33022
20
m AD ax ay az
m DE ax ay
ìïï + ïïíïïï + ïî
取 y1 m 3( 21 )3 面 DEC 法量 n(001)
1cos 4
mn
mnq 15sin 4q
19.(题满分 12 分) 图已知椭圆
22
22 1( 0)xyC a bab+ > > 长轴 12AA 长 4
椭圆右焦点 F 作斜率 ( 0)kk¹ 直线交椭圆 BC 两点直线 12BA BA 斜率
积 3
4
(1)求椭圆C 方程
(2)已知直线 4lx 直线 11ABAC 分l 相交 MN两点设 E 线段 MN 中
点求证: BC EF^
详解(1)设 1 1 2 2( ) ( )B x y C x y
点 B 椭圆
22
11
221xy
ab+
2
2 2 2
112 ()by a xa
12( 0) ( 0)A a A a
12
2
12
2
11
BA BA
yy bkk x a x a a +
2
2
3 4
b
a
12 4AA 2a 3b
椭圆 方程
22
143
xy+
(2)设直线 BC 方程 ( 1)y k x
22
( 1)
143
y k x
xy
ì ïïïïíï +ïïïî
2 2 2 2(4 3) 8 4 12 0k x k x k+ +
22
1 2 1 222
8 4 124 3 4 3
kkx x x xkk
+ ++
O
M
N
l
C
A2
A1
E
y
x
F
B 理科数学试题 第 10 页 15 页
直线 1AB方程 1
1
( 2)2
yyxx++
令 4x 1
1
6
2M
yy x +
理 2
2
6
2N
yy x +
1 2 1 2 1 2
1 2 1 2 1 2
6 3 ( ) 12 33( )2 2 2 2( ) 4
MN
E
yy y y kx x k x x ky x x x x x x k
+ + + + + + + + +
点 3(4 )E k (10)F
3
13EF BC
kk k k
BC EF^
20.(题满分 12 分)已知函数 ( ) e sin )( 2 ( )2
xf x x a Rax .
(1) 1a 时求函数 fx区间[] 值域
(2)意 120 xx
21
21()() 2 2xx
f x f x aee
求实数 a 取值范围
详解(1) 时 ( ) e sin 2( 2)xf x xx ( ) e sin c 1( os )2
xf x x xx
令 ( ) sin cos 12g x xx x ( ) 1 cos sin 1 2 sin( )4g x x x x
x 时 53
4 4 4x
( ) 0gx 时 2sin( )42x 3
4 4 4x 解
2 x
( ) 0gx 时 2sin( )42x 5
4 4 4x 解
2x
()gx 2
单调递增 2
单调递减 ( ) ( ) 02g x g
( ) 0fx ()fx 单调递减
min max
( 4) (3 4)()()()()22
eef x f f x f
函数 ()fx区间 值域 ( 4) (3 4)22
ee
(2) 理科数学试题 第 11 页 15 页
化 21
21( ) ( 2 ) ( ) ( 2 )22
xxf x a e f x a e
函数 () ()(2 ) ( sin )2
xxGxfxa eeax xa 区间(0 ) 增函数
0x 时 ( ) ( sin cos ) 0xG x e ax x x sin cos 0ax x x 恒成立
① 0x 时aR
②0 x 时 sin cosxxa x
令 sin cos() xxhx x
2
( 1)cos ( 1)sin() x x x xhx x
01x时( 1)cos 0( 1)sin 0 ( ) 0x x x x h x
1 2x 时 ( ) 0hx
2 x 时
()hx 0 单调递减 min
1()()h x h 1a
综实数a 取值范围 1[)
21 (题满分 12 分) 着科学技术飞速发展网络已逐渐融入日常生活
网购作种新消费方式具快捷商品种类齐全性价高等优势深受广消
费者认某网购公司统计五年公司网购数相关数(中x1
表示 2015 年x2表示 2016 年次类推y 表示数):
x 1 2 3 4 5
y(万) 20 50 100 150 180
(1)试根表中数求出 y 关 x 线性回方程预测年该公司网购数
超 300 万
(2)该公司吸引网购者特推出玩网络游戏送免费购物券活动网购者根抛
掷骰子结果操控微型遥控车方格图行进 遥控车终停胜利营网购
者获免费购物券 500 元遥控车终停失败营 网购者获免费购物券
200 元 已知骰子出现奇数偶数概率 1
2
方格图标第 0 格第 1 格第 2 格…
第 20 格遥控车开始第 0 格网购者抛掷次骰子遥控车前移动次掷出奇
数遥控车前移动格( k 1k )掷出偶数遥控车前移动两格( 2k )
直遥控车移第 19 格胜利营)第 20 格(失败营)时游戏结束设遥控车移
第 (1 19)nn 格概率 nP试证明 1nnPP 等数列求网购者参游戏
次获免费购物券金额期值 理科数学试题 第 12 页 15 页
附:线性回方程 ˆˆ ˆy bx a中 1
22
1
ˆ ˆˆ
n
ii
i
n
i
i
x y nx y
b a y b x
x nx
(1)
55
2
11
3 100 1920 55i i i
ii
x y x y x
1920 5 3 100ˆ 4255 5 9b ˆ 100 42 3 26a
求线性回方程 ˆ 42 26yx
令 *42 26 300x x N 解 8x
预计 2022 年该公司网购数超 300 万
(3)遥控车开始第 0 格必然事件 0 1P 第次掷硬币出现正面遥控车移第
格概率 1
2 1
1
2P 遥控车移第 n( 2 19n剟 )格情况列两种
两种
①遥控车先第 2n 格掷出反面概率 2
1
2 nP
②遥控车先第 1n 格掷出正面概率 1
1
2 nP
21
11
22nnnPPP 1 1 2
1 ()2n n n nPPPP
1 19n剟 时数列 1{}nnPP 公 1
2 等数列
23
1 2 1 3 2 1
1 1 1 11 ( ) ( ) ( )2 2 2 2
n
nnPPPPPPP
式相加 231 1 1 11 ( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2
n
nP 11( ) 1 ( )32
n
1211 ( )32
n
nP
( 012 19n ) 获胜概率 20
19
211 ( )32P
失败概率 19
20 18
1 1 112 3 2PP
()
设参游戏次顾客获优惠券金额 X 元 200X 500 理科数学试题 第 13 页 15 页
X 期 20 19 192 1 1 1 1500 1 ( ) 200 1 ( ) 100 4 ( )3 2 3 2 2EX
参游戏次顾客获优惠券金额期值 191100 4 ( )2
约 400 元
(二)选考题: 10 分.请考生第 2223 题中选题作答果做做
第题计分.
22 (题满分 10 分) [选修 4-4:坐标系参数方程]
直角坐标系 xOy 中点 13P()直线 l 参数方程 1
32
xt
yt
(t 参数)
O 极点x 轴正半轴极轴极坐标系中曲线 C 极坐标方程 2sin 16cos 0
直线l 曲线 C 交 AB 两点.
(1)求直线l 普通方程曲线 C 直角坐标方程
(2)求 11
PA PB 值.
解析(1)直线 l 参数方程 (t 参数)
消参数直线 l 普通方程 21yx
曲线 C 极坐标方程 2sin 16cos 0ρ θ θ 22sin 16 cos 0ρ θ ρ θ
曲线 C 直角坐标方程 2 16yx
(2)直线参数方程改写
51 5
253 5
xt
yt
(t 参数)
代入 22
1 2 1 2
4 4 5 3516 7 0 55 5 4y x t t t t t t
12
12
1 1 8 10
35
tt
PA PB t t
.
23 (题满分 10 分) [选修 4-5:等式选讲] 理科数学试题 第 14 页 15 页
已知函数 1 ( 1)f x x m x mm .
(1) 2m 时求等式 ( ) 3fx 解集
(2)证明: 1( ) 3( 1)fx mm .
解析(1)略解:
312 ( )22
51( 2)22
32 ( 2)2
xx
f x x
xx
等式 解集 39()()44
(2)证明: 1m 11f x m mmm 仅 1 xmm
时取
1 1 1 1 11 1 3( 1) ( 1) 1 1f x m m mm m m m m m m
仅 2m 1 22x
时取证
理科数学试题 第 15 页 15 页
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