数集，确界原理

§12　数集确界原理
节教学容：区间邻域确界确界原理
教学方法设计：重点讲授确界概念补充例题确界原理讲授证明方法时说明确界原理课程中位作
区间邻域
1区间：
开闭半开半闭限区间限区间（表示集合表示）
2邻域
点δ领域
心领域
左右领域
穷领域： 二界集确界原理
1界概念
1o设R称界（界）数集M（L）称界（界）
2 o界界称界集否称界集
说明：（1）S界集时称界
（2）S界集S界S界
（3）界：强调存强调MS界M正数皆作S界
例：S{12}界（）界S界（）
S（ab）界（）界S界（）
SN界界
界界
2确界概念
界称确界界称确界：
（1）设SR中非空数集满足：
（i）
（ii）界
称数S确界记 （supremum确界简写）
（2）设SR中非空数集满足：
（i）
（ii）界
称数确界记(infimum确界简写)确界统称确界
说明： （1）S存确界
（2）S（）确界属S属S属相等
（3）S存（）确界唯
（4）（）性表示：
（ii）

例：（1）
（2）S
证明：（2）证(i) 1界(ii)证
例：设S确界证明：
证明：必性确界定义
充分性：（i）S界（ii）确界定义：
理证：
3确界原理：
（i）设S非空数集S界S必确界唯
（ii）设S非空数集S界S必确界唯
证明：证明（i）
思路：1o根实数表示法界性质构造实数
2o根确界定义数构造证明数确界
1o妨设S含非负数S界找非负整数：（1）（2）
（nn+1）10等分分点n1n201中数n1：（1）（2）1≥nn1
（nn1nn1+）10等分01中数：（1）（2）n1n2
述步骤限继续知：（1）（2）：k≥nn1n2
实数nn1n2
2o证：：
（1）反证法：实数性质位足似值k＞n1n2
构造（1）矛盾
（2）
∵实数性质nn1n2构造（2）n1n2 o≥k＞
综合（1）（2）
理证（ii）
说明：数学分析理基础极限理极限理建立实数理基础（见教材第七章）实数连续性定理6彼相互等价该定理第定理基础展开
实数连续性定理极限理课程容中难理解掌握部分学予高度重视时急求成反复学训练方理解精髓足够耐心信心
4确界性质
（1）设非空数集证明：确界确界
证明：条件知均界均界确界定义式表明界确界定义知

（2）设非空界证明：
（i）（ii）
证明：∵非空界∴非空界确界
（i）：1o
∴
2 o
∴
综合（1）（2）知（i）证理证（ii）
（3）P9题6：设S非空数集定义证明：

请学证明
（4）P9题7：设皆非空界数集定义证明： （i）
（ii）
证明：（i）
∴ （Ⅰ）
A取确界B取确界 (Ⅱ)
综合（Ⅰ）（Ⅱ）（i）成立
说明：注意证明两数相等方法特证明集合关数相等方法
5确界推广
（1）+∞∞补充实数集中规定∞＜＜+∞
（2）非正常确界：S界S界
（3）推广确界原理：非空数集皆确界
P9题


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