2019年全国卷Ⅲ高考数学压轴试题（理科解析）
选择题：题12题题5分60分．题出四选项中项符合题目求．
1． （ ）
A． B． C． D．
2 恒成立（ ）
A 充分必条件 B 必充分条件
C 充条件 D 充分必条件
3． 关系（ ）
A B
C D
4圆 圆心直线 距离1a（ ）
（A） （B） （C） （D）2
5．已知双曲线 条渐线直线 垂直双曲线 离心率等（ ）
A． B． C． D．
6．九章算术中问题：勾八步股十五步问勾中容圆径？ 意：已知直角三角形两直角边长分 步 步问切圆直径少步？现三角形机投粒豆子豆子落切圆外概率（ ）
A． B． C． D．
7．长方体 异面直线 成角余弦值（ ）
A． B． C． D．
8．图中程序框图算法思路源国古代数学名著九章算术中更相减损术执行该程序框图输入 值分8100输出 值分（ ）
A． 24 B． 25 C． 04 D． 05
9图某体三视图三半径相等圆圆中两条相互垂直半径该体体积 表面积（ ）
（A） （B） （C） （D）
10． 中角 边分 取值时 （ ）
A． B． C． D．
11．已知 抛物线 焦点 抛物线 三点 时称 谐三角形谐三角形（ ）
A． 0 B． 1 C． 3 D． 数
12．已知定义 偶函数 导函数 函数 满足： 时 ．等式 解集（ ）
A． B． C． D．
二填空题：题4题题5分．
13． （ ） 值 ．
14． 果点 面区域 点 曲线 值 ．
15．甲乙等8中选4座谈会发言甲乙选中发言中间恰间隔发言序__________种（数字作答）
16．直三棱柱 底面直角三角形侧棱长等底面三角形斜边长外接球体积 该三棱柱体积值__________．
三解答题：解答应写出文字说明证明程演算步骤．
17（题满分12分）
已知函数 满足 值 ．
（1）求函数 解析式
（2）求函数 单调区间值值．
18．（题满分12分）
前学生课业负担较重造成青少年视力普遍降现湖口中学机抽取16名学生校医视力表检查学生视力状况茎叶图(数点前位数字茎数点位数字叶)：
（1）指出组数众数中位数
（2）视力测试结果低 称视力求校医16中选取31视力概率
（3）16样数估计整学校总体数该校(数)选3记 表示抽视力学生数求 分布列数学期．
19．（题满分12分）
图四棱锥 中 棱 中点
（1）求证： 面
（2）设点 线段 动点 直线 面 成角时求 值
20．（题满分12分）
已知双曲线 焦点椭圆 ： 顶点椭圆双曲线离心率互倒数
（1）求椭圆 方程
（2）设动点 椭圆 记直线 轴截距 求 值
21．（题满分12分）
已知函数 点 处切线方程
（1）求实数 值
（2）存 满足 求实数 取值范围
请考生2223两题中选题作答果做做第题记分．
22．（题满分10分）选修44：坐标系参数方程
直角坐标系 中已知曲线 参数方程分 ：
： ．
（1）求曲线 普通方程
（2）已知点 曲线 曲线 交 两点求 取值范围．
23．（题满分10分）选修45：等式选讲
已知函数 ．
（1） 时求等式 解集
（2） 求 取值范围．
2019全国卷Ⅲ高考压轴卷数学理科答案
选择题：题12题题5分60分．题出四选项中项符合题目求．
1．答案C
解析 选C．
2答案A
解析设 成立反 选A
3．答案D
解析
综：
4答案A
解析圆方程化 圆心坐标 点直线距离公式：
解 选A．
5．答案B
解析∵双曲线 渐线方程
直线 斜率3∴
双曲线离心率 选B
6．答案．D
解析题意知：直角三角斜边长17等面积切圆半径： 落切圆概率 落圆外概率
7．答案A
解析∵ ∴异面直线 成角 成角 ．
中
∴ ．选A．
8．答案B
解析模拟执行程序框图
满足
满足
满足
满足
满足
满足 满足 输出 值2 值 选B
9答案A[QQ 群 545423319QQ 群 545423319ZXXK]
解析该体直观图图示：
球切掉左角 设球半径 解 表面积 球面面积三扇形面积 选A．
10．答案C
解析正弦定理 ∴
∴
时 取值．选C．
11．答案D
解析
抛物线方程 曲线 三点
时 重心
办法构造
连接 延长
抛物线部时
设 存 中点弦
设
两式相减化
总存 中点弦 样三角形数选D
12．答案C
解析 时 ∴
令 时 单调递增．
偶函数∴ 奇函数
时 单调递增．等式 时
∴
时
∴ ．综等式 解集 ．选C．
二填空题：题4题题5分．
13．答案1
解析二项式展开式中令 令 选C
14答案
解析析 画出行域图714示阴影部分（含边界）设圆心 直线 距离 选A
15．答案120
解析先选插入甲乙间（甲乙需排列）选排列
详解：先甲乙外6中选安排甲乙中间 种
选出刚三排列：
答案：120
16．答案
解析设三棱柱底面直角三角形直角边 棱柱高
设外接球半径 解
∵底面三角形斜边中点连线中点该三棱柱外接球球心
∴ ．∴ ∴ ∴ ．仅 时 成立．
∴三棱柱体积 ．
三解答题：解答应写出文字说明证明程演算步骤．
17（题满分12分）
答案（1） （2）1 ．
解析（1）
值
∴周期 ∴
辅助角公式 ∴
（ 时取等号）．
（2）∵ ∴
令 令
∴ 增区间 减区间 ．
∵ 区间 单调递增区间 单调递减
∵ ∴ ．
18．（题满分12分）
答案（1）众数： 中位数： （2） （3） ．
解析（1）众数： 中位数： ．
（2）设 表示取3中 视力1视力记事件
．
（3）视力概率 取值0123．
分布列
0 1 2 3
．
19．（题满分12分）
答案（1）见证明（2）
解析（1）取 中点 连接
中点
四边形 行四边形
面 面
面
（2） 中点设
中∵ 设
余弦定理
∵ 面 点 坐标原点建立图示空间直角坐标系
点 线段 点设
面 法量 设 面 成角
时 时 取值
面 称角时
20．（题满分12分）
答案（1） （2）
解析（1）双曲线 焦点坐标 离心率
双曲线 焦点椭圆 ： 顶点
椭圆双曲线离心率互倒数 解
椭圆 方程
（2） 直线 斜率存
直线 轴截距 设直线 方程
代入椭圆方程
设 根根系数关系
整理
令
等号成立条件 时 满足 符合题意 值
21．（题满分12分）
答案（1） （2）
解析（1）函数 定义域
函数 点 处切线方程
已知函数 点 处切线方程 较求 实数 值
（2） 问题转化 解
令
令 时
函数 区间 单调递减
区间 单调递减
实数 取值范围
请考生2223两题中选题作答果做做第题记分．
22．（题满分10分）选修44：坐标系参数方程
答案（1） ： ： （2） ．
解析（1）曲线 普通方程：
时曲线 普通方程：
时曲线 普通方程：
（曲线 ： ）
（2） ： 代入 ： 化简整理：
设 应参数分
恒成立
∴
∵ ∴ ．
23．（题满分10分）选修45：等式选讲
答案（1） （2） ．
解析（1） 时
① 时 令 解
② 时 显然 成立∴
③ 时 令 解
综述等式解集 ．
（2）∵
∵ 成立∴需 解 ∴ 取值范围 ．
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选择题：题12题题5分60分．题出四选项中项符合题目求．
1． （ ）
A． B． C． D．
2 恒成立（ ）
A 充分必条件 B 必充分条件
C 充条件 D 充分必条件
3． 关系（ ）
A B
C D
4圆 圆心直线 距离1a（ ）
（A） （B） （C） （D）2
5．已知双曲线 条渐线直线 垂直双曲线 离心率等（ ）
A． B． C． D．
6．九章算术中问题：勾八步股十五步问勾中容圆径？ 意：已知直角三角形两直角边长分 步 步问切圆直径少步？现三角形机投粒豆子豆子落切圆外概率（ ）
A． B． C． D．
7．长方体 异面直线 成角余弦值（ ）
A． B． C． D．
8．图中程序框图算法思路源国古代数学名著九章算术中更相减损术执行该程序框图输入 值分8100输出 值分（ ）
A． 24 B． 25 C． 04 D． 05
9图某体三视图三半径相等圆圆中两条相互垂直半径该体体积 表面积（ ）
（A） （B） （C） （D）
10． 中角 边分 取值时 （ ）
A． B． C． D．
11．已知 抛物线 焦点 抛物线 三点 时称 谐三角形谐三角形（ ）
A． 0 B． 1 C． 3 D． 数
12．已知定义 偶函数 导函数 函数 满足： 时 ．等式 解集（ ）
A． B． C． D．
二填空题：题4题题5分．
13． （ ） 值 ．
14． 果点 面区域 点 曲线 值 ．
15．甲乙等8中选4座谈会发言甲乙选中发言中间恰间隔发言序__________种（数字作答）
16．直三棱柱 底面直角三角形侧棱长等底面三角形斜边长外接球体积 该三棱柱体积值__________．
三解答题：解答应写出文字说明证明程演算步骤．
17（题满分12分）
已知函数 满足 值 ．
（1）求函数 解析式
（2）求函数 单调区间值值．
18．（题满分12分）
前学生课业负担较重造成青少年视力普遍降现湖口中学机抽取16名学生校医视力表检查学生视力状况茎叶图(数点前位数字茎数点位数字叶)：
（1）指出组数众数中位数
（2）视力测试结果低 称视力求校医16中选取31视力概率
（3）16样数估计整学校总体数该校(数)选3记 表示抽视力学生数求 分布列数学期．
19．（题满分12分）
图四棱锥 中 棱 中点
（1）求证： 面
（2）设点 线段 动点 直线 面 成角时求 值
20．（题满分12分）
已知双曲线 焦点椭圆 ： 顶点椭圆双曲线离心率互倒数
（1）求椭圆 方程
（2）设动点 椭圆 记直线 轴截距 求 值
21．（题满分12分）
已知函数 点 处切线方程
（1）求实数 值
（2）存 满足 求实数 取值范围
请考生2223两题中选题作答果做做第题记分．
22．（题满分10分）选修44：坐标系参数方程
直角坐标系 中已知曲线 参数方程分 ：
： ．
（1）求曲线 普通方程
（2）已知点 曲线 曲线 交 两点求 取值范围．
23．（题满分10分）选修45：等式选讲
已知函数 ．
（1） 时求等式 解集
（2） 求 取值范围．
2019全国卷Ⅲ高考压轴卷数学理科答案
选择题：题12题题5分60分．题出四选项中项符合题目求．
1．答案C
解析 选C．
2答案A
解析设 成立反 选A
3．答案D
解析
综：
4答案A
解析圆方程化 圆心坐标 点直线距离公式：
解 选A．
5．答案B
解析∵双曲线 渐线方程
直线 斜率3∴
双曲线离心率 选B
6．答案．D
解析题意知：直角三角斜边长17等面积切圆半径： 落切圆概率 落圆外概率
7．答案A
解析∵ ∴异面直线 成角 成角 ．
中
∴ ．选A．
8．答案B
解析模拟执行程序框图
满足
满足
满足
满足
满足
满足 满足 输出 值2 值 选B
9答案A[QQ 群 545423319QQ 群 545423319ZXXK]
解析该体直观图图示：
球切掉左角 设球半径 解 表面积 球面面积三扇形面积 选A．
10．答案C
解析正弦定理 ∴
∴
时 取值．选C．
11．答案D
解析
抛物线方程 曲线 三点
时 重心
办法构造
连接 延长
抛物线部时
设 存 中点弦
设
两式相减化
总存 中点弦 样三角形数选D
12．答案C
解析 时 ∴
令 时 单调递增．
偶函数∴ 奇函数
时 单调递增．等式 时
∴
时
∴ ．综等式 解集 ．选C．
二填空题：题4题题5分．
13．答案1
解析二项式展开式中令 令 选C
14答案
解析析 画出行域图714示阴影部分（含边界）设圆心 直线 距离 选A
15．答案120
解析先选插入甲乙间（甲乙需排列）选排列
详解：先甲乙外6中选安排甲乙中间 种
选出刚三排列：
答案：120
16．答案
解析设三棱柱底面直角三角形直角边 棱柱高
设外接球半径 解
∵底面三角形斜边中点连线中点该三棱柱外接球球心
∴ ．∴ ∴ ∴ ．仅 时 成立．
∴三棱柱体积 ．
三解答题：解答应写出文字说明证明程演算步骤．
17（题满分12分）
答案（1） （2）1 ．
解析（1）
值
∴周期 ∴
辅助角公式 ∴
（ 时取等号）．
（2）∵ ∴
令 令
∴ 增区间 减区间 ．
∵ 区间 单调递增区间 单调递减
∵ ∴ ．
18．（题满分12分）
答案（1）众数： 中位数： （2） （3） ．
解析（1）众数： 中位数： ．
（2）设 表示取3中 视力1视力记事件
．
（3）视力概率 取值0123．
分布列
0 1 2 3
．
19．（题满分12分）
答案（1）见证明（2）
解析（1）取 中点 连接
中点
四边形 行四边形
面 面
面
（2） 中点设
中∵ 设
余弦定理
∵ 面 点 坐标原点建立图示空间直角坐标系
点 线段 点设
面 法量 设 面 成角
时 时 取值
面 称角时
20．（题满分12分）
答案（1） （2）
解析（1）双曲线 焦点坐标 离心率
双曲线 焦点椭圆 ： 顶点
椭圆双曲线离心率互倒数 解
椭圆 方程
（2） 直线 斜率存
直线 轴截距 设直线 方程
代入椭圆方程
设 根根系数关系
整理
令
等号成立条件 时 满足 符合题意 值
21．（题满分12分）
答案（1） （2）
解析（1）函数 定义域
函数 点 处切线方程
已知函数 点 处切线方程 较求 实数 值
（2） 问题转化 解
令
令 时
函数 区间 单调递减
区间 单调递减
实数 取值范围
请考生2223两题中选题作答果做做第题记分．
22．（题满分10分）选修44：坐标系参数方程
答案（1） ： ： （2） ．
解析（1）曲线 普通方程：
时曲线 普通方程：
时曲线 普通方程：
（曲线 ： ）
（2） ： 代入 ： 化简整理：
设 应参数分
恒成立
∴
∵ ∴ ．
23．（题满分10分）选修45：等式选讲
答案（1） （2） ．
解析（1） 时
① 时 令 解
② 时 显然 成立∴
③ 时 令 解
综述等式解集 ．
（2）∵
∵ 成立∴需 解 ∴ 取值范围 ．
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