2016年全国高考理科数学试题全国卷2
选择题：题12题题5分题出四选项中项符合题目求
1已知z(m+3)+(m–1)i复面应点第四象限实数m取值范围( )
A．(–31) B．(–13) C．(1+∞) D．(–∞–3)
2已知集合A{123}B{x|(x+1)(x–2)<0x∈Z}A∪B( )
A．{1} B．{12} C．{0123} D．{–10123}
3已知量a(1m)b(3–2)(a+b)⊥bm( )
A．–8 B．–6 C．6 D．8
4圆x2+y2–2x–8y+130圆心直线ax+y–10距离1a( )
A．– B．– C． D．2
5左1图明街道E处出发先F处红会合起位G处老年公寓参加志愿者活动明老年公寓选择短路径条数( )
A．24 B．18 C．12 D．9
6左2图圆柱圆锥组合成体三视图该体表面积( )
A．20π B．24π C．28π D．32π
7函数y2sin2x图左移单位长度移图象称轴( )
A．x–(k∈Z) B．x+(k∈Z) C．x–(k∈Z) D．x+(k∈Z)
8中国古代计算项式值秦九韶算法左3图实现该算法程序框图执行该程序框图输入x2n2次输入a225输出s( )
A．7 B．12 C．17 D．34
9cos(–α)sin2α ( )
A． B． C．– D．–
10区间[01]机抽取2n数x1x2…xny1y2…yn构成n数(x1y1)(x2y2)…(xnyn)中两数方1数m机模拟方法圆周率π似值( )
A． B． C． D．
11已知F1F2双曲线E：–1左右焦点点MEMF1x轴垂直sin∠MF2F1E离心率( )
A． B． C． D．2
12已知函数f(x)(x∈R)满足f(–x)2–f(x)函数yyf(x)图交点(x1y1)(x2y2)(xmym)( )
A．0 B．m C．2m D．4m
二填空题：题4题题5分
13△ABC角ABC边分abccosAcosCa1b___________．
14αβ两面mn两条直线列四命题：
(1)果m⊥nm⊥αn∥βα⊥β (2)果m⊥αn∥αm⊥n
(3)果α∥βm⊂αm∥β
(4)果m∥nα∥βmα成角nβ成角相等
中正确命题____________________(填写正确命题编号)
15三张卡片分写121323．甲乙丙三取走张卡片甲乙卡片说：乙卡片相数字2乙丙卡片说：丙卡片相数字1丙说：卡片数字5甲卡片数字____________．
16直线ykx+b曲线ylnx+2切线曲线yln(x+1)切线b__________．
三解答题：解答应写出文字说明证明程演算步骤
17(题满分12分)Sn等差数列{an}前n项a11S728记bn[lgan]中[x]表示超x整数[09]0[lg99]1．
(1)求b1b11b101
(2)求数列{bn}前1 000项．
18(题满分12分)某险种基保费a(单位：元)继续购买该险种投保称续保续保年度保费年度出险次数关联：
年度出险次数
0
1
2
3
4
≥5
保费
085a
a
125a
15a
175a
2a
设该险种续保年出险次数相应概率：[]
年出险次数
0
1
2
3
4
≥5
概率
030
015
020
020
010
0 05
(1)求续保年度保费高基保费概率
(2)续保年度保费高基保费求保费基保费高出60概率
(3)求续保年度均保费基保费值．
19(题满分12分)图菱形ABCD角线ACBD交点OAB5AC6点EF分ADCDAECFEF交BD点H．△DEFEF折△D＇EF位置OD＇．
(1)证明：D＇H⊥面ABCD
(2)求二面角B–D＇A–C正弦值．
20(题满分12分)已知椭圆E：+1焦点X轴AE左顶点斜率k(k>0)直线交EAM两点点NEMA⊥NA．
(1)t4|AM||AN|时求△AMN面积
(2)2|AM||AN|时求k取值范围．
21(题满分12分)(1)讨函数f(x)ex单调性证明x>0时(x–2)ex+x+2>0
(2)证明：a∈[01)时函数g(x)(x>0)值设g(x)值h(a)求函数h(a)值域．
请考生222324题中选题作答果做做第题计分做答时请写清题号
22(题满分10分)[选修4–1：证明选讲]图正方形ABCD中EG分边DADC(端点重合)DEDGD点作DF⊥CE垂足F．
(1) 证明：BCGF四点圆
(2)AB1EDA中点求四边形BCGF面积．
23(题满分10分)[选修4–4：坐标系参数方程]直角坐标系xOy中圆C方程(x+6)2+y225．
(1)坐标原点极点x轴正半轴极轴建立极坐标系求C极坐标方程
(2)直线l参数方程(t参数)lC交AB两点|AB|求l斜率．
24(题满分10分)[选修4–5：等式选讲]已知函数f(x)|x–|+|x+|M等式f(x)<2解集．
(1)求M
(2)证明：ab∈M时|a+b|<|1+ab|．
参考答案
1解析：∴m+3>0m–1<0∴–3
2解析：B{x|(x+1)(x–2)<0x∈Z}{x|–1
3解析： 量a+b(4m–2)∵(a+b)⊥b∴(a+b)·b10–2(m–2)0解m8选D．
4解析：圆x2+y2–2x–8y+130化标准方程：(x–1)2+(y–4)24圆心(14)d1解a–选A．
5解析：E→F6种走法F→G3种走法法原理知6×318种走法选B．
解析二：题意明街道E处出发F处短C条路F处G处短C条路明老年公寓选择短路径条数C·C18条选B
6解析：体圆锥圆柱组合体
设圆柱底面圆半径r周长c圆锥母线长l圆柱高h．
图r2c2πr4π勾股定理：l4S表πr2+ch+cl4π+16π+8π28π选C．
7解析：题意函数y2sin2x图左移单位y2sin2(x+)2sin(2x+)移函数称轴2x++kπk∈Zx+k∈Z选B
8解析：第次运算：s0×2+22第二次运算：s2×2+26第三次运算：s6×2+517选C．
9解析：∵cos(–α)sin2αcos(–2α)2cos2(–α)–1选D．
解法二：cos(–α)展开直接方
解法三：换元法
10解析：题意：(xiyi)(i123n)图示方格中方1点均图阴影中
概型概率计算公式知∴π选C．
11解析： 离心率e正弦定理e．选A．
12解析：f(–x)2–f(x)f(x)关(01)称y1+关(01)称
∴组称点xi+x＇i0yi+y＇i2
∴选B．
13解析：∵cosAcosCsinAsinC∴sinBsin(A+C)sinAcosC+cosAsinC
正弦定理：解b．
14解析：①m⊥nm⊥αn∥βαβ位置关系法确定错误②直线n作面γ面β相交直线cn∥cm⊥α∴m⊥c∴m⊥n②正确③两面行性质知正确④线面成角定义等角定理知正确正确②③④
15解析：题意：丙(23)丙(12)乙(23)甲(13)满足丙(13)乙(23)甲(12)满足甲(13)
16解析：ylnx+2切线：y·x+lnx1+1(设切点横坐标x1)
yln(x+1)切线：y·x+ln(x2+1)–∴
解x1x2–∴blnx1+11–ln2．
17解析：(1)设{an}公差dS77a428∴a44∴d1∴ana1+(n–1)dn．
∴b1[lga1][lg1]0b11[lga11][lg11]1b101[lga101][lg101]2．
(2)记{bn}前n项TnT1000b1+b2++b1000[lga1]+[lga2]++[lga1000]．
0≤lgan<1时n1291≤lgan<2时n1011992≤lgan<3时n100101999
lgan3时n1000．∴T10000×9+1×90+2×900+3×11893．
18(1)设续保年度保费高基保费事件AP(A)1–P()1–(030+015)055．
(2)设续保保费基保费高出60事件BP(B|A)．
⑶解：设年度交保费机变量X．
X
085a
a
125a
15a
175a
2a
P
030
015
020
020
010
005
均保费EX085a×030+015a+125a×020+15a×020+175a×010+2a×005123a
∴均保费基保费值123．
19解析：(1)证明：左1图∵AECF∴∴EF∥AC．
∵四边形ABCD菱形∴AC⊥BD∴EF⊥BD∴EF⊥DH∴EF⊥D＇H．
∵AC6∴AD3AB5AO⊥OB∴OB4∴OH·OD1∴DHD＇H3∴|OD＇|2|OH|2+|D＇H|2∴D＇H⊥OH．
∵OH∩EFH∴D＇H⊥面ABCD．
(2)方法法：AB5AC6AO3B0OD4∵AEADAB5∴DE5–
∵EF∥AC∴∴EHEF2EHDH3OH4–31
∵HD’DH3OD’2∴满足HD’2OD’2+OH2△OHD’直角三角形OD’⊥OH
OD’⊥底面ABCDOD’五棱锥D’–ABCFE高．
底面五边形面积S×AC·OB+×6×4+12+
五棱锥D’–ABCFE体积VS·OD’××2．
方法二量法建立左2图坐标系H–xyz．B(500)C(130)D＇(003)A(1–30)
∴量AB(430)AD＇(–133)AC(060)
设面ABD＇法量n1(xyz)取∴n1(3–45)．
理面AD＇C法量n2(301)
∴|cosθ|∴sinθ
20解析：(1)t4时椭圆E方程+1A点坐标(–20)直线AM方程yk(x+2)．
联立椭圆E直线AM方程整理(3+4k2)x2+16k2x+16k2–120
解x–2x–|AM||–+2|·
∵AM⊥AN∴|AN|··
∵|AM||AN|k>0∴··整理(k–1)(4k2–k–4)0
4k2–k+40实根∴k1．
△AMN面积|AM|2(·)2．
(2)直线AM方程yk(x+)
联立椭圆E直线AM方程整理(3+tk2)x2+2tk2x+t2k2–3t0解x–x–
∴|AM||–+|·∴|AN|·
∵2|AM||AN|∴2···整理t．
∵椭圆E焦点x轴∴t>3>3整理<0解
21解析：(1)证明：f(x)ex∴f＇(x)ex(+)
∵x∈(–∞–2)∪(–2+∞)时f＇(x)>0∴f(x)(–∞–2)(–2+∞)单调递增
∴x>0时ex>f(0)–1∴(x–2)ex+x+2>0
(2)g＇(x)a∈[01)
(1)知x>0时f(x)ex值域(–1+∞)解．·et–at∈(02]
x∈(0t)时g＇(x)<0g(x)单调减x∈(t+∞)时g＇(x)>0g(x)单调增
h(a)
记k(t)t∈(02]时k＇(t)>0∴k(t)单调递增∴h(a)k(t)∈(]．
22解析：(1)证明：∵DF⊥CE∴Rt△DEF∽Rt△CED∴∠GDF∠DEF∠BCF
∵DEDGCDBC∴∴△GDF∽△BCF∴∠CFB∠DFG
∴∠GFB∠GFC+∠CFB∠GFC+∠DFG∠DFC90°∴∠GFB+∠GCB180°．∴BCGF四点圆．
(2)∵EAD中点AB1
∴DGCGDE∴Rt△GFC中GFGC连接GBRt△BCG≌Rt△BFG∴S四边形BCGF2S△BCG2××1×．
23解：(1)整理圆方程x2+y2+12x+110
ρ2x2+y2ρcosθxρsinθy知圆C极坐标方程ρ2+12ρcosθ+110．
(2)记直线斜率k直线方程kx–y0
垂径定理点直线距离公式知：整理k2k±．
24解析：(1)x<–时f(x)–x–x––2x–1时f(x)2xf(x)<2(2)ab∈(–11)时(a2–1)(b2–1)>0a2b2+1>a2+b2a2b2+2ab+1>a2+2ab+b2(ab+1)2>(a+b)2|a+b|<|ab+1|
证毕．
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选择题：题12题题5分题出四选项中项符合题目求
1已知z(m+3)+(m–1)i复面应点第四象限实数m取值范围( )
A．(–31) B．(–13) C．(1+∞) D．(–∞–3)
2已知集合A{123}B{x|(x+1)(x–2)<0x∈Z}A∪B( )
A．{1} B．{12} C．{0123} D．{–10123}
3已知量a(1m)b(3–2)(a+b)⊥bm( )
A．–8 B．–6 C．6 D．8
4圆x2+y2–2x–8y+130圆心直线ax+y–10距离1a( )
A．– B．– C． D．2
5左1图明街道E处出发先F处红会合起位G处老年公寓参加志愿者活动明老年公寓选择短路径条数( )
A．24 B．18 C．12 D．9
6左2图圆柱圆锥组合成体三视图该体表面积( )
A．20π B．24π C．28π D．32π
7函数y2sin2x图左移单位长度移图象称轴( )
A．x–(k∈Z) B．x+(k∈Z) C．x–(k∈Z) D．x+(k∈Z)
8中国古代计算项式值秦九韶算法左3图实现该算法程序框图执行该程序框图输入x2n2次输入a225输出s( )
A．7 B．12 C．17 D．34
9cos(–α)sin2α ( )
A． B． C．– D．–
10区间[01]机抽取2n数x1x2…xny1y2…yn构成n数(x1y1)(x2y2)…(xnyn)中两数方1数m机模拟方法圆周率π似值( )
A． B． C． D．
11已知F1F2双曲线E：–1左右焦点点MEMF1x轴垂直sin∠MF2F1E离心率( )
A． B． C． D．2
12已知函数f(x)(x∈R)满足f(–x)2–f(x)函数yyf(x)图交点(x1y1)(x2y2)(xmym)( )
A．0 B．m C．2m D．4m
二填空题：题4题题5分
13△ABC角ABC边分abccosAcosCa1b___________．
14αβ两面mn两条直线列四命题：
(1)果m⊥nm⊥αn∥βα⊥β (2)果m⊥αn∥αm⊥n
(3)果α∥βm⊂αm∥β
(4)果m∥nα∥βmα成角nβ成角相等
中正确命题____________________(填写正确命题编号)
15三张卡片分写121323．甲乙丙三取走张卡片甲乙卡片说：乙卡片相数字2乙丙卡片说：丙卡片相数字1丙说：卡片数字5甲卡片数字____________．
16直线ykx+b曲线ylnx+2切线曲线yln(x+1)切线b__________．
三解答题：解答应写出文字说明证明程演算步骤
17(题满分12分)Sn等差数列{an}前n项a11S728记bn[lgan]中[x]表示超x整数[09]0[lg99]1．
(1)求b1b11b101
(2)求数列{bn}前1 000项．
18(题满分12分)某险种基保费a(单位：元)继续购买该险种投保称续保续保年度保费年度出险次数关联：
年度出险次数
0
1
2
3
4
≥5
保费
085a
a
125a
15a
175a
2a
设该险种续保年出险次数相应概率：[]
年出险次数
0
1
2
3
4
≥5
概率
030
015
020
020
010
0 05
(1)求续保年度保费高基保费概率
(2)续保年度保费高基保费求保费基保费高出60概率
(3)求续保年度均保费基保费值．
19(题满分12分)图菱形ABCD角线ACBD交点OAB5AC6点EF分ADCDAECFEF交BD点H．△DEFEF折△D＇EF位置OD＇．
(1)证明：D＇H⊥面ABCD
(2)求二面角B–D＇A–C正弦值．
20(题满分12分)已知椭圆E：+1焦点X轴AE左顶点斜率k(k>0)直线交EAM两点点NEMA⊥NA．
(1)t4|AM||AN|时求△AMN面积
(2)2|AM||AN|时求k取值范围．
21(题满分12分)(1)讨函数f(x)ex单调性证明x>0时(x–2)ex+x+2>0
(2)证明：a∈[01)时函数g(x)(x>0)值设g(x)值h(a)求函数h(a)值域．
请考生222324题中选题作答果做做第题计分做答时请写清题号
22(题满分10分)[选修4–1：证明选讲]图正方形ABCD中EG分边DADC(端点重合)DEDGD点作DF⊥CE垂足F．
(1) 证明：BCGF四点圆
(2)AB1EDA中点求四边形BCGF面积．
23(题满分10分)[选修4–4：坐标系参数方程]直角坐标系xOy中圆C方程(x+6)2+y225．
(1)坐标原点极点x轴正半轴极轴建立极坐标系求C极坐标方程
(2)直线l参数方程(t参数)lC交AB两点|AB|求l斜率．
24(题满分10分)[选修4–5：等式选讲]已知函数f(x)|x–|+|x+|M等式f(x)<2解集．
(1)求M
(2)证明：ab∈M时|a+b|<|1+ab|．
参考答案
1解析：∴m+3>0m–1<0∴–3
2解析：B{x|(x+1)(x–2)<0x∈Z}{x|–1
3解析： 量a+b(4m–2)∵(a+b)⊥b∴(a+b)·b10–2(m–2)0解m8选D．
4解析：圆x2+y2–2x–8y+130化标准方程：(x–1)2+(y–4)24圆心(14)d1解a–选A．
5解析：E→F6种走法F→G3种走法法原理知6×318种走法选B．
解析二：题意明街道E处出发F处短C条路F处G处短C条路明老年公寓选择短路径条数C·C18条选B
6解析：体圆锥圆柱组合体
设圆柱底面圆半径r周长c圆锥母线长l圆柱高h．
图r2c2πr4π勾股定理：l4S表πr2+ch+cl4π+16π+8π28π选C．
7解析：题意函数y2sin2x图左移单位y2sin2(x+)2sin(2x+)移函数称轴2x++kπk∈Zx+k∈Z选B
8解析：第次运算：s0×2+22第二次运算：s2×2+26第三次运算：s6×2+517选C．
9解析：∵cos(–α)sin2αcos(–2α)2cos2(–α)–1选D．
解法二：cos(–α)展开直接方
解法三：换元法
10解析：题意：(xiyi)(i123n)图示方格中方1点均图阴影中
概型概率计算公式知∴π选C．
11解析： 离心率e正弦定理e．选A．
12解析：f(–x)2–f(x)f(x)关(01)称y1+关(01)称
∴组称点xi+x＇i0yi+y＇i2
∴选B．
13解析：∵cosAcosCsinAsinC∴sinBsin(A+C)sinAcosC+cosAsinC
正弦定理：解b．
14解析：①m⊥nm⊥αn∥βαβ位置关系法确定错误②直线n作面γ面β相交直线cn∥cm⊥α∴m⊥c∴m⊥n②正确③两面行性质知正确④线面成角定义等角定理知正确正确②③④
15解析：题意：丙(23)丙(12)乙(23)甲(13)满足丙(13)乙(23)甲(12)满足甲(13)
16解析：ylnx+2切线：y·x+lnx1+1(设切点横坐标x1)
yln(x+1)切线：y·x+ln(x2+1)–∴
解x1x2–∴blnx1+11–ln2．
17解析：(1)设{an}公差dS77a428∴a44∴d1∴ana1+(n–1)dn．
∴b1[lga1][lg1]0b11[lga11][lg11]1b101[lga101][lg101]2．
(2)记{bn}前n项TnT1000b1+b2++b1000[lga1]+[lga2]++[lga1000]．
0≤lgan<1时n1291≤lgan<2时n1011992≤lgan<3时n100101999
lgan3时n1000．∴T10000×9+1×90+2×900+3×11893．
18(1)设续保年度保费高基保费事件AP(A)1–P()1–(030+015)055．
(2)设续保保费基保费高出60事件BP(B|A)．
⑶解：设年度交保费机变量X．
X
085a
a
125a
15a
175a
2a
P
030
015
020
020
010
005
均保费EX085a×030+015a+125a×020+15a×020+175a×010+2a×005123a
∴均保费基保费值123．
19解析：(1)证明：左1图∵AECF∴∴EF∥AC．
∵四边形ABCD菱形∴AC⊥BD∴EF⊥BD∴EF⊥DH∴EF⊥D＇H．
∵AC6∴AD3AB5AO⊥OB∴OB4∴OH·OD1∴DHD＇H3∴|OD＇|2|OH|2+|D＇H|2∴D＇H⊥OH．
∵OH∩EFH∴D＇H⊥面ABCD．
(2)方法法：AB5AC6AO3B0OD4∵AEADAB5∴DE5–
∵EF∥AC∴∴EHEF2EHDH3OH4–31
∵HD’DH3OD’2∴满足HD’2OD’2+OH2△OHD’直角三角形OD’⊥OH
OD’⊥底面ABCDOD’五棱锥D’–ABCFE高．
底面五边形面积S×AC·OB+×6×4+12+
五棱锥D’–ABCFE体积VS·OD’××2．
方法二量法建立左2图坐标系H–xyz．B(500)C(130)D＇(003)A(1–30)
∴量AB(430)AD＇(–133)AC(060)
设面ABD＇法量n1(xyz)取∴n1(3–45)．
理面AD＇C法量n2(301)
∴|cosθ|∴sinθ
20解析：(1)t4时椭圆E方程+1A点坐标(–20)直线AM方程yk(x+2)．
联立椭圆E直线AM方程整理(3+4k2)x2+16k2x+16k2–120
解x–2x–|AM||–+2|·
∵AM⊥AN∴|AN|··
∵|AM||AN|k>0∴··整理(k–1)(4k2–k–4)0
4k2–k+40实根∴k1．
△AMN面积|AM|2(·)2．
(2)直线AM方程yk(x+)
联立椭圆E直线AM方程整理(3+tk2)x2+2tk2x+t2k2–3t0解x–x–
∴|AM||–+|·∴|AN|·
∵2|AM||AN|∴2···整理t．
∵椭圆E焦点x轴∴t>3>3整理<0解
21解析：(1)证明：f(x)ex∴f＇(x)ex(+)
∵x∈(–∞–2)∪(–2+∞)时f＇(x)>0∴f(x)(–∞–2)(–2+∞)单调递增
∴x>0时ex>f(0)–1∴(x–2)ex+x+2>0
(2)g＇(x)a∈[01)
(1)知x>0时f(x)ex值域(–1+∞)解．·et–at∈(02]
x∈(0t)时g＇(x)<0g(x)单调减x∈(t+∞)时g＇(x)>0g(x)单调增
h(a)
记k(t)t∈(02]时k＇(t)>0∴k(t)单调递增∴h(a)k(t)∈(]．
22解析：(1)证明：∵DF⊥CE∴Rt△DEF∽Rt△CED∴∠GDF∠DEF∠BCF
∵DEDGCDBC∴∴△GDF∽△BCF∴∠CFB∠DFG
∴∠GFB∠GFC+∠CFB∠GFC+∠DFG∠DFC90°∴∠GFB+∠GCB180°．∴BCGF四点圆．
(2)∵EAD中点AB1
∴DGCGDE∴Rt△GFC中GFGC连接GBRt△BCG≌Rt△BFG∴S四边形BCGF2S△BCG2××1×．
23解：(1)整理圆方程x2+y2+12x+110
ρ2x2+y2ρcosθxρsinθy知圆C极坐标方程ρ2+12ρcosθ+110．
(2)记直线斜率k直线方程kx–y0
垂径定理点直线距离公式知：整理k2k±．
24解析：(1)x<–时f(x)–x–x––2x–1
证毕．
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