2017初高中数学衔接教材
现初高中数学教材存脱节：
1绝值型方程等式初中没讲高中没专门容
2立方差公式初中已删讲高中
3式分解中初中限二次项系数1二次三项式分解系数1涉三次高次项式分解作求高中教材中许化简求值解方程等式等
4二次根式中分子分母理化初中作求分子分母理化高中数学中函数等式常解题技巧
5初中教材二次函数求较低学生处解水高中贯穿整数学教材始终重容配方作简图求值域（取值范围）解二次等式判断单调区间求值研究闭区间函数值等等高中数学必须掌握基题型常方法
6二次函数二次等式二次方程间联系根系数关系（韦达定理）初中作求类题目仅限简单常规运算难度应题高中数学中相互转化屡屡频繁教材没专门讲授脱节
7图称移变换初中作简单介绍高中讲授函数时作必备基知识领
8含参数函数方程等式初中定量介绍解高中作重点专题容教材中出现高考必须考综合题型
9中概念（三角形五心：重心心外心垂心旁心）定理（行线等分线段定理行线分线段成例定理射影定理相交弦定理）初中早已删没学
10圆中四点圆性质判定初中没学高中
外象配方法换元法定系数法双十字相法分解式等等等等初中淡化甚老师根没延伸发掘利高中数学学
新课程改革难免会导致知识脱节漏洞书然没详列举出会断研究新课程体系遗余力找新初高中数学教材体系中存足加补充完善
目录
第章 数式
11 数式运算
111 绝值
112 法公式
113 二次根式
114 分式
12 分解式
第二章 二次方程二次等式
21 元二次方程
211 根判式
212 根系数关系
22 二次函数
221 二次函数yax2+bx+c图性质
222 二次函数三种表达方式
223 二次函数应
23 方程等式
231 二元二次方程组解法
第三章 相似形三角形圆
31 相似形
311 行线分线段成例定理
312 相似三角形形性质判定
32 三角形
321 三角形五心
322 解三角形：钝角三角函数正弦定理余弦定理应
33 圆
331 直线圆圆圆位置关系：圆幂定理
332 点轨迹
333 四点圆性质判定
334 直线圆方程（选学）
11 数式运算
1１1．绝值
绝值代数意义：正数绝值身负数绝值相反数零绝值零．
绝值意义：数绝值数轴表示点原点距离．
两数差绝值意义：表示数轴数数间距离．
例1 解等式：＞4．
解法：
①等式变
＞4解x＜0
x＜1
∴x＜0
②等式变
1＞4
∴存满足条件x
③等式变
＞4 解x＞4．
x≥3
∴x＞4．
综述原等式解
x＜0x＞4．
1
3
A
B
x
0
4
C
D
x
P
|x－1|
|x－3|
图1．1－1
解法二：图1．1－1表示x轴坐标x点P坐标1点A间距离|PA||PA|＝|x－1||x－3|表示x轴点P坐标2点B间距离|PB||PB|＝|x－3|．
等式＞4意义
|PA|＋|PB|＞4．
|AB|＝2知
点P 点C(坐标0)左侧点P点D(坐标4)右侧．
x＜0x＞4．
练
1．填空：
（1）x_________x_________
（2）果b＝________c＝________
2．选择题：
列叙述正确 （ ）
（A） （B）
（C） （D）
3．化简：|x－5|－|2x－13|（x＞5）．
112 法公式
初中已学列法公式：
（1）方差公式
（2）完全方公式 ．
通证明列法公式：
（1）立方公式
（2）立方差公式
（3）三数方公式
（4）两数立方公式
（5）两数差立方公式 ．
面列出五公式兴趣学证明．
例1 计算：．
解法：原式
．
解法二：原式
．
例2 已知求值．
解： ．
练
1．填空：
（1）（ ）
（2）
(3 ) ．
2．选择题：
（1）完全方式等 （ ）
（A） （B） （C） （D）
（2）实数值 （ ）
（A）总正数 （B）总负数
（C）零 （D）正数负数
113．二次根式
般形代数式做二次根式．根号含字母够开方式子称理式 例 等理式等理式．
1．分母（子）理化
分母（子）中根号化做分母（子）理化．进行分母（子）理化需引入理化式概念．两含二次根式代数式相果积含二次根式说两代数式互理化式例
等等． 般互理化式．
分母理化方法分母分子分母理化式化分母中根号程分子理化分母分子分母理化式化分子中根号程
二次根式化简运算程中二次根式法参项式法进行运算中运公式二次根式法通常先写成分式形式然通分母理化进行运算二次根式加减法项式加减法类似应化简基础括号合类二次根式．
2．二次根式意义
例1 列式子化简二次根式：
（1） （2） （3）．
解： （1）
（2）
（3）．
例2 计算：．
解法： ＝
＝
＝
＝
＝．
解法二： ＝ ＝ ＝＝＝．
例3 试较列组数：
（1） （2）
解： （1）∵
∴＜．
（2）∵
4＞2
∴＋4＞＋2
∴＜
例4 化简：．
解：
＝＝
＝＝．
例 5 化简：（1） （2）．
解：（1）原式 ．
（2）原式
∵∴原式＝．
例 6 已知求值 ．
解： ∵
∴．
练
1．填空：
（1）＝__ ___
（2）取值范围_ _ ___
（3）__ ___
（4）______ __．
2．选择题：
等式成立条件 （ ）
（A） （B） （C） （D）
3．求值．
4．较：2－ －（填＞＜）．
11４．分式
1．分式意义
形式子B中含字母称分式．M≠0时分式具列性质：
．
述性质称分式基性质．
2．繁分式
样分子分母中含分式分式做繁分式．
例1 求常数值．
解： ∵
∴ 解 ．
例2 （1）试证：（中n正整数）
（2）计算：
（3）证明：意1正整数n ．
（1）证明：∵
∴（中n正整数）成立．
（2）解：（1）知
＝．
（3）证明：∵＝＝
n≥2n正整数∴定正数
∴＜．
例3 设e＞12c2－5ac＋2a2＝0求e值．
解：2c2－5ac＋2a2＝0两边a2
2e2－5e＋2＝0
∴(2e－1)(e－2)＝0
∴e＝＜1舍e＝2．
∴e＝2．
练
1．填空题：意正整数n ()
2．选择题：
＝ （ ）
（A）１ （B） （C） （D）
3．正数满足求值．
4．计算．
题1．1
A 组
1．解等式：
(1) (2)
(3) ．
２．已知求值．
3．填空：
（1）＝________
（2）取值范围________
（3）________．
B 组
1．填空：
（1）____ ____
（2）__ __
2．已知：求值．
C 组
1．选择题：
（1） （ ）
（A） （B） （C） （D）
（2）计算等 （ ）
（A） （B） （C） （D）
2．解方程．
3．计算：．
4．试证：意正整数n＜．
12式分解
式分解方法：十字相法提取公式法公式法分组分解法外应解求根法定系数法．
1．十字相法
例1 分解式：
（1）x2－3x＋2 （2）x2＋4x－12
（3） （4）．
解：（1）图1．1－1二次项x2分解成图中两x积常数项2分解成－1－2积图中角线两数积－3xx2－3x＋2中次项
x2－3x＋2＝(x－1)(x－2)．
－ay
－by
x
x
图1．1－4
－2
6
1
1
图1．1－3
－1
－2
1
1
图1．1－2
－1
－2
x
x
图1．1－1
说明：分解例类似二次三项式时直接图1．1－1中两x1表示（图1．1－2示）．
（2）图1．1－3
x2＋4x－12＝(x－2)(x＋6)．
（3）图1．1－4
－1
1
x
y
图1．1－5
＝
（4）＝xy＋(x－y)－1
＝(x－1) (y+1) （图1．1－5示）．
课堂练
填空题：
1列式分解式：
（1）__________________________________________________
（2）__________________________________________________
（3）__________________________________________________
（4）__________________________________________________
（5）__________________________________________________
（6）__________________________________________________
（7）__________________________________________________
（8）__________________________________________________
（9）__________________________________________________
（10）__________________________________________________
2
3
二选择题：（题四答案中正确）
1项式（1）（2）（3）（4）
（5）中相式（ ）
A（1）（2） B（3）（4）
C（3）（5） D（1）（2）（3）（4）（3）（5）
2分解式（ ）
A B C D
3分解式（ ）
A B
C D
4项式分解值（ ）
A B C D
5中整数值（ ）
A B C D
三列式分解式
1 2
3 4
2．提取公式法
例2 分解式：
（1） （2）
解： （1）．
（2）
．
＝＝＝
＝ ＝
课堂练：
填空题：
1项式中项公式_______________
2__________________
3____________________
4_____________________
5______________________
6分解式_____________________
7．计算
二判断题：（正确√错误× ）
1………………………………………………………… （ ）
2…………………………………………………………… （ ）
3…………………………………………… （ ）
4……………………………………………………………… （ ）
3：公式法
例3 分解式： （1） （2）
解：(1)
(2)
课堂练
公式______________________________
二判断题：（正确√错误× ）
1………………………… （ ）
2 ………………………………… （ ）
3………………………………………………… （ ）
4………………………………………… （ ）
5……………………………………………… （ ）
五列式分解
1 2
3 4
4．分组分解法
例4 （1） （2）．
（2）
．
．
课堂练：分组分解法分解项式（1）
（2）
5．关x二次三项式ax2+bx+c(a≠0)式分解．
关x方程两实数根二次三项式分解
例5 列关x二次项式分解式：
（1） （2）．
解： （1）令0解
∴
．
（2）令0解
∴．
练
1．选择题：
项式式 （ ）
（A） （B） （C） （D）
2．分解式：
（1）x2＋6x＋8 （2）8a3－b3
（3）x2－2x－1 （4）．
题1．2
1．分解式：
（1） （2）
（3） （4）．
2．实数范围式分解：
（1） （2）
（3） （4）．
3．三边满足试判定形状．
4．分解式：x2＋x－(a2－a)．
5 （尝试题）已知abc1a+b+c2a²+b²+c²求++值
21 元二次方程
211根判式
{情境设置：先学生通具体实例探索二次方程根求法
求方程根（1）(2) (3) }
知道元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）配方法变形
． ①
a≠04a2＞0．
（1）b2－4ac＞0时方程①右端正数原方程两相等实数根
x12＝
（2）b2－4ac＝0时方程①右端零原方程两等实数根
x1＝x2＝－
（3）b2－4ac＜0时方程①右端负数方程①左边定等零原方程没实数根．
知元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）根情况b2－4ac判定b2－4ac做元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）根判式通常符号Δ表示．
综述元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）
（1） Δ＞0时方程两相等实数根x12＝
（2）Δ＝0时方程两相等实数根x1＝x2＝－
（3）Δ＜0时方程没实数根．
例1 判定列关x方程根情况（中a常数）果方程实数根写出方程实数根．
（1）x2－3x＋3＝0 （2）x2－ax－1＝0
（3） x2－ax＋(a－1)＝0 （4）x2－2x＋a＝0．
解：（1）∵Δ＝32－4×1×3＝－3＜0∴方程没实数根．
（2）该方程根判式Δ＝a2－4×1×(－1)＝a2＋4＞0方程定两等实数根
．
（3）该方程根判式
Δ＝a2－4×1×(a－1)＝a2－4a＋4＝(a－2)2
①a＝2时Δ＝0方程两相等实数根
x1＝x2＝1
②a≠2时Δ＞0 方程两相等实数根
x1＝1x2＝a－1．
（3）该方程根判式
Δ＝22－4×1×a＝4－4a＝4(1－a)
①Δ＞04(1－a) ＞0a＜1时方程两相等实数根
②Δ＝0a＝1时方程两相等实数根
x1＝x2＝1
③Δ＜0a＞1时方程没实数根．
说明：第34题中方程根判式符号着a取值变化变化解题程中需a取值情况进行讨方法做分类讨．分类讨思想方法高中数学中非常重方法解题中会常运方法解决问题．
212 根系数关系（韦达定理）
元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）两实数根
．
元二次方程根系数间存列关系：
果ax2＋bx＋c＝0（a≠0）两根分x1x2x1＋x 2＝x1·x2＝．关系称韦达定理．
特二次项系数1元二次方程x2＋px＋q＝0x1x2两根韦达定理知
x1＋x 2＝－px1·x2＝q
p＝－(x1＋x 2)q＝x1·x2
方程x2＋px＋q＝0化 x2－(x1＋x 2)x＋x1·x2＝0x1x2元二次方程x2＋px＋q＝0两根x1x2元二次方程x2－(x1＋x 2)x＋x1·x2＝0．
两数x1x2根元二次方程（二次项系数1）
x2－(x1＋x 2)x＋x1·x2＝0．
例2 已知方程根2求根k值．
分析：已知方程根直接根代入求出k值方程解出根．学韦达定理利韦达定理解题已知方程根方程二次项系数常数项利两根积求出方程根两根求出k值．
解法：∵2方程根∴5×22＋k×2－6＝0∴k＝－7．
方程5x2－7x－6＝0解x1＝2x2＝－．
方程根－k值－7．
解法二：设方程根x1 2x1＝－∴x1＝－．
（－）＋2＝－ k＝－7．
方程根－k值－7．
例3 已知关x方程x2＋2(m－2)x＋m2＋4＝0两实数根两实数根方两根积21求m值．
分析： 题利韦达定理实数根方两根积21关m方程解m值．解题中需特注意方程两实数根根判式应零．
解：设x1x2方程两根韦达定理
x1＋x2＝－2(m－2)x1·x2＝m2＋4．
∵x12＋x22－x1·x2＝21
∴(x1＋x2)2－3 x1·x2＝21
[－2(m－2)]2－3(m2＋4)＝21
化简 m2－16m－17＝0
解 m＝－1m＝17．
m＝－1时方程x2＋6x＋5＝0Δ＞0满足题意
m＝17时方程x2＋30x＋293＝0Δ＝302－4×1×293＜0合题意舍．
综m＝17．
说明：（1）题解题程中先研究满足方程两实数根应m范围然两实数根方两根积21求出m值取满足条件m值．
（1）解题程中果仅仅韦达定理解题时考虑根判式Δ否零．韦达定理成立前提元二次方程实数根．
例4 已知两数4积－12求两数．
分析：设出两数分xy利二元方程求解出两数．利韦达定理转化出元二次方程求解．
解法：设两数分xy
x＋y＝4 ①
xy＝－12． ②
① y＝4－x
代入②
x(4－x)＝－12
x2－4x－12＝0
∴x1＝－2x2＝6．
∴
两数－26．
解法二：韦达定理知两数方程x2－4x－12＝0两根．
解方程x1＝－2x2＝6．
两数－26．
说明：面两种解法难发现解法二（直接利韦达定理解题）解法简捷．
例5 x1x2分元二次方程2x2＋5x－3＝0两根．
（1）求| x1－x2|值 （2）求值（3）x13＋x23．
解：∵x1x2分元二次方程2x2＋5x－3＝0两根
∴．
（1）∵| x1－x2|2＝x12+ x22－2 x1x2＝(x1＋x2)2－4 x1x2＝＝＋6＝
∴| x1－x2|＝．
（2）．
（3）x13＋x23＝(x1＋x2)( x12－x1x2＋x22)＝(x1＋x2)[ ( x1＋x2) 2－3x1x2]
＝(－)×[(－)2－3×()]＝－．
说明：元二次方程两根差绝值重量常会遇求量问题解题简便探讨出般规律：
设x1x2分元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）
∴| x1－x2|＝
．
面结：
x1x2分元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）| x1－x2|＝（中Δ＝b2－4ac）．
求元二次方程两根差绝值时直接利面结．
例6 关x元二次方程x2－x＋a－4＝0根零根零求实数a取值范围．
解：设x1x2方程两根
x1x2＝a－4＜0 ①
Δ＝(－1)2－4(a－4)＞0． ②
① a＜4
② a＜．∴a取值范围a＜4．
练
1．选择题：
（1）方程根情况 （ ）
（A）实数根 （B）两相等实数根
（C）两相等实数根 （D）没实数根
（2）关x方程mx2＋ (2m＋1)x＋m＝0两相等实数根实数m取值范围 （ ）
（A）m＜ （B）m＞－
（C）m＜m≠0 （D）m＞－m≠0
2．填空
（1）方程x2－3x－1＝0两根分x1x2＝ ．
（2）方程mx2＋x－2m＝0（m≠0）根情况 ．
（3）－31根元二次方程 ．
3．已知k取值时方程kx2＋ax＋b＝0两相等实数根？
4．已知方程x2－3x－1＝0两根x1x2求(x1－3)( x2－3)值．
题21
A 组
1．选择题
（1）已知关x方程x2＋kx－2＝0根1根（ ）
（A）－3 （B）3 （C）－2 （D）2
（2）列四说法：
①方程x2＋2x－7＝0两根－2两根积－7
②方程x2－2x＋7＝0两根－2两根积7
③方程3 x2－7＝0两根0两根积
④方程3 x2＋2x＝0两根－2两根积0．
中正确说法数 （ ）
（A）1 （B）2 （C）3 （D）4
（3）关x元二次方程ax2－5x＋a2＋a＝0根0a值（ ）
（A）0 （B）1 （C）－1 （D）0－1
2．填空
（1）方程kx2＋4x－1＝0两根－2k＝ ．
（2）方程2x2－x－4＝0两根αβα2＋β2＝ ．
（3）已知关x方程x2－ax－3a＝0根－2根 ．
（4）方程2x2＋2x－1＝0两根x1x2| x1－x2|＝ ．
3．试判定m取值时关x元二次方程m2x2－(2m＋1) x＋1＝0两相等实数根？两相等实数根？没实数根？
4．求元二次方程两根分方程x2－7x－1＝0根相反数．
B 组
1．选择题
关x方程x2＋(k2－1) x＋k＋1＝0两根互相反数k值 ( )
（A）1－1 （B）1 （C）－1 （D）0
2．填空
（1）mn方程x2＋2005x－1＝0两实数根m2n＋mn2－mn值等 ．
（2）果ab方程x2＋x－1＝0两实数根代数式a3＋a2b＋ab2＋b3值 ．
3．已知关x方程x2－kx－2＝0．
（1）求证：方程两相等实数根
（2）设方程两根x1x2果2(x1＋x2)＞x1x2求实数k取值范围．
4．元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）两根x1x2．求：
（1）| x1－x2|（2）x13＋x23．
5．关x方程x2＋4x＋m＝0两根x1x2满足| x1－x2|＝2求实数m值．
C 组
1．选择题：
（1）已知直角三角形两条直角边长恰方程2x2－8x＋7＝0两根直角三角形斜边长等 （ ）
（A） （B）3 （C）6 （D）9
（2）x1x2方程2x2－4x＋1＝0两根值 （ ）
（A）6 （B）4 （C）3 （D）
（3）果关x方程x2－2(1－m)x＋m2＝0两实数根αβα＋β取值范围 （ ）
（A）α＋β≥ （B）α＋β≤ （C）α＋β≥1 （D）α＋β≤1
（4）已知abcΔABC三边长方程cx2＋(a＋b)x＋＝0根情况( )
（A）没实数根 （B）两相等实数根
（C）两相等实数根 （D）两异号实数根
2．填空：方程x2－8x＋m＝0两根x1x23x1＋2x2＝18m＝ ．
3． 已知x1x2关x元二次方程4kx2－4kx＋k＋1＝0两实数根．
（1）否存实数k(2x1－x2)( x1－2 x2)＝－成立？存求出k值存说明理
（2）求－2值整数实数k整数值（3）k＝－2试求值．
4．已知关x方程．
（1）求证：m取什实数时方程总两相异实数根
（2）方程两实数根x1x2满足|x2|＝|x1|＋2求m值相应x1x2．
5．关x方程x2＋x＋a＝01零根1求实数a取值范围．
2．2 二次函数
221 二次函数y＝ax2＋bx＋c图象性质
情境设置：先学生通具体实例探索二次函数图象作图
（1） (2) (3)
问题1 函数y＝ax2y＝x2图象间存样关系？
研究问题先画出y＝2x2y＝x2y＝－2x2图象通函数图象函数y＝x2图象间关系推导出函数y＝ax2y＝x2图象间存关系．
先画出函数y＝x2y＝2x2图象．
先列表：
x
…
－3
－2
－1
0
1
2
3
…
x2
…
9
4
1
0
1
4
9
…
2x2
…
18
8
2
0
2
8
18
表中难出2x2值相应x2值扩两倍．
描点连线分函数y＝x2y＝2x2图象（图2－1示）图2－1两函数图象间关系：函数y＝2x2图象函数y＝x2图象点坐标变原两倍．
学类似面方法画出函数y＝x2y＝－2x2图象研究两函数图象函数y＝x2图象间关系．
通面研究结：
二次函数y＝ax2(a≠0)图象y＝x2图象点坐标变原a倍．二次函数y＝ax2(a≠0)中二次项系数a决定图象开口方坐标系中开口．
问题2 函数y＝a(x＋h)2＋ky＝ax2图象间存样关系？
图222
x
y
O
－1
y＝2x2
y＝2(x＋1)2
y＝2(x＋1)2＋1
样利特殊函数图象间关系研究间关系．学作出函数y＝2(x＋1)2＋1y＝2x2图象（图2－2示）函数学难发现函数y＝2x2图象左移单位移单位函数y＝2(x＋1)2＋1图象．两函数图象间具形状相位置特点．
类似通画函数y＝－3x2y＝－3(x－1)2＋1图象研究图象间相互关系．
通面研究结：
二次函数y＝a(x＋h)2＋k(a≠0)中a决定二次函数图象开口方h决定二次函数图象左右移h正左移h负右移k决定二次函数图象移
k正移k负移．
面结研究二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)图象方法：
y＝ax2＋bx＋c＝a(x2＋)＋c＝a(x2＋＋)＋c－
y＝ax2＋bx＋c(a≠0)图象作函数y＝ax2图象作左右移移二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)具列性质：
（1）a＞0时函数y＝ax2＋bx＋c图象开口顶点坐标称轴直线x＝－x＜时y着x增减x＞时y着x增增x＝时函数取值y＝．
（2）a＜0时函数y＝ax2＋bx＋c图象开口顶点坐标称轴直线x＝－x＜时y着x增增x＞时y着x增减x＝时函数取值y＝．
x
y
O
x＝－
A
图223
x
y
O
x＝－
A
图224
述二次函数性质分通图2．2－3图2．2－4直观表示出．解决二次函数问题时助函数图利数形结合思想方法解决问题．
y＝x2
y＝2x2
图221
x
O
y
例1 求二次函数y＝－3x2－6x＋1图象开口方称轴顶点坐标值（值）指出x取值时yx增增（减）？画出该函数图象．
x
O
y
x＝－1
A(－14)
D(01)
B
C
图22－5
解：∵y＝－3x2－6x＋1＝－3(x＋1)2＋4
∴函数图象开口
称轴直线x＝－1
顶点坐标(－14)
x＝－1时函数y取值y＝4
x＜－1时y着x增增x＞－1时y着x增减
采描点法画图选顶点A(－14))x轴交点BCy轴交点D(01)五点画出图象（图2－5示）．
说明：例题出根配方性质画函数图象直接选出关键点减少选点盲目性画图更简便图象更精确．
函数y＝ax2＋bx＋c图象作图领：
（1） 确定开口方：二次项系数a决定
（2） 确定称轴：称轴方程
（3） 确定图象x轴交点情况①△>0x轴两交点方程x2＋bx＋c0求出②①△0x轴交点方程x2＋bx＋c0求出③①△<0x轴交点
（4） 确定图象y轴交点情况令x0出yc交点坐标（0c）
（5） 素出草图
练：作出二次函数草图
（1） (2) (3)
例2 某种产品成120元件试销阶段件产品售价x（元）产品日销售量y（件）间关系表示：
x 元
130
150
165
y件
70
50
35
日销售量y销售价x次函数天获利润件产品销售价应定少元？时天销售利润少？
分析：天利润＝日销售量y×(销售价x－120)日销售量y销售价x次函数欲求天获利润值首先需求出天利润销售价x间函数关系然间函数关系求出天利润值．
解：yx次函数设y＝kx＋（B）
x＝130y＝70x＝150y＝50代入方程
解 k＝－1b＝200．∴ y＝－x＋200．
设天利润z（元）
z＝(－x+200)(x－120)＝－x2＋320x－24000＝－(x－160)2＋1600
∴x＝160时z取值1600．
答：售价160元件时天利润1600元．
例3 二次函数y＝x2＋bx＋c图移2单位左移4单位函数y＝x2图求bc值．
解法：y＝x2＋bx＋c＝(x+)2图移2单位左移4单位图函数y＝x2图
解b＝－8c＝14．
解法二：二次函数y＝x2＋bx＋c图移2单位左移4单位函数y＝x2图等价二次函数y＝x2图移2单位右移4单位函数y＝x2＋bx＋c图．
二次函数y＝x2图移2单位右移4单位函数y＝(x－4)2＋2图y＝x2－8x＋14图∴函数y＝x2－8x＋14函数y＝x2＋bx＋c表示函数∴b＝－8c＝14．
说明：例两种解法利二次函数图移规律解决问题学牢固掌握二次函数图变换规律．
两种解法反映两种思维方法：解法直接利条件进行正思维解决运算量相较解法二利逆思维原问题等价转化成等价问题解具计算量优点．解题时根题目具体情况选择恰方法解决问题．
例4 已知函数y＝x2－2≤x≤a中a≥－2求该函数值值求出函数取值值时应变量x值．
分析：例中函数变量范围变化范围需a取值进行讨．
解：（1）a＝－2时函数y＝x2图象仅仅应着点(－24)函数值值4时x＝－2
（2）－2＜a＜0时图2．2－6①知x＝－2时函数取值y＝4x＝a时函数取值y＝a2
（3）0≤a＜2时图2．2－6②知x＝－2时函数取值y＝4x＝0时函数取值y＝0
（4）a≥2时图2．2－6③知x＝a时函数取值y＝a2x＝0时函数取值y＝0．
x
y
O
－2
a
①
x
y
O
－2
a
a2
4
图22－6
x
y
O
a
－2
2
4
a2
②
－2
x
y
O
a
a2
4
③
说明：例中利分类讨方法a情形进行讨．外例中研究二次函数变量取值取意实数取部分实数研究解决类问题时通常需助函数图象直观解决问题．
练
1．选择题：
（1）列函数图象中顶点坐标轴 （ ）
（A）y＝2x2 （B）y＝2x2－4x＋2 （C）y＝2x2－1 （D）y＝2x2－4x
（2）函数y＝2(x－1)2＋2函数y＝2x2 （ ）
（A）左移1单位移2单位
（B）右移2单位移1单位
（C）移2单位右移1单位
（D）移2单位右移1单位
2．填空题
（1）二次函数y＝2x2－mx＋n图象顶点坐标(1－2)m＝ n＝ ．
（2）已知二次函数y＝x2+(m－2)x－2mm＝ 时函数图象顶点y轴m＝ 时函数图象顶点x轴m＝ 时函数图象原点．
（3）函数y＝－3(x＋2)2＋5图象开口 称轴 顶点坐标 x＝ 时函数取 值y＝ x 时y着x增减．
3．求列抛物线开口方称轴顶点坐标（）值yx变化情况画出图象．
（1）y＝x2－2x－3 （2）y＝1＋6 x－x2．
4．已知函数y＝－x2－2x＋3变量x列取值范围时分求函数值值求函数取（）值时应变量x值：
（1）x≤－2（2）x≤2（3）－2≤x≤1（4）0≤x≤3．
222 二次函数三种表示方式
通节学知道二次函数表示成两种形式：
1．般式：y＝ax2＋bx＋c(a≠0)
2．顶点式：y＝a(x＋h)2＋k (a≠0)中顶点坐标(－hk)．
述两种表示方法外种形式表示．研究种表示方式先研究二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)图象x轴交点数．
抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)x轴相交时函数值零ax2＋bx＋c＝0． ①
方程①解抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)x轴交点横坐标（坐标零）难发现抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)x轴交点数方程①解数关方程①解数方程①根判式Δ＝b2－4ac关知抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)x轴交点数根判式Δ＝b2－4ac存列关系：
（1）Δ＞0时抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)x轴两交点反抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)x轴两交点Δ＞0成立．
（2）Δ＝0时抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)x轴交点（抛物线顶点）反抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)x轴交点Δ＝0成立．
（3）Δ＜0时抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)x轴没交点反抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)x轴没交点Δ＜0成立．
抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)x轴两交点A(x10)B(x20)x1x2方程ax2＋bx＋c＝0两根
x1＋x2＝x1x2＝ ＝－(x1＋x 2) ＝x1x2．
y＝ax2＋bx＋c＝a() a[x2－(x1＋x 2)x＋x1x2]＝a(x－x1) (x－x2)．
面推导程面结：
抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)x轴交A(x10)B(x20)两点函数关系式表示y＝a(x－x1) (x－x2) (a≠0)．
样表示二次函数第三种方法：
3．交点式：y＝a(x－x1) (x－x2) (a≠0)中x1x2二次函数图象x轴交点横坐标．
求二次函数表达式时根题目提供条件选般式顶点式交点式三种表达形式中某形式解题．
例1 已知某二次函数值2图顶点直线y＝x＋1图象点（3－1）求二次函数解析式．
分析：解例时充分利题目中出条件——值顶点位置二次函数设成顶点式函数图象定点求解出系数a．
解：∵二次函数值2值定顶点坐标
∴顶点坐标2．
顶点直线y＝x＋1
2＝x＋1∴x＝1．
∴顶点坐标（12）．
设该二次函数解析式
∵二次函数图点（3－1）
∴解a＝－2．
∴二次函数解析式y＝－2x2＋8x－7．
说明：解题时值确定出顶点坐标利顶点位置求出顶点坐标然设出二次函数顶点式终解决问题．解题时充分挖掘题目条件巧妙利条件简捷解决问题．
例2 已知二次函数图象点(－30)(10)顶点x轴距离等2求二次函数表达式．
分析：题目条件中二次函数图象两点实际二次函数图象x轴交点坐标函数表达式设成交点式．
解法：∵二次函数图象点(－30)(10)
∴设二次函数y＝a(x＋3) (x－1) (a≠0)
展开 y＝ax2＋2ax－3a
顶点坐标
二次函数图象顶点x轴距离2
∴|－4a|＝2a＝．
二次函数表达式y＝y＝－．
分析二：二次函数图象点(－30)(10)称轴直线x＝－1顶点x轴距离2知顶点坐标2－2二次函数表达式设成顶点式解然利图象点(－30)(10)求函数表达式．
解法二：∵二次函数图象点(－30)(10)
∴称轴直线x＝－1．
顶点x轴距离2
∴顶点坐标2－2．
设二次函数y＝a(x＋1)2＋2y＝a(x＋1)2－2
函数图象点(10)
∴0＝a(1＋1)2＋20＝a(1＋1)2－2．
∴a＝－a＝．
求二次函数y＝－(x＋1)2＋2y＝(x＋1)2－2．
说明：述两种解法分x轴交点坐标顶点坐标两角度利交点式顶点式解题解题程中善利条件选择恰方法解决问题．
例3 已知二次函数图象点(－1－22)(0－8)(28)求二次函数表达式．
解：设该二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)．
函数图象点(－1－22)(0－8)(28)
解 a＝－2b＝12c＝－8．
求二次函数y＝－2x2＋12x－8．
通面道例题学否纳出：什情况分利函数般式顶点式交点式求二次函数表达式？
练
1．选择题
（1）函数y＝－x2＋x－1图象x轴交点数 （ ）
（A）0 （B）1 （C）2 （D）法确定
（2）函数y＝－(x＋1)2＋2顶点坐标 （ ）
（A）(12) （B）(1－2) （C）(－12) （D）(－1－2)
2．填空：
（1）已知二次函数图象x轴交点(－10)(20)该二次函数解析式设y＝a (a≠0) ．
（2）二次函数y＝－x2+2x＋1函数图象x轴两交点间距离 ．
3．根列条件求二次函数解析式．
（1）图象点(1－2)(0－3)(－1－6)
（2）x＝3时函数值5点(111)
（3）函数图象x轴交两点(1－0)(1＋0)y轴交(0－2)．
223 二次函数简单应
函数图象移变换称变换
1．移变换
问题1 二次函数图象进行移时什特点？特点样研究二次函数图象移？
难发现：二次函数图象进行移时具样特点——改变函数图象位置改变形状研究二次函数图象移问题时需利二次函数图象顶点式研究顶点位置．
例1 求二次函数y＝x2－4x＋3图象列移变换图象应函数解析式：
（1）右移2单位移1单位
（2）移3单位左移2单位．
分析：移变换改变函数图象位置改变形状（改变二次项系数）改变二次函数图象顶点位置（改变次项常数项）首先二次函数解析式变形顶点式然移变换二次函数图象顶点位置求出移函数图应解析式．
解：二次函数y＝2x2－4x－3解析式变
y＝2(x－1)2－1
顶点坐标(1－1)．
（1）函数y＝2(x－1)2－1图象右移2单位移1单位函数图象顶点坐标(3－2)移函数图象应函数表达式
y＝2(x－3)2－2．
（2）函数y＝2(x－1)2－1图象移3单位左移2单位函数图象顶点坐标(－1 2)移函数图象应函数表达式
y＝2(x＋1)2＋2．
2．称变换
问题2 二次函数图象关坐标轴行直线进行称变换时什特点？特点样研究二次函数图象移？
难发现：二次函数图象关坐标轴行直线进行称变换时具样特点——改变函数图象位置开口方改变形状研究二次函数图象称变换问题时关键抓住二次函数顶点位置开口方解决问题．
x
y
O
x＝－1
A(1－1)
A1(－3－1)
图22－7
例2 求二次函数y＝2x2－4x＋1图象关列直线称图象应函数解析式：
（1）直线x＝－1
（2）直线y＝1．
解：（1）图2．2－7二次函数y＝2x2－4x＋1图象关直线x＝－1作称变换改变图象顶点位置改变形状．
y＝2x2－4x＋1＝2(x－1)2－1知函数y＝2x2－4x＋1图象顶点A(1－1)称图象顶点A1(－31)二次函数y＝2x2－4x＋1图象关直线x＝－1称图象函数解析式y＝2(x＋3)2－1y＝2x2＋12x＋17．
x
y
O
y＝1
A(1－1)
B(13)
图22－8
（2）图2．2－8二次函数y＝2x2－4x＋1图象关直线x＝－1作称变换改变图象顶点位置开口方改变形状．
y＝2x2－4x＋1＝2(x－1)2－1知函数y＝2x2－4x＋1图象顶点A(1－1)称图象顶点B(13)开口二次函数y＝2x2－4x＋1图象关直线y＝1称图象函数解析式y＝－2(x－1)2＋3y＝－2x2＋4x＋1．
练
1．选择题：
函数y＝－(x－1)2＋4图象左移2单位移3单位图象应解析式 （ ）
（A）y＝ (x＋1)2＋1 （B）y＝－(x＋1)2＋1
（C）y＝－(x－3)2＋4 （D）y＝－(x－3)2＋1
2某商场销售批名脾衬衫均天售出20件件盈利40元扩销售增加盈利快减少库存商场决定采取适降价措施．调查发现件衬衫降价1元 商场均天售出2件：
(1)商场均天盈利1200元件衬衫降价少元
(2)件衬衫降价少元时商场均天盈利
231二元二次方程组简单二元二次方程组解法
知识概述
1二元二次方程
含两未知数含未知数项高次数2整式方程二元二次方程．
关xy二元二次方程般形式ax2＋bxy＋cy2＋dx＋ey＋f0(abc少0)中ax2bxycy2做二次项abc分二次项系数dxey做次项de分次项系数f做常数项．
例xy1x2－y0x－y－2xy－3二元二次方程x－y1x2y0二元二次方程．
2二元二次方程组
二元次方程二元二次方程组组成方程组者两二元二次方程组成方程组二元二次方程组．
3解二元二次方程组思想方法
解二元二次方程组基思想转化二元转化元二次转化次转化基方法消元降次．掌握消元降次方法技巧解二元二次方程组关键．
二重点难点疑点突破
1二元次方程二元二次方程组成方程组解法(简称二·型方程组)
(1)代入消元法(代入法)
代入法解二·型方程组般方法具体步骤：
①先方程组中二元次方程变形含未知数代数式表示未知数
②代数式代入方程中转化元二次方程元次方程
③解元二次方程元次方程求出未知数值
④求未知数值代入第步关系中求出未知数值
⑤写出方程组解．
(2)逆根系数关系定理法
二·型二元二次方程组成形方程组根元二次方程根系数关系xy成元二次方程z2az＋b0两根解方程求z1z2值xy值x1z1时y1z2x2z2时y2z1原方程组解两组称解．
2二·型二元二次方程组解情况判
二·型二元二次方程组实数解三种情况：解两解没解．元次方程代入二元二次方程消未知数元二次方程．根判式知解情况两相等实数解两相等实数解实数解样二元二次方程组解相应三种情况．简言二元次方程二元二次方程组实数解情况般通元二次方程根判式判断．
3二·二型方程组解法
解二·二型方程组基思想转化转化方法降次消元．般解法：
(1)方程组中分解两二元次方程方程时分解两二元次方程分原方程组中二元二次方程组成两二·型方程组解两二·型方程组解原方程组解．
(2)方程组中两二元二次方程分解两二元次方程时第二元二次方程分解二元次方程分第二二元二次方程分解二元次方程组成方程组四二元次方程组解四二元次方程组解原方程组解．
4二·二型方程组解情况
二元二次方程化成两二元次方程般组成方程组．
值注意二·型方程组两解二·二型方程组四解．解方程组时漏解增解．
三解题方法技巧点拨
1二·型二元二次方程组解
例1解方程组
分析：
方程组含二元次方程代入法解第种解法果①变形(x＋y)24x＋y2x＋y－2原方程组变形两二元次方程组．解两二元次方程组解原方程组解第二种解法．
解法1：
②x2y＋5 ③
③代入①(2y＋5)2＋2y(2y＋5)＋y24．
整理3y2＋10y＋70．
点评：解二·型二元二次方程组般常采前种解法先代入消元分解降次(公式法)求解．例第二种解法种特殊解法适合特殊形式方程组．
分解：
仔细观察方程组难发现方程组代入法解外联系通构造xy根元二次方程求解．
解法1：
①y8－x．③
③代入②整理x2－8x＋120．
解x12x26．
x12代入③y16．x16代入③y2 2．
解法2：
根韦达定理知xy元二次方程z2－8z＋120两根解方程
z12z26．
点悟：代入法解二元次方程二元二次方程组成二元二次方程组般方法适范围广逆韦达定理法然简便适两数两根积形式出方程组适范围较．
2方程分解降次方程组解法
例3解方程组
分析：
观察方程②(x－y)成整体方程②作关 (x－y)元二次方程分解(x－y－3)(x－y＋1)0两二元次方程x－y－30x－y＋10．
两二元次方程分方程①组成两方程组：
分解两方程组原方程组解．
解：
②(x－y－3)(x－y＋1)0．
∴x－y－30x－y＋10．
∴原方程组化两方程组：
3两方程分解降次方程组解法
例4解方程组
分析： 方程①右边零左边式分解达降次目方程②左边完全方式右边1两边开方达降次目．
解： ①(x－4y)(x＋y)0
∴x－4y0x＋y0
②(x＋2y)21
∴x＋2y1x＋2y－1．
原方程化四方程组
点评：二元二次方程分解出两二元次方程组成方程组样会出现增解问题时注意防止漏解现象．
4已知解情况确定字母系数
例5k值时方程组
(1)实数解求出解
(2)两实数解
(3)没实数解．
分析：
考知识点：二元二次方程组解法根判式先代入法消未知数y关x元二次方程根根判式讨．
解：
①代入②整理k2x2＋(2k－4)x＋10 ③
△(2k－4)2－4×k2×1－16(k－1)．
点悟：解种题型规律般方程组转化元二次方程利△0△＞0△＜0讨．
解题易错点元二次方程中x2系数k2等0容易忽略．
练
解方程组
（1）
（2）
232元二次等式解法
1元二次方程元二次等式二次函数关系
2元二次等式解法步骤
元二次等式解集：
设相应元二次方程两根等式解种情况表：
二次函数
（）图象
元二次方程
两相异实根
两相等实根
实根
R
例1 解等式：
（1）x2＋2x－3≤0 （2）x－x2＋6＜0
（3）4x2＋4x＋1≥0 （4）x2－6x＋9≤0
（5）－4＋x－x2＜0．
例2 解关x等式
解：原等式化：
例3 已知等式解求等式解．
解：等式解知
方程两根分23
∴
．
等式变
－
整理
等式解
x＜－1x＞．
说明：例利方程等式间相互关系解决问题．
练
1．解列等式：
（1）3x2－x－4＞0 （2）x2－x－12≤0
（3）x2＋3x－4＞0 （4）16－8x＋x2≤0．
2解关x等式x2＋2x＋1－a2≤0（a常数）．
作业：
10AaCx>xa
2果方程ax2＋bx＋b＝0中a＜0两根x1x2满足x1＜x2等式ax2＋bx＋b＜0解______
3．解列等式：
（1）3x2－2x＋1＜0 （2）3x2－4＜0
（3）2x－x2≥－1 （4）4－x2≤0．
(5)4+3x－2x2≥0 (6)9x2－12x>－4
4．解关x等式x2－(1＋a)x＋a＜0（a常数）．
5．关x等式解
求关x等式解．
3．1 相似形
311．行线分线段成例定理
解决问题时常涉线段长度长度问题数学学研究中发现行线常产生重长度
图311
张方格纸作行线（图311）直线交点作直线交点难发现
结般化纳出行线分线段成例定理：
三条行线截两条直线应线段成例
图312然出运该定理解决问题程中定注意线段间应关系应线段成例
例1 图312
求
图312
解
例2 中边点
求证：
证明（1）
∽
证明（2） 图313作直线
作交
图313
例出结：
行三角形边直线截两边（两边延长线）应线段成例
行三角形边两边相交直线截三角形三边原三角形三边应成例
例3 已知否找点线段中点
解 假设找图314设交中点作交
图314
中点
见中点时中点
探索存性问题时常常先假设存解解存解矛盾存
例4 中分线求证：
证明 C作CEAD交BA延长线E
AD分
知
图315
例4结称角分线性质定理叙述角分线分边成例（等该角两边）
练1
图317
图316
1．图316列例式正确（ ）
A． B．
C． D
2．图317求
3．图中AD角BAC分线AB5cmAC4cmBC7cm求BD长
图318
4．图中外角分线交延长线点求证：（三角形外角分线定理）
图3110
图319
5．图边ABAC分取DE两点BDCEDE延长线交BC延长线F求证：
312．相似形
学三角形相似判定方法想想方法判定两三角形相似？方法判定两直角三角形相似？
例5 图3111四边形ABCD角线相交点O求证：
证明 中
∽
图3111
中
∽
例6 图3112直角三角形ABC中直角
求证：（1）
图3112
（2）
证明 （1）中
∽
理证
（2）中
∽
例题结称射影定理该定理直角三角形运算
例7 中求图3113
证：
证明
直角三角形
射影定理知
理
例8 图3114中边中点边意点交点某学生研究问题时发现事实：
图3114
（1） 时（图3114a）
（2） 时（图3114b）
（3） 时（图3114c）
图3114d中时参述研究结请猜想n表示般结出证明（中n正整数）
解：题意猜想：时成立
证明 点D作DFBE交AC点F
DBC中点FEC中点
知
想想图3114d中
题中采特殊般思维方法常具体问题中发现规律进作出般性猜想然加证明否定 数学发展史断探索历史
练2
1．图3115D边AB点D点作DEBC交ACE已知AD：DB2：3等（ ）
A． B． C． D．
图3115
2．梯形中位线长15条角线中位线分成两条线段两条线段梯形底长分__________
3．已知：三边长分345相似边长15求面积
4．已知：图3116四边形ABCD 中EFGH分ABBCCDDA中点
（1） 请判断四边形EFGH什四边形试说明理
图3116
（2） 四边形ABCD行四边形角线ACBD满足什条件时EFGH菱形？正方形？
5．图3117点CD线段AB等边三角形
（1） ACCDDB满足样关系时∽？
图3117
（2） ∽时求度数
题31
A组
1． 图3118中ADDFFBAEEGGCFG4（ ）
A．DE1BC7 B．DE2BC6
C．DE3BC5 D．DE2BC8
图3118
2． 图3119BDCE中线PQ分BDCE中点等（ ）
A．1：3 B．1：4
C．1：5 D．1：6
图3119
3． 图3120中EAB延长线点DE交BC点F已知BE：AB2：3求
图3120
4． 图3121矩形ABCD中ECD中点交ACFF作FGAB交AEG求证：
图3121
B组
1． 图3122已知中AE：EB1：3BD：DC2：1ADCE相交F值（ ）
图3122
A． B．1 C． D．2
图3123
2． 图3123已知周长1连结三边中点构成第二三角形连结第二角线三边中点构成第三三角形类推第2003三角形周长（ ）
A． B． C． D．
图3124
3． 图3124已知M边AB中点CM交BD点E图中阴影部分面积面积（ ）
A． B． C． D．
4． 图3125梯形ABCD中ADBCEF梯形角线交点OEFAD
（1） 求证：OEOF
（2） 求值
图3125
（3） 求证：
C组
1． 图3126中P边AB点连结CP
（1） ∽补充条件____________
（2） ∽_____
图3126
2． 图3127点E四边形ABCD角线BD点
（1） 求证：
图3127
（2） 根图形特点猜想等两条线段（须写出图中已线段组）？证明猜想
3． 图3128中ABAC点DBC点FEMBC中点试判断什形状三角形证明结
图3128
4． 图3129a垂足分BDADBC相交EF证明成立
图3129
图3129a中垂直改斜交图3129 b相交EEFAB交BDF：
（1） 成立？果成立请出证明果成立请说明理
（2） 请找出间关系出证明
32三角形
321三角形五心
三角形重基面图形较复杂图形问题化三角形问题
图321
图322
图321 三角形△ABC中三条边三顶点三角形中角分线中线高（图322）三角形中三种重线段
三角形三条中线相交点交点称三角形重心三角形重心三角形部恰条中线三等分点
例1 求证三角形三条中线交点该交点分成两段长度2：1
已知 DEF分△ABC三边BCCAAB中点
求证 ADBECF交点该点分成2：1
图323
证明 连结DE设ADBE交点G
DE分BCAE中点DEAB
∽相似1：2
设ADCF交点理
图324
重合
ADBECF交点该点分成
三角形三条角分线相交点三角形心 三角形心三角形部三角形三边距离相等（图325）
图325
例2 已知三边长分I心I
边射影分求证：
证明 作切圆分切圆三边切点
圆点作两条切线
理BDBFCDCE
图326
例3 三角形心重心点求证：三角形正三角形
已知 O三角形ABC重心心
求证 三角形ABC等边三角形
证明 图连AO延长交BCD
O三角形心AD分
（角分线性质定理）
O三角形重心DBC中点BDDC
图327
理ABBC
等边三角形
三角形三条高直线相交点该点称三角形垂心锐角三角形垂心定三角形部直角三角形垂心直角顶点钝角三角形垂心三角形外部（图328）
图328
例4 求证：三角形三条高交点
已知 中ADBE交H点
求证
证明 CH直径作圆
CH直径圆
理EDAB直径圆
图329
公角
线三点ABC圆该圆三角形ABC外接圆圆心O三角形
外心三角形外心三顶点距离相等边垂直分线交点
练1
1．求证：三角形垂心重心重合求证：该三角形正三角形
2． （1） 三角形ABC面积S三边长分三角形切圆半径 ___________
（2）直角三角形三边长分（中斜边长）三角形切圆半径 ___________ 请说明理
322解斜三角形
回顾直角三角形四锐角三角函数概念
1正弦余弦正切余切 2特殊角三角函数值
二直角三角形边角公式：方关系商关系倒数关系
sin2a+cos2a1 tga ctga tg2a·ctg2a1
分写出变形式：
三讲授坐标系钝角三角函数（A钝角）
sinAsin(1800A) cosAcos(1800A) tgAtg(1800A) ctgActg (1800A)
画图举例说明：正弦值﹢余﹣
四正弦定理余弦定理
正弦定理 三角形边长度角正弦值相等等外接圆直径
证明（传统证法）意斜△ABC中：
S△ABC
两边 ：
余弦定理 三角形边方等两边方减两边夹角余弦积两倍
a2 b2 +c22bccosA 变形式：
b2 c2 +a22accosB 变形式：
c2 a2 +b22abcosC 变形式：
五．例题分析
例1 △ABC中已知a3c3∠A30°求∠Cb
分析 已知两边边角求边角正弦定理．注意已知两边边角应三角形确定讨．
解 ∵∠A30°a＜cc·sinA＜a ∴题两解．
sinC ∴∠C60°∠C120°．
∴∠C60°时∠B90°b6．
∠C120°时∠B30°ba3．
点评 已知两边边角三角形确定解答时注意讨．
例2 △ABC中已知acosAbcosB判断△ABC形状．
分析 欲判断△ABC形状需已知式变形．式中含边含角直接变形难进行三角函数换成边进行代数变形边换成三角函数进行三角变换．
解 方法：余弦定理 a·（）b·（）
∴a 2c 2－a 4－b 2c 2+b 40 ．
∴(a2－b2)(c 2－a2－b2)0 ．
∴a2－b20c2－a2－b20．
∴abc2a2+b2．
∴△ABC等腰三角形直角三角形．
方法二：acosAbcosB 2RsinAcosA2RsinBcosB．
∴sin2Asin2B． ∴2A2B2A1800－2B．
∴ABA+B900．
∴△ABC等腰三角形直角三角形．
点评 已知式中含边含角运余弦定理正弦定理角换成边边换成角然进行代数三角恒等变换．
例3 已知圆接四边形ABCD边长分AB2
BC6CDDA4求四边形ABCD面积．
·
A
B
C
D
O
分析 四边形ABCD面积等△ABD△BCD
面积三角形面积公式∠A+∠Cπ知需
求出∠A．需寻找∠A方程．
解 连结BD四边形ABCD面积
SS△ABD+S△CDBAB·AD·sinA+BC·CD·sinC．
∵A+C180° ∴sinAsinC．
S（2×4+6×4）sinA16sinA．
△ABD中余弦定理BD2AB2+AD2－2AB·ADcosA20－16cosA ．
△CDB中余弦定理BD2CB2+CD2－2CB·CD·cosC52－48cosC．
∴20－16cosA52－48cosC．
∵cosC－cosA ∴64cosA－32cosA－ ．
∵0°＜A＜180°∴A120°．
A
P
C
B
b
a
S16sin120°8 ．
点评 注意两三角形公边解题中运．
例4 墙壁幅图画端距观察者水视线b米
端距水视线a米问观察者距墙壁少米时
观察者视角．
分析 图观察者视角∠APB
需寻找∠APB目标函数．已知关边长
考虑运三角函数解．
解 设观察者距墙壁x米P处观察PC⊥ABACbBCa(0＜a＜b)
∠APBθ视角．
ytanθtan(∠APC－∠BPC)
≤ 仅x x时y．
θ∈（0）ytanθ（0）增函数仅x时视角．
点评 注意运直角三角形中三角函数定义解决解三角形关问题．
练
1．△ABC中tanA+tanB+tanAtanBsinAcosA该三角形 （ ）
A．等边三角形 B．钝角三角形
C．直角三角形 D．等边三角形直角三角形
2．△ABC中已知（b+c）∶(c+a)∶(a+b)4∶5∶6三角形角 （ ）
A．120° B．150° C．60° D．90°
3．AB锐角△ABC两角点P（cosB－sinAsinB－cosA） （ ）
A．第象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
4．△ABC中sinA∶sinB∶sinC5∶12∶13cosA ．
5．△ABC中3sinA+4cosB64sinB+3cosA1∠C ．
6．已知abc△ABC中∠A∠B∠C边S△ABC面积a4b5s5求c长度．
A
C
B
O
A
7．△ABC中sin2A－sin2B+sin2CsinAsinC试求角B．
8．半圆O直径2A直径延长线点OA2
B半圆意点AB边外作等边△ABC问B
点什位置时四边形OACB面积求出
面积．
33 圆
331圆幂定理应
教学目标
1学生理解相交弦定理切割线定理推间相互关系综合运解
决关问题
2通例题分析提高学生分析问题解决问题力领悟添加辅助线方
法
3运动观点统认识圆幂定理学生进行事物间相互联系运动变化
观点教育
教学重点难点
相交弦定理切割线定理推间关系应重点灵活运圆幂定理解题
难点
教学程设计
学生原认知结构提出问题
1根图7162(1)(2)(3)学生结合图形说出相交弦定理切割线定理割
线定理容
2然提出问题相交弦定理切割线定理推三者间否联系
提出问题学生思考学生回答基础教师电脑投影演示图形变化程
相交弦定理出发运动观点统认识定理
(1)图7163⊙O两条弦ABCD相交点PPA·PB＝PC·PD便学相交弦定理定理两特例：
果圆两条弦交圆心OPA＝PB＝PC＝PD＝圆半径R时ABCD直径相交弦定理然成立(图7164)
二P点逐渐远离圆心O运动圆时点PBD重合时PB＝PD＝O然PA·PB＝PC·PD＝O相交弦定理然成立(图7165)
(2)点P继续运动运动圆外时两弦延长线交圆外点P成两条割线PA·PB＝PC·PD学切割线定理推(割线定理)(图7166)
(3)图7166中果割线PDC箭头示方绕P点旋转CD两点圆逐渐
合点C割线PCD变成切线PC时PA·PB＝PC·PD＝PC2学切割线定理(图7167)
(4)果割线PAB绕P点外旋转话会成条切线PA时应PA2＝PB2
PA＝PB学切线长定理(图7168)
通点运动线运动变化发现相交弦定理切割线定理推
切线长定理间着密切联系
3启发学生理解定理实质
定点P作圆弦割线切线图7169
观察图7169出：(设⊙O半径R)
图(1)中PA·PB＝PC·PD＝PE·PF
＝(ROP)(R+OP)
＝R2OP2
图(2)中PA·PB＝PT2＝OP2OT2
＝OP2R2
图(3)中PA·PB＝PC·PD＝PT2
＝OP2R2
教师指出PA·PB均等｜OP2R2｜常数做点P关⊙O幂相交弦定理切割线定理推(割线定理)统称圆幂定理
二例题分析(采师生探索讲练结合方式进行)
例1 图7170两O圆心心圆AB切圆BAC切圆C交圆DEAB＝12AO＝15AD＝8求两圆半径
分析：结合图形已知条件根勾股定理容易求出圆半径OB求OC考虑述方法AC未知时根切割线定理先求出AE利垂径定理便求出AC问题解
(学生讨分析出解决)
例2 图7171O圆心两心圆中AB圆意两点AB作圆割线AXYBPQ
求证：AX·AYBP·BQ
分析：面较复杂图形中简单图形组合成题
直接含样图形应考虑通添加适辅助线构造出样图形出
发点师生探索出种辅助线添法
方法1 图7172中点AB分作圆切线ACBDCD切点时出现切割线定理基图形
AC2＝AX·AYBD2＝BP·BQ
连结COAODOBO
易证Rt△AOC≌△Rt△BOD出AC＝BD
AX·AY＝BP·BQ
方法2 图7173中作直线XP交圆EF分延长AYBQ交圆CD样出现相交弦定理基图形
AX·XC＝EX·XFBP·PD＝FP·PE
易证AX＝CYBP＝DQEX＝FP
AX·XC＝AX·AYBP·PD＝BP·BQEX·XF＝FP·PE
AX·AY＝BP·BQ
方法3 图7174点O圆特殊点考虑O点特殊割线作直线AO交圆EF作直线BO交圆CD出现割线定理基图形
AX·AY＝AE·AFBP·BQ＝BC·BD
易证AE＝BCAF＝BD
AE·AF＝BC·BD
AX·AY＝BP·BQ
通方法分析圆关例线段节定理紧密结合起
沟通知识间联系启发学生联想基图形思考辅助线作法证明
题
三练
练1 已知P⊙O外点OP⊙O交点A割线PBC⊙O交点BCPB＝BC果OA＝7PA＝2求PC长
练2 图7175⊙O⊙O′点ABPQ切⊙OP交⊙O′QM交AB延长线N求证：PN2＝NM·NQ
四结
投影重新出圆幂定理基图形(图7176)学生观察说出相应定理
教师指出：定理形式然实质相相互统
五题
1求证：相交两圆公弦延长线点两圆作切线长相等
已知：图5⊙O1⊙O2相交点ABPBA延长线意点PCPD⊙O1⊙O2分切CD两点求证：PCPD
2图6点P作⊙O切线PAA切点PA中点B作割线交⊙OCD连结PC延长交⊙OE连结PD交⊙OF求证：EF∥PA
3图7已知PBD⊙O割线PAPC⊙O切线AC切点求证：
（1）PA·ABPB·AD
（2）
（3）AD·BCAB·DC
提示：（1）证PA·ABPB·AD证PAADPBAB分△PAD△PBA两条边根证两三角形相似显然∠APD∠BPA∠ADP∠BAP△PAD∽△PBA
（2）问题（1）知证需证PA2PB·PD
（3）证AD·BCAB·DC需证问题（1）知类似问题（1）证PAPC
332 点轨迹：三点轨迹
［教学目标］
1 解点轨迹定义
2 掌握五种基轨迹（轨迹定理12345）
3 学会利定理12345求简单轨迹
4 初步学会交轨法作图
二 重点难点：
1 重点：关轨迹5定理轨迹研究点运动作图方面应
2 难点：
（1）利轨迹作图轨迹探求方法
（2）运动问题作图问题结点轨迹问题解决
例1 求列点轨迹
（1）斜边AB固定时求直角顶点C轨迹
（2）已知⊙O弦AB求AB行弦中点轨迹
解：（1）图设OAB中点连结COAB固定O定点CO定长定理定点距离等定长点轨迹定点圆心定长半径圆求轨迹AB直径圆
圆AB两点作AB斜边直角三角形直角顶点应
（2）图动点AB行弦中点变量⊙O弦AB根垂径定理弦中点AB距离相等定理2求中点轨迹弦AB垂直直径（两端点AB中点）
精析：求适合某条件点轨迹基思路题设中条件转化课中某轨迹定理条件根轨迹定理结出求轨迹求出轨迹检查图形中否包含某合题意点果应
例2 求列点轨迹画出图
（1）半径5cm圆中长6cm动弦中点轨迹
（2）相交AB两点等圆外切动圆圆心轨迹
解：（1）图连结OCOA中C弦AB中点根垂径定理：OC⊥AB
长6cm已知线段弦半径5cm圆中运动弦中点轨迹点O圆心半径4cm圆
（2）设P求轨迹意点连结
AB垂直分
线段AB意点⊙O1⊙O2外切动圆圆心
求轨迹中垂线AB线段AB图示
精析：分析求点轨迹思路时设出种代表性情况画出图形（例第（1）题中设AB半径5cm⊙O中条长6cm弦CAB中点然分析AB运动时中点C变化）样便助图形找出反映动点运动特征位置关系数量关系转化某轨迹定理中条件检验求出轨迹时时剔某点条线段段圆弧等例中第（2）题
例3 求4cm长已知线段AB边面积三角形第三顶点C轨迹
解：AB长4cm三角形面积三角形AB边高线长
三角形第三顶点C边AB直线距离6cm
求轨迹线段AB直线行条直线距离等6cm两条行直线（图示）
精析：求点轨迹般步骤：
（1）描出适合点（画出草图）
（2）研究总结点具特点已知条件关系根五轨迹定理中确定求轨迹什图形
（3）根题意考虑否需排特殊点（线段圆弧）然文字叙述完整
例4 图示已知∠EOF点A点B求作点P点P时满足：
（1）∠EOF两边距离相等
（2）点AB距离相等
解：点P∠EOF两边距离相等点P∠EOF分线作∠EOF分线
点PAB两点距离相等点P线段AB中垂线作线段AB中垂线
两线交点P点P求
精析：求作点时满足两（）条件时应单考虑条件确定求作点什轨迹点作出轨迹两（）轨迹交点求作点种作图方法称交轨法作图
例5 已知⊙O定长r点A圆点求作半径r圆点A⊙O切
解：O圆心⊙O半径减定长r差半径画圆
点A圆心定长r半径画圆两圆相交点
圆心定长r半径画圆⊙⊙求作圆（图示）
精析：例交轨法作图求作圆半径已知线段r作图关键找圆心已知条件定点O距离定长（⊙O半径r差）点轨迹定点A距离定长r点轨迹交点
练
1 定点P距离等6cm点轨迹_____________
2 线段AB底边等腰三角形ABC顶点C轨迹_____________
3 已知⊙O'半径4cm⊙O外切⊙O'半径2cm点O'轨迹__________
4 已知动点P直线距离5cm点P轨迹____________
5 半径等2cm直线相切圆圆心轨迹______________
6 图示中∠C＝Rt∠BC边点A已知进行行移动AB边中点Q轨迹____________
7 正方形ABCDABAD两边（延长）相切圆圆心轨迹________
8 半径r定圆O切线长等定长a点轨迹___________
9 动点P绕定点O定点O距离4cm旋转半周点P运动路程_________cm
10 图示半径3cm弹子着半径8 cm圆形钢圈壁滚动3周弹子圆心P运动路程________ cm
二 选择题
11 已知角两边直线距离相等点轨迹（ ）
A 角分线
B 角分线直线
C 角邻补角分线直线
D 角邻补角分线
12 已知线段AB切AB中点E动圆圆心轨迹（ ）
A 线段AB中垂线
B AB垂线（E点）
C 线段AB垂线
D 线段AB中垂线（E点）
13 已知两条行线间距离6 cm两条行线相切动圆圆心轨迹（ ）
A 两条直线行距离等6cm条直线
B 两条直线行距离等3cm两条直线
C 两条直线行距离等3cm条直线
D 两条直线行距离等3cm三条直线
14 点P（xy）直角坐标系运动满足点P轨迹（ ）
A 分第I象限角条射线
B 分第II象限角条射线
C 分第III象限角条射线
D 分第I第III象限角条直线
15 已知抛物线称轴A（30）B（50）距离相等点轨迹b值（ ）
A 4 B 4 C 2 D 2
三 解答题
16 图示已知⊙O⊙O点A求点A端点弦中点轨迹画出图形
17 图示已知∠EAFBAE点求作AB边高线2 cm点CAEAF距离相等
18 图示根木棒两端AB紧钢圈现木棒AB两端紧钢圈逆时针方滑动A'B'位置AB'重合BA'重合ABA'B'已知木棒长8cm钢圈半径5cm求木棒中点P运动路程
19三角形ABC中 BC6 AC5 AB4 点ABC边相切圆分ABAC交点DE 求线段DE长度值
333 证明四点圆基方法
1利圆定义
根圆定义知道面定点等距离点圆圆定点圆心定点点中点距离半径
2利三角形关系
(1)斜边直角三角形顶点圆
(2)底侧张等角三角形顶点圆
已知CD线段AB侧∠ACB∠ADB
求证：ABCD四点圆
证明：图739ABC三点作⊙O
(1)果D点⊙O部延长BD交⊙O连A
∵∠∠C∠ADB＞∠∴∠ADB＜∠C∠ADB∠ACB矛盾
D点⊙O部
(2)图740果D点⊙O外部连ADBD必条线段⊙O相交设BD⊙O交连A
∵∠AB∠ACB∠D＜∠AB
∴∠D＜∠ACB∠ADB∠ACB矛盾
D点⊙O外部
综述D点必⊙O
3利四边形关系
(1)果四边形组角互补两顶点圆(图741)
(2)果四边形外角等角四顶点圆(742)
4利线段积式关系
(1)线段ABCD相交PPA·PBPC·PDABCD四点圆
证明：图743连ADBCAC
△APD△BPC中∵PA·PBPC·PD∴
∠APD∠BPC∴△APD∽△BPC∴∠B∠DBD线段AC侧
ACBD四点圆
(2)两线段ABCD延长线相交PPA·PBPC·PDABCD四点圆(图744)
例1正方形ABCD角线BD点P作边行线交点分EFGH证明交点角线交点O圆心圆
分析：P点选取意性正方形ABCD顶点角线交点固定性应通三角形全等证明OEOFOGOH根圆定义证明四点圆
证明：图745连OEOFOGOH
∵OAOBOC∠OAH∠OBE∠OBF∠OCG45ºAHBEBFCG
∴△OAH≌△OBE≌△OBF≌△OCG
∴OHOEOFOG
EFGH四点圆
例2定点P心圆作切线求证切点圆
分析：切线垂直切点半径条件中存较垂直关系考虑斜边直角三角形顶点圆进行证明
证明：图746连
∵∠OAP∠OP∠OBP∠OP90ºOP斜边
∴AB圆
例3已知ABCD⊙O弦AB∥CDMAB中点DM交⊙OE求证EMOC四点圆
分析：注意斜边直角三角形顶点圆底侧张等角三角形顶点圆区联系前者直角斜边两侧者等角必须底侧题应者进行证明
证明：连OEOMOCMC反延长OMCD交N图747示
∵AB∥CDAMBM∴MCMD∠MCD∠MDC
∠CME∠MCD+∠MDC2∠MDC∠COE2∠MDC∴∠CME∠COEMC线段CE侧
EMOC四点圆
例4两圆交ABB直线交两圆CEBA延长线取点P连PCPE交两圆DF求证：PDAF四点圆
分析：涉四边形时考虑果四边形组角互补四顶点圆考虑果四边外角等角四顶点圆
证法1：图748∠PDA∠ABC∠PFA∠ABE∠ABC+∠ABE180º∠PDA+∠PFA180º
PDAF四点圆
证法2：∠PDA∠ABC∠ABC∠AFE∠AFE∠PDA
PDAF四点圆
例5⊙O外点A作切线ABACBC中点M作弦PQ求证：QPAQ四点圆
分析：相交弦定理逆定理割线定理逆定理证明四点圆较困难题相交弦定理逆定理进行证明
证明：图749连OBOB⊥ABBC⊥OA根射影定理AM·OM
根相交弦定理PM·QMBM·CM
∴AM·OMPM·QM
根相交弦定理逆定理OPAQ四点圆
例1两角边交点ABCD(图518)已知两角分线互相垂直求证：ABCD四点圆
证明：题意设∠AEM∠MEB∠NMF∠AME∠DAB△EAM外角∠DABEN⊥NF∠EPN90º－∠NFM90－∠PFC
∠EPN∠CPF顶角∴∠CPF∠EPN90º－∠BCD△PCF外角∴∠BCD∠PEC+∠CPF(90º－)+(90º－)
∠DAB+∠BCD180
∴ABCD四点圆
例2O△ABC点BOCO分交ACABDE果BE·BA+CD·CA求证：ADOE圆
证明：∵BE·BA+CD·CA∴BE·BA∠①
线段BC存点F(图519)BE·BABF·BC②
①CD·CA－BE·BA(BF+FC)·BC－BF·BC
CD·CAFC·BC③
连AF②知ACFE四点圆∴∠1∠2
③知ABFD四点圆∴∠3∠4
∴∠BAC∠1+∠3∠2+∠4COD∴ADOE四点圆
例3图520设ADBECF△ABC高垂心HNSP分三边中点GTM分AHBHCH中点求证：DEFGTMNSP九点圆
分析：点圆问题结四点圆问题加解决欲证九点圆先证中四点圆证余五点圆周
证明：∵PS∥TM∥BC(PSTMBC)
PT∥SM∥AH(PTSMAH)AD⊥BC∴PTMS矩形
理证TNSG矩形TSNGPM圆三条直径
∠GDN90º∴D圆理EF圆结成立
说明：题著名九点圆定理：意三角形三条高垂足三边中点垂心三顶点连线中点九点圆证明方法述四点圆证明
例4果凸五边形ABCDE中∠ABC∠ADE∠AEC∠ADB求证：∠BAC∠DAE
分析：欲证∠BAC∠DAE图521△ABC△ADE中已知∠CBA∠ADE须证明∠BCA∠DEA
证明：∵∠AEC∠ADB∴AFDE四点圆
∴∠AFE∠ADE∠ADE∠ABC∴∠AFE∠ABC∴ABCF四点圆
∠BCA∠BFA∠DEA
△BCA△DEA中∵∠ABC∠ADE∠BCA∠DEA∴∠BAC∠DAE
例5设⊙⊙⊙两两外切M⊙⊙切点RS分⊙⊙⊙切点连心线交⊙P交⊙Q求证：PQRS四点圆
分析：图522连结MRPR∠PRM90º欲证PQRS四点圆设法证明∠PRS∠Q互补
证明：连结RMPRRSSQ作切线RN四边形PQSR中∠Q∠
∠PRS∠PRM+∠MRN+∠NRS90º+∠P+∠
90º+∠+∠
∴∠Q+∠PRS90º+(∠+∠+∠)90º+90º180º
∴PQRS四点圆
例5凸四边形两组边积等角线积试证：该四边形四顶点圆
分析：题目中直接指明需证某四点圆般采直接寻找圆条件证结果
证：图7－5四边形ABCD中引AEBE∠1∠2∠3∠4
△ABE∽△ACD
①
连结ED∠BAC∠EAD△BAC∽△EAD
②
①+②
题设知BED三点线∠ABD∠ACDABCD四点圆
例2设△ADE接圆O弦BC分交ADAE边FG(图335)求证：四点圆
分析欲证FDEG四点圆已知条件中交弦较圆幂定理逆定理证出AF·ADAG·AE成立FDEG必圆．
证：作交圆ON必⊙O直径
∠FDN∠FMN90°
FDNM四点圆AD·AFAN·AM．
理AG·AEAN·AMAD·AFAG·AE
FDEG四点圆．
点圆问题
里说点圆指四点四点诸点圆问题中四点圆基技应立善灵活运解题实践中者重方法先证中四点圆然证明余点均圆外定义时起作
例1图145示△ABC边ABBCCA分黑点标出C1A1B1边端点现知∠BAC∠B1A1C1证明：黑点顶点三角形相似△ABC
分析证两三角形相似已∠BAC∠B1A1C1设法找出角相等
证明：C1作C1M∥AC图连B1MB1M∥AB四边形AC1MB1行四边形∠B1A1C1∠A∠B1MC1A1C1BM四点圆∠A1B1C1∠A1MC1C1M∥AC∠C∠A1MC1∠A1B1C1△A1B1C1∽△ABC
例2图146示ABCD⊙O接四边形延长ABDC相交E延长ADBC相交FEPFQ分切⊙OPQ求证：EP2+FQ2EF2
分析解题中需证明某四点圆问题较难掌握问题般结逐步推理例证明结中EPFQ均切线妨割线定理着手证明：BCE作⊙O1交EFG连CG∠FDC∠ABC∠CGEFDCG四点圆反复切割线定理
EP2(EG+GF)·EFEG·EF+GF·EFEC·ED+FC·FB
EP2+FQ2EF2EP2+FQ2
例3图147示设A⊙O外点ABAC⊙O分切BCAPQ⊙O条割线B作BR∥AQ交⊙OR连CR交AQM试证：ABCOM五点圆
分析五点圆问题转化四点圆问题
证明：连接OBOCBCOB⊥ABOC⊥ACABOC四点圆BR∥AQ∠GRB∠BAQ∠GBR∠BCR∠BAQ∠BCR∠BAM∠BCMABMC四点圆
ABC三点作圆 ABCOM五点圆
例4AB圆O中定弦作⊙O弦C1D1C2D2…C1998D1998中i(i12…1998)CiDi弦AB分MCiDi作⊙O切线两切线交点PI求证：P1P2…P1998圆周
分析图148示证明1998点圆问题便考察先取定点PI三定点ABO存什关系
证明：先取条弦CIDI(I12…1998)研究
ABCIDI⊙OMIABCIDI交点
CIMI·DIMIAMI·BMI①
PICIPIDI⊙O切线易证OCIPIDI四点圆OPICIDI交MI
CIMI·DIMIOMI·PIMI②
①②AMI·BMIOMI·PIMI
PIOAB四点圆PI△OAB外接圆点P1P2…P1998△OAB外接圆
例7图524ABCD圆两条弦延长ACBD交P求证：△PAB△PCD外心垂心四点圆
分析：易知△PAB∽△PDC设△PAB垂心外心△PCD垂心外心P∶PP∶P需证明P线P线命题获证
证明：设△PAB垂心△DPC外心
∴∠PA+∠BAP90º∠PC+∠CP90º
∠CDPCP∴∠PC+CDP90º∵CDPBAP∴PA∠PC
∴P三点线理P三点线
∵△PAB∽△PDC∴
∴四点圆
例8设AB定⊙O中定弦作⊙O弦中i(i12…1988)AB分分作⊙O切线两切线交点求证：圆
证明：i(i12…1988)连结图525
∵均AB分∴
分切⊙O∴O四点圆O
∴
∴OAB圆
OAB定点△ABO外接圆圆
圆点问题
谓圆点问题证圆时某点证明圆点问题通常两种方法：
(1)先证两圆相交(切)某点然证点圆类问题转化点圆情形
(2)找出某定点然证明该点圆里定点般特殊点
例1四边形ABCD两组边延长线分交EF两点求证：成四三角形：△ABF△ADE△CDF△BCE外接圆点
分析图149示两较三角形外接圆交AP两点显然两较三角形外接圆点A应设法证明四外接圆点P
证明：设P△ABF△ADE外接圆交点连结PAPBPE
ABPF四点圆∠PBF∠PAF
AEPD四点圆∠DEP∠PAF∠PBF∠DEPEBCP四点圆P△BCE外接圆理P△CDF外接圆△ABF△ADE△CDF△BCE外接圆点P
证明干圆点常方法二：
(1)先证中两圆相交(相切)某点然证明点圆圆点问题转化圆点问题
(2)找出某定点然证明该点诸设圆(定点般特殊点)
例8图7－8△ABC边外作正三角形BCDCAEABF证明：三正三角形外接圆点
证：设△CAE△ABF外接圆交O点连接AOBOCO∠AOC+∠E180º∠AOB+∠F180º∠E∠F60º∠AOC360º－∠AOC－∠AOB120º∠D60º∠BOC+∠D180º
OBDC四点圆△BCD外接圆通O点△BCD△CAE△ABF外接圆点
例9图7－9I△ABC心B作圆直线CI相切I点C作圆直线BI相切I点求证：作两圆△ABC外接圆点
证：
⊙⊙交点D必∠BIC部连接DIDBDC
ABDC四点圆△ABC外接圆通D点说三圆点
练
1．设梯形ABCD中AB∥CDEF分腰ADBCABFE四点圆CDEF必四点圆．
2．四边形EFGH顶点次四边形ABCD边AEAHBEBFCFCGDGDH．求证：EFGH四点圆．
1设△ABC正三角形BCAC分点DEBDCDCEAEBEAD相交P求证：PDCE四点圆AP⊥CP
2设△ABCBC边垂直分线∠BAC分线相交D求证：ABCD四点圆
3图两圆相交交点A引两圆直径ABAC交两圆EFBECF直线交两圆PQRS求证：PSQR四点圆
4△ABC中BC分作∠BAC分线垂线EF垂足AD⊥BCDMBC中点求证：MEDF四点圆
5图D△ABCBC边点分△ABC△ADB△ADC外接圆圆心求证：A
四点圆
6Rt△ABC中∠BAC90ºAH⊥BCHSAH中点S点作边行线三边交PQKLMN图求证：PQKLMN六点圆
7设ABCD行四边形∠ABC＞90ºO角线交点点D作角线AC垂线垂足点D作AB边垂线垂足点D作BC边垂线垂足求证：O圆
8已知四边形ABCD角线AC⊥BDAB·CD+BC·AD求证：ABCD四点圆
教材部分答案
第章 数式
111．绝值
1．（1） （2） 2．D 3．3x－18
112．法公式
1．（1） （2） （3）
2．（1）D （2）A
113．二次根式
1． （1） （2） （3） （4）．
2．C 3．1 4．＞
114．分式
1． 2．B 3． 4．
12 式分解 略
第二章 二次方程二次等式
略
第三章 三角形圆
31 相似形
练1
1．D
2．设
3．
4．作交
5．作交
练2
1．
2．1218
3．
4．（1）行四边形（2）时菱形时正方形
5．（1）时（2）
题31
A组
1．B 2B 3
4．直角三角形斜边高证
B组
1．C 2C 3A
4．（1）（2）（3）（2）知
C组
1(1)(2)
2．（1）先证（2）
3．连交连等腰直角三角形AEDF矩形斜边中线直角三角形证等腰直角三角形
4．（1）成立（2）证略
322解写三角形练答案
1． A 2． A 3． B 4． 5． 6． 7．
8． 设∠AOBθθ 时S值 2+
点轨迹 参考答案
填空题
1 点P圆心6cm半径圆
2 线段AB中垂线（AB中点外）
3 O圆心半径6 cm圆
4 直线行距离等5 cm两条直线
5 直线行距离等2 cm两条直线
6 行距离等2条直线
7 角线AC（包括A点）
8 O圆心半径圆
9
10
二 选择题
11 C 12 D 13 C 14 D 15 A
三 解答题
16 求轨迹AO直径圆（A点外）
17 作∠EAF行线∠EAF部作AE行AE距离2 cm条行线交点求点
C
18 点P轨迹O圆心3 cm半径半圆
∴路程
19根余弦定理：
cosA
(b2+c2a2)2bc
18
sinA38
根正弦定理：
DE2RsinA
需R取值
圆心点A线段BC距离等R
圆心轨迹A焦点直线BC准线段抛物线
根抛物线性质顶点准线距离短
圆心位BC边高时R取值
2Rh2S(ABC)BCAB·AC·sinABC54
DE(54)·3810532值
四点圆答案
1△ABD≌△BCE∠BAP∠CBE∠DPB60º∠DCEPDCE圆易证AP⊥CP
2作△ABC外接圆⊙OBC垂直分线必O分设BC垂直分线交中点连AA分∠BACAD∠BAC分线ADA重合二直线相交交点D重合结成立
3设BECF相交HBCEF圆BH·HECH·HF相交弦定理BH·HESH·HRCH·HFPH·HQ∴PH·HQSH·HR结成立
4连结MEMFDE须证∠MEF∠MDEAF分∠BACCF⊥AF称性知延长CF交ABGFCG中点MBC中点FM∥GB∠MFE∠BAE须证∠BDE∠BAF证ABCD四点圆
5连A分垂直分ABACAD∠+∠A180º证结
6连结QKMLQLKMQKLM矩形QKLM圆KMLQ圆直径∠KNM90º∠KLMKLMNKM直径圆周理QKLPQL直径圆周
7略
8设HACBD交点证AC·BDAB·CD+BC·ADABCD四点圆
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现初高中数学教材存脱节：
1绝值型方程等式初中没讲高中没专门容
2立方差公式初中已删讲高中
3式分解中初中限二次项系数1二次三项式分解系数1涉三次高次项式分解作求高中教材中许化简求值解方程等式等
4二次根式中分子分母理化初中作求分子分母理化高中数学中函数等式常解题技巧
5初中教材二次函数求较低学生处解水高中贯穿整数学教材始终重容配方作简图求值域（取值范围）解二次等式判断单调区间求值研究闭区间函数值等等高中数学必须掌握基题型常方法
6二次函数二次等式二次方程间联系根系数关系（韦达定理）初中作求类题目仅限简单常规运算难度应题高中数学中相互转化屡屡频繁教材没专门讲授脱节
7图称移变换初中作简单介绍高中讲授函数时作必备基知识领
8含参数函数方程等式初中定量介绍解高中作重点专题容教材中出现高考必须考综合题型
9中概念（三角形五心：重心心外心垂心旁心）定理（行线等分线段定理行线分线段成例定理射影定理相交弦定理）初中早已删没学
10圆中四点圆性质判定初中没学高中
外象配方法换元法定系数法双十字相法分解式等等等等初中淡化甚老师根没延伸发掘利高中数学学
新课程改革难免会导致知识脱节漏洞书然没详列举出会断研究新课程体系遗余力找新初高中数学教材体系中存足加补充完善
目录
第章 数式
11 数式运算
111 绝值
112 法公式
113 二次根式
114 分式
12 分解式
第二章 二次方程二次等式
21 元二次方程
211 根判式
212 根系数关系
22 二次函数
221 二次函数yax2+bx+c图性质
222 二次函数三种表达方式
223 二次函数应
23 方程等式
231 二元二次方程组解法
第三章 相似形三角形圆
31 相似形
311 行线分线段成例定理
312 相似三角形形性质判定
32 三角形
321 三角形五心
322 解三角形：钝角三角函数正弦定理余弦定理应
33 圆
331 直线圆圆圆位置关系：圆幂定理
332 点轨迹
333 四点圆性质判定
334 直线圆方程（选学）
11 数式运算
1１1．绝值
绝值代数意义：正数绝值身负数绝值相反数零绝值零．
绝值意义：数绝值数轴表示点原点距离．
两数差绝值意义：表示数轴数数间距离．
例1 解等式：＞4．
解法：
①等式变
＞4解x＜0
x＜1
∴x＜0
②等式变
1＞4
∴存满足条件x
③等式变
＞4 解x＞4．
x≥3
∴x＞4．
综述原等式解
x＜0x＞4．
1
3
A
B
x
0
4
C
D
x
P
|x－1|
|x－3|
图1．1－1
解法二：图1．1－1表示x轴坐标x点P坐标1点A间距离|PA||PA|＝|x－1||x－3|表示x轴点P坐标2点B间距离|PB||PB|＝|x－3|．
等式＞4意义
|PA|＋|PB|＞4．
|AB|＝2知
点P 点C(坐标0)左侧点P点D(坐标4)右侧．
x＜0x＞4．
练
1．填空：
（1）x_________x_________
（2）果b＝________c＝________
2．选择题：
列叙述正确 （ ）
（A） （B）
（C） （D）
3．化简：|x－5|－|2x－13|（x＞5）．
112 法公式
初中已学列法公式：
（1）方差公式
（2）完全方公式 ．
通证明列法公式：
（1）立方公式
（2）立方差公式
（3）三数方公式
（4）两数立方公式
（5）两数差立方公式 ．
面列出五公式兴趣学证明．
例1 计算：．
解法：原式
．
解法二：原式
．
例2 已知求值．
解： ．
练
1．填空：
（1）（ ）
（2）
(3 ) ．
2．选择题：
（1）完全方式等 （ ）
（A） （B） （C） （D）
（2）实数值 （ ）
（A）总正数 （B）总负数
（C）零 （D）正数负数
113．二次根式
般形代数式做二次根式．根号含字母够开方式子称理式 例 等理式等理式．
1．分母（子）理化
分母（子）中根号化做分母（子）理化．进行分母（子）理化需引入理化式概念．两含二次根式代数式相果积含二次根式说两代数式互理化式例
等等． 般互理化式．
分母理化方法分母分子分母理化式化分母中根号程分子理化分母分子分母理化式化分子中根号程
二次根式化简运算程中二次根式法参项式法进行运算中运公式二次根式法通常先写成分式形式然通分母理化进行运算二次根式加减法项式加减法类似应化简基础括号合类二次根式．
2．二次根式意义
例1 列式子化简二次根式：
（1） （2） （3）．
解： （1）
（2）
（3）．
例2 计算：．
解法： ＝
＝
＝
＝
＝．
解法二： ＝ ＝ ＝＝＝．
例3 试较列组数：
（1） （2）
解： （1）∵
∴＜．
（2）∵
4＞2
∴＋4＞＋2
∴＜
例4 化简：．
解：
＝＝
＝＝．
例 5 化简：（1） （2）．
解：（1）原式 ．
（2）原式
∵∴原式＝．
例 6 已知求值 ．
解： ∵
∴．
练
1．填空：
（1）＝__ ___
（2）取值范围_ _ ___
（3）__ ___
（4）______ __．
2．选择题：
等式成立条件 （ ）
（A） （B） （C） （D）
3．求值．
4．较：2－ －（填＞＜）．
11４．分式
1．分式意义
形式子B中含字母称分式．M≠0时分式具列性质：
．
述性质称分式基性质．
2．繁分式
样分子分母中含分式分式做繁分式．
例1 求常数值．
解： ∵
∴ 解 ．
例2 （1）试证：（中n正整数）
（2）计算：
（3）证明：意1正整数n ．
（1）证明：∵
∴（中n正整数）成立．
（2）解：（1）知
＝．
（3）证明：∵＝＝
n≥2n正整数∴定正数
∴＜．
例3 设e＞12c2－5ac＋2a2＝0求e值．
解：2c2－5ac＋2a2＝0两边a2
2e2－5e＋2＝0
∴(2e－1)(e－2)＝0
∴e＝＜1舍e＝2．
∴e＝2．
练
1．填空题：意正整数n ()
2．选择题：
＝ （ ）
（A）１ （B） （C） （D）
3．正数满足求值．
4．计算．
题1．1
A 组
1．解等式：
(1) (2)
(3) ．
２．已知求值．
3．填空：
（1）＝________
（2）取值范围________
（3）________．
B 组
1．填空：
（1）____ ____
（2）__ __
2．已知：求值．
C 组
1．选择题：
（1） （ ）
（A） （B） （C） （D）
（2）计算等 （ ）
（A） （B） （C） （D）
2．解方程．
3．计算：．
4．试证：意正整数n＜．
12式分解
式分解方法：十字相法提取公式法公式法分组分解法外应解求根法定系数法．
1．十字相法
例1 分解式：
（1）x2－3x＋2 （2）x2＋4x－12
（3） （4）．
解：（1）图1．1－1二次项x2分解成图中两x积常数项2分解成－1－2积图中角线两数积－3xx2－3x＋2中次项
x2－3x＋2＝(x－1)(x－2)．
－ay
－by
x
x
图1．1－4
－2
6
1
1
图1．1－3
－1
－2
1
1
图1．1－2
－1
－2
x
x
图1．1－1
说明：分解例类似二次三项式时直接图1．1－1中两x1表示（图1．1－2示）．
（2）图1．1－3
x2＋4x－12＝(x－2)(x＋6)．
（3）图1．1－4
－1
1
x
y
图1．1－5
＝
（4）＝xy＋(x－y)－1
＝(x－1) (y+1) （图1．1－5示）．
课堂练
填空题：
1列式分解式：
（1）__________________________________________________
（2）__________________________________________________
（3）__________________________________________________
（4）__________________________________________________
（5）__________________________________________________
（6）__________________________________________________
（7）__________________________________________________
（8）__________________________________________________
（9）__________________________________________________
（10）__________________________________________________
2
3
二选择题：（题四答案中正确）
1项式（1）（2）（3）（4）
（5）中相式（ ）
A（1）（2） B（3）（4）
C（3）（5） D（1）（2）（3）（4）（3）（5）
2分解式（ ）
A B C D
3分解式（ ）
A B
C D
4项式分解值（ ）
A B C D
5中整数值（ ）
A B C D
三列式分解式
1 2
3 4
2．提取公式法
例2 分解式：
（1） （2）
解： （1）．
（2）
．
＝＝＝
＝ ＝
课堂练：
填空题：
1项式中项公式_______________
2__________________
3____________________
4_____________________
5______________________
6分解式_____________________
7．计算
二判断题：（正确√错误× ）
1………………………………………………………… （ ）
2…………………………………………………………… （ ）
3…………………………………………… （ ）
4……………………………………………………………… （ ）
3：公式法
例3 分解式： （1） （2）
解：(1)
(2)
课堂练
公式______________________________
二判断题：（正确√错误× ）
1………………………… （ ）
2 ………………………………… （ ）
3………………………………………………… （ ）
4………………………………………… （ ）
5……………………………………………… （ ）
五列式分解
1 2
3 4
4．分组分解法
例4 （1） （2）．
（2）
．
．
课堂练：分组分解法分解项式（1）
（2）
5．关x二次三项式ax2+bx+c(a≠0)式分解．
关x方程两实数根二次三项式分解
例5 列关x二次项式分解式：
（1） （2）．
解： （1）令0解
∴
．
（2）令0解
∴．
练
1．选择题：
项式式 （ ）
（A） （B） （C） （D）
2．分解式：
（1）x2＋6x＋8 （2）8a3－b3
（3）x2－2x－1 （4）．
题1．2
1．分解式：
（1） （2）
（3） （4）．
2．实数范围式分解：
（1） （2）
（3） （4）．
3．三边满足试判定形状．
4．分解式：x2＋x－(a2－a)．
5 （尝试题）已知abc1a+b+c2a²+b²+c²求++值
21 元二次方程
211根判式
{情境设置：先学生通具体实例探索二次方程根求法
求方程根（1）(2) (3) }
知道元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）配方法变形
． ①
a≠04a2＞0．
（1）b2－4ac＞0时方程①右端正数原方程两相等实数根
x12＝
（2）b2－4ac＝0时方程①右端零原方程两等实数根
x1＝x2＝－
（3）b2－4ac＜0时方程①右端负数方程①左边定等零原方程没实数根．
知元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）根情况b2－4ac判定b2－4ac做元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）根判式通常符号Δ表示．
综述元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）
（1） Δ＞0时方程两相等实数根x12＝
（2）Δ＝0时方程两相等实数根x1＝x2＝－
（3）Δ＜0时方程没实数根．
例1 判定列关x方程根情况（中a常数）果方程实数根写出方程实数根．
（1）x2－3x＋3＝0 （2）x2－ax－1＝0
（3） x2－ax＋(a－1)＝0 （4）x2－2x＋a＝0．
解：（1）∵Δ＝32－4×1×3＝－3＜0∴方程没实数根．
（2）该方程根判式Δ＝a2－4×1×(－1)＝a2＋4＞0方程定两等实数根
．
（3）该方程根判式
Δ＝a2－4×1×(a－1)＝a2－4a＋4＝(a－2)2
①a＝2时Δ＝0方程两相等实数根
x1＝x2＝1
②a≠2时Δ＞0 方程两相等实数根
x1＝1x2＝a－1．
（3）该方程根判式
Δ＝22－4×1×a＝4－4a＝4(1－a)
①Δ＞04(1－a) ＞0a＜1时方程两相等实数根
②Δ＝0a＝1时方程两相等实数根
x1＝x2＝1
③Δ＜0a＞1时方程没实数根．
说明：第34题中方程根判式符号着a取值变化变化解题程中需a取值情况进行讨方法做分类讨．分类讨思想方法高中数学中非常重方法解题中会常运方法解决问题．
212 根系数关系（韦达定理）
元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）两实数根
．
元二次方程根系数间存列关系：
果ax2＋bx＋c＝0（a≠0）两根分x1x2x1＋x 2＝x1·x2＝．关系称韦达定理．
特二次项系数1元二次方程x2＋px＋q＝0x1x2两根韦达定理知
x1＋x 2＝－px1·x2＝q
p＝－(x1＋x 2)q＝x1·x2
方程x2＋px＋q＝0化 x2－(x1＋x 2)x＋x1·x2＝0x1x2元二次方程x2＋px＋q＝0两根x1x2元二次方程x2－(x1＋x 2)x＋x1·x2＝0．
两数x1x2根元二次方程（二次项系数1）
x2－(x1＋x 2)x＋x1·x2＝0．
例2 已知方程根2求根k值．
分析：已知方程根直接根代入求出k值方程解出根．学韦达定理利韦达定理解题已知方程根方程二次项系数常数项利两根积求出方程根两根求出k值．
解法：∵2方程根∴5×22＋k×2－6＝0∴k＝－7．
方程5x2－7x－6＝0解x1＝2x2＝－．
方程根－k值－7．
解法二：设方程根x1 2x1＝－∴x1＝－．
（－）＋2＝－ k＝－7．
方程根－k值－7．
例3 已知关x方程x2＋2(m－2)x＋m2＋4＝0两实数根两实数根方两根积21求m值．
分析： 题利韦达定理实数根方两根积21关m方程解m值．解题中需特注意方程两实数根根判式应零．
解：设x1x2方程两根韦达定理
x1＋x2＝－2(m－2)x1·x2＝m2＋4．
∵x12＋x22－x1·x2＝21
∴(x1＋x2)2－3 x1·x2＝21
[－2(m－2)]2－3(m2＋4)＝21
化简 m2－16m－17＝0
解 m＝－1m＝17．
m＝－1时方程x2＋6x＋5＝0Δ＞0满足题意
m＝17时方程x2＋30x＋293＝0Δ＝302－4×1×293＜0合题意舍．
综m＝17．
说明：（1）题解题程中先研究满足方程两实数根应m范围然两实数根方两根积21求出m值取满足条件m值．
（1）解题程中果仅仅韦达定理解题时考虑根判式Δ否零．韦达定理成立前提元二次方程实数根．
例4 已知两数4积－12求两数．
分析：设出两数分xy利二元方程求解出两数．利韦达定理转化出元二次方程求解．
解法：设两数分xy
x＋y＝4 ①
xy＝－12． ②
① y＝4－x
代入②
x(4－x)＝－12
x2－4x－12＝0
∴x1＝－2x2＝6．
∴
两数－26．
解法二：韦达定理知两数方程x2－4x－12＝0两根．
解方程x1＝－2x2＝6．
两数－26．
说明：面两种解法难发现解法二（直接利韦达定理解题）解法简捷．
例5 x1x2分元二次方程2x2＋5x－3＝0两根．
（1）求| x1－x2|值 （2）求值（3）x13＋x23．
解：∵x1x2分元二次方程2x2＋5x－3＝0两根
∴．
（1）∵| x1－x2|2＝x12+ x22－2 x1x2＝(x1＋x2)2－4 x1x2＝＝＋6＝
∴| x1－x2|＝．
（2）．
（3）x13＋x23＝(x1＋x2)( x12－x1x2＋x22)＝(x1＋x2)[ ( x1＋x2) 2－3x1x2]
＝(－)×[(－)2－3×()]＝－．
说明：元二次方程两根差绝值重量常会遇求量问题解题简便探讨出般规律：
设x1x2分元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）
∴| x1－x2|＝
．
面结：
x1x2分元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）| x1－x2|＝（中Δ＝b2－4ac）．
求元二次方程两根差绝值时直接利面结．
例6 关x元二次方程x2－x＋a－4＝0根零根零求实数a取值范围．
解：设x1x2方程两根
x1x2＝a－4＜0 ①
Δ＝(－1)2－4(a－4)＞0． ②
① a＜4
② a＜．∴a取值范围a＜4．
练
1．选择题：
（1）方程根情况 （ ）
（A）实数根 （B）两相等实数根
（C）两相等实数根 （D）没实数根
（2）关x方程mx2＋ (2m＋1)x＋m＝0两相等实数根实数m取值范围 （ ）
（A）m＜ （B）m＞－
（C）m＜m≠0 （D）m＞－m≠0
2．填空
（1）方程x2－3x－1＝0两根分x1x2＝ ．
（2）方程mx2＋x－2m＝0（m≠0）根情况 ．
（3）－31根元二次方程 ．
3．已知k取值时方程kx2＋ax＋b＝0两相等实数根？
4．已知方程x2－3x－1＝0两根x1x2求(x1－3)( x2－3)值．
题21
A 组
1．选择题
（1）已知关x方程x2＋kx－2＝0根1根（ ）
（A）－3 （B）3 （C）－2 （D）2
（2）列四说法：
①方程x2＋2x－7＝0两根－2两根积－7
②方程x2－2x＋7＝0两根－2两根积7
③方程3 x2－7＝0两根0两根积
④方程3 x2＋2x＝0两根－2两根积0．
中正确说法数 （ ）
（A）1 （B）2 （C）3 （D）4
（3）关x元二次方程ax2－5x＋a2＋a＝0根0a值（ ）
（A）0 （B）1 （C）－1 （D）0－1
2．填空
（1）方程kx2＋4x－1＝0两根－2k＝ ．
（2）方程2x2－x－4＝0两根αβα2＋β2＝ ．
（3）已知关x方程x2－ax－3a＝0根－2根 ．
（4）方程2x2＋2x－1＝0两根x1x2| x1－x2|＝ ．
3．试判定m取值时关x元二次方程m2x2－(2m＋1) x＋1＝0两相等实数根？两相等实数根？没实数根？
4．求元二次方程两根分方程x2－7x－1＝0根相反数．
B 组
1．选择题
关x方程x2＋(k2－1) x＋k＋1＝0两根互相反数k值 ( )
（A）1－1 （B）1 （C）－1 （D）0
2．填空
（1）mn方程x2＋2005x－1＝0两实数根m2n＋mn2－mn值等 ．
（2）果ab方程x2＋x－1＝0两实数根代数式a3＋a2b＋ab2＋b3值 ．
3．已知关x方程x2－kx－2＝0．
（1）求证：方程两相等实数根
（2）设方程两根x1x2果2(x1＋x2)＞x1x2求实数k取值范围．
4．元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）两根x1x2．求：
（1）| x1－x2|（2）x13＋x23．
5．关x方程x2＋4x＋m＝0两根x1x2满足| x1－x2|＝2求实数m值．
C 组
1．选择题：
（1）已知直角三角形两条直角边长恰方程2x2－8x＋7＝0两根直角三角形斜边长等 （ ）
（A） （B）3 （C）6 （D）9
（2）x1x2方程2x2－4x＋1＝0两根值 （ ）
（A）6 （B）4 （C）3 （D）
（3）果关x方程x2－2(1－m)x＋m2＝0两实数根αβα＋β取值范围 （ ）
（A）α＋β≥ （B）α＋β≤ （C）α＋β≥1 （D）α＋β≤1
（4）已知abcΔABC三边长方程cx2＋(a＋b)x＋＝0根情况( )
（A）没实数根 （B）两相等实数根
（C）两相等实数根 （D）两异号实数根
2．填空：方程x2－8x＋m＝0两根x1x23x1＋2x2＝18m＝ ．
3． 已知x1x2关x元二次方程4kx2－4kx＋k＋1＝0两实数根．
（1）否存实数k(2x1－x2)( x1－2 x2)＝－成立？存求出k值存说明理
（2）求－2值整数实数k整数值（3）k＝－2试求值．
4．已知关x方程．
（1）求证：m取什实数时方程总两相异实数根
（2）方程两实数根x1x2满足|x2|＝|x1|＋2求m值相应x1x2．
5．关x方程x2＋x＋a＝01零根1求实数a取值范围．
2．2 二次函数
221 二次函数y＝ax2＋bx＋c图象性质
情境设置：先学生通具体实例探索二次函数图象作图
（1） (2) (3)
问题1 函数y＝ax2y＝x2图象间存样关系？
研究问题先画出y＝2x2y＝x2y＝－2x2图象通函数图象函数y＝x2图象间关系推导出函数y＝ax2y＝x2图象间存关系．
先画出函数y＝x2y＝2x2图象．
先列表：
x
…
－3
－2
－1
0
1
2
3
…
x2
…
9
4
1
0
1
4
9
…
2x2
…
18
8
2
0
2
8
18
表中难出2x2值相应x2值扩两倍．
描点连线分函数y＝x2y＝2x2图象（图2－1示）图2－1两函数图象间关系：函数y＝2x2图象函数y＝x2图象点坐标变原两倍．
学类似面方法画出函数y＝x2y＝－2x2图象研究两函数图象函数y＝x2图象间关系．
通面研究结：
二次函数y＝ax2(a≠0)图象y＝x2图象点坐标变原a倍．二次函数y＝ax2(a≠0)中二次项系数a决定图象开口方坐标系中开口．
问题2 函数y＝a(x＋h)2＋ky＝ax2图象间存样关系？
图222
x
y
O
－1
y＝2x2
y＝2(x＋1)2
y＝2(x＋1)2＋1
样利特殊函数图象间关系研究间关系．学作出函数y＝2(x＋1)2＋1y＝2x2图象（图2－2示）函数学难发现函数y＝2x2图象左移单位移单位函数y＝2(x＋1)2＋1图象．两函数图象间具形状相位置特点．
类似通画函数y＝－3x2y＝－3(x－1)2＋1图象研究图象间相互关系．
通面研究结：
二次函数y＝a(x＋h)2＋k(a≠0)中a决定二次函数图象开口方h决定二次函数图象左右移h正左移h负右移k决定二次函数图象移
k正移k负移．
面结研究二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)图象方法：
y＝ax2＋bx＋c＝a(x2＋)＋c＝a(x2＋＋)＋c－
y＝ax2＋bx＋c(a≠0)图象作函数y＝ax2图象作左右移移二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)具列性质：
（1）a＞0时函数y＝ax2＋bx＋c图象开口顶点坐标称轴直线x＝－x＜时y着x增减x＞时y着x增增x＝时函数取值y＝．
（2）a＜0时函数y＝ax2＋bx＋c图象开口顶点坐标称轴直线x＝－x＜时y着x增增x＞时y着x增减x＝时函数取值y＝．
x
y
O
x＝－
A
图223
x
y
O
x＝－
A
图224
述二次函数性质分通图2．2－3图2．2－4直观表示出．解决二次函数问题时助函数图利数形结合思想方法解决问题．
y＝x2
y＝2x2
图221
x
O
y
例1 求二次函数y＝－3x2－6x＋1图象开口方称轴顶点坐标值（值）指出x取值时yx增增（减）？画出该函数图象．
x
O
y
x＝－1
A(－14)
D(01)
B
C
图22－5
解：∵y＝－3x2－6x＋1＝－3(x＋1)2＋4
∴函数图象开口
称轴直线x＝－1
顶点坐标(－14)
x＝－1时函数y取值y＝4
x＜－1时y着x增增x＞－1时y着x增减
采描点法画图选顶点A(－14))x轴交点BCy轴交点D(01)五点画出图象（图2－5示）．
说明：例题出根配方性质画函数图象直接选出关键点减少选点盲目性画图更简便图象更精确．
函数y＝ax2＋bx＋c图象作图领：
（1） 确定开口方：二次项系数a决定
（2） 确定称轴：称轴方程
（3） 确定图象x轴交点情况①△>0x轴两交点方程x2＋bx＋c0求出②①△0x轴交点方程x2＋bx＋c0求出③①△<0x轴交点
（4） 确定图象y轴交点情况令x0出yc交点坐标（0c）
（5） 素出草图
练：作出二次函数草图
（1） (2) (3)
例2 某种产品成120元件试销阶段件产品售价x（元）产品日销售量y（件）间关系表示：
x 元
130
150
165
y件
70
50
35
日销售量y销售价x次函数天获利润件产品销售价应定少元？时天销售利润少？
分析：天利润＝日销售量y×(销售价x－120)日销售量y销售价x次函数欲求天获利润值首先需求出天利润销售价x间函数关系然间函数关系求出天利润值．
解：yx次函数设y＝kx＋（B）
x＝130y＝70x＝150y＝50代入方程
解 k＝－1b＝200．∴ y＝－x＋200．
设天利润z（元）
z＝(－x+200)(x－120)＝－x2＋320x－24000＝－(x－160)2＋1600
∴x＝160时z取值1600．
答：售价160元件时天利润1600元．
例3 二次函数y＝x2＋bx＋c图移2单位左移4单位函数y＝x2图求bc值．
解法：y＝x2＋bx＋c＝(x+)2图移2单位左移4单位图函数y＝x2图
解b＝－8c＝14．
解法二：二次函数y＝x2＋bx＋c图移2单位左移4单位函数y＝x2图等价二次函数y＝x2图移2单位右移4单位函数y＝x2＋bx＋c图．
二次函数y＝x2图移2单位右移4单位函数y＝(x－4)2＋2图y＝x2－8x＋14图∴函数y＝x2－8x＋14函数y＝x2＋bx＋c表示函数∴b＝－8c＝14．
说明：例两种解法利二次函数图移规律解决问题学牢固掌握二次函数图变换规律．
两种解法反映两种思维方法：解法直接利条件进行正思维解决运算量相较解法二利逆思维原问题等价转化成等价问题解具计算量优点．解题时根题目具体情况选择恰方法解决问题．
例4 已知函数y＝x2－2≤x≤a中a≥－2求该函数值值求出函数取值值时应变量x值．
分析：例中函数变量范围变化范围需a取值进行讨．
解：（1）a＝－2时函数y＝x2图象仅仅应着点(－24)函数值值4时x＝－2
（2）－2＜a＜0时图2．2－6①知x＝－2时函数取值y＝4x＝a时函数取值y＝a2
（3）0≤a＜2时图2．2－6②知x＝－2时函数取值y＝4x＝0时函数取值y＝0
（4）a≥2时图2．2－6③知x＝a时函数取值y＝a2x＝0时函数取值y＝0．
x
y
O
－2
a
①
x
y
O
－2
a
a2
4
图22－6
x
y
O
a
－2
2
4
a2
②
－2
x
y
O
a
a2
4
③
说明：例中利分类讨方法a情形进行讨．外例中研究二次函数变量取值取意实数取部分实数研究解决类问题时通常需助函数图象直观解决问题．
练
1．选择题：
（1）列函数图象中顶点坐标轴 （ ）
（A）y＝2x2 （B）y＝2x2－4x＋2 （C）y＝2x2－1 （D）y＝2x2－4x
（2）函数y＝2(x－1)2＋2函数y＝2x2 （ ）
（A）左移1单位移2单位
（B）右移2单位移1单位
（C）移2单位右移1单位
（D）移2单位右移1单位
2．填空题
（1）二次函数y＝2x2－mx＋n图象顶点坐标(1－2)m＝ n＝ ．
（2）已知二次函数y＝x2+(m－2)x－2mm＝ 时函数图象顶点y轴m＝ 时函数图象顶点x轴m＝ 时函数图象原点．
（3）函数y＝－3(x＋2)2＋5图象开口 称轴 顶点坐标 x＝ 时函数取 值y＝ x 时y着x增减．
3．求列抛物线开口方称轴顶点坐标（）值yx变化情况画出图象．
（1）y＝x2－2x－3 （2）y＝1＋6 x－x2．
4．已知函数y＝－x2－2x＋3变量x列取值范围时分求函数值值求函数取（）值时应变量x值：
（1）x≤－2（2）x≤2（3）－2≤x≤1（4）0≤x≤3．
222 二次函数三种表示方式
通节学知道二次函数表示成两种形式：
1．般式：y＝ax2＋bx＋c(a≠0)
2．顶点式：y＝a(x＋h)2＋k (a≠0)中顶点坐标(－hk)．
述两种表示方法外种形式表示．研究种表示方式先研究二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)图象x轴交点数．
抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)x轴相交时函数值零ax2＋bx＋c＝0． ①
方程①解抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)x轴交点横坐标（坐标零）难发现抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)x轴交点数方程①解数关方程①解数方程①根判式Δ＝b2－4ac关知抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)x轴交点数根判式Δ＝b2－4ac存列关系：
（1）Δ＞0时抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)x轴两交点反抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)x轴两交点Δ＞0成立．
（2）Δ＝0时抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)x轴交点（抛物线顶点）反抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)x轴交点Δ＝0成立．
（3）Δ＜0时抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)x轴没交点反抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)x轴没交点Δ＜0成立．
抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)x轴两交点A(x10)B(x20)x1x2方程ax2＋bx＋c＝0两根
x1＋x2＝x1x2＝ ＝－(x1＋x 2) ＝x1x2．
y＝ax2＋bx＋c＝a() a[x2－(x1＋x 2)x＋x1x2]＝a(x－x1) (x－x2)．
面推导程面结：
抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)x轴交A(x10)B(x20)两点函数关系式表示y＝a(x－x1) (x－x2) (a≠0)．
样表示二次函数第三种方法：
3．交点式：y＝a(x－x1) (x－x2) (a≠0)中x1x2二次函数图象x轴交点横坐标．
求二次函数表达式时根题目提供条件选般式顶点式交点式三种表达形式中某形式解题．
例1 已知某二次函数值2图顶点直线y＝x＋1图象点（3－1）求二次函数解析式．
分析：解例时充分利题目中出条件——值顶点位置二次函数设成顶点式函数图象定点求解出系数a．
解：∵二次函数值2值定顶点坐标
∴顶点坐标2．
顶点直线y＝x＋1
2＝x＋1∴x＝1．
∴顶点坐标（12）．
设该二次函数解析式
∵二次函数图点（3－1）
∴解a＝－2．
∴二次函数解析式y＝－2x2＋8x－7．
说明：解题时值确定出顶点坐标利顶点位置求出顶点坐标然设出二次函数顶点式终解决问题．解题时充分挖掘题目条件巧妙利条件简捷解决问题．
例2 已知二次函数图象点(－30)(10)顶点x轴距离等2求二次函数表达式．
分析：题目条件中二次函数图象两点实际二次函数图象x轴交点坐标函数表达式设成交点式．
解法：∵二次函数图象点(－30)(10)
∴设二次函数y＝a(x＋3) (x－1) (a≠0)
展开 y＝ax2＋2ax－3a
顶点坐标
二次函数图象顶点x轴距离2
∴|－4a|＝2a＝．
二次函数表达式y＝y＝－．
分析二：二次函数图象点(－30)(10)称轴直线x＝－1顶点x轴距离2知顶点坐标2－2二次函数表达式设成顶点式解然利图象点(－30)(10)求函数表达式．
解法二：∵二次函数图象点(－30)(10)
∴称轴直线x＝－1．
顶点x轴距离2
∴顶点坐标2－2．
设二次函数y＝a(x＋1)2＋2y＝a(x＋1)2－2
函数图象点(10)
∴0＝a(1＋1)2＋20＝a(1＋1)2－2．
∴a＝－a＝．
求二次函数y＝－(x＋1)2＋2y＝(x＋1)2－2．
说明：述两种解法分x轴交点坐标顶点坐标两角度利交点式顶点式解题解题程中善利条件选择恰方法解决问题．
例3 已知二次函数图象点(－1－22)(0－8)(28)求二次函数表达式．
解：设该二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)．
函数图象点(－1－22)(0－8)(28)
解 a＝－2b＝12c＝－8．
求二次函数y＝－2x2＋12x－8．
通面道例题学否纳出：什情况分利函数般式顶点式交点式求二次函数表达式？
练
1．选择题
（1）函数y＝－x2＋x－1图象x轴交点数 （ ）
（A）0 （B）1 （C）2 （D）法确定
（2）函数y＝－(x＋1)2＋2顶点坐标 （ ）
（A）(12) （B）(1－2) （C）(－12) （D）(－1－2)
2．填空：
（1）已知二次函数图象x轴交点(－10)(20)该二次函数解析式设y＝a (a≠0) ．
（2）二次函数y＝－x2+2x＋1函数图象x轴两交点间距离 ．
3．根列条件求二次函数解析式．
（1）图象点(1－2)(0－3)(－1－6)
（2）x＝3时函数值5点(111)
（3）函数图象x轴交两点(1－0)(1＋0)y轴交(0－2)．
223 二次函数简单应
函数图象移变换称变换
1．移变换
问题1 二次函数图象进行移时什特点？特点样研究二次函数图象移？
难发现：二次函数图象进行移时具样特点——改变函数图象位置改变形状研究二次函数图象移问题时需利二次函数图象顶点式研究顶点位置．
例1 求二次函数y＝x2－4x＋3图象列移变换图象应函数解析式：
（1）右移2单位移1单位
（2）移3单位左移2单位．
分析：移变换改变函数图象位置改变形状（改变二次项系数）改变二次函数图象顶点位置（改变次项常数项）首先二次函数解析式变形顶点式然移变换二次函数图象顶点位置求出移函数图应解析式．
解：二次函数y＝2x2－4x－3解析式变
y＝2(x－1)2－1
顶点坐标(1－1)．
（1）函数y＝2(x－1)2－1图象右移2单位移1单位函数图象顶点坐标(3－2)移函数图象应函数表达式
y＝2(x－3)2－2．
（2）函数y＝2(x－1)2－1图象移3单位左移2单位函数图象顶点坐标(－1 2)移函数图象应函数表达式
y＝2(x＋1)2＋2．
2．称变换
问题2 二次函数图象关坐标轴行直线进行称变换时什特点？特点样研究二次函数图象移？
难发现：二次函数图象关坐标轴行直线进行称变换时具样特点——改变函数图象位置开口方改变形状研究二次函数图象称变换问题时关键抓住二次函数顶点位置开口方解决问题．
x
y
O
x＝－1
A(1－1)
A1(－3－1)
图22－7
例2 求二次函数y＝2x2－4x＋1图象关列直线称图象应函数解析式：
（1）直线x＝－1
（2）直线y＝1．
解：（1）图2．2－7二次函数y＝2x2－4x＋1图象关直线x＝－1作称变换改变图象顶点位置改变形状．
y＝2x2－4x＋1＝2(x－1)2－1知函数y＝2x2－4x＋1图象顶点A(1－1)称图象顶点A1(－31)二次函数y＝2x2－4x＋1图象关直线x＝－1称图象函数解析式y＝2(x＋3)2－1y＝2x2＋12x＋17．
x
y
O
y＝1
A(1－1)
B(13)
图22－8
（2）图2．2－8二次函数y＝2x2－4x＋1图象关直线x＝－1作称变换改变图象顶点位置开口方改变形状．
y＝2x2－4x＋1＝2(x－1)2－1知函数y＝2x2－4x＋1图象顶点A(1－1)称图象顶点B(13)开口二次函数y＝2x2－4x＋1图象关直线y＝1称图象函数解析式y＝－2(x－1)2＋3y＝－2x2＋4x＋1．
练
1．选择题：
函数y＝－(x－1)2＋4图象左移2单位移3单位图象应解析式 （ ）
（A）y＝ (x＋1)2＋1 （B）y＝－(x＋1)2＋1
（C）y＝－(x－3)2＋4 （D）y＝－(x－3)2＋1
2某商场销售批名脾衬衫均天售出20件件盈利40元扩销售增加盈利快减少库存商场决定采取适降价措施．调查发现件衬衫降价1元 商场均天售出2件：
(1)商场均天盈利1200元件衬衫降价少元
(2)件衬衫降价少元时商场均天盈利
231二元二次方程组简单二元二次方程组解法
知识概述
1二元二次方程
含两未知数含未知数项高次数2整式方程二元二次方程．
关xy二元二次方程般形式ax2＋bxy＋cy2＋dx＋ey＋f0(abc少0)中ax2bxycy2做二次项abc分二次项系数dxey做次项de分次项系数f做常数项．
例xy1x2－y0x－y－2xy－3二元二次方程x－y1x2y0二元二次方程．
2二元二次方程组
二元次方程二元二次方程组组成方程组者两二元二次方程组成方程组二元二次方程组．
3解二元二次方程组思想方法
解二元二次方程组基思想转化二元转化元二次转化次转化基方法消元降次．掌握消元降次方法技巧解二元二次方程组关键．
二重点难点疑点突破
1二元次方程二元二次方程组成方程组解法(简称二·型方程组)
(1)代入消元法(代入法)
代入法解二·型方程组般方法具体步骤：
①先方程组中二元次方程变形含未知数代数式表示未知数
②代数式代入方程中转化元二次方程元次方程
③解元二次方程元次方程求出未知数值
④求未知数值代入第步关系中求出未知数值
⑤写出方程组解．
(2)逆根系数关系定理法
二·型二元二次方程组成形方程组根元二次方程根系数关系xy成元二次方程z2az＋b0两根解方程求z1z2值xy值x1z1时y1z2x2z2时y2z1原方程组解两组称解．
2二·型二元二次方程组解情况判
二·型二元二次方程组实数解三种情况：解两解没解．元次方程代入二元二次方程消未知数元二次方程．根判式知解情况两相等实数解两相等实数解实数解样二元二次方程组解相应三种情况．简言二元次方程二元二次方程组实数解情况般通元二次方程根判式判断．
3二·二型方程组解法
解二·二型方程组基思想转化转化方法降次消元．般解法：
(1)方程组中分解两二元次方程方程时分解两二元次方程分原方程组中二元二次方程组成两二·型方程组解两二·型方程组解原方程组解．
(2)方程组中两二元二次方程分解两二元次方程时第二元二次方程分解二元次方程分第二二元二次方程分解二元次方程组成方程组四二元次方程组解四二元次方程组解原方程组解．
4二·二型方程组解情况
二元二次方程化成两二元次方程般组成方程组．
值注意二·型方程组两解二·二型方程组四解．解方程组时漏解增解．
三解题方法技巧点拨
1二·型二元二次方程组解
例1解方程组
分析：
方程组含二元次方程代入法解第种解法果①变形(x＋y)24x＋y2x＋y－2原方程组变形两二元次方程组．解两二元次方程组解原方程组解第二种解法．
解法1：
②x2y＋5 ③
③代入①(2y＋5)2＋2y(2y＋5)＋y24．
整理3y2＋10y＋70．
点评：解二·型二元二次方程组般常采前种解法先代入消元分解降次(公式法)求解．例第二种解法种特殊解法适合特殊形式方程组．
分解：
仔细观察方程组难发现方程组代入法解外联系通构造xy根元二次方程求解．
解法1：
①y8－x．③
③代入②整理x2－8x＋120．
解x12x26．
x12代入③y16．x16代入③y2 2．
解法2：
根韦达定理知xy元二次方程z2－8z＋120两根解方程
z12z26．
点悟：代入法解二元次方程二元二次方程组成二元二次方程组般方法适范围广逆韦达定理法然简便适两数两根积形式出方程组适范围较．
2方程分解降次方程组解法
例3解方程组
分析：
观察方程②(x－y)成整体方程②作关 (x－y)元二次方程分解(x－y－3)(x－y＋1)0两二元次方程x－y－30x－y＋10．
两二元次方程分方程①组成两方程组：
分解两方程组原方程组解．
解：
②(x－y－3)(x－y＋1)0．
∴x－y－30x－y＋10．
∴原方程组化两方程组：
3两方程分解降次方程组解法
例4解方程组
分析： 方程①右边零左边式分解达降次目方程②左边完全方式右边1两边开方达降次目．
解： ①(x－4y)(x＋y)0
∴x－4y0x＋y0
②(x＋2y)21
∴x＋2y1x＋2y－1．
原方程化四方程组
点评：二元二次方程分解出两二元次方程组成方程组样会出现增解问题时注意防止漏解现象．
4已知解情况确定字母系数
例5k值时方程组
(1)实数解求出解
(2)两实数解
(3)没实数解．
分析：
考知识点：二元二次方程组解法根判式先代入法消未知数y关x元二次方程根根判式讨．
解：
①代入②整理k2x2＋(2k－4)x＋10 ③
△(2k－4)2－4×k2×1－16(k－1)．
点悟：解种题型规律般方程组转化元二次方程利△0△＞0△＜0讨．
解题易错点元二次方程中x2系数k2等0容易忽略．
练
解方程组
（1）
（2）
232元二次等式解法
1元二次方程元二次等式二次函数关系
2元二次等式解法步骤
元二次等式解集：
设相应元二次方程两根等式解种情况表：
二次函数
（）图象
元二次方程
两相异实根
两相等实根
实根
R
例1 解等式：
（1）x2＋2x－3≤0 （2）x－x2＋6＜0
（3）4x2＋4x＋1≥0 （4）x2－6x＋9≤0
（5）－4＋x－x2＜0．
例2 解关x等式
解：原等式化：
例3 已知等式解求等式解．
解：等式解知
方程两根分23
∴
．
等式变
－
整理
等式解
x＜－1x＞．
说明：例利方程等式间相互关系解决问题．
练
1．解列等式：
（1）3x2－x－4＞0 （2）x2－x－12≤0
（3）x2＋3x－4＞0 （4）16－8x＋x2≤0．
2解关x等式x2＋2x＋1－a2≤0（a常数）．
作业：
10
2果方程ax2＋bx＋b＝0中a＜0两根x1x2满足x1＜x2等式ax2＋bx＋b＜0解______
3．解列等式：
（1）3x2－2x＋1＜0 （2）3x2－4＜0
（3）2x－x2≥－1 （4）4－x2≤0．
(5)4+3x－2x2≥0 (6)9x2－12x>－4
4．解关x等式x2－(1＋a)x＋a＜0（a常数）．
5．关x等式解
求关x等式解．
3．1 相似形
311．行线分线段成例定理
解决问题时常涉线段长度长度问题数学学研究中发现行线常产生重长度
图311
张方格纸作行线（图311）直线交点作直线交点难发现
结般化纳出行线分线段成例定理：
三条行线截两条直线应线段成例
图312然出运该定理解决问题程中定注意线段间应关系应线段成例
例1 图312
求
图312
解
例2 中边点
求证：
证明（1）
∽
证明（2） 图313作直线
作交
图313
例出结：
行三角形边直线截两边（两边延长线）应线段成例
行三角形边两边相交直线截三角形三边原三角形三边应成例
例3 已知否找点线段中点
解 假设找图314设交中点作交
图314
中点
见中点时中点
探索存性问题时常常先假设存解解存解矛盾存
例4 中分线求证：
证明 C作CEAD交BA延长线E
AD分
知
图315
例4结称角分线性质定理叙述角分线分边成例（等该角两边）
练1
图317
图316
1．图316列例式正确（ ）
A． B．
C． D
2．图317求
3．图中AD角BAC分线AB5cmAC4cmBC7cm求BD长
图318
4．图中外角分线交延长线点求证：（三角形外角分线定理）
图3110
图319
5．图边ABAC分取DE两点BDCEDE延长线交BC延长线F求证：
312．相似形
学三角形相似判定方法想想方法判定两三角形相似？方法判定两直角三角形相似？
例5 图3111四边形ABCD角线相交点O求证：
证明 中
∽
图3111
中
∽
例6 图3112直角三角形ABC中直角
求证：（1）
图3112
（2）
证明 （1）中
∽
理证
（2）中
∽
例题结称射影定理该定理直角三角形运算
例7 中求图3113
证：
证明
直角三角形
射影定理知
理
例8 图3114中边中点边意点交点某学生研究问题时发现事实：
图3114
（1） 时（图3114a）
（2） 时（图3114b）
（3） 时（图3114c）
图3114d中时参述研究结请猜想n表示般结出证明（中n正整数）
解：题意猜想：时成立
证明 点D作DFBE交AC点F
DBC中点FEC中点
知
想想图3114d中
题中采特殊般思维方法常具体问题中发现规律进作出般性猜想然加证明否定 数学发展史断探索历史
练2
1．图3115D边AB点D点作DEBC交ACE已知AD：DB2：3等（ ）
A． B． C． D．
图3115
2．梯形中位线长15条角线中位线分成两条线段两条线段梯形底长分__________
3．已知：三边长分345相似边长15求面积
4．已知：图3116四边形ABCD 中EFGH分ABBCCDDA中点
（1） 请判断四边形EFGH什四边形试说明理
图3116
（2） 四边形ABCD行四边形角线ACBD满足什条件时EFGH菱形？正方形？
5．图3117点CD线段AB等边三角形
（1） ACCDDB满足样关系时∽？
图3117
（2） ∽时求度数
题31
A组
1． 图3118中ADDFFBAEEGGCFG4（ ）
A．DE1BC7 B．DE2BC6
C．DE3BC5 D．DE2BC8
图3118
2． 图3119BDCE中线PQ分BDCE中点等（ ）
A．1：3 B．1：4
C．1：5 D．1：6
图3119
3． 图3120中EAB延长线点DE交BC点F已知BE：AB2：3求
图3120
4． 图3121矩形ABCD中ECD中点交ACFF作FGAB交AEG求证：
图3121
B组
1． 图3122已知中AE：EB1：3BD：DC2：1ADCE相交F值（ ）
图3122
A． B．1 C． D．2
图3123
2． 图3123已知周长1连结三边中点构成第二三角形连结第二角线三边中点构成第三三角形类推第2003三角形周长（ ）
A． B． C． D．
图3124
3． 图3124已知M边AB中点CM交BD点E图中阴影部分面积面积（ ）
A． B． C． D．
4． 图3125梯形ABCD中ADBCEF梯形角线交点OEFAD
（1） 求证：OEOF
（2） 求值
图3125
（3） 求证：
C组
1． 图3126中P边AB点连结CP
（1） ∽补充条件____________
（2） ∽_____
图3126
2． 图3127点E四边形ABCD角线BD点
（1） 求证：
图3127
（2） 根图形特点猜想等两条线段（须写出图中已线段组）？证明猜想
3． 图3128中ABAC点DBC点FEMBC中点试判断什形状三角形证明结
图3128
4． 图3129a垂足分BDADBC相交EF证明成立
图3129
图3129a中垂直改斜交图3129 b相交EEFAB交BDF：
（1） 成立？果成立请出证明果成立请说明理
（2） 请找出间关系出证明
32三角形
321三角形五心
三角形重基面图形较复杂图形问题化三角形问题
图321
图322
图321 三角形△ABC中三条边三顶点三角形中角分线中线高（图322）三角形中三种重线段
三角形三条中线相交点交点称三角形重心三角形重心三角形部恰条中线三等分点
例1 求证三角形三条中线交点该交点分成两段长度2：1
已知 DEF分△ABC三边BCCAAB中点
求证 ADBECF交点该点分成2：1
图323
证明 连结DE设ADBE交点G
DE分BCAE中点DEAB
∽相似1：2
设ADCF交点理
图324
重合
ADBECF交点该点分成
三角形三条角分线相交点三角形心 三角形心三角形部三角形三边距离相等（图325）
图325
例2 已知三边长分I心I
边射影分求证：
证明 作切圆分切圆三边切点
圆点作两条切线
理BDBFCDCE
图326
例3 三角形心重心点求证：三角形正三角形
已知 O三角形ABC重心心
求证 三角形ABC等边三角形
证明 图连AO延长交BCD
O三角形心AD分
（角分线性质定理）
O三角形重心DBC中点BDDC
图327
理ABBC
等边三角形
三角形三条高直线相交点该点称三角形垂心锐角三角形垂心定三角形部直角三角形垂心直角顶点钝角三角形垂心三角形外部（图328）
图328
例4 求证：三角形三条高交点
已知 中ADBE交H点
求证
证明 CH直径作圆
CH直径圆
理EDAB直径圆
图329
公角
线三点ABC圆该圆三角形ABC外接圆圆心O三角形
外心三角形外心三顶点距离相等边垂直分线交点
练1
1．求证：三角形垂心重心重合求证：该三角形正三角形
2． （1） 三角形ABC面积S三边长分三角形切圆半径 ___________
（2）直角三角形三边长分（中斜边长）三角形切圆半径 ___________ 请说明理
322解斜三角形
回顾直角三角形四锐角三角函数概念
1正弦余弦正切余切 2特殊角三角函数值
二直角三角形边角公式：方关系商关系倒数关系
sin2a+cos2a1 tga ctga tg2a·ctg2a1
分写出变形式：
三讲授坐标系钝角三角函数（A钝角）
sinAsin(1800A) cosAcos(1800A) tgAtg(1800A) ctgActg (1800A)
画图举例说明：正弦值﹢余﹣
四正弦定理余弦定理
正弦定理 三角形边长度角正弦值相等等外接圆直径
证明（传统证法）意斜△ABC中：
S△ABC
两边 ：
余弦定理 三角形边方等两边方减两边夹角余弦积两倍
a2 b2 +c22bccosA 变形式：
b2 c2 +a22accosB 变形式：
c2 a2 +b22abcosC 变形式：
五．例题分析
例1 △ABC中已知a3c3∠A30°求∠Cb
分析 已知两边边角求边角正弦定理．注意已知两边边角应三角形确定讨．
解 ∵∠A30°a＜cc·sinA＜a ∴题两解．
sinC ∴∠C60°∠C120°．
∴∠C60°时∠B90°b6．
∠C120°时∠B30°ba3．
点评 已知两边边角三角形确定解答时注意讨．
例2 △ABC中已知acosAbcosB判断△ABC形状．
分析 欲判断△ABC形状需已知式变形．式中含边含角直接变形难进行三角函数换成边进行代数变形边换成三角函数进行三角变换．
解 方法：余弦定理 a·（）b·（）
∴a 2c 2－a 4－b 2c 2+b 40 ．
∴(a2－b2)(c 2－a2－b2)0 ．
∴a2－b20c2－a2－b20．
∴abc2a2+b2．
∴△ABC等腰三角形直角三角形．
方法二：acosAbcosB 2RsinAcosA2RsinBcosB．
∴sin2Asin2B． ∴2A2B2A1800－2B．
∴ABA+B900．
∴△ABC等腰三角形直角三角形．
点评 已知式中含边含角运余弦定理正弦定理角换成边边换成角然进行代数三角恒等变换．
例3 已知圆接四边形ABCD边长分AB2
BC6CDDA4求四边形ABCD面积．
·
A
B
C
D
O
分析 四边形ABCD面积等△ABD△BCD
面积三角形面积公式∠A+∠Cπ知需
求出∠A．需寻找∠A方程．
解 连结BD四边形ABCD面积
SS△ABD+S△CDBAB·AD·sinA+BC·CD·sinC．
∵A+C180° ∴sinAsinC．
S（2×4+6×4）sinA16sinA．
△ABD中余弦定理BD2AB2+AD2－2AB·ADcosA20－16cosA ．
△CDB中余弦定理BD2CB2+CD2－2CB·CD·cosC52－48cosC．
∴20－16cosA52－48cosC．
∵cosC－cosA ∴64cosA－32cosA－ ．
∵0°＜A＜180°∴A120°．
A
P
C
B
b
a
S16sin120°8 ．
点评 注意两三角形公边解题中运．
例4 墙壁幅图画端距观察者水视线b米
端距水视线a米问观察者距墙壁少米时
观察者视角．
分析 图观察者视角∠APB
需寻找∠APB目标函数．已知关边长
考虑运三角函数解．
解 设观察者距墙壁x米P处观察PC⊥ABACbBCa(0＜a＜b)
∠APBθ视角．
ytanθtan(∠APC－∠BPC)
≤ 仅x x时y．
θ∈（0）ytanθ（0）增函数仅x时视角．
点评 注意运直角三角形中三角函数定义解决解三角形关问题．
练
1．△ABC中tanA+tanB+tanAtanBsinAcosA该三角形 （ ）
A．等边三角形 B．钝角三角形
C．直角三角形 D．等边三角形直角三角形
2．△ABC中已知（b+c）∶(c+a)∶(a+b)4∶5∶6三角形角 （ ）
A．120° B．150° C．60° D．90°
3．AB锐角△ABC两角点P（cosB－sinAsinB－cosA） （ ）
A．第象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
4．△ABC中sinA∶sinB∶sinC5∶12∶13cosA ．
5．△ABC中3sinA+4cosB64sinB+3cosA1∠C ．
6．已知abc△ABC中∠A∠B∠C边S△ABC面积a4b5s5求c长度．
A
C
B
O
A
7．△ABC中sin2A－sin2B+sin2CsinAsinC试求角B．
8．半圆O直径2A直径延长线点OA2
B半圆意点AB边外作等边△ABC问B
点什位置时四边形OACB面积求出
面积．
33 圆
331圆幂定理应
教学目标
1学生理解相交弦定理切割线定理推间相互关系综合运解
决关问题
2通例题分析提高学生分析问题解决问题力领悟添加辅助线方
法
3运动观点统认识圆幂定理学生进行事物间相互联系运动变化
观点教育
教学重点难点
相交弦定理切割线定理推间关系应重点灵活运圆幂定理解题
难点
教学程设计
学生原认知结构提出问题
1根图7162(1)(2)(3)学生结合图形说出相交弦定理切割线定理割
线定理容
2然提出问题相交弦定理切割线定理推三者间否联系
提出问题学生思考学生回答基础教师电脑投影演示图形变化程
相交弦定理出发运动观点统认识定理
(1)图7163⊙O两条弦ABCD相交点PPA·PB＝PC·PD便学相交弦定理定理两特例：
果圆两条弦交圆心OPA＝PB＝PC＝PD＝圆半径R时ABCD直径相交弦定理然成立(图7164)
二P点逐渐远离圆心O运动圆时点PBD重合时PB＝PD＝O然PA·PB＝PC·PD＝O相交弦定理然成立(图7165)
(2)点P继续运动运动圆外时两弦延长线交圆外点P成两条割线PA·PB＝PC·PD学切割线定理推(割线定理)(图7166)
(3)图7166中果割线PDC箭头示方绕P点旋转CD两点圆逐渐
合点C割线PCD变成切线PC时PA·PB＝PC·PD＝PC2学切割线定理(图7167)
(4)果割线PAB绕P点外旋转话会成条切线PA时应PA2＝PB2
PA＝PB学切线长定理(图7168)
通点运动线运动变化发现相交弦定理切割线定理推
切线长定理间着密切联系
3启发学生理解定理实质
定点P作圆弦割线切线图7169
观察图7169出：(设⊙O半径R)
图(1)中PA·PB＝PC·PD＝PE·PF
＝(ROP)(R+OP)
＝R2OP2
图(2)中PA·PB＝PT2＝OP2OT2
＝OP2R2
图(3)中PA·PB＝PC·PD＝PT2
＝OP2R2
教师指出PA·PB均等｜OP2R2｜常数做点P关⊙O幂相交弦定理切割线定理推(割线定理)统称圆幂定理
二例题分析(采师生探索讲练结合方式进行)
例1 图7170两O圆心心圆AB切圆BAC切圆C交圆DEAB＝12AO＝15AD＝8求两圆半径
分析：结合图形已知条件根勾股定理容易求出圆半径OB求OC考虑述方法AC未知时根切割线定理先求出AE利垂径定理便求出AC问题解
(学生讨分析出解决)
例2 图7171O圆心两心圆中AB圆意两点AB作圆割线AXYBPQ
求证：AX·AYBP·BQ
分析：面较复杂图形中简单图形组合成题
直接含样图形应考虑通添加适辅助线构造出样图形出
发点师生探索出种辅助线添法
方法1 图7172中点AB分作圆切线ACBDCD切点时出现切割线定理基图形
AC2＝AX·AYBD2＝BP·BQ
连结COAODOBO
易证Rt△AOC≌△Rt△BOD出AC＝BD
AX·AY＝BP·BQ
方法2 图7173中作直线XP交圆EF分延长AYBQ交圆CD样出现相交弦定理基图形
AX·XC＝EX·XFBP·PD＝FP·PE
易证AX＝CYBP＝DQEX＝FP
AX·XC＝AX·AYBP·PD＝BP·BQEX·XF＝FP·PE
AX·AY＝BP·BQ
方法3 图7174点O圆特殊点考虑O点特殊割线作直线AO交圆EF作直线BO交圆CD出现割线定理基图形
AX·AY＝AE·AFBP·BQ＝BC·BD
易证AE＝BCAF＝BD
AE·AF＝BC·BD
AX·AY＝BP·BQ
通方法分析圆关例线段节定理紧密结合起
沟通知识间联系启发学生联想基图形思考辅助线作法证明
题
三练
练1 已知P⊙O外点OP⊙O交点A割线PBC⊙O交点BCPB＝BC果OA＝7PA＝2求PC长
练2 图7175⊙O⊙O′点ABPQ切⊙OP交⊙O′QM交AB延长线N求证：PN2＝NM·NQ
四结
投影重新出圆幂定理基图形(图7176)学生观察说出相应定理
教师指出：定理形式然实质相相互统
五题
1求证：相交两圆公弦延长线点两圆作切线长相等
已知：图5⊙O1⊙O2相交点ABPBA延长线意点PCPD⊙O1⊙O2分切CD两点求证：PCPD
2图6点P作⊙O切线PAA切点PA中点B作割线交⊙OCD连结PC延长交⊙OE连结PD交⊙OF求证：EF∥PA
3图7已知PBD⊙O割线PAPC⊙O切线AC切点求证：
（1）PA·ABPB·AD
（2）
（3）AD·BCAB·DC
提示：（1）证PA·ABPB·AD证PAADPBAB分△PAD△PBA两条边根证两三角形相似显然∠APD∠BPA∠ADP∠BAP△PAD∽△PBA
（2）问题（1）知证需证PA2PB·PD
（3）证AD·BCAB·DC需证问题（1）知类似问题（1）证PAPC
332 点轨迹：三点轨迹
［教学目标］
1 解点轨迹定义
2 掌握五种基轨迹（轨迹定理12345）
3 学会利定理12345求简单轨迹
4 初步学会交轨法作图
二 重点难点：
1 重点：关轨迹5定理轨迹研究点运动作图方面应
2 难点：
（1）利轨迹作图轨迹探求方法
（2）运动问题作图问题结点轨迹问题解决
例1 求列点轨迹
（1）斜边AB固定时求直角顶点C轨迹
（2）已知⊙O弦AB求AB行弦中点轨迹
解：（1）图设OAB中点连结COAB固定O定点CO定长定理定点距离等定长点轨迹定点圆心定长半径圆求轨迹AB直径圆
圆AB两点作AB斜边直角三角形直角顶点应
（2）图动点AB行弦中点变量⊙O弦AB根垂径定理弦中点AB距离相等定理2求中点轨迹弦AB垂直直径（两端点AB中点）
精析：求适合某条件点轨迹基思路题设中条件转化课中某轨迹定理条件根轨迹定理结出求轨迹求出轨迹检查图形中否包含某合题意点果应
例2 求列点轨迹画出图
（1）半径5cm圆中长6cm动弦中点轨迹
（2）相交AB两点等圆外切动圆圆心轨迹
解：（1）图连结OCOA中C弦AB中点根垂径定理：OC⊥AB
长6cm已知线段弦半径5cm圆中运动弦中点轨迹点O圆心半径4cm圆
（2）设P求轨迹意点连结
AB垂直分
线段AB意点⊙O1⊙O2外切动圆圆心
求轨迹中垂线AB线段AB图示
精析：分析求点轨迹思路时设出种代表性情况画出图形（例第（1）题中设AB半径5cm⊙O中条长6cm弦CAB中点然分析AB运动时中点C变化）样便助图形找出反映动点运动特征位置关系数量关系转化某轨迹定理中条件检验求出轨迹时时剔某点条线段段圆弧等例中第（2）题
例3 求4cm长已知线段AB边面积三角形第三顶点C轨迹
解：AB长4cm三角形面积三角形AB边高线长
三角形第三顶点C边AB直线距离6cm
求轨迹线段AB直线行条直线距离等6cm两条行直线（图示）
精析：求点轨迹般步骤：
（1）描出适合点（画出草图）
（2）研究总结点具特点已知条件关系根五轨迹定理中确定求轨迹什图形
（3）根题意考虑否需排特殊点（线段圆弧）然文字叙述完整
例4 图示已知∠EOF点A点B求作点P点P时满足：
（1）∠EOF两边距离相等
（2）点AB距离相等
解：点P∠EOF两边距离相等点P∠EOF分线作∠EOF分线
点PAB两点距离相等点P线段AB中垂线作线段AB中垂线
两线交点P点P求
精析：求作点时满足两（）条件时应单考虑条件确定求作点什轨迹点作出轨迹两（）轨迹交点求作点种作图方法称交轨法作图
例5 已知⊙O定长r点A圆点求作半径r圆点A⊙O切
解：O圆心⊙O半径减定长r差半径画圆
点A圆心定长r半径画圆两圆相交点
圆心定长r半径画圆⊙⊙求作圆（图示）
精析：例交轨法作图求作圆半径已知线段r作图关键找圆心已知条件定点O距离定长（⊙O半径r差）点轨迹定点A距离定长r点轨迹交点
练
1 定点P距离等6cm点轨迹_____________
2 线段AB底边等腰三角形ABC顶点C轨迹_____________
3 已知⊙O'半径4cm⊙O外切⊙O'半径2cm点O'轨迹__________
4 已知动点P直线距离5cm点P轨迹____________
5 半径等2cm直线相切圆圆心轨迹______________
6 图示中∠C＝Rt∠BC边点A已知进行行移动AB边中点Q轨迹____________
7 正方形ABCDABAD两边（延长）相切圆圆心轨迹________
8 半径r定圆O切线长等定长a点轨迹___________
9 动点P绕定点O定点O距离4cm旋转半周点P运动路程_________cm
10 图示半径3cm弹子着半径8 cm圆形钢圈壁滚动3周弹子圆心P运动路程________ cm
二 选择题
11 已知角两边直线距离相等点轨迹（ ）
A 角分线
B 角分线直线
C 角邻补角分线直线
D 角邻补角分线
12 已知线段AB切AB中点E动圆圆心轨迹（ ）
A 线段AB中垂线
B AB垂线（E点）
C 线段AB垂线
D 线段AB中垂线（E点）
13 已知两条行线间距离6 cm两条行线相切动圆圆心轨迹（ ）
A 两条直线行距离等6cm条直线
B 两条直线行距离等3cm两条直线
C 两条直线行距离等3cm条直线
D 两条直线行距离等3cm三条直线
14 点P（xy）直角坐标系运动满足点P轨迹（ ）
A 分第I象限角条射线
B 分第II象限角条射线
C 分第III象限角条射线
D 分第I第III象限角条直线
15 已知抛物线称轴A（30）B（50）距离相等点轨迹b值（ ）
A 4 B 4 C 2 D 2
三 解答题
16 图示已知⊙O⊙O点A求点A端点弦中点轨迹画出图形
17 图示已知∠EAFBAE点求作AB边高线2 cm点CAEAF距离相等
18 图示根木棒两端AB紧钢圈现木棒AB两端紧钢圈逆时针方滑动A'B'位置AB'重合BA'重合ABA'B'已知木棒长8cm钢圈半径5cm求木棒中点P运动路程
19三角形ABC中 BC6 AC5 AB4 点ABC边相切圆分ABAC交点DE 求线段DE长度值
333 证明四点圆基方法
1利圆定义
根圆定义知道面定点等距离点圆圆定点圆心定点点中点距离半径
2利三角形关系
(1)斜边直角三角形顶点圆
(2)底侧张等角三角形顶点圆
已知CD线段AB侧∠ACB∠ADB
求证：ABCD四点圆
证明：图739ABC三点作⊙O
(1)果D点⊙O部延长BD交⊙O连A
∵∠∠C∠ADB＞∠∴∠ADB＜∠C∠ADB∠ACB矛盾
D点⊙O部
(2)图740果D点⊙O外部连ADBD必条线段⊙O相交设BD⊙O交连A
∵∠AB∠ACB∠D＜∠AB
∴∠D＜∠ACB∠ADB∠ACB矛盾
D点⊙O外部
综述D点必⊙O
3利四边形关系
(1)果四边形组角互补两顶点圆(图741)
(2)果四边形外角等角四顶点圆(742)
4利线段积式关系
(1)线段ABCD相交PPA·PBPC·PDABCD四点圆
证明：图743连ADBCAC
△APD△BPC中∵PA·PBPC·PD∴
∠APD∠BPC∴△APD∽△BPC∴∠B∠DBD线段AC侧
ACBD四点圆
(2)两线段ABCD延长线相交PPA·PBPC·PDABCD四点圆(图744)
例1正方形ABCD角线BD点P作边行线交点分EFGH证明交点角线交点O圆心圆
分析：P点选取意性正方形ABCD顶点角线交点固定性应通三角形全等证明OEOFOGOH根圆定义证明四点圆
证明：图745连OEOFOGOH
∵OAOBOC∠OAH∠OBE∠OBF∠OCG45ºAHBEBFCG
∴△OAH≌△OBE≌△OBF≌△OCG
∴OHOEOFOG
EFGH四点圆
例2定点P心圆作切线求证切点圆
分析：切线垂直切点半径条件中存较垂直关系考虑斜边直角三角形顶点圆进行证明
证明：图746连
∵∠OAP∠OP∠OBP∠OP90ºOP斜边
∴AB圆
例3已知ABCD⊙O弦AB∥CDMAB中点DM交⊙OE求证EMOC四点圆
分析：注意斜边直角三角形顶点圆底侧张等角三角形顶点圆区联系前者直角斜边两侧者等角必须底侧题应者进行证明
证明：连OEOMOCMC反延长OMCD交N图747示
∵AB∥CDAMBM∴MCMD∠MCD∠MDC
∠CME∠MCD+∠MDC2∠MDC∠COE2∠MDC∴∠CME∠COEMC线段CE侧
EMOC四点圆
例4两圆交ABB直线交两圆CEBA延长线取点P连PCPE交两圆DF求证：PDAF四点圆
分析：涉四边形时考虑果四边形组角互补四顶点圆考虑果四边外角等角四顶点圆
证法1：图748∠PDA∠ABC∠PFA∠ABE∠ABC+∠ABE180º∠PDA+∠PFA180º
PDAF四点圆
证法2：∠PDA∠ABC∠ABC∠AFE∠AFE∠PDA
PDAF四点圆
例5⊙O外点A作切线ABACBC中点M作弦PQ求证：QPAQ四点圆
分析：相交弦定理逆定理割线定理逆定理证明四点圆较困难题相交弦定理逆定理进行证明
证明：图749连OBOB⊥ABBC⊥OA根射影定理AM·OM
根相交弦定理PM·QMBM·CM
∴AM·OMPM·QM
根相交弦定理逆定理OPAQ四点圆
例1两角边交点ABCD(图518)已知两角分线互相垂直求证：ABCD四点圆
证明：题意设∠AEM∠MEB∠NMF∠AME∠DAB△EAM外角∠DABEN⊥NF∠EPN90º－∠NFM90－∠PFC
∠EPN∠CPF顶角∴∠CPF∠EPN90º－∠BCD△PCF外角∴∠BCD∠PEC+∠CPF(90º－)+(90º－)
∠DAB+∠BCD180
∴ABCD四点圆
例2O△ABC点BOCO分交ACABDE果BE·BA+CD·CA求证：ADOE圆
证明：∵BE·BA+CD·CA∴BE·BA∠①
线段BC存点F(图519)BE·BABF·BC②
①CD·CA－BE·BA(BF+FC)·BC－BF·BC
CD·CAFC·BC③
连AF②知ACFE四点圆∴∠1∠2
③知ABFD四点圆∴∠3∠4
∴∠BAC∠1+∠3∠2+∠4COD∴ADOE四点圆
例3图520设ADBECF△ABC高垂心HNSP分三边中点GTM分AHBHCH中点求证：DEFGTMNSP九点圆
分析：点圆问题结四点圆问题加解决欲证九点圆先证中四点圆证余五点圆周
证明：∵PS∥TM∥BC(PSTMBC)
PT∥SM∥AH(PTSMAH)AD⊥BC∴PTMS矩形
理证TNSG矩形TSNGPM圆三条直径
∠GDN90º∴D圆理EF圆结成立
说明：题著名九点圆定理：意三角形三条高垂足三边中点垂心三顶点连线中点九点圆证明方法述四点圆证明
例4果凸五边形ABCDE中∠ABC∠ADE∠AEC∠ADB求证：∠BAC∠DAE
分析：欲证∠BAC∠DAE图521△ABC△ADE中已知∠CBA∠ADE须证明∠BCA∠DEA
证明：∵∠AEC∠ADB∴AFDE四点圆
∴∠AFE∠ADE∠ADE∠ABC∴∠AFE∠ABC∴ABCF四点圆
∠BCA∠BFA∠DEA
△BCA△DEA中∵∠ABC∠ADE∠BCA∠DEA∴∠BAC∠DAE
例5设⊙⊙⊙两两外切M⊙⊙切点RS分⊙⊙⊙切点连心线交⊙P交⊙Q求证：PQRS四点圆
分析：图522连结MRPR∠PRM90º欲证PQRS四点圆设法证明∠PRS∠Q互补
证明：连结RMPRRSSQ作切线RN四边形PQSR中∠Q∠
∠PRS∠PRM+∠MRN+∠NRS90º+∠P+∠
90º+∠+∠
∴∠Q+∠PRS90º+(∠+∠+∠)90º+90º180º
∴PQRS四点圆
例5凸四边形两组边积等角线积试证：该四边形四顶点圆
分析：题目中直接指明需证某四点圆般采直接寻找圆条件证结果
证：图7－5四边形ABCD中引AEBE∠1∠2∠3∠4
△ABE∽△ACD
①
连结ED∠BAC∠EAD△BAC∽△EAD
②
①+②
题设知BED三点线∠ABD∠ACDABCD四点圆
例2设△ADE接圆O弦BC分交ADAE边FG(图335)求证：四点圆
分析欲证FDEG四点圆已知条件中交弦较圆幂定理逆定理证出AF·ADAG·AE成立FDEG必圆．
证：作交圆ON必⊙O直径
∠FDN∠FMN90°
FDNM四点圆AD·AFAN·AM．
理AG·AEAN·AMAD·AFAG·AE
FDEG四点圆．
点圆问题
里说点圆指四点四点诸点圆问题中四点圆基技应立善灵活运解题实践中者重方法先证中四点圆然证明余点均圆外定义时起作
例1图145示△ABC边ABBCCA分黑点标出C1A1B1边端点现知∠BAC∠B1A1C1证明：黑点顶点三角形相似△ABC
分析证两三角形相似已∠BAC∠B1A1C1设法找出角相等
证明：C1作C1M∥AC图连B1MB1M∥AB四边形AC1MB1行四边形∠B1A1C1∠A∠B1MC1A1C1BM四点圆∠A1B1C1∠A1MC1C1M∥AC∠C∠A1MC1∠A1B1C1△A1B1C1∽△ABC
例2图146示ABCD⊙O接四边形延长ABDC相交E延长ADBC相交FEPFQ分切⊙OPQ求证：EP2+FQ2EF2
分析解题中需证明某四点圆问题较难掌握问题般结逐步推理例证明结中EPFQ均切线妨割线定理着手证明：BCE作⊙O1交EFG连CG∠FDC∠ABC∠CGEFDCG四点圆反复切割线定理
EP2(EG+GF)·EFEG·EF+GF·EFEC·ED+FC·FB
EP2+FQ2EF2EP2+FQ2
例3图147示设A⊙O外点ABAC⊙O分切BCAPQ⊙O条割线B作BR∥AQ交⊙OR连CR交AQM试证：ABCOM五点圆
分析五点圆问题转化四点圆问题
证明：连接OBOCBCOB⊥ABOC⊥ACABOC四点圆BR∥AQ∠GRB∠BAQ∠GBR∠BCR∠BAQ∠BCR∠BAM∠BCMABMC四点圆
ABC三点作圆 ABCOM五点圆
例4AB圆O中定弦作⊙O弦C1D1C2D2…C1998D1998中i(i12…1998)CiDi弦AB分MCiDi作⊙O切线两切线交点PI求证：P1P2…P1998圆周
分析图148示证明1998点圆问题便考察先取定点PI三定点ABO存什关系
证明：先取条弦CIDI(I12…1998)研究
ABCIDI⊙OMIABCIDI交点
CIMI·DIMIAMI·BMI①
PICIPIDI⊙O切线易证OCIPIDI四点圆OPICIDI交MI
CIMI·DIMIOMI·PIMI②
①②AMI·BMIOMI·PIMI
PIOAB四点圆PI△OAB外接圆点P1P2…P1998△OAB外接圆
例7图524ABCD圆两条弦延长ACBD交P求证：△PAB△PCD外心垂心四点圆
分析：易知△PAB∽△PDC设△PAB垂心外心△PCD垂心外心P∶PP∶P需证明P线P线命题获证
证明：设△PAB垂心△DPC外心
∴∠PA+∠BAP90º∠PC+∠CP90º
∠CDPCP∴∠PC+CDP90º∵CDPBAP∴PA∠PC
∴P三点线理P三点线
∵△PAB∽△PDC∴
∴四点圆
例8设AB定⊙O中定弦作⊙O弦中i(i12…1988)AB分分作⊙O切线两切线交点求证：圆
证明：i(i12…1988)连结图525
∵均AB分∴
分切⊙O∴O四点圆O
∴
∴OAB圆
OAB定点△ABO外接圆圆
圆点问题
谓圆点问题证圆时某点证明圆点问题通常两种方法：
(1)先证两圆相交(切)某点然证点圆类问题转化点圆情形
(2)找出某定点然证明该点圆里定点般特殊点
例1四边形ABCD两组边延长线分交EF两点求证：成四三角形：△ABF△ADE△CDF△BCE外接圆点
分析图149示两较三角形外接圆交AP两点显然两较三角形外接圆点A应设法证明四外接圆点P
证明：设P△ABF△ADE外接圆交点连结PAPBPE
ABPF四点圆∠PBF∠PAF
AEPD四点圆∠DEP∠PAF∠PBF∠DEPEBCP四点圆P△BCE外接圆理P△CDF外接圆△ABF△ADE△CDF△BCE外接圆点P
证明干圆点常方法二：
(1)先证中两圆相交(相切)某点然证明点圆圆点问题转化圆点问题
(2)找出某定点然证明该点诸设圆(定点般特殊点)
例8图7－8△ABC边外作正三角形BCDCAEABF证明：三正三角形外接圆点
证：设△CAE△ABF外接圆交O点连接AOBOCO∠AOC+∠E180º∠AOB+∠F180º∠E∠F60º∠AOC360º－∠AOC－∠AOB120º∠D60º∠BOC+∠D180º
OBDC四点圆△BCD外接圆通O点△BCD△CAE△ABF外接圆点
例9图7－9I△ABC心B作圆直线CI相切I点C作圆直线BI相切I点求证：作两圆△ABC外接圆点
证：
⊙⊙交点D必∠BIC部连接DIDBDC
ABDC四点圆△ABC外接圆通D点说三圆点
练
1．设梯形ABCD中AB∥CDEF分腰ADBCABFE四点圆CDEF必四点圆．
2．四边形EFGH顶点次四边形ABCD边AEAHBEBFCFCGDGDH．求证：EFGH四点圆．
1设△ABC正三角形BCAC分点DEBDCDCEAEBEAD相交P求证：PDCE四点圆AP⊥CP
2设△ABCBC边垂直分线∠BAC分线相交D求证：ABCD四点圆
3图两圆相交交点A引两圆直径ABAC交两圆EFBECF直线交两圆PQRS求证：PSQR四点圆
4△ABC中BC分作∠BAC分线垂线EF垂足AD⊥BCDMBC中点求证：MEDF四点圆
5图D△ABCBC边点分△ABC△ADB△ADC外接圆圆心求证：A
四点圆
6Rt△ABC中∠BAC90ºAH⊥BCHSAH中点S点作边行线三边交PQKLMN图求证：PQKLMN六点圆
7设ABCD行四边形∠ABC＞90ºO角线交点点D作角线AC垂线垂足点D作AB边垂线垂足点D作BC边垂线垂足求证：O圆
8已知四边形ABCD角线AC⊥BDAB·CD+BC·AD求证：ABCD四点圆
教材部分答案
第章 数式
111．绝值
1．（1） （2） 2．D 3．3x－18
112．法公式
1．（1） （2） （3）
2．（1）D （2）A
113．二次根式
1． （1） （2） （3） （4）．
2．C 3．1 4．＞
114．分式
1． 2．B 3． 4．
12 式分解 略
第二章 二次方程二次等式
略
第三章 三角形圆
31 相似形
练1
1．D
2．设
3．
4．作交
5．作交
练2
1．
2．1218
3．
4．（1）行四边形（2）时菱形时正方形
5．（1）时（2）
题31
A组
1．B 2B 3
4．直角三角形斜边高证
B组
1．C 2C 3A
4．（1）（2）（3）（2）知
C组
1(1)(2)
2．（1）先证（2）
3．连交连等腰直角三角形AEDF矩形斜边中线直角三角形证等腰直角三角形
4．（1）成立（2）证略
322解写三角形练答案
1． A 2． A 3． B 4． 5． 6． 7．
8． 设∠AOBθθ 时S值 2+
点轨迹 参考答案
填空题
1 点P圆心6cm半径圆
2 线段AB中垂线（AB中点外）
3 O圆心半径6 cm圆
4 直线行距离等5 cm两条直线
5 直线行距离等2 cm两条直线
6 行距离等2条直线
7 角线AC（包括A点）
8 O圆心半径圆
9
10
二 选择题
11 C 12 D 13 C 14 D 15 A
三 解答题
16 求轨迹AO直径圆（A点外）
17 作∠EAF行线∠EAF部作AE行AE距离2 cm条行线交点求点
C
18 点P轨迹O圆心3 cm半径半圆
∴路程
19根余弦定理：
cosA
(b2+c2a2)2bc
18
sinA38
根正弦定理：
DE2RsinA
需R取值
圆心点A线段BC距离等R
圆心轨迹A焦点直线BC准线段抛物线
根抛物线性质顶点准线距离短
圆心位BC边高时R取值
2Rh2S(ABC)BCAB·AC·sinABC54
DE(54)·3810532值
四点圆答案
1△ABD≌△BCE∠BAP∠CBE∠DPB60º∠DCEPDCE圆易证AP⊥CP
2作△ABC外接圆⊙OBC垂直分线必O分设BC垂直分线交中点连AA分∠BACAD∠BAC分线ADA重合二直线相交交点D重合结成立
3设BECF相交HBCEF圆BH·HECH·HF相交弦定理BH·HESH·HRCH·HFPH·HQ∴PH·HQSH·HR结成立
4连结MEMFDE须证∠MEF∠MDEAF分∠BACCF⊥AF称性知延长CF交ABGFCG中点MBC中点FM∥GB∠MFE∠BAE须证∠BDE∠BAF证ABCD四点圆
5连A分垂直分ABACAD∠+∠A180º证结
6连结QKMLQLKMQKLM矩形QKLM圆KMLQ圆直径∠KNM90º∠KLMKLMNKM直径圆周理QKLPQL直径圆周
7略
8设HACBD交点证AC·BDAB·CD+BC·ADABCD四点圆
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