两等腰直角三角形点专题
锐角顶点直角开口方相反
基方法：
△EDB中△ABC顶点B条线段DE行移外等腰三角△ABC底边BC点C处CF
典型例题
侧型 ：
连接DC(顶点两底角点连线)M中点求EMAM关系
方法：移DECF倍长EMMF
思路证明△AEB≌△AFC
关键证明∠ABE∠ACF
方法：∵DE⊥BE
∴CG⊥BG
∴∠ABE∠ACF
回头：1△ABC△AEF直角顶点旋转
2四边形GBCA斜边两直角三角形圆（外垂直）
侧型：
四边形ABGC角互补圆
推广：两等腰三角形顶角互补移中线倍长
提高
．图等腰Rt△ABC等腰Rt△DBE中 ∠BDE∠ACB90°BEAB边取AE中点FCD中点G连结GF
（1）FGDC位置关系 FGDC数量关系
（2）△BDE绕B点逆时针旋转180°条件变请完成图判断（1）中结否然成立 请证明结
B
A
C
B
D
A
F
E
G
C
两方法：已知：△ABC中分ABAC斜边作等腰直角三角形ABMCANP边BC中点．求证：PM＝PN
正方形
逆
15请阅读列材料问题：图正方形ABCD行四边形BEFG中点ABE条直线P线段DF中点连接PGPC探究：PGPC夹角少度时行四边形BEFG正方形？
聪学思路：首先说明四边形BEFG矩形然延长GP交DC点H构造全等三角形推理探索出问题答案
请参考聪学思路探究解决问题
（1）求证：四边形BEFG矩形
（2）PGPC夹角少度时？四边形BEFG正方形请说明理
14正方形ABCD正方形CEFGMAF中点连接MDME．
⑴图①BCG次条直线求证：△MDE等腰直角三角形
⑵图②正方形CEFG绕顶点C旋转45°．BCF次条直线△MDE形状
⑶图③正方形CEFG意旋转设∠DCEα°猜想△MDE形状？写出结予证明．
反开口两中点变中点找关系
19图△ABO△CDO均等腰三角形∠BAO∠DCO90°MBD中点MN⊥AC试探究MNAC数量关系说明理
**反开口角分线角互补模七
直角坐标系中点B（a0）点C（0b）点A第象限．ab满足（at）2+|bt|0（t＞0）．
（1）证明：OBOC
（2）图1连接ABA作AD⊥AB交y轴D射线AD截取AEAB连接CEFCE中点连接AFOA点A第象限运动（AD点C）时证明：∠OAF变
（3）图2B′B关y轴称M线段BCNCB′延长线BMNB′连接MN交x轴点TT作TQ⊥MN交y轴点Q求点Q坐标
反开口 模六
直角坐标系中 直线y＝x＋4交x轴A 交y轴B △AEF等腰Rt△ ∠AEF＝90° 连BF MBF中点
(1) 连EMOM 问OMEM关系 证明
(2) △AEF绕A点旋转图位置时 EMOM关系否变化 画图说明理
(3) PAB中点 G第三象限点 ∠AGO＝90° 求GA+GOGP值
反开口模型 中线位长作出（行四边形隐含中点）
已知△ABC△ADE分ABAE底等腰直角三角形CECB边作行四边形CEHB连DCCH
(1)图(1)D点AB时∠DEH度数_____CHCD数量关系_________说明理 ’
(2)图(1)中△ADE绕A点逆时针旋转45°图(2)：∠DEH度数______CHCD间数量关系________．
(3)图(1)中△ADE绕A点时针旋转（O°<<45°）图(3)请探究CHCD间数量关系予证明．
找隐性反开口模型
4图ABCDDFGE均正方形连AG作AG中点H连BH
（1）求BH：HE值
（2）正方形ABCD绕点D旋转时述结否改变？画图直接写出结
反开口
例1图△ABCABAC边构造等腰Rt△ABD等腰Rt△ACEMNP分ADAEBC中点求线段PMPN关系
变式1：PDE中点求线段BPCP关系
变式2：△ABCABAC边直角边构造Rt△ABDRt△ACE∠DAB∠CAEαPDE中点求BPCP数量关系
变式3：△ABCABAC边斜边构造Rt△ABDRt△ACE∠DAB∠CAEαPBC中点求DPEP数量关系
反开口
24．（题10分）已知正方形AEFG边AEAG分正方形ABCD边ABAD点O正方形AEFG称中心点MCE中点连OBMB
（1）图1求值证明
（2）求值证明
（3）图1中正方形AEFG绕点A旋转180°图2位置请直接写出值
图1
O
图2
反开口中点
1．已知DEDACACB∠DAE∠CABDAB条直线
（1）图1PMN分EBADAC中点∠BAE120°
①求证：BE2MN ②求∠PNM度数
（2）图2点PMN分CDAEAB中点∠BAE135°
①求∠MNP度数 ②求值
反开口两中点
2．图△ACB△AED等腰直角三角形 ∠AED＝∠ACB＝90° 点DAB 连CE MN分BD CE中点
（1）①求证：MN＝CE （提示：MN构造某三角形中位线）
②求证：MN⊥CE
（2）图△ADE绕A点逆时针旋转锐角（1）中结①②否成立
证明
B
C
反开口作行四边形
19．图△ABC△ADE分ABAE底等腰直角三角形点DAB点EACCECB边作□CEHB连DCBE
（1）求证：HEAC
（2）探究：BECD间数量关系证明
反开口斜边中线垂直
2 图1正方形ABCD中点MAB点NCD点PBCMN⊥APE
（1）求证：APMN
（2） 图2点FMNEFEA连CF点GCF中点连DG 求证：
（3） （2）条件DADEBM2求DG长
(3)DADE四点AEND圆(未)Rt△AEPTNND15边长5
反开口求长度
24 (1) 两块全等等腰Rt△ABCRt△AED图1摆放 G线段DC中点 连接BGEG 求证 BGEG BG⊥EG
(2) 图1中△AED绕点A时针旋转45° 连接EB △AEB绕点E时针旋转90° △EDH处 连接BDCH GCD中点 连接BGEG 图2 四边形BDHC种特殊四边形 写出结 说明理
(3) 图2中AE＝1EG＝3求BD长度
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锐角顶点直角开口方相反
基方法：
△EDB中△ABC顶点B条线段DE行移外等腰三角△ABC底边BC点C处CF
典型例题
侧型 ：
连接DC(顶点两底角点连线)M中点求EMAM关系
方法：移DECF倍长EMMF
思路证明△AEB≌△AFC
关键证明∠ABE∠ACF
方法：∵DE⊥BE
∴CG⊥BG
∴∠ABE∠ACF
回头：1△ABC△AEF直角顶点旋转
2四边形GBCA斜边两直角三角形圆（外垂直）
侧型：
四边形ABGC角互补圆
推广：两等腰三角形顶角互补移中线倍长
提高
．图等腰Rt△ABC等腰Rt△DBE中 ∠BDE∠ACB90°BEAB边取AE中点FCD中点G连结GF
（1）FGDC位置关系 FGDC数量关系
（2）△BDE绕B点逆时针旋转180°条件变请完成图判断（1）中结否然成立 请证明结
B
A
C
B
D
A
F
E
G
C
两方法：已知：△ABC中分ABAC斜边作等腰直角三角形ABMCANP边BC中点．求证：PM＝PN
正方形
逆
15请阅读列材料问题：图正方形ABCD行四边形BEFG中点ABE条直线P线段DF中点连接PGPC探究：PGPC夹角少度时行四边形BEFG正方形？
聪学思路：首先说明四边形BEFG矩形然延长GP交DC点H构造全等三角形推理探索出问题答案
请参考聪学思路探究解决问题
（1）求证：四边形BEFG矩形
（2）PGPC夹角少度时？四边形BEFG正方形请说明理
14正方形ABCD正方形CEFGMAF中点连接MDME．
⑴图①BCG次条直线求证：△MDE等腰直角三角形
⑵图②正方形CEFG绕顶点C旋转45°．BCF次条直线△MDE形状
⑶图③正方形CEFG意旋转设∠DCEα°猜想△MDE形状？写出结予证明．
反开口两中点变中点找关系
19图△ABO△CDO均等腰三角形∠BAO∠DCO90°MBD中点MN⊥AC试探究MNAC数量关系说明理
**反开口角分线角互补模七
直角坐标系中点B（a0）点C（0b）点A第象限．ab满足（at）2+|bt|0（t＞0）．
（1）证明：OBOC
（2）图1连接ABA作AD⊥AB交y轴D射线AD截取AEAB连接CEFCE中点连接AFOA点A第象限运动（AD点C）时证明：∠OAF变
（3）图2B′B关y轴称M线段BCNCB′延长线BMNB′连接MN交x轴点TT作TQ⊥MN交y轴点Q求点Q坐标
反开口 模六
直角坐标系中 直线y＝x＋4交x轴A 交y轴B △AEF等腰Rt△ ∠AEF＝90° 连BF MBF中点
(1) 连EMOM 问OMEM关系 证明
(2) △AEF绕A点旋转图位置时 EMOM关系否变化 画图说明理
(3) PAB中点 G第三象限点 ∠AGO＝90° 求GA+GOGP值
反开口模型 中线位长作出（行四边形隐含中点）
已知△ABC△ADE分ABAE底等腰直角三角形CECB边作行四边形CEHB连DCCH
(1)图(1)D点AB时∠DEH度数_____CHCD数量关系_________说明理 ’
(2)图(1)中△ADE绕A点逆时针旋转45°图(2)：∠DEH度数______CHCD间数量关系________．
(3)图(1)中△ADE绕A点时针旋转（O°<<45°）图(3)请探究CHCD间数量关系予证明．
找隐性反开口模型
4图ABCDDFGE均正方形连AG作AG中点H连BH
（1）求BH：HE值
（2）正方形ABCD绕点D旋转时述结否改变？画图直接写出结
反开口
例1图△ABCABAC边构造等腰Rt△ABD等腰Rt△ACEMNP分ADAEBC中点求线段PMPN关系
变式1：PDE中点求线段BPCP关系
变式2：△ABCABAC边直角边构造Rt△ABDRt△ACE∠DAB∠CAEαPDE中点求BPCP数量关系
变式3：△ABCABAC边斜边构造Rt△ABDRt△ACE∠DAB∠CAEαPBC中点求DPEP数量关系
反开口
24．（题10分）已知正方形AEFG边AEAG分正方形ABCD边ABAD点O正方形AEFG称中心点MCE中点连OBMB
（1）图1求值证明
（2）求值证明
（3）图1中正方形AEFG绕点A旋转180°图2位置请直接写出值
图1
O
图2
反开口中点
1．已知DEDACACB∠DAE∠CABDAB条直线
（1）图1PMN分EBADAC中点∠BAE120°
①求证：BE2MN ②求∠PNM度数
（2）图2点PMN分CDAEAB中点∠BAE135°
①求∠MNP度数 ②求值
反开口两中点
2．图△ACB△AED等腰直角三角形 ∠AED＝∠ACB＝90° 点DAB 连CE MN分BD CE中点
（1）①求证：MN＝CE （提示：MN构造某三角形中位线）
②求证：MN⊥CE
（2）图△ADE绕A点逆时针旋转锐角（1）中结①②否成立
证明
B
C
反开口作行四边形
19．图△ABC△ADE分ABAE底等腰直角三角形点DAB点EACCECB边作□CEHB连DCBE
（1）求证：HEAC
（2）探究：BECD间数量关系证明
反开口斜边中线垂直
2 图1正方形ABCD中点MAB点NCD点PBCMN⊥APE
（1）求证：APMN
（2） 图2点FMNEFEA连CF点GCF中点连DG 求证：
（3） （2）条件DADEBM2求DG长
(3)DADE四点AEND圆(未)Rt△AEPTNND15边长5
反开口求长度
24 (1) 两块全等等腰Rt△ABCRt△AED图1摆放 G线段DC中点 连接BGEG 求证 BGEG BG⊥EG
(2) 图1中△AED绕点A时针旋转45° 连接EB △AEB绕点E时针旋转90° △EDH处 连接BDCH GCD中点 连接BGEG 图2 四边形BDHC种特殊四边形 写出结 说明理
(3) 图2中AE＝1EG＝3求BD长度
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