五种辅助线助你证全等

五种辅助线助证全等

证明三角形全等时时需添加辅助线面介绍证明全等时常见五种辅助线帮助更学
 
截长补短
 
般证结线段差关系两条线段直线时通常考虑截长补短办法：长线段截取部分短线段相等短线段延长长线段相等．
 
例1．图1△ABC中∠ABC60°ADCE分分∠BAC∠ACB．求证：ACAE+CD．
 
　　　　　　　　　　　　　　

 
分析：证ACAE+CDAECD直线．AC截取AFAE证明CFCD．
 
证明：AC截取AFAE连接OF．
 
∵ADCE分分∠BAC∠ACB∠ABC60°
 
∴∠1+∠260°∴∠4∠6∠1+∠260°．
 
显然△AEO≌△AFO∴∠5∠460°∴∠7180°－（∠4+∠5）60°
 
△DOC△FOC中∠6∠760°∠2∠3OCOC
 
∴△DOC≌△FOC CFCD
 
∴ACAF+CFAE+CD．
 
二中线倍长
 
三角形问题中涉中线（中点）时三角形中线延长倍构造全等三角形常解题思路．
 
例2．已知三角形两边长分75第三边中线长x取值范围（   ）．
 
分析：求第三边中线取值范围中线两已知边转移三角形中然利三角形三边关系进行分析判断．
 
　　　　　　　　　　　　　　　　

 
解：图2示设AB7AC5BC中线ADx．
 
延长ADEDE ADx．
 
∵ADBC边中线∴BDCD
 
∠ADC∠EDB（顶角）∴△ADC≌△EDB
 
∴BEAC5
 
∵△ABE中   ABBE＜AE＜AB+BE
 
75＜2x＜7+5     ∴1＜x＜6
 
三作行线
 
三角形问题中相等角等腰等条件时通作行线相等角转换某三角形中外等腰三角形相等角证明全等提供条件．
 
例3．图3等腰△ABC中ABACAB截取BDAC延长线截取CECEBD．连接DE交BCF．求证：DFEF．
 
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

 
分析：证DFEF必须助三角形全等．现图形中没全等三角形．等腰三角形条件知∠B∠ACB作DH∥AE∠DHB∠ACB．△DBH等腰三角形．
 
证明：作DH∥AE交BCH．
 
∴∠DHB∠ACB
 
∵ABAC∴∠B∠ACB
 
∴∠DHB∠BDHBD
 
∵CEBD    ∴DH CE
 
DH∥AE∠HDF∠E 
 
∠DFH∠EFC（顶角）
 
∴△ DFH≌△EFC（AAS）  ∴DFEF
 
四补全图形
 
求证三角形问题中延长某两条线段（边）相交构成封闭图形找更相等关系助问题解决．
 
例4．图4△ABC中ACBC∠B90°BD∠ABC分线．A点直线BD距离ADa求BE长．
 
　　　　　　　　　　　　　　　　　　

 
分析：题设中条已知线段AD直角边求BE斜边．找间关系需设法构造全等三角形．
 
证明：延长ADBC相交F．
 
BD∠ABC分线BD⊥AF．
 
易证△ADB≌△FDB   ∴FD ADa  AF2a     ∠F∠BAD    
 
∠BAD+∠ABD90°∠F+∠FAC90°
 
∴∠ABD∠FAC   
 
∵BD∠ABC分线  ∴∠ABD∠CBE
 
∴∠FAC∠CBE∠ECB∠ACF90°ACBC
 
∴△ACF≌△BCE（ASA）    ∴BEAF2a
 
五利角分线称构造全等
 
角分线角称轴证明全等程中仅提供两相等角条公边利角分线角两边截取相等线段两边作垂线称构造出全等三角形常证明方法．
 
例5．图5四边形ABCD中已知BD分∠ABC∠A+∠C180°．证明：ADCD．
 
　　　　　　　　　　　　　　　　

 
分析：角分线条件BC截取BEBA构造△ABD≌△EBDADDE．证明DECD．
 
证明：BC截取BEBA连接DE．
 
BD分∠ABC易证△ABD≌△EBD
 
∴ADDE    ∠A∠BED
 
∠A+∠C180°∠BED+∠DEC180°
 
∴∠DEC∠C∴DECD
 
∴ADCD





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