第七章 元函数微分学
作业1 元函数
1．填空题
（1）已知函数
（2）定义域
（3）定义域
（4）函数连续范围 全面
（5）函数处间断
2．求列极限
（1）
解：
（2）
解：
3．讨极限否存
解：着曲线异极限存
4．证明点分变量 连续作二元函数点连续
解：
知点分变量 连续着曲线异
极限存作二元函数点连续
作业2 偏导数
1．填空题
（1）设
（2）（3）设
（3）设 0
（4）曲线点处切线轴正倾角
2．设 证明
证
3 设求
解：
4．设 证明
解：
5．设函数
（1）试求偏导函数
解：
（2）考察偏导函数点处否连续
点处连续
存点处连续
作业3 全微分应
1．填空题
（1）点处偏导数存该点微
必 条件
（2）函数点处时全增量
全微分
（3）设点处全增量全微分点处全增量全微分关系式
（4）点处
（5）
（6）
（7）
2．证明：点处连续存 处微
证：
存处微
3．设函数
试证：（1）函数点处微
证：
函数点处微
（2）函数点处连续
证：
存
点处连续
作业4 元复合函数求导法
1．填空题
（1）设
（2）设
（3）设
（4）设
2．求列函数偏导数
（1）设中具阶连续偏导数求
解：
（2）设中均微求
解：
3．验证列式
（1）设中微
证：
（2）设中微
证：
4．设中函数具二阶连续偏导数求
解：
4．设中函数具二阶连续偏导数试证：
证：
左边
作业5 隐函数求导法
1．填空题
（1）已知
（2）已知
（3）已知
（4）已知
（5）已知中具阶连续偏导数
2．设中具二阶连续偏导数求．
解：
3．求方程组确定导数
解：已知
4．设函数方程确定函数中均微连续 试证：
证：
5．设函数具二阶连续偏导数满足方程求
解：
特征方程
作业6 方导数梯度
1．填空题
（1）梯度量方函数变化率
（2）函数定点方导数值梯度 模
（3）函数点梯度
（4）函数点处方方导数
函数该点梯度
（5）函数点处方方导数
（6）函数点处指点方方导数
2．求点点处梯度间夹角
解：
夹角余弦
3．求二元函数点方方导数梯度指出该点方减少快？方值变？
解：
该点梯度相反方方减少快
梯度垂直方方值变
4．设轴正转角求函数
点处着方方导数
解：
该函数点处微公式定义出着方方导数：
作业7 偏导数应
1．填空题
（1）已知曲面点切面行面点 坐标
（2）曲面点处切面方程
（3）曲线绕轴旋转周旋转曲面点 处指侧单位法量
（4）曲面点处法线方程
（5）已知曲线点切线行面点坐标．
2．求曲线应点处切线法面方程
解：切点
切线
法面
3．求两圆柱面交线点处切线法面方程
解：
切线法面
4．求曲面点处切面法线方程
解：
切面法线
5．求函数点处曲线点外法线方方导数
解：
指外侧点外法线方方导数
6．证明：曲面意点处切面通原点中具连续导数
证：设切点
切面
令左边等右边原点意点处切面意点处切面通原点
作业8 元函数极值
1．填空题
（1）函数极值 0
（2）函数极值点
（3）函数极值点
（4）函数极值
（5）函数极值
2．证明：函数穷极值点极值点
证：
驻点坐标
偶数时零极值时
该函数穷极值点极值点
3．求函数条件极值
解：令
4．求函数圆域值值
解：先求圆部驻点驻点
求圆周约束极值令
必矛盾
必
求值4值
5．半径半球求体积接长方体
解：设第卦限顶点坐标
令
长宽均高
6．求椭圆长半轴短半轴
解：称性知椭圆中心点问题转化求约束条件值
取
时约束条件
时约束条件
椭圆长半轴短半轴
第七章元函数微分学测试试卷
1．单项选择题（题3分）
（1） 二重极限值 （ D ）
（A）0 （B）1 （C） （D）存
（2）二元函数点处两偏导数存（ D ）
(A)该点微 (B) 该点连续微
(C)该点意方方导数存(D) 结
（3）函数处（ A ）
(A) 取极值 (B) 取极值 (C) 取极值 (D)否取极值赖
（4）曲线切线中面行切线（ B ）
（A）1条 （B）2条 （C）少3条 （D）存
（5）设中面运算中（ B ）
(A)正确 (B) 正确正确
(C) 正确正确 (D) 正确
2．填空题（题3分）
（1）已知理想气体状态方程
（2）设
（3）函数点梯度
（4）已知中微函数
（5）已知曲面点处法线行直线该法线方程
3．设中均二阶微函数求
解：
4．设试新变量变换方程中变量二阶连续偏导数
解：
5．已知中均微函数求
解：函数取全微分
6．设曲面处指外侧法量求函数点处方方导数
解：指侧抛物面外侧
7．第卦限作椭球面切面该切面三坐标面围成四面体体积求切点坐标
解：设切点切面
值问题值问题等价问题焕位已
令
约束条件结合推
第卦限切点
8．设
（1）求
（2）否原点连续？原点否微？说明理
解：（1）
分段点定义求偏导数
（2）原点二重极限存连续
9．已知常数求证：
解：令问题化约束条件值1
令
结合约束条件
该实际问题值定存点唯值
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作业1 元函数
1．填空题
（1）已知函数
（2）定义域
（3）定义域
（4）函数连续范围 全面
（5）函数处间断
2．求列极限
（1）
解：
（2）
解：
3．讨极限否存
解：着曲线异极限存
4．证明点分变量 连续作二元函数点连续
解：
知点分变量 连续着曲线异
极限存作二元函数点连续
作业2 偏导数
1．填空题
（1）设
（2）（3）设
（3）设 0
（4）曲线点处切线轴正倾角
2．设 证明
证
3 设求
解：
4．设 证明
解：
5．设函数
（1）试求偏导函数
解：
（2）考察偏导函数点处否连续
点处连续
存点处连续
作业3 全微分应
1．填空题
（1）点处偏导数存该点微
必 条件
（2）函数点处时全增量
全微分
（3）设点处全增量全微分点处全增量全微分关系式
（4）点处
（5）
（6）
（7）
2．证明：点处连续存 处微
证：
存处微
3．设函数
试证：（1）函数点处微
证：
函数点处微
（2）函数点处连续
证：
存
点处连续
作业4 元复合函数求导法
1．填空题
（1）设
（2）设
（3）设
（4）设
2．求列函数偏导数
（1）设中具阶连续偏导数求
解：
（2）设中均微求
解：
3．验证列式
（1）设中微
证：
（2）设中微
证：
4．设中函数具二阶连续偏导数求
解：
4．设中函数具二阶连续偏导数试证：
证：
左边
作业5 隐函数求导法
1．填空题
（1）已知
（2）已知
（3）已知
（4）已知
（5）已知中具阶连续偏导数
2．设中具二阶连续偏导数求．
解：
3．求方程组确定导数
解：已知
4．设函数方程确定函数中均微连续 试证：
证：
5．设函数具二阶连续偏导数满足方程求
解：
特征方程
作业6 方导数梯度
1．填空题
（1）梯度量方函数变化率
（2）函数定点方导数值梯度 模
（3）函数点梯度
（4）函数点处方方导数
函数该点梯度
（5）函数点处方方导数
（6）函数点处指点方方导数
2．求点点处梯度间夹角
解：
夹角余弦
3．求二元函数点方方导数梯度指出该点方减少快？方值变？
解：
该点梯度相反方方减少快
梯度垂直方方值变
4．设轴正转角求函数
点处着方方导数
解：
该函数点处微公式定义出着方方导数：
作业7 偏导数应
1．填空题
（1）已知曲面点切面行面点 坐标
（2）曲面点处切面方程
（3）曲线绕轴旋转周旋转曲面点 处指侧单位法量
（4）曲面点处法线方程
（5）已知曲线点切线行面点坐标．
2．求曲线应点处切线法面方程
解：切点
切线
法面
3．求两圆柱面交线点处切线法面方程
解：
切线法面
4．求曲面点处切面法线方程
解：
切面法线
5．求函数点处曲线点外法线方方导数
解：
指外侧点外法线方方导数
6．证明：曲面意点处切面通原点中具连续导数
证：设切点
切面
令左边等右边原点意点处切面意点处切面通原点
作业8 元函数极值
1．填空题
（1）函数极值 0
（2）函数极值点
（3）函数极值点
（4）函数极值
（5）函数极值
2．证明：函数穷极值点极值点
证：
驻点坐标
偶数时零极值时
该函数穷极值点极值点
3．求函数条件极值
解：令
4．求函数圆域值值
解：先求圆部驻点驻点
求圆周约束极值令
必矛盾
必
求值4值
5．半径半球求体积接长方体
解：设第卦限顶点坐标
令
长宽均高
6．求椭圆长半轴短半轴
解：称性知椭圆中心点问题转化求约束条件值
取
时约束条件
时约束条件
椭圆长半轴短半轴
第七章元函数微分学测试试卷
1．单项选择题（题3分）
（1） 二重极限值 （ D ）
（A）0 （B）1 （C） （D）存
（2）二元函数点处两偏导数存（ D ）
(A)该点微 (B) 该点连续微
(C)该点意方方导数存(D) 结
（3）函数处（ A ）
(A) 取极值 (B) 取极值 (C) 取极值 (D)否取极值赖
（4）曲线切线中面行切线（ B ）
（A）1条 （B）2条 （C）少3条 （D）存
（5）设中面运算中（ B ）
(A)正确 (B) 正确正确
(C) 正确正确 (D) 正确
2．填空题（题3分）
（1）已知理想气体状态方程
（2）设
（3）函数点梯度
（4）已知中微函数
（5）已知曲面点处法线行直线该法线方程
3．设中均二阶微函数求
解：
4．设试新变量变换方程中变量二阶连续偏导数
解：
5．已知中均微函数求
解：函数取全微分
6．设曲面处指外侧法量求函数点处方方导数
解：指侧抛物面外侧
7．第卦限作椭球面切面该切面三坐标面围成四面体体积求切点坐标
解：设切点切面
值问题值问题等价问题焕位已
令
约束条件结合推
第卦限切点
8．设
（1）求
（2）否原点连续？原点否微？说明理
解：（1）
分段点定义求偏导数
（2）原点二重极限存连续
9．已知常数求证：
解：令问题化约束条件值1
令
结合约束条件
该实际问题值定存点唯值
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