量子力学题解答
第章 量子理基础
1．1 黑体辐射公式导出维恩位移定律：量密度极值应波长温度T成反
Tb（常量）
似计算b数值准确二位效数字
解 根普朗克黑体辐射公式
（1）
（2）
（3）
里物理意义黑体波长介λλ+dλ间辐射量密度
题关注λ取值时取极值求 λ阶导数零求相应λ值记作注意需验证λ二阶导数处取值否零果零前面求求具体：
果令x 述方程
超越方程首先易知方程解：x0验证解庸外解通逐步似法者数值计算法获：x497验证解正求样
x三物理常量代入式便知
便维恩位移定律知识物体温度升高话辐射量分布峰值较短波长方面移动样便会根热物体（遥远星体）发光颜色判定温度高低
1．2 0K附钠价电子量约3eV求德布罗意波长
解 根德布罗意波粒二象性关系知
Eh
果考虑粒子非相性电子（）
果考察相性光子
Epc
注意题考虑钠价电子动仅3eV远远电子质量光速方积利非相性电子量——动量关系式样便
里利
作点讨式出粒子质量越时粒子波长越短粒子波动性较弱粒子性较强样粒子动越时粒子波长越短粒子波动性较弱粒子性较强宏观世界物体质量普遍波动性极弱显现出粒子性种波粒二象性某种子意义说微观世界显现
1．3 氦原子动（k玻耳兹曼常数）求T1K时氦原子德布罗意波长
解 根
知题氦原子动
显然远远样便
里利
德布罗意波长温度关系作点讨某种粒子构成温度T体系中粒子均动数量级kT样相庆德布罗意波长
知体系温度越低相应德布罗意波长越长时种粒子波动性越明显特波长长粒子间均距离长时粒子间相干性尤明显时典描述粒子统计分布玻耳兹曼分布必须量子描述粒子统计分布——玻色分布费米公布
1．4 利玻尔——索末菲量子化条件求：
（1）维谐振子量
（2）均匀磁场中作圆周运动电子轨道半径
已知外磁场H10T玻尔磁子试计算运量子化间隔△ET4KT100K热运动量相较
解 玻尔——索末菲量子化条件
中q微观粒子广义坐标p相应广义动量回路积分运动轨道积圈n正整数
（1）设维谐振子劲度常数k谐振子质量μ
样便
里正负号分表示谐振子着正方运动着负方运动正负正表示回运动圈外根
解出
表示谐振子正负方位移样根玻尔——索末菲量子化条件
积分述方程左边作变量代换
样便
时令式左边积分A外构造积分
样便
（1）
里 2θ样
（2）
根式（1）（2）便
样便
中
解作点讨首先注意谐振子量量子化次量子化量等间隔分布
（2）电子均匀磁场中作圆周运动时
时玻尔——索末菲量子化条件
动耐
中玻尔磁子样发现量子化量等间隔
具体题
根动温度关系式
知温度T4K时
温度T100K时
显然两种情况热运动应量前面量子化量间隔
1．5 两光子定条件转化正负电子果两光子量相等问实现实种转化光子波长少？
解 关两光子转化正负电子动力学程两光子样概率转化正负电子问题严格说需相性量子场知识计算修正涉程运动学方面量守恒动量守恒等需高深知识计算具休题两光子量相等心碰撞时转化正风电子反需量应波长长
外
光子转化电子波长数值相知道电子然界中轻质量粒子果光子转化正反质子类更质量粒子应光子波长会更某种意义告诉涉粒子衰变产生转化等问题般需量量越粒子间转化等现象越丰富样许发现新粒子便世界造越越高加速器原：期发现新现象新粒子新物理
第二章波 函数薛定谔方程
21证明定态中率流时间关
证：定态令
见关
22 列定态波函数计算率流密度：
结果说明表示外传播球面波表示(原点) 传播球面波
解：
球坐标中
表示外传播球面波
见反表示(原点) 传播球面波
补充：设粒子位置率分布？波函数否化？
∴波函数方式化
相位置率分布函数
表示粒子空间处出现率相
23 粒子维势场
中运动求粒子级应波函数
解：关定态问题定态S—方程
区域具体形式
Ⅰ：①
Ⅱ：②
Ⅲ：③
(1)(3)方程中等式成立必须
粒子运动势阱外方
方程(2)变
令
解 ④
根波函数标准条件确定系数AB连续性条件
⑤
⑥
⑤
⑥
∴
化条件
见E量子化
应化定态波函数
#
24 证明（2614）式中化常数
证： （2614）
化
∴化常数 #
25 求维谐振子处激发态时率位置
解：
令
表达式知时显然率位置
见求率位置 #
26 维势场中运动粒子势原点称：证明粒子定态波函数具确定宇称
证：维势场中运动粒子定态S方程
①
式中代换
②
利
③
较①③式知描写势场作粒子状态波函数描写状态间相差常数方程①③相互进行空间反演 方①反演③
④
③反演①反演步骤完全相完全等价
⑤
④ ⑤
见
时具偶宇称
时具奇宇称
势场满足时粒子定态波函数具确定宇称#
27 粒子维势阱中
运动求束缚态()级满足方程
解法：粒子满足S方程
势形式分区域具体形式
Ⅰ： ①
Ⅱ： ②
Ⅲ： ③
整理
Ⅰ： ④
Ⅱ： ⑤
Ⅲ： ⑥
令
Ⅰ： ⑦
Ⅱ： ⑧
Ⅲ： ⑨
方程解
波函数限性
波函数连续性
整理(10)(11)(12)(13)式合成方程组
解方程出BCDF进出波函数具体形式方程组非零解必须
∵
∴
求束缚态级满足方程#
解法二：接（13）式
#
解法三：
(11)(13)
(10)+(12)
(11)+(13)
(12)(10)
（b）
k
a
ctgk
k
)
10
(
)
12
(
)
13
(
)
11
(
1
2
2
Þ
+
令
合：
利
#
解法四：（简方法移坐标轴法）
Ⅰ： （χ≤0）
Ⅱ： （0＜χ＜2）
Ⅲ： （χ≥2）
束缚态＜＜
波函数连续性
(7)代入(6)
利(4)(5)
#
28分子间范德瓦耳斯力产生势似表示
求束缚态级满足方程
解：势曲线图示分成四区域求解
定态S方程
区域具体形式
Ⅰ：
Ⅱ：
Ⅲ：
Ⅳ：
区域Ⅰ粒子达区域
①
②
③
束缚态说
∴ ④
⑤
⑥
方程解分
波函数限性
∴
波函数阶导数连续
∴
⑦
⑧
⑨
⑩
⑦⑧ (11)
⑨⑩
(12)
令①式变
联立(12)(13)方程组非零解必须
代入
求束缚态级满足方程 #
附：方程⑩直接行列式求解见附页
求方程 #
补充练题
1设 求A ？
解：化条件
利
∴ #
2求基态微观线性谐振子典界限外发现率
解：基态量
设基态典界限位置
∴
界限外发现振子率
)
(
2
2
0
2
2
0
2
2
0
x
a
x
a
x
e
dx
e
dx
e
a
a
a
p
a
y
p
a
p
a
w
¥
¥
+
ò
ò
式中正态分布函数
查表
∴
∴典极限外发现振子率016 #
3试证明线性谐振子波函数求波函数应量
证：线性谐振子S方程
①
代入式
代入①式左边
时左边 右边 n 3
线性谐振子波函数应量
第三章 量子力学中力学量
31 维谐振子处基态求：
(1)势均值
(2)动均值
(3)动量率分布函数
解：(1)
(2)
(3)
动量率分布函数
#
32氢原子处基态求：
(1)r均值
(2)势均值
(3)半径
(4)动均值
(5)动量率分布函数
解：(1)
(3)电子出现r+dr球壳出现率
令
率位置
∴ 半径
(4)
(5)
动量率分布函数
#
33 证明氢原子中电子运动产生电流密度球极坐标中分量
证：电子电流密度
球极坐标中
中部分实数
∴
见
#
34 题知氢原子中电流作许圆周电流组成
(1)求圆周电流磁矩
(2)证明氢原子磁矩
原子磁矩角动量
值称回转磁率
解：(1) 圆周电流磁矩
（圆周电流圆周围面积）
(2)氢原子磁矩
单位制中
原子磁矩角动量
#
35 刚性转子转动惯量I量典表示式L角动量求应量子体系列情况定态量波函数：
(1) 转子绕固定轴转动：
(2) 转子绕固定点转动：
解：(1)设该固定轴Z轴方
哈米顿算符
征方程 (关属定态问题)
令
取解 (正负零)
波函数单值性应
∴m 0±1±2…
转子定态量 (m 0±1±2…)
见量取系列分立值构成分立谱 定态波函数
A化常数化条件
∴ 转子化波函数
综述m0外级二重简
(2)取固定点坐标原点转子哈米顿算符
关属定态问题征方程
(式中设征函数征值)
令
角动量征方程征值
波函数球谐函数
∴ 转子定态量
见量分立重简
#
36 设t0时粒子状态
求时粒子均动量均动
解：
见动量值
动值
应率应
述A化常数化条件
∴
∴ 动量均值
#
37 维运动粒子状态
中求：
(1)粒子动量率分布函数
(2)粒子均动量
解：(1)先求化常数
∴
动量率分布函数
(2)
#
38维限深势阱中运动粒子势阱宽度果粒子状态波函数
描写A化常数求粒子率分布量均值
解：波函数形式知维限深势阱分布图示粒子量征函数征值
动量率分布函数
先化化条件
∴
∴
∴
39设氢原子处状态
求氢原子量角动量方角动量Z分量值值出现率力学量均值
解：量中氢原子量确定值
角动量方确定值
角动量Z分量值
相应率分
均值
310粒子硬壁球形空腔中运动势
求粒子级定态函数
解：题意区域粒子运动区域区域粒子波函数
()
区域求角动量零情况时方发现粒子率相粒子率分布角度关性粒子波函数关关设粒子量征方程
令
通解
波函数限性条件知 限
A 0
∴
波函数连续性条件
∵ ∴
∴
中B化化条件
∴
∴ 化波函数
#
311 求第36题中粒子位置动量测准关系
解：
312 粒子处状态
式中常量粒子动量均值计算测准关系
解：①先化化条件
∴
∴ 化
② 动量均值
③
（奇积函数）
#
313利测准关系估计氢原子基态量
解：设氢原子基态概然半径R原子半径确定范围似取
测准关系
氢原子基态波函数偶宇称动量算符奇宇称
似取
量均值
作数量级估算似取
基态量应取极值
代入基态量
补充练题二
1．试基态氢原子例证明：征函数征函数
见
见征函数
2．证明：氢原子中电子方发现率
解：
∴
电子
∴
时
值方发现电子率
方发现电子率密度均～间
3．试证明：处1s2p3d态氢原子电子离原子核距离分球壳发现率(第玻尔轨道半径 )
证：①1s态
令
易见 值
值处1s态电子处发现率
②2p态电子
令
易见 值
∴ 率位置球壳发现球态电子率
③3d态电子
令
易见 率位置
∴ 率位置球壳发现球态电子率
4 磁场时金属中电子势似视
中 求电子均匀场外电场作穿金属表面透射系数
解：设电场强度方χ轴负总势
势曲线图示透射系数
式中电子量式确定
∴
令
∴透射系数
5．指出列算符线性说明理
① ② ③
解：①线性算符
②线性算符
③线性算符
6．指出列算符厄米算符说明理
7列函数算符征函数征值什？
① ② ③ ④ ⑤
解：①
∴ 征函数
②
∴ 征函数应征值1
③
∴ 见征函数应征值－1
④
∴ 征函数应征值－1
⑤
∴ 征函数应征值－1
8试求算符征函数
解：征方程
（征值）
9果坐标原点取维限深势阱中心求阱中粒子波函数级表达式
解：
方程（分区域）：
Ⅰ： ∴
Ⅲ： ∴
Ⅱ：
令
标准条件：
∴
∵
∴
取
∴
∴
∴ 粒子波函数
粒子级
化条件
∴
∴ 粒子化波函数
10证明：处1s2p3d态氢原子中电子处距原子核距离分球壳处率（第玻尔轨道半径）
证：
令
∴率处
∴率处
令
∴ 率位置
时
∴率位置
令
理知 率处
率处
11求维谐振子处第激发态时率位置
解：
令
∴ 率处
∴ 率处
6．设氢原子处态（第玻尔轨道半径）求
①均值
②势均值
解：①
②
12粒子势
场中运动证明量状态量式决定：
（中）
证：方程
Ⅰ：
Ⅱ：
Ⅲ：
令
Ⅰ：
Ⅱ：
Ⅲ：
通解
利标准条件限性知
∴
连续性知
①
②
③
④
①②
⑤
③④
⑥
⑤⑥代入
整理
令
∴
###
13设波函数求
解：
14说明：果算符厄米
(+)厄米
证：
∴ +厄米
15问列算符否厄米算符：
① ②
解：①
∴ 厄米算符
②
∴ 厄米算符 ##
16果算符满足关系式求证
①
②
证： ①
②
17求
解：
0
18
解：
0
第四章 态力学量表象
41求动量表象中角动量矩阵元矩阵元
解：
#
42 求量表象中维限深势阱坐标动量矩阵元
解：基矢：
量：
角元：
时
#
43 求动量表象中线性谐振子量征函数
解：定态薛定谔方程
两边
令
课P39(274)式较知线性谐振子量征值征函数
式中化子
#
44求线性谐振子哈密顿量动量表象中矩阵元
解：
#
45 设已知表象中算符矩阵分
求征值化征函数矩阵角化
解：久期方程
∴征值
征方程
中设征函数表象中矩阵
时
∴
化条件
取
应征值0
时
∴
化条件
取
∴化应征值
时
∴
化条件
取
∴化应征值
结果知表象变表象变换矩阵
∴角化矩阵
样方法
征值
化征函数
表象变表象变换矩阵
利S角化
#
46求连续性方程矩阵表示
解：连续性方程
∴
∴
写成矩阵形式
第五章 微扰理
51 果类氢原子核点电荷半径电荷均匀分布球计算种效应类氢原子基态量级修正
解：种分布区域影响区域影响题意知
中考虑种效应势分布
考虑种效应势分布区域
区域式出
视种微扰引起级修正（基态）
∴
∴
#
52 转动惯量I电偶极矩空间转子处均匀电场中果电场较微扰法求转子基态量二级修正
解：取正方Z轴正方建立坐标系转子哈米顿算符
取
电场较视微扰微扰法求问题
征值
征函数
基态量非简情况根定态非简微扰知
#
53 设体系未受微扰作时两级：现受微扰作微扰矩阵元实数微扰公式求量二级修正值
解：微扰公式
∴ 量二级修正值
#
54设时氢原子处基态受单色光射电离设单色光电场似表示均零电离电子波函数似面波表示求单色光频率时刻跃迁电离态率
解：①电离电子动零时时应单色光频率值
②时氢原子处基态波函数
时刻
微扰
中
时刻跃迁电离态率
吸收跃迁情况式起作第二项考虑第项
O
θ
α
x
y
z（）
中
取电子电离动量方Z方
取面面
∴
#
55基态氢原子处行板电场中电场均匀时间指数降
求长时间氢原子处2p态率
解：2p态取三值相应状态
氢原子处2p态率跃迁率
(取方Z轴方)
0
0
述结果知
∴
时
中
#
56计算氢原子第激发态基态发发射率
解：
选择定知禁戒
需计算率
2p三状态
(1)先计算z矩阵元
(2)计算x矩阵元
(3)计算矩阵元
(4)计算
#
57 计算氢原子2p态跃迁1s态时发出光谱线强度
解：
#
58求线性谐振子偶极跃迁选择定
解：
时
选择定 #
补充练三
1 维限深势阱中粒子受微扰
作试求基态级级修正
解：基态波函数（零级似）
∴量级修正
2具电荷离子衡位置附作维简谐振动光射发生跃迁设入射光量波长较长求：
① 原处基态离子单位时间跃迁第激发态率
②讨跃迁选择定
（提示：利积分关系
答：①
②仅谐振子偶极跃迁选择定）
解：①
∴
(维线性谐振子～)
中
维线性谐振子波函数
∴
∴
② 跃迁率时跃迁禁戒跃迁
见讨选择定
#
3电荷e谐振子时处基态时处弱电场中(常数)试求谐振子处第激发态率
解：取电场方轴正方
长时间时
∴
实际述结果
#
第七章 旋全粒子
71证明：
证：易关系
反易关系
式两边
∵
∴
72 求旋态中测准关系：
解：表象中矩阵表示分
∴ 态中
讨：易关系
[]
求 ①
态中
∴
见①式符合式求
73求征值属征函数
解：久期方程
∴ 征值
设应征值征函数
征方程
化条件
∴
应征值征函数
设应征值征函数
征方程
化条件
∴
应征值征函数
理求征值相应征函数分
74 求旋角动量方投影
征值属征函数
征态中测量值？值率出现？均值少？
解： 表象矩阵元
相应久期方程
征值
设应征函数矩阵表示
化条件
见 值
相应率
理求 应征函数
态中值
相应率
75设氢状态
①求轨道角动量z分量旋角动量z分量均值
②求总磁矩
z分量均值（玻尔磁矩子表示）
解：ψ改写成
ψ表达式中出值 0
相应率
值
相应率
76 体系三全玻色子组成玻色子间相互作玻色子两单粒子态问体系状态？波函数样单粒子波函数构成？
解：体系状态4设两单粒子态体系状态
77 证明组成正交系
解：
0
理证正交关系
78 设两电子弹性辏力场中运动电子势果电子间库仑相忽略求电子处基态电子处x方运动第激发态时两电子组成体系波函数
解：电子波函数空间部分满足定态S方程
考虑 令
中
基态
χ方第激发态
两电子空间波函数够组成称波函数反称波函数形式
两电子旋波函数组成三称态反称态
综合两方面两电子组成体系波函数应反称波函数
独态：
三重态：
参考书：
[1] 周世勋量子力学教程高教出版社1979
[2] 张宏宝编 量子力学教程学辅导书高等教育出版社20042
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第章 量子理基础
1．1 黑体辐射公式导出维恩位移定律：量密度极值应波长温度T成反
Tb（常量）
似计算b数值准确二位效数字
解 根普朗克黑体辐射公式
（1）
（2）
（3）
里物理意义黑体波长介λλ+dλ间辐射量密度
题关注λ取值时取极值求 λ阶导数零求相应λ值记作注意需验证λ二阶导数处取值否零果零前面求求具体：
果令x 述方程
超越方程首先易知方程解：x0验证解庸外解通逐步似法者数值计算法获：x497验证解正求样
x三物理常量代入式便知
便维恩位移定律知识物体温度升高话辐射量分布峰值较短波长方面移动样便会根热物体（遥远星体）发光颜色判定温度高低
1．2 0K附钠价电子量约3eV求德布罗意波长
解 根德布罗意波粒二象性关系知
Eh
果考虑粒子非相性电子（）
果考察相性光子
Epc
注意题考虑钠价电子动仅3eV远远电子质量光速方积利非相性电子量——动量关系式样便
里利
作点讨式出粒子质量越时粒子波长越短粒子波动性较弱粒子性较强样粒子动越时粒子波长越短粒子波动性较弱粒子性较强宏观世界物体质量普遍波动性极弱显现出粒子性种波粒二象性某种子意义说微观世界显现
1．3 氦原子动（k玻耳兹曼常数）求T1K时氦原子德布罗意波长
解 根
知题氦原子动
显然远远样便
里利
德布罗意波长温度关系作点讨某种粒子构成温度T体系中粒子均动数量级kT样相庆德布罗意波长
知体系温度越低相应德布罗意波长越长时种粒子波动性越明显特波长长粒子间均距离长时粒子间相干性尤明显时典描述粒子统计分布玻耳兹曼分布必须量子描述粒子统计分布——玻色分布费米公布
1．4 利玻尔——索末菲量子化条件求：
（1）维谐振子量
（2）均匀磁场中作圆周运动电子轨道半径
已知外磁场H10T玻尔磁子试计算运量子化间隔△ET4KT100K热运动量相较
解 玻尔——索末菲量子化条件
中q微观粒子广义坐标p相应广义动量回路积分运动轨道积圈n正整数
（1）设维谐振子劲度常数k谐振子质量μ
样便
里正负号分表示谐振子着正方运动着负方运动正负正表示回运动圈外根
解出
表示谐振子正负方位移样根玻尔——索末菲量子化条件
积分述方程左边作变量代换
样便
时令式左边积分A外构造积分
样便
（1）
里 2θ样
（2）
根式（1）（2）便
样便
中
解作点讨首先注意谐振子量量子化次量子化量等间隔分布
（2）电子均匀磁场中作圆周运动时
时玻尔——索末菲量子化条件
动耐
中玻尔磁子样发现量子化量等间隔
具体题
根动温度关系式
知温度T4K时
温度T100K时
显然两种情况热运动应量前面量子化量间隔
1．5 两光子定条件转化正负电子果两光子量相等问实现实种转化光子波长少？
解 关两光子转化正负电子动力学程两光子样概率转化正负电子问题严格说需相性量子场知识计算修正涉程运动学方面量守恒动量守恒等需高深知识计算具休题两光子量相等心碰撞时转化正风电子反需量应波长长
外
光子转化电子波长数值相知道电子然界中轻质量粒子果光子转化正反质子类更质量粒子应光子波长会更某种意义告诉涉粒子衰变产生转化等问题般需量量越粒子间转化等现象越丰富样许发现新粒子便世界造越越高加速器原：期发现新现象新粒子新物理
第二章波 函数薛定谔方程
21证明定态中率流时间关
证：定态令
见关
22 列定态波函数计算率流密度：
结果说明表示外传播球面波表示(原点) 传播球面波
解：
球坐标中
表示外传播球面波
见反表示(原点) 传播球面波
补充：设粒子位置率分布？波函数否化？
∴波函数方式化
相位置率分布函数
表示粒子空间处出现率相
23 粒子维势场
中运动求粒子级应波函数
解：关定态问题定态S—方程
区域具体形式
Ⅰ：①
Ⅱ：②
Ⅲ：③
(1)(3)方程中等式成立必须
粒子运动势阱外方
方程(2)变
令
解 ④
根波函数标准条件确定系数AB连续性条件
⑤
⑥
⑤
⑥
∴
化条件
见E量子化
应化定态波函数
#
24 证明（2614）式中化常数
证： （2614）
化
∴化常数 #
25 求维谐振子处激发态时率位置
解：
令
表达式知时显然率位置
见求率位置 #
26 维势场中运动粒子势原点称：证明粒子定态波函数具确定宇称
证：维势场中运动粒子定态S方程
①
式中代换
②
利
③
较①③式知描写势场作粒子状态波函数描写状态间相差常数方程①③相互进行空间反演 方①反演③
④
③反演①反演步骤完全相完全等价
⑤
④ ⑤
见
时具偶宇称
时具奇宇称
势场满足时粒子定态波函数具确定宇称#
27 粒子维势阱中
运动求束缚态()级满足方程
解法：粒子满足S方程
势形式分区域具体形式
Ⅰ： ①
Ⅱ： ②
Ⅲ： ③
整理
Ⅰ： ④
Ⅱ： ⑤
Ⅲ： ⑥
令
Ⅰ： ⑦
Ⅱ： ⑧
Ⅲ： ⑨
方程解
波函数限性
波函数连续性
整理(10)(11)(12)(13)式合成方程组
解方程出BCDF进出波函数具体形式方程组非零解必须
∵
∴
求束缚态级满足方程#
解法二：接（13）式
#
解法三：
(11)(13)
(10)+(12)
(11)+(13)
(12)(10)
（b）
k
a
ctgk
k
)
10
(
)
12
(
)
13
(
)
11
(
1
2
2
Þ
+
令
合：
利
#
解法四：（简方法移坐标轴法）
Ⅰ： （χ≤0）
Ⅱ： （0＜χ＜2）
Ⅲ： （χ≥2）
束缚态＜＜
波函数连续性
(7)代入(6)
利(4)(5)
#
28分子间范德瓦耳斯力产生势似表示
求束缚态级满足方程
解：势曲线图示分成四区域求解
定态S方程
区域具体形式
Ⅰ：
Ⅱ：
Ⅲ：
Ⅳ：
区域Ⅰ粒子达区域
①
②
③
束缚态说
∴ ④
⑤
⑥
方程解分
波函数限性
∴
波函数阶导数连续
∴
⑦
⑧
⑨
⑩
⑦⑧ (11)
⑨⑩
(12)
令①式变
联立(12)(13)方程组非零解必须
代入
求束缚态级满足方程 #
附：方程⑩直接行列式求解见附页
求方程 #
补充练题
1设 求A ？
解：化条件
利
∴ #
2求基态微观线性谐振子典界限外发现率
解：基态量
设基态典界限位置
∴
界限外发现振子率
)
(
2
2
0
2
2
0
2
2
0
x
a
x
a
x
e
dx
e
dx
e
a
a
a
p
a
y
p
a
p
a
w
¥
¥
+
ò
ò
式中正态分布函数
查表
∴
∴典极限外发现振子率016 #
3试证明线性谐振子波函数求波函数应量
证：线性谐振子S方程
①
代入式
代入①式左边
时左边 右边 n 3
线性谐振子波函数应量
第三章 量子力学中力学量
31 维谐振子处基态求：
(1)势均值
(2)动均值
(3)动量率分布函数
解：(1)
(2)
(3)
动量率分布函数
#
32氢原子处基态求：
(1)r均值
(2)势均值
(3)半径
(4)动均值
(5)动量率分布函数
解：(1)
(3)电子出现r+dr球壳出现率
令
率位置
∴ 半径
(4)
(5)
动量率分布函数
#
33 证明氢原子中电子运动产生电流密度球极坐标中分量
证：电子电流密度
球极坐标中
中部分实数
∴
见
#
34 题知氢原子中电流作许圆周电流组成
(1)求圆周电流磁矩
(2)证明氢原子磁矩
原子磁矩角动量
值称回转磁率
解：(1) 圆周电流磁矩
（圆周电流圆周围面积）
(2)氢原子磁矩
单位制中
原子磁矩角动量
#
35 刚性转子转动惯量I量典表示式L角动量求应量子体系列情况定态量波函数：
(1) 转子绕固定轴转动：
(2) 转子绕固定点转动：
解：(1)设该固定轴Z轴方
哈米顿算符
征方程 (关属定态问题)
令
取解 (正负零)
波函数单值性应
∴m 0±1±2…
转子定态量 (m 0±1±2…)
见量取系列分立值构成分立谱 定态波函数
A化常数化条件
∴ 转子化波函数
综述m0外级二重简
(2)取固定点坐标原点转子哈米顿算符
关属定态问题征方程
(式中设征函数征值)
令
角动量征方程征值
波函数球谐函数
∴ 转子定态量
见量分立重简
#
36 设t0时粒子状态
求时粒子均动量均动
解：
见动量值
动值
应率应
述A化常数化条件
∴
∴ 动量均值
#
37 维运动粒子状态
中求：
(1)粒子动量率分布函数
(2)粒子均动量
解：(1)先求化常数
∴
动量率分布函数
(2)
#
38维限深势阱中运动粒子势阱宽度果粒子状态波函数
描写A化常数求粒子率分布量均值
解：波函数形式知维限深势阱分布图示粒子量征函数征值
动量率分布函数
先化化条件
∴
∴
∴
39设氢原子处状态
求氢原子量角动量方角动量Z分量值值出现率力学量均值
解：量中氢原子量确定值
角动量方确定值
角动量Z分量值
相应率分
均值
310粒子硬壁球形空腔中运动势
求粒子级定态函数
解：题意区域粒子运动区域区域粒子波函数
()
区域求角动量零情况时方发现粒子率相粒子率分布角度关性粒子波函数关关设粒子量征方程
令
通解
波函数限性条件知 限
A 0
∴
波函数连续性条件
∵ ∴
∴
中B化化条件
∴
∴ 化波函数
#
311 求第36题中粒子位置动量测准关系
解：
312 粒子处状态
式中常量粒子动量均值计算测准关系
解：①先化化条件
∴
∴ 化
② 动量均值
③
（奇积函数）
#
313利测准关系估计氢原子基态量
解：设氢原子基态概然半径R原子半径确定范围似取
测准关系
氢原子基态波函数偶宇称动量算符奇宇称
似取
量均值
作数量级估算似取
基态量应取极值
代入基态量
补充练题二
1．试基态氢原子例证明：征函数征函数
见
见征函数
2．证明：氢原子中电子方发现率
解：
∴
电子
∴
时
值方发现电子率
方发现电子率密度均～间
3．试证明：处1s2p3d态氢原子电子离原子核距离分球壳发现率(第玻尔轨道半径 )
证：①1s态
令
易见 值
值处1s态电子处发现率
②2p态电子
令
易见 值
∴ 率位置球壳发现球态电子率
③3d态电子
令
易见 率位置
∴ 率位置球壳发现球态电子率
4 磁场时金属中电子势似视
中 求电子均匀场外电场作穿金属表面透射系数
解：设电场强度方χ轴负总势
势曲线图示透射系数
式中电子量式确定
∴
令
∴透射系数
5．指出列算符线性说明理
① ② ③
解：①线性算符
②线性算符
③线性算符
6．指出列算符厄米算符说明理
7列函数算符征函数征值什？
① ② ③ ④ ⑤
解：①
∴ 征函数
②
∴ 征函数应征值1
③
∴ 见征函数应征值－1
④
∴ 征函数应征值－1
⑤
∴ 征函数应征值－1
8试求算符征函数
解：征方程
（征值）
9果坐标原点取维限深势阱中心求阱中粒子波函数级表达式
解：
方程（分区域）：
Ⅰ： ∴
Ⅲ： ∴
Ⅱ：
令
标准条件：
∴
∵
∴
取
∴
∴
∴ 粒子波函数
粒子级
化条件
∴
∴ 粒子化波函数
10证明：处1s2p3d态氢原子中电子处距原子核距离分球壳处率（第玻尔轨道半径）
证：
令
∴率处
∴率处
令
∴ 率位置
时
∴率位置
令
理知 率处
率处
11求维谐振子处第激发态时率位置
解：
令
∴ 率处
∴ 率处
6．设氢原子处态（第玻尔轨道半径）求
①均值
②势均值
解：①
②
12粒子势
场中运动证明量状态量式决定：
（中）
证：方程
Ⅰ：
Ⅱ：
Ⅲ：
令
Ⅰ：
Ⅱ：
Ⅲ：
通解
利标准条件限性知
∴
连续性知
①
②
③
④
①②
⑤
③④
⑥
⑤⑥代入
整理
令
∴
###
13设波函数求
解：
14说明：果算符厄米
(+)厄米
证：
∴ +厄米
15问列算符否厄米算符：
① ②
解：①
∴ 厄米算符
②
∴ 厄米算符 ##
16果算符满足关系式求证
①
②
证： ①
②
17求
解：
0
18
解：
0
第四章 态力学量表象
41求动量表象中角动量矩阵元矩阵元
解：
#
42 求量表象中维限深势阱坐标动量矩阵元
解：基矢：
量：
角元：
时
#
43 求动量表象中线性谐振子量征函数
解：定态薛定谔方程
两边
令
课P39(274)式较知线性谐振子量征值征函数
式中化子
#
44求线性谐振子哈密顿量动量表象中矩阵元
解：
#
45 设已知表象中算符矩阵分
求征值化征函数矩阵角化
解：久期方程
∴征值
征方程
中设征函数表象中矩阵
时
∴
化条件
取
应征值0
时
∴
化条件
取
∴化应征值
时
∴
化条件
取
∴化应征值
结果知表象变表象变换矩阵
∴角化矩阵
样方法
征值
化征函数
表象变表象变换矩阵
利S角化
#
46求连续性方程矩阵表示
解：连续性方程
∴
∴
写成矩阵形式
第五章 微扰理
51 果类氢原子核点电荷半径电荷均匀分布球计算种效应类氢原子基态量级修正
解：种分布区域影响区域影响题意知
中考虑种效应势分布
考虑种效应势分布区域
区域式出
视种微扰引起级修正（基态）
∴
∴
#
52 转动惯量I电偶极矩空间转子处均匀电场中果电场较微扰法求转子基态量二级修正
解：取正方Z轴正方建立坐标系转子哈米顿算符
取
电场较视微扰微扰法求问题
征值
征函数
基态量非简情况根定态非简微扰知
#
53 设体系未受微扰作时两级：现受微扰作微扰矩阵元实数微扰公式求量二级修正值
解：微扰公式
∴ 量二级修正值
#
54设时氢原子处基态受单色光射电离设单色光电场似表示均零电离电子波函数似面波表示求单色光频率时刻跃迁电离态率
解：①电离电子动零时时应单色光频率值
②时氢原子处基态波函数
时刻
微扰
中
时刻跃迁电离态率
吸收跃迁情况式起作第二项考虑第项
O
θ
α
x
y
z（）
中
取电子电离动量方Z方
取面面
∴
#
55基态氢原子处行板电场中电场均匀时间指数降
求长时间氢原子处2p态率
解：2p态取三值相应状态
氢原子处2p态率跃迁率
(取方Z轴方)
0
0
述结果知
∴
时
中
#
56计算氢原子第激发态基态发发射率
解：
选择定知禁戒
需计算率
2p三状态
(1)先计算z矩阵元
(2)计算x矩阵元
(3)计算矩阵元
(4)计算
#
57 计算氢原子2p态跃迁1s态时发出光谱线强度
解：
#
58求线性谐振子偶极跃迁选择定
解：
时
选择定 #
补充练三
1 维限深势阱中粒子受微扰
作试求基态级级修正
解：基态波函数（零级似）
∴量级修正
2具电荷离子衡位置附作维简谐振动光射发生跃迁设入射光量波长较长求：
① 原处基态离子单位时间跃迁第激发态率
②讨跃迁选择定
（提示：利积分关系
答：①
②仅谐振子偶极跃迁选择定）
解：①
∴
(维线性谐振子～)
中
维线性谐振子波函数
∴
∴
② 跃迁率时跃迁禁戒跃迁
见讨选择定
#
3电荷e谐振子时处基态时处弱电场中(常数)试求谐振子处第激发态率
解：取电场方轴正方
长时间时
∴
实际述结果
#
第七章 旋全粒子
71证明：
证：易关系
反易关系
式两边
∵
∴
72 求旋态中测准关系：
解：表象中矩阵表示分
∴ 态中
讨：易关系
[]
求 ①
态中
∴
见①式符合式求
73求征值属征函数
解：久期方程
∴ 征值
设应征值征函数
征方程
化条件
∴
应征值征函数
设应征值征函数
征方程
化条件
∴
应征值征函数
理求征值相应征函数分
74 求旋角动量方投影
征值属征函数
征态中测量值？值率出现？均值少？
解： 表象矩阵元
相应久期方程
征值
设应征函数矩阵表示
化条件
见 值
相应率
理求 应征函数
态中值
相应率
75设氢状态
①求轨道角动量z分量旋角动量z分量均值
②求总磁矩
z分量均值（玻尔磁矩子表示）
解：ψ改写成
ψ表达式中出值 0
相应率
值
相应率
76 体系三全玻色子组成玻色子间相互作玻色子两单粒子态问体系状态？波函数样单粒子波函数构成？
解：体系状态4设两单粒子态体系状态
77 证明组成正交系
解：
0
理证正交关系
78 设两电子弹性辏力场中运动电子势果电子间库仑相忽略求电子处基态电子处x方运动第激发态时两电子组成体系波函数
解：电子波函数空间部分满足定态S方程
考虑 令
中
基态
χ方第激发态
两电子空间波函数够组成称波函数反称波函数形式
两电子旋波函数组成三称态反称态
综合两方面两电子组成体系波函数应反称波函数
独态：
三重态：
参考书：
[1] 周世勋量子力学教程高教出版社1979
[2] 张宏宝编 量子力学教程学辅导书高等教育出版社20042
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