第七章 带线性约束元线性回模型假设检验
章中继续讨第五章模型新模型中参数β满足J线性约束集Rβq矩阵Rβ相致K列总J约束J行R行满秩考虑度约束情况J＜K
带线性约束参数假设检验两种方法处理第方法约束条件求出组参数估计然求出组参数否满足假设暗示约束进行检验章第节中讨
第二方法参数满足线性约束模型起考虑求出参数二解尔作检验者参数带约束二估计方法章第二节中讨
第节 线性约束检验
线性回模型开始
（1）
考虑具形式组线性约束
矩阵改写成方程
（2）
作假设条件
R中行约束中系数矩阵Rβ相致K列总J约束J行R行满秩J定等KR行必须线性关然JK情况违反条件唯决定β样约束没意义考虑种情况
定二估计量b兴趣集中差异量dRb－qd精确等0事件（概率0）统计问题d0离差否抽样误差否显著
b元正态分布db线性函数d元正态分布原假设真d均值0方差
（3）
H0检验基沃尔德（Wald）准：
（4）
假设正确时服度J分布(什)
直觉d越二满足约束错误越统计量越值加重假设怀疑
（5）
σ未知（4）中统计量s2代σ2导出F[J（n－K）]样统计量令
（6）
分子（1J）（4）中W分母1（n－K）（5）中幂等二次型F两度卡方变量率果独立F分布F[J（n－K）]前边发现b独立s2分布条件满足
直接推导利（5）M幂等事实F写
（7）
F统计量两二次型率MT服正态分布协方差TM0二次型量独立F分子分母独立机量函数独立完成证明
消掉（6）中两σ2剩检验线性假设F统计量
（8）
检验统计量
F分布表中界值相较F值反假设证
注意：wald统计量中代相应J维卡方分布转换维度（JnK）F分布
第二节 参数带约束二估计
带约束二函数
许问题中求中未知参数β满足某特定线性约束条件：Rβq里RJ×K矩阵（J＜K）假定秩J维量常常希求β估计
（9）
满足条件（9）称β具线性约束Rβq二估计
解问题实际约束条件
Rβq
求
限制极值点问题
问题拉格朗日解写作
解b*λ满足必条件
展开分块矩阵方程
Wd*v
假定括号中分块矩阵非奇异约束二估计量
d*W1v
where
解外X′X非奇异分块逆公式b*λ显示解
格林西克斯（1991）表明b*协方差矩阵简单W1左块X′X非奇异通常情况次显性公式
样
（非负定矩阵）
Var[b*]方差Var[b]解释约束条件提供更信息价值
二约束检验方法
令计算新离差方
新离差方
新模型中参数数kJJ榆树条件原模型中J参数kJ表示
（表达式中中间项含X′e0）说明约束检验基拟合损失损失
出现前边推导F统计量分子统计量选形式
选形式
SSTF分子分母第三种形式
两模型拟合差直接体现检验统计量中形式具直观吸引力
[实例]数变换生产函数
科布—道格拉斯模型般化数变换模型
（10）
约束回结果表1中出
表1 约束回结果
回标准误差
017994
残差方
067993
R方
095486
调整R方
094411
变量
系数
标准误差
t值
常数项
0944216
2911
0324
LnL
361363
1548
2334
LnK
－189311
1016
－1863
－096406
07074
－1363
008529
02926
0291
lnL×lnK
031239
04389
071
系数估计量估计协方差矩阵
常数项
lnL
lnK
Ln2L2
Ln2K2
lnL×lnK
常数项
8472
LnL
－2388
2397
LnK
－03313
－1231
1033
－008760
－06658
05231
05004
02332
003477
002637
01467
008562
lnL×lnK
03635
01831
－02255
－02880
－01160
01927
考虑约束条件模型科布道格拉斯模型： （11）
条件约束条件元线性回模型般线性回方法求解模型假通约束条件条件元线性回模型：
n－K21科布—道格拉斯模型假设F统计量
查F分布表5界值307拒绝科布—道格拉斯模型适假设
考虑约束条件条件模型满足规模效应科布—道格拉斯生产函数模型推导：
（12）
假通约束条件条件元线性回模型：
n－K21科布—道格拉斯模型假设F统计量
查F分布表5界值285拒绝科布—道格拉斯模型规模效应生产函数假设
第三节 结构变化邹庄检验
(Structure Change and ChouTest)
问题提出
常碰样问题某项政策出台实施效果？区时期分两区时期观测值问题：两区时期情况否济结构差异
类问题华济学家邹庄构造F检验解决（1960年）样F检验统计量称邹庄检验（ChouTest）
二问题模型表述
设分表示两时期观测值允许两时期中系数约束回改写成回方程
……（1）
模型中YZβε
述问题转换成检验问题
两种方式处理问题
）约束条件检验更般约束条件Rβq特殊形式中R(II) q0直接基Wald统计量带约束条件F检验（请推导）
例题：约束条件F检验推导出邹庄检验表达式：
解：约束条件RβqF检验
邹庄检验时约束条件Rβq种特殊形式R(II)q0等条件（2k参数k约束）
服F（）分布
外考虑约束条件模型（1）改写成约束新回方程
(2)
约束线性模型模型中YZβε
假模型（2）残差方假设条件 F统计量
更简单表示：
二） 更直接更容易处理约束直接构造进模型中两系数量相模型（1）转换：
……（2）
推导出检验邹庄统计量ChouTest
模型（1）中约束二估计量
……（3）
约束条件限制模型（2）
……（4）
问服分布？
首先证明：
样幂等矩阵
独立
邹庄检验统计量（ChouTest）
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章中继续讨第五章模型新模型中参数β满足J线性约束集Rβq矩阵Rβ相致K列总J约束J行R行满秩考虑度约束情况J＜K
带线性约束参数假设检验两种方法处理第方法约束条件求出组参数估计然求出组参数否满足假设暗示约束进行检验章第节中讨
第二方法参数满足线性约束模型起考虑求出参数二解尔作检验者参数带约束二估计方法章第二节中讨
第节 线性约束检验
线性回模型开始
（1）
考虑具形式组线性约束
矩阵改写成方程
（2）
作假设条件
R中行约束中系数矩阵Rβ相致K列总J约束J行R行满秩J定等KR行必须线性关然JK情况违反条件唯决定β样约束没意义考虑种情况
定二估计量b兴趣集中差异量dRb－qd精确等0事件（概率0）统计问题d0离差否抽样误差否显著
b元正态分布db线性函数d元正态分布原假设真d均值0方差
（3）
H0检验基沃尔德（Wald）准：
（4）
假设正确时服度J分布(什)
直觉d越二满足约束错误越统计量越值加重假设怀疑
（5）
σ未知（4）中统计量s2代σ2导出F[J（n－K）]样统计量令
（6）
分子（1J）（4）中W分母1（n－K）（5）中幂等二次型F两度卡方变量率果独立F分布F[J（n－K）]前边发现b独立s2分布条件满足
直接推导利（5）M幂等事实F写
（7）
F统计量两二次型率MT服正态分布协方差TM0二次型量独立F分子分母独立机量函数独立完成证明
消掉（6）中两σ2剩检验线性假设F统计量
（8）
检验统计量
F分布表中界值相较F值反假设证
注意：wald统计量中代相应J维卡方分布转换维度（JnK）F分布
第二节 参数带约束二估计
带约束二函数
许问题中求中未知参数β满足某特定线性约束条件：Rβq里RJ×K矩阵（J＜K）假定秩J维量常常希求β估计
（9）
满足条件（9）称β具线性约束Rβq二估计
解问题实际约束条件
Rβq
求
限制极值点问题
问题拉格朗日解写作
解b*λ满足必条件
展开分块矩阵方程
Wd*v
假定括号中分块矩阵非奇异约束二估计量
d*W1v
where
解外X′X非奇异分块逆公式b*λ显示解
格林西克斯（1991）表明b*协方差矩阵简单W1左块X′X非奇异通常情况次显性公式
样
（非负定矩阵）
Var[b*]方差Var[b]解释约束条件提供更信息价值
二约束检验方法
令计算新离差方
新离差方
新模型中参数数kJJ榆树条件原模型中J参数kJ表示
（表达式中中间项含X′e0）说明约束检验基拟合损失损失
出现前边推导F统计量分子统计量选形式
选形式
SSTF分子分母第三种形式
两模型拟合差直接体现检验统计量中形式具直观吸引力
[实例]数变换生产函数
科布—道格拉斯模型般化数变换模型
（10）
约束回结果表1中出
表1 约束回结果
回标准误差
017994
残差方
067993
R方
095486
调整R方
094411
变量
系数
标准误差
t值
常数项
0944216
2911
0324
LnL
361363
1548
2334
LnK
－189311
1016
－1863
－096406
07074
－1363
008529
02926
0291
lnL×lnK
031239
04389
071
系数估计量估计协方差矩阵
常数项
lnL
lnK
Ln2L2
Ln2K2
lnL×lnK
常数项
8472
LnL
－2388
2397
LnK
－03313
－1231
1033
－008760
－06658
05231
05004
02332
003477
002637
01467
008562
lnL×lnK
03635
01831
－02255
－02880
－01160
01927
考虑约束条件模型科布道格拉斯模型： （11）
条件约束条件元线性回模型般线性回方法求解模型假通约束条件条件元线性回模型：
n－K21科布—道格拉斯模型假设F统计量
查F分布表5界值307拒绝科布—道格拉斯模型适假设
考虑约束条件条件模型满足规模效应科布—道格拉斯生产函数模型推导：
（12）
假通约束条件条件元线性回模型：
n－K21科布—道格拉斯模型假设F统计量
查F分布表5界值285拒绝科布—道格拉斯模型规模效应生产函数假设
第三节 结构变化邹庄检验
(Structure Change and ChouTest)
问题提出
常碰样问题某项政策出台实施效果？区时期分两区时期观测值问题：两区时期情况否济结构差异
类问题华济学家邹庄构造F检验解决（1960年）样F检验统计量称邹庄检验（ChouTest）
二问题模型表述
设分表示两时期观测值允许两时期中系数约束回改写成回方程
……（1）
模型中YZβε
述问题转换成检验问题
两种方式处理问题
）约束条件检验更般约束条件Rβq特殊形式中R(II) q0直接基Wald统计量带约束条件F检验（请推导）
例题：约束条件F检验推导出邹庄检验表达式：
解：约束条件RβqF检验
邹庄检验时约束条件Rβq种特殊形式R(II)q0等条件（2k参数k约束）
服F（）分布
外考虑约束条件模型（1）改写成约束新回方程
(2)
约束线性模型模型中YZβε
假模型（2）残差方假设条件 F统计量
更简单表示：
二） 更直接更容易处理约束直接构造进模型中两系数量相模型（1）转换：
……（2）
推导出检验邹庄统计量ChouTest
模型（1）中约束二估计量
……（3）
约束条件限制模型（2）
……（4）
问服分布？
首先证明：
样幂等矩阵
独立
邹庄检验统计量（ChouTest）
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